જો દ્વિઘાત સમીકરણ $4^{\sec^2 \alpha} x^2 + 2x + (\beta^2 - \beta + \frac{1}{2}) = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય,તો $\cos^2 \alpha + \cos^{-1} \beta$ ની કિંમત શોધો.

જો $x, y, z$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને $\tan^{-1}x, \tan^{-1}y, \tan^{-1}z$ પણ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો:

ધારો કે $E_1 = \{x \in R : x \neq 1 \text{ અને } \frac{x}{x-1} > 0\}$ અને $E_2 = \{x \in E_1 : \sin^{-1}(\log_e(\frac{x}{x-1})) \text{ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે}\}$. (અહીં,પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેય $\sin^{-1} x$ એ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં કિંમતો ધારણ કરે છે). ધારો કે $f : E_1 \rightarrow R$ એ $f(x) = \log_e(\frac{x}{x-1})$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે અને $g : E_2 \rightarrow R$ એ $g(x) = \sin^{-1}(\log_e(\frac{x}{x-1}))$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. $LIST I$ ની વસ્તુઓને $LIST II$ સાથે જોડો.

જો $-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે $y = \tan^{-1}\left(\frac{3x - x^3}{1 - 3x^2}\right)$ હોય,તો $\frac{dx}{dy}$ શોધો.

$\sec ^2(\tan ^{-1} 3) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = $ . . . . . . .

જો $\sum_{k=1}^n \tan^{-1} \left( \frac{1}{k^2+k+1} \right) = \tan^{-1} ( \theta )$ હોય,તો $\theta =$