વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x^{2}-1}y=\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{\frac{1}{2}}$,$x>1$ નો ઉકેલ વક્ર છે જે બિંદુ $\left(2, \sqrt{\frac{1}{3}}\right)$ માંથી પસાર થાય છે. તો $\sqrt{7}y(8)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}(1 + xy^2(1 + \log_e x))$ નો ઉકેલ વક્ર છે,જ્યાં $x > 0$ અને $y(1) = 3$. તો $\frac{y^2(x)}{9}$ ની કિંમત શોધો:

વિકલ સમીકરણ $(1+\sin^2 x) \frac{dy}{dx} + y \sin 2x = \cos x + \sin^2 x \cos x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \left( \frac{6x^2 + (3x^2 + 2x^3 + 4)e^{-2x}}{(x^3 + 2)(2 + e^{-2x})} \right) y = 2 + e^{-2x}, x \in (-1, 2)$ નો ઉકેલ છે,જે $y(0) = \frac{3}{2}$ નું સમાધાન કરે છે. જો $y(1) = \alpha(2 + e^{-2})$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો:

$\frac{dy}{dx} + y = \frac{1+y}{x}$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.