Mix Examples-ITF Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $x = \frac{ab}{cr}$,$y = \frac{bc}{ar}$,અને $z = \frac{ca}{br}$.
આપણને આપેલ છે કે $a^2+b^2+c^2=r^2$.
ગુણાકાર $xyz = \frac{ab}{cr} \times \frac{bc}{ar} \times \frac{ca}{br} = \frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2} = 1$ થાય છે.
જ્યારે $xyz = 1$ હોય,ત્યારે આપણે નિત્યસમ $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) + \tan^{-1}(z) = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
તેથી,આપેલ પદાવલિનું મૂલ્ય $\frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1}\left(x+\frac{2}{x}\right) - \tan^{-1}\left(x-\frac{2}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)$.
નિત્યસમ $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $A = x+\frac{2}{x}$ અને $B = x-\frac{2}{x}$.
તેથી $A-B = (x+\frac{2}{x}) - (x-\frac{2}{x}) = \frac{4}{x}$.
અને $1+AB = 1 + (x+\frac{2}{x})(x-\frac{2}{x}) = 1 + (x^2 - \frac{4}{x^2}) = x^2 - \frac{4}{x^2} + 1$.
તેથી,$\tan^{-1}\left(\frac{4/x}{1 + x^2 - 4/x^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4}{x}\right)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{4/x}{1 + x^2 - 4/x^2} = \frac{4}{x}$.
ધારો કે $x \neq 0$,$4/x$ વડે ભાગતા આપણને $1 + x^2 - 4/x^2 = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 4/x^2 = 0$ થાય છે.
આમ $x^4 = 4$,તેથી $x^2 = 2$,જે $x = \pm \sqrt{2}$ આપે છે.
બંને કિંમતો મૂળ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે. તેથી,$2$ ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}(x+1)+\tan ^{-1}(x-1)+\tan ^{-1} x=\tan ^{-1} 3$.
નિત્યસમ $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{(x+1)+(x-1)}{1-(x+1)(x-1)} \right) + \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} 3$.
$\tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-(x^2-1)} \right) + \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} 3$.
$\tan ^{-1} \left( \frac{2x}{2-x^2} \right) + \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} 3$.
ફરીથી નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2x}{2-x^2} + x}{1 - \frac{2x^2}{2-x^2}} \right) = \tan ^{-1} 3$.
$\frac{2x + 2x - x^3}{2-x^2-2x^2} = 3$.
$\frac{4x-x^3}{2-3x^2} = 3$.
$4x - x^3 = 6 - 9x^2$.
$x^3 - 9x^2 - 4x + 6 = 0$.
$x < 0$ હોવાથી,$x = -1$ એ ઉકેલ છે: $(-1)^3 - 9(-1)^2 - 4(-1) + 6 = -1 - 9 + 4 + 6 = 0$.
$(x+1)$ વડે ભાગતા,$(x+1)(x^2 - 10x + 6) = 0$ મળે.
ઉકેલ $x = -1$ અને $x = 5 \pm \sqrt{19}$ છે. $x < 0$ હોવાથી,$x = -1$ લેતા.
$500x^4 + 270x^2 + 997$ માં $x = -1$ મૂકતા:
$500(-1)^4 + 270(-1)^2 + 997 = 500 + 270 + 997 = 1767$.

(C) આપણે નિત્યસમ $\tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
દરેક પદને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
$1. \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+x(x+1)}\right) = \tan^{-1}(x+1) - \tan^{-1}(x)$
$2. \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+(x+1)(x+2)}\right) = \tan^{-1}(x+2) - \tan^{-1}(x+1)$
$3. \tan^{-1}\left(\frac{1}{1+(x+2)(x+3)}\right) = \tan^{-1}(x+3) - \tan^{-1}(x+2)$
આનો સરવાળો કરતા,આપણને $y = \tan^{-1}(x+3) - \tan^{-1}(x)$ મળે છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = \frac{1}{1+(x+3)^2} - \frac{1}{1+x^2}$.
$x=0$ આગળ કિંમત મુકતા:
$y'(0) = \frac{1}{1+3^2} - \frac{1}{1+0^2} = \frac{1}{10} - 1 = -\frac{9}{10}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}+\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}=\frac{\pi}{2}$.
$\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$x(x+1) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
$\sin ^{-1} \sqrt{x^2+x+1}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,દલીલ $0 \leq \sqrt{x^2+x+1} \leq 1$ નું પાલન કરવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $0 \leq x^2+x+1 \leq 1$.
અસમતા $x^2+x+1 \leq 1$ એ $x^2+x \leq 0$ માં પરિણમે છે,અથવા $x(x+1) \leq 0$.
$x(x+1) \geq 0$ અને $x(x+1) \leq 0$ ને જોડતા,આપણને $x(x+1) = 0$ મળે છે.
આનાથી $x = 0$ અથવા $x = -1$ મળે છે.
$x = 0$ તપાસતા: $\tan ^{-1}(0) + \sin ^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. આ એક ઉકેલ છે.
$x = -1$ તપાસતા: $\tan ^{-1}(0) + \sin ^{-1}(1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. આ પણ એક ઉકેલ છે.
આમ,કુલ $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(C) ધારો કે $\theta = \cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\phi = \tan ^{-1} \frac{1}{2}$ છે.
ચૂકી $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{4}$,અને તેથી $\tan \theta = 1$ થાય.
આપેલ પદાવલિ $\tan (\theta + \phi)$ છે.
સૂત્ર $\tan (\theta + \phi) = \frac{\tan \theta + \tan \phi}{1 - \tan \theta \tan \phi}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan (\theta + \phi) = \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - (1)(\frac{1}{2})} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$.

(C) આપણે નિત્યસમ $\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \sin^{-1} (x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2})$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$\sin^{-1} \frac{4}{5} + \sin^{-1} \frac{5}{13}$ ની ગણતરી કરીએ:
$= \sin^{-1} \left(\frac{4}{5} \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} + \frac{5}{13} \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2}\right)$
$= \sin^{-1} \left(\frac{4}{5} \times \frac{12}{13} + \frac{5}{13} \times \frac{3}{5}\right)$
$= \sin^{-1} \left(\frac{48}{65} + \frac{15}{65}\right) = \sin^{-1} \frac{63}{65}$.
હવે,પદાવલિ $\pi + \sin^{-1} \frac{63}{65} + \sin^{-1} \frac{16}{65}$ બને છે.
ધારો કે $\alpha = \sin^{-1} \frac{63}{65}$,તો $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{63}{65})^2} = \sqrt{\frac{4225 - 3969}{4225}} = \sqrt{\frac{256}{4225}} = \frac{16}{65}$.
આમ,$\sin^{-1} \frac{63}{65} = \cos^{-1} \frac{16}{65}$.
આ કિંમત મૂકતા: $\pi + \cos^{-1} \frac{16}{65} + \sin^{-1} \frac{16}{65}$.
કારણ કે $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,તેથી આપણને $\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\theta_1 = \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$. તેથી $\cos \theta_1 = \frac{4}{5}$.
નિત્યસમ $\tan \theta_1 = \frac{\sqrt{1-\cos^2 \theta_1}}{\cos \theta_1} = \frac{\sqrt{1-(16/25)}}{4/5} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$\cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
હવે,પદાવલિ $\tan \left(\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right)$ બને છે.
સૂત્ર $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan \left(\tan^{-1} \left(\frac{\frac{3}{4} + \frac{2}{3}}{1 - \frac{3}{4} \times \frac{2}{3}}\right)\right)$.
$= \tan \left(\tan^{-1} \left(\frac{\frac{9+8}{12}}{1 - \frac{6}{12}}\right)\right) = \tan \left(\tan^{-1} \left(\frac{17/12}{6/12}\right)\right) = \tan \left(\tan^{-1} \left(\frac{17}{6}\right)\right) = \frac{17}{6}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^2 + 5|x| - 6 = 0$.
$x^2 = |x|^2$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ: $|x|^2 + 5|x| - 6 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(|x| + 6)(|x| - 1) = 0$.
તેથી $|x| = 1$ અથવા $|x| = -6$.
$|x|$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $|x| = 1$,જેનો અર્થ છે $x = 1$ અથવા $x = -1$.
ધારો કે $\alpha = 1$ અને $\beta = -1$.
તેથી,$|\tan^{-1} \alpha - \tan^{-1} \beta| = |\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)|$.
$= |\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})| = |\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}| = |\frac{\pi}{2}| = \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2y = x + z$ . . . $(i)$
વળી,$\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2 \tan^{-1} y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} z$.
સૂત્ર $\tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \tan^{-1} (\frac{a+b}{1-ab})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\tan^{-1} (\frac{2y}{1-y^2}) = \tan^{-1} (\frac{x+z}{1-xz})$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$.
$(i)$ માંથી $x+z = 2y$ મૂકતા,આપણને મળે $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{2y}{1-xz}$.
$y < 1$ હોવાથી,$1-y^2 = 1-xz$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $y^2 = xz$ થાય છે.
આમ,$x, y, z$ એ $A.P.$ અને $G.P.$ બંનેમાં હોવાથી,$x = y = z$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $G$.$P$. માં છે,તેથી $y^2 = xz$ $(i)$.
વળી,$\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ એ $A$.$P$. માં છે,તેથી $2 \tan^{-1} y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} z$.
$\tan^{-1} A + \tan^{-1} B = \tan^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ સૂત્ર વાપરતા,$\tan^{-1} \left( \frac{2y}{1-y^2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{x+z}{1-xz} \right)$ મળે.
આથી $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$.
$y^2 = xz$ હોવાથી,છેદ સમાન છે,તેથી $2y = x+z$ (ii).
$(i)$ અને (ii) પરથી,$x, y, z$ એ $A$.$P$. અને $G$.$P$. બંનેમાં છે,જે સૂચવે છે કે $x = y = z$.

(C) ધારો કે $x = 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$.
તેથી $\tan \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{5}$.
સૂત્ર $\tan x = \frac{2 \tan (x/2)}{1 - \tan^2 (x/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan x = \frac{2(1/5)}{1 - (1/5)^2} = \frac{2/5}{24/25} = \frac{5}{12}$.
હવે,$\tan \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધીએ.
સૂત્ર $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{5/12 + 1}{1 - 5/12} = \frac{17/12}{7/12} = \frac{17}{7}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1}(1-x)-2 \sin ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $\sin ^{-1} x = \theta$,તો $x = \sin \theta$. જ્યાં $x \in [-1, 1]$,તેથી $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\sin ^{-1}(1-x) = \frac{\pi}{2} + 2\theta$.
બંને બાજુ $\sin$ લેતા: $1-x = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\theta) = \cos(2\theta)$.
નિત્યસમ $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1-x = 1 - 2x^2$ મળે છે.
આનું સાદુરૂપ આપતા $2x^2 - x = 0$,એટલે કે $x(2x-1) = 0$.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = \frac{1}{2}$.
$x = 0$ ચકાસતા: $\sin^{-1}(1) - 2\sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. આ ઉકેલ છે.
$x = \frac{1}{2}$ ચકાસતા: $\sin^{-1}(1-\frac{1}{2}) - 2\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \sin^{-1}(\frac{1}{2}) - 2(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2}$.
તેથી,માત્ર $x = 0$ એ સાચો ઉકેલ છે.

(A) ધારો કે $\theta = \operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3} + \tan^{-1} \frac{2}{3}$.
$\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3} = \sin^{-1} \frac{3}{5}$ હોવાથી,$\theta = \sin^{-1} \frac{3}{5} + \tan^{-1} \frac{2}{3}$ થાય.
ધારો કે $\alpha = \sin^{-1} \frac{3}{5}$,તો $\sin \alpha = \frac{3}{5}$,તેથી $\tan \alpha = \frac{3}{4}$ થાય.
આમ,$\theta = \tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{2}{3}$.
સૂત્ર $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{3/4 + 2/3}{1 - (3/4)(2/3)} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{9/12 + 8/12}{1 - 6/12} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{17/12}{6/12} \right) = \tan^{-1} \frac{17}{6}$.
આપેલ પદ $\cot \left( \frac{2019 \pi}{2} - \theta \right)$ છે.
$\frac{2019 \pi}{2} = 1009 \pi + \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\cot \left( 1009 \pi + \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cot \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \tan \theta$ થાય.
$\theta = \tan^{-1} \frac{17}{6}$ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{17}{6}$ મળે.

(C) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ જાણીએ છીએ: $\sec ^2(\theta) = 1 + \tan ^2(\theta)$ અને $\operatorname{cosec}^2(\theta) = 1 + \cot ^2(\theta)$.
ધારો કે $\theta_1 = \tan ^{-1} 3$,તો $\tan(\theta_1) = 3$.
ધારો કે $\theta_2 = \cot ^{-1} 3$,તો $\cot(\theta_2) = 3$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sec ^2(\tan ^{-1} 3) = 1 + \tan ^2(\tan ^{-1} 3) = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$.
$\operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = 1 + \cot ^2(\cot ^{-1} 3) = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$10 + 10 = 20$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}+\sin ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1}=\frac{\pi}{2}$ છે.
પ્રદેશ માટે,આપણી પાસે $x(x+1) \ge 0$ અને $0 \le x^2+x+1 \le 1$ હોવું જોઈએ.
શરત $x^2+x+1 \le 1$ નો અર્થ છે $x^2+x \le 0$,જેનો અર્થ છે $x(x+1) \le 0$.
$x(x+1) \ge 0$ અને $x(x+1) \le 0$ ને જોડતા,આપણને $x(x+1) = 0$ મળે છે,તેથી $x=0$ અથવા $x=-1$.
જો $x=0$ હોય,તો સમીકરણ $\tan ^{-1} (0) + \sin ^{-1} (1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ બને છે. આ એક ઉકેલ છે.
જો $x=-1$ હોય,તો સમીકરણ $\tan ^{-1} (0) + \sin ^{-1} (1) = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ બને છે. આ પણ એક ઉકેલ છે.
આમ,કુલ $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(C) આપેલ છે કે $\cos ^{-1}(x)+\cos ^{-1}(y)+\cos ^{-1}(z)=3 \pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1}(\theta)$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.
તેથી,દરેક પદ $\cos ^{-1}(x)$,$\cos ^{-1}(y)$,અને $\cos ^{-1}(z)$ ની મહત્તમ કિંમત $\pi$ છે.
તેમનો સરવાળો $3 \pi$ થાય તે માટે,દરેક પદની કિંમત $\pi$ હોવી જોઈએ.
આમ,$\cos ^{-1}(x)=\pi$,$\cos ^{-1}(y)=\pi$,અને $\cos ^{-1}(z)=\pi$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \cos(\pi) = -1$,$y = \cos(\pi) = -1$,અને $z = \cos(\pi) = -1$.
હવે,આ કિંમતોને $x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)$ પદાવલીમાં મૂકતા:
$= (-1)(-1-1) + (-1)(-1-1) + (-1)(-1-1)$
$= (-1)(-2) + (-1)(-2) + (-1)(-2)$
$= 2 + 2 + 2 = 6$.

(D) શ્રેણીનું સામાન્ય પદ $T_r = \tan^{-1}\left(\frac{1}{x^2 + (2r-1)x + (r^2-r+1)}\right)$ છે,જ્યાં $r=1, 2, \dots, n$.
આપણે દલીલને આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{1}{1 + (x+r)(x+r-1)} = \frac{(x+r) - (x+r-1)}{1 + (x+r)(x+r-1)}$.
તેથી,$T_r = \tan^{-1}(x+r) - \tan^{-1}(x+r-1)$.
$r=1$ થી $n$ સુધી આ પદોનો સરવાળો કરતા:
$y = \sum_{r=1}^{n} [\tan^{-1}(x+r) - \tan^{-1}(x+r-1)]$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$y = (\tan^{-1}(x+1) - \tan^{-1}(x)) + (\tan^{-1}(x+2) - \tan^{-1}(x+1)) + \dots + (\tan^{-1}(x+n) - \tan^{-1}(x+n-1))$.
$y = \tan^{-1}(x+n) - \tan^{-1}(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(x+n)^2} - \frac{1}{1+x^2}$.
$x=0$ આગળ કિંમત મુકતા:
$y'(0) = \frac{1}{1+n^2} - \frac{1}{1+0^2} = \frac{1}{1+n^2} - 1 = \frac{1 - 1 - n^2}{1+n^2} = -\frac{n^2}{1+n^2}$.

(A) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{r=1}^{\infty} \cot ^{-1}(2r^2) = \sum_{r=1}^{\infty} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2r^2}\right)$ છે.
આપણે $\tan^{-1}$ ના પદને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$\frac{1}{2r^2} = \frac{2}{4r^2} = \frac{(2r+1)-(2r-1)}{1+(2r+1)(2r-1)}$.
સૂત્ર $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \sum_{r=1}^{\infty} [\tan^{-1}(2r+1) - \tan^{-1}(2r-1)]$.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા:
$S = (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + (\tan^{-1} 7 - \tan^{-1} 5) + \dots$
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે જેમાં તમામ મધ્યવર્તી પદો ઉડી જાય છે.
$S = \lim_{n \to \infty} [\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(1)]$.
કારણ કે $\lim_{n \to \infty} \tan^{-1}(2n+1) = \frac{\pi}{2}$ અને $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,
તેથી $S = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(A) આપેલ છે કે $\frac{(x+1)^{2}}{x^{3}+x}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+1}$.
ડાબી બાજુના અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{x^{2}+2x+1}{x(x^{2}+1)} = \frac{x^{2}+1}{x(x^{2}+1)} + \frac{2x}{x(x^{2}+1)} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}+1}$.
આને $\frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=1$,$B=0$,અને $C=2$ મળે છે.
હવે,આપણે $\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{1}{A}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{B}\right)+\sec ^{-1} C$ ની કિંમત શોધીએ.
નોંધો કે $\cot^{-1}(\frac{1}{0})$ એ $\cot^{-1}(\infty) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\operatorname{cosec}^{-1}(1) + \cot^{-1}(\infty) + \sec^{-1}(2) = \frac{\pi}{2} + 0 + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $4^{\sec^2 \alpha} x^2 + 2x + (\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) = 0$ માટે વાસ્તવિક બીજ હોવા માટે વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (2)^2 - 4(4^{\sec^2 \alpha})(\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) \geq 0$
$4^{\sec^2 \alpha}(\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) \leq 1$
અહીં $\sec^2 \alpha \geq 1$ હોવાથી $4^{\sec^2 \alpha} \geq 4$ અને $\beta^2 - \beta + \frac{1}{2} = (\beta - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} \geq \frac{1}{4}$ થાય.
તેથી,$4^{\sec^2 \alpha}(\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) \geq 4 \times \frac{1}{4} = 1$ મળે.
આથી,$4^{\sec^2 \alpha} = 4$ અને $\beta = \frac{1}{2}$ લેતા,$\cos^2 \alpha = 1$ મળે.
પરિણામે,$\cos^2 \alpha + \cos^{-1} \beta = 1 + \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 1 + \frac{\pi}{3}$.

(B) ધારો કે $\theta = 2 \tan^{-1} x$. તેથી $\cot \theta = \cot(2 \tan^{-1} x) = \frac{1 - x^2}{2x}$.
આપેલ સમીકરણ $\sin(2 \cos^{-1}(\cot \theta)) = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \cos^{-1}(\cot \theta) = n\pi$,જ્યાં $n$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$\cos^{-1}(\cot \theta) = \frac{n\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\cot \theta = \cos(\frac{n\pi}{2})$.
$\cos^{-1}$ ના વિસ્તાર માટે,$0 \le \cos^{-1}(\cot \theta) \le \pi$,તેથી $n = 0, 1, 2$ હોઈ શકે.
કિસ્સો $1$: $n=0 \implies \cot \theta = 1 \implies x^2 + 2x - 1 = 0 \implies x = -1 \pm \sqrt{2}$.
કિસ્સો $2$: $n=1 \implies \cot \theta = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
કિસ્સો $3$: $n=2 \implies \cot \theta = -1 \implies x^2 - 2x - 1 = 0 \implies x = 1 \pm \sqrt{2}$.
આમ,કુલ $6$ ઉકેલો મળે છે.

(A) ધારો કે $x = \cos \theta$. જેમ $x \rightarrow 1$,તેમ $\theta \rightarrow 0$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:
$\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos \theta}-1}{\theta^2}$
અંશ અને છેદને $(\sqrt{\cos \theta}+1)$ વડે ગુણતા:
$= \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\cos \theta - 1}{\theta^2(\sqrt{\cos \theta}+1)}$
નિત્યસમ $\cos \theta - 1 = -2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{-2 \sin^2(\frac{\theta}{2})}{\theta^2(\sqrt{\cos \theta}+1)}$
$= \lim _{\theta}$ ${\rightarrow 0} -2 \cdot \left(\frac{\sin(\frac{\theta}{2})}{\frac{\theta}{2} \cdot 2}\right)^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{\cos \theta}+1}$
$= -2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+1} = -2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

(D) $a, b, 8, 5, 10$ નો મધ્યક $6$ આપેલ છે:
$\frac{a+b+8+5+10}{5} = 6 \implies a+b+23 = 30 \implies a+b = 7$.
વિચરણ $6.80$ છે:
$\frac{a^2+b^2+8^2+5^2+10^2}{5} - (6)^2 = 6.80$.
$\frac{a^2+b^2+189}{5} = 42.80$.
$a^2+b^2 = 25$.
$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$ પરથી,$49 = 25 + 2ab \implies ab = 12$.
$\operatorname{Tan}^{-1} \frac{1}{a} + \operatorname{Tan}^{-1} \frac{1}{b} = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{a+b}{ab-1} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{7}{12-1} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \frac{7}{11}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1}\left(\frac{3 x}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{4 x}{5}\right)=\sin ^{-1}(x)$.
બંને બાજુ $\sin$ લેતા:
$\frac{3x}{5}\sqrt{1-\frac{16x^2}{25}} + \frac{4x}{5}\sqrt{1-\frac{9x^2}{25}} = x$.
જો $x=0$ હોય,તો સમીકરણ સાચું ઠરે છે.
$x \neq 0$ માટે,$x$ વડે ભાગતા:
$\frac{3}{25}\sqrt{25-16x^2} + \frac{4}{25}\sqrt{25-9x^2} = 1$.
$3\sqrt{25-16x^2} + 4\sqrt{25-9x^2} = 25$.
ધારો કે $3\sqrt{25-16x^2} = 25 - 4\sqrt{25-9x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$9(25-16x^2) = 625 + 16(25-9x^2) - 200\sqrt{25-9x^2}$.
$225 - 144x^2 = 625 + 400 - 144x^2 - 200\sqrt{25-9x^2}$.
$200\sqrt{25-9x^2} = 800$.
$\sqrt{25-9x^2} = 4$.
$25-9x^2 = 16 \Rightarrow 9x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
$x=1$ ચકાસતા: $\sin^{-1}(3/5) + \sin^{-1}(4/5) = \sin^{-1}(1) = \pi/2$. જે સાચું છે.
$x=-1$ ચકાસતા: $\sin^{-1}(-3/5) + \sin^{-1}(-4/5) = -(\sin^{-1}(3/5) + \sin^{-1}(4/5)) = -\pi/2 = \sin^{-1}(-1)$. જે સાચું છે.
$x$ ના મૂલ્યો $0, 1, -1$ છે. તેથી સરવાળો $0 + 1 + (-1) = 0$ થાય.

(B) ધારો કે $f(x) = 2(\cos ^{-1} x)^2-\pi \cos ^{-1} x+\frac{\pi^2}{4}$.
ધારો કે $y = \cos ^{-1} x$. કારણ કે $x \in [-1, 1]$,તેથી $y \in [0, \pi]$.
તેથી $f(y) = 2y^2 - \pi y + \frac{\pi^2}{4}$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $f(y) = 2(y^2 - \frac{\pi}{2}y) + \frac{\pi^2}{4} = 2(y - \frac{\pi}{4})^2 - \frac{\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{4} = 2(y - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^2}{8}$.
$y \in [0, \pi]$ માટે,ન્યૂનતમ કિંમત $y = \frac{\pi}{4}$ પર મળે છે,જે $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{8}$ છે.
મહત્તમ કિંમત સીમા $y = \pi$ પર મળે છે (કારણ કે $|\pi - \frac{\pi}{4}| > |0 - \frac{\pi}{4}|$).
$f(\pi) = 2(\pi - \frac{\pi}{4})^2 + \frac{\pi^2}{8} = 2(\frac{3\pi}{4})^2 + \frac{\pi^2}{8} = 2(\frac{9\pi^2}{16}) + \frac{\pi^2}{8} = \frac{9\pi^2}{8} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{10\pi^2}{8} = \frac{5\pi^2}{4}$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો $\frac{5\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{8} = \frac{10\pi^2 + \pi^2}{8} = \frac{11\pi^2}{8}$ થાય.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [-1, 1]$ માટે,$\operatorname{Cos}^{-1}(-x) + \operatorname{Sin}^{-1}(-x) = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
આપેલ વિધેય $f(x) = \operatorname{Cos}^{-1}(-x) + \operatorname{Sin}^{-1}(-x) + \operatorname{Cosec}^{-1}(x)$ માં આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Cosec}^{-1}(x)$.
$\operatorname{Cosec}^{-1}(x)$ નો પ્રદેશ $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $x \in [1, \infty)$,તો $\operatorname{Cos}^{-1}(-x)$ અને $\operatorname{Sin}^{-1}(-x)$ ના પ્રદેશ (જે $[-1, 1]$ છે) મુજબ માત્ર $x = 1$ શક્ય છે.
$f(1) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Cosec}^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$.
કિસ્સો $2$: જો $x \in (-\infty, -1]$,તો $\operatorname{Cos}^{-1}(-x)$ અને $\operatorname{Sin}^{-1}(-x)$ ના પ્રદેશ મુજબ માત્ર $x = -1$ શક્ય છે.
$f(-1) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{Cosec}^{-1}(-1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $\{0, \pi\}$ છે.

(D) ધારો કે $u = x^2 + 2x + k$. સમીકરણ $2 \operatorname{Cot}^{-1}(u) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(u)$ બને છે.
નિત્યસમ $\operatorname{Cot}^{-1}(u) = \frac{\pi}{2} - \operatorname{Tan}^{-1}(u)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(\frac{\pi}{2} - \operatorname{Tan}^{-1}(u)) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(u)$
$\pi - 2 \operatorname{Tan}^{-1}(u) = \pi - 3 \operatorname{Tan}^{-1}(u)$
$\operatorname{Tan}^{-1}(u) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $u = 0$.
તેથી,$x^2 + 2x + k = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણને બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો મળે તે માટે વિવેચક $D > 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(k) = 4 - 4k$.
$D > 0$ લેતા,$4 - 4k > 0$,જેનું સાદું રૂપ $4 > 4k$ અથવા $k < 1$ થાય છે.
આમ,$k \in (-\infty, 1)$.

(A) ધારો કે $\theta = \tan^{-1} \left(\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}\right)$. તેથી $\tan \theta = \frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}$.
નિત્યસમ $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sec^2 \theta = 1 + \frac{a^2}{b^2-a^2} = \frac{b^2-a^2+a^2}{b^2-a^2} = \frac{b^2}{b^2-a^2}$.
તેથી,$\sec \theta = \frac{b}{\sqrt{b^2-a^2}}$.
હવે,ધારો કે $\phi = \cos^{-1} x$. તેથી $\cos \phi = x$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \phi = \sqrt{1-x^2}$.
તેથી,$\cot \phi = \frac{\cos \phi}{\sin \phi} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
આપેલ સમીકરણ $\cot \phi = \sec \theta$ છે,તેથી $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{b}{\sqrt{b^2-a^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{x^2}{1-x^2} = \frac{b^2}{b^2-a^2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $x^2(b^2-a^2) = b^2(1-x^2) = b^2 - b^2x^2$.
$x^2(b^2-a^2+b^2) = b^2$.
$x^2(2b^2-a^2) = b^2$.
$x^2 = \frac{b^2}{2b^2-a^2}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$x = \frac{b}{\sqrt{2b^2-a^2}}$.

(A) આપેલ છે,$x=\sin \left(2 \tan ^{-1} 2\right)$ અને $y=\sin \left(\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{4}{3}\right)$.
$x$ માટે,ધારો કે $\tan ^{-1} 2 = \alpha$,તેથી $\tan \alpha = 2$.
તેથી $x = \sin(2\alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{2(2)}{1 + 2^2} = \frac{4}{5} = 0.8$.
$y$ માટે,ધારો કે $\tan ^{-1} \frac{4}{3} = \beta$,તેથી $\tan \beta = \frac{4}{3}$.
$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \beta}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (16/9)}} = \frac{1}{\sqrt{25/9}} = \frac{3}{5}$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી $y = \sin(\beta/2) = \sqrt{\frac{1 - \cos \beta}{2}} = \sqrt{\frac{1 - 3/5}{2}} = \sqrt{\frac{2/5}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447$.
આમ,$0.8 > 0.447$ હોવાથી,$x > y$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sin [2 \cos^{-1} \cot (2 \tan^{-1} x)] = 0$ છે.
ધારો કે $\theta = 2 \tan^{-1} x$. તો $\cot \theta = \cot (2 \tan^{-1} x) = \frac{1 - \tan^2(\tan^{-1} x)}{2 \tan(\tan^{-1} x)} = \frac{1 - x^2}{2x}$.
સમીકરણ $\sin [2 \cos^{-1} (\frac{1 - x^2}{2x})] = 0$ બને છે.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \cos^{-1} (\frac{1 - x^2}{2x}) = n\pi$,જ્યાં $n$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$\cos^{-1} (\frac{1 - x^2}{2x}) = \frac{n\pi}{2}$.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા,$\frac{1 - x^2}{2x} = \cos(\frac{n\pi}{2})$.
વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$\cos^{-1}$ નો આર્ગ્યુમેન્ટ $[-1, 1]$ માં હોવો જોઈએ,તેથી $|\frac{1 - x^2}{2x}| \le 1$.
$\cos(\frac{n\pi}{2})$ માટે શક્ય મૂલ્યો $0, 1, -1$ છે.
કિસ્સો $1$: $\frac{1 - x^2}{2x} = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
કિસ્સો $2$: $\frac{1 - x^2}{2x} = 1 \Rightarrow x^2 + 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \pm \sqrt{2}$.
કિસ્સો $3$: $\frac{1 - x^2}{2x} = -1 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}$.
આ તમામ $6$ મૂલ્યો શરત $|\frac{1 - x^2}{2x}| \le 1$ નું પાલન કરે છે.
આમ,$x$ ના $6$ ભિન્ન મૂલ્યો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos ^{-1}(1-x)-2 \cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $\cos ^{-1} x = \theta$,તો $x = \cos \theta$,જ્યાં $\theta \in [0, \pi]$.
સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $\cos ^{-1}(1-\cos \theta) - 2\theta = \frac{\pi}{2}$.
$\cos ^{-1}(1-\cos \theta) = \frac{\pi}{2} + 2\theta$.
બંને બાજુ $\cos$ લેતા:
$1-\cos \theta = \cos(\frac{\pi}{2} + 2\theta) = -\sin(2\theta)$.
$1-\cos \theta = -2\sin \theta \cos \theta$.
$1 - (1-2\sin^2(\frac{\theta}{2})) = -2(2\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2}))\cos \theta$.
$2\sin^2(\frac{\theta}{2}) = -4\sin(\frac{\theta}{2})\cos(\frac{\theta}{2})\cos \theta$.
કિસ્સો $1$: $\sin(\frac{\theta}{2}) = 0 \implies \theta = 0 \implies x = \cos 0 = 1$.
$x=1$ ચકાસતા: $\cos ^{-1}(0) - 2\cos ^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. આ એક ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $\sin(\frac{\theta}{2}) = -2\cos(\frac{\theta}{2})\cos \theta$.
$\tan(\frac{\theta}{2}) = -2\cos \theta$. કારણ કે $\theta \in [0, \pi]$,$\tan(\frac{\theta}{2}) \ge 0$ અને $-2\cos \theta$ ઋણ હોઈ શકે છે. $\theta \in [0, \pi/2]$ માટે,$\cos \theta \ge 0$,તેથી $-2\cos \theta \le 0$. માત્ર $\theta=0$ પર જ છેદન બિંદુ મળે છે (જે પહેલેથી મળી ગયું છે).
આમ,માત્ર એક જ ઉકેલ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\cos ^4 \frac{\pi}{8}+\cos ^4 \frac{3 \pi}{8}+\cos ^4 \frac{5 \pi}{8}+\cos ^4 \frac{7 \pi}{8} = k$.
$\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^4(\frac{\pi}{2} + \theta) = \sin^4 \theta$ મળે.
તેથી,$\cos^4 \frac{5 \pi}{8} = \cos^4(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}) = \sin^4 \frac{\pi}{8}$ અને $\cos^4 \frac{7 \pi}{8} = \cos^4(\frac{\pi}{2} + \frac{3 \pi}{8}) = \sin^4 \frac{3 \pi}{8}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$k = (\cos^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{\pi}{8}) + (\cos^4 \frac{3 \pi}{8} + \sin^4 \frac{3 \pi}{8})$.
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા,$k = [(\cos^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8})^2 - 2 \sin^2 \frac{\pi}{8} \cos^2 \frac{\pi}{8}] + [(\cos^2 \frac{3 \pi}{8} + \sin^2 \frac{3 \pi}{8})^2 - 2 \sin^2 \frac{3 \pi}{8} \cos^2 \frac{3 \pi}{8}]$.
$\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{1}{4} \sin^2(2 \theta)$ હોવાથી,$k = [1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{\pi}{4}] + [1 - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{3 \pi}{4}]$.
$k = 2 - \frac{1}{2}(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}(\frac{1}{2}) = 2 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
હવે,$\sin^{-1}(\sqrt{\frac{k}{2}}) + \cos^{-1}(\frac{k}{3}) = \sin^{-1}(\sqrt{\frac{3/2}{2}}) + \cos^{-1}(\frac{3/2}{3}) = \sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos^{-1}(\frac{1}{2})$.
$= \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$.

(B) આપેલ છે,$\theta = 2 \tan^{-1} \frac{1}{8} + 2 \tan^{-1} \frac{1}{5} + \tan^{-1} \frac{1}{7}$.
સૂત્ર $2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \tan^{-1} \frac{1}{8} = \tan^{-1} \frac{2/8}{1-1/64} = \tan^{-1} \frac{16}{63}$.
$2 \tan^{-1} \frac{1}{5} = \tan^{-1} \frac{2/5}{1-1/25} = \tan^{-1} \frac{5}{12}$.
હવે,$\theta = \tan^{-1} \frac{16}{63} + \tan^{-1} \frac{5}{12} + \tan^{-1} \frac{1}{7}$.
$\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x+y}{1-xy}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} \frac{16}{63} + \tan^{-1} \frac{5}{12} = \tan^{-1} \frac{3}{4}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{1}{7} = \tan^{-1} (1) = \frac{\pi}{4}$.
આમ,$\tan \frac{\theta}{2} = \tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$.
$\sqrt{m} + \sqrt{n} = -1 + \sqrt{2}$ અને $m < n$ હોવાથી,$m = 1$ અને $n = 2$ મળે.
તેથી $(m^n + n^m)^{m+n} = (1^2 + 2^1)^{1+2} = 3^3 = 27$.

(D) આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $2 \tan^{-1} (\theta) = \sin^{-1} (\frac{2 \theta}{1 + \theta^2}) = \cos^{-1} (\frac{1 - \theta^2}{1 + \theta^2}) = \sec^{-1} (\frac{1 + \theta^2}{1 - \theta^2})$.
$x = \sin (2 \tan^{-1} 2)$ માટે:
$x = \sin (\sin^{-1} (\frac{2 \times 2}{1 + 2^2})) = \frac{4}{5} = 0.8$.
$y = \cos (2 \tan^{-1} 3)$ માટે:
$y = \cos (\cos^{-1} (\frac{1 - 3^2}{1 + 3^2})) = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -0.8$.
$z = \sec (2 \tan^{-1} 4)$ માટે:
$z = \sec (\sec^{-1} (\frac{1 + 4^2}{1 - 4^2})) = \frac{1 + 16}{1 - 16} = \frac{17}{-15} \approx -1.133$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $-1.133 < -0.8 < 0.8$,જેનો અર્થ છે કે $z < y < x$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\sum_{k=1}^n \tan^{-1} \left( \frac{1}{k^2+k+1} \right) = \tan^{-1} \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$.
સરવાળાની અંદરના પદને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{1}{1+k(k+1)} = \frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)}$.
તેથી,$\tan^{-1} \left( \frac{1}{k^2+k+1} \right) = \tan^{-1} (k+1) - \tan^{-1} k$.
હવે,આ સરવાળો એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી બને છે:
$\sum_{k=1}^n (\tan^{-1} (k+1) - \tan^{-1} k) = (\tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 2) + \dots + (\tan^{-1} (n+1) - \tan^{-1} n)$.
વચ્ચેના પદો ઉડી જતાં,આપણને મળે છે:
$\tan^{-1} (n+1) - \tan^{-1} 1 = \tan^{-1} \theta$.
સૂત્ર $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} \left( \frac{(n+1)-1}{1+(n+1)(1)} \right) = \tan^{-1} \theta$.
$\tan^{-1} \left( \frac{n}{n+2} \right) = \tan^{-1} \theta$.
તેથી,$\theta = \frac{n}{n+2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\operatorname{Sin}^{-1} x - \operatorname{Cos}^{-1} x = \operatorname{Sin}^{-1}(3x - 2)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Sin}^{-1} x + \operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\operatorname{Cos}^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{Sin}^{-1} x$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\operatorname{Sin}^{-1} x - (\frac{\pi}{2} - \operatorname{Sin}^{-1} x) = \operatorname{Sin}^{-1}(3x - 2)$.
$2\operatorname{Sin}^{-1} x - \frac{\pi}{2} = \operatorname{Sin}^{-1}(3x - 2)$.
બંને બાજુ $\sin$ લેતા: $\sin(2\operatorname{Sin}^{-1} x - \frac{\pi}{2}) = 3x - 2$.
$-\cos(2\operatorname{Sin}^{-1} x) = 3x - 2$.
$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \operatorname{Sin}^{-1} x$,આપણને $\cos(2\operatorname{Sin}^{-1} x) = 1 - 2x^2$ મળે છે.
તેથી,$-(1 - 2x^2) = 3x - 2$.
$2x^2 - 1 = 3x - 2 \implies 2x^2 - 3x + 1 = 0$.
$(2x - 1)(x - 1) = 0$.
આમ,$x = 1$ અથવા $x = \frac{1}{2}$.
$x = 1$ ચકાસતા: $\operatorname{Sin}^{-1}(1) - \operatorname{Cos}^{-1}(1) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. જમણી બાજુ: $\operatorname{Sin}^{-1}(3(1) - 2) = \operatorname{Sin}^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$. તેથી $x = 1$ ઉકેલ છે.
$x = \frac{1}{2}$ ચકાસતા: $\operatorname{Sin}^{-1}(\frac{1}{2}) - \operatorname{Cos}^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6}$. જમણી બાજુ: $\operatorname{Sin}^{-1}(3(\frac{1}{2}) - 2) = \operatorname{Sin}^{-1}(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$. તેથી $x = \frac{1}{2}$ ઉકેલ છે.
આપેલ છે કે $\alpha > \beta$,તેથી $\alpha = 1$ અને $\beta = \frac{1}{2}$.
તેથી $3\alpha + 4\beta = 3(1) + 4(\frac{1}{2}) = 3 + 2 = 5$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot ^{-1}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$.
તેથી,આપેલ પદાવલિ $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \tan ^{-1}\left(\frac{1}{r^2+\frac{3}{4}}\right)$ છે.
આપણે દલીલને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ: $\frac{1}{r^2+1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{1+(r^2-\frac{1}{4})} = \frac{1}{1+(r-\frac{1}{2})(r+\frac{1}{2})}$.
નિત્યસમ $\tan ^{-1}(a) - \tan ^{-1}(b) = \tan ^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{(r+\frac{1}{2})-(r-\frac{1}{2})}{1+(r+\frac{1}{2})(r-\frac{1}{2})}\right) = \tan ^{-1}\left(r+\frac{1}{2}\right) - \tan ^{-1}\left(r-\frac{1}{2}\right)$.
હવે,સરવાળો એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી બને છે:
$S_n = \sum_{r=1}^n \left[\tan ^{-1}\left(r+\frac{1}{2}\right) - \tan ^{-1}\left(r-\frac{1}{2}\right)\right]$
$S_n = \left(\tan ^{-1} \frac{3}{2} - \tan ^{-1} \frac{1}{2}\right) + \left(\tan ^{-1} \frac{5}{2} - \tan ^{-1} \frac{3}{2}\right) + \dots + \left(\tan ^{-1} \left(n+\frac{1}{2}\right) - \tan ^{-1} \left(n-\frac{1}{2}\right)\right)$.
બધા મધ્યવર્તી પદો રદ થઈ જાય છે,અને બાકી રહે છે $S_n = \tan ^{-1}\left(n+\frac{1}{2}\right) - \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.
જ્યારે $n \rightarrow \infty$ હોય ત્યારે લક્ષ લેતા:
$\lim _{n \rightarrow \infty} S_n = \tan ^{-1}(\infty) - \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \cot ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \tan ^{-1}(2)$.

(A) આપેલ છે $y = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+\sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ અને $1-\sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$.
આ કિંમતો મૂકતા,$y = \operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{|\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| + |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}|}{|\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| - |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}|}\right)$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{-3\pi}{2} < x < \frac{-\pi}{2}$,તેથી $\frac{-3\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{-\pi}{4}$.
આ અંતરાલમાં,$\cos \frac{x}{2} < 0$ અને $\sin \frac{x}{2} < 0$,અને $|\sin \frac{x}{2}| > |\cos \frac{x}{2}|$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા $y = \operatorname{Sin}^{-1}(\cot(\frac{x}{2}))$ મળે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\operatorname{Tan}^{-1} 1 + \frac{1}{2} \operatorname{Cos}^{-1} x^2 - \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}\right) = 0$.
ધારો કે $x^2 = \cos 2\theta$,જ્યાં $2\theta \in [0, \pi]$. તો $\sqrt{1+x^2} = \sqrt{2}\cos\theta$ અને $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{2}\sin\theta$.
ત્રીજું પદ $\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\sin\theta}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4}+\theta)\right) = \frac{\pi}{4} + \theta$ બને છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(2\theta) - (\frac{\pi}{4} + \theta) = 0$.
આ $0 = 0$ માં પરિણમે છે,જે એક નિત્યસમ છે.
જોકે,વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $1-x^2 \ge 0$ એટલે કે $x^2 \le 1$ અને છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,તેથી $x^2 \neq 1$.
વળી $x^2 \ge 0$. આમ,$x^2 \in [0, 1)$.
આમ,$x^2$ ની અનંત કિંમતો માટે આ સમીકરણ સાચું છે,તેથી ઉકેલોની સંખ્યા અનંત છે.

(D) ધારો કે $x = \cos \theta$. તો $f(x) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{1}{2\cos^2 \theta - 1}\right) = \operatorname{Sec}^{-1}\left(\frac{1}{\cos 2\theta}\right) = \operatorname{Sec}^{-1}(\sec 2\theta) = 2\theta = 2\cos^{-1}x$.
તેથી,$\frac{df}{dx} = 2 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$.
હવે,ધારો કે $x = \tan \phi$. તો $g(x) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\tan^2 \phi}-1}{\tan \phi}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{\sec \phi - 1}{\tan \phi}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1-\cos \phi}{\sin \phi}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\tan \frac{\phi}{2}\right) = \frac{\phi}{2} = \frac{1}{2}\tan^{-1}x$.
તેથી,$\frac{dg}{dx} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2(1+x^2)}$.
$g(x)$ ની સાપેક્ષે $f(x)$ નું વિકલન $\frac{df/dx}{dg/dx} = \frac{-2/\sqrt{1-x^2}}{1/(2(1+x^2))} = -\frac{4(1+x^2)}{\sqrt{1-x^2}}$ થાય.

(A) આપેલ છે $f(x) = \cos(\tan^{-1}(\sin(\tan^{-1} x)))$.
$\tan^{-1} x = \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin(\tan^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ મળે.
તેથી ${f(x) = \cos(\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}))$ થાય.
$\tan^{-1} \theta = \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+\theta^2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \cos(\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{x^2}{1+x^2}}}) = \sqrt{\frac{1+x^2}{1+2x^2}}$ મળે.
હવે,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = \sqrt{\frac{1+(f(x))^2}{1+2(f(x))^2}}$.
$f(x)^2 = \frac{1+x^2}{1+2x^2}$ મૂકતા,$(f \circ f)(x) = \sqrt{\frac{1+\frac{1+x^2}{1+2x^2}}{1+2(\frac{1+x^2}{1+2x^2})}} = \sqrt{\frac{2+3x^2}{3+4x^2}}$.
જ્યારે $x \rightarrow \infty$,ત્યારે $\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{2+3x^2}{3+4x^2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$.

(A) સમીકરણ $y = \sin^{2} (\cot^{-1} \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}})$ આપેલ છે.
$x = \cos 2\theta$ આદેશ લેતા,$\frac{1 + x}{1 - x} = \frac{1 + \cos 2\theta}{1 - \cos 2\theta} = \frac{2\cos^{2}\theta}{2\sin^{2}\theta} = \cot^{2}\theta$ થાય.
તેથી,$y = \sin^{2} (\cot^{-1} \sqrt{\cot^{2}\theta}) = \sin^{2} (\cot^{-1} (\cot\theta)) = \sin^{2}\theta$ મળે.
નિત્યસમ $\sin^{2}\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{1 - x}{2}$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{1}{2} - \frac{x}{2}) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $y=\cos ^{-1}\left(\frac{a^2-x^2}{a^2+x^2}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{2 a x}{a^2+x^2}\right)$.
ધારો કે $x=a \tan \theta$,તેથી $\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$.
પદાવલિમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા:
$y=\cos ^{-1}\left(\frac{a^2-a^2 \tan ^2 \theta}{a^2+a^2 \tan ^2 \theta}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{2 a^2 \tan \theta}{a^2+a^2 \tan ^2 \theta}\right)$
$y=\cos ^{-1}\left(\frac{1-\tan ^2 \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right) + \sin ^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}$ અને $\sin 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y=\cos ^{-1}(\cos 2 \theta) + \sin ^{-1}(\sin 2 \theta)$
$y=2 \theta + 2 \theta = 4 \theta$.
હવે $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ પાછા મૂકતા:
$y=4 \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$.
હવે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = 4 \cdot \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2} \cdot \frac{1}{a}$
$\frac{d y}{d x} = 4 \cdot \frac{a^2}{a^2+x^2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{4 a}{a^2+x^2}$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $3x^2 - 16x + 5 = 0$ છે.
$ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 3, b = -16, c = 5$ મળે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\left(\frac{-16}{3}\right) = \frac{16}{3}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}$.
અહીં $\alpha \beta = \frac{5}{3} > 1$ હોવાથી,આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
$\tan^{-1} \alpha + \tan^{-1} \beta = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{\alpha + \beta}{1 - \alpha \beta}\right)$.
આ કિંમત આપેલ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left[\pi + \tan^{-1}\left(\frac{\alpha + \beta}{1 - \alpha \beta}\right)\right] - \tan^{-1}\left(\frac{\alpha + \beta}{1 - \alpha \beta}\right) = \pi$.

(C) આપેલ છે કે $x+iy = \frac{1+7i}{(2-i)^2}$.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $(2-i)^2 = 4 + i^2 - 4i = 4 - 1 - 4i = 3 - 4i$.
તેથી,$x+iy = \frac{1+7i}{3-4i}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(3+4i)$ વડે ગુણતા:
$x+iy = \frac{(1+7i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{3 + 4i + 21i + 28i^2}{9 - 16i^2} = \frac{3 + 25i - 28}{9 + 16} = \frac{-25 + 25i}{25} = -1 + i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,$x = -1$ અને $y = 1$ મળે છે.
હવે,$\operatorname{cosec}\left(\tan^{-1} \frac{y}{x} - \frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધીએ:
$= \operatorname{cosec}\left(\tan^{-1} \left(\frac{1}{-1}\right) - \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{cosec}\left(\tan^{-1}(-1) - \frac{\pi}{4}\right)$.
કારણ કે $\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$,તેથી:
$= \operatorname{cosec}\left(-\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{cosec}\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.

(C) આપેલ છે,$\sinh (2 \tanh ^{-1} x) = \frac{11}{60}$.
નિત્યસમ $\sinh (2 \theta) = \frac{2 \tanh \theta}{1 - \tanh ^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \tanh ^{-1} x$,આપણને $\tanh \theta = x$ મળે છે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{2x}{1 - x^2} = \frac{11}{60}$
$120x = 11(1 - x^2)$
$11x^2 + 120x - 11 = 0$
$11x^2 + 121x - x - 11 = 0$
$11x(x + 11) - 1(x + 11) = 0$
$(11x - 1)(x + 11) = 0$
આમ,$x = \frac{1}{11}$ અથવા $x = -11$.
$\tanh ^{-1} x$ નો પ્રદેશ $(-1, 1)$ હોવાથી,$x = -11$ શક્ય નથી.
તેથી,$x = \frac{1}{11}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1} \left(\frac{3}{5}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{4}{3}\right)$ અને $\sin ^{-1} \left(\frac{5}{13}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{5}{12}\right)$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan ^{-1} \left(\frac{4}{3}\right) + \tan ^{-1} \left(\frac{5}{12}\right) + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right)$
પ્રથમ બે પદો માટે $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan ^{-1} \left[\frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - \left(\frac{4}{3} \times \frac{5}{12}\right)}\right] + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right)$
$= \tan ^{-1} \left[\frac{\frac{16+5}{12}}{\frac{36-20}{36}}\right] + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{21}{12} \times \frac{36}{16}\right) + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right)$
$= \tan ^{-1} \left(\frac{63}{16}\right) + \tan ^{-1} \left(\frac{16}{63}\right)$
કારણ કે $x > 0$ માટે $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$ થાય છે,તેથી:
$= \frac{\pi}{2}$.

(C) આપણી પાસે $\sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)+\sin ^{-1} \frac{1}{3}$ છે.
કારણ કે $\sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$,તેથી $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{2}$. આમ,$A-V$.
$(B)$ ધારો કે $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{(-1)^n}{2}\right), n \in Z$. તો $\sin \theta=\frac{(-1)^n}{2}=\sin\left((-1)^n \frac{\pi}{6}\right)$. સામાન્ય ઉકેલ $\theta=k \pi+(-1)^k\left((-1)^n \frac{\pi}{6}\right)$ છે,જે $k \pi \pm \frac{\pi}{6}, k \in Z$ માં સરળ થાય છે. આ $I$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(C)$ ધારો કે $\alpha=\tan ^{-1}\left(\sec \frac{\pi}{4}+\tan \frac{\pi}{4}\right) = \tan ^{-1}(\sqrt{2}+1)$. કારણ કે $\tan \frac{3\pi}{8} = \sqrt{2}+1$,તેથી $\alpha = \frac{3\pi}{8}$. આમ,$C-IV$.
$(D)$ ધારો કે $t=\sin ^{-1}|\sin x|$. તો $t=\sqrt{t} \Rightarrow t^2-t=0 \Rightarrow t(t-1)=0$. તેથી $t=0$ અથવા $t=1$. $\sin ^{-1}|\sin x|=0 \Rightarrow |\sin x|=0 \Rightarrow x=k\pi$. $\sin ^{-1}|\sin x|=1 \Rightarrow |\sin x|=\sin 1 \Rightarrow x=k\pi \pm 1$. આ બંનેને જોડતા,સામાન્ય ઉકેલ $x=k\pi \pm 1, k \in Z$ મળે છે. આમ,$D-II$.