Properties of ITF Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $x^2 = \cos 2\theta$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x^2$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan^{-1} \left[ \frac{\sqrt{1+\cos 2\theta} + \sqrt{1-\cos 2\theta}}{\sqrt{1+\cos 2\theta} - \sqrt{1-\cos 2\theta}} \right]$
નિત્યસમ $1+\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta$ અને $1-\cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan^{-1} \left[ \frac{\sqrt{2}\cos \theta + \sqrt{2}\sin \theta}{\sqrt{2}\cos \theta - \sqrt{2}\sin \theta} \right]$
અંશ અને છેદને $\sqrt{2}\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$= \tan^{-1} \left[ \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} \right]$
સૂત્ર $\tan(\frac{\pi}{4} + \theta) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} + \tan \theta}{1 - \tan \frac{\pi}{4} \tan \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan^{-1} \left[ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \theta \right) \right] = \frac{\pi}{4} + \theta$
$\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} x^2$ પાછું મૂકતા:
$= \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cos^{-1} x^2$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin^{-1}x - \cos^{-1}x = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $\sin^{-1}x - \cos^{-1}x = \frac{\pi}{6}$.
આપણે નિત્યસમ પણ જાણીએ છીએ: $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(\sin^{-1}x - \cos^{-1}x) + (\sin^{-1}x + \cos^{-1}x) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}$.
$2\sin^{-1}x = \frac{\pi + 3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.
$\sin^{-1}x = \frac{\pi}{3}$.
$x = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,આપણને $x$ ની એક જ કિંમત મળે છે,તેથી આ સમીકરણનો ઉકેલ અનન્ય છે.

(A) આપેલ છે કે $\sum\limits_{m = 1}^n {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{2m}}{{{m^4} + {m^2} + 2}}} \right)} $
$= \sum\limits_{m = 1}^n {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{2m}}{{1 + ({m^2} + m + 1)({m^2} - m + 1)}}} \right)} $
$= \sum\limits_{m = 1}^n {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{({m^2} + m + 1) - ({m^2} - m + 1)}}{{1 + ({m^2} + m + 1)({m^2} - m + 1)}}} \right)} $
$= \sum\limits_{m = 1}^n {[{{\tan }^{ - 1}}({m^2} + m + 1) - {{\tan ^{ - 1}}({m^2} - m + 1)]} }$
$= ({\tan ^{ - 1}}3 - {\tan ^{ - 1}}1) + ({\tan ^{ - 1}}7 - {\tan ^{ - 1}}3) + ({\tan ^{ - 1}}13 - {\tan ^{ - 1}}7) + \dots + [{\tan ^{ - 1}}({n^2} + n + 1) - {\tan ^{ - 1}}({n^2} - n + 1)]$
$= {\tan ^{ - 1}}({n^2} + n + 1) - {\tan ^{ - 1}}1$
$= {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{({n^2} + n + 1) - 1}}{{1 + ({n^2} + n + 1)(1)}}} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{{n^2} + n}}{{{n^2} + n + 2}}} \right)$.

(A) આપેલ સમીકરણ $2\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{11\pi}{6}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in [-1, 1]$ માટે $\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આપેલ સમીકરણને ફરીથી લખતા: $\cos^{-1}x + (\cos^{-1}x + \sin^{-1}x) = \frac{11\pi}{6}$.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos^{-1}x + \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi}{6}$.
$\cos^{-1}x$ માટે ઉકેલતા: $\cos^{-1}x = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi - 3\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$.
$\cos^{-1}x$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે,અને $\frac{4\pi}{3} > \pi$ હોવાથી,$x$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જે આ સમીકરણનું સમાધાન કરે.
તેથી,આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y + \tan^{-1}z = \pi$.
ત્રણ ઇન્વર્સ ટેન્જેન્ટના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\tan^{-1}\left( \frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-zx} \right) = \pi$.
બંને બાજુ ટેન્જેન્ટ લેતા: $\frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-zx} = \tan(\pi)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(\pi) = 0$,તેથી: $\frac{x+y+z-xyz}{1-xy-yz-zx} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે અંશ શૂન્ય હોવો જોઈએ: $x+y+z-xyz = 0$.
તેથી: $x+y+z = xyz$.

(A) આપણે સૂત્ર $2{\tan ^{ - 1}}x = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $x = \sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \tan \frac{\theta }{2}$.
તેથી $2{\tan ^{ - 1}}\left[ {\sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \tan \frac{\theta }{2}} \right] = {\cos ^{ - 1}}\left[ {\frac{{1 - \left( {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \right){{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}{{1 + \left( {\frac{{a - b}}{{a + b}}} \right){{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}} \right]$
$= {\cos ^{ - 1}}\left[ {\frac{{(a + b) - (a - b){{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}{{(a + b) + (a - b){{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}} \right]$
$= {\cos ^{ - 1}}\left[ {\frac{{a(1 - {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}) + b(1 + {{\tan }^2}\frac{\theta }{2})}}{{a(1 + {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}) + b(1 - {{\tan }^2}\frac{\theta }{2})}}} \right]$
અંશ અને છેદને $(1 + {\tan ^2}\frac{\theta }{2})$ વડે ભાગતા:
$= {\cos ^{ - 1}}\left[ {\frac{{a\left( {\frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}} \right) + b}}{{a + b\left( {\frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}} \right)}}} \right]$
નિત્યસમ $\cos \theta = \frac{{1 - {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{\theta }{2}}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{{a\cos \theta + b}}{{a + b\cos \theta }}} \right)$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $2 \tan^{-1}(\cos x) = \tan^{-1}(\csc^2 x)$.
સૂત્ર $2 \tan^{-1}(\theta) = \tan^{-1}\left(\frac{2\theta}{1-\theta^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{2 \cos x}{1 - \cos^2 x}\right) = \tan^{-1}(\csc^2 x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$,તેથી:
$\frac{2 \cos x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x}$.
જો $\sin^2 x \neq 0$ હોય,તો બંને બાજુથી $\sin^2 x$ ને દૂર કરતા:
$2 \cos x = 1$.
$\cos x = \frac{1}{2}$.
આમ,$x = \frac{\pi}{3}$.

(C) ધારો કે $x = \sin A$ અને $\sqrt{x} = \sin B$.
તેથી $A = \sin^{-1} x$ અને $B = \sin^{-1} \sqrt{x}$ થાય.
પદાવલિ $y = \sin^{-1}(\sin A \cos B + \sin B \cos A)$ બને છે.
નિત્યસમ $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $y = \sin^{-1}(\sin(A + B)) = A + B$ મળે છે.
કિંમત પાછી મૂકતા,$y = \sin^{-1} x + \sin^{-1} \sqrt{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) + \frac{d}{dx}(\sin^{-1} \sqrt{x})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x - x^2}}$.

(C) આપેલ છે કે $y = \tan^{-1} \left( \frac{4x}{1 + 5x^2} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{2 + 3x}{3 - 2x} \right)$.
પ્રથમ પદને સરળ બનાવતા: $\tan^{-1} \left( \frac{5x - x}{1 + 5x \cdot x} \right) = \tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x)$.
બીજા પદને સરળ બનાવતા: $\tan^{-1} \left( \frac{\frac{2}{3} + x}{1 - \frac{2}{3} \cdot x} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{2}{3} \right) + \tan^{-1}(x)$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$y = \tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x) + \tan^{-1} \left( \frac{2}{3} \right) + \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}(5x) + \tan^{-1} \left( \frac{2}{3} \right)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [\tan^{-1}(5x)] + \frac{d}{dx} [\tan^{-1} \left( \frac{2}{3} \right)]$.
$\tan^{-1} \left( \frac{2}{3} \right)$ એ અચળ હોવાથી,તેનું વિકલન $0$ થાય છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (5x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(5x) = \frac{5}{1 + 25x^2}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $y = \sec^{-1}\left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \right) + \sin^{-1}\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^{-1}(z) = \cos^{-1}\left( \frac{1}{z} \right)$.
તેથી,$\sec^{-1}\left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \right) = \cos^{-1}\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \right)$.
આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \cos^{-1}\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \right) + \sin^{-1}\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \right)$
નિત્યસમ $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$y = \frac{\pi}{2}$
અહીં $\frac{\pi}{2}$ એ અચળ પદ હોવાથી,તેનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન:
$\frac{dy}{dx} = 0$

(A) ધારો કે $y = \sin^{-1}(3x - 4x^3)$.
$x = \sin \theta$ આદેશ લેતા,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sin^{-1} x$.
તેથી,$y = \sin^{-1}(3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $y = \sin^{-1}(\sin 3\theta) = 3\theta$ મળે છે.
$\theta = \sin^{-1} x$ પાછું મૂકતા,આપણને $y = 3 \sin^{-1} x$ મળે છે.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{3}{\sqrt{1 - x^2}}$.

(A) આપેલ છે $y = \tan^{-1} \left( \frac{x^{1/3} + a^{1/3}}{1 - x^{1/3}a^{1/3}} \right)$.
સૂત્ર $\tan^{-1} \left( \frac{u + v}{1 - uv} \right) = \tan^{-1} u + \tan^{-1} v$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$y = \tan^{-1}(x^{1/3}) + \tan^{-1}(a^{1/3})$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [\tan^{-1}(x^{1/3})] + \frac{d}{dx} [\tan^{-1}(a^{1/3})]$.
અહીં $a$ અચળ હોવાથી,$\frac{d}{dx} [\tan^{-1}(a^{1/3})] = 0$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{d}{dx} [\tan^{-1}(x^{1/3})] = \frac{1}{1 + (x^{1/3})^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^{1/3})$.
$= \frac{1}{1 + x^{2/3}} \cdot \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}(1 + x^{2/3})}$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3x^{2/3}(1 + x^{2/3})}$.

(B) આપેલ છે કે $y = \cot^{-1} \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1 + x}{1 - x} = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x \right)$.
તેથી,$y = \cot^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x \right) \right)$.
$\cot^{-1} \theta = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x \right) \right)$.
$y = \frac{\pi}{2} - \left( \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x \right) = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} - \tan^{-1} x \right) = 0 - \frac{1}{1 + x^2} = -\frac{1}{1 + x^2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \cos x = 2 \cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\cos^{-1} \sqrt{\frac{2 \cos^2 (x/2)}{2}} = \cos^{-1} \sqrt{\cos^2 (x/2)} = \cos^{-1} \left( \cos \frac{x}{2} \right)$.
મુખ્ય કિંમતની શાખાને ધ્યાનમાં લેતા,$\cos^{-1} (\cos \theta) = \theta$.
આમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ $\frac{x}{2}$ થાય છે.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \right) = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $y = \tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{a} - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{a}\sqrt{x}} \right)$.
સૂત્ર $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left( \frac{A - B}{1 + AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ:
$y = \tan^{-1}(\sqrt{a}) - \tan^{-1}(\sqrt{x})$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(\sqrt{a})) - \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(\sqrt{x}))$.
અહીં $\sqrt{a}$ અચળ હોવાથી તેનું વિકલન $0$ થાય છે.
$\tan^{-1}(\sqrt{x})$ માટે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$.
$\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{2(1 + x)\sqrt{x}}$.

(A) આપેલ છે કે $y = \sec^{-1}\left( \frac{x + 1}{x - 1} \right) + \sin^{-1}\left( \frac{x - 1}{x + 1} \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^{-1}(z) = \cos^{-1}\left( \frac{1}{z} \right)$.
તેથી,$\sec^{-1}\left( \frac{x + 1}{x - 1} \right) = \cos^{-1}\left( \frac{x - 1}{x + 1} \right)$.
આ કિંમત $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \cos^{-1}\left( \frac{x - 1}{x + 1} \right) + \sin^{-1}\left( \frac{x - 1}{x + 1} \right)$.
નિત્યસમ $\sin^{-1}(u) + \cos^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$y = \frac{\pi}{2}$.
અહીં $y$ એ અચળ હોવાથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં તેનું વિકલન:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in (0, \pi)$ માટે $\tan^{-1}(\cot x) = \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{2} - x)) = \frac{\pi}{2} - x$ થાય છે.
તે જ રીતે,$x \in (0, \pi)$ માટે $\cot^{-1}(\tan x) = \cot^{-1}(\cot(\frac{\pi}{2} - x)) = \frac{\pi}{2} - x$ થાય છે.
તેથી,પદાવલિ $\frac{d}{dx}[(\frac{\pi}{2} - x) + (\frac{\pi}{2} - x)]$ બને છે.
$= \frac{d}{dx}[\pi - 2x]$.
$= 0 - 2 = -2$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ થાય,જ્યાં $\theta \in [-1, 1]$.
આપેલ છે કે $y = \sin^{-1}\left(\frac{19}{20}x\right) + \cos^{-1}\left(\frac{19}{20}x\right)$.
$\theta = \frac{19}{20}x$ લેતા,આપણને $y = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{\pi}{2}$ એ અચળ પદ છે,તેથી તેનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન $0$ થાય.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = 0$.

(B) આપેલ છે કે $y = \tan^{-1}\sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$ અને $1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1}\sqrt{\frac{2\cos^2(x/2)}{2\sin^2(x/2)}}$
$y = \tan^{-1}\sqrt{\cot^2(x/2)}$
$y = \tan^{-1}(\cot(x/2))$
કારણ કે $\cot(x/2) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2})$,તેથી:
$y = \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}))$
$y = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2}) - \frac{d}{dx}(\frac{x}{2})$
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $y = \cot^{-1} \left[ \frac{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}} \right]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \sin x = (\cos(x/2) + \sin(x/2))^2$ અને $1 - \sin x = (\cos(x/2) - \sin(x/2))^2$.
આ કિંમતો મૂકતા,$y = \cot^{-1} \left[ \frac{(\cos(x/2) + \sin(x/2)) + (\cos(x/2) - \sin(x/2))}{(\cos(x/2) + \sin(x/2)) - (\cos(x/2) - \sin(x/2))} \right]$.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા: $y = \cot^{-1} \left[ \frac{2\cos(x/2)}{2\sin(x/2)} \right] = \cot^{-1} [\cot(x/2)]$.
આમ,$y = x/2$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $y = \tan^{-1} \left( \frac{a - x}{1 + ax} \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan^{-1} \left( \frac{A - B}{1 + AB} \right) = \tan^{-1} A - \tan^{-1} B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$y = \tan^{-1} a - \tan^{-1} x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan^{-1} a) - \frac{d}{dx} (\tan^{-1} x)$.
અહીં $\tan^{-1} a$ અચળ હોવાથી તેનું વિકલન $0$ થાય છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{1 + x^2} = -\frac{1}{1 + x^2}$.

(C) આપેલ છે કે $y = \cos^{-1}\left( \frac{3}{5}\cos x + \frac{4}{5}\sin x \right)$.
ધારો કે $\frac{3}{5} = \sin \alpha$ અને $\frac{4}{5} = \cos \alpha$,જ્યાં $\alpha = \sin^{-1}\left( \frac{3}{5} \right)$.
તેથી $y = \cos^{-1}(\sin \alpha \cos x + \cos \alpha \sin x)$.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $y = \cos^{-1}(\sin(x+\alpha))$.
કારણ કે $\cos^{-1}(\sin \theta) = \frac{\pi}{2} - \theta$,તેથી $y = \frac{\pi}{2} - (x+\alpha) = \frac{\pi}{2} - x - \alpha$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2} - x - \alpha) = 0 - 1 - 0 = -1$.

(C) ધારો કે $y = \cos^{-1} \left( \frac{x - \frac{1}{x}}{x + \frac{1}{x}} \right) = \cos^{-1} \left( \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \right)$.
$x = \cot \theta$ આદેશ લેતા,$x^2 = \cot^2 \theta$ મળે.
$y = \cos^{-1} \left( \frac{\cot^2 \theta - 1}{\cot^2 \theta + 1} \right) = \cos^{-1} \left( - \frac{1 - \cot^2 \theta}{1 + \cot^2 \theta} \right) = \cos^{-1} (- \cos 2\theta)$.
નિત્યસમ $\cos^{-1}(-z) = \pi - \cos^{-1}(z)$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \pi - \cos^{-1}(\cos 2\theta) = \pi - 2\theta$.
$x = \cot \theta$ હોવાથી,$\theta = \cot^{-1} x$.
તેથી,$y = \pi - 2 \cot^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 0 - 2 \left( - \frac{1}{1 + x^2} \right) = \frac{2}{1 + x^2}$.

(A) ધારો કે $y = \cos^{-1} \left( \sqrt{\frac{1+x}{2}} \right)$.
$x = \cos(2\theta)$ આદેશ લેતા,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x)$.
તેથી,$\sqrt{\frac{1+x}{2}} = \sqrt{\frac{1+\cos(2\theta)}{2}} = \sqrt{\frac{2\cos^2(\theta)}{2}} = \cos(\theta)$.
આમ,$y = \cos^{-1}(\cos(\theta)) = \theta$.
$\theta$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને $y = \frac{1}{2} \cos^{-1}(x)$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = -\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$.

(C) ધારો કે $x = \cos \theta$. તેથી $\theta = \cos^{-1} x$.
નિત્યસમ $1 + \cos \theta = 2\cos^2(\frac{\theta}{2})$ અને $1 - \cos \theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \sin^{-1} \left[ \frac{\sqrt{2}\cos(\frac{\theta}{2}) + \sqrt{2}\sin(\frac{\theta}{2})}{2} \right]$
$y = \sin^{-1} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\frac{\theta}{2}) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\frac{\theta}{2}) \right]$
કારણ કે $\sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,આપણે લખી શકીએ:
$y = \sin^{-1} \left[ \sin(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\theta}{2}) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\theta}{2}) \right]$
$y = \sin^{-1} \left[ \sin(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}) \right]$
$y = \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}$
$\theta = \cos^{-1} x$ મૂકતા:
$y = \frac{1}{2}\cos^{-1} x + \frac{\pi}{4}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = -\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}$.

(A) ધારો કે ${y_1} = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{{2x}}{{1 - {x^2}}} \right)$ અને ${y_2} = {\sin ^{ - 1}}\left( \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}} \right)$.
$x = \tan \theta$ આદેશ લેતા,જ્યાં $\theta = {\tan ^{ - 1}}x$.
તેથી,${y_1} = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} \right) = {\tan ^{ - 1}}(\tan 2\theta) = 2\theta = 2{\tan ^{ - 1}}x$.
તે જ રીતે,${y_2} = {\sin ^{ - 1}}\left( \frac{{2\tan \theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }} \right) = {\sin ^{ - 1}}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2{\tan ^{ - 1}}x$.
હવે,આપણે વિકલન $\frac{{d{y_1}}}{{d{y_2}}}$ શોધવાનું છે.
કારણ કે ${y_1} = 2{\tan ^{ - 1}}x$ અને ${y_2} = 2{\tan ^{ - 1}}x$,તેથી ${y_1} = {y_2}$ થાય.
તેથી,$\frac{{d{y_1}}}{{d{y_2}}} = \frac{d}{{d{y_2}}}({y_2}) = 1$.

(B) આપણી પાસે $y = \tan^{-1}\left( \frac{\log e - \log x^2}{\log e + \log x^2} \right) + \tan^{-1}\left( \frac{3 + 2\log x}{1 - 6\log x} \right)$ છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\log e = 1$ અને $\log x^2 = 2\log x$,તેથી:
$y = \tan^{-1}\left( \frac{1 - 2\log x}{1 + 2\log x} \right) + \tan^{-1}\left( \frac{3 + 2\log x}{1 - 6\log x} \right)$.
$\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$y = (\tan^{-1} 1 - \tan^{-1}(2\log x)) + (\tan^{-1} 3 + \tan^{-1}(2\log x))$.
પદને સરળ બનાવતા:
$y = \tan^{-1} 1 + \tan^{-1} 3$.
અહીં $y$ એક અચળ પદ છે,તેથી $x$ ની સાપેક્ષમાં તેનું વિકલન શૂન્ય થાય:
$\frac{dy}{dx} = 0$.
પરિણામે,કોઈપણ $n \ge 1$ માટે,$n$-મું વિકલન:
$\frac{d^n y}{dx^n} = 0$ થશે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) + \csc ^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\csc ^{-1}(z) = \sin ^{-1}\left(\frac{1}{z}\right)$. તેથી,$\csc ^{-1}\left(\frac{5}{4}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \frac{\pi}{2}$
પદોને ગોઠવતા: $\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$
નિત્યસમ $\sin ^{-1}(y) + \cos ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે કે $\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$.
તેથી,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$.
$x$ શોધવા માટે,$\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ ને $\sin ^{-1}$ માં ફેરવો. કારણ કે $\cos \theta = \frac{4}{5}$,સામેની બાજુ $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ થાય,તેથી $\sin \theta = \frac{3}{5}$.
આમ,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{5}\right) = \sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$.
સરખામણી કરતા,$\frac{x}{5} = \frac{3}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right)$.
અહીં $|x| < \frac{1}{\sqrt{3}}$ હોવાથી,સૂત્ર $\tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right) = 2 \tan ^{-1} x$ ની શરત સંતોષાય છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} x + 2 \tan ^{-1} x$
$\tan ^{-1} y = 3 \tan ^{-1} x$
નિત્યસમ $3 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $|x| < \frac{1}{\sqrt{3}}$:
$\tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} \right)$
તેથી,$y = \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}$.

(B) આપણને $x \ge 0$ માટે પદાવલિ $\theta = \sin^{-1}x + \cos^{-1}x - \tan^{-1}x$ આપેલ છે.
નિત્યસમ $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ ($x \in [-1, 1]$ માટે) નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$\theta = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}x$.
કારણ કે $x \ge 0$,$\tan^{-1}x$ નો વિસ્તાર $0 \le \tan^{-1}x < \frac{\pi}{2}$ છે.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $-\frac{\pi}{2} < -\tan^{-1}x \le 0$ મળે છે.
બધા ભાગમાં $\frac{\pi}{2}$ ઉમેરતા,આપણને $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}x \le \frac{\pi}{2} - 0$ મળે છે.
આમ,$0 < \theta \le \frac{\pi}{2}$.
તેથી,સાચો અંતરાલ $0 < \theta \le \frac{\pi}{2}$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} \theta$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
ત્રણ પદોનો સરવાળો $\frac{3\pi}{2}$ હોવાથી,દરેક પદ તેની મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,$\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,$\sin^{-1} y = \frac{\pi}{2}$,અને $\sin^{-1} z = \frac{\pi}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,$y = 1$,અને $z = 1$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $1^{100} + 1^{100} + 1^{100} - \frac{9}{1^{101} + 1^{101} + 1^{101}}$.
$= 1 + 1 + 1 - \frac{9}{1 + 1 + 1} = 3 - \frac{9}{3} = 3 - 3 = 0$.

(D) ધારો કે $\cot ^{ - 1}(1/2) = \theta$. તેથી $\cot \theta = 1/2$.
$\cot \theta = 1/2$ હોવાથી,આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ વિચારી શકીએ જેમાં પાસેની બાજુ $1$ અને સામેની બાજુ $2$ છે.
કર્ણની લંબાઈ $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ થશે.
તેથી,$\sin \theta = 2/\sqrt{5}$.
હવે,આપેલ સમીકરણ $\tan (\cos ^{ - 1}x) = \sin \theta = 2/\sqrt{5}$ છે.
ધારો કે $\cos ^{ - 1}x = \phi$,તેથી $\cos \phi = x$.
તેથી $\tan \phi = 2/\sqrt{5}$.
એક કાટકોણ ત્રિકોણમાં જ્યાં $\tan \phi = 2/\sqrt{5}$ હોય,ત્યાં સામેની બાજુ $2$ અને પાસેની બાજુ $\sqrt{5}$ છે.
કર્ણની લંબાઈ $\sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$ થશે.
તેથી,$\cos \phi = \text{પાસેની બાજુ} / \text{કર્ણ} = \sqrt{5}/3$.
આમ,$x = \sqrt{5}/3$.

(C) આપેલ છે કે $A = \tan^{-1} 2$ અને $B = \tan^{-1} 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણ $ABC$ માં,$A + B + C = \pi$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\tan^{-1} 2 + \tan^{-1} 3 + C = \pi$.
જ્યારે $xy > 1$ હોય ત્યારે $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \pi + \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} 2 + \tan^{-1} 3 = \pi + \tan^{-1} \left( \frac{2+3}{1-2 \times 3} \right) = \pi + \tan^{-1} \left( \frac{5}{-5} \right) = \pi + \tan^{-1}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
હવે,$\frac{3\pi}{4} + C = \pi$.
તેથી,$C = \pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(A) આપણને આપેલ છે કે $\cos^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right) = \alpha$.
નિત્યસમ $\cos^{-1} A + \cos^{-1} B = \cos^{-1} \left( AB - \sqrt{1-A^2} \sqrt{1-B^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^{-1} \left[ \frac{x}{a} \cdot \frac{y}{b} - \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}} \right] = \alpha$.
બંને બાજુ $\cos$ લેતા:
$\frac{xy}{ab} - \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}} = \cos \alpha$.
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{xy}{ab} - \cos \alpha = \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\left( \frac{xy}{ab} - \cos \alpha \right)^2 = \left( 1 - \frac{x^2}{a^2} \right) \left( 1 - \frac{y^2}{b^2} \right)$.
$\frac{x^2 y^2}{a^2 b^2} - \frac{2xy}{ab} \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 - \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2 y^2}{a^2 b^2}$.
બંને બાજુથી $\frac{x^2 y^2}{a^2 b^2}$ ને દૂર કરતા:
$-\frac{2xy}{ab} \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 - \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2}$.
જરૂરી પદ મેળવવા માટે ગોઠવતા:
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{2xy}{ab} \cos \alpha + \frac{y^2}{b^2} = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.

(B) આપેલ સમીકરણ ${x^4} - {x^3}\sin 2\beta + {x^2}\cos 2\beta - x\cos \beta - \sin \beta = 0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$S_1 = \Sigma {x_1} = \sin 2\beta$
$S_2 = \Sigma {x_1}{x_2} = \cos 2\beta$
$S_3 = \Sigma {x_1}{x_2}{x_3} = \cos \beta$
$S_4 = {x_1}{x_2}{x_3}{x_4} = - \sin \beta$
આપણે જાણીએ છીએ કે ${\tan ^{ - 1}}{x_1} + {\tan ^{ - 1}}{x_2} + {\tan ^{ - 1}}{x_3} + {\tan ^{ - 1}}{x_4} = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{S_1 - S_3}}{{1 - S_2 + S_4}}} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$= {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sin 2\beta - \cos \beta }}{{1 - \cos 2\beta - \sin \beta }}} \right)$
$= {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\sin \beta \cos \beta - \cos \beta }}{{1 - (1 - 2\sin^2 \beta) - \sin \beta }}} \right)$
$= {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\cos \beta (2\sin \beta - 1)}}{{2\sin^2 \beta - \sin \beta }}} \right)$
$= {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\cos \beta (2\sin \beta - 1)}}{{\sin \beta (2\sin \beta - 1)}}} \right)$
$= {\tan ^{ - 1}}(\cot \beta ) = {\tan ^{ - 1}}\left[ {\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \beta } \right)} \right] = \frac{\pi }{2} - \beta $.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $|y| \le 1$ માટે ${\sin ^{ - 1}}y + {\cos ^{ - 1}}y = \frac{\pi }{2}$ થાય.
આપેલ સમીકરણ ${\sin ^{ - 1}}\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{4} - \dots} \right) + {\cos ^{ - 1}}\left( {{x^2} - \frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{{x^6}}}{4} - \dots} \right) = \frac{\pi }{2}$ પરથી કહી શકાય કે બંને વિધેયોના ચલ સમાન હોવા જોઈએ.
ધારો કે $y = x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{4} - \dots$. આ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = x$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -x/2$ છે. તેથી સરવાળો $\frac{x}{1 - (-x/2)} = \frac{x}{1 + x/2} = \frac{2x}{2 + x}$ થાય.
તે જ રીતે,બીજો કૌંસ $x^2 - \frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{{x^6}}}{4} - \dots$ એ $a = x^2$ અને $r = -x^2/2$ વાળી શ્રેણી છે,જેનો સરવાળો $\frac{x^2}{1 + x^2/2} = \frac{2x^2}{2 + x^2}$ થાય.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{2x}{2 + x} = \frac{2x^2}{2 + x^2}$.
$x \neq 0$ હોવાથી,$2x$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2 + x} = \frac{x}{2 + x^2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $2 + x^2 = 2x + x^2$ મળે,જે સાદું રૂપ આપતા $2 = 2x$ એટલે કે $x = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\sec^{-1} x = \csc^{-1} y$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^{-1} x = \cos^{-1} \frac{1}{x}$ અને $\csc^{-1} y = \sin^{-1} \frac{1}{y}$.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\cos^{-1} \frac{1}{x} = \sin^{-1} \frac{1}{y}$ મળે છે.
આપણે નિત્યસમ $\sin^{-1} \theta + \cos^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ જાણીએ છીએ,જેનો અર્થ છે કે $\sin^{-1} \frac{1}{y} = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \frac{1}{y}$.
આ કિંમત આપણા સમીકરણમાં મૂકતા: $\cos^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} \frac{1}{y}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\cos^{-1} \frac{1}{x} + \cos^{-1} \frac{1}{y} = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $a = \tan \theta$,$b = \tan \phi$,અને $x = \tan \psi$.
આ કિંમતોને આપેલા સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sin ^{ - 1}(\sin 2\theta) - \cos ^{ - 1}(\cos 2\phi) = \tan ^{ - 1}(\tan 2\psi)$
$2\theta - 2\phi = 2\psi$
$\theta - \phi = \psi$
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા:
$\tan(\theta - \phi) = \tan \psi$
સૂત્ર $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan \theta - \tan \phi}{1 + \tan \theta \tan \phi} = \tan \psi$
$a, b, x$ ની કિંમતો પાછી મૂકતા:
$\frac{a - b}{1 + ab} = x$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $|u| \geq 1$ માટે $\sec^{-1}(u) = \cos^{-1}(\frac{1}{u})$ થાય છે.
આપેલ છે કે $y = \sin^{-1}\left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right) + \sec^{-1}\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right)$.
નિત્યસમ $\sec^{-1}\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમત $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $y = \sin^{-1}\left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right)$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\theta| \leq 1$ માટે $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ થાય છે,અને અહીં તમામ $x$ માટે $\left|\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right| < 1$ હોવાથી,$y = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
$y$ એ અચળ હોવાથી,તેનું વિકલન $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2}) = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1}(x+2) + \tan^{-1}(x-2) = \tan^{-1}(\frac{1}{2})$
સૂત્ર $\tan^{-1}(A) + \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}(\frac{A+B}{1-AB})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}(\frac{(x+2) + (x-2)}{1 - (x+2)(x-2)}) = \tan^{-1}(\frac{1}{2})$
$\tan^{-1}$ વિધેયની અંદરની પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{2x}{1 - (x^2 - 4)} = \frac{1}{2}$
$\frac{2x}{5 - x^2} = \frac{1}{2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$4x = 5 - x^2$
$x^2 + 4x - 5 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x+5)(x-1) = 0$
તેથી,$x = 1$ અથવા $x = -5$.
કિંમતો તપાસતા:
જો $x = -5$ હોય,તો $\tan^{-1}(-3) + \tan^{-1}(-7)$ મળે,જે ઋણ છે,જ્યારે $\tan^{-1}(\frac{1}{2})$ ધન છે. તેથી,$x = -5$ શક્ય નથી.
જો $x = 1$ હોય,તો $\tan^{-1}(3) + \tan^{-1}(-1) = \tan^{-1}(\frac{1}{2})$ મળે. જે સાચું છે.
માત્ર $x = 1$ શક્ય છે. તેથી $x$ ની કિંમતોનો સરવાળો $1$ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2 = 2 \sin 1 \cos 1$ અને $\cos 2 = \cos^2 1 - \sin^2 1$. તેમજ $1 = \sin^2 1 + \cos^2 1$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan^{-1} \left( \frac{2 \sin 1 \cos 1 - (\sin^2 1 + \cos^2 1)}{\cos^2 1 - \sin^2 1} \right)$
$= \tan^{-1} \left( \frac{-(\cos 1 - \sin 1)^2}{(\cos 1 - \sin 1)(\cos 1 + \sin 1)} \right)$
$= \tan^{-1} \left( \frac{\sin 1 - \cos 1}{\cos 1 + \sin 1} \right)$
અંશ અને છેદને $\cos 1$ વડે ભાગતા:
$= \tan^{-1} \left( \frac{\tan 1 - 1}{1 + \tan 1} \right)$
$= \tan^{-1} \left( \tan(1 - \frac{\pi}{4}) \right)$
$= 1 - \frac{\pi}{4}$

(C) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_k = \tan^{-1} \frac{1}{1+k(k+1)}$ છે.
નિત્યસમ $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_k = \tan^{-1} \frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)} = \tan^{-1}(k+1) - \tan^{-1}(k)$.
$k=1$ થી $n$ સુધીનો સરવાળો કરતા:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} (\tan^{-1}(k+1) - \tan^{-1}(k))$
$= (\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} n)$
$= \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} 1$.
સૂત્ર $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = \tan^{-1} \frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)} = \tan^{-1} \frac{n}{n+2}$.
આપેલ છે કે $S_n = \tan^{-1} \theta$,તેથી $\theta = \frac{n}{n+2}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$.
પ્રથમ,$2 \tan^{-1} \frac{1}{5}$ ની ગણતરી કરો:
$2 \tan^{-1} \frac{1}{5} = \tan^{-1} \frac{2(1/5)}{1-(1/5)^2} = \tan^{-1} \frac{2/5}{24/25} = \tan^{-1} \frac{5}{12}$.
હવે,$4 \tan^{-1} \frac{1}{5} = 2(2 \tan^{-1} \frac{1}{5}) = 2 \tan^{-1} \frac{5}{12}$ ની ગણતરી કરો:
$2 \tan^{-1} \frac{5}{12} = \tan^{-1} \frac{2(5/12)}{1-(5/12)^2} = \tan^{-1} \frac{10/12}{1-25/144} = \tan^{-1} \frac{5/6}{119/144} = \tan^{-1} \left( \frac{5}{6} \times \frac{144}{119} \right) = \tan^{-1} \frac{120}{119}$.
અંતે,$\tan^{-1} \frac{1}{239}$ બાદ કરો:
$\tan^{-1} \frac{120}{119} - \tan^{-1} \frac{1}{239} = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{120}{119} - \frac{1}{239}}{1 + \frac{120}{119} \times \frac{1}{239}} \right)$,
સૂત્ર $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$= \tan^{-1} \left( \frac{28680 - 119}{28441 + 120} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{28561}{28561} \right) = \tan^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$.

(C) ધારો કે $x = \tan^{-1} \frac{3}{4}$,તેથી $\tan x = \frac{3}{4}$. $\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos(2 \tan^{-1} \frac{3}{4}) = \frac{1 - (3/4)^2}{1 + (3/4)^2} = \frac{1 - 9/16}{1 + 9/16} = \frac{7/16}{25/16} = \frac{7}{25}$ મળે.
ધારો કે $y = \cot^{-1} \frac{1}{2}$,તેથી $\cot y = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\tan y = 2$. $\sin 2y = \frac{2 \tan y}{1 + \tan^2 y}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin(2 \cot^{-1} \frac{1}{2}) = \frac{2(2)}{1 + 2^2} = \frac{4}{5} = \frac{20}{25}$ મળે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $\tan^{-1} [\frac{7}{25} + \frac{20}{25}] = \tan^{-1} [\frac{27}{25}]$.
અહીં $\frac{27}{25} > 1$ હોવાથી,$\tan^{-1}(\frac{27}{25}) > \tan^{-1}(1)$ થાય,જે $\frac{\pi}{4}$ છે.
આમ,કિંમત $\frac{\pi}{4}$ કરતા મોટી છે.

(C) ધારો કે $x = \cos \theta$. કારણ કે $0 < x < 1$,તેથી $\theta \in (0, \pi/2)$ મળે.
પદાવલિમાં $x = \cos \theta$ મૂકતા:
$\cot ^{-1}\left( \frac{2\cos ^2 \theta - 1}{2\cos \theta \sqrt{1 - \cos ^2 \theta}} \right)$
$= \cot ^{-1}\left( \frac{\cos 2\theta}{2\cos \theta \sin \theta} \right)$
$= \cot ^{-1}\left( \frac{\cos 2\theta}{\sin 2\theta} \right)$
$= \cot ^{-1}(\cot 2\theta)$
અહીં $\theta \in (0, \pi/2)$ હોવાથી,$2\theta \in (0, \pi)$ થાય.
તેથી,$\cot ^{-1}(\cot 2\theta) = 2\theta = 2\cos ^{-1}x$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\tan^{-1} x)^2 + (\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x)^2 = \frac{5\pi^2}{8}$.
ધારો કે $t = \tan^{-1} x$. તો સમીકરણ નીચે મુજબ બનશે:
$t^2 + (\frac{\pi}{2} - t)^2 = \frac{5\pi^2}{8}$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા:
$t^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi t + t^2 = \frac{5\pi^2}{8}$.
$2t^2 - \pi t + \frac{\pi^2}{4} - \frac{5\pi^2}{8} = 0$.
$2t^2 - \pi t - \frac{3\pi^2}{8} = 0$.
છેદ દૂર કરવા માટે $8$ વડે ગુણતા:
$16t^2 - 8\pi t - 3\pi^2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(4t - 3\pi)(4t + \pi) = 0$.
તેથી,$t = \frac{3\pi}{4}$ અથવા $t = -\frac{\pi}{4}$.
$\tan^{-1} x$ નો વિસ્તાર $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,આપણે $\tan^{-1} x = -\frac{\pi}{4}$ લેવું પડે.
તેથી,$x = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

(D) ધારો કે $y = \log(x^2)$. તો $\log(e/x^2) = 1 - y$ અને $\log(ex^2) = 1 + y$.
વિધાન-$2$: પદ ${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{1 + y}}{{1 - y}}} \right]$ છે. સૂત્ર ${\tan ^{ - 1}}A + {\tan ^{ - 1}}B = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{A + B}}{{1 - AB}}} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,${\tan ^{ - 1}}1 + {\tan ^{ - 1}}y = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{1 + y}}{{1 - y}}} \right)$. આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે.
વિધાન-$1$: ધારો કે $u = \frac{1-y}{1+y}$. પદ ${\cot ^{ - 1}}(u) + {\cot ^{ - 1}}(1/u)$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $u > 0$ માટે ${\cot ^{ - 1}}(u) = {\tan ^{ - 1}}(1/u)$. જો $u > 0$ હોય,તો ${\tan ^{ - 1}}(1/u) + {\tan ^{ - 1}}(u) = \frac{\pi}{2}$. વિધાન-$2$ આ પદોના સરળીકરણ માટેનો આધાર પૂરો પાડે છે. તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે અને વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) આપેલ છે કે $f(n) = \tan^{-1} \left( \frac{e-1}{e^{-n} + e^{n+1}} \right)$.
અંશ અને છેદને $e^n$ વડે ગુણતા:
$f(n) = \tan^{-1} \left( \frac{e^n(e-1)}{1 + e^{2n+1}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{e^{n+1} - e^n}{1 + e^{n+1} \cdot e^n} \right)$.
નિત્યસમ $\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(n) = \tan^{-1}(e^{n+1}) - \tan^{-1}(e^n)$.
હવે,આ સરવાળો ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S_N = \sum_{n=1}^N f(n) = (\tan^{-1}(e^2) - \tan^{-1}(e)) + (\tan^{-1}(e^3) - \tan^{-1}(e^2)) + \dots + (\tan^{-1}(e^{N+1}) - \tan^{-1}(e^N))$.
$S_N = \tan^{-1}(e^{N+1}) - \tan^{-1}(e)$.
જેમ $N \to \infty$,તેમ $e^{N+1} \to \infty$,તેથી $\tan^{-1}(e^{N+1}) \to \frac{\pi}{2}$.
આમ,$\sum_{n=1}^\infty f(n) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e) = \cot^{-1}(e) = \tan^{-1}(\frac{1}{e})$.

(D) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_r = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1 + r(r+1)}\right)$ છે.
નિત્યસમ $\tan ^{-1}(x) - \tan ^{-1}(y) = \tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ કે $T_r = \tan ^{-1}(r+1) - \tan ^{-1}(r)$.
$r=1$ થી $r=5$ સુધીનો સરવાળો લેતા:
$S = \sum_{r=1}^{5} (\tan ^{-1}(r+1) - \tan ^{-1}(r)) = (\tan ^{-1} 2 - \tan ^{-1} 1) + (\tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} 2) + \dots + (\tan ^{-1} 6 - \tan ^{-1} 5)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી $S = \tan ^{-1} 6 - \tan ^{-1} 1$.
$S = \tan ^{-1}\left(\frac{6-1}{1+6 \times 1}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{5}{7}\right)$.
આમ,$p = 5$ અને $q = 7$. $p$ અને $q$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$p + q = 5 + 7 = 12$.

(A) ધારો કે $g(x) = |\sin^{-1}|\sin x|| - |\cos^{-1}|\cos x||$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $x \in R$ માટે,$|\sin x| \in [0, 1]$ અને $|\cos x| \in [0, 1]$ થાય.
તેથી,$\sin^{-1}|\sin x| \in [0, \frac{\pi}{2}]$ અને $\cos^{-1}|\cos x| \in [0, \frac{\pi}{2}]$ થાય.
બંને પદો અઋણ હોવાથી,આપણે $g(x) = \sin^{-1}|\sin x| - \cos^{-1}|\cos x|$ લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\sin^{-1} \theta + \cos^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^{-1}|\sin x| = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1}|\sin x|$ મળે.
વળી,$\cos^{-1}|\cos x| = \sin^{-1} \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sin^{-1}|\sin x|$ થાય.
તેથી,$g(x) = \sin^{-1}|\sin x| - \sin^{-1}|\sin x| = 0$.
દરેક $x \in R$ માટે $g(x) = 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x) = \sqrt{0} = 0$ થાય.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $\{0\}$ છે.