Properties of ITF Questions in Gujarati

(D) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_r = \cot^{-1}(r^2 + r + 1)$ છે.
$\cot^{-1} x = \tan^{-1} \left( \frac{1}{x} \right)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$T_r = \tan^{-1} \left( \frac{1}{r^2 + r + 1} \right)$.
છેદને $1 + r(r+1)$ તરીકે લખતા,$T_r = \tan^{-1} \left( \frac{(r+1) - r}{1 + r(r+1)} \right)$.
$\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$T_r = \tan^{-1}(r+1) - \tan^{-1}(r)$.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \sum_{r=1}^{n} (\tan^{-1}(r+1) - \tan^{-1}(r))$ છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $S_n = \tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1} 1$.
$\tan^{-1} x - \tan^{-1} y$ ના સૂત્ર મુજબ,$S_n = \tan^{-1} \left( \frac{n}{n+2} \right)$.
$\tan^{-1} x = \cot^{-1} \left( \frac{1}{x} \right)$ હોવાથી,$S_n = \cot^{-1} \left( \frac{n+2}{n} \right)$.
આમ,બધા વિકલ્પો સાચા છે.

(B) ધારો કે $x = \tan \theta$,તેથી $\theta = \tan^{-1} x$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta} - 1}{\tan \theta} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta} \right)$
$= \tan^{-1} \left( \frac{\frac{1}{\cos \theta} - 1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} \right)$
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan^{-1} \left( \frac{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} \right) = \tan^{-1} \left( \tan \frac{\theta}{2} \right)$
$= \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$ અને $1 + \sin x = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - x)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin \theta = 2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})$ અને $1 + \cos \theta = 2\cos^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
${\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}} \right] = {\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{\sin (\pi /2 - x)}}{{1 + \cos (\pi /2 - x)}}} \right]$
$= {\tan ^{ - 1}}\left[ {\frac{{2\sin (\pi /4 - x/2)\cos (\pi /4 - x/2)}}{{2\cos^2 (\pi /4 - x/2)}}} \right]$
$= {\tan ^{ - 1}}\left[ {\tan (\pi /4 - x/2)} \right]$
$= \frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}$.

(C) ધારો કે $x = \csc \theta$,જ્યાં $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$.
તેથી $\theta = \csc^{-1} x$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{\cot^2 \theta}} \right)$
$= \tan^{-1} \left( \frac{1}{|\cot \theta|} \right)$.
ધારો કે $x > 1$,તો $\theta$ એ $(0, \frac{\pi}{2}]$ માં છે,તેથી $\cot \theta > 0$.
$= \tan^{-1} (\tan \theta) = \theta = \csc^{-1} x$.

(B) ધારો કે $x = \sin \theta$ અને $\sqrt{x} = \sin \phi$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}(x)$ અને $\phi = \sin^{-1}(\sqrt{x})$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
${\sin ^{ - 1}}(x\sqrt {1 - x} - \sqrt x \,\sqrt {1 - {x^2}} )$
$= {\sin ^{ - 1}}(\sin \theta \sqrt {1 - {{\sin }^2}\phi } - \sin \phi \sqrt {1 - {{\sin }^2}\theta } )$
$= {\sin ^{ - 1}}(\sin \theta \cos \phi - \sin \phi \cos \theta )$
$= {\sin ^{ - 1}}(\sin (\theta - \phi ))$
$= \theta - \phi$
$= {\sin ^{ - 1}}(x) - {\sin ^{ - 1}}(\sqrt x )$.

(C) આપેલ છે: ${\tan ^{ - 1}}\left( \frac{1 - x}{1 + x} \right) = \frac{1}{2}{\tan ^{ - 1}}x$
ધારો કે $x = \tan \theta$,તેથી $\theta = {\tan ^{ - 1}}x$.
સમીકરણમાં $x = \tan \theta$ મૂકતા:
${\tan ^{ - 1}}\left( \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} \right) = \frac{1}{2}\theta$
સૂત્ર $\tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan \theta}{1 + \tan \frac{\pi}{4}\tan \theta} = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${\tan ^{ - 1}}\left( \tan \left( \frac{\pi}{4} - \theta \right) \right) = \frac{\theta}{2}$
$\frac{\pi}{4} - \theta = \frac{\theta}{2}$
$\frac{\pi}{4} = \theta + \frac{\theta}{2} = \frac{3\theta}{2}$
$\theta = \frac{\pi}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{\pi}{6}$
કારણ કે $x = \tan \theta$,તેથી $x = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) ધારો કે $\cos^{-1}x = \theta$,જ્યાં $x \in [-1, 1]$.
તેથી $x = \cos \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = x$.
આપણે $\sin(\cot^{-1}(\tan \theta))$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
કારણ કે $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.
હવે,આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin(\cot^{-1}(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}))$.
ધારો કે $\cot^{-1}(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}) = \phi$.
તેથી $\cot \phi = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.
નિત્યસમ $\csc^2 \phi = 1 + \cot^2 \phi = 1 + \frac{1 - x^2}{x^2} = \frac{x^2 + 1 - x^2}{x^2} = \frac{1}{x^2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આમ,$\csc \phi = \frac{1}{x}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \phi = x$.
તેથી,અંતિમ મૂલ્ય $x$ છે.

(C) ધારો કે $y = \sin^{-1} \sqrt{\frac{x}{x+a}}$.
$x = a \tan^2 \theta$ આદેશ લેતા,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \sqrt{\frac{x}{a}}$ અથવા $\theta = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}$.
તેથી,$\sqrt{\frac{x}{x+a}} = \sqrt{\frac{a \tan^2 \theta}{a \tan^2 \theta + a}} = \sqrt{\frac{a \tan^2 \theta}{a(1 + \tan^2 \theta)}} = \sqrt{\frac{\tan^2 \theta}{\sec^2 \theta}} = \sqrt{\sin^2 \theta} = \sin \theta$.
આમ,$y = \sin^{-1}(\sin \theta) = \theta$.
કિંમત પાછી મૂકતા,$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin \left( \sin^{-1} \frac{1}{5} + \cos^{-1} x \right) = 1$.
બંને બાજુ $\sin^{-1}$ લેતા: $\sin^{-1} \frac{1}{5} + \cos^{-1} x = \sin^{-1}(1)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$,તેથી સમીકરણ થશે: $\sin^{-1} \frac{1}{5} + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
આપણે નિત્યસમ $\sin^{-1} \theta + \cos^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ જાણીએ છીએ.
આ નિત્યસમ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે $\sin^{-1} \frac{1}{5} = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x$.
કારણ કે $\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x = \sin^{-1} x$,તેથી $\sin^{-1} \frac{1}{5} = \sin^{-1} x$.
આમ,$x = \frac{1}{5}$.

(B) આપેલ છે કે $\sin^{-1} x = \theta + \beta$ અને $\sin^{-1} y = \theta - \beta$.
તેથી,$x = \sin(\theta + \beta)$ અને $y = \sin(\theta - \beta)$.
હવે,$1 + xy = 1 + \sin(\theta + \beta) \sin(\theta - \beta)$.
નિત્યસમ $\sin(A + B)\sin(A - B) = \sin^2 A - \sin^2 B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + xy = 1 + \sin^2 \theta - \sin^2 \beta$.
કારણ કે $1 - \sin^2 \beta = \cos^2 \beta$,તેથી:
$1 + xy = \sin^2 \theta + \cos^2 \beta$.

(C) આપણે સૂત્ર $\sin^{-1} a + \sin^{-1} b = \sin^{-1} \left( a \sqrt{1 - b^2} + b \sqrt{1 - a^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ છે કે $\sin^{-1} \frac{1}{3} + \sin^{-1} \frac{2}{3} = \sin^{-1} x$.
$a = \frac{1}{3}$ અને $b = \frac{2}{3}$ લેતા:
$\sin^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{1}{3} \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} + \frac{2}{3} \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} \right)$
$= \sin^{-1} \left( \frac{1}{3} \sqrt{1 - \frac{4}{9}} + \frac{2}{3} \sqrt{1 - \frac{1}{9}} \right)$
$= \sin^{-1} \left( \frac{1}{3} \sqrt{\frac{5}{9}} + \frac{2}{3} \sqrt{\frac{8}{9}} \right)$
$= \sin^{-1} \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \right)$
$= \sin^{-1} \left( \frac{\sqrt{5} + 4\sqrt{2}}{9} \right)$.
તેથી,$x = \frac{\sqrt{5} + 4\sqrt{2}}{9}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ${\cos ^{ - 1}}x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખા $[0, \pi]$ છે.
આપેલ અંતરાલ $\pi \le x \le 2\pi$ છે,જે મુખ્ય શ્રેણીની બહાર છે.
આપણે ગુણધર્મ $\cos(2\pi - x) = \cos x$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\pi \le x \le 2\pi$ હોવાથી,$-2\pi \le -x \le -\pi$ થાય.
બધી બાજુ $2\pi$ ઉમેરતા,આપણને $0 \le 2\pi - x \le \pi$ મળે છે.
કારણ કે $2\pi - x$ એ મુખ્ય શ્રેણી $[0, \pi]$ માં આવે છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
${\cos ^{ - 1}}(\cos x) = {\cos ^{ - 1}}(\cos(2\pi - x)) = 2\pi - x$.

(B) ધારો કે $f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
ગુણધર્મ $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ:
$f(x) = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(x)$.
આપેલ અંતરાલ $0 \le x \le 1$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $0 \le \tan^{-1}(x) \le \frac{\pi}{4}$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $-\frac{\pi}{4} \le -\tan^{-1}(x) \le 0$ મળે છે.
બધા ભાગોમાં $\frac{\pi}{4}$ ઉમેરતા,આપણને $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(x) \le \frac{\pi}{4} - 0$ મળે છે.
આમ,$0 \le f(x) \le \frac{\pi}{4}$.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $0$ અને મહત્તમ કિંમત $\frac{\pi}{4}$ છે.

(B) ધારો કે $\sin^{-1} x = y$. તો $x = \sin y$.
કારણ કે $x$ એ અ-ધન અને સ્વીકાર્ય છે,તેથી $-1 \le x \le 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $-\frac{\pi}{2} \le \sin^{-1} x \le 0$,તેથી $-\frac{\pi}{2} \le y \le 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $y \in [0, \pi]$ માટે $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$.
કારણ કે $y \in [-\frac{\pi}{2}, 0]$,તેથી $-y \in [0, \frac{\pi}{2}]$.
આમ,$\cos(-y) = \sqrt{1 - x^2}$.
$\cos(-y) = \cos y$ હોવાથી,$\cos y = \sqrt{1 - x^2}$.
બંને બાજુએ $[0, \frac{\pi}{2}]$ વિસ્તાર માટે પ્રતિ-કોસાઇન લેતા,આપણને $-y = \cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}$ મળે છે.
તેથી,$y = -\cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}$.
આમ,$\sin^{-1} x = -\cos^{-1} \sqrt{1 - x^2}$.

(A) ધારો કે $\theta = \text{cosec}^{-1}x$. તેથી $\text{cosec}\theta = x$,જ્યાં $|x| \ge 1$ અને $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$.
આપણે $\sec(\text{cosec}^{-1}x) = \sec\theta$ શોધવાનું છે.
$\text{cosec}\theta = x$ હોવાથી,$\sin\theta = \frac{1}{x}$ મળે.
નિત્યસમ $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos\theta = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{|x|}$ મળે.
તેથી,$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} = \frac{|x|}{\sqrt{x^2 - 1}}$.
હવે,$\text{cosec}(\sec^{-1}x)$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $\phi = \sec^{-1}x$. તેથી $\sec\phi = x$,એટલે કે $\cos\phi = \frac{1}{x}$.
ત્યારબાદ $\sin\phi = \sqrt{1 - \cos^2\phi} = \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{|x|}$.
આમ,$\text{cosec}\phi = \frac{1}{\sin\phi} = \frac{|x|}{\sqrt{x^2 - 1}}$.
બંને પદો $\frac{|x|}{\sqrt{x^2 - 1}}$ બરાબર હોવાથી,$\sec(\text{cosec}^{-1}x) = \text{cosec}(\sec^{-1}x)$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin^{-1} x = 2\tan^{-1} x$
આપણે જાણીએ છીએ કે $|x| \le 1$ માટે $2\tan^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$ થાય છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sin^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$
બંને બાજુ $\sin$ લેતા:
$x = \frac{2x}{1+x^2}$
પદોને ગોઠવતા:
$x(1+x^2) = 2x$
$x + x^3 = 2x$
$x^3 - x = 0$
$x(x^2 - 1) = 0$
$x(x-1)(x+1) = 0$
આમ,ઉકેલો $x = 0, 1, -1$ મળે છે.
પ્રદેશ તપાસતા: આ તમામ કિંમતો માટે $|x| \le 1$ હોવાથી,તે માન્ય ઉકેલો છે.
તેથી ઉકેલ ગણ $\{-1, 0, 1\}$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રતિવિધેય ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના ગુણધર્મ મુજબ $\tan^{-1}(\tan x) = x$ થાય જો $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ હોય.
અહીં $2$ રેડિયન એ આશરે $114.6^\circ$ છે,જે મુખ્ય શાખા $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \approx (-1.57, 1.57)$ ની બહાર છે.
ધારો કે $\theta = \tan^{-1}(\tan 2)$,તેથી $\tan \theta = \tan 2$.
આથી $\theta = 2 - \pi$ (કારણ કે $2$ એ બીજા ચરણમાં છે,$\tan 2 = \tan(2 - \pi)$ અને $2 - \pi \approx -1.14$ એ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ ની રેન્જમાં છે).
તેથી,$\cos(\tan^{-1}(\tan 2)) = \cos(2 - \pi)$.
નિત્યસમ $\cos(\theta - \pi) = \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos(2 - \pi) = \cos(2)$ મળે છે.
આમ,સાચો જવાબ $\cos 2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y + \sin^{-1} z = \frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $\sin^{-1} x = \alpha$,$\sin^{-1} y = \beta$,અને $\sin^{-1} z = \gamma$.
તેથી $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} - \gamma$.
બંને બાજુ $\cos$ લેતા: $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \gamma)$.
નિત્યસમ $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ અને $\cos(\frac{\pi}{2} - \gamma) = \sin \gamma$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \sin \gamma$.
અહીં $\sin \alpha = x$,$\sin \beta = y$,અને $\sin \gamma = z$ હોવાથી,$\cos \alpha = \sqrt{1 - x^2}$ અને $\cos \beta = \sqrt{1 - y^2}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - y^2} - xy = z$.
તેથી $\sqrt{1 - x^2} \sqrt{1 - y^2} = xy + z$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1 - x^2)(1 - y^2) = (xy + z)^2$.
$1 - x^2 - y^2 + x^2 y^2 = x^2 y^2 + 2xyz + z^2$.
$1 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(x) = \cos^{-1}(x)$.
$x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sin \left[ \cos^{-1} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right]$
કારણ કે $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$,તેથી:
$\cos^{-1} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \pi - \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
હવે,$\sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{6} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}$.

(D) ધારો કે $\tan^{-1}x = \theta$,તો $\tan \theta = x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\tan^{-1}x) = \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
હવે,પદાવલિ $\sin[\cot^{-1}(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}})]$ બને છે.
ધારો કે $\cot^{-1}(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}) = \phi$,તો $\cot \phi = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\tan \phi = \sqrt{1+x^2}$.
નિત્યસમ $\sin \phi = \frac{\tan \phi}{\sqrt{1+\tan^2 \phi}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sin \phi = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+(1+x^2)}} = \sqrt{\frac{1+x^2}{2+x^2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $x = \cos ^{ - 1}\frac{4}{5}$. તેથી $\cos x = \frac{4}{5}$.
$\cos x = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{4}{5}$ હોવાથી,સામેની બાજુ $\sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ થાય.
આમ,$\tan x = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{3}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $x = \tan ^{ - 1}\frac{3}{4}$.
હવે,પદાવલિ $\tan ^{ - 1}\frac{3}{4} + \tan ^{ - 1}\frac{3}{5}$ બને છે.
સૂત્ર $\tan ^{ - 1}A + \tan ^{ - 1}B = \tan ^{ - 1}\left( \frac{A + B}{1 - AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan ^{ - 1}\left( \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{3}{5}} \right)$
$= \tan ^{ - 1}\left( \frac{\frac{15 + 12}{20}}{1 - \frac{9}{20}} \right)$
$= \tan ^{ - 1}\left( \frac{\frac{27}{20}}{\frac{11}{20}} \right)$
$= \tan ^{ - 1}\frac{27}{11}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $y \in [-1, 1]$ માટે $\sin^{-1}(y) + \cos^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ: $\sin^{-1}x + \sin^{-1}\frac{1}{x} + \cos^{-1}x + \cos^{-1}\frac{1}{x}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$= (\sin^{-1}x + \cos^{-1}x) + (\sin^{-1}\frac{1}{x} + \cos^{-1}\frac{1}{x})$.
નિત્યસમ $\sin^{-1}(y) + \cos^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપણે $|x| < 1$ માટે સૂત્ર $2\tan ^{-1}x = \tan ^{-1}\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$2\tan ^{-1}\frac{1}{3}$ માટે આ લાગુ પાડતા:
$2\tan ^{-1}\frac{1}{3} = \tan ^{-1}\left(\frac{2(1/3)}{1-(1/3)^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2/3}{1-1/9}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2/3}{8/9}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
હવે,પદાવલિ $\tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ બને છે.
સૂત્ર $\tan ^{-1}x + \tan ^{-1}y = \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{3/4 + 1/2}{1 - (3/4)(1/2)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{5/4}{1 - 3/8}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{5/4}{5/8}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{5}{4} \times \frac{8}{5}\right) = \tan ^{-1}(2)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે $\theta = \cos^{-1} \frac{4}{5}$. તેથી $\cos \theta = \frac{4}{5}$.
$\tan \theta = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1 - (16/25)}}{4/5} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$ હોવાથી,$\theta = \tan^{-1} \frac{3}{4}$ થાય.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\tan \left[ \tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{2}{3} \right]$ મળે.
સૂત્ર $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{3/4 + 2/3}{1 - (3/4)(2/3)} \right) \right]$
$= \tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{9/12 + 8/12}{1 - 6/12} \right) \right]$
$= \tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{17/12}{6/12} \right) \right]$
$= \tan \left[ \tan^{-1} \left( \frac{17}{6} \right) \right] = \frac{17}{6}$.

(D) જ્યારે $xy > 1$ હોય ત્યારે ${\tan ^{ - 1}}x + {\tan ^{ - 1}}y$ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:
${\tan ^{ - 1}}x + {\tan ^{ - 1}}y = \pi + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right)$.
પ્રથમ,${\tan ^{ - 1}}2 + {\tan ^{ - 1}}3$ ની ગણતરી કરો:
કારણ કે $2 \times 3 = 6 > 1$,તેથી:
${\tan ^{ - 1}}2 + {\tan ^{ - 1}}3 = \pi + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{2 + 3}}{{1 - 2 \times 3}}} \right) = \pi + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{5}{{1 - 6}}} \right) = \pi + {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{5}{{ - 5}}} \right) = \pi + {\tan ^{ - 1}}( - 1) = \pi - \frac{\pi }{4} = \frac{{3\pi }}{4}$.
હવે,${\tan ^{ - 1}}1$ ઉમેરો:
${\tan ^{ - 1}}1 + (\frac{{3\pi }}{4}) = \frac{\pi }{4} + \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{4\pi }}{4} = \pi$.
આમ,$\pi$ એ વિકલ્પો $A, B, C$ માં નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) ધારો કે $\cot^{-1} \frac{3}{4} = \theta$,તેથી $\cot \theta = \frac{3}{4}$.
$\cot \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{સામેની બાજુ}} = \frac{3}{4}$ હોવાથી,કર્ણ $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ થાય.
તેથી,$\sin \theta = \frac{4}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \sin^{-1} \frac{4}{5}$.
હવે,પદાવલિ $\sin^{-1} \frac{4}{5} + \sin^{-1} \frac{5}{13}$ બને છે.
સૂત્ર $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \sin^{-1} \left( x \sqrt{1 - y^2} + y \sqrt{1 - x^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sin^{-1} \left( \frac{4}{5} \sqrt{1 - \left( \frac{5}{13} \right)^2} + \frac{5}{13} \sqrt{1 - \left( \frac{4}{5} \right)^2} \right)$
$= \sin^{-1} \left( \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} \right)$
$= \sin^{-1} \left( \frac{48}{65} + \frac{15}{65} \right)$
$= \sin^{-1} \frac{63}{65}$.

(D) આપેલ છે કે $\cos^{-1} x + \cos^{-1} y + \cos^{-1} z = \pi$.
$\Rightarrow \cos^{-1} x + \cos^{-1} y = \pi - \cos^{-1} z$.
નિત્યસમ $\pi - \cos^{-1} z = \cos^{-1}(-z)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^{-1} x + \cos^{-1} y = \cos^{-1}(-z)$.
સૂત્ર $\cos^{-1} x + \cos^{-1} y = \cos^{-1}(xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^{-1}(xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}) = \cos^{-1}(-z)$.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા:
$xy - \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} = -z$.
પદોને ગોઠવતા:
$xy + z = \sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(xy + z)^2 = (1-x^2)(1-y^2)$.
$x^2y^2 + z^2 + 2xyz = 1 - x^2 - y^2 + x^2y^2$.
$x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz = 1$.
વૈકલ્પિક રીતે,ધારો કે $x = y = z = \frac{1}{2}$. તો $\cos^{-1}(\frac{1}{2}) + \cos^{-1}(\frac{1}{2}) + \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \pi$. આ કિંમતોને વિકલ્પ $(d)$ માં મૂકતા: $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$. આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(C) આપણને સમીકરણ આપેલું છે: ${\tan ^{ - 1}}x - {\tan ^{ - 1}}y = {\tan ^{ - 1}}A$.
પ્રતિવિધેય (inverse tangent) ના તફાવત માટેના પ્રમાણિત ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
${\tan ^{ - 1}}x - {\tan ^{ - 1}}y = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{x - y}{1 + xy} \right)$.
આને આપેલા સમીકરણ સાથે સરખાવતા:
${\tan ^{ - 1}}\left( \frac{x - y}{1 + xy} \right) = {\tan ^{ - 1}}A$.
તેથી,બંને બાજુ સરખાવતા આપણને મળે છે:
$A = \frac{x - y}{1 + xy}$.

(D) આપેલ છે કે $\tan ^{-1}x + \tan ^{-1}y + \tan ^{-1}z = \frac{\pi }{2}.$
સૂત્ર $\tan ^{-1}x + \tan ^{-1}y + \tan ^{-1}z = \tan ^{-1}\left( \frac{x + y + z - xyz}{1 - xy - yz - zx} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$\tan ^{-1}\left( \frac{x + y + z - xyz}{1 - xy - yz - zx} \right) = \frac{\pi }{2}.$
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા:
$\frac{x + y + z - xyz}{1 - xy - yz - zx} = \tan \left( \frac{\pi }{2} \right) = \infty.$
પદ અવ્યાખ્યાયિત (અનંત તરફ જતું) હોવા માટે,છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$1 - xy - yz - zx = 0.$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$xy + yz + zx = 1$ અથવા $xy + yz + zx - 1 = 0.$
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: ${\tan ^{ - 1}}\frac{{x - 1}}{{x + 2}} + {\tan ^{ - 1}}\frac{{x + 1}}{{x + 2}} = \frac{\pi }{4}$
સૂત્ર ${\tan ^{ - 1}}A + {\tan ^{ - 1}}B = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
${\tan ^{ - 1}}\left[ \frac{{\frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{x + 1}}{{x + 2}}}}{{1 - \left( {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right)\left( {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right)}} \right] = \frac{\pi }{4}$
અંશ અને છેદનું સાદુંરૂપ આપતા:
${\tan ^{ - 1}}\left[ \frac{{\frac{{2x}}{{x + 2}}}}{{\frac{{{{(x + 2)}^2} - ({x^2} - 1)}}{{{{(x + 2)}^2}}}}} \right] = \frac{\pi }{4}$
${\tan ^{ - 1}}\left[ \frac{{2x(x + 2)}}{{{x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 1}} \right] = \frac{\pi }{4}$
${\tan ^{ - 1}}\left[ \frac{{2x(x + 2)}}{{4x + 5}} \right] = \frac{\pi }{4}$
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા:
$\frac{{2{x^2} + 4x}}{{4x + 5}} = \tan \frac{\pi }{4} = 1$
$2{x^2} + 4x = 4x + 5$
$2{x^2} = 5$
${x^2} = \frac{5}{2}$
$x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ: $\cos \left[ \cos^{-1}\frac{1}{5} + \cos^{-1}\frac{1}{5} + \sin^{-1}\frac{1}{5} \right]$.
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આ પદાવલિ $\cos \left[ \frac{\pi}{2} + \cos^{-1}\frac{1}{5} \right]$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin\theta$,તેથી આપણને મળે: $-\sin \left( \cos^{-1}\frac{1}{5} \right)$.
ધારો કે $\cos^{-1}\frac{1}{5} = \alpha$,તો $\cos\alpha = \frac{1}{5}$ થાય.
તેથી $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$.
આમ,પદાવલિનું મૂલ્ય $-\frac{2\sqrt{6}}{5}$ થાય છે.

(B) આપણે પ્રતિવિધેયના તફાવત માટેના પ્રમાણિત નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x - y}{1 + xy} \right)$.
આપેલ પદાવલિમાં આનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} \left( \frac{a - b}{1 + ab} \right) = \tan^{-1} a - \tan^{-1} b$
તે જ રીતે:
$\tan^{-1} \left( \frac{b - c}{1 + bc} \right) = \tan^{-1} b - \tan^{-1} c$
આ બંને પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$(\tan^{-1} a - \tan^{-1} b) + (\tan^{-1} b - \tan^{-1} c)$
અહીં $-\tan^{-1} b$ અને $+\tan^{-1} b$ એકબીજા સાથે ઉડી જશે:
$= \tan^{-1} a - \tan^{-1} c$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1} 2x + \tan^{-1} 3x = \frac{\pi}{4}$
સૂત્ર $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} \left( \frac{2x + 3x}{1 - (2x)(3x)} \right) = \frac{\pi}{4}$
$\tan^{-1} \left( \frac{5x}{1 - 6x^2} \right) = \tan^{-1}(1)$
$\frac{5x}{1 - 6x^2} = 1$
$1 - 6x^2 = 5x$
$6x^2 + 5x - 1 = 0$
$(6x - 1)(x + 1) = 0$
તેથી,$x = \frac{1}{6}$ અથવા $x = -1$.
જો $x = -1$ લઈએ,તો $\tan^{-1}(-2) + \tan^{-1}(-3) = -(\tan^{-1} 2 + \tan^{-1} 3)$ મળે,જે ઋણ છે અને $\frac{\pi}{4}$ હોઈ શકે નહીં.
જો $x = \frac{1}{6}$ લઈએ,તો $\tan^{-1}(\frac{1}{3}) + \tan^{-1}(\frac{1}{2}) = \tan^{-1} \left( \frac{1/3 + 1/2}{1 - 1/6} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5/6}{5/6} \right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
આમ,એકમાત્ર સાચો ઉકેલ $x = \frac{1}{6}$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $2{\sin ^{ - 1}}x = {\sin ^{ - 1}}(2x\sqrt {1 - {x^2}} )$ જ્યાં $|x| \le \frac{1}{\sqrt{2}}$.
અહીં,$x = \frac{3}{5}$ છે,તેથી $2{\sin ^{ - 1}}\frac{3}{5} = {\sin ^{ - 1}}\left( 2 \times \frac{3}{5} \times \sqrt {1 - \frac{9}{{25}}} \right) = {\sin ^{ - 1}}\left( \frac{6}{5} \times \frac{4}{5} \right) = {\sin ^{ - 1}}\frac{{24}}{{25}}$.
હવે,પદાવલિ ${\sin ^{ - 1}}\frac{{24}}{{25}} + {\cos ^{ - 1}}\frac{{24}}{{25}}$ બને છે.
નિત્યસમ ${\sin ^{ - 1}}x + {\cos ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને ${\sin ^{ - 1}}\frac{{24}}{{25}} + {\cos ^{ - 1}}\frac{{24}}{{25}} = \frac{\pi }{2}$ મળે છે.

(A) આપણે સૂત્ર $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $xy < 1$ હોય.
અહીં,$x = \frac{1}{3}$ અને $y = \frac{1}{2}$ છે.
કારણ કે $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} < 1$ છે,તેથી આ સૂત્ર લાગુ પડે છે.
$\tan^{-1} \frac{1}{3} + \tan^{-1} \frac{1}{2} = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} \right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\cos \left[ \tan^{-1} \frac{1}{3} + \tan^{-1} \frac{1}{2} \right] = \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $y > 0$ માટે ${\cot ^{ - 1}}(y) = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{1}{y} \right)$ થાય છે.
આપેલ પદાવલિ ${\tan ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}(x + 1)$ છે.
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
${\tan ^{ - 1}}x + {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{1}{x + 1} \right)$.
હવે,${\tan ^{ - 1}}A + {\tan ^{ - 1}}B = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{A + B}{1 - AB} \right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{x + \frac{1}{x + 1}}{1 - x \cdot \frac{1}{x + 1}} \right)$
$= {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{\frac{x(x + 1) + 1}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x}{x + 1}} \right)$
$= {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{x^2 + x + 1}{1} \right)$
$= {\tan ^{ - 1}}({x^2} + x + 1)$.

(A) આપણે પ્રતિ-કોટેન્જેન્ટ વિધેયોના તફાવત માટેનું સૂત્ર જાણીએ છીએ: $\cot ^{ - 1}\left(\frac{ab + 1}{a - b}\right) = \cot ^{ - 1}b - \cot ^{ - 1}a$.
આ સૂત્રને દરેક પદ પર લાગુ પાડતા:
$\cot ^{ - 1}\left(\frac{xy + 1}{x - y}\right) = \cot ^{ - 1}y - \cot ^{ - 1}x$
$\cot ^{ - 1}\left(\frac{yz + 1}{y - z}\right) = \cot ^{ - 1}z - \cot ^{ - 1}y$
$\cot ^{ - 1}\left(\frac{zx + 1}{z - x}\right) = \cot ^{ - 1}x - \cot ^{ - 1}z$
આ ત્રણેય પદોનો સરવાળો કરતા:
$(\cot ^{ - 1}y - \cot ^{ - 1}x) + (\cot ^{ - 1}z - \cot ^{ - 1}y) + (\cot ^{ - 1}x - \cot ^{ - 1}z)$
પદો ઉડાડતા:
$= (\cot ^{ - 1}y - \cot ^{ - 1}y) + (\cot ^{ - 1}z - \cot ^{ - 1}z) + (\cot ^{ - 1}x - \cot ^{ - 1}x) = 0$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1} \left( \frac{a+x}{a} \right) + \tan^{-1} \left( \frac{a-x}{a} \right) = \frac{\pi}{6}$
સૂત્ર $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} \left( \frac{\frac{a+x}{a} + \frac{a-x}{a}}{1 - \left( \frac{a+x}{a} \right) \left( \frac{a-x}{a} \right)} \right) = \frac{\pi}{6}$
$\tan^{-1} \left( \frac{\frac{2a}{a}}{1 - \frac{a^2-x^2}{a^2}} \right) = \frac{\pi}{6}$
$\tan^{-1} \left( \frac{2}{\frac{a^2 - a^2 + x^2}{a^2}} \right) = \frac{\pi}{6}$
$\tan^{-1} \left( \frac{2a^2}{x^2} \right) = \frac{\pi}{6}$
$\frac{2a^2}{x^2} = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$x^2 = 2\sqrt{3} a^2$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos^{-1} \frac{3}{5} - \sin^{-1} \frac{4}{5} = \cos^{-1} x$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1} \theta = \cos^{-1} \sqrt{1 - \theta^2}$,જ્યાં $\theta \in [0, 1]$.
તેથી,$\sin^{-1} \frac{4}{5} = \cos^{-1} \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \cos^{-1} \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \cos^{-1} \sqrt{\frac{9}{25}} = \cos^{-1} \frac{3}{5}$.
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\cos^{-1} \frac{3}{5} - \cos^{-1} \frac{3}{5} = \cos^{-1} x$
$0 = \cos^{-1} x$
$x = \cos(0) = 1$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 1$ માટે ${\csc ^{ - 1}}x = {\cot ^{ - 1}}\sqrt {{x^2} - 1} $ થાય છે.
$x = \sqrt 5$ મૂકતા,આપણને મળે છે ${\csc ^{ - 1}}\sqrt 5 = {\cot ^{ - 1}}\sqrt {{(\sqrt 5 )^2} - 1} = {\cot ^{ - 1}}\sqrt {5 - 1} = {\cot ^{ - 1}}\sqrt 4 = {\cot ^{ - 1}}2$.
હવે,પદાવલિ ${\cot ^{ - 1}}3 + {\cot ^{ - 1}}2$ બને છે.
$xy > 1$ માટે સૂત્ર ${\cot ^{ - 1}}x + {\cot ^{ - 1}}y = {\cot ^{ - 1}}\left( {\frac{{xy - 1}}{{x + y}}} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
${\cot ^{ - 1}}3 + {\cot ^{ - 1}}2 = {\cot ^{ - 1}}\left( {\frac{{3 \times 2 - 1}}{{3 + 2}}} \right) = {\cot ^{ - 1}}\left( {\frac{{6 - 1}}{5}} \right) = {\cot ^{ - 1}}\left( {\frac{5}{5}} \right) = {\cot ^{ - 1}}(1)$.
કારણ કે ${\cot ^{ - 1}}(1) = \frac{\pi }{4}$,તેથી અંતિમ જવાબ $\frac{\pi }{4}$ છે.

(B) ધારો કે $x = \tan \theta$. તેથી $\theta = \tan^{-1} x$.
આપેલ પદાવલિ $\tan^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{2x} \right) + \cos^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right)$ છે.
$x = \tan \theta$ મૂકતા:
$= \tan^{-1} \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{2 \tan \theta} \right) + \cos^{-1} \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cot 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{2 \tan \theta}$ અને $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan^{-1} (\cot 2\theta) + \cos^{-1} (\cos 2\theta)$
કારણ કે $\tan^{-1} (\cot 2\theta) = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{2} - 2\theta \right) \right) = \frac{\pi}{2} - 2\theta$ અને $\cos^{-1} (\cos 2\theta) = 2\theta$:
$= \left( \frac{\pi}{2} - 2\theta \right) + 2\theta$
$= \frac{\pi}{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: ${\tan ^{ - 1}}(x - 1) + {\tan ^{ - 1}}x + {\tan ^{ - 1}}(x + 1) = {\tan ^{ - 1}}3x$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: ${\tan ^{ - 1}}(x - 1) + {\tan ^{ - 1}}(x + 1) = {\tan ^{ - 1}}3x - {\tan ^{ - 1}}x$
સૂત્ર ${\tan ^{ - 1}}A + {\tan ^{ - 1}}B = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ અને ${\tan ^{ - 1}}A - {\tan ^{ - 1}}B = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
${\tan ^{ - 1}}\left( \frac{(x-1)+(x+1)}{1-(x-1)(x+1)} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{3x-x}{1+(3x)(x)} \right)$
${\tan ^{ - 1}}\left( \frac{2x}{1-(x^2-1)} \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( \frac{2x}{1+3x^2} \right)$
આથી: $\frac{2x}{2-x^2} = \frac{2x}{1+3x^2}$
કિસ્સો $1$: $2x = 0 \Rightarrow x = 0$
કિસ્સો $2$: $\frac{1}{2-x^2} = \frac{1}{1+3x^2}$
$1 + 3x^2 = 2 - x^2$
$4x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}$
આમ,ઉકેલ $x = 0, \pm \frac{1}{2}$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $x, y \in [-1, 1]$ માટે,$\cos^{-1} x$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.
આપેલ છે કે $\cos^{-1} x + \cos^{-1} y = 2\pi$.
$\cos^{-1} x$ ની મહત્તમ કિંમત $\pi$ હોવાથી,તેમનો સરવાળો $2\pi$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\cos^{-1} x = \pi$ અને $\cos^{-1} y = \pi$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \cos(\pi) = -1$ અને $y = \cos(\pi) = -1$.
હવે,આપણે $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y$ શોધવાનું છે.
$x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\sin^{-1}(-1) + \sin^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = -\pi$.
વૈકલ્પિક રીતે,નિત્યસમ $\cos^{-1} t = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x) + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} y) = 2\pi$.
$\pi - (\sin^{-1} x + \sin^{-1} y) = 2\pi$.
$\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \pi - 2\pi = -\pi$.

(B) ધારો કે $\alpha = \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}$. તેથી $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
નિત્યસમ $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
આમ,$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\alpha = \tan^{-1} \frac{1}{2} = \cot^{-1} 2$.
હવે,પદાવલિ $\cot^{-1} 2 + \cot^{-1} 3$ બને છે.
સૂત્ર $\cot^{-1} x + \cot^{-1} y = \cot^{-1} \left( \frac{xy - 1}{x + y} \right)$ ($x, y > 0$ માટે) નો ઉપયોગ કરતા:
$\cot^{-1} 2 + \cot^{-1} 3 = \cot^{-1} \left( \frac{2 \times 3 - 1}{2 + 3} \right) = \cot^{-1} \left( \frac{5}{5} \right) = \cot^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$.

(D) આપણને સમીકરણ $\cot^{-1} \alpha + \cot^{-1} \beta = \cot^{-1} x$ આપેલ છે.
ઇન્વર્સ કોટિજ્ય વિધેયોના સરવાળા માટેના પ્રમાણિત નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\cot^{-1} \alpha + \cot^{-1} \beta = \cot^{-1} \left( \frac{\alpha \beta - 1}{\alpha + \beta} \right)$.
આને આપેલ સમીકરણ $\cot^{-1} x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = \frac{\alpha \beta - 1}{\alpha + \beta}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: ${\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{2a}}{{1 + {a^2}}}} \right) + {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{2b}}{{1 + {b^2}}}} \right) = 2{\tan ^{ - 1}}x$
$a = \tan \theta$ અને $b = \tan \phi$ આદેશ લેતા:
${\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\tan \theta }}{{1 + {{\tan }^2}\theta }}} \right) + {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\tan \phi }}{{1 + {{\tan }^2}\phi }}} \right) = 2{\tan ^{ - 1}}x$
નિત્યસમ $\sin 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${\sin ^{ - 1}}(\sin 2\theta) + {\sin ^{ - 1}}(\sin 2\phi) = 2{\tan ^{ - 1}}x$
સાદુરૂપ આપતા:
$2\theta + 2\phi = 2{\tan ^{ - 1}}x$
$2$ વડે ભાગતા:
$\theta + \phi = {\tan ^{ - 1}}x$
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા:
$x = \tan(\theta + \phi)$
સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{\tan \theta + \tan \phi}{1 - \tan \theta \tan \phi}$
$a$ અને $b$ ની કિંમત પાછી મૂકતા:
$x = \frac{a + b}{1 - ab}$

(A) આપણે $xy < 1$ માટે સૂત્ર $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$\tan ^{-1} \frac{3}{4} + \tan ^{-1} \frac{3}{5}$ ની ગણતરી કરો:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{3}{4} + \frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{3}{5}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{15+12}{20}}{1 - \frac{9}{20}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{27/20}{11/20} \right) = \tan ^{-1} \frac{27}{11}$.
હવે,$\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરીને $\tan ^{-1} \frac{8}{19}$ બાદ કરો:
$\tan ^{-1} \frac{27}{11} - \tan ^{-1} \frac{8}{19} = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{27}{11} - \frac{8}{19}}{1 + \frac{27}{11} \times \frac{8}{19}} \right)$.
અંશની ગણતરી કરો: $\frac{27 \times 19 - 8 \times 11}{11 \times 19} = \frac{513 - 88}{209} = \frac{425}{209}$.
છેદની ગણતરી કરો: $1 + \frac{216}{209} = \frac{209 + 216}{209} = \frac{425}{209}$.
આમ,$\tan ^{-1} \left( \frac{425/209}{425/209} \right) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi }{4}$.

(C) આપણે સૂત્ર $2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,$4 \tan^{-1} \frac{1}{5} = 2 \left( 2 \tan^{-1} \frac{1}{5} \right) = 2 \tan^{-1} \left( \frac{2/5}{1 - 1/25} \right) = 2 \tan^{-1} \left( \frac{2/5}{24/25} \right) = 2 \tan^{-1} \left( \frac{5}{12} \right)$.
હવે,$2 \tan^{-1} \frac{5}{12} = \tan^{-1} \left( \frac{2(5/12)}{1 - (5/12)^2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5/6}{1 - 25/144} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5/6}{119/144} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5}{6} \times \frac{144}{119} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{120}{119} \right)$.
આગળ,આપણે $\tan^{-1} \frac{1}{99} - \tan^{-1} \frac{1}{70} = \tan^{-1} \left( \frac{1/99 - 1/70}{1 + (1/99)(1/70)} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{(70-99)/6930}{(6930+1)/6930} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{-29}{6931} \right) = -\tan^{-1} \left( \frac{1}{239} \right)$ ની ગણતરી કરીએ.
છેલ્લે,$\tan^{-1} \frac{120}{119} - \tan^{-1} \frac{1}{239} = \tan^{-1} \left( \frac{120/119 - 1/239}{1 + (120/119)(1/239)} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{(28680 - 119) / 28441}{(28441 + 120) / 28441} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{28561}{28561} \right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [-1, 1]$ માટે $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
તેથી,$\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x$ અને $\sin^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} y$ થાય.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x) + (\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} y) = \frac{2\pi}{3}$
$\pi - (\cos^{-1} x + \cos^{-1} y) = \frac{2\pi}{3}$
$\cos^{-1} x + \cos^{-1} y = \pi - \frac{2\pi}{3}$
$\cos^{-1} x + \cos^{-1} y = \frac{\pi}{3}$.

(A) સૂત્ર $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{4}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{2}{9}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{4} + \frac{2}{9}}{1 - \frac{1}{4} \times \frac{2}{9}}\right)$
$= \tan^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{36}}{1 - \frac{2}{36}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{17/36}{34/36}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{17}{34}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$
હવે,આપણે સૂત્ર $2\tan^{-1}x = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરીએ:
$\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \left( 2\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \right) = \frac{1}{2} \cos^{-1}\left(\frac{1-(1/2)^2}{1+(1/2)^2}\right)$
$= \frac{1}{2} \cos^{-1}\left(\frac{1-1/4}{1+1/4}\right) = \frac{1}{2} \cos^{-1}\left(\frac{3/4}{5/4}\right) = \frac{1}{2} \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.