Properties of ITF Questions in Gujarati

ધારો કે $\sin ^{-1} \frac{5}{13} = x$.
તેથી,$\sin x = \frac{5}{13}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos x = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
તેથી,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$,તેથી $x = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$.
આમ,$\sin ^{-1} \frac{5}{13} = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ $\ldots (1)$.
ધારો કે $\cos ^{-1} \frac{3}{5} = y$.
તેથી,$\cos y = \frac{3}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin y = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$\tan y = \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$,તેથી $y = \tan ^{-1} \frac{4}{3}$.
આમ,$\cos ^{-1} \frac{3}{5} = \tan ^{-1} \frac{4}{3}$ $\ldots (2)$.
હવે,જમણી બાજુ ($R$.$H$.$S$.) ધ્યાનમાં લો:
$\sin ^{-1} \frac{5}{13} + \cos ^{-1} \frac{3}{5} = \tan ^{-1} \frac{5}{12} + \tan ^{-1} \frac{4}{3}$.
સૂત્ર $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} (\frac{a+b}{1-ab})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan ^{-1} (\frac{\frac{5}{12} + \frac{4}{3}}{1 - \frac{5}{12} \times \frac{4}{3}}) = \tan ^{-1} (\frac{\frac{15+48}{36}}{1 - \frac{20}{36}}) = \tan ^{-1} (\frac{63/36}{16/36}) = \tan ^{-1} \frac{63}{16}$.
$= L.H.S.$
આમ,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.

(N/A) $L$.$H$.$S$ = $\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} \frac{1}{7}+\tan ^{-1} \frac{1}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{8}$
સૂત્ર $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદોને જૂથબદ્ધ કરીએ છીએ:
$= \left( \tan ^{-1} \frac{1}{5} + \tan ^{-1} \frac{1}{7} \right) + \left( \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{8} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{5} + \frac{1}{7}}{1 - \frac{1}{5} \times \frac{1}{7}} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{8}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{12}{35}}{\frac{34}{35}} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{11}{24}}{\frac{23}{24}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{12}{34} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{11}{23} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{6}{17} \right) + \tan ^{-1} \left( \frac{11}{23} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{6}{17} + \frac{11}{23}}{1 - \frac{6}{17} \times \frac{11}{23}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{138 + 187}{391}}{\frac{391 - 66}{391}} \right)$
$= \tan ^{-1} \left( \frac{325}{325} \right) = \tan ^{-1} (1) = \frac{\pi}{4} = R.H.S$

ધારો કે $x = \tan^2 \theta$.
તેથી $\sqrt{x} = \tan \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \tan^{-1} \sqrt{x}$.
પદ $\frac{1-x}{1+x}$ ને ધ્યાનમાં લો. $x = \tan^2 \theta$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \cos(2\theta)$.
હવે,જમણી બાજુ $(RHS)$ ને ધ્યાનમાં લો:
$RHS = \frac{1}{2} \cos^{-1} \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$
$= \frac{1}{2} \cos^{-1} (\cos 2\theta)$
$= \frac{1}{2} \times 2\theta = \theta$.
કારણ કે $\theta = \tan^{-1} \sqrt{x}$,તેથી $RHS = \tan^{-1} \sqrt{x} = LHS$.
આમ,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.

ધારો કે $y = \frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,અંશ અને છેદને $(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x})$ વડે ગુણતા:
$y = \frac{(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x})^2}{(\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x})(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x})}$
$y = \frac{(1+\sin x) + (1-\sin x) + 2\sqrt{(1+\sin x)(1-\sin x)}}{(1+\sin x) - (1-\sin x)}$
$y = \frac{2 + 2\sqrt{1-\sin^2 x}}{2\sin x} = \frac{2 + 2\cos x}{2\sin x} = \frac{1+\cos x}{\sin x}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1+\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2}$ અને $\sin x = 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{2\cos^2 \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}} = \cot \frac{x}{2}$
તેથી,$\cot^{-1}(y) = \cot^{-1}(\cot \frac{x}{2}) = \frac{x}{2}$,જે $R.H.S.$ છે.

(A) ધારો કે $x = \cos 2\theta$,તો $\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1} x$.
$L.H.S. = \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right)$
$x = \cos 2\theta$ મૂકતા:
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2\theta}-\sqrt{1-\cos 2\theta}}{\sqrt{1+\cos 2\theta}+\sqrt{1-\cos 2\theta}}\right)$
નિત્યસમ $1+\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta$ અને $1-\cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2\cos^2 \theta}-\sqrt{2\sin^2 \theta}}{\sqrt{2\cos^2 \theta}+\sqrt{2\sin^2 \theta}}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos \theta - \sqrt{2}\sin \theta}{\sqrt{2}\cos \theta + \sqrt{2}\sin \theta}\right)$
અંશ અને છેદને $\sqrt{2}\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$= \tan ^{-1}\left(\frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}\right)$
$\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan ^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)\right)$
$= \frac{\pi}{4} - \theta$
$\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1} x$ મૂકતા:
$= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos ^{-1} x = R.H.S.$

(A) $L.H.S. = \frac{9 \pi}{8} - \frac{9}{4} \sin^{-1} \frac{1}{3}$ લો.
પદમાંથી $\frac{9}{4}$ સામાન્ય લેતા:
$L.H.S. = \frac{9}{4} \left( \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{1}{3} \right)$.
નિત્યસમ $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{1}{3} = \cos^{-1} \frac{1}{3}$ મળે.
તેથી,$L.H.S. = \frac{9}{4} \cos^{-1} \frac{1}{3}$.
ધારો કે $\cos^{-1} \frac{1}{3} = \theta$. તેથી $\cos \theta = \frac{1}{3}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ હોવાથી,$\sin^2 \theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
તેથી,$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$.
આમ,$\theta = \sin^{-1} \frac{2 \sqrt{2}}{3}$.
આ કિંમત મૂકતા,$L.H.S. = \frac{9}{4} \sin^{-1} \frac{2 \sqrt{2}}{3} = R.H.S.$

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1} \frac{1-x}{1+x}=\frac{1}{2} \tan ^{-1} x$
નિત્યસમ $\tan ^{-1} a - \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} \frac{a-b}{1+ab}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\tan ^{-1} 1 - \tan ^{-1} x = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$.
કારણ કે $\tan ^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$,સમીકરણ $\frac{\pi}{4} - \tan ^{-1} x = \frac{1}{2} \tan ^{-1} x$ બને છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે $\frac{\pi}{4} = \tan ^{-1} x + \frac{1}{2} \tan ^{-1} x = \frac{3}{2} \tan ^{-1} x$.
બંને બાજુ $\frac{2}{3}$ વડે ગુણતા,$\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{\pi}{6}$ મળે છે.
બંને બાજુ ટેન્જેન્ટ લેતા,$x = \tan \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) આપણે સૂત્ર $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $A = \frac{x}{y}$ અને $B = \frac{x-y}{x+y}$.
$\tan ^{-1}\left(\frac{x}{y}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{x+y}\right) = \tan ^{-1}\left[\frac{\frac{x}{y}-\frac{x-y}{x+y}}{1+\left(\frac{x}{y}\right)\left(\frac{x-y}{x+y}\right)}\right]$
$= \tan ^{-1}\left[\frac{\frac{x(x+y)-y(x-y)}{y(x+y)}}{\frac{y(x+y)+x(x-y)}{y(x+y)}}\right]$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{x^{2}+xy-xy+y^{2}}{xy+y^{2}+x^{2}-xy}\right)$
$= \tan ^{-1}\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(A) આપેલ છે કે $y = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$.
ધારો કે $x = \tan \theta$,તેથી $\theta = \tan^{-1} x$.
$x = \tan \theta$ ને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y = \sin^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \sin^{-1}(\sin 2\theta)$
કારણ કે $|x| < 1$,$2\theta$ એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ની રેન્જમાં છે,તેથી $y = 2\theta$.
$\theta = \tan^{-1} x$ પાછું મૂકતા:
$y = 2 \tan^{-1} x$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{2}{1+x^2}$.

(A) આપેલ છે કે $y = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$.
ધારો કે $x = \tan \theta$,જ્યાં $\theta = \tan^{-1} x$. કારણ કે $0 < x < 1$,તેથી $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$.
$x = \tan \theta$ ને પદમાં મૂકતા:
$y = \cos^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \cos^{-1}(\cos 2\theta)$
કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,તેથી $0 < 2\theta < \frac{\pi}{2}$.
આમ,$y = 2\theta = 2 \tan^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{2}{1+x^2}$.

(A) આપેલ છે કે $y = \cos^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$.
ધારો કે $x = \tan \theta$,જ્યાં $\theta = \tan^{-1} x$. કારણ કે $-1 < x < 1$,તેથી $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$.
તેથી $\frac{2x}{1+x^2} = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \sin(2\theta)$.
તેથી,$y = \cos^{-1}(\sin(2\theta)) = \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - 2\theta))$.
કારણ કે $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$,તેથી $-\frac{\pi}{2} < 2\theta < \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $0 < \frac{\pi}{2} - 2\theta < \pi$.
આમ,$y = \frac{\pi}{2} - 2\theta = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 0 - 2 \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{-2}{1+x^2}$.

(A) આપેલ છે કે $y = \sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})$.
ધારો કે $x = \sin \theta$,તેથી $\theta = \sin^{-1} x$.
અહીં $-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$ મળે.
તેથી $y = \sin^{-1}(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta}) = \sin^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta) = \sin^{-1}(\sin 2\theta)$.
અહીં $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$-\frac{\pi}{2} < 2\theta < \frac{\pi}{2}$ થાય.
તેથી,$y = 2\theta = 2\sin^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$.

(B) આપેલ છે કે $y = \sec^{-1}\left(\frac{1}{2x^2 - 1}\right)$.
નિત્યસમ $\sec^{-1}(u) = \cos^{-1}(1/u)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \cos^{-1}(2x^2 - 1)$.
ધારો કે $x = \cos \theta$,તો $2x^2 - 1 = 2\cos^2 \theta - 1 = \cos(2\theta)$.
અહીં $0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$ મળે,તેથી $\frac{\pi}{2} < 2\theta < \pi$.
આમ,$y = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta = 2\cos^{-1}x$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \left(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{-2}{\sqrt{1-x^2}}$.

(A) આપેલ છે કે $y = \sin^{-1}x + \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$.
ધારો કે $x = \sin\theta$,તેથી $\theta = \sin^{-1}x$. જ્યાં $-1 \le x \le 1$ હોવાથી,$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ મળે.
તેથી $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{\cos^2\theta} = |\cos\theta|$.
કારણ કે $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos\theta \ge 0$,એટલે કે $|\cos\theta| = \cos\theta$.
આમ,$y = \sin^{-1}(\sin\theta) + \sin^{-1}(\cos\theta) = \theta + \sin^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} - \theta))$.
જ્યારે $x \in [0, 1]$,ત્યારે $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$,તેથી $y = \theta + (\frac{\pi}{2} - \theta) = \frac{\pi}{2}$.
જ્યારે $x \in [-1, 0]$,ત્યારે $-\frac{\pi}{2} \le \theta < 0$,તેથી $\cos\theta = \sin(\frac{\pi}{2} + \theta)$.
$y = \theta + \sin^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} + \theta))$. અહીં $\frac{\pi}{2} + \theta \in [0, \pi]$ હોવાથી,આપણે નિત્યસમ $\sin^{-1}(\sin A) = \pi - A$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$y = \theta + \pi - (\frac{\pi}{2} + \theta) = \frac{\pi}{2}$.
બંને કિસ્સાઓમાં,$y = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2}) = 0$.

(C) આપણી પાસે $S_{k} = \sum_{r=1}^{k} \tan^{-1}\left(\frac{6^{r}}{2 \cdot 2^{2r} + 3 \cdot 3^{2r}}\right)$ છે.
અંશ અને છેદને $3^{2r}$ વડે ભાગતા:
$S_{k} = \sum_{r=1}^{k} \tan^{-1}\left(\frac{(2/3)^r}{2 \cdot (2/3)^{2r} + 3}\right)$.
આ પદને $\frac{(2/3)^r - (2/3)^{r+1}}{1 + (2/3)^r \cdot (2/3)^{r+1}}$ તરીકે લખી શકાય.
આથી,આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S_{k} = \sum_{r=1}^{k} \left( \tan^{-1}((2/3)^r) - \tan^{-1}((2/3)^{r+1}) \right)$.
$S_{k} = \tan^{-1}(2/3) - \tan^{-1}((2/3)^{k+1})$.
જ્યારે $k \rightarrow \infty$,ત્યારે $(2/3)^{k+1} \rightarrow 0$.
તેથી,$S_{\infty} = \tan^{-1}(2/3) = \cot^{-1}(3/2)$.

(A) આપેલ શ્રેણી $\sum_{n=1}^{100} \cot^{-1}(2n^2)$ છે.
નિત્યસમ $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sum_{n=1}^{100} \tan^{-1}(\frac{1}{2n^2})$ મળે છે.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા,$\sum_{n=1}^{100} \tan^{-1}(\frac{2}{4n^2})$ મળે.
આને $\sum_{n=1}^{100} \tan^{-1}(\frac{(2n+1)-(2n-1)}{1+(2n+1)(2n-1)})$ તરીકે લખી શકાય.
$\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,સરવાળો $\sum_{n=1}^{100} (\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1))$ થાય છે.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $(\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + \dots + (\tan^{-1} 201 - \tan^{-1} 199)$.
પદો રદ થતા,આપણી પાસે $\tan^{-1} 201 - \tan^{-1} 1$ બાકી રહે છે.
ફરીથી સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan^{-1}(\frac{201-1}{1+201 \times 1}) = \tan^{-1}(\frac{200}{202}) = \tan^{-1}(\frac{100}{101})$.
તેથી $\cot^{-1}(\alpha) = \tan^{-1}(\frac{101}{100})$,એટલે કે $\alpha = \frac{101}{100} = 1.01$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}(x+1)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x-1}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{8}{31}\right)$.
ગુણધર્મ $\cot ^{-1}(u) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{u}\right)$ (જ્યારે $u > 0$) નો ઉપયોગ કરતા,જો $x > 1$ હોય તો $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x-1}\right) = \tan ^{-1}(x-1)$ થાય.
જો $x > 1$ હોય,તો $\tan ^{-1}(x+1) + \tan ^{-1}(x-1) = \tan ^{-1}\left(\frac{8}{31}\right)$.
$\tan(A+B)$ સૂત્ર મુજબ: $\frac{(x+1)+(x-1)}{1-(x+1)(x-1)} = \frac{8}{31} \Rightarrow \frac{2x}{2-x^2} = \frac{8}{31}$.
$4x^2 + 31x - 8 = 0$ ઉકેલતા,$x = \frac{1}{4}$ અથવા $x = -8$ મળે છે. બંને મૂલ્યો $x \leq 1$ હોવાથી,આ ધારણા ખોટી છે.
જો $x < 1$ હોય,તો $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{x-1}\right) = \pi + \tan ^{-1}(x-1)$ થાય.
તેથી $\tan ^{-1}(x+1) + \pi + \tan ^{-1}(x-1) = \tan ^{-1}\left(\frac{8}{31}\right)$.
$\tan ^{-1}\left(\frac{2x}{2-x^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{8}{31}\right) - \pi$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા: $\frac{2x}{2-x^2} = \frac{8}{31}$,જેનું સાદું રૂપ $4x^2 + 31x - 8 = 0$ છે.
ચકાસણી કરતા,માત્ર $x = -8$ શક્ય છે. તેથી $x$ ના શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $-8$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{\sin ^{-1} x}{a} = \frac{\cos ^{-1} x}{b} = \frac{\tan ^{-1} y}{c} = k$ (જ્યાં $k$ અચળ છે).
તેથી $\sin ^{-1} x = ak$,$\cos ^{-1} x = bk$,અને $\tan ^{-1} y = ck$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
કિંમતો મૂકતા,$ak + bk = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $k(a + b) = \frac{\pi}{2}$,અથવા $a + b = \frac{\pi}{2k}$.
હવે,આપણે $\cos \left(\frac{\pi c}{a + b}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$a + b = \frac{\pi}{2k}$ મૂકતા,આપણને મળે $\cos \left(\frac{\pi c}{\frac{\pi}{2k}}\right) = \cos (2ck)$.
કારણ કે $\tan ^{-1} y = ck$,તેથી $\cos (2ck) = \cos (2 \tan ^{-1} y)$.
સૂત્ર $\cos (2\theta) = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \tan ^{-1} y$,આપણને મળે $\cos (2 \tan ^{-1} y) = \frac{1 - y^2}{1 + y^2}$.

(A) ધારો કે $\frac{1}{4} \sin ^{-1} \frac{\sqrt{63}}{8} = \theta$.
તેથી,$\sin 4\theta = \frac{\sqrt{63}}{8}$.
$\cos^2 4\theta = 1 - \sin^2 4\theta = 1 - \frac{63}{64} = \frac{1}{64}$ હોવાથી,$\cos 4\theta = \frac{1}{8}$ મળે.
$\cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta - 1$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$2\cos^2 2\theta - 1 = \frac{1}{8}$,જેનો અર્થ છે કે $2\cos^2 2\theta = \frac{9}{8}$,તેથી $\cos^2 2\theta = \frac{9}{16}$.
આમ,$\cos 2\theta = \frac{3}{4}$.
$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$2\cos^2 \theta - 1 = \frac{3}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $2\cos^2 \theta = \frac{7}{4}$,તેથી $\cos^2 \theta = \frac{7}{8}$.
ત્યારબાદ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$.
તેથી,$\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1/8}{7/8} = \frac{1}{7}$.
આમ,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{7}}$.

(B) ધારો કે $x = 2 \cot^{-1}(5) + \cos^{-1}(\frac{4}{5})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot^{-1}(5) = \tan^{-1}(\frac{1}{5})$.
તેથી,$2 \cot^{-1}(5) = 2 \tan^{-1}(\frac{1}{5}) = \tan^{-1}(\frac{2(1/5)}{1-(1/5)^2}) = \tan^{-1}(\frac{2/5}{24/25}) = \tan^{-1}(\frac{5}{12})$.
વળી,$\cos^{-1}(\frac{4}{5}) = \tan^{-1}(\frac{3}{4})$ કારણ કે જો $\cos \theta = \frac{4}{5}$,તો $\tan \theta = \frac{3}{4}$.
આમ,પદાવલિ $\operatorname{cosec}[\tan^{-1}(\frac{5}{12}) + \tan^{-1}(\frac{3}{4})]$ બને છે.
સૂત્ર $\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1}(\frac{A+B}{1-AB})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}(\frac{5/12 + 3/4}{1 - (5/12)(3/4)}) = \tan^{-1}(\frac{14/12}{33/48}) = \tan^{-1}(\frac{56}{33})$.
અંતે,$\operatorname{cosec}(\tan^{-1}(\frac{56}{33}))$. જો $\theta = \tan^{-1}(\frac{56}{33})$,તો $\tan \theta = \frac{56}{33}$.
$\operatorname{cosec} \theta = \sqrt{1 + \cot^2 \theta} = \sqrt{1 + (33/56)^2} = \sqrt{\frac{3136 + 1089}{3136}} = \sqrt{\frac{4225}{3136}} = \frac{65}{56}$.

(B) આપેલ છે કે $a = (\sin ^{-1} x)^{2}-(\cos ^{-1} x)^{2}$.
નિત્યસમ $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a = (\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x)(\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,તેથી:
$a = \frac{\pi}{2}(\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x)$.
$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x$ મૂકતા:
$a = \frac{\pi}{2}(\frac{\pi}{2} - 2 \cos ^{-1} x)$.
$\frac{2a}{\pi} = \frac{\pi}{2} - 2 \cos ^{-1} x$.
$2 \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \frac{2a}{\pi}$.
બંને બાજુ કોસાઇન (cosine) લેતા:
$\cos(2 \cos ^{-1} x) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{2a}{\pi})$.
નિત્યસમ $\cos(2 \theta) = 2 \cos^2 \theta - 1$ અને $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 x^2 - 1 = \sin(\frac{2a}{\pi})$.

(D) ધારો કે $g(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$.
$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ માટે,$(x + \frac{\pi}{4}) \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ થાય.
તેથી,$g(x) \in [1, \sqrt{2}]$ મળે.
વિધેય $f(x) = \tan^{-1}(g(x))$ વધતું વિધેય હોવાથી,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[\tan^{-1}(1), \tan^{-1}(\sqrt{2})] = [\frac{\pi}{4}, \tan^{-1}(\sqrt{2})]$ થશે.
તેથી,$m = \frac{\pi}{4}$ અને $M = \tan^{-1}(\sqrt{2})$ મળે.
આપણે $\tan(M - m) = \tan(\tan^{-1}(\sqrt{2}) - \frac{\pi}{4})$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(M - m) = \frac{\sqrt{2} - 1}{1 + \sqrt{2}(1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 - 2\sqrt{2}$.

(D) ધારો કે $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ અને $\beta = \sin^{-1}\left(\frac{5}{13}\right)$.
આપણે $\tan(2\alpha + \beta)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,$\beta$ ને $\tan^{-1}$ સ્વરૂપમાં ફેરવો: $\sin \beta = \frac{5}{13}$ હોવાથી,$\tan \beta = \frac{5}{\sqrt{13^2 - 5^2}} = \frac{5}{12}$. તેથી,$\beta = \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)$.
હવે,$2\alpha = 2\tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2 \cdot \frac{3}{5}}{1 - (\frac{3}{5})^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{6/5}{1 - 9/25}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{6/5}{16/25}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{6}{5} \cdot \frac{25}{16}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right)$.
હવે આપણે $\tan(2\alpha + \beta) = \tan\left(\tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{5}{12}\right)\right)$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan\left(\tan^{-1}\left(\frac{\frac{15}{8} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{15}{8} \cdot \frac{5}{12}}\right)\right) = \frac{\frac{45+10}{24}}{1 - \frac{75}{96}} = \frac{55/24}{21/96} = \frac{55}{24} \cdot \frac{96}{21} = \frac{55 \cdot 4}{21} = \frac{220}{21}$.

(B) આપેલ પ્રક્રિયા $x * y = x^{2} + y^{3}$ છે.
પ્રથમ,$(x * 1) * 1 = x * (1 * 1)$ ની ગણતરી કરીએ:
$(x * 1) = x^{2} + 1^{3} = x^{2} + 1$.
તેથી,$(x * 1) * 1 = (x^{2} + 1) * 1 = (x^{2} + 1)^{2} + 1^{3} = (x^{2} + 1)^{2} + 1$.
હવે,$x * (1 * 1)$ ની ગણતરી કરીએ:
$(1 * 1) = 1^{2} + 1^{3} = 2$.
તેથી,$x * (1 * 1) = x * 2 = x^{2} + 2^{3} = x^{2} + 8$.
બંને બાજુ સરખાવતા:
$(x^{2} + 1)^{2} + 1 = x^{2} + 8$
$x^{4} + 2x^{2} + 1 + 1 = x^{2} + 8$
$x^{4} + x^{2} - 6 = 0$.
ધારો કે $t = x^{2}$,તો $t^{2} + t - 6 = 0$,જેના અવયવો $(t + 3)(t - 2) = 0$ થાય.
$x^{2} = t$ એ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x^{2} = 2$.
હવે $x^{2} = 2$ ને $2 \sin^{-1}\left(\frac{x^{4} + x^{2} - 2}{x^{4} + x^{2} + 2}\right)$ માં મૂકતા:
$x^{4} = (x^{2})^{2} = 2^{2} = 4$.
પદાવલિ $= 2 \sin^{-1}\left(\frac{4 + 2 - 2}{4 + 2 + 2}\right) = 2 \sin^{-1}\left(\frac{4}{8}\right) = 2 \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.
કારણ કે $\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$,તેથી કિંમત $2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ થાય.

(B) આપેલ છે $y = \tan^{-1}(\sec x^3 - \tan x^3)$.
$y = \tan^{-1}\left(\frac{1 - \sin x^3}{\cos x^3}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1 - \cos(\frac{\pi}{2} - x^3)}{\sin(\frac{\pi}{2} - x^3)}\right)$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ અને $\sin \theta = 2 \sin(\frac{\theta}{2}) \cos(\frac{\theta}{2})$,આપણને મળે:
$y = \tan^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{x^3}{2})\right)$.
કારણ કે $\frac{\pi}{2} < x^3 < \frac{3\pi}{2}$,તેથી $-\frac{3\pi}{4} < -\frac{x^3}{2} < -\frac{\pi}{4}$.
$\frac{\pi}{4}$ ઉમેરતા,આપણને મળે $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} - \frac{x^3}{2} < 0$.
આમ,$y = \frac{\pi}{4} - \frac{x^3}{2}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = -\frac{1}{2} \cdot 3x^2 = -\frac{3}{2}x^2$.
$y'' = -\frac{3}{2} \cdot 2x = -3x$.
$y = \frac{\pi}{4} - \frac{x^3}{2}$ પરથી,આપણી પાસે $x^3 = \frac{\pi}{2} - 2y$ છે.
વળી,$x^2 = -\frac{2}{3} y'$.
$y'' = -3x$ માં $x^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $x^2 y'' = x^2 (-3x) = -3x^3 = -3(\frac{\pi}{2} - 2y) = -\frac{3\pi}{2} + 6y$.
તેથી,$x^2 y'' - 6y + \frac{3\pi}{2} = 0$.

(A) ધારો કે $f(x) = (\tan^{-1} x)^3 + (\cot^{-1} x)^3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $u = \tan^{-1} x$. તો $\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$.
કારણ કે $x \in \mathbb{R}$,$u \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
હવે,$f(x) = u^3 + (\frac{\pi}{2} - u)^3 = u^3 + \frac{\pi^3}{8} - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{3\pi}{2}u^2 - u^3 = \frac{3\pi}{2}u^2 - \frac{3\pi^2}{4}u + \frac{\pi^3}{8}$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $f(x) = \frac{3\pi}{2}(u^2 - \frac{\pi}{2}u) + \frac{\pi^3}{8} = \frac{3\pi}{2}(u - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{3\pi}{2}(\frac{\pi^2}{16}) + \frac{\pi^3}{8} = \frac{3\pi}{2}(u - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^3}{32}$.
કારણ કે $u \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$,$(u - \frac{\pi}{4})^2$ નો વિસ્તાર $[0, (-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})^2) = [0, \frac{9\pi^2}{16})$ છે.
આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[\frac{\pi^3}{32}, \frac{3\pi}{2}(\frac{9\pi^2}{16}) + \frac{\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{27\pi^3}{32} + \frac{\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{28\pi^3}{32}) = [\frac{\pi^3}{32}, \frac{7\pi^3}{8})$ છે.
આપેલ છે કે $f(x) = k \pi^3$,તેથી $k \in [\frac{1}{32}, \frac{7}{8})$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}\right) = \tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y$.
આપેલ પદ $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+n+n^{2}}\right)$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$\tan ^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}\right) = \tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1} n$.
હવે,સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$\sum\limits_{n=1}^{50} \left(\tan ^{-1}(n+1) - \tan ^{-1} n\right) = (\tan ^{-1} 2 - \tan ^{-1} 1) + (\tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} 2) + \dots + (\tan ^{-1} 51 - \tan ^{-1} 50)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી તે સરળ બનીને મળે છે:
$\tan ^{-1} 51 - \tan ^{-1} 1$.
સૂત્ર $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} 51 - \tan ^{-1} 1 = \tan ^{-1} \left(\frac{51-1}{1+51 \times 1}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{50}{52}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{25}{26}\right)$.
છેલ્લે,આપણે $\cot \left(\tan ^{-1} \left(\frac{25}{26}\right)\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $\cot(\tan ^{-1} x) = \frac{1}{x}$,તેથી:
$\cot \left(\tan ^{-1} \left(\frac{25}{26}\right)\right) = \frac{26}{25}$.

(C) દરેક પદને પ્રતિવિધેયોની મુખ્ય કિંમતોના આધારે ઉકેલીએ:
$1$. $\sin ^{-1}\left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right)$ માટે:
$\frac{2 \pi}{3}$ એ મુખ્ય વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં નથી,તેથી $\sin \frac{2 \pi}{3} = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{\pi}{3}$.
તેથી,$\sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}$.
$2$. $\cos ^{-1}\left(\cos \frac{7 \pi}{6}\right)$ માટે:
$\frac{7 \pi}{6}$ એ મુખ્ય વિસ્તાર $[0, \pi]$ માં નથી,તેથી $\cos \frac{7 \pi}{6} = \cos(2\pi - \frac{5\pi}{6}) = \cos \frac{5 \pi}{6}$.
તેથી,$\cos ^{-1}\left(\cos \frac{5 \pi}{6}\right) = \frac{5 \pi}{6}$.
$3$. $\tan ^{-1}\left(\tan \frac{3 \pi}{4}\right)$ માટે:
$\frac{3 \pi}{4}$ એ મુખ્ય વિસ્તાર $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ માં નથી,તેથી $\tan \frac{3 \pi}{4} = \tan(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\tan \frac{\pi}{4} = \tan(-\frac{\pi}{4})$.
તેથી,$\tan ^{-1}\left(\tan(-\frac{\pi}{4})\right) = -\frac{\pi}{4}$.
સરવાળો કરતા:
$\frac{\pi}{3} + \frac{5 \pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi + 10\pi - 3\pi}{12} = \frac{11 \pi}{12}$.

(B) આપેલ છે કે $\frac{\sin ^{-1} x}{\alpha}=\frac{\cos ^{-1} x}{\beta} = k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
કિંમતો મૂકતા,$k \alpha + k \beta = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $k(\alpha + \beta) = \frac{\pi}{2}$,તેથી $k = \frac{\pi}{2(\alpha + \beta)}$.
$\sin ^{-1} x = k \alpha$ પરથી,આપણને મળે $\alpha = \frac{\sin ^{-1} x}{k} = \frac{2(\alpha + \beta) \sin ^{-1} x}{\pi}$.
તેથી,$\frac{\alpha}{\alpha + \beta} = \frac{2 \sin ^{-1} x}{\pi}$.
આપણે $\sin \left(\frac{2 \pi \alpha}{\alpha + \beta}\right)$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તર મૂકતા,$\sin \left(2 \pi \cdot \frac{2 \sin ^{-1} x}{\pi}\right) = \sin (4 \sin ^{-1} x)$.
સૂત્ર $\sin(4\theta) = 4 \sin \theta \cos \theta (1 - 2 \sin^2 \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા.
ધારો કે $\theta = \sin ^{-1} x$,તો $\sin \theta = x$ અને $\cos \theta = \sqrt{1 - x^2}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $4 x \sqrt{1 - x^2} (1 - 2 x^2)$ મળે છે.

(B) ધારો કે પદાવલિ $E = \tan \left(2 \tan ^{-1} \frac{1}{5} + 2 \tan ^{-1} \frac{1}{8} + \sec ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}\right)$ છે.
પ્રથમ,$\sec ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}$ ને સરળ બનાવો. ધારો કે $\theta = \sec ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2}$,તો $\sec \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$,તેથી $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$. આમ,$\tan \theta = \sqrt{(\sqrt{5}/2)^2 - 1} = \sqrt{5/4 - 1} = \sqrt{1/4} = \frac{1}{2}$. તેથી,$\sec ^{-1} \frac{\sqrt{5}}{2} = \tan ^{-1} \frac{1}{2}$.
હવે,$E = \tan \left(2 \left(\tan ^{-1} \frac{1}{5} + \tan ^{-1} \frac{1}{8}\right) + \tan ^{-1} \frac{1}{2}\right)$.
$\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\tan ^{-1} \frac{1}{5} + \tan ^{-1} \frac{1}{8} = \tan ^{-1} \left(\frac{1/5 + 1/8}{1 - 1/40}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{13/40}{39/40}\right) = \tan ^{-1} \frac{1}{3}$.
તેથી,$E = \tan \left(2 \tan ^{-1} \frac{1}{3} + \tan ^{-1} \frac{1}{2}\right)$.
$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left(\frac{2x}{1-x^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $2 \tan ^{-1} \frac{1}{3} = \tan ^{-1} \left(\frac{2/3}{1-1/9}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{2/3}{8/9}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{8}\right) = \tan ^{-1} \frac{3}{4}$.
હવે,$E = \tan \left(\tan ^{-1} \frac{3}{4} + \tan ^{-1} \frac{1}{2}\right) = \tan \left(\tan ^{-1} \left(\frac{3/4 + 1/2}{1 - (3/4)(1/2)}\right)\right) = \frac{5/4}{1 - 3/8} = \frac{5/4}{5/8} = \frac{5}{4} \times \frac{8}{5} = 2$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{2 x}\right)=\frac{\pi}{3}$.
$y > 0$ માટે $\cot ^{-1}(y) = \tan ^{-1}(\frac{1}{y})$ હોવાથી,$\frac{1-x^2}{2x} > 0$ એટલે કે $x(1-x^2) > 0$ માટે $\cot ^{-1}(\frac{1-x^2}{2x}) = \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2})$ થાય.
કિસ્સો $I$: $x(1-x^2) > 0$. આ $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$ માટે સાચું છે.
જો $x \in (0, 1)$ હોય,તો $\frac{2x}{1-x^2} > 0$,તેથી $2 \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = \frac{\pi}{6}$.
તેથી $\frac{2x}{1-x^2} = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x^2 + 2\sqrt{3}x - 1 = 0$. $x > 0$ માટે ઉકેલતા,$x = 2 - \sqrt{3}$.
કિસ્સો $II$: $x(1-x^2) < 0$. આ $x \in (-1, 0)$ માટે સાચું છે.
ત્યારે $\cot ^{-1}(\frac{1-x^2}{2x}) = \pi + \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2})$ થાય.
સમીકરણ $2 \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) + \pi = \frac{\pi}{3} \Rightarrow 2 \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = -\frac{2\pi}{3} \Rightarrow \tan ^{-1}(\frac{2x}{1-x^2}) = -\frac{\pi}{3}$.
તેથી $\frac{2x}{1-x^2} = \tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3}x^2 - 2x - \sqrt{3} = 0$. $x < 0$ માટે ઉકેલતા,$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
ઉકેલોનો સરવાળો $(2 - \sqrt{3}) + (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 - \frac{4}{\sqrt{3}}$ થાય.
$\alpha - \frac{4}{\sqrt{3}}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 2$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $a_1, a_2, \ldots, a_{2022}$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે,તેથી $a_{k+1} - a_k = 1$ દરેક $k \ge 1$ માટે.
$a_1 = 1$ હોવાથી,$a_2 = 2, a_3 = 3, \ldots, a_{2022} = 2022$ થાય.
શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+ a _k a _{k+1}}\right)$ છે.
$a_{k+1} - a_k = 1$ હોવાથી,આપણે પદને $\tan ^{-1}\left(\frac{a_{k+1} - a_k}{1+ a _k a _{k+1}}\right)$ તરીકે લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,શ્રેણી નીચે મુજબ બને છે:
$\sum_{k=1}^{2021} (\tan ^{-1} a_{k+1} - \tan ^{-1} a_k) = (\tan ^{-1} a_2 - \tan ^{-1} a_1) + (\tan ^{-1} a_3 - \tan ^{-1} a_2) + \ldots + (\tan ^{-1} a_{2022} - \tan ^{-1} a_{2021})$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,જેનું સાદું રૂપ $\tan ^{-1} a_{2022} - \tan ^{-1} a_1$ થાય છે.
$a_{2022} = 2022$ અને $a_1 = 1$ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\tan ^{-1}(2022) - \tan ^{-1}(1) = \tan ^{-1}(2022) - \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $\sin^{-1}(\sin \theta) - \cos^{-1}(\sin \theta) > 0$.
$\cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(x)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sin^{-1}(\sin \theta) - (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\sin \theta)) > 0$.
$2 \sin^{-1}(\sin \theta) > \frac{\pi}{2} \Rightarrow \sin^{-1}(\sin \theta) > \frac{\pi}{4}$.
આનો અર્થ છે $\sin \theta > \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\theta \in (0, 2\pi)$ માટે,$\sin \theta > \frac{1}{\sqrt{2}}$ એ $\theta \in (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$ માટે સાચું છે.
તેથી,$(a, b) = (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$,એટલે કે $b - a = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
આપેલ છે $\alpha - \beta = b - a = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\beta = \alpha - \frac{\pi}{2}$.
સમીકરણ $\alpha x^2 + \beta x + \sin^{-1}((x-3)^2 + 1) + \cos^{-1}((x-3)^2 + 1) = 0$ છે.
$\sin^{-1}(y) + \cos^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$y = (x-3)^2 + 1$ માટે,$(x-3)^2 + 1 = 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $x = 3$.
$x = 3$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\alpha(3)^2 + \beta(3) + \frac{\pi}{2} = 0$.
$9\alpha + 3(\alpha - \frac{\pi}{2}) + \frac{\pi}{2} = 0$.
$12\alpha - \pi = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{12}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos ^{-1}(2 x)-2 \cos ^{-1} \sqrt{1-x^2}=\pi$.
$x \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ હોવાથી,ધારો કે $x = \sin \theta$,જ્યાં $\theta \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.
તેથી $\sqrt{1-x^2} = \cos \theta$. $\theta \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$ હોવાથી,$\cos \theta \geq 0$,તેથી $\cos^{-1}(\sqrt{1-x^2}) = \cos^{-1}(\cos \theta) = |\theta|$.
કિસ્સો $1$: $x \geq 0 \implies \theta \in [0, \frac{\pi}{6}]$. સમીકરણ $\cos^{-1}(2x) - 2\theta = \pi$ બને છે,જે શક્ય નથી.
કિસ્સો $2$: $x < 0 \implies \theta \in [-\frac{\pi}{6}, 0)$. સમીકરણ ઉકેલતા $x = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
$x = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ માટે,$x^2 - 1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$2\sin^{-1}(x^2-1) = 2\sin^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3}$.

(C) આપેલ શરત $0 < x < 1$ છે.
સમીકરણ $2 \tan^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ છે.
ધારો કે $x = \tan \theta$. કારણ કે $0 < x < 1$,તેથી $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ મળે.
સમીકરણમાં $x = \tan \theta$ મૂકતા:
$2 \tan^{-1}\left(\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}\right)$.
નિત્યસમ $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$ અને $\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} - \theta)) = \cos^{-1}(\cos 2\theta)$.
કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,તેથી $0 < \frac{\pi}{4} - \theta < \frac{\pi}{4}$ અને $0 < 2\theta < \frac{\pi}{2}$ મળે.
તેથી,$2(\frac{\pi}{4} - \theta) = 2\theta$.
$\frac{\pi}{2} - 2\theta = 2\theta \implies 4\theta = \frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{8}$.
તેથી $x = \tan(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414$.
કારણ કે $0.414 < 0.5$,તેથી $n(S) = 1$ અને ઘટક $\frac{1}{2}$ કરતા નાનો છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+1}}\right) - \sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) = \frac{\pi}{4}$.
ધારો કે $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+1}}\right)$ અને $\beta = \sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)$.
તેથી $\sin \alpha = \frac{x+1}{\sqrt{(x+1)^2+1}}$ અને $\sin \beta = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
કારણ કે $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2+1}}$ અને $\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$,આપણને મળે $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2+1}\sqrt{x^2+1}}$.
આપેલ છે કે $\alpha - \beta = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\frac{1}{\sqrt{(x+1)^2+1}\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies ((x+1)^2+1)(x^2+1) = 2$.
$(x^2+2x+2)(x^2+1) = 2 \implies x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 2 = 2 \implies x(x+1)(x^2+x+2) = 0$.
વાસ્તવિક ઉકેલો $x=0$ અને $x=-1$ મળે છે.
$S = \{-1, 0\}$.
$x=0$ માટે,$\sin(5\pi/2) - \cos(5\pi) = 1 - (-1) = 2$.
$x=-1$ માટે,$\sin(5\pi/2) - \cos(5\pi) = 1 - (-1) = 2$.
સરવાળો $= 2 + 2 = 4$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(2x) = \frac{\pi}{4}$ જ્યાં $x > 0$.
નિત્યસમ $\tan ^{-1}(A) + \tan ^{-1}(B) = \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{x + 2x}{1 - x(2x)}\right) = \frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{3x}{1 - 2x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$
$\Rightarrow 3x = 1 - 2x^2$
$\Rightarrow 2x^2 + 3x - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$
આપણે $x > 0$ ની જરૂર હોવાથી,આપણે ઋણ ઉકેલને અવગણીશું:
$x = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$
અહીં $\sqrt{17} > 3$ હોવાથી,આ મૂલ્ય ધન છે. આમ,$x$ નું માત્ર $1$ ધન વાસ્તવિક મૂલ્ય મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^{-1}(\sin x) = x - 2n\pi$ જ્યાં $x \in [2n\pi - \frac{\pi}{2}, 2n\pi + \frac{\pi}{2}]$ છે.
$5$ રેડિયન એ $[\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$ અંતરાલમાં હોવાથી,$a = \sin^{-1}(\sin 5) = 5 - 2\pi$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^{-1}(\cos x) = 2n\pi - x$ જ્યાં $x \in [(2n-1)\pi, 2n\pi]$ છે.
$5$ રેડિયન એ $[\pi, 2\pi]$ અંતરાલમાં હોવાથી,$b = \cos^{-1}(\cos 5) = 2\pi - 5$ મળે.
હવે,$a^2 + b^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$a^2 + b^2 = (5 - 2\pi)^2 + (2\pi - 5)^2$
$= (5 - 2\pi)^2 + (5 - 2\pi)^2$
$= 2(5 - 2\pi)^2$
$= 2(25 - 20\pi + 4\pi^2)$
$= 50 - 40\pi + 8\pi^2$
$= 8\pi^2 - 40\pi + 50$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cot ^{-1} 3+\cot ^{-1} 4+\cot ^{-1} 5+\cot ^{-1} n=\frac{\pi}{4}$.
$x > 0$ માટે $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} (1/x)$ નો ઉપયોગ કરીને $\tan ^{-1}$ માં ફેરવતા:
$\tan ^{-1} \frac{1}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{4}+\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\tan ^{-1} \frac{1}{n}=\frac{\pi}{4}$.
પ્રથમ,$\tan ^{-1} \frac{1}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{4} = \tan ^{-1} \left(\frac{1/3+1/4}{1-(1/3)(1/4)}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{7/12}{11/12}\right) = \tan ^{-1} \frac{7}{11}$ મેળવીએ.
હવે,$\tan ^{-1} \frac{1}{5}$ ઉમેરતા: $\tan ^{-1} \frac{7}{11}+\tan ^{-1} \frac{1}{5} = \tan ^{-1} \left(\frac{7/11+1/5}{1-(7/11)(1/5)}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{46/55}{48/55}\right) = \tan ^{-1} \frac{46}{48} = \tan ^{-1} \frac{23}{24}$.
તેથી,$\tan ^{-1} \frac{23}{24} + \tan ^{-1} \frac{1}{n} = \frac{\pi}{4}$.
$\tan ^{-1} \frac{1}{n} = \tan ^{-1} 1 - \tan ^{-1} \frac{23}{24} = \tan ^{-1} \left(\frac{1-23/24}{1+(1)(23/24)}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{1/24}{47/24}\right) = \tan ^{-1} \frac{1}{47}$.
આમ,$n = 47$.

(A) આપણને સમીકરણ $2 \sin ^{-1} x + 3 \cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5}$ આપેલું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$, જેનો અર્થ છે કે $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x$.
આ કિંમતને આપેલા સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x) + 3 \cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5}$
$\pi - 2 \cos ^{-1} x + 3 \cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5}$
$\pi + \cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5}$
$\cos ^{-1} x = \frac{2 \pi}{5} - \pi$
$\cos ^{-1} x = -\frac{3 \pi}{5}$
$\cos ^{-1} x$ ના મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $[0, \pi]$ હોવાથી, $-\frac{3 \pi}{5}$ આ વિસ્તારની બહાર છે.
તેથી, $x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જે આ સમીકરણનું સમાધાન કરે.
આમ, વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{i=1}^{\infty} x^{i+1} = \frac{x^2}{1-x}$,$\sum_{i=1}^{\infty} (\frac{x}{2})^i = \frac{x}{2-x}$,$\sum_{i=1}^{\infty} (-\frac{x}{2})^i = \frac{-x}{2+x}$,અને $\sum_{i=1}^{\infty} (-x)^i = \frac{-x}{1+x}$.
આપેલ સમીકરણ $A=B$ માં પરિણમે છે.
$\frac{x^2}{(1-x)(2-x)} = \frac{x}{(1+x)(2+x)}$
$x=0$ એ ઉકેલ છે. અન્ય ઉકેલ માટે $x^3+2x^2+5x-2=0$ મળે છે.
$f(x) = x^3+2x^2+5x-2$ માટે $f(0)=-2$ અને $f(1/2) > 0$ હોવાથી,અંતરાલ $(0, 1/2)$ માં એક ઉકેલ છે.
કુલ $2$ ઉકેલો મળે છે.

(A) ધારો કે $x = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$. તેથી $\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
આપેલ ત્રિકોણ પરથી,$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+\pi^2}}$,તેથી $\cos ^{-1} \sqrt{\frac{2}{2+\pi^2}} = \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
હવે,$\sin ^{-1} \left( \frac{2 \sqrt{2} \pi}{2+\pi^2} \right) = \sin ^{-1} \left( \frac{2(\pi/\sqrt{2})}{1+(\pi/\sqrt{2})^2} \right)$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $x = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \approx \frac{3.14}{1.414} > 1$,આપણે સૂત્ર $\sin ^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right) = \pi - 2 \tan ^{-1} x$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તેથી,$\sin ^{-1} \left( \frac{2 \sqrt{2} \pi}{2+\pi^2} \right) = \pi - 2 \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
વળી,$\tan ^{-1} \frac{\sqrt{2}}{\pi} = \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
પદાવલિ $= \frac{3}{2} \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} \left( \pi - 2 \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} \right) + \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
$= \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \right) \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \frac{\pi}{4} + \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
$= \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \frac{\pi}{4}$.
$= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,$\frac{3 \times 3.14159}{4} \approx 2.356$. તેથી,મૂલ્ય આશરે $2.35$ છે.

(B) ધારો કે $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ અને $\sin \alpha = \frac{5}{13}$. તેથી $\tan \alpha = \frac{5}{12}$,એટલે કે $\alpha = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$.
આપેલ પદાવલિ $\cos ^{-1}(\cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha)$ છે.
નિત્યસમ $\cos(x - \alpha) = \cos x \cos \alpha + \sin x \sin \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $\cos ^{-1}(\cos(x - \alpha))$ બને છે.
અહીં $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3 \pi}{4}$ અને $\alpha = \tan ^{-1} \frac{5}{12} \approx 22.6^\circ$ હોવાથી,$x - \alpha \in [\frac{\pi}{2} - \alpha, \frac{3 \pi}{4} - \alpha]$ મળે.
જેથી $0 \leq x - \alpha \leq \pi$ હોવાથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $x - \alpha$ થાય.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $x - \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ મળે છે.

(D) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = \cot ^{-1}\left\{\beta+\frac{1+\beta^2}{\alpha-\beta}\right\}+\cot ^{-1}\left\{\gamma+\frac{1+\gamma^2}{\beta-\gamma}\right\}+\cot ^{-1}\left\{\alpha+\frac{1+\alpha^2}{\gamma-\alpha}\right\}$ છે.
$\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(1/x)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \tan^{-1}\left(\frac{\alpha-\beta}{1+\alpha\beta}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\beta-\gamma}{1+\beta\gamma}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{\gamma-\alpha}{1+\gamma\alpha}\right)$.
$\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ સૂત્ર મુજબ:
$S = (\tan^{-1}\alpha - \tan^{-1}\beta) + (\tan^{-1}\beta - \tan^{-1}\gamma) + (\tan^{-1}\gamma - \tan^{-1}\alpha + \pi) = \pi$.

(B) ધારો કે $x = \sin^{-1} \frac{3}{5}$,$y = \sin^{-1} \frac{5}{13}$,અને $z = \sin^{-1} \frac{33}{65}$ છે.
$\tan^{-1}$ સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$x = \tan^{-1} \frac{3}{4}$,$y = \tan^{-1} \frac{5}{12}$,અને $z = \tan^{-1} \frac{33}{56}$ મળે.
હવે,$\tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{5}{12} = \tan^{-1} \left( \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12}} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{14/12}{33/48} \right) = \tan^{-1} \frac{56}{33}$ થાય.
તેથી,પદાવલિ $\cos \left( \tan^{-1} \frac{56}{33} + \tan^{-1} \frac{33}{56} \right)$ બને છે.
$\tan^{-1} \frac{33}{56} = \cot^{-1} \frac{56}{33}$ હોવાથી,$\cos \left( \tan^{-1} \frac{56}{33} + \cot^{-1} \frac{56}{33} \right)$ મળે.
નિત્યસમ $\tan^{-1} \theta + \cot^{-1} \theta = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $y = \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{1}{2} \sqrt{1-x^2}\right)$.
આપેલ છે કે $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$,ધારો કે $x = \sin \theta$. તેથી $\theta = \sin ^{-1} x$.
કારણ કે $-\frac{1}{2} < \sin \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $-\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{4}$ મળે.
$x = \sin \theta$ ને પદમાં મૂકતા:
$y = \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta\right)$
$y = \sin ^{-1}\left(\sin \theta \cos \frac{\pi}{6} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{6}\right)$
$y = \sin ^{-1}\left(\sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)\right)$.
કારણ કે $-\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{4}$,તેથી $0 < \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{12}$ મળે.
$\sin ^{-1}$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ હોવાથી અને $0 < \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{12}$ આ વિસ્તારમાં હોવાથી,$\sin ^{-1}(\sin(\theta + \frac{\pi}{6})) = \theta + \frac{\pi}{6}$ થાય.
આમ,$y = \sin ^{-1} x + \frac{\pi}{6}$.

(A) ધારો કે $f(x) = \cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan ^2 x}-1}{\tan x}\right)$. $2$ એ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sec 2 < 0$,તેથી $\sqrt{1+\tan^2 2} = |\sec 2| = -\sec 2$. આમ,પ્રથમ પદ $\cot ^{-1}\left(\frac{-\sec 2 - 1}{\tan 2}\right) = \cot ^{-1}\left(\frac{-(1+\cos 2)}{\sin 2}\right) = \cot ^{-1}\left(-\cot 1\right) = \pi - \cot ^{-1}(\cot 1) = \pi - 1$ થાય.
બીજા પદ માટે,$1/2$ એ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\sec(1/2) > 0$,તેથી $\sqrt{1+\tan^2(1/2)} = \sec(1/2)$. આમ,બીજું પદ $\cot ^{-1}\left(\frac{\sec(1/2) + 1}{\tan(1/2)}\right) = \cot ^{-1}\left(\frac{1+\cos(1/2)}{\sin(1/2)}\right) = \cot ^{-1}\left(\cot(1/4)\right) = 1/4$ થાય.
બંનેની બાદબાકી કરતા,આપણને $(\pi - 1) - 1/4 = \pi - 5/4$ મળે છે.

(D) ધારો કે $y = \tan^{-1}\left(\frac{6x\sqrt{x}}{1-9x^3}\right)$.
આપણે $\tan^{-1}$ ના પદને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{2(3x\sqrt{x})}{1-(3x\sqrt{x})^2}\right)$.
સૂત્ર $2\tan^{-1}(\theta) = \tan^{-1}\left(\frac{2\theta}{1-\theta^2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = 3x\sqrt{x} = 3x^{3/2}$,આપણને મળે:
$y = 2\tan^{-1}(3x^{3/2})$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+(3x^{3/2})^2} \cdot \frac{d}{dx}(3x^{3/2})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+9x^3} \cdot (3 \cdot \frac{3}{2} x^{1/2})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+9x^3} \cdot \frac{9}{2} \sqrt{x} = \frac{9\sqrt{x}}{1+9x^3}$.
આપેલ છે કે $\frac{dy}{dx} = \sqrt{x} \cdot g(x)$,તેથી $\sqrt{x} \cdot g(x) = \frac{9\sqrt{x}}{1+9x^3}$.
આમ,$g(x) = \frac{9}{1+9x^3}$.

(B) આપેલ છે કે $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$ અને $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{2 \cos^2 \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}}}$
$y = \tan^{-1} \sqrt{\cot^2 \frac{x}{2}}$
$y = \tan^{-1} \left( \cot \frac{x}{2} \right)$
કારણ કે $\cot \frac{x}{2} = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} \right)$,તેથી:
$y = \tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} \right) \right)$
$y = \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{x}{2} \right) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.