Binomial distribution Questions in Gujarati

(A) જ્યારે બે સિક્કાઓ $5$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ઉછાળની સંખ્યા $2 \times 5 = 10$ થાય છે.
ધારો કે $n = 10$ એ કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે.
એક સિક્કો ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે.
એક સિક્કો ઉછાળતા કાંટો મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
આપણે $10$ ઉછાળમાં $5$ છાપ અને $5$ કાંટા મેળવવાની સંભાવના શોધવી છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = r) = ^nC_r p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $r = 5$:
$P(X = 5) = ^{10}C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^5$
$P(X = 5) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{10}$
$P(X = 5) = 252 \times \frac{1}{1024} = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}$.

(C) આપેલ છે કે સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{4}$.
$q = 1 - p$ હોવાથી,$q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ મળે.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 3$ છે,તેથી વિચરણ $\sigma^2 = 9$ થાય.
દ્વિપદી વિતરણ માટે,વિચરણ $npq = 9$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$p$ અને $q$ ની કિંમતો મૂકતા: $n \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = 9$.
$n \times \frac{3}{16} = 9 \Rightarrow n = 9 \times \frac{16}{3} = 48$.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $\mu = np$ છે.
તેથી,$\mu = 48 \times \frac{1}{4} = 12$.

(B) એક સિક્કા માટે,એક વાર ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
સિક્કાને $n = 10$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે,તેથી આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(10, \frac{1}{2})$ ને અનુસરે છે.
બરાબર $k = 6$ છાપ મળવાની સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(X = 6) = {}^{10}C_6 \cdot (\frac{1}{2})^6 \cdot (\frac{1}{2})^{10-6}$.
$P(X = 6) = {}^{10}C_6 \cdot (\frac{1}{2})^{10}$.
${}^{10}C_6 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ ની ગણતરી કરતા.
$P(X = 6) = 210 \times \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} = \frac{105}{512}$.

(A) જ્યારે એક પાસાને એક વાર ફેંકવામાં આવે,ત્યારે $4$ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$ છે.
$4$ ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
બે ફેંક માટે,ઓછામાં ઓછી એક વાર $4$ મળવાની સંભાવના $1 - P(\text{બે ફેંકમાં એક પણ વાર } 4 \text{ ન મળે})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે ફેંકમાં $4$ ન મળવાની સંભાવના $q^2 = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1 - \frac{25}{36} = \frac{36 - 25}{36} = \frac{11}{36}$ છે.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 4$ અને વિચરણ $npq = 2$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,$\frac{npq}{np} = \frac{2}{4}$,જેનું સાદું રૂપ $q = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 4$ માં મૂકતા,$n(\frac{1}{2}) = 4$,તેથી $n = 8$ મળે છે.
દ્વિપદી વિતરણનું સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ છે.
$X = 1$ માટે,$P(X = 1) = \binom{8}{1} (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^{8-1} = 8 \times (\frac{1}{2})^8 = 8 \times \frac{1}{256} = \frac{1}{32}$.

(B) ધારો કે $X$ એ $n$ વખત સિક્કો ઉછાળતા મળતી છાપની સંખ્યા છે.
$X$ એ $n$ અને $p = 1/2$ પ્રાચલો સાથે દ્વિપદી વિતરણ (binomial distribution) અનુસરે છે.
ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળે તેની સંભાવના $P(X \ge 1) > 0.8$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.
તેથી,$1 - P(X = 0) > 0.8$,જેનો અર્થ છે કે $P(X = 0) < 0.2$.
$n$ વખત સિક્કો ઉછાળતા એક પણ છાપ ન મળે તેની સંભાવના $P(X = 0) = ^nC_0 \times (1/2)^n = (1/2)^n$ છે.
આમ,$(1/2)^n < 0.2$,જેનો અર્થ છે કે $1/2^n < 1/5$.
આને સાદું રૂપ આપતા $2^n > 5$ મળે છે.
જો $n = 1$ હોય,તો $2^1 = 2 < 5$.
જો $n = 2$ હોય,તો $2^2 = 4 < 5$.
જો $n = 3$ હોય,તો $2^3 = 8 > 5$.
તેથી,$n$ ની ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $3$ છે.

(A) ધારો કે $p$ એ છાપ (tail) મળવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $q$ એ કાંટો (head) મળવાની સંભાવના છે,તેથી $q = \frac{1}{2}$.
અહીં,$n = 100$ પ્રયત્નો કરવામાં આવે છે.
$k$ વખત છાપ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P(X = k) = ^{100}C_k p^k q^{100-k}$.
આપણને એકી સંખ્યામાં છાપ મળવાની સંભાવના જોઈએ છે,જે $P(X = 1) + P(X = 3) + \dots + P(X = 99)$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને,આપણે જાણીએ છીએ કે $(q + p)^n = \sum_{k=0}^{n} {^{n}C_k} p^k q^{n-k}$ and $(q - p)^n = \sum_{k=0}^{n} {^{n}C_k} (-p)^k q^{n-k}$.
આ બે સમીકરણોને બાદ કરતાં: $(q + p)^n - (q - p)^n = 2 \times [{^{n}C_1} p^1 q^{n-1} + {^{n}C_3} p^3 q^{n-3} + \dots]$..
કારણ કે $p = q = \frac{1}{2}$,તેથી $q + p = 1$ અને $q - p = 0$.
તેથી,એકી $k$ માટે સંભાવનાઓનો સરવાળો $\frac{(q + p)^n - (q - p)^n}{2} = \frac{1^n - 0^n}{2} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(D) ધારો કે $p$ એ પાસાના એક ફેંકમાં એકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના છે.
પાસા પરના શક્ય પરિણામો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
એકી સંખ્યાઓ $\{1, 3, 5\}$ છે.
તેથી,$p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
પાસાને $n = 2$ વાર ફેંકવામાં આવે છે,તેથી આપણે દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
બે સફળતાઓ માટે,$k = 2$.
$P(X = 2) = {}^2C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{2-2} = 1 \times \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = 4$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = 2$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,$\frac{npq}{np} = \frac{2}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{2}$.
$p + q = 1$ હોવાથી,આપણને $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 4$ માં મૂકતા,$n(\frac{1}{2}) = 4$,તેથી $n = 8$ મળે છે.
$X$ સફળતાઓની સંભાવના $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k = 2$ માટે,$P(X = 2) = \binom{8}{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^{8-2} = \binom{8}{2} (\frac{1}{2})^8$.
ક્રમચય-સંચયની ગણતરી કરતા,$\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
આમ,$P(X = 2) = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવના વિધેય $P(X = k) = ^nC_k p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ગુણોત્તર $\frac{P(X = k)}{P(X = k - 1)}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$\frac{P(X = k)}{P(X = k - 1)} = \frac{^nC_k p^k q^{n-k}}{^nC_{k-1} p^{k-1} q^{n-k+1}}$
સંચયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$^nC_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$,આપણને મળે છે:
$\frac{^nC_k}{^nC_{k-1}} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{(k-1)!(n-k+1)!}{n!} = \frac{n-k+1}{k}$
આ કિંમતને ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{P(X = k)}{P(X = k - 1)} = \left( \frac{n-k+1}{k} \right) \cdot \frac{p^k q^{n-k}}{p^{k-1} q^{n-k+1}} = \frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{p}{q}$.

(C) ધારો કે $X$ એ $2$ પ્રયત્નોમાં મળતા એક્કાની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
પત્તા બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$ અને $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
સફળતાની સંભાવના (એક્કો મળવો) $p = \frac{1}{13}$ છે અને નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{12}{13}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$E(X) = 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(A) ધારો કે એક શોટમાં લક્ષ્યને મારવાની સંભાવના $p$ છે,તેથી $p = \frac{10}{100} = 0.1$.
ધારો કે એક શોટમાં લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q$ છે,તેથી $q = 1 - p = 0.9$.
ધારો કે ફાયર કરેલા રાઉન્ડની સંખ્યા $n$ છે.
$n$ શોટમાં ઓછામાં ઓછી એક વાર લક્ષ્યને મારવાની સંભાવના $P(\text{at least one hit}) = 1 - P(\text{no hits}) = 1 - q^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે આ સંભાવના ઓછામાં ઓછી $50\%$ હોય,તેથી $1 - (0.9)^n \ge 0.5$.
આનું સાદું રૂપ $(0.9)^n \le 0.5$ થાય છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $n \log(0.9) \le \log(0.5)$.
કારણ કે $\log(0.9)$ ઋણ છે,અસમતાની નિશાની બદલાય છે: $n \ge \frac{\log(0.5)}{\log(0.9)}$.
$\log(0.5) \approx -0.3010$ અને $\log(0.9) \approx -0.04576$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $n \ge \frac{-0.3010}{-0.04576} \approx 6.57$ મળે છે.
કારણ કે $n$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી રાઉન્ડની ન્યૂનતમ સંખ્યા $7$ છે.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = 3$ અને પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{npq} = \frac{3}{2}$ છે.
પ્રમાણિત વિચલનનો વર્ગ કરતા,આપણને $npq = \frac{9}{4}$ મળે છે.
$npq$ ને $np$ વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{9/4}{3} = \frac{3}{4}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - q = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ થાય.
હવે,$p = \frac{1}{4}$ ને $np = 3$ માં મૂકતા,$n(\frac{1}{4}) = 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $n = 12$.
આમ,દ્વિપદી વિતરણ $(q + p)^n = (\frac{3}{4} + \frac{1}{4})^{12}$ છે.

(A) ધારો કે $X$ એ પાસા પર $1, 3$ અથવા $4$ મળે તેની સંખ્યા છે.
તો $X$ એ $N = 2n + 1$ અને $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ પ્રાચલો સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
આપણી પાસે $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
$1, 3$ અથવા $4$ વધુમાં વધુ $n$ વખત મળે તેની સંભાવના $P(X \le n) = \sum_{k=0}^{n} {}^{2n+1}C_k p^k q^{2n+1-k}$ છે.
કારણ કે $p = q = \frac{1}{2}$,આ $P(X \le n) = \sum_{k=0}^{n} {}^{2n+1}C_k (\frac{1}{2})^{2n+1}$ બને છે.
ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{n} {}^{2n+1}C_k$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{2n+1} {}^{2n+1}C_k = 2^{2n+1}$.
કારણ કે ${}^{2n+1}C_k = {}^{2n+1}C_{2n+1-k}$,આપણી પાસે $2S = \sum_{k=0}^{n} {}^{2n+1}C_k + \sum_{k=n+1}^{2n+1} {}^{2n+1}C_k = 2^{2n+1}$ છે.
આમ,$S = 2^{2n}$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $S \times (\frac{1}{2})^{2n+1} = 2^{2n} \times \frac{1}{2^{2n+1}} = \frac{1}{2}$ છે.

(C) સફેદ દડો નીકળવાની સંભાવના $p = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ છે.
$7^{th}$ પ્રયત્ન પર $4^{th}$ વખત સફેદ દડો મળે તે માટે,પ્રથમ $6$ પ્રયત્નોમાં બરાબર $3$ સફેદ દડા મળવા જોઈએ અને $7^{th}$ પ્રયત્ન સફેદ દડો હોવો જોઈએ.
સંભાવના: $P = \binom{6}{3} \times p^3 \times (1-p)^3 \times p$.
$p = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$P = 20 \times (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{2})^3 \times \frac{1}{2} = 20 \times (\frac{1}{2})^7 = \frac{20}{128} = \frac{5}{32}$.

(B) એક સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળતા $k$ વાર છાપ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P(X = k) = \binom{n}{k} (\frac{1}{2})^n$.
આપેલ છે કે $P(X = 6) = P(X = 8)$,તેથી:
$\binom{n}{6} (\frac{1}{2})^n = \binom{n}{8} (\frac{1}{2})^n$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\binom{n}{6} = \binom{n}{8}$ મળે.
ગુણધર્મ $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જો $\binom{n}{a} = \binom{n}{b}$ હોય,તો $a = b$ અથવા $a + b = n$ થાય.
અહીં $6 \neq 8$ હોવાથી,$6 + 8 = n$ લેતા.
તેથી,$n = 14$.

(A) જ્યારે બે સિક્કા $5$ વાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે કુલ ઉછાળની સંખ્યા $2 \times 5 = 10$ થાય.
કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^{10} = 1024$ છે.
આપણે $10$ ઉછાળમાં બરાબર $5$ હેડ અને $5$ ટેલ મેળવવાની સંભાવના શોધવી છે.
$10$ કુલ સ્થાનમાંથી હેડ માટે $5$ સ્થાન પસંદ કરવાની રીતો સંચયના સૂત્ર $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 10$ અને $r = 5$ છે,તેથી સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $\binom{10}{5} = \frac{10!}{5! \times 5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ છે.
સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{252}{1024}$ છે.
અંશ અને છેદને $4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{63}{256}$ મળે છે.

(C) ઓછામાં ઓછી એક સફળતા મળે તેની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપદી વિતરણ માટે,$P(X = 0) = {}^nC_0 p^0 q^n = q^n$,જ્યાં $q = 1 - p = 1 - 1/4 = 3/4$.
આપણને આપેલ છે કે $P(X \geq 1) \geq 9/10$,જેનો અર્થ છે કે $1 - (3/4)^n \geq 9/10$.
અસમતાને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $1 - 9/10 \geq (3/4)^n$ મળે છે,તેથી $(3/4)^n \leq 1/10$.
બંને બાજુ $10$ ના આધાર સાથે લઘુગણક લેતા,આપણને $n \log_{10}(3/4) \leq \log_{10}(1/10)$ મળે છે.
કારણ કે $\log_{10}(1/10) = -1$,તેથી $n(\log_{10} 3 - \log_{10} 4) \leq -1$.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતાની નિશાની બદલાશે: $n(\log_{10} 4 - \log_{10} 3) \geq 1$.
આમ,$n \geq \frac{1}{\log_{10} 4 - \log_{10} 3}$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = 6$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq = 2$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,$\frac{npq}{np} = \frac{2}{6}$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $q = \frac{1}{3}$ થાય છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ મળે.
$np = 6$ માં $p = \frac{2}{3}$ મૂકતા,$n(\frac{2}{3}) = 6$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 6 \times \frac{3}{2} = 9$.
આમ,દ્વિપદી વિતરણ $(q + p)^n$ એટલે કે $(\frac{1}{3} + \frac{2}{3})^9$ છે.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $E(X) = np = 2$ અને વિચરણ $Var(X) = npq = 1$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ની કિંમત $np = 2$ માં મૂકતા,$n(\frac{1}{2}) = 2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 4$.
સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ દ્વારા મળે છે.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$ મળે.
તેથી,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

(A) ધારો કે $p$ એ દવા દ્વારા વ્યક્તિ સાજી થવાની સંભાવના છે. આપેલ છે કે $p = 75\% = 0.75 = 3/4$.
ધારો કે $n = 3$ એ વ્યક્તિઓની સંખ્યા છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,ત્રણેય વ્યક્તિઓ સાજા થવાની સંભાવના $P(X = 3) = p^3$ દ્વારા મળે છે.
$P(X = 3) = (3/4)^3 = 27/64$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે $n$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે,જ્યાં $n = 6$.
ધારો કે $X$ એ યાદચ્છિક ચલ છે જે $4$ મળવાની સંખ્યા દર્શાવે છે.
આપણે બે પાસા $6$ વાર ફેંકીએ છીએ,તેથી $4$ મળવાની મહત્તમ સંખ્યા $6$ હોઈ શકે છે.
આપણને $4$ ચોક્કસ સાત વખત મળવાની સંભાવના શોધવાનું કહેવામાં આવ્યું છે,એટલે કે $P(X = 7)$.
અહીં પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 6$ એ જરૂરી સફળતાની સંખ્યા $k = 7$ કરતા ઓછી છે,તેથી $6$ પ્રયત્નોમાં $7$ સફળતા મેળવવી અશક્ય છે.
તેથી,$P(X = 7) = 0$.
આપેલ વિકલ્પોમાં $0$ ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ (આપેલ પૈકી એક પણ નહિ) છે.

(C) જ્યારે સિક્કાને $2n$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^{2n} = 4^n$ છે.
ધારો કે $A$ એ એવી ઘટના છે કે જેમાં છાપ અને કાંટાની સંખ્યા સમાન નથી.
ધારો કે $A'$ એ એવી ઘટના છે કે જેમાં છાપ અને કાંટાની સંખ્યા સમાન છે.
$A'$ માટે,આપણી પાસે બરાબર $n$ છાપ અને $n$ કાંટા હોવા જોઈએ.
$2n$ ઉછાળમાં $n$ છાપ અને $n$ કાંટા ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા દ્વિપદી સહગુણક $\binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{n!n!} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘટના $A'$ ની સંભાવના $P(A') = \frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}} = \frac{(2n)!}{(n!)^2 \times 4^n}$ છે.
ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{(2n)!}{(n!)^2 \times 4^n}$ છે.

(B) ધારો કે $X$ એ $10$ વાર સિક્કો ઉછાળતા મળતી છાપની સંખ્યા છે.
આ દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે જ્યાં $n = 10$,$p = 1/2$,અને $q = 1 - p = 1/2$.
બરાબર $x$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X = x) = {}^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ દ્વારા મળે છે.
$x = 6$ માટે:
$P(X = 6) = {}^{10}C_{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{10-6}$
$P(X = 6) = {}^{10}C_{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{10}$
અહીં ${}^{10}C_{6} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ હોવાથી,
$P(X = 6) = \frac{210}{2^{10}} = \frac{210}{1024} = \frac{105}{512}$.

(C) પગલું $- 1$: દ્વિપદી વિતરણ માટેના પરિમાણો નક્કી કરો.
દરેક પ્રશ્નમાં $3$ વિકલ્પો છે અને $1$ સાચો જવાબ છે.
સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{3}$.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{2}{3}$.
પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 5$.
પગલું $- 2$: $4$ અથવા તેથી વધુ સાચા જવાબો માટે સંભાવનાની ગણતરી કરો.
આપણે $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ શોધવાની જરૂર છે.
દ્વિપદી સૂત્ર $P(X = k) = ^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k = 4$ માટે:
$P(X = 4) = ^5C_4 \cdot (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^1 = 5 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3^5}$.
$k = 5$ માટે:
$P(X = 5) = ^5C_5 \cdot (\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^0 = 1 \cdot \frac{1}{3^5} \cdot 1 = \frac{1}{3^5}$.
પગલું $- 3$: સંભાવનાઓનો સરવાળો કરો.
$P(X \ge 4) = \frac{10}{3^5} + \frac{1}{3^5} = \frac{11}{3^5}$.
આમ,સંભાવના $\frac{11}{3^5}$ છે.

(C) ધારો કે પક્ષીને મારવાની સંભાવના $p = 3/4$ છે.
તેથી,પક્ષીને ન મારવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - 3/4 = 1/4$ થાય.
વ્યક્તિ $n = 5$ વાર પ્રયત્ન કરે છે.
$5$ પ્રયત્નોમાં એક પણ વાર પક્ષીને ન મારવાની સંભાવના $q^n$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $(1/4)^5 = 1/1024$ થાય.

(A) ધારો કે $X$ એ $5$ સ્વતંત્ર બર્નેલી પ્રયત્નોમાં સફળતાની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 5$.
સફળતાની સંભાવના $p$ છે અને નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક નિષ્ફળતાની સંભાવના $P(X < 5) = 1 - P(X = 5)$ છે.
$P(X = 5) = p^5$ હોવાથી,ઓછામાં ઓછી એક નિષ્ફળતાની સંભાવના $1 - p^5$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે $1 - p^5 \ge 31/32$.
અસમતાને ફરીથી ગોઠવતા: $1 - 31/32 \ge p^5$,જેનું સાદું રૂપ $1/32 \ge p^5$ થાય.
બંને બાજુ પાંચમું મૂળ લેતા: $(1/2)^5 \ge p^5$,જેનો અર્થ છે કે $p \le 1/2$.
$p$ એ સંભાવના હોવાથી,$p \ge 0$.
તેથી,$p \in [0, 1/2]$.

(D) $n=8$ સિક્કા ઉછાળતા $x$ હેડ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P(X=x) = {^nC_x} (p)^x (q)^{n-x}$,જ્યાં $p = 1/2$ અને $q = 1/2$.
ઓછામાં ઓછા $6$ હેડ માટે,આપણે $P(X \ge 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)$ ની ગણતરી કરવી પડશે.
$P(X=6) = {^8C_6} (1/2)^8 = 28 \times (1/256) = 28/256$.
$P(X=7) = {^8C_7} (1/2)^8 = 8 \times (1/256) = 8/256$.
$P(X=8) = {^8C_8} (1/2)^8 = 1 \times (1/256) = 1/256$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \ge 6) = (28 + 8 + 1) / 256 = 37/256$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 4$ અને વિચરણ $npq = 2$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 4$ માં મૂકતા,$n \times \frac{1}{2} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $n = 8$.
દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ છે.
$X = 2$ માટે,$P(X = 2) = \binom{8}{2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^{8-2} = \binom{8}{2} (\frac{1}{2})^8$.
સંચયની ગણતરી કરતા,$\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
આમ,$P(X = 2) = 28 \times \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$.

(D) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 7$ (પ્રયત્નોની સંખ્યા),$k = 4$ (સફળતાની સંખ્યા),$p = \frac{1}{6}$ (એક વાર પાસો ફેંકતા $5$ મળવાની સંભાવના),અને $q = 1 - p = \frac{5}{6}$ ($5$ ન મળવાની સંભાવના).
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X = k) = ^n{C_k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 4) = ^7{C_4} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^4 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{7-4}$
$P(X = 4) = ^7{C_4} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^4 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^3$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $X$ એ $7$ વખત સિક્કો ઉછાળતા મળતી છાપની સંખ્યા છે. સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી,છાપ મળવાની સંભાવના $p = 1/2$ અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = 1/2$ છે.
વ્યક્તિ ત્યારે જીતે છે જ્યારે તેને કાંટા કરતા વધારે છાપ મળે. $7$ પ્રયત્નોમાં,વ્યક્તિ $4, 5, 6$ અથવા $7$ વખત છાપ મેળવે તો તે જીતે છે.
આ સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ દ્વારા મળે છે:
$P(X \ge 4) = \sum_{k=4}^{7} \binom{7}{k} (1/2)^k (1/2)^{7-k} = \frac{1}{2^7} \sum_{k=4}^{7} \binom{7}{k}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{7} \binom{7}{k} = 2^7 = 128$.
સંમિતતાના ગુણધર્મ મુજબ,$\sum_{k=0}^{3} \binom{7}{k} = \sum_{k=4}^{7} \binom{7}{k} = \frac{128}{2} = 64$.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $\frac{64}{128} = \frac{1}{2}$ થાય.

(A) ધારો કે $n = 5$ એ રમતોની સંખ્યા છે અને $p = 1/2$ એ એક રમત જીતવાની સંભાવના છે.
ભારત ઓછામાં ઓછી ત્રણ રમતો જીતે જો તેઓ $3, 4,$ અથવા $5$ રમતો જીતે.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X = k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $q = 1-p = 1/2$:
$P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$
$P(X \ge 3) = {^5C_3} (1/2)^5 + {^5C_4} (1/2)^5 + {^5C_5} (1/2)^5$
$P(X \ge 3) = (10 + 5 + 1) \times (1/2)^5$
$P(X \ge 3) = 16 \times (1/32) = 1/2$.

(D) જ્યારે બે સિક્કા ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે એક પ્રયત્નમાં હેડની સંખ્યા $0, 1,$ અથવા $2$ હોઈ શકે છે.
$5$ પ્રયત્નોમાં,કુલ ઉછાળની સંખ્યા $10$ થાય છે.
ધારો કે $X$ એ $10$ સ્વતંત્ર સિક્કાના ઉછાળમાં હેડની કુલ સંખ્યા છે.
$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 10$ અને $p = 1/2$.
આપણે $X$ અયુગ્મ હોય તેની સંભાવના શોધવી છે,એટલે કે $P(X \in \{1, 3, 5, 7, 9\})$.
$P(X \text{અયુગ્મ}) = \sum_{k \in \{1, 3, 5, 7, 9\}} \binom{10}{k} (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{10-k} = (\frac{1}{2})^{10} \sum_{k \in \{1, 3, 5, 7, 9\}} \binom{10}{k}$.
દ્વિપદી સહગુણકોના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k \text{અયુગ્મ}} \binom{n}{k} = 2^{n-1}$.
અહીં,$n = 10$ છે,તેથી સરવાળો $2^{10-1} = 2^9$ થાય.
તેથી,$P(X\text{અયુગ્મ}) = \frac{2^9}{2^{10}} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે પાસા પર મળતો અંક $X$ છે.
શરત મુજબ અંક $2$ થી $5$ ની વચ્ચે (સહિત) હોવો જોઈએ.
સાધ્ય પરિણામો $\{2, 3, 4, 5\}$ છે,જેની સંખ્યા $4$ છે.
પાસા પરના કુલ પરિણામો $6$ છે.
એક પ્રયત્નમાં સફળતાની સંભાવના $p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ છે.
$4$ વખત ઉછાળતા,દ્વિપદી વિતરણ મુજબ $n=4$ અને $k=4$ લેતા:
માંગેલ સંભાવના $= \binom{4}{4} \left(\frac{2}{3}\right)^4 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = \frac{16}{81}$.

(D) ધારો કે સિક્કો $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. ધારો કે $X$ એ મળતી છાપની સંખ્યા છે.
$X$ એ $n$ અને $p = 1/2$ પ્રાચલો ધરાવતા દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $P(X \geqslant 1) \geqslant 0.8$.
આ $1 - P(X = 0) \geqslant 0.8$ ને સમાન છે.
$1 - (1/2)^n \geqslant 0.8$.
$(1/2)^n \leqslant 0.2$.
$(1/2)^n \leqslant 1/5$.
$2^n \geqslant 5$.
$n = 1$ માટે,$2^1 = 2 < 5$.
$n = 2$ માટે,$2^2 = 4 < 5$.
$n = 3$ માટે,$2^3 = 8 \geqslant 5$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.

(D) અહીં સફળતાની સંભાવના $p = 3/4$,નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1/4$ અને પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
ઓછામાં ઓછી $3$ વાર નિશાન સાધવાની સંભાવના $P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ થાય.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=3) = \binom{5}{3} (3/4)^3 (1/4)^2 = 270/1024$.
$P(X=4) = \binom{5}{4} (3/4)^4 (1/4)^1 = 405/1024$.
$P(X=5) = \binom{5}{5} (3/4)^5 (1/4)^0 = 243/1024$.
કુલ સંભાવના: $P(X \ge 3) = (270 + 405 + 243) / 1024 = 918 / 1024 = 459 / 512$.

(D) એક સમતોલ પાસા માટે,અયુગ્મ સંખ્યા મળવાની સંભાવના (સફળતા) $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Variance} = npq$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Variance} = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.

(D) પાસાને એકવાર ઉછાળતા એકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
અહીં પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ માટે,વિચરણનું સૂત્ર $\text{Var}(X) = npq$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\text{Var}(X) = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.

(A) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ દ્વારા અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $np = 6$ અને $npq = 4$.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{npq}{np} = \frac{4}{6}$
$q = \frac{2}{3}$
કારણ કે $p + q = 1$,તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$p$ ની કિંમતને મધ્યકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$np = 6$
$n \times \frac{1}{3} = 6$
$n = 6 \times 3 = 18$.
તેથી,$n$ ની કિંમત $18$ છે.

(C) બંને પાસા પર સમાન અંકો મળે તેની સંભાવના $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ છે.
અહીં દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = r) = ^nC_r p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 4$,$r = 2$,$p = \frac{1}{6}$ અને $q = 1 - p = \frac{5}{6}$ છે.
માટે માંગેલ સંભાવના $P(X = 2) = ^4C_2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{2} = 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} = \frac{25}{216}$.

(A) જ્યારે સિક્કો $4$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામો $2^4 = 16$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઓછામાં ઓછી $1$ વખત કાંટો આવવાની ઘટના છે.
તેની પૂરક ઘટના $E'$ એ છે કે એક પણ વખત કાંટો ન આવે (એટલે કે બધી વખત છાપ આવે).
$E'$ માટેના પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે (જે $HHHH$ છે).
તેથી,એક પણ વખત કાંટો ન આવવાની સંભાવના $P(E') = \frac{1}{16}$ છે.
ઓછામાં ઓછી $1$ વખત કાંટો આવવાની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ થાય.

(C) અને $B$ સમાન કૌશલ્ય ધરાવતા હોવાથી,$A$ એક રમત જીતે તેની સંભાવના $p = 1/2$ છે.
$n = 4$ રમતોમાંથી $A$ બરાબર $k = 3$ રમતો જીતે તેની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર મુજબ:
$P(X = k) = { }^n C_k p^k (1-p)^{n-k}$
કિંમતો મૂકતા:
$P(X = 3) = { }^4 C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(1-\frac{1}{2}\right)^{4-3}$
$P(X = 3) = 4 \times \left(\frac{1}{8}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right)$
$P(X = 3) = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$

(A) ધારો કે $n = 5$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે અને $X$ એ યુગ્મ સંખ્યા મળે તે ઘટના છે.
એક પાસાને ફેંકતા યુગ્મ સંખ્યા મળવાની સંભાવના $p = 3/6 = 1/2$ છે.
યુગ્મ સંખ્યા ન મળે તેની સંભાવના $q = 1 - p = 1/2$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $P(X = 3)$ શોધવાનું છે:
$P(X = 3) = \binom{5}{3} \times (1/2)^3 \times (1/2)^{5-3}$
$P(X = 3) = 10 \times (1/8) \times (1/4)$
$P(X = 3) = 10/32 = 5/16$.

(A) ધારો કે $p$ એ વિદ્યાર્થી તરવૈયો હોય તેની સંભાવના છે અને $q$ એ વિદ્યાર્થી તરવૈયો ન હોય તેની સંભાવના છે.
આપેલ છે $q = 1/5$,તેથી $p = 1 - 1/5 = 4/5$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = ^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 5$ અને $k = 4$:
$P(X = 4) = ^5C_4 \left( \frac{4}{5} \right)^4 \left( \frac{1}{5} \right)^{5-4}$
$P(X = 4) = ^5C_4 \left( \frac{4}{5} \right)^4 \left( \frac{1}{5} \right)$

(B) પાસાની એક જોડી ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
$9$ નો સ્કોર મેળવવા માટે,શક્ય પરિણામો $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
એક પ્રયત્નમાં $9$ નો સ્કોર મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ છે.
$9$ નો સ્કોર ન મેળવવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = nC_k \times p^k \times q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 3$ અને $k = 2$:
$P(X = 2) = 3C_2 \times (\frac{1}{9})^2 \times (\frac{8}{9})^{3-2}$
$= 3 \times \frac{1}{81} \times \frac{8}{9}$
$= \frac{24}{729} = \frac{8}{243}$.

(A) ઓછામાં ઓછી એક સફળતાની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માં,$P(X = 0) = q^n$,જ્યાં $q = 1 - p$.
અહીં $p = \frac{1}{4}$ આપેલ છે,તેથી $q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
શરત મુજબ $1 - (\frac{3}{4})^n \geq \frac{9}{10}$.
અસમતાને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $1 - \frac{9}{10} \geq (\frac{3}{4})^n$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{10} \geq (\frac{3}{4})^n$ થાય છે.
બંને બાજુ આધાર $10$ સાથે લઘુગણક લેતા: $\log_{10}(\frac{1}{10}) \geq \log_{10}((\frac{3}{4})^n)$.
$-1 \geq n(\log_{10} 3 - \log_{10} 4)$.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતાની નિશાની બદલાશે: $1 \leq n(\log_{10} 4 - \log_{10} 3)$.
તેથી,$n \geq \frac{1}{\log_{10} 4 - \log_{10} 3}$.

(B) ધારો કે $X$ એ $5$ સ્વતંત્ર બર્નુલી પ્રયત્નોમાં સફળતાની સંખ્યા છે. સફળતાની સંભાવના $p$ છે અને નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક નિષ્ફળતાની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈ નિષ્ફળતા નહીં}) = 1 - P(X = 5)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રયત્નો સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(X = 5) = p^5$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,ઓછામાં ઓછી એક નિષ્ફળતાની સંભાવના $\frac{31}{32}$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી છે:
$1 - p^5 \geq \frac{31}{32}$
અસમતાને ફરીથી ગોઠવતા:
$1 - \frac{31}{32} \geq p^5$
$\frac{1}{32} \geq p^5$
બંને બાજુ પાંચમું મૂળ લેતા:
$p \leq (\frac{1}{32})^{1/5}$
$p \leq \frac{1}{2}$
$p$ એ સંભાવના હોવાથી,$p \geq 0$ થાય. તેથી,$p \in [0, \frac{1}{2}]$.

(C) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 5$,$p = \frac{1}{3}$ (સફળતાની સંભાવના),અને $q = \frac{2}{3}$ (નિષ્ફળતાની સંભાવના).
આપણે $4$ કે તેથી વધુ સાચા જવાબો મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ છે.
સૂત્ર $P(X = k) = {^nC_k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 4) = {^5C_4} \cdot (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^1 = 5 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3^5}$.
$P(X = 5) = {^5C_5} \cdot (\frac{1}{3})^5 \cdot (\frac{2}{3})^0 = 1 \cdot \frac{1}{243} \cdot 1 = \frac{1}{3^5}$.
કુલ સંભાવના = $\frac{10}{3^5} + \frac{1}{3^5} = \frac{11}{3^5}$.

(B) દરેક બોક્સમાં દડા આવવાની સંભાવના $p = \frac{1}{3}$ છે.
બાયનોમિયલ વિતરણ મુજબ,કોઈ એક ચોક્કસ બોક્સમાં $3$ દડા હોવાની સંભાવના $P(X = 3) = \binom{12}{3} \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^9$ છે.
ગણતરી કરતા: $P = 220 \times \frac{1}{27} \times \left(\frac{2}{3}\right)^9 = \frac{220}{27} \times \left(\frac{2}{3}\right)^9$.
આને સાદું રૂપ આપતા: $P = \frac{55}{3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^9 = \frac{55}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{11}$.

(B) આ પ્રશ્ન દ્વિપદી સંભાવના વિતરણને અનુસરે છે કારણ કે દડાને પુરવણી સહિત પસંદ કરવામાં આવે છે,જે દરેક પ્રયત્નને સ્વતંત્ર બનાવે છે.
અહીં,કુલ પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 10$ છે.
એક પ્રયત્નમાં લીલો દડો પસંદ થવાની સંભાવના $p = \frac{15}{15 + 10} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ છે.
લીલો દડો પસંદ ન થવાની (પીળો દડો પસંદ થવાની) સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Variance} = npq$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Variance} = 10 \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = 10 \times \frac{6}{25} = \frac{60}{25} = \frac{12}{5}$.