વિકલ સમીકરણ $\cos x \frac{dy}{dx} + y \sin x = 1$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $y^{\prime}(x) + y(x) g^{\prime}(x) = g(x) g^{\prime}(x)$,$y(0) = 0$,$x \in \mathbb{R}$,જ્યાં $f^{\prime}(x)$ એ $\frac{d f(x)}{d x}$ દર્શાવે છે અને $g(x)$ એ $\mathbb{R}$ પર આપેલ અચળ ન હોય તેવું વિકલનીય વિધેય છે,જેમાં $g(0) = g(2) = 0$ છે. તો $y(2)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f$ એ એક વિકલનીય વિધેય $f : R \rightarrow R$ છે જે સમીકરણ $f(x) = (1+x^2) \left[ 1 + \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1+t^2} dt \right]$ ને તમામ $x \in R$ માટે સંતોષે છે,તો $f(1)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x \log x) \frac{dy}{dx} + y = 2x \log x$,$(x \ge 1)$ નો ઉકેલ છે. તો $y(e)$ ની કિંમત શોધો: $[y(1) = 0]$

વિકલ સમીકરણ $(\tan ^{-1} y-x) dy = (1+y^2) dx$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

જો $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $y \frac{dx}{dy} = 2x + y^{3}(y+1)e^{y}$ નો ઉકેલ હોય અને પ્રારંભિક શરત $x(1) = 0$ હોય,તો $x(e)$ ની કિંમત શોધો: