Binomial distribution Questions in Gujarati

(C) ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
એક વખત ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે.
છાપ ન મળવાની (કાંટો મળવાની) સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
$n$ વખત ઉછાળતા ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળવાની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ છે.
આપેલ છે કે $P(X \geq 1) > \frac{99}{100}$.
તેથી,$1 - P(X = 0) > \frac{99}{100}$.
અહીં $P(X = 0) = (\frac{1}{2})^n$ હોવાથી,$1 - (\frac{1}{2})^n > \frac{99}{100}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 - \frac{99}{100} > (\frac{1}{2})^n$,એટલે કે $\frac{1}{100} > (\frac{1}{2})^n$.
વ્યસ્ત લેતા,$100 < 2^n$ મળે.
જો $n = 6$ હોય,તો $2^6 = 64$,જે $100$ કરતા નાનું છે.
જો $n = 7$ હોય,તો $2^7 = 128$,જે $100$ કરતા મોટું છે.
આમ,જરૂરી સિક્કા ઉછાળવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા $7$ છે.

(A) ધારો કે $X$ એ સાજા થતા દર્દીઓની સંખ્યા છે. આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 6$ અને $p = 0.6$ છે.
અહીં,$q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$ છે.
આપણે $6$ દર્દીઓમાંથી અડધા દર્દીઓ સાજા થાય તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X = 3)$.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X = k) = ^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 3) = ^6C_3 \times (0.6)^3 \times (0.4)^{6-3}$
$P(X = 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times (0.6)^3 \times (0.4)^3$
$P(X = 3) = 20 \times 0.216 \times 0.064$
$P(X = 3) = 0.27648 \approx 0.2762$ (આપેલ વિકલ્પ મુજબ).

(D) ધારો કે $X$ એ છાપની સંખ્યા છે,જે દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 100$.
$k$ છાપ મેળવવાની સંભાવના $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે $P(X=50) = P(X=51)$.
કિંમતો મૂકતા:
${}^{100}C_{50} p^{50} (1-p)^{50} = {}^{100}C_{51} p^{51} (1-p)^{49}$.
બંને બાજુને $p^{50} (1-p)^{49}$ વડે ભાગતા:
${}^{100}C_{50} (1-p) = {}^{100}C_{51} p$.
$p$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{1-p}{p} = \frac{{}^{100}C_{51}}{{}^{100}C_{50}} = \frac{100!}{51! 49!} \times \frac{50! 50!}{100!} = \frac{50}{51}$.
તેથી,$51(1-p) = 50p$.
$51 - 51p = 50p$.
$101p = 51$.
$p = \frac{51}{101}$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = { }^n C_k p^k (1-p)^{n-k}$ છે.
અહીં $n=4$ આપેલ છે,તેથી:
$P(X=3) = { }^4 C_3 p^3 (1-p)^1 = 4p^3(1-p)$
$P(X=2) = { }^4 C_2 p^2 (1-p)^2 = 6p^2(1-p)^2$
આપેલ શરત $2 P(X=3) = 3 P(X=2)$ મુજબ:
$2 \times [4p^3(1-p)] = 3 \times [6p^2(1-p)^2]$
$8p^3(1-p) = 18p^2(1-p)^2$
બંને બાજુ $2p^2(1-p)$ વડે ભાગતા:
$4p = 9(1-p)$
$4p = 9 - 9p$
$13p = 9 \implies p = \frac{9}{13}$
તેથી $q = 1 - p = 1 - \frac{9}{13} = \frac{4}{13}$.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $npq$ છે:
$\text{વિચરણ} = 4 \times \frac{9}{13} \times \frac{4}{13} = \frac{144}{169}$.

(D) આપેલ છે,$P(X=4) = \frac{135}{2^{12}}$.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^6C_4 p^4 q^2 = \frac{135}{2^{12}}$.
અહીં ${}^6C_4 = 15$ હોવાથી,$15 p^4 q^2 = \frac{135}{2^{12}}$.
$15$ વડે ભાગતા,$p^4 q^2 = \frac{9}{2^{12}} = \frac{3^2}{(2^6)^2} = \left(\frac{3}{64}\right)^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$p^2 q = \frac{3}{64}$.
$q = 1-p$ મૂકતા,$p^2(1-p) = \frac{3}{64}$.
અવલોકન કરતા,જો $p = \frac{1}{4}$ લઈએ,તો $p^2(1-p) = (\frac{1}{16})(\frac{3}{4}) = \frac{3}{64}$.
આમ,$p = \frac{1}{4}$ અને $q = \frac{3}{4}$.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $npq$ દ્વારા મળે છે.
વિચરણ $= 6 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માટે જ્યાં $n=7$ છે,સંભાવના વિધેય $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ છે કે $P(X=3) = 5 P(X=4)$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
${^7C_3} p^3 q^4 = 5 \times {^7C_4} p^4 q^3$
અહીં ${^7C_3} = {^7C_4} = 35$ હોવાથી,બંને બાજુને $35 p^3 q^3$ વડે ભાગતા:
$q = 5p$
$q = 1-p$ હોવાથી,$1-p = 5p$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $6p = 1$,તેથી $p = \frac{1}{6}$.
હવે $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $Var(X) = npq$ દ્વારા મળે છે.
$Var(X) = 7 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{35}{36}$.

(D) $n$ પ્રયત્નો ધરાવતા દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $q = 1 - p$ છે.
આપેલ છે કે $n = 5$ અને $\mu + \sigma^2 = 1.8$.
કિંમતો મૂકતા:
$np + npq = 1.8$
$5p + 5p(1 - p) = 1.8$
$5p + 5p - 5p^2 = 1.8$
$10p - 5p^2 = 1.8$
$5p^2 - 10p + 1.8 = 0$
દશાંશ દૂર કરવા માટે $10$ વડે ગુણતા:
$50p^2 - 100p + 18 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$25p^2 - 50p + 9 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4(25)(9)}}{50} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 900}}{50} = \frac{50 \pm \sqrt{1600}}{50} = \frac{50 \pm 40}{50}$
$p_1 = \frac{90}{50} = 1.8$ (શક્ય નથી કારણ કે $0 \le p \le 1$)
$p_2 = \frac{10}{50} = 0.2$
આમ,$p = 0.2$.

(D) કુલ દડાની સંખ્યા $= 4 + 3 = 7$.
કાળો દડો નીકળવાની સંભાવના,$p = \frac{3}{7}$.
લાલ દડો (કાળો નહીં) નીકળવાની સંભાવના,$q = 1 - p = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.
દડો પાછો મૂકવામાં આવતો હોવાથી,પ્રયત્નો સ્વતંત્ર છે અને આપણે દ્વિપદી વિતરણ $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$ નો ઉપયોગ કરીશું,જ્યાં $n = 3$.
$X = 0$ માટે: $P(X = 0) = {}^3C_0 (\frac{3}{7})^0 (\frac{4}{7})^3 = (\frac{4}{7})^3$.
$X = 1$ માટે: $P(X = 1) = {}^3C_1 (\frac{3}{7})^1 (\frac{4}{7})^2 = 3 \times \frac{3}{7} \times (\frac{4}{7})^2 = \frac{9}{7} (\frac{4}{7})^2$.
$X = 2$ માટે: $P(X = 2) = {}^3C_2 (\frac{3}{7})^2 (\frac{4}{7})^1 = 3 \times (\frac{3}{7})^2 \times \frac{4}{7} = \frac{12}{7} (\frac{3}{7})^2$.
$X = 3$ માટે: $P(X = 3) = {}^3C_3 (\frac{3}{7})^3 (\frac{4}{7})^0 = (\frac{3}{7})^3$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $D$ ગણતરી કરેલા વિતરણ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) આ પ્રશ્ન દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે જ્યાં $n = 5$ પ્રયત્નો છે અને સફળતાની સંભાવના $p = 0.3$ (વિજ્ઞાનનો વિદ્યાર્થી) છે. નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 0.7$ છે.
$x = 2$ વિજ્ઞાનના વિદ્યાર્થીઓ હોવાની સંભાવના સૂત્ર $P(X = x) = {}^nC_x \cdot p^x \cdot q^{n-x}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(X = 2) = {}^5C_2 \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^3$.
ગણતરી કરતા:
${}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
$(0.3)^2 = 0.09$.
$(0.7)^3 = 0.343$.
તેથી,$P(X = 2) = 10 \times 0.09 \times 0.343 = 0.9 \times 0.343 = 0.3087$.

(D) અહીં,$n=5$,$p=\frac{1}{2}$,$q=\frac{1}{2}$ છે.
ઓછામાં ઓછી $4$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના $P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X=r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=4) = {}^5C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^4 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 5 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{32}$.
$P(X=5) = {}^5C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{32} \times 1 = \frac{1}{32}$.
તેથી,$P(X \ge 4) = \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે,પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{npq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 500$ છે.
એક ઉછાળમાં છગ્ગો આવવાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$ છે.
છગ્ગો ન આવવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sigma = \sqrt{500 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}}$
$\sigma = \sqrt{\frac{2500}{36}}$
$\sigma = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $p+q=1$.
અહીં $n=6$ આપેલ છે,તેથી $P(X=4) = {}^6C_4 p^4 q^2$ અને $P(X=2) = {}^6C_2 p^2 q^4$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$9 P(X=4) = P(X=2)$.
કિંમતો મૂકતા: $9 \times {}^6C_4 p^4 q^2 = {}^6C_2 p^2 q^4$.
અહીં ${}^6C_4 = 15$ અને ${}^6C_2 = 15$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$9 \times 15 p^4 q^2 = 15 p^2 q^4$.
બંને બાજુ $15 p^2 q^2$ વડે ભાગતા:
$9 p^2 = q^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $3p = q$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p+q=1$,તેથી $p = 1-q$ મૂકતા:
$3(1-q) = q \Rightarrow 3 - 3q = q \Rightarrow 4q = 3 \Rightarrow q = \frac{3}{4}$.

(A) આપેલ છે કે $X \sim B\left(8, \frac{1}{2}\right)$,તેથી $n=8$,$p=\frac{1}{2}$,અને $q=1-p=\frac{1}{2}$ છે.
આપણે $P(|X-4| \leq 2)$ શોધવાનું છે.
આ અસમતા $-2 \leq X-4 \leq 2$ ને સમાન છે,જેનું સાદું રૂપ $2 \leq X \leq 6$ થાય છે.
તેથી,$P(2 \leq X \leq 6) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$.
વૈકલ્પિક રીતે,$P(2 \leq X \leq 6) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=7) + P(X=8)]$.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = \binom{8}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^8$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=0) = \binom{8}{0} \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 1 \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{256}$.
$P(X=1) = \binom{8}{1} \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 8 \cdot \frac{1}{256} = \frac{8}{256}$.
$P(X=7) = \binom{8}{7} \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 8 \cdot \frac{1}{256} = \frac{8}{256}$.
$P(X=8) = \binom{8}{8} \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 1 \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{256}$.
સરવાળો $= \frac{1+8+8+1}{256} = \frac{18}{256} = \frac{9}{128}$.
તેથી,$P(2 \leq X \leq 6) = 1 - \frac{9}{128} = \frac{119}{128}$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = {n \choose k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $p+q=1$.
આપેલ છે કે $n=4$ અને $2 P(X=3) = 3 P(X=2)$,તેથી:
$2 \times {4 \choose 3} p^3 q^1 = 3 \times {4 \choose 2} p^2 q^2$
અહીં ${4 \choose 3} = 4$ અને ${4 \choose 2} = 6$ હોવાથી:
$2 \times 4 \times p^3 q = 3 \times 6 \times p^2 q^2$
$8 p^3 q = 18 p^2 q^2$
બંને બાજુ $2 p^2 q$ વડે ભાગતા:
$4 p = 9 q$
$p = 1-q$ મૂકતા:
$4(1-q) = 9q$
$4 - 4q = 9q$
$4 = 13q$
$q = \frac{4}{13}$

(C) આપેલ છે કે દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 2$ અને વિચરણ $npq = 1$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 2$ માં મૂકતા,$n(\frac{1}{2}) = 2$,તેથી $n = 4$ મળે છે.
સંભાવના $P(X=0)$ એ સૂત્ર $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે.
$X=0$ માટે,$P(X=0) = { }^4 C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$.
ઘટના $E$ ની તરફેણમાં અવરોધ (odds) $P(E) : (1 - P(E))$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$X=0$ ની તરફેણમાં અવરોધ $\frac{1}{16} : (1 - \frac{1}{16}) = \frac{1}{16} : \frac{15}{16} = 1 : 15$ છે.

(C) ધારો કે $n = 100$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે,$p = \frac{1}{2}$ એ છાપ મળવાની સંભાવના છે,અને $q = \frac{1}{2}$ એ કાંટો મળવાની સંભાવના છે.
છાપ એકી સંખ્યામાં મળે તેની સંભાવના $r = 1, 3, 5, \dots, 99$ માટેની સંભાવનાઓનો સરવાળો છે.
$P(r \text{ is odd}) = \sum_{r \in \{1, 3, \dots, 99\}} \binom{100}{r} p^r q^{100-r}$
$P(r \text{ is odd}) = \sum_{r \in \{1, 3, \dots, 99\}} \binom{100}{r} \left(\frac{1}{2}\right)^r \left(\frac{1}{2}\right)^{100-r}$
$P(r \text{ is odd}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{100} \sum_{r \in \{1, 3, \dots, 99\}} \binom{100}{r}$
આપણે જાણીએ છીએ કે એકી $r$ માટે દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $2^{n-1}$ થાય છે. તેથી,$\sum_{r \in \{1, 3, \dots, 99\}} \binom{100}{r} = 2^{100-1} = 2^{99}$.
તેથી,$P(r \text{ is odd}) = \left(\frac{1}{2}\right)^{100} \times 2^{99} = \frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,$P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$,જ્યાં $q = 1-p$ છે.
આપેલ છે કે $n=6$ અને સંબંધ $4 P(X=4) = P(X=2)$ છે.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $4 \cdot {}^6C_4 p^4 q^{6-4} = {}^6C_2 p^2 q^{6-2}$.
$4 \cdot {}^6C_4 p^4 q^2 = {}^6C_2 p^2 q^4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^6C_4 = {}^6C_2 = 15$,તેથી:
$4 \cdot 15 \cdot p^4 q^2 = 15 \cdot p^2 q^4$.
બંને બાજુ $15 p^2 q^2$ વડે ભાગતા:
$4 p^2 = q^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $2p = q$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $p + q = 1$,તેથી $q = 2p$ મૂકતા:
$p + 2p = 1 \Rightarrow 3p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{3}$.

(B) કેસ ઉકેલાવાની સંભાવના $p = 25 \% = \frac{1}{4}$ છે.
તેથી,કેસ ન ઉકેલાવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ છે.
અહીં $n = 6$ પ્રયત્નો આપેલા છે,આપણે ઓછામાં ઓછા $5$ કેસ ઉકેલાવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 5) = P(X = 5) + P(X = 6)$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 5) = {}^6C_5 \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 6 \times \frac{1}{4^5} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{4^6}$.
$P(X = 6) = {}^6C_6 \left(\frac{1}{4}\right)^6 \left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{4^6} \times 1 = \frac{1}{4^6}$.
તેથી,$P(X \ge 5) = \frac{18}{4^6} + \frac{1}{4^6} = \frac{19}{4^6} = \frac{19}{4096}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = 4$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = 2$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 4$ માં મૂકતા,$n \times \frac{1}{2} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $n = 8$.
$x$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના $P(X=x) = { }^n C_x p^x q^{n-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 2$ માટે,$P(X=2) = { }^8 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^8$.
$P(X=2) = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$.

(D) ધારો કે પાસાની એક જોડીને ફેંકતા ડબલેટ મળવાની સંભાવના $p$ છે. પાસાની એક જોડીમાં કુલ $36$ પરિણામો છે અને $6$ શક્ય ડબલેટ્સ છે: $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$.
તેથી,$p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ અને $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
પાસાને $n = 4$ વાર ફેંકવામાં આવે છે. ધારો કે $X$ એ ડબલેટ્સની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(4, \frac{1}{6})$ ને અનુસરે છે.
સંભાવના $P(X=k)$ એ $\binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X=0$ માટે: $P(0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^4 = 1 \times 1 \times \frac{625}{1296} = \frac{625}{1296}$.
$X=1$ માટે: $P(1) = \binom{4}{1} (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^3 = 4 \times \frac{1}{6} \times \frac{125}{216} = \frac{500}{1296} = \frac{125}{324}$.
$X=2$ માટે: $P(2) = \binom{4}{2} (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^2 = 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$.
$X=3$ માટે: $P(3) = \binom{4}{3} (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^1 = 4 \times \frac{1}{216} \times \frac{5}{6} = \frac{20}{1296} = \frac{5}{324}$.
$X=4$ માટે: $P(4) = \binom{4}{4} (\frac{1}{6})^4 (\frac{5}{6})^0 = 1 \times \frac{1}{1296} \times 1 = \frac{1}{1296}$.

(A) ધારો કે $n=100$ પ્રયત્નોમાં છાપની સંખ્યા $X$ છે. સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી,છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = \frac{1}{2}$ છે.
$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(100, \frac{1}{2})$ ને અનુસરે છે.
બેકી સંખ્યામાં છાપ મળે તેની સંભાવના $P(X \in \{0, 2, 4, \dots, 100\}) = \sum_{k \in \{0, 2, \dots, 100\}} \binom{100}{k} p^k q^{100-k}$ છે.
$p=q=\frac{1}{2}$ હોવાથી,આ પદ $\left(\frac{1}{2}\right)^{100} \sum_{k \in \{0, 2, \dots, 100\}} \binom{100}{k}$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બેકી દ્વિપદી સહગુણકોનો સરવાળો $\sum_{k \text{ even}} \binom{n}{k} = 2^{n-1}$ થાય છે.
તેથી,સંભાવના $\left(\frac{1}{2}\right)^{100} \times 2^{100-1} = \frac{2^{99}}{2^{100}} = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $p$ એ છાપ મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $q$ એ છાપ ન મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = \frac{1}{2}$.
$n$ વખત સિક્કો ઉછાળતા $x$ છાપ મેળવવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P(X=x) = {}^{n}C_{x} p^x q^{n-x} = {}^{n}C_{x} (\frac{1}{2})^n$.
આપેલ છે કે $P(X=7) = P(X=9)$,તેથી:
${}^{n}C_{7} (\frac{1}{2})^n = {}^{n}C_{9} (\frac{1}{2})^n$.
આનો અર્થ એ છે કે ${}^{n}C_{7} = {}^{n}C_{9}$.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $n = 7 + 9 = 16$ મળે છે.
હવે,આપણે $2$ છાપ મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X=2)$ છે:
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{16} = \frac{16 \times 15}{2} \times \frac{1}{2^{16}} = 120 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{15 \times 8}{2^{16}} = \frac{15}{2^{13}}$.

(A) આપેલ છે કે $X \sim B(4, p)$,જ્યાં $n=4$. સંભાવના વિધેય $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ છે.
શરત $2 P(X=3) = 3 P(X=2)$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times ({}^{4}C_{3} p^{3} q^{1}) = 3 \times ({}^{4}C_{2} p^{2} q^{2})$.
સંયોજનોની ગણતરી કરતા: $2 \times (4 p^{3} q) = 3 \times (6 p^{2} q^{2})$.
સાદું રૂપ આપતા: $8 p^{3} q = 18 p^{2} q^{2}$.
બંને બાજુ $2 p^{2} q$ વડે ભાગતા ($p, q \neq 0$ ધારીને): $4 p = 9 q$.
કારણ કે $q = 1 - p$,તેથી $4 p = 9(1 - p)$.
$4 p = 9 - 9 p$.
$13 p = 9$.
તેથી,$p = \frac{9}{13}$.

(D) ધારો કે $X$ એ પસંદ કરેલા $20$ બલ્બમાંથી ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા દર્શાવે છે.
આપેલ છે કે કુલ $100$ બલ્બ છે અને $10$ ખામીયુક્ત છે,તેથી ખામીયુક્ત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ છે.
પરિણામે,ખામી રહિત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ થાય.
અહીં આપણે $n = 20$ બલ્બ પસંદ કરીએ છીએ. એક પણ બલ્બ ખામીયુક્ત ન હોય તેની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે.
$k = 0$ માટે,$P(X = 0) = {}^{20}C_{0} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{20-0}$.
$P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{20} = \left(\frac{9}{10}\right)^{20}$.

(C) ધારો કે $X$ એ $8$ વખત સિક્કો ઉછાળતા મળતી છાપની સંખ્યા છે. અહીં,$n=8$,$p=\frac{1}{2}$,અને $q=\frac{1}{2}$ છે.
આપણે છાપની સંખ્યા કાંટા કરતા વધારે હોય તેની સંભાવના શોધવી છે,એટલે કે $X > 4$.
કુલ પરિણામો $2^8 = 256$ છે અને વિતરણ સંમિત હોવાથી,$P(X < 4) = P(X > 4)$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{8} P(X=k) = 1$,તેથી $P(X < 4) + P(X=4) + P(X > 4) = 1$.
આમ,$2P(X > 4) + P(X=4) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $P(X > 4) = \frac{1 - P(X=4)}{2}$.
$P(X=4) = {}^{8}C_{4} \left(\frac{1}{2}\right)^{8} = \frac{70}{256}$ ગણતા.
તેથી,$P(X > 4) = \frac{1 - \frac{70}{256}}{2} = \frac{\frac{186}{256}}{2} = \frac{93}{256}$.

(B) લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q = 0.2 = \frac{1}{5}$ છે.
તેથી,લક્ષ્યને અથડાવાની સંભાવના $p = 1 - q = 1 - 0.2 = 0.8 = \frac{4}{5}$ છે.
અહીં $n = 10$ બોમ્બ ફેંકવામાં આવે છે અને આપણે બરાબર $r = 2$ સફળતા જોઈએ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 2) = {}^{10}C_{2} \times (0.8)^{2} \times (0.2)^{8}$
$P(X = 2) = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} \times \left(\frac{4}{5}\right)^{2} \times \left(\frac{1}{5}\right)^{8}$
$P(X = 2) = 45 \times \frac{16}{25} \times \frac{1}{5^{8}}$
$P(X = 2) = 45 \times \frac{16}{5^{2} \times 5^{8}} = 45 \times \frac{16}{5^{10}}$
$P(X = 2) = (9 \times 5) \times \frac{16}{5^{10}} = \frac{9 \times 16}{5^{9}} = \frac{144}{5^{9}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે વ્યક્તિને સામાન્ય શરદી હોવાની સંભાવના $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ છે.
તેથી,વ્યક્તિને સામાન્ય શરદી ન હોવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{9}{10}$ છે.
અહીં આપણે $n = 5$ વ્યક્તિઓ પસંદ કરીએ છીએ. ધારો કે $X$ એ સામાન્ય શરદી ધરાવતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(5, 0.1)$ ને અનુસરે છે.
આપણે વધુમાં વધુ એક વ્યક્તિને સામાન્ય શરદી હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ છે.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^{5}C_{0} \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \left(\frac{9}{10}\right)^{5} = 1 \times 1 \times \frac{59049}{100000} = 0.59049$.
$P(X = 1) = {}^{5}C_{1} \left(\frac{1}{10}\right)^{1} \left(\frac{9}{10}\right)^{4} = 5 \times \frac{1}{10} \times \frac{6561}{10000} = \frac{32805}{100000} = 0.32805$.
તેથી,$P(X \le 1) = 0.59049 + 0.32805 = 0.91854$.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,સંભાવના $0.9185$ મળે છે.

(D) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,મધ્યક $E(X) = np$ અને વિચરણ $\operatorname{Var}(X) = npq$ છે,જ્યાં $q = 1 - p$ છે.
આપેલ છે કે $E(X) = np = 4$.
આપેલ છે કે $\operatorname{Var}(X) = npq = 2.4$.
વિચરણના સમીકરણમાં $np = 4$ મૂકતા: $4q = 2.4$.
$q$ માટે ઉકેલતા: $q = \frac{2.4}{4} = 0.6 = \frac{3}{5}$.
કારણ કે $p = 1 - q$,તેથી $p = 1 - 0.6 = 0.4 = \frac{2}{5}$.
હવે,મધ્યકના સમીકરણમાં $p$ ની કિંમત મૂકતા: $n \times \frac{2}{5} = 4$.
$n = 4 \times \frac{5}{2} = 10$.
આમ,$n$ ની કિંમત $10$ છે.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $q = 1-p$ છે.
આપેલ છે કે $n = 5$ અને $np + npq = 1 \cdot 8$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $5p + 5pq = 1 \cdot 8$.
$5p(1 + q) = 1 \cdot 8$.
કારણ કે $q = 1 - p$,તેથી $5p(1 + 1 - p) = 1 \cdot 8$.
$5p(2 - p) = 1 \cdot 8$.
$10p - 5p^2 = 1 \cdot 8$.
$5p^2 - 10p + 1 \cdot 8 = 0$.
સાદું રૂપ આપવા માટે $5$ વડે ગુણતા: $25p^2 - 50p + 9 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4(25)(9)}}{50} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 900}}{50} = \frac{50 \pm \sqrt{1600}}{50} = \frac{50 \pm 40}{50}$.
$p = \frac{90}{50} = 1 \cdot 8$ (શક્ય નથી કારણ કે $0 \le p \le 1$) અથવા $p = \frac{10}{50} = 0 \cdot 2$.
આમ,$p = 0 \cdot 2$.

(B) ધારો કે $X$ એ $n = 100$ પ્રયત્નોમાં સફળતાઓની સંખ્યા છે. આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
અહીં,પાસાને એકવાર ફેંકતા બેકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $\text{Var}(X) = npq$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\text{Var}(X) = 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 100 \times \frac{1}{4} = 25$ મળે છે.
તેથી,વિચરણ $25$ છે.

(C) એક સિક્કો ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = \frac{1}{2}$ છે.
$n = 15$ પ્રયત્નો માટે,$r = 10$ છાપ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P(X = r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$.
કિંમતો મૂકતા: $P(X = 10) = {}^{15}C_{10} \left(\frac{1}{2}\right)^{10} \left(\frac{1}{2}\right)^{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^{15}C_{10} = {}^{15}C_{5}$,તેથી: $P(X = 10) = {}^{15}C_{5} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{15}$.
સંચયની ગણતરી કરતા: ${}^{15}C_{5} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$.
આમ,સંભાવના: $P(X = 10) = \frac{3003}{2^{15}} = \frac{3003}{32768}$ છે.

(A) દ્વિપદી વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n=6$ આપેલ છે,તેથી $P(X=4) = {}^{6}C_{4} p^{4} (1-p)^{2}$ અને $P(X=2) = {}^{6}C_{2} p^{2} (1-p)^{4}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$9 P(X=4) = P(X=2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$9 \cdot {}^{6}C_{4} p^{4} (1-p)^{2} = {}^{6}C_{2} p^{2} (1-p)^{4}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^{6}C_{4} = {}^{6}C_{2} = 15$,તેથી સમીકરણ $9 p^{4} (1-p)^{2} = p^{2} (1-p)^{4}$ માં ફેરવાય છે.
બંને બાજુ $p^{2} (1-p)^{2}$ વડે ભાગતા,$9 p^{2} = (1-p)^{2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$3p = 1-p$ મળે (કારણ કે $p$ ધન છે).
$4p = 1$,તેથી $p = 1/4$ થાય.

(C) દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$ અને $n = 33$ છે.
આપેલ છે કે $3 P(X=0) = P(X=1)$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$3 \binom{33}{0} p^0 q^{33} = \binom{33}{1} p^1 q^{32}$
$3 \times 1 \times q^{33} = 33 \times p \times q^{32}$
$q \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $q^{32}$ વડે ભાગતા:
$3q = 33p$
$q = 11p$
$q = 1-p$ હોવાથી,$1-p = 11p$,જેનો અર્થ છે $1 = 12p$,તેથી $p = \frac{1}{12}$.
તેથી $q = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $Var(X) = npq$ છે.
$Var(X) = 33 \times \frac{1}{12} \times \frac{11}{12} = \frac{33 \times 11}{144} = \frac{363}{144}$.
$3$ વડે ભાગતા: $\frac{121}{48}$.

(B) આપેલ સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=x) = \frac{{}^4C_x}{2^4} = {}^4C_x \left(\frac{1}{2}\right)^x \left(\frac{1}{2}\right)^{4-x}$ છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ છે,જ્યાં $n = 4$ અને $p = \frac{1}{2}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $\mu = np = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ થાય.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$\sigma^2 = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 1$ થાય.
આમ,$\mu = 2$ અને $\sigma^2 = 1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $X \sim B(n, p)$ જ્યાં $n=35$. સંભાવના વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ શરત $7 P(X=0) = P(X=1)$ મુજબ:
$7 \binom{35}{0} p^0 q^{35} = \binom{35}{1} p^1 q^{34}$.
$7 q = 35 p \implies q = 5p$.
$p+q=1$ હોવાથી,$p+5p=1 \implies 6p=1 \implies p = \frac{1}{6}$ અને $q = \frac{5}{6}$.
હવે,$\frac{P(X=15)}{P(X=20)} = \frac{\binom{35}{15} p^{15} q^{20}}{\binom{35}{20} p^{20} q^{15}} = \frac{\binom{35}{15}}{\binom{35}{20}} \cdot (\frac{q}{p})^5$.
$\binom{35}{15} = \binom{35}{20}$ હોવાથી,ગુણોત્તર $(q/p)^5 = (5)^5 = 3125$ થાય.

(D) કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે. ઢગમાં રાજાઓની સંખ્યા $4$ છે.
પત્તા બદલીને (with replacement) ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,એક પ્રયત્નમાં રાજા આવવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
રાજા ન આવવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ છે.
ધારો કે $X$ એ $n = 2$ પ્રયત્નોમાં મળેલા રાજાઓની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(2, \frac{1}{13})$ ને અનુસરે છે.
$X$ નું સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$P(X=0) = \binom{2}{0} p^0 q^2 = 1 \times 1 \times (\frac{12}{13})^2 = \frac{144}{169}$
$P(X=1) = \binom{2}{1} p^1 q^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$
$P(X=2) = \binom{2}{2} p^2 q^0 = 1 \times (\frac{1}{13})^2 \times 1 = \frac{1}{169}$
આપણે $E(X^2) = \sum x^2 P(X=x)$ શોધવાનું છે.
$E(X^2) = (0^2 \times \frac{144}{169}) + (1^2 \times \frac{24}{169}) + (2^2 \times \frac{1}{169})$
$E(X^2) = 0 + \frac{24}{169} + \frac{4}{169} = \frac{28}{169}$.

(C) કુલ પત્તાની સંખ્યા $52$ છે. પેકમાં ગલ્લા (jacks) ની સંખ્યા $4$ છે.
પત્તા બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,એક પ્રયત્નમાં ગલ્લો મળવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે,અને ગલ્લો ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n=2$ અને $p=\frac{1}{13}$ છે.
$P(X=1) = \binom{2}{1} \times p^1 \times q^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$.
$P(X=2) = \binom{2}{2} \times p^2 \times q^0 = 1 \times \left(\frac{1}{13}\right)^2 \times 1 = \frac{1}{169}$.
તેથી,$P(X=1) + P(X=2) = \frac{24}{169} + \frac{1}{169} = \frac{25}{169}$.

(A) ધારો કે $X$ એ $3$ સ્વતંત્ર પ્રયત્નોમાં કાળો દડો કાઢવાની સંખ્યા છે. આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n=3$.
એક પ્રયત્નમાં કાળો દડો કાઢવાની સંભાવના $p = \frac{3}{4+3} = \frac{3}{7}$ છે.
કાળો દડો ન કાઢવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ છે.
સંભાવના વિતરણ $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા $k = 0, 1, 2, 3$ માટે આપવામાં આવે છે.
$k=0$ માટે: $P(X=0) = \binom{3}{0} (\frac{3}{7})^0 (\frac{4}{7})^3 = 1 \times 1 \times (\frac{4}{7})^3 = (\frac{4}{7})^3$.
$k=1$ માટે: $P(X=1) = \binom{3}{1} (\frac{3}{7})^1 (\frac{4}{7})^2 = 3 \times \frac{3}{7} \times (\frac{4}{7})^2 = \frac{9}{7} \times (\frac{4}{7})^2$.
$k=2$ માટે: $P(X=2) = \binom{3}{2} (\frac{3}{7})^2 (\frac{4}{7})^1 = 3 \times (\frac{3}{7})^2 \times \frac{4}{7} = \frac{12}{7} \times (\frac{3}{7})^2$.
$k=3$ માટે: $P(X=3) = \binom{3}{3} (\frac{3}{7})^3 (\frac{4}{7})^0 = 1 \times (\frac{3}{7})^3 \times 1 = (\frac{3}{7})^3$.
આ કિંમતોને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $n$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે,$p$ એ સફળતાની સંભાવના છે,અને $q = 1-p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $n = 10$ અને $\text{મધ્યક} + \text{વિચરણ} = \frac{15}{2}$.
સૂત્રો મૂકતા: $np + npq = \frac{15}{2}$.
$q = 1-p$ હોવાથી,$np + np(1-p) = \frac{15}{2}$.
$10p + 10p(1-p) = 7.5$.
$10p + 10p - 10p^2 = 7.5$.
$20p - 10p^2 = 7.5$.
$2.5$ વડે ભાગતા: $8p - 4p^2 = 3$.
$4p^2 - 8p + 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(2p-1)(2p-3) = 0$.
આથી $p = \frac{1}{2}$ અથવા $p = \frac{3}{2}$ મળે.
$0 < p < 1$ હોવાથી,$p = \frac{1}{2}$ લેતા.
તેથી $q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
આમ,વિચરણ $\sigma^2 = npq = 10 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 2.5$ થાય.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
અહીં $n=6$ આપેલ છે,તેથી $P(X=4) = {^6C_4} p^4 q^2$ અને $P(X=2) = {^6C_2} p^2 q^4$ થાય.
આપેલ શરત $9 \cdot P(X=4) = P(X=2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $9 \cdot {^6C_4} p^4 q^2 = {^6C_2} p^2 q^4$.
અહીં ${^6C_4} = 15$ અને ${^6C_2} = 15$ હોવાથી:
$9 \cdot 15 \cdot p^4 q^2 = 15 \cdot p^2 q^4$.
બંને બાજુ $15 p^2 q^2$ વડે ભાગતા:
$9 p^2 = q^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $3p = q$.
$q = 1-p$ હોવાથી,$3p = 1-p$.
$4p = 1$,તેથી $p = \frac{1}{4}$.

(D) ધારો કે $X \sim B(n, p)$.
આપેલ છે કે મધ્યક $np = 8$ અને વિચરણ $npq = 4$.
$q = 1 - p$ હોવાથી,$8q = 4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{2}$ અને $p = \frac{1}{2}$.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 8$ માં મૂકતા,આપણને $n = 16$ મળે છે.
આપણે $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X \leq 2) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{16} + {}^{16}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{15} + {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{14}$.
$P(X \leq 2) = \frac{{}^{16}C_{0} + {}^{16}C_{1} + {}^{16}C_{2}}{2^{16}}$.
સંચયની ગણતરી કરતા: ${}^{16}C_{0} = 1$,${}^{16}C_{1} = 16$,અને ${}^{16}C_{2} = \frac{16 \times 15}{2} = 120$.
આમ,$P(X \leq 2) = \frac{1 + 16 + 120}{2^{16}} = \frac{137}{2^{16}}$.
આને $\frac{K}{2^{16}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 137$ મળે છે.

(A) ધારો કે $X$ એ $2$ પ્રયત્નોમાં બદલી સાથે ખેંચાયેલા જેકની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
કુલ પત્તાંની સંખ્યા $52$ છે અને જેકની સંખ્યા $4$ છે.
એક પ્રયત્નમાં જેક ખેંચવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
જેક ન ખેંચવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ છે.
પ્રયત્નો સ્વતંત્ર હોવાથી (બદલી સાથે),$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$.
$P(X = x) = ^nC_x p^x q^{n-x}$
$P(X = 0) = ^2C_0 (\frac{1}{13})^0 (\frac{12}{13})^2 = 1 \times 1 \times \frac{144}{169} = \frac{144}{169}$
$P(X = 1) = ^2C_1 (\frac{1}{13})^1 (\frac{12}{13})^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$
$P(X = 2) = ^2C_2 (\frac{1}{13})^2 (\frac{12}{13})^0 = 1 \times \frac{1}{169} \times 1 = \frac{1}{169}$
આમ,સંભાવના વિતરણ વિકલ્પ $(A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) ધારો કે $X$ એ ખેંચાયેલા રાજાઓની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
પત્તાં બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,પ્રયત્નો સ્વતંત્ર છે.
કુલ પત્તાંની સંખ્યા = $52$.
રાજાઓની સંખ્યા = $4$.
એક પ્રયત્નમાં રાજા ખેંચવાની સંભાવના,$p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
એક પ્રયત્નમાં રાજા ન ખેંચવાની સંભાવના,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$.
અહીં $n = 2$ પ્રયત્નો હોવાથી,$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(2, \frac{1}{13})$ ને અનુસરે છે.
સંભાવના વિતરણ $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X = 0$ માટે: $P(X = 0) = {}^2C_0 (\frac{1}{13})^0 (\frac{12}{13})^2 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{144}{169} = \frac{144}{169}$.
$X = 1$ માટે: $P(X = 1) = {}^2C_1 (\frac{1}{13})^1 (\frac{12}{13})^1 = 2 \cdot \frac{1}{13} \cdot \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$.
$X = 2$ માટે: $P(X = 2) = {}^2C_2 (\frac{1}{13})^2 (\frac{12}{13})^0 = 1 \cdot \frac{1}{169} \cdot 1 = \frac{1}{169}$.
આમ,સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:
$X=0, P(X)=\frac{144}{169}$
$X=1, P(X)=\frac{24}{169}$
$X=2, P(X)=\frac{1}{169}$
તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $X \sim B(n, p)$ જ્યાં $n=4$. સંભાવના વિતરણનું સૂત્ર $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$.
આપેલ છે કે $P(X=0) = \frac{16}{81}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(X=0) = {}^4C_0 p^0 q^4 = q^4$.
તેથી,$q^4 = \frac{16}{81} = \left(\frac{2}{3}\right)^4$.
આમ,$q = \frac{2}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
હવે,આપણે $P(X=4)$ શોધવાનું છે: $P(X=4) = {}^4C_4 p^4 q^0 = (1) \left(\frac{1}{3}\right)^4 (1) = \frac{1}{81}$.

(C) ધારો કે $p$ એ એક પાસા પર $6$ મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{6}$.
ધારો કે $q$ એ $6$ ન મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = \frac{5}{6}$.
બે પાસા ફેંકવામાં આવતા હોવાથી,$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$ અને $p = \frac{1}{6}$.
દ્વિપદી વિતરણની અપેક્ષિત કિંમત $E(X)$ એ $E(X) = np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E(X) = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ સંભાવના ઘટત્વ વિધેય દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ નું છે,જ્યાં $n = 6$ અને $p = \frac{1}{3}$ છે.
અહીં $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે,તેથી વિતરણ $P(X=x) = \binom{6}{x} \left(\frac{1}{3}\right)^{x} \left(\frac{2}{3}\right)^{6-x}$ થાય.
મધ્યક $\mu = np = 6 \times \frac{1}{3} = 2$.
વિચરણ $\sigma^{2} = npq = 6 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.
હવે,$2\mu + 12\sigma^{2} = 2(2) + 12\left(\frac{4}{3}\right) = 4 + 16 = 20$.

(A) આપેલ છે કે $X \sim B\left(8, \frac{1}{2}\right)$,તેથી $n=8, p=\frac{1}{2}, q=\frac{1}{2}$ છે.
આપણે $P(|X-4| \leq 2)$ શોધવાનું છે.
આ અસમતા $|X-4| \leq 2$ નો અર્થ છે કે $-2 \leq X-4 \leq 2$,જેનું સાદું રૂપ $2 \leq X \leq 6$ થાય છે.
તેથી,આપણે $P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
સંભાવના વિધેય $P(X=k) = {}^{8}C_{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{8-k} = {}^{8}C_{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{8}$ છે.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P(2 \leq X \leq 6) = \left(\frac{1}{2}\right)^{8} \left[ {}^{8}C_{2} + {}^{8}C_{3} + {}^{8}C_{4} + {}^{8}C_{5} + {}^{8}C_{6} \right]$.
સંચયની ગણતરી કરતા:
${}^{8}C_{2} = 28, {}^{8}C_{3} = 56, {}^{8}C_{4} = 70, {}^{8}C_{5} = 56, {}^{8}C_{6} = 28$.
સરવાળો $= 28 + 56 + 70 + 56 + 28 = 238$.
તેથી,$P(2 \leq X \leq 6) = \frac{238}{256} = \frac{119}{128}$.

(A) અહીં $p = \frac{3}{4}$ છે,તેથી $q = 1 - p = \frac{1}{4}$.
આપેલ છે કે $P(X \ge 1) \ge 0.9375$.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.
તેથી,$1 - P(X = 0) \ge 0.9375$.
$1 - ^nC_0 (p^0) (q)^n \ge 0.9375$.
$1 - (\frac{1}{4})^n \ge 0.9375$.
$1 - 0.9375 \ge (\frac{1}{4})^n$.
$0.0625 \ge (\frac{1}{4})^n$.
કારણ કે $0.0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}$,તેથી $\frac{1}{16} \ge (\frac{1}{4})^n$.
$(\frac{1}{4})^2 \ge (\frac{1}{4})^n$.
આધાર $1$ કરતા નાનો હોવાથી,ઘાતાંકો માટે અસમતા ઉલટાઈ જશે: $n \ge 2$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.

(B) મુખ્ય વિચાર: $p + q = 1$ અને $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ નો ઉપયોગ કરો.
આપેલ છે કે $X$ નું પ્રમાણિત વિચલન $\sqrt{3pq}$ છે,તેથી વિચરણ $Var(X) = (\sqrt{3pq})^2 = 3pq$ થાય.
આપેલ છે કે મધ્યક $E(X) = 3p$ છે.
સૂત્ર $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3pq = E(X^2) - (3p)^2$
$E(X^2) = 3pq + 9p^2$.
ચૂકી $p + q = 1$,આપણે $q = 1 - p$ મૂકી શકીએ:
$E(X^2) = 3p(1 - p) + 9p^2$
$E(X^2) = 3p - 3p^2 + 9p^2$
$E(X^2) = 3p + 6p^2$
$E(X^2) = 3p(1 + 2p)$.