Mix Examples-ITF Questions in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin \left[2 \cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}\right]=0$
$\Rightarrow 2 \cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}=n \pi, n \in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow \cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}=\frac{n \pi}{2}$
$\cos ^{-1} \theta$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ હોવાથી,$\cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\} \in \{0, \frac{\pi}{2}, \pi\}$ મળે.
કિસ્સો $1$: $\cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}=0 \Rightarrow \cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)=1 \Rightarrow 2 \tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} + m\pi \Rightarrow \tan ^{-1} x = \frac{\pi}{8} + \frac{m\pi}{2}$.
$x \ge 1$ માટે,$\tan ^{-1} x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$. અહીં માત્ર $\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = 1$ મળે.
કિસ્સો $2$: $\cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}=\frac{\pi}{2} \Rightarrow \cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)=0 \Rightarrow 2 \tan ^{-1} x = \frac{\pi}{2} + m\pi \Rightarrow \tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2}$.
$x \ge 1$ માટે,$\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = 1$ (જે અગાઉ ગણતરીમાં આવી ગયું છે).
કિસ્સો $3$: $\cos ^{-1}\left\{\cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)\right\}=\pi \Rightarrow \cot \left(2 \tan ^{-1} x\right)=-1 \Rightarrow 2 \tan ^{-1} x = \frac{3\pi}{4} + m\pi \Rightarrow \tan ^{-1} x = \frac{3\pi}{8} + \frac{m\pi}{2}$.
$x \ge 1$ માટે,$\tan ^{-1} x = \frac{3\pi}{8} \Rightarrow x = \tan \frac{3\pi}{8} = \sqrt{2} + 1$.
આમ,$1$ કે તેથી મોટા બીજ $1$ અને $\sqrt{2} + 1$ છે.
તેથી,આવા બીજની સંખ્યા $2$ છે.

(A) ધારો કે $a = \cos^{-1} x$ અને $b^2 = (\sin^{-1} y)^2$. આપેલા સમીકરણો $a + b^2 = \frac{n \pi^2}{4}$ અને $a \cdot b^2 = \frac{\pi^4}{16}$ છે.
આ સમીકરણો દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (\frac{n \pi^2}{4})t + \frac{\pi^4}{16} = 0$ ના બીજ છે.
વાસ્તવિક બીજ માટે,વિવેચક $D \ge 0$,તેથી $(\frac{n \pi^2}{4})^2 - 4(\frac{\pi^4}{16}) \ge 0$.
$\frac{n^2 \pi^4}{16} - \frac{\pi^4}{4} \ge 0 \Rightarrow n^2 \ge 4 \Rightarrow n \ge 2$ (કારણ કે $n \in Z$ અને વાસ્તવિક $x, y$ માટે $n > 0$).
ન્યૂનતમ કિંમત $n = 2$ માટે,દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - \frac{2 \pi^2}{4}t + \frac{\pi^4}{16} = 0$ બને છે,જે $(t - \frac{\pi^2}{4})^2 = 0$ છે.
આમ,$a = \frac{\pi^2}{4}$ અને $b^2 = \frac{\pi^2}{4}$.
$a = \cos^{-1} x = \frac{\pi^2}{4}$ હોવાથી,$x = \cos(\frac{\pi^2}{4})$.
$b^2 = (\sin^{-1} y)^2 = \frac{\pi^2}{4}$ હોવાથી,$\sin^{-1} y = \pm \frac{\pi}{2}$,તેથી $y = \sin(\pm \frac{\pi}{2}) = \pm 1$.
ઉકેલ $(\cos(\frac{\pi^2}{4}), \pm 1)$ છે.

(D) આપેલ છે કે $2 \tan^{-1} x = 3 \sin^{-1} x$.
નિત્યસમ $2 \tan^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$ અને $3 \sin^{-1} x = \sin^{-1} (3x - 4x^3)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right) = \sin^{-1} (3x - 4x^3)$
$\Rightarrow \frac{2x}{1+x^2} = 3x - 4x^3$
$x \neq 0$ હોવાથી,આપણે $x$ વડે ભાગી શકીએ:
$\frac{2}{1+x^2} = 3 - 4x^2$
$2 = (3 - 4x^2)(1 + x^2)$
$2 = 3 + 3x^2 - 4x^2 - 4x^4$
$4x^4 + x^2 - 1 = 0$
$x^2$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x^2 = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{8}$
$x^2 > 0$ હોવાથી,આપણે $x^2 = \frac{\sqrt{17} - 1}{8}$ લઈએ.
તેથી $8x^2 = \sqrt{17} - 1$,જેનો અર્થ છે કે $8x^2 + 1 = \sqrt{17}$.

(D) આપેલ છે: $\sinh ^{-1}(-\sqrt{3})+\cosh ^{-1}(2)=K$
ધારો કે $x=\sinh ^{-1}(-\sqrt{3})$ અને $y=\cosh ^{-1}(2)$.
તેથી $x+y=K$.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\sinh x = -\sqrt{3}$ અને $\cosh y = 2$.
નિત્યસમ $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cosh^2 x = 1 + (-\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.
કારણ કે $\cosh x \geq 1$,તેથી $\cosh x = 2$.
નિત્યસમ $\cosh^2 y - \sinh^2 y = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2^2 - \sinh^2 y = 1$,તેથી $\sinh^2 y = 3$.
કારણ કે $\cosh^{-1}(2)$ ધન છે,તેથી $\sinh y = \sqrt{3}$.
હવે,$\cosh K = \cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$.
કિંમતો મૂકતા: $\cosh K = (2)(2) + (-\sqrt{3})(\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\operatorname{Tan}^{-1}(2x-1) + \operatorname{Tan}^{-1}(2x+1) = \operatorname{Tan}^{-1}(4x) - \operatorname{Tan}^{-1}(2x)$.
સૂત્ર $\operatorname{Tan}^{-1} A + \operatorname{Tan}^{-1} B = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{(2x-1) + (2x+1)}{1 - (2x-1)(2x+1)} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{4x - 2x}{1 + (4x)(2x)} \right)$.
$\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{4x}{1 - (4x^2 - 1)} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{2x}{1 + 8x^2} \right)$.
$\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{4x}{2 - 4x^2} \right) = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{2x}{1 + 8x^2} \right)$.
દલીલોને સરખાવતા: $\frac{4x}{2(1 - 2x^2)} = \frac{2x}{1 + 8x^2}$.
$\frac{2x}{1 - 2x^2} = \frac{2x}{1 + 8x^2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $2x = 0$ અથવા $\frac{1}{1 - 2x^2} = \frac{1}{1 + 8x^2}$.
કિસ્સો $1$: $2x = 0 \implies x = 0$. કારણ કે $0 \leq 0 < \frac{3}{4}$,$x = 0$ એ એક માન્ય ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $1 - 2x^2 = 1 + 8x^2 \implies 10x^2 = 0 \implies x = 0$.
આમ,એકમાત્ર ઉકેલ $x = 0$ છે. મૂલ્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $\operatorname{Tan}^{-1}\left(x+\frac{\sqrt{2}}{x}\right)+\operatorname{Tan}^{-1}\left(x-\frac{\sqrt{2}}{x}\right)=\operatorname{Tan}^{-1}(x)$ છે.
$\operatorname{Tan}^{-1}(A) + \operatorname{Tan}^{-1}(B) = \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{x+\frac{\sqrt{2}}{x} + x-\frac{\sqrt{2}}{x}}{1-(x+\frac{\sqrt{2}}{x})(x-\frac{\sqrt{2}}{x})}\right) = \operatorname{Tan}^{-1}(x)$.
$\operatorname{Tan}^{-1}$ વિધેયની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{2x}{1-(x^2 - \frac{2}{x^2})} = x$.
$\frac{2x}{1-x^2 + \frac{2}{x^2}} = x$.
$x \neq 0$ ધારીને,$x$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{1-x^2 + \frac{2}{x^2}} = 1$.
$2 = 1 - x^2 + \frac{2}{x^2}$.
$x^2 - \frac{2}{x^2} + 1 = 0$.
ધારો કે $t = x^2$,તો $t - \frac{2}{t} + 1 = 0 \implies t^2 + t - 2 = 0$.
$(t+2)(t-1) = 0$.
$t = x^2$ હોવાથી,$t$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $t = 1$,જેનો અર્થ છે $x^2 = 1$,એટલે કે $x = \pm 1$.
આમ,$x$ ના $2$ મૂલ્યો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\operatorname{Tan}^{-1} x + \operatorname{Tan}^{-1} 2x = \frac{\pi}{4}$ છે.
સૂત્ર $\operatorname{Tan}^{-1} A + \operatorname{Tan}^{-1} B = \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{x+2x}{1-x(2x)} \right) = \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{3x}{1-2x^2} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$.
આથી $3x = 1 - 2x^2$,અથવા $2x^2 + 3x - 1 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$.
અહીં $\operatorname{Tan}^{-1} x + \operatorname{Tan}^{-1} 2x = \frac{\pi}{4} > 0$ હોવાથી,$x > 0$ હોવું જોઈએ.
કિંમતો તપાસતા: $x = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4} > 0$ (માન્ય).
$x = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4} < 0$ (અમાન્ય).
આમ,માત્ર $1$ વાસ્તવિક ઉકેલ મળે છે.

(D) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $S = \sin \left(\tan ^{-1} \frac{4}{5}+\tan ^{-1} \frac{4}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{9}-\tan ^{-1} \frac{1}{7}\right)$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે $S = \sin \left(\left(\tan ^{-1} \frac{4}{5}-\tan ^{-1} \frac{1}{7}\right) + \left(\tan ^{-1} \frac{4}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{9}\right)\right)$.
ધારો કે $p = \tan ^{-1} \frac{4}{5}-\tan ^{-1} \frac{1}{7}$. સૂત્ર $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $p = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{4}{5}-\frac{1}{7}}{1+\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{7}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{28-5}{35}}{\frac{35+4}{35}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{23}{39}\right)$.
ધારો કે $q = \tan ^{-1} \frac{4}{3}+\tan ^{-1} \frac{1}{9}$. સૂત્ર $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $q = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{4}{3}+\frac{1}{9}}{1-\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{9}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{\frac{12+1}{9}}{\frac{27-4}{27}}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{13}{9} \cdot \frac{27}{23}\right) = \tan ^{-1} \left(\frac{39}{23}\right)$.
કારણ કે $\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,તેથી $q = \cot ^{-1} \left(\frac{23}{39}\right) = \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1} \left(\frac{23}{39}\right)$.
આમ,$p+q = \tan ^{-1} \left(\frac{23}{39}\right) + \frac{\pi}{2} - \tan ^{-1} \left(\frac{23}{39}\right) = \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$S = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

(A) $(I)$ આપણી પાસે $f(x) = \sin \left(\cot ^{-1} \left(\cos \left(\tan ^{-1} x\right)\right)\right)$ છે.
ધારો કે $\tan ^{-1} x = \theta$,તો $\tan \theta = x$. તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
તેથી,$f(x) = \sin \left(\cot ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)\right)$.
ધારો કે $\cot ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right) = \alpha$,તો $\cot \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \alpha = \sqrt{1+x^2}$.
ત્યારબાદ $\sin \alpha = \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1+\tan^2 \alpha}} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+1+x^2}} = \sqrt{\frac{1+x^2}{2+x^2}}$.
તેથી,$f(0) = \sqrt{\frac{1+0}{2+0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કારણ કે $\frac{1}{\sqrt{2}} \neq \frac{1}{2}$,વિધાન $I$ ખોટું છે.
$(II)$ આપણે સૂત્ર $4 \tan ^{-1} \frac{1}{5} = \tan ^{-1} \frac{120}{119}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ત્યારબાદ $\sin \left(\tan ^{-1} \frac{120}{119} - \tan ^{-1} \frac{1}{239}\right) = \sin \left(\tan ^{-1} \left(\frac{\frac{120}{119} - \frac{1}{239}}{1 + \frac{120}{119} \times \frac{1}{239}}\right)\right) = \sin \left(\tan ^{-1} \left(\frac{28680 - 119}{28441 + 120}\right)\right) = \sin \left(\tan ^{-1} \frac{28561}{28561}\right) = \sin \left(\tan ^{-1} 1\right) = \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કારણ કે $\frac{1}{\sqrt{2}} \neq 1$,વિધાન $II$ ખોટું છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1} \frac{1}{5}+\frac{1}{2} \sec ^{-1} x+\tan ^{-1} \frac{1}{8}=\frac{\pi}{8}$
સૂત્ર $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} \left( \frac{a+b}{1-ab} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{5}+\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{8}} \right) + \frac{1}{2} \sec ^{-1} x = \frac{\pi}{8}$
$\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{13}{40}}{\frac{39}{40}} \right) + \frac{1}{2} \sec ^{-1} x = \frac{\pi}{8}$
$\tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \sec ^{-1} x = \frac{\pi}{8}$
$2$ વડે ગુણતા: $2 \tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right) + \sec ^{-1} x = \frac{\pi}{4}$
$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} \left( \frac{2/3}{1-1/9} \right) + \sec ^{-1} x = \frac{\pi}{4}$
$\tan ^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) + \sec ^{-1} x = \frac{\pi}{4}$
કારણ કે $\sec ^{-1} x = \tan ^{-1} \sqrt{x^2-1}$,તેથી:
$\tan ^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) + \tan ^{-1} \sqrt{x^2-1} = \frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{\frac{3}{4} + \sqrt{x^2-1}}{1 - \frac{3}{4} \sqrt{x^2-1}} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$
$3 + 4 \sqrt{x^2-1} = 4 - 3 \sqrt{x^2-1}$
$7 \sqrt{x^2-1} = 1$
$\sqrt{x^2-1} = \frac{1}{7}$
$x^2 - 1 = \frac{1}{49}$
$x^2 = 1 + \frac{1}{49} = \frac{50}{49}$

(B) આપેલ છે કે,$\tan \left(\sec ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\sin \left(\tan ^{-1} 2\right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^{-1}(\frac{1}{x}) = \cos^{-1}(x)$.
તેથી,$\tan(\cos^{-1}(x)) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.
વળી,$\tan^{-1}(2) = \sin^{-1}(\frac{2}{\sqrt{1+2^2}}) = \sin^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})$.
તેથી,$\sin(\sin^{-1}(\frac{2}{\sqrt{5}})) = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
બંને બાજુ સરખાવતા: $\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1-x^2}{x^2} = \frac{4}{5}$.
$5 - 5x^2 = 4x^2$.
$9x^2 = 5$.
$x^2 = \frac{5}{9}$.
$x>0$ હોવાથી,$x = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = \cos ^{-1} x$
$\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\sin ^{-1}(1-x) = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x - \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - 2 \sin ^{-1} x$
બંને બાજુ $\sin$ લેતા:
$1-x = \sin(\frac{\pi}{2} - 2 \sin ^{-1} x) = \cos(2 \sin ^{-1} x)$
નિત્યસમ $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \sin ^{-1} x$:
$1-x = 1 - 2(\sin(\sin ^{-1} x))^2$
$1-x = 1 - 2x^2$
$2x^2 - x = 0$
$x(2x - 1) = 0$
આમ,$x = 0$ અથવા $x = \frac{1}{2}$.
બંને કિંમતો પ્રતિવિધેયોના પ્રદેશનું પાલન કરે છે.
તેથી,$x \in \{0, \frac{1}{2}\}$.

(C) ધારો કે $\theta = \tan ^{-1} 2$,તેથી $\tan \theta = 2$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$.
તેથી,$\sec ^2(\tan ^{-1} 2) = 1 + (2)^2 = 1 + 4 = 5$.
ધારો કે $\phi = \cot ^{-1} 3$,તેથી $\cot \phi = 3$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec}^2 \phi = 1 + \cot ^2 \phi$.
તેથી,$\operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા,આપણને $5 + 10 = 15$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1} x-\cos ^{-1} 2 x=\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}$ અને $\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{6}$ હોવાથી,$\sin ^{-1} x-\cos ^{-1} 2 x=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$ મળે.
તેથી,$\sin ^{-1} x=\frac{\pi}{6}+\cos ^{-1} 2 x$.
બંને બાજુ સાઈન લેતા: $x=\sin\left(\frac{\pi}{6}+\cos ^{-1} 2 x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\cos ^{-1} 2 x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\cos ^{-1} 2 x\right)$.
$x = \frac{1}{2}(2x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-(2x)^2} = x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-4x^2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-4x^2} = 0$,તેથી $1-4x^2=0$,જે $x = \frac{1}{2}$ આપે છે (કારણ કે $x = -\frac{1}{2}$ મૂળ સમીકરણનું સમાધાન કરતું નથી).
હવે,$x=\frac{1}{2}$ માટે $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1}\left(\frac{x}{x+1}\right)$ ની ગણતરી કરીએ:
$\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1/2}{1/2+1}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.
સૂત્ર $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1}\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{1/2+1/3}{1-(1/2)(1/3)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{5/6}{5/6}\right) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=ax+b$ એ $[-1,1]$ થી $[0,2]$ પરનું વ્યાપ્ત વિધેય છે. $a>0$ હોવાથી,$f(x)$ એ વધતું વિધેય છે. તેથી,$f(-1)=0$ અને $f(1)=2$.
$-a+b=0 \implies a=b$.
$a+b=2 \implies 2a=2 \implies a=1, b=1$.
તેથી,$f(x)=x+1$.
હવે,પદાવલિની કિંમત શોધીએ:
$\tan ^{-1} \frac{1}{8}+\tan ^{-1} \frac{1}{5} = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{8}+\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{8} \times \frac{1}{5}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{13/40}{39/40} \right) = \tan ^{-1} \frac{1}{3}$.
પછી,$\tan ^{-1} \frac{1}{7}+\tan ^{-1} \frac{1}{3} = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{1}{7}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{7} \times \frac{1}{3}} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{10/21}{20/21} \right) = \tan ^{-1} \frac{1}{2}$.
અંતે,$\cot \left( \tan ^{-1} \frac{1}{2} \right) = \cot \left( \cot ^{-1} 2 \right) = 2$.
કારણ કે $f(1)=1+1=2$,તેથી જવાબ $f(1)$ છે.

(B) ધારો કે $\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$. તેથી $\sin \theta = \frac{12}{13}$. પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,પાયો $\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ મળે. આમ,$\tan \theta = \frac{12}{5}$,તેથી $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{12}{5}\right)$.
ધારો કે $\phi = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$. તેથી $\cos \phi = \frac{4}{5}$. વેધ $\sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ મળે. આમ,$\tan \phi = \frac{3}{4}$,તેથી $\phi = \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{12}{5}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right)$
જ્યારે $AB > 1$ હોય ત્યારે $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$A = \frac{12}{5}, B = \frac{3}{4} \Rightarrow AB = \frac{36}{20} = 1.8 > 1$.
તેથી,$\tan ^{-1}\left(\frac{12}{5}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{12}{5} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{12}{5} \times \frac{3}{4}}\right) = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{48+15}{20}}{1 - \frac{36}{20}}\right) = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{\frac{63}{20}}{-\frac{16}{20}}\right) = \pi + \tan ^{-1}\left(-\frac{63}{16}\right) = \pi - \tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right)$.
છેલ્લું પદ ઉમેરતા:
$\pi - \tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right) + \tan ^{-1}\left(\frac{63}{16}\right) = \pi$.

(B) ધારો કે $\theta = \frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$,તેથી $\cos 2 \theta = \frac{a}{b}$.
પદાવલિ $\tan \left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) + \tan \left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)$ છે.
વિસ્તરણ કરતા:
$= \left( \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} \right) + \left( \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} \right)$
$= \frac{(1 + \tan \theta)^2 + (1 - \tan \theta)^2}{1 - \tan^2 \theta}$
$= \frac{2(1 + \tan^2 \theta)}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2}{\cos 2 \theta}$.
$\cos 2 \theta = \frac{a}{b}$ મૂકતા,આપણને $\frac{2}{a/b} = \frac{2b}{a}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = \cos ^{-1} x$.
બંને બાજુ $\sin$ લેતા:
$\sin(\sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x)) = \sin(\cos ^{-1} x)$.
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ સૂત્ર વાપરતા:
$x \sqrt{1-(1-x)^2} + (1-x) \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-x^2}$.
$x \sqrt{2x-x^2} + (1-x) \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-x^2}$.
$x \sqrt{x(2-x)} = \sqrt{1-x^2} - (1-x) \sqrt{1-x^2} = x \sqrt{1-x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2(2x-x^2) = x^2(1-x^2)$.
$2x^3 - x^4 = x^2 - x^4$.
$2x^3 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2(2x-1) = 0$.
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = 1/2$.
$x=0$ ચકાસતા: $\sin^{-1}(0) + \sin^{-1}(1) = 0 + \pi/2 = \pi/2$. $\cos^{-1}(0) = \pi/2$. (સાચું)
$x=1/2$ ચકાસતા: $\sin^{-1}(1/2) + \sin^{-1}(1/2) = \pi/6 + \pi/6 = \pi/3$. $\cos^{-1}(1/2) = \pi/3$. (સાચું)
આમ,કુલ $2$ ઉકેલો મળે છે.

(C) ધારો કે $S = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2} \tan 2 A\right)+\tan ^{-1}(\cot A)+\tan ^{-1}(\cot ^{3} A)$.
નિત્યસમ $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}(\cot A) + \tan ^{-1}(\cot ^{3} A) = \tan ^{-1}\left(\frac{\cot A + \cot ^{3} A}{1 - \cot A \cdot \cot ^{3} A}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{\cot A(1 + \cot ^{2} A)}{1 - \cot ^{4} A}\right)$.
કારણ કે $1 - \cot ^{4} A = (1 - \cot ^{2} A)(1 + \cot ^{2} A)$,તેથી પદ આ રીતે સાદું થાય છે:
$\tan ^{-1}\left(\frac{\cot A}{1 - \cot ^{2} A}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1/\tan A}{1 - 1/\tan ^{2} A}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{\tan A}{\tan ^{2} A - 1}\right) = -\tan ^{-1}\left(\frac{\tan A}{1 - \tan ^{2} A}\right)$.
હવે,$\frac{1}{2} \tan 2 A = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \tan A}{1 - \tan ^{2} A} = \frac{\tan A}{1 - \tan ^{2} A}$.
આમ,$S = \tan ^{-1}\left(\frac{\tan A}{1 - \tan ^{2} A}\right) - \tan ^{-1}\left(\frac{\tan A}{1 - \tan ^{2} A}\right) = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}\left(\frac{x-1}{x-2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)=\frac{\pi}{4}$
સૂત્ર $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1}\left[\frac{\frac{x-1}{x-2}+\frac{x+1}{x+2}}{1-\left(\frac{x-1}{x-2}\right) \left(\frac{x+1}{x+2}\right)}\right]=\frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ $\tan$ લેતા:
$\frac{\frac{x-1}{x-2}+\frac{x+1}{x+2}}{1-\frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}} = \tan \frac{\pi}{4} = 1$
અંશ અને છેદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{(x-1)(x+2)+(x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2)-(x-1)(x+1)} = 1$
$\frac{(x^2+x-2)+(x^2-x-2)}{(x^2-4)-(x^2-1)} = 1$
$\frac{2x^2-4}{-3} = 1$
$2x^2-4 = -3$
$2x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{2}$
$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

(B) ધારો કે $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)$ અને $\phi = \cos^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$.
તેથી $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{13}}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \frac{2}{3}$.
તેથી $\cos \phi = \frac{3}{\sqrt{10}}$,જેનો અર્થ છે કે $\tan \phi = \frac{1}{3}$.
આપણે $\tan(2\theta - 2\phi) = \frac{\tan 2\theta - \tan 2\phi}{1 + \tan 2\theta \tan 2\phi}$ શોધવાનું છે.
$\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 2\theta = \frac{2(2/3)}{1 - (2/3)^2} = \frac{4/3}{5/9} = \frac{12}{5}$.
$\tan 2\phi = \frac{2(1/3)}{1 - (1/3)^2} = \frac{2/3}{8/9} = \frac{3}{4}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\tan(2\theta - 2\phi) = \frac{12/5 - 3/4}{1 + (12/5)(3/4)} = \frac{33/20}{56/20} = \frac{33}{56}$.

(A) ધારો કે $\alpha = \frac{1}{2}\cos^{-1}(\frac{2}{3})$ અને $\beta = \frac{1}{2}\sin^{-1}(\frac{2}{3})$.
તેથી $k = \tan(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \tan(\beta)$.
$2\alpha = \cos^{-1}(\frac{2}{3})$ હોવાથી,$\cos(2\alpha) = \frac{2}{3}$.
$2\beta = \sin^{-1}(\frac{2}{3})$ હોવાથી,$\sin(2\beta) = \frac{2}{3}$.
$\tan \alpha = \sqrt{\frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ મળે.
$\tan \beta = \sqrt{\frac{1-\cos 2\beta}{1+\cos 2\beta}} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા $k=3$ મળે છે.
સમીકરણ $\sin^{-1}(3x-1) = 2\sin^{-1}x - \frac{\pi}{2}$ બને છે.
બંને બાજુ $\sin$ લેતા: $3x-1 = -\cos(2\sin^{-1}x) = 2x^2-1$.
$2x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x=0$ અથવા $x=1.5$.
$x=1.5$ માટે $\sin^{-1}(3.5)$ વ્યાખ્યાયિત નથી.
$x=0$ માટે સમીકરણ સંતોષાય છે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) ધારો કે $u = \sqrt{x^2+x}$. પ્રદેશ માટે $x^2+x \ge 0$ અને $0 \le x^2+x+1 \le 1$ હોવું જરૂરી છે.
$x^2+x+1 \le 1$ હોવાથી $x^2+x \le 0$ મળે.
$x^2+x \ge 0$ અને $x^2+x \le 0$ ને જોડતા,આપણને $x^2+x = 0$ મળે છે.
જો $x^2+x = 0$ હોય,તો $u = 0$ થાય.
સમીકરણ $\tan^{-1}(0) + \sin^{-1}(1) = 0 + \pi/2 = \pi/2$ બને છે.
આ ઉકેલ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
$x^2+x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0$,જે $x = 0$ અથવા $x = -1$ આપે છે.
બંને કિંમતો માન્ય છે.
આમ,કુલ $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(A) ધારો કે $\tan^{-1}(x\sqrt{2}) = \theta$. તેથી $\tan \theta = x\sqrt{2}$.
નિત્યસમ $\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin \theta = \frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{1+2x^2}}$ મળે છે.
ધારો કે $\sin^{-1}(\sqrt{1-x^2}) = \phi$. તેથી $\sin \phi = \sqrt{1-x^2}$.
નિત્યસમ $\cot \phi = \frac{\cos \phi}{\sin \phi} = \frac{\sqrt{1-\sin^2 \phi}}{\sin \phi}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cot \phi = \frac{\sqrt{1-(1-x^2)}}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ મળે છે.
બંને બાજુ સરખાવતા: $\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{1+2x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
$x \in (0, 1)$ હોવાથી,$x \neq 0$,તેથી આપણે $x$ વડે ભાગી શકીએ: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2}{1+2x^2} = \frac{1}{1-x^2}$.
$2(1-x^2) = 1+2x^2 \implies 2-2x^2 = 1+2x^2 \implies 4x^2 = 1 \implies x^2 = 1/4$.
$x \in (0, 1)$ હોવાથી,$x = 1/2$.

(A) આપેલ છે $\alpha = 3 \sin^{-1}(\frac{6}{11})$. કારણ કે $\frac{6}{11} > \frac{1}{2}$,તેથી $\sin^{-1}(\frac{6}{11}) > \sin^{-1}(\frac{1}{2}) = 30^\circ$. આમ,$\alpha > 3 \times 30^\circ = 90^\circ$. કારણ કે $90^\circ < \alpha < 270^\circ$ (કારણ કે $\sin^{-1}(\frac{6}{11}) < 90^\circ$),તેથી $\cos(\alpha) < 0$. આમ,વિધાન $II$ સાચું છે.
આપેલ છે $\beta = 3 \cos^{-1}(\frac{4}{9})$. કારણ કે $\frac{4}{9} < \frac{1}{2}$,તેથી $\cos^{-1}(\frac{4}{9}) > \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^\circ$. આમ,$\beta > 3 \times 60^\circ = 180^\circ$.
કારણ કે $\alpha > 90^\circ$ અને $\beta > 180^\circ$,તેથી $\alpha + \beta > 270^\circ$. ચોથા ચરણમાં,કોસાઇન વિધેય ધન હોય છે. તેથી,$\cos(\alpha + \beta) > 0$. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.