Linear differential equations Questions in Gujarati

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x + 2y^3) \frac{dy}{dx} = y$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 2y^2$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = 2y^2$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ આ મુજબ છે: $I.F. = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
સામાન્ય ઉકેલ છે: $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + c$.
કિંમતો મૂકતા: $x \cdot \frac{1}{y} = \int 2y^2 \cdot \frac{1}{y} dy + c$.
$\frac{x}{y} = \int 2y dy + c$.
$\frac{x}{y} = y^2 + c$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x^2 \frac{dy}{dx} \cos \frac{1}{x} - y \sin \frac{1}{x} = -1$.
$x^2 \cos \frac{1}{x}$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} - y \frac{\tan(1/x)}{x^2} = -\frac{\sec(1/x)}{x^2}$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{\tan(1/x)}{x^2}$ અને $Q = -\frac{\sec(1/x)}{x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{\tan(1/x)}{x^2} dx}$ છે. ધારો કે $u = \frac{1}{x}$,તો $du = -\frac{1}{x^2} dx$.
$IF = e^{\int \tan u du} = e^{\ln |\sec u|} = \sec(\frac{1}{x})$.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + c$ છે.
$y \sec(\frac{1}{x}) = \int -\frac{\sec(1/x)}{x^2} \cdot \sec(\frac{1}{x}) dx = -\int \sec^2(\frac{1}{x}) \cdot \frac{1}{x^2} dx$.
$u = \frac{1}{x}$ લેતા,$du = -\frac{1}{x^2} dx$.
$y \sec(\frac{1}{x}) = \int \sec^2 u du = \tan u + c = \tan(\frac{1}{x}) + c$.
જ્યારે $x \rightarrow \infty$,ત્યારે $\frac{1}{x} \rightarrow 0$. આપેલ છે કે $y \rightarrow -1$,તેથી: $-1 \cdot \sec(0) = \tan(0) + c \Rightarrow -1 = 0 + c \Rightarrow c = -1$.
આમ,$y \sec(\frac{1}{x}) = \tan(\frac{1}{x}) - 1$.
$y = \frac{\tan(1/x) - 1}{\sec(1/x)} = \sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x})$.

(B) આપેલ સુરેખ વિકલ સમીકરણ $(x + 1)f'(x) - 2x(x + 1)f(x) = \frac{e^{x^2}}{x + 1}$ છે.
$(x + 1)$ વડે ભાગતા,આપણને $f'(x) - 2xf(x) = \frac{e^{x^2}}{(x + 1)^2}$ મળે છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -2x \, dx} = e^{-x^2}$ છે.
બંને બાજુ $I.F.$ વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx} [f(x) e^{-x^2}] = \frac{e^{x^2}}{(x + 1)^2} e^{-x^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$f(x) e^{-x^2} = \int \frac{1}{(x + 1)^2} \, dx = -\frac{1}{x + 1} + C$ મળે છે.
$f(0) = 5$ આપેલ હોવાથી,$5(e^0) = -\frac{1}{0 + 1} + C \Rightarrow 5 = -1 + C \Rightarrow C = 6$ મળે છે.
આમ,$f(x) e^{-x^2} = 6 - \frac{1}{x + 1} = \frac{6x + 6 - 1}{x + 1} = \frac{6x + 5}{x + 1}$ થાય છે.
તેથી,$f(x) = \left( \frac{6x + 5}{x + 1} \right) e^{x^2}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\int\limits_a^x {t\,y(t)dt} = x^2 + y(x)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$x\,y(x) = 2x + y'(x)$
પદોને ગોઠવતા:
$y'(x) - x\,y(x) = -2x$
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -x$ અને $Q(x) = -2x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$:
$I.F. = e^{\int -x\,dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$
સમીકરણને $I.F.$ વડે ગુણતા:
$e^{-\frac{x^2}{2}} \frac{dy}{dx} - x\,e^{-\frac{x^2}{2}} y = -2x\,e^{-\frac{x^2}{2}}$
$\frac{d}{dx} \left( y\,e^{-\frac{x^2}{2}} \right) = -2x\,e^{-\frac{x^2}{2}}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$y\,e^{-\frac{x^2}{2}} = \int -2x\,e^{-\frac{x^2}{2}} dx + C$
$y\,e^{-\frac{x^2}{2}} = 2\,e^{-\frac{x^2}{2}} + C$
$y = 2 + C\,e^{\frac{x^2}{2}}$
$x = a$ મુકતા,$y(a) = -a^2$ મળે છે.
$-a^2 = 2 + C\,e^{\frac{a^2}{2}} \implies C = -(2 + a^2)e^{-\frac{a^2}{2}}$
તેથી,$y = 2 - (2 + a^2)e^{\frac{x^2 - a^2}{2}}$.

(A) ધારો કે $y^2 = t$. તેથી $2y \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dt}}{{dx}}$.
આ કિંમત વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left( {{e^{{x^2}}} + {e^t}} \right) \frac{1}{2} \frac{{dt}}{{dx}} + {e^{{x^2}}} x (t - 1) = 0$
$\left( {{e^{{x^2}}} + {e^t}} \right) \frac{{dt}}{{dx}} + 2 x {e^{{x^2}}} (t - 1) = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{{dx}}{{dt}} (e^t + {e^{{x^2}}}) + 2 x {e^{{x^2}}} (t - 1) = 0$
ધારો કે $z = {e^{{x^2}}}$,તો $\frac{{dz}}{{dt}} = {e^{{x^2}}} \cdot 2x \frac{{dx}}{{dt}}$.
આ સમીકરણ $z = {e^{{x^2}}}$ માં $t$ ની સાપેક્ષે સુરેખ વિકલ સમીકરણ બને છે:
$\frac{{dz}}{{dt}} + \frac{z}{t-1} = -\frac{e^t}{t-1}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int \frac{1}{t-1} dt} = t-1$.
$z(t-1) = \int -e^t dt = -e^t + C$.
$z = e^{{x^2}}$ અને $t = y^2$ પાછા મૂકતા:
$e^{{x^2}}(y^2 - 1) + e^{{y^2}} = C$.

(D) જો વિકલ સમીકરણમાં પરતંત્ર ચલ અને તેના વિકલિતો માત્ર પ્રથમ ઘાતમાં હોય અને તેમનો ગુણાકાર ન થયેલ હોય,તો તે સમીકરણ સુરેખ કહેવાય છે.
$1$. વિકલ્પ $(A)$ માટે: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \ln x$. આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું પ્રથમ ક્રમનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = \ln x$ છે. તેથી,તે સુરેખ છે.
$2$. વિકલ્પ $(B)$ માટે: $\frac{d^2y}{dx^2} = \cos x$. આ દ્વિતીય ક્રમનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે કારણ કે પરતંત્ર ચલ $y$ અને તેનું વિકલિત $\frac{d^2y}{dx^2}$ પ્રથમ ઘાતમાં છે. તેથી,તે સુરેખ છે.
$3$. વિકલ્પ $(C)$ માટે: $dx + dy = 0$. આને $1 + \frac{dy}{dx} = 0$ અથવા $\frac{dy}{dx} = -1$ તરીકે લખી શકાય છે. આ પ્રથમ ક્રમનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. તેથી,તે સુરેખ છે.
આમ,ત્રણેય સમીકરણો સુરેખ વિકલ સમીકરણની વ્યાખ્યાનું પાલન કરે છે,તેથી સાચો જવાબ $(D)$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \cos x$ અને $Q = \cos x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P \, dx} = e^{\int \cos x \, dx} = e^{\sin x}$ દ્વારા મળે છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) \, dx + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y \cdot e^{\sin x} = \int \cos x \cdot e^{\sin x} \, dx + C$.
ધારો કે $u = \sin x$,તો $du = \cos x \, dx$. સંકલન $\int e^u \, du = e^u = e^{\sin x}$ બને છે.
તેથી,$y \cdot e^{\sin x} = e^{\sin x} + C$.
$e^{\sin x}$ વડે ભાગતા,આપણને $y = 1 + C e^{-\sin x}$ મળે છે.
વક્ર બિંદુ $(0, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા: $1 = 1 + C e^{-\sin 0} \implies 1 = 1 + C(1) \implies C = 0$.
આમ,વિધેય $y = 1$ છે.
$y = 1$ એ અચળ વિધેય હોવાથી,તે આવર્તીય પણ છે (કોઈપણ આવર્તકાળ $T > 0$ માટે) અને તે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સતત અને વિકલનીય છે.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} \sin x - y \cos x = -\frac{\sin^2 x}{x^2}$ છે.
$\sin^2 x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{\sin x} \frac{dy}{dx} - y \frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{x^2}$ મળે છે.
આ $\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{\sin x} \right) = -\frac{1}{x^2}$ ને સમાન છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\frac{y}{\sin x} = \int -\frac{1}{x^2} dx = \frac{1}{x} + C$ મળે છે.
તેથી,$y = \sin x \left( \frac{1}{x} + C \right)$.
આપેલ છે કે $x \rightarrow \infty$ ત્યારે $y \rightarrow 0$,તેથી $C = 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $f(x) = \frac{\sin x}{x}$.
$1$. $\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {Lim}\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.
$2$. $x > 0$ માટે $\sin x < x$ હોવાથી,$f(x) = \frac{\sin x}{x} < 1$. તેથી,$\int_0^{\pi/2} f(x) dx < \int_0^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}$.
$3$. શ્રેણી વિસ્તરણ $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \frac{x^4}{120} - \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,સંકલન $\int_0^{\pi/2} (1 - \frac{x^2}{6}) dx = [x - \frac{x^3}{18}]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi^3}{144} \approx 1.57 - 0.21 = 1.36 > 1$.
આમ,બધા વિધાનો સાચા છે.

(A) આપેલ છે $y = (A + Bx) e^{mx} + (m - 1)^{-2} e^x$.
ધારો કે $y = y_1 + y_2$,જ્યાં $y_1 = (A + Bx) e^{mx}$ અને $y_2 = (m - 1)^{-2} e^x$.
$y_1 = (A + Bx) e^{mx}$ માટે,વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y_1}{dx^2} - 2m \frac{dy_1}{dx} + m^2y_1 = 0$ થાય છે.
હવે,$y_2 = (m - 1)^{-2} e^x$ લો.
$\frac{dy_2}{dx} = (m - 1)^{-2} e^x$ અને $\frac{d^2y_2}{dx^2} = (m - 1)^{-2} e^x$.
$y_2$ ને $\frac{d^2y_2}{dx^2} - 2m \frac{dy_2}{dx} + m^2y_2$ પદમાં મૂકતા:
$= (m - 1)^{-2} e^x - 2m(m - 1)^{-2} e^x + m^2(m - 1)^{-2} e^x$
$= (m - 1)^{-2} e^x [1 - 2m + m^2]$
$= (m - 1)^{-2} e^x (m - 1)^2$
$= e^x$.
આમ,$\frac{d^2y}{dx^2} - 2m \frac{dy}{dx} + m^2y = 0 + e^x = e^x$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $f(x) = f'(x) + f''(x) + f'''(x) + \dots \infty$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$f'(x) = f''(x) + f'''(x) + f''''(x) + \dots \infty$
મૂળ સમીકરણમાંથી આ બાદ કરતા:
$f(x) - f'(x) = f'(x)$
$f(x) = 2f'(x)$
$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{2}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln f(x) = \frac{x}{2} + C$
$f(0) = 1$ હોવાથી,$C = 0$ મળે છે.
તેથી,$f(x) = e^{x/2}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + x \sin^2 y = \sin y \cos y$
બંને બાજુ $\sin^2 y$ વડે ભાગતા: $\csc^2 y \frac{dy}{dx} + x = \cot y$
પદોને ગોઠવતા: $\csc^2 y \frac{dy}{dx} - \cot y = -x$
ધારો કે $v = \cot y$. તેથી $\frac{dv}{dx} = -\csc^2 y \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{dv}{dx} = \csc^2 y \frac{dy}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $-\frac{dv}{dx} - v = -x$,અથવા $\frac{dv}{dx} + v = x$.
આ $\frac{dv}{dx} + Pv = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 1$ અને $Q = x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int 1 dx} = e^x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $v \cdot e^x = \int x e^x dx + C$ છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x = (x - 1)e^x$.
તેથી,$v e^x = (x - 1)e^x + C$.
$e^x$ વડે ભાગતા: $v = (x - 1) + Ce^{-x}$.
$v = \cot y$ પાછું મૂકતા: $\cot y = (x - 1) + Ce^{-x}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y \sin 2x - \cos x + (1 + \sin^2 x) \frac{dy}{dx} = 0$ છે,જ્યાં $y = f(x)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}\right) y = \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x}$ અને $Q(x) = \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x} dx}$ છે.
ધારો કે $u = 1 + \sin^2 x$,તો $du = \sin 2x dx$. તેથી,$\int P(x) dx = \int \frac{du}{u} = \ln(1 + \sin^2 x)$.
આમ,$I$.$F$. $= e^{\ln(1 + \sin^2 x)} = 1 + \sin^2 x$.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y(1 + \sin^2 x) = \int \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x} \cdot (1 + \sin^2 x) dx + C = \int \cos x dx + C = \sin x + C$.
$f(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0(1 + 0) = \sin(0) + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.
તેથી,$f(x) = \frac{\sin x}{1 + \sin^2 x}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sin(\pi/6)}{1 + \sin^2(\pi/6)} = \frac{1/2}{1 + (1/2)^2} = \frac{1/2}{5/4} = \frac{2}{5}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\int_{a}^{x} t y(t) dt = x^2 + y(x)$ $(1)$
લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$x y(x) = 2x + \frac{dy}{dx}$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} = x y - 2x = x(y - 2)$
ચલને અલગ કરતા:
$\int \frac{dy}{y - 2} = \int x dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\ln |y - 2| = \frac{x^2}{2} + C$
$y - 2 = K e^{\frac{x^2}{2}}$ (જ્યાં $K = \pm e^C$)
$x = a$ માટે,સંકલન $\int_{a}^{a} t y(t) dt = 0$ થાય,તેથી $(1)$ પરથી:
$0 = a^2 + y(a) \Rightarrow y(a) = -a^2$
$x = a$ અને $y = -a^2$ ને સામાન્ય ઉકેલમાં મૂકતા:
$-a^2 - 2 = K e^{\frac{a^2}{2}}$
$K = -(a^2 + 2) e^{-\frac{a^2}{2}}$
$K$ ની કિંમત સમીકરણમાં પાછી મૂકતા:
$y - 2 = -(a^2 + 2) e^{-\frac{a^2}{2}} \cdot e^{\frac{x^2}{2}}$
$y - 2 = -(a^2 + 2) e^{\frac{x^2 - a^2}{2}}$
$y = 2 - (2 + a^2) e^{\frac{x^2 - a^2}{2}}$

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x + 2y^3)\frac{dy}{dx} - y = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $(x + 2y^3)dy = y dx$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{x + 2y^3}{y}$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{x}{y} + 2y^2$
$\Rightarrow \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 2y^2$
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{1}{y}$ અને $Q = 2y^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) નીચે મુજબ મળે: $I.F. = e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = \frac{1}{y}$.
વ્યાપક ઉકેલ: $x \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dy + C$
$\Rightarrow x \cdot \frac{1}{y} = \int 2y^2 \cdot \frac{1}{y} dy + C$
$\Rightarrow \frac{x}{y} = \int 2y dy + C$
$\Rightarrow \frac{x}{y} = y^2 + C$
$\Rightarrow x = y^3 + Cy$
આમ,ઉકેલ $x = y^3 + Cy$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{1 + x e^y \cos(x^2)}$ છે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + x e^y \cos(x^2)}{x} = \frac{1}{x} + e^y \cos(x^2)$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} - e^y \cos(x^2) = \frac{1}{x}$ મળે.
$e^{-y}$ વડે ભાગતા: $e^{-y} \frac{dy}{dx} - \cos(x^2) = \frac{1}{x} e^{-y}$.
$e^{-y} \frac{dy}{dx} - \frac{e^{-y}}{x} = \cos(x^2)$.
ધારો કે $v = -e^{-y}$,તો $\frac{dv}{dx} = e^{-y} \frac{dy}{dx}$ થાય.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = \cos(x^2)$.
આ $v$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ છે.
ઉકેલ $v \cdot x = \int x \cos(x^2) dx$ થાય.
ધારો કે $u = x^2$,તો $du = 2x dx$,તેથી $x dx = \frac{1}{2} du$.
$v \cdot x = \int \frac{1}{2} \cos(u) du = \frac{1}{2} \sin(u) + c = \frac{1}{2} \sin(x^2) + c$.
$v = -e^{-y}$ મૂકતા: $-x e^{-y} = \frac{1}{2} \sin(x^2) + c$.
$-2x = e^y (\sin(x^2) + 2c)$.
આમ,$2x + e^y(C + \sin(x^2)) = 0$ મળે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{f(x)}{1+x^2} = 1 + \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$.
ધારો કે $g(x) = \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt$. તેથી $g'(x) = \frac{f(x)}{1+x^2}$.
સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $\frac{f(x)}{1+x^2} = 1 + g(x)$.
$f(x) = (1+x^2)g'(x)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $g'(x) = 1 + g(x)$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\frac{dg}{dx} - g = 1$.
સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
$e^{-x}$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx}(g(x)e^{-x}) = e^{-x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $g(x)e^{-x} = -e^{-x} + C$.
તેથી,$g(x) = C e^x - 1$.
$g(0) = \int_{0}^{0} \dots = 0$ હોવાથી,$0 = C - 1$,એટલે કે $C = 1$.
આમ,$g(x) = e^x - 1$.
તેથી $g'(x) = e^x$.
$f(x) = (1+x^2)g'(x)$ હોવાથી,$f(x) = (1+x^2)e^x$.
તેથી,$f(1) = (1+1^2)e^1 = 2e$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} \sin 2y = x^3 \cos^2 y$.
$\sin 2y = 2 \sin y \cos y$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} \sin y \cos y = x^3 \cos^2 y$.
બંને બાજુ $\cos^2 y$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\sec^2 y \frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} \tan y = x^3$.
ધારો કે $z = \tan y$,તો $\frac{dz}{dx} = \sec^2 y \frac{dy}{dx}$.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{dz}{dx} + \frac{2}{x} z = x^3$.
આ $\frac{dz}{dx} + P(x)z = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2}{x}$ અને $Q(x) = x^3$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln x} = x^2$ છે.
ઉકેલ $z \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$z \cdot x^2 = \int x^3 \cdot x^2 dx + C = \int x^5 dx + C$.
$z x^2 = \frac{x^6}{6} + C$.
$z = \tan y$ મૂકતા: $(\tan y) x^2 = \frac{x^6}{6} + C$.
$6$ વડે ગુણતા: $6x^2 \tan y = x^6 + 6C$.
$6C$ એ એક સ્વૈર અચળાંક હોવાથી,તેને $C$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$6x^2 \tan y = x^6 + C$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y' + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 1$ અને $Q = 2(\sin x + \cos x)$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$y \cdot e^x = \int 2(\sin x + \cos x) e^x dx + C$.
નિત્યસમ $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(x) = \sin x$ અને $f'(x) = \cos x$ છે,આપણને મળે છે:
$y \cdot e^x = 2 e^x \sin x + C$.
$e^x$ વડે ભાગતા,$y = 2 \sin x + C e^{-x}$ મળે છે.
$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$1 = 2 \sin(0) + C e^0 \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = 2 \sin x + e^{-x}$ છે.
હવે,$x = \pi$ માટે કિંમત શોધતા:
$y(\pi) = 2 \sin(\pi) + e^{-\pi} = 2(0) + e^{-\pi} = e^{-\pi}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy(x^2 \sin y^2 + 1)}$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} = xy(x^2 \sin y^2 + 1) = x^3 y \sin y^2 + xy$.
$x^3$ વડે ભાગતા: $x^{-3} \frac{dx}{dy} - yx^{-1} = y \sin y^2$.
ધારો કે $u = x^{-2}$,તો $\frac{du}{dy} = -2x^{-3} \frac{dx}{dy}$,તેથી $x^{-3} \frac{dx}{dy} = -\frac{1}{2} \frac{du}{dy}$.
સમીકરણમાં મૂકતા: $-\frac{1}{2} \frac{du}{dy} - yu = y \sin y^2 \Rightarrow \frac{du}{dy} + 2yu = -2y \sin y^2$.
આ $u$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int 2y dy} = e^{y^2}$ છે.
ઉકેલ $u e^{y^2} = \int (-2y \sin y^2) e^{y^2} dy$ છે.
ધારો કે $t = y^2$,તો $dt = 2y dy$. સંકલન $\int -\sin t e^t dt$ બને છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int e^t \sin t dt = \frac{e^t}{2} (\sin t - \cos t)$.
તેથી,$u e^{y^2} = -\frac{e^{y^2}}{2} (\sin y^2 - \cos y^2) + C$.
$u = x^{-2}$ મૂકતા: $\frac{e^{y^2}}{x^2} = \frac{e^{y^2}}{2} (\cos y^2 - \sin y^2) + C$.
ગોઠવતા: $e^{y^2} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{\cos y^2}{2} + \frac{\sin y^2}{2} \right) = C$.

(D) આપેલ અસમતા $f(x) + f'(x) \le 1$ છે.
બંને બાજુ સંકલ્યકારક અવયવ $e^x$ વડે ગુણતા:
$e^x f'(x) + e^x f(x) \le e^x$
આને ગુણાકારના વિકલન તરીકે લખી શકાય:
$\frac{d}{dx} (f(x) e^x) \le e^x$
હવે,બંને બાજુ $0$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{1} \frac{d}{dx} (f(x) e^x) dx \le \int_{0}^{1} e^x dx$
$[f(x) e^x]_{0}^{1} \le [e^x]_{0}^{1}$
$f(1) e^1 - f(0) e^0 \le e^1 - e^0$
કારણ કે $f(0) = 0$,તેથી:
$f(1) e \le e - 1$
$f(1) \le \frac{e-1}{e}$
આમ,$f(1)$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત $\frac{e-1}{e}$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $ydx + y^2dy = xdy$.
પદોને $x$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ બનાવવા માટે ગોઠવતા:
$ydx = (x - y^2)dy$
$\frac{dx}{dy} = \frac{x - y^2}{y} = \frac{x}{y} - y$
$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = -y$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{1}{y}$ અને $Q(y) = -y$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ છે.
$x \cdot \frac{1}{y} = \int (-y) \cdot \frac{1}{y} dy + C$
$\frac{x}{y} = \int -1 dy + C = -y + C$.
પ્રારંભિક શરત $y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$\frac{1}{1} = -1 + C \Rightarrow C = 2$.
તેથી,સમીકરણ $\frac{x}{y} = -y + 2$ છે,જેનો અર્થ $x = 2y - y^2$ થાય છે.
$y(-3)$ શોધવા માટે,$x = -3$ મૂકતા:
$-3 = 2y - y^2 \Rightarrow y^2 - 2y - 3 = 0$.
$(y - 3)(y + 1) = 0$.
$y > 0$ હોવાથી,$y = 3$ મળે છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^3 + 1)dy = x(1 - 3xy)dx$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(x^3 + 1)dy + 3x^2ydx = xdx$ મળે છે.
આને $d(y(x^3 + 1)) = xdx$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$y(x^3 + 1) = \int xdx = \frac{x^2}{2} + C$ મળે છે.
$f(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા $0(0 + 1) = 0 + C$,તેથી $C = 0$ મળે છે.
આમ,$y(x^3 + 1) = \frac{x^2}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $f(x) = \frac{x^2}{2(x^3 + 1)}$.
હવે,લક્ષની ગણતરી કરતા: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{f(x)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2(x^3 + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2(x^3 + 1) = 2(0 + 1) = 2$.

(C) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x, y)$ છે. સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y - y = \frac{dy}{dx}(X - x)$ છે.
$y$-અંતઃખંડ શોધવા માટે,$X = 0$ મૂકો:
$Y - y = \frac{dy}{dx}(0 - x) \implies Y = y - x \frac{dy}{dx}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$y$-અંતઃખંડ $Y$ એ કોટિ $y$ ના વર્ગના પ્રમાણમાં છે,તેથી $Y = ky^2$ (જ્યાં $k$ અચળાંક છે).
$Y$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$y - x \frac{dy}{dx} = ky^2$.
પદોને ગોઠવતા:
$x \frac{dy}{dx} - y = -ky^2$.
$xy^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{xy} = -\frac{k}{x}$.
ધારો કે $v = \frac{1}{y}$,તો $\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = -\frac{k}{x} \implies \frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = \frac{k}{x}$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ છે.
$x$ વડે ગુણતા:
$x \frac{dv}{dx} + v = k \implies \frac{d}{dx}(xv) = k$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$xv = kx + C \implies x(\frac{1}{y}) = kx + C$.
$x$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{y} = k + \frac{C}{x} \implies \frac{C}{x} + \frac{1}{y} = k$.
$k$ વડે ભાગીને $\frac{c_1}{x} + \frac{c_2}{y} = 1$ સ્વરૂપમાં લાવતા (જ્યાં $c_1 = C/k$ અને $c_2 = 1/k$).

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{y^2 - x}$ છે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{dx}{dy} = \frac{y^2 - x}{y} = y - \frac{x}{y}$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$x$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે: $\frac{dx}{dy} + \frac{1}{y}x = y$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{y}$ અને $Q(y) = y$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y} dy} = e^{\ln|y|} = y$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot (IF) = \int Q(y) \cdot (IF) dy + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x \cdot y = \int y \cdot y dy + c$.
$xy = \int y^2 dy + c$.
$xy = \frac{y^3}{3} + c$.
$3$ વડે ગુણતા,$3xy = y^3 + 3c$,જેને $y^3 - 3xy = c'$ તરીકે લખી શકાય (જ્યાં $c' = -3c$).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\lim_{x \to \infty} (f(x) + f'(x) + f''(x)) = 5$.
ધારો કે $L = \lim_{x \to \infty} f(x)$. કારણ કે $f(x)$ એ $(2, 20)$ માં સીમિત છે,તેથી લક્ષનું અસ્તિત્વ છે.
વિકલ સમીકરણ $f''(x) + f'(x) + f(x) = g(x)$ ધ્યાનમાં લો.
જેમ $x \to \infty$,તેમ $g(x) \to 5$.
અચળ સહગુણકોવાળા સુરેખ વિકલ સમીકરણ માટે,અચળ પદ $5$ માટે વિશિષ્ટ ઉકેલ $f(x) = c$ છે.
સમીકરણમાં $f(x) = c$ મૂકતા,આપણને $0 + 0 + c = 5$ મળે છે,તેથી $c = 5$.
આમ,$\lim_{x \to \infty} f(x) = 5$.
કારણ કે $\lim_{x \to \infty} g(x) = 5$,તેથી $\lim_{x \to \infty} (f(x) - g(x)) = 5 - 5 = 0$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2}{x}$ અને $Q(x) = x^3$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધીએ:
$IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln|x|} = e^{\ln|x^{-2}|} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \times (IF) = \int Q(x) \times (IF) dx + c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \times \frac{1}{x^2} = \int x^3 \times \frac{1}{x^2} dx + c$
$y \times \frac{1}{x^2} = \int x dx + c$
$y \times \frac{1}{x^2} = \frac{x^2}{2} + c$
બંને બાજુ $x^2$ વડે ગુણતા:
$y = \frac{x^4}{2} + cx^2$
$2y = x^4 + 2cx^2$.
અહીં $2c$ એક સ્વૈચ્છિક અચળાંક હોવાથી,આપણે તેને $C$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$2y = x^4 + Cx^2$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} - 2y = x^2 + \sin \left( \frac{1}{x^2} \right)$ છે.
આખા સમીકરણને $x$ વડે ભાગતા,તે પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ માં નીચે મુજબ મળે:
$\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}y = x + \frac{1}{x} \sin \left( \frac{1}{x^2} \right)$.
અહીં,$P(x) = -\frac{2}{x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ શોધવાનું સૂત્ર $IF = e^{\int P(x) dx}$ છે.
$IF = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln|x|} = e^{\ln|x^{-2}|} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + \frac{y \ln y}{x} = \frac{y(\ln y)^2}{x^2}$.
બંને બાજુ $y(\ln y)^2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{y(\ln y)^2} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \ln y} = \frac{1}{x^2}$.
ધારો કે $t = \frac{1}{\ln y}$. તેથી $\frac{dt}{dx} = -\frac{1}{y(\ln y)^2} \frac{dy}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $-\frac{dt}{dx} + \frac{t}{x} = \frac{1}{x^2}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dt}{dx} - \frac{t}{x} = -\frac{1}{x^2}$ થાય છે.
આ $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{1}{x}$ અને $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$.
ઉકેલ: $t \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$.
$t \cdot \frac{1}{x} = \int (-\frac{1}{x^2}) \cdot \frac{1}{x} dx + C = -\int x^{-3} dx + C = -(\frac{x^{-2}}{-2}) + C = \frac{1}{2x^2} + C$.
$x$ વડે ગુણતા,$t = \frac{1}{2x} + Cx$ મળે.
$t = \frac{1}{\ln y}$ મૂકતા,$\frac{1}{\ln y} = \frac{1}{2x} + Cx$ મળે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2$ અને $Q = f(x)$ છે.
કિસ્સો $1$: $x \in [0, 1]$ માટે,$f(x) = 1$.
$\frac{dy}{dx} + 2y = 1$. સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot e^{2x} = \int 1 \cdot e^{2x} dx + C_1 = \frac{1}{2}e^{2x} + C_1$ મળે.
તેથી,$y(x) = \frac{1}{2} + C_1 e^{-2x}$.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 = \frac{1}{2} + C_1 \Rightarrow C_1 = -\frac{1}{2}$.
આમ,$x \in [0, 1]$ માટે $y(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2x}$ છે.
$x = 1$ આગળ,$y(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2} = \frac{e^2 - 1}{2e^2}$.
કિસ્સો $2$: $x > 1$ માટે,$f(x) = 0$.
$\frac{dy}{dx} + 2y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{y} = -2 dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\ln|y| = -2x + C_2 \Rightarrow y = C_3 e^{-2x}$ મળે.
$x = 1$ આગળ $y(x)$ ની સાતત્યતાનો ઉપયોગ કરતા,$y(1) = C_3 e^{-2} = \frac{e^2 - 1}{2e^2}$.
$C_3 = \frac{e^2 - 1}{2e^2} \cdot e^2 = \frac{e^2 - 1}{2}$.
તેથી,$x > 1$ માટે $y(x) = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-2x}$ છે.
$x = \frac{3}{2}$ માટે,$y\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-2(\frac{3}{2})} = \left(\frac{e^2 - 1}{2}\right) e^{-3} = \frac{e^2 - 1}{2e^3}$.

(D) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{t \to x} \frac{{{t^2}f(x) - {x^2}f(t)}}{{t - x}} = 1$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં $L$'Hopital નો નિયમ વાપરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{t \to x} \frac{2t f(x) - x^2 f'(t)}{1} = 1$.
$t = x$ મૂકતા,આપણને વિકલ સમીકરણ મળે છે: $2x f(x) - x^2 f'(x) = 1$.
ગોઠવતા: $f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = -\frac{1}{x^2}$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2}{x}$ અને $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$.
$I.F.$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx} [f(x) \cdot \frac{1}{x^2}] = -\frac{1}{x^4}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{f(x)}{x^2} = \int -x^{-4} dx = \frac{1}{3x^3} + C$.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{3x} + Cx^2$.
$f(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 = \frac{1}{3} + C \implies C = \frac{2}{3}$.
આમ,$f(x) = \frac{1}{3x} + \frac{2x^2}{3}$.
$x = \frac{3}{2}$ માટે: $f(\frac{3}{2}) = \frac{1}{3(3/2)} + \frac{2(3/2)^2}{3} = \frac{2}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{2}{9} + \frac{3}{2} = \frac{4 + 27}{18} = \frac{31}{18}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x \int_{1}^{x} y(t) dt = (x + 1) \int_{1}^{x} t y(t) dt$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\int_{1}^{x} y(t) dt + x y(x) = \int_{1}^{x} t y(t) dt + (x + 1) x y(x)$.
પદોને ગોઠવતા:
$\int_{1}^{x} y(t) dt - \int_{1}^{x} t y(t) dt = (x^2 + x - x) y(x) = x^2 y(x)$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y(x) - x y(x) = 2x y(x) + x^2 y'(x)$.
સાદું રૂપ આપતા:
$y(x) (1 - x - 2x) = x^2 y'(x) \implies y(x) (1 - 3x) = x^2 y'(x)$.
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{y'(x)}{y(x)} = \frac{1 - 3x}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{3}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\ln|y(x)| = -\frac{1}{x} - 3 \ln|x| + K$.
$\ln|y(x)| + \ln|x^3| = -\frac{1}{x} + K$.
$\ln|y(x) x^3| = -\frac{1}{x} + K$.
$y(x) x^3 = C e^{-\frac{1}{x}}$.
આમ,$y(x) = \frac{C e^{-\frac{1}{x}}}{x^3}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{2} \sec x = \frac{\tan x}{2y}$.
$2y$ વડે ગુણતા: $2y \frac{dy}{dx} + y^2 \sec x = \tan x$.
ધારો કે $y^2 = t$,તેથી $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$.
સમીકરણ આ મુજબ બનશે: $\frac{dt}{dx} + t \sec x = \tan x$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \sec x$ અને $Q = \tan x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \sec x dx} = e^{\ln(\sec x + \tan x)} = \sec x + \tan x$.
ઉકેલ: $t(IF) = \int Q(IF) dx + C$.
$t(\sec x + \tan x) = \int \tan x(\sec x + \tan x) dx + C$.
$t(\sec x + \tan x) = \int (\sec x \tan x + \sec^2 x - 1) dx + C$.
$t(\sec x + \tan x) = \sec x + \tan x - x + C$.
$y(0) = 1$ હોવાથી,$t(0) = 1$. $x=0$ મૂકતા,$C = 0$ મળે છે.
તેથી,$t(\sec x + \tan x) = \sec x + \tan x - x$.
$t = 1 - \frac{x}{\sec x + \tan x}$.
$t = y^2$ હોવાથી,$y^2 = 1 - \frac{x}{\sec x + \tan x}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $ydx - (x + 2y^2)dy = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $ydx - xdy = 2y^2 dy$ મળે છે.
બંને બાજુને $y^2$ વડે ભાગતા ($y \neq 0$ માટે),આપણને $\frac{ydx - xdy}{y^2} = 2dy$ મળે છે.
આ $d(\frac{x}{y}) = 2dy$ ને સમાન છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $\frac{x}{y} = 2y + c$ મળે છે.
આપેલ છે કે $f(-1) = 1$,જેનો અર્થ છે કે જ્યારે $y = -1$ હોય ત્યારે $x = 1$ છે. આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{-1} = 2(-1) + c \Rightarrow -1 = -2 + c \Rightarrow c = 1$.
આમ,ઉકેલ $\frac{x}{y} = 2y + 1$ છે,અથવા $x = 2y^2 + y$.
$f(1)$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $y = 1$ મૂકીએ છીએ: $x = 2(1)^2 + 1 = 2 + 1 = 3$.
તેથી,$f(1) = 3$.

(D) આપેલ છે,$\sin 2x \left( \frac{dy}{dx} - \sqrt{\tan x} \right) - y = 0$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{\sin 2x} = \sqrt{\tan x}$
$\frac{1}{\sin 2x} = \csc 2x$ હોવાથી,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} - y \csc 2x = \sqrt{\tan x}$ ....$(1)$
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\csc 2x$ અને $Q = \sqrt{\tan x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $= e^{\int P dx} = e^{\int -\csc 2x dx} = e^{-\frac{1}{2} \ln|\tan x|} = e^{\ln(\tan x)^{-1/2}} = \frac{1}{\sqrt{\tan x}} = \sqrt{\cot x}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y \sqrt{\cot x} = \int \sqrt{\tan x} \cdot \sqrt{\cot x} dx + c$.
$\sqrt{\tan x} \cdot \sqrt{\cot x} = 1$ હોવાથી,આપણને મળે: $y \sqrt{\cot x} = \int 1 dx + c$.
તેથી,$y \sqrt{\cot x} = x + c$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sin 2x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan x$ અને $Q = \sin 2x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln(\sec x)} = \sec x$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ છે.
$y \sec x = \int \sin 2x \sec x dx + c$.
$y \sec x = \int (2 \sin x \cos x) \sec x dx + c$.
$y \sec x = 2 \int \sin x dx + c$.
$y \sec x = -2 \cos x + c$ .....$(1)$.
$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 1$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$1 \cdot \sec(0) = -2 \cos(0) + c \Rightarrow 1(1) = -2(1) + c \Rightarrow c = 3$.
$c = 3$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$y \sec x = -2 \cos x + 3$ મળે છે.
$y(\pi)$ શોધવા માટે,$x = \pi$ મૂકતા:
$y \sec(\pi) = -2 \cos(\pi) + 3$.
$y(-1) = -2(-1) + 3$.
$-y = 2 + 3 = 5$.
$y = -5$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 + x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ છે.
$(1 + x^2)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1 + x^2}y = \frac{4x^2}{1 + x^2}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{2x}{1 + x^2}$ અને $Q = \frac{4x^2}{1 + x^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.) = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1 + x^2} dx} = e^{\ln(1 + x^2)} = 1 + x^2$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \times (I.F.) = \int Q \times (I.F.) dx + C$ છે.
$y(1 + x^2) = \int \frac{4x^2}{1 + x^2} \times (1 + x^2) dx + C$.
$y(1 + x^2) = \int 4x^2 dx + C$.
$y(1 + x^2) = \frac{4x^3}{3} + C$.
વક્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા $C$ ની કિંમત મળે છે.
$0(1 + 0) = \frac{4(0)^3}{3} + C \implies C = 0$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y(1 + x^2) = \frac{4x^3}{3}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3(1 + x^2)y = 4x^3$ થાય છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x^2$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{2}{x}$ અને $Q = x^2$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) શોધીશું:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = e^{\ln(x^2)} = x^2$.
વ્યાપક ઉકેલનું સૂત્ર $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + c$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \cdot x^2 = \int (x^2 \cdot x^2) dx + c$ મળે છે.
$y \cdot x^2 = \int x^4 dx + c$.
$y \cdot x^2 = \frac{x^5}{5} + c$.
બંને બાજુ $x^2$ વડે ભાગતા,$y = \frac{x^3}{5} + cx^{-2}$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 - 1)\frac{dy}{dx} + 2xy = x$ છે.
બંને બાજુ $(x^2 - 1)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 - 1}y = \frac{x}{x^2 - 1}$ મળે છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{2x}{x^2 - 1}$ અને $Q = \frac{x}{x^2 - 1}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{x^2 - 1} dx}$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $t = x^2 - 1$,તો $dt = 2x dx$ થાય.
તેથી,$IF = e^{\int \frac{dt}{t}} = e^{\ln|t|} = t = x^2 - 1$.
આમ,જરૂરી સંકલ્યકારક અવયવ $x^2 - 1$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (3 \sec^2 x) y = \sec^2 x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 3 \sec^2 x$ અને $Q(x) = \sec^2 x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int 3 \sec^2 x dx} = e^{3 \tan x}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
$y \cdot e^{3 \tan x} = \int \sec^2 x \cdot e^{3 \tan x} dx + C$.
ધારો કે $u = 3 \tan x$,તો $du = 3 \sec^2 x dx$,તેથી $\sec^2 x dx = \frac{du}{3}$.
$y \cdot e^{3 \tan x} = \int e^u \cdot \frac{du}{3} + C = \frac{1}{3} e^{3 \tan x} + C$.
$e^{3 \tan x}$ વડે ભાગતા,$y = \frac{1}{3} + C e^{-3 \tan x}$ મળે.
આપેલ છે કે $y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{4}{3}$,તેથી $\frac{4}{3} = \frac{1}{3} + C e^{-3 \tan(\pi/4)} = \frac{1}{3} + C e^{-3}$.
$1 = C e^{-3} \Rightarrow C = e^3$.
આમ,$y(x) = \frac{1}{3} + e^3 \cdot e^{-3 \tan x} = \frac{1}{3} + e^{3 - 3 \tan x}$.
$x = -\frac{\pi}{4}$ માટે,$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{3} + e^{3 - 3 \tan(-\pi/4)} = \frac{1}{3} + e^{3 - 3(-1)} = \frac{1}{3} + e^6$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $f'(x) + \frac{3}{4x} f(x) = 7$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{3}{4x}$ અને $Q(x) = 7$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{3}{4x} dx} = e^{\frac{3}{4} \ln x} = x^{3/4}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ છે.
$f(x) \cdot x^{3/4} = \int 7 x^{3/4} dx + c = 7 \cdot \frac{x^{7/4}}{7/4} + c = 4x^{7/4} + c$ થાય.
તેથી,$f(x) = 4x + c x^{-3/4}$ મળે.
હવે,$\lim_{x \to 0^+} x f\left(\frac{1}{x}\right)$ ની કિંમત શોધીએ.
$f\left(\frac{1}{x}\right) = 4\left(\frac{1}{x}\right) + c\left(\frac{1}{x}\right)^{-3/4} = \frac{4}{x} + c x^{3/4}$ થાય.
તેથી,$\lim_{x \to 0^+} x f\left(\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to 0^+} x \left(\frac{4}{x} + c x^{3/4}\right) = \lim_{x \to 0^+} (4 + c x^{7/4}) = 4$ મળે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 2 + \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = e^{-2x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(x) dx} = e^{\int (2 + \frac{1}{x}) dx} = e^{2x + \log_e x} = x e^{2x}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y(x e^{2x}) = \int e^{-2x} \cdot (x e^{2x}) dx + C = \int x dx + C = \frac{x^2}{2} + C$.
આપેલ છે કે $y(1) = \frac{1}{2}e^{-2}$,તેથી $x=1$ અને $y=\frac{1}{2}e^{-2}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}e^{-2} \cdot (1 \cdot e^2) = \frac{1^2}{2} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 0$.
આમ,$y = \frac{x}{2}e^{-2x}$ મળે છે.
વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે તપાસવા માટે,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} e^{-2x} + \frac{x}{2} (-2 e^{-2x}) = \frac{e^{-2x}}{2} (1 - 2x)$ મેળવીએ.
જ્યારે $x \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ હોય,ત્યારે $1 - 2x < 0$ થાય,તેથી $\frac{dy}{dx} < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $y(x)$ એ અંતરાલ $\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x\frac{dy}{dx} + y = x \ln x$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \ln x$ મળે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x}$ અને $Q = \ln x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ છે.
$y \cdot x = \int (\ln x) \cdot x dx + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \ln x dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
તેથી,$xy = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$.
આપેલ છે કે $2y(2) = \ln 4 - 1$,તેથી $y(2) = \frac{\ln 4 - 1}{2}$.
$x=2$ મુકતા: $2y(2) = \frac{2^2}{2} \ln 2 - \frac{2^2}{4} + C \implies \ln 4 - 1 = 2 \ln 2 - 1 + C$.
$\ln 4 = 2 \ln 2$ હોવાથી,$2 \ln 2 - 1 = 2 \ln 2 - 1 + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.
આમ,$y = \frac{x}{2} \ln x - \frac{x}{4}$.
$x = e$ માટે,$y(e) = \frac{e}{2} \ln e - \frac{e}{4} = \frac{e}{2} - \frac{e}{4} = \frac{e}{4}$.

(B) સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 2y}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને સુરેખ વિકલ સમીકરણ તરીકે ફરીથી લખી શકાય: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = \frac{2}{x}$ અને $Q = x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ છે.
$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx + C = \int x^3 dx + C = \frac{x^4}{4} + C$.
વક્ર $(1, -2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે $x = 1$ અને $y = -2$ મૂકીએ:
$-2(1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \Rightarrow -2 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = -2 - \frac{1}{4} = -\frac{9}{4}$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y x^2 = \frac{x^4}{4} - \frac{9}{4}$ અથવા $4yx^2 = x^4 - 9$ છે.
વિકલ્પ $(B)$ તપાસતા: $x = \sqrt{3}$ માટે,$4y(3) = (\sqrt{3})^4 - 9 = 9 - 9 = 0$,તેથી $y = 0$. આમ,વક્ર $(\sqrt{3}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ છે.
$(x^2 + 1)^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 + 1} y = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ અને $Q(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{x^2 + 1} dx} = e^{\ln(x^2 + 1)} = x^2 + 1$.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y(x^2 + 1) = \int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \cdot (x^2 + 1) dx + C = \int \frac{1}{x^2 + 1} dx + C$.
$y(x^2 + 1) = \tan^{-1}(x) + C$.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0(0^2 + 1) = \tan^{-1}(0) + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.
તેથી,$y(x) = \frac{\tan^{-1}(x)}{x^2 + 1}$.
આપણને $\sqrt{a} y(1) = \frac{\pi}{32}$ આપેલ છે.
$y(1) = \frac{\tan^{-1}(1)}{1^2 + 1} = \frac{\pi/4}{2} = \frac{\pi}{8}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\sqrt{a} \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{32}$.
$\sqrt{a} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$a = (1/4)^2 = 1/16$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$.
$x$ વડે ભાગતા,સુરેખ વિકલ સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ મળે છે: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$.
અહીં,$P(x) = \frac{2}{x}$ અને $Q(x) = x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નીચે મુજબ છે: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$.
વ્યાપક ઉકેલ: $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$.
$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx = \int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C$.
શરત $y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 \cdot (1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{4} + C \Rightarrow C = \frac{3}{4}$.
$C$ ની કિંમત વ્યાપક ઉકેલમાં મૂકતા:
$y x^2 = \frac{x^4}{4} + \frac{3}{4}$.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $y = \frac{x^2}{4} + \frac{3}{4x^2}$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6x$ છે.
$\cos x$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} - y \tan x = 6x \sec x$ મળે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\tan x$ અને $Q = 6x \sec x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{-\int \tan x dx} = e^{-\ln(\sec x)} = \frac{1}{\sec x} = \cos x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ છે.
$y \cos x = \int (6x \sec x) \cdot \cos x dx = \int 6x dx = 3x^2 + C$.
$y(\frac{\pi}{3}) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 \cdot \cos(\frac{\pi}{3}) = 3(\frac{\pi}{3})^2 + C$,તેથી $0 = \frac{\pi^2}{3} + C$,એટલે કે $C = -\frac{\pi^2}{3}$.
આમ,$y \cos x = 3x^2 - \frac{\pi^2}{3}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$y \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{3} = 3(\frac{\pi^2}{36}) - \frac{\pi^2}{3} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{4\pi^2}{12} = -\frac{3\pi^2}{12} = -\frac{\pi^2}{4}$.
$y = -\frac{\pi^2}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\pi^2}{2\sqrt{3}}$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y \sec^2 x = \tan x \sec^2 x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \sec^2 x$ અને $Q = \tan x \sec^2 x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \sec^2 x dx} = e^{\tan x}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot e^{\tan x} = \int (\tan x \sec^2 x) e^{\tan x} dx + C$ છે.
ધારો કે $t = \tan x$,તો $dt = \sec^2 x dx$.
સંકલન $\int t e^t dt = t e^t - e^t + C$ થાય છે.
તેથી,$y e^{\tan x} = e^{\tan x} (\tan x - 1) + C$.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 = e^0 (0 - 1) + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 1$.
આમ,$y = \tan x - 1 + e^{-\tan x}$.
$x = -\frac{\pi}{4}$ માટે,$\tan x = -1$.
$y\left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1 - 1 + e^{-(-1)} = e - 2$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan x$ અને $Q = 2x + x^2 \tan x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ છે.
બંને બાજુ $I$.$F$. વડે ગુણતા,આપણને $y \sec x = \int (2x + x^2 \tan x) \sec x dx$ મળે છે.
$y \sec x = \int 2x \sec x dx + \int x^2 \sec x \tan x dx$.
નોંધો કે $\frac{d}{dx}(x^2 \sec x) = 2x \sec x + x^2 \sec x \tan x$ થાય છે.
તેથી,$y \sec x = x^2 \sec x + C$.
$\sec x$ વડે ભાગતા,$y = x^2 + C \cos x$ મળે છે.
$y(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$1 = 0^2 + C \cos(0) \Rightarrow C = 1$.
તેથી,$y = x^2 + \cos x$.
હવે,$y' = 2x - \sin x$.
$y'\left( \frac{\pi}{4} \right) = 2\left( \frac{\pi}{4} \right) - \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y'\left( -\frac{\pi}{4} \right) = 2\left( -\frac{\pi}{4} \right) - \sin\left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$y'\left( \frac{\pi}{4} \right) - y'\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \pi - \frac{2}{\sqrt{2}} = \pi - \sqrt{2}$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $y^2 dx + x dy = \frac{1}{y} dy$ મળે છે.
$y^2 dy$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{y^2}$ અને $Q(y) = \frac{1}{y^3}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{y^2} dy} = e^{-\frac{1}{y}}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $x \cdot e^{-\frac{1}{y}} = \int \frac{1}{y^3} e^{-\frac{1}{y}} dy + C$ છે.
ધારો કે $t = -\frac{1}{y}$,તો $dt = \frac{1}{y^2} dy$. વળી,$\frac{1}{y} = -t$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\int (-t) e^t dt = - (t e^t - e^t) = e^t(1 - t) = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y})$ મળે છે.
આમ,$x e^{-\frac{1}{y}} = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y}) + C$.
આપેલ છે કે $x=1$ ત્યારે $y=1$,તેથી $1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C \implies e^{-1} = 2e^{-1} + C \implies C = -e^{-1}$.
તેથી,$x e^{-\frac{1}{y}} = e^{-\frac{1}{y}}(1 + \frac{1}{y}) - e^{-1}$.
$y=2$ માટે,$x e^{-1/2} = e^{-1/2}(1 + 1/2) - e^{-1} = \frac{3}{2} e^{-1/2} - e^{-1}$.
$e^{-1/2}$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \frac{3}{2} - e^{-1/2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{\sqrt{e}}$ મળે છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y^2 - x^3) dx - xy dy = 0$
$dx$ વડે ભાગતા ($dx \neq 0$ ધારીને):
$y^2 - x^3 - xy \frac{dy}{dx} = 0$
$xy \frac{dy}{dx} - y^2 = -x^3$
$x$ વડે ભાગતા:
$y \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y^2 = -x^2$ ......$(i)$
ધારો કે $y^2 = v$,તેથી $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,એટલે કે $y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણ $(i)$ માં કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2} \frac{dv}{dx} - \frac{1}{x} v = -x^2$
$\frac{dv}{dx} - \frac{2}{x} v = -2x^2$ ......$(ii)$
આ $\frac{dv}{dx} + P(x)v = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2}{x}$ અને $Q(x) = -2x^2$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln |x|} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
ઉકેલ $v \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + c$ છે.
$v \cdot \frac{1}{x^2} = \int (-2x^2) \cdot \frac{1}{x^2} dx + c$
$\frac{v}{x^2} = \int -2 dx + c$
$\frac{v}{x^2} = -2x + c$
$v = y^2$ હોવાથી,$\frac{y^2}{x^2} = -2x + c$.
$y^2 = -2x^3 + cx^2$,જેનો અર્થ છે કે $y^2 - 2x^3 + cx^2 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.