$\tan^{-1}\left(x+\frac{2}{x}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{4}{x}\right) - \tan^{-1}\left(x-\frac{2}{x}\right) = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

આપેલ છે કે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેય માત્ર મુખ્ય કિંમતો ધારણ કરે છે. ધારો કે $x, y$ એ $[-1, 1]$ માં કોઈપણ બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\cos ^{-1} x - \sin ^{-1} y = \alpha$,જ્યાં $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \pi$ છે. તો,$x^2 + y^2 + 2xy \sin \alpha$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \cos \left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\sin \left( {{{\cos }^{ - 1}}x} \right)} \right)} \right) + \sin \left( {{{\cot }^{ - 1}}\left( {\cos \left( {{{\sin }^{ - 1}}x} \right)} \right)} \right)$ નો વિસ્તાર $[m, M)$ હોય,તો સમીકરણ $\operatorname{sgn} (|x - 1| - 2) = \ln |x - 2|$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધો (જ્યાં $\operatorname{sgn}$ એ સિગ્નમ વિધેય દર્શાવે છે).

સમીકરણ $\cos^{-1} x + \cos^{-1} 2x + \pi = 0$ માટે,વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

$x$ ના કેટલા ભિન્ન મૂલ્યો માટે સમીકરણ $\sin [2 \cos^{-1} \cot (2 \tan^{-1} x)] = 0$ સાચું છે?

ધારો કે $(x, y)$ એવા છે કે $\sin ^{-1}(a x)+\cos ^{-1}(y)+\cos ^{-1}(b x y)=\frac{\pi}{2}$. કોલમ $I$ ના વિધાનોને કોલમ $II$ ના વિધાનો સાથે જોડો.

કોલમ $I$	કોલમ $II$
$(A)$ જો $a=1$ અને $b=0$,તો $(x, y)$	$(p)$ વર્તુળ $x^2+y^2=1$ પર છે
$(B)$ જો $a=1$ અને $b=1$,તો $(x, y)$	$(q)$ $(x^2-1)(y^2-1)=0$ પર છે
$(C)$ જો $a=1$ અને $b=2$,તો $(x, y)$	$(r)$ $y=x$ પર છે
$(D)$ જો $a=2$ અને $b=2$,તો $(x, y)$	$(s)$ $(4x^2-1)(y^2-1)=0$ પર છે