$\frac{dy}{dx} + p(x)y = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શોધો,જો આપેલ હોય કે વક્રના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ તે બિંદુના યામોના સરવાળા જેટલો છે.

જો $y = \left(\frac{2}{\pi} x - 1\right) \operatorname{cosec} x$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + p(x) y = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $0 < x < \frac{\pi}{2}$,તો વિધેય $p(x)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x^2$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\sin^{2} y \frac{dx}{dy} + x = \cot y$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,જ્યારે $x = 0$ અને $y = \frac{3\pi}{4}$ હોય.

ધારો કે એક વક્ર $y = y(x)$ બિંદુ $(3,3)$ માંથી પસાર થાય છે અને આ વક્રની નીચે,$x$-અક્ષની ઉપર અને $3$ અને $x (>3)$ વચ્ચેના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\left(\frac{y}{x}\right)^{3}$ છે. જો આ વક્ર પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $(\alpha, 6\sqrt{10})$ માંથી પણ પસાર થતો હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત $........$ છે.