Linear differential equations Questions in Gujarati

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(y^{2}-x) \frac{dy}{dx}=1$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} = y^{2}-x$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{dy} + x = y^{2}$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y)=1$ અને $Q(y)=y^{2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int 1 dy} = e^{y}$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ દ્વારા મળે છે.
$x e^{y} = \int y^{2} e^{y} dy + C$.
$\int y^{2} e^{y} dy$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int y^{2} e^{y} dy = y^{2} e^{y} - \int 2y e^{y} dy = y^{2} e^{y} - 2(y e^{y} - e^{y}) = (y^{2}-2y+2)e^{y}$.
તેથી,$x e^{y} = (y^{2}-2y+2)e^{y} + C$.
શરત $y(0)=1$ આપેલ છે,તેથી $x=0$ અને $y=1$ મૂકતા:
$0 \cdot e^{1} = (1^{2}-2(1)+2)e^{1} + C \Rightarrow 0 = (1)e + C \Rightarrow C = -e$.
વક્રનું સમીકરણ $x e^{y} = (y^{2}-2y+2)e^{y} - e$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$y=0$ લેતા:
$x e^{0} = (0^{2}-2(0)+2)e^{0} - e \Rightarrow x(1) = 2(1) - e \Rightarrow x = 2-e$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $e^{y}\left(\frac{dy}{dx}-1\right)=e^{x}$.
આને $e^{y} \frac{dy}{dx} - e^{y} = e^{x}$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $e^{y} = t$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$e^{y} \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$ મળે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dt}{dx} - t = e^{x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
બંને બાજુ $I$.$F$. વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx}(t e^{-x}) = e^{x} \cdot e^{-x} = 1$ મળે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$t e^{-x} = x + c$ મળે.
$t = e^{y}$ મૂકતા,$e^{y} e^{-x} = x + c$,એટલે કે $e^{y-x} = x + c$ મળે.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા: $e^{0-0} = 0 + c \Rightarrow 1 = c$.
તેથી,ઉકેલ $e^{y-x} = x + 1$ છે.
$y(1)$ શોધવા માટે,$x = 1$ મૂકતા: $e^{y-1} = 1 + 1 = 2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$y - 1 = \log_{e} 2$.
આમ,$y(1) = 1 + \log_{e} 2$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x+1) dy = ((x+1)^{2} + y - 3) dx$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(x+1) dy - y dx = ((x+1)^{2} - 3) dx$ મળે છે.
બંને બાજુને $(x+1)^{2}$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{(x+1) dy - y dx}{(x+1)^{2}} = \left(1 - \frac{3}{(x+1)^{2}}\right) dx$ મળે છે.
આ $d\left(\frac{y}{x+1}\right) = \left(1 - \frac{3}{(x+1)^{2}}\right) dx$ ને સમાન છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\frac{y}{x+1} = x + \frac{3}{x+1} + C$ મળે છે.
આપેલ છે કે $y(2) = 0$,તેથી $x=2$ અને $y=0$ મૂકતા: $0 = 2 + \frac{3}{3} + C \Rightarrow 0 = 3 + C \Rightarrow C = -3$.
આમ,ઉકેલ $\frac{y}{x+1} = x + \frac{3}{x+1} - 3$ છે.
$(x+1)$ વડે ગુણતા,$y = x(x+1) + 3 - 3(x+1) = x^{2} + x + 3 - 3x - 3 = x^{2} - 2x$ મળે છે.
$y(3)$ માટે,$x=3$ મૂકતા: $y(3) = 3^{2} - 2(3) = 9 - 6 = 3$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=-1$ અને $Q=\cos x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
સમીકરણની બંને બાજુ $I.F.$ વડે ગુણતા:
$e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = e^{-x} \cos x$
$\frac{d}{dx}(y e^{-x}) = e^{-x} \cos x$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$y e^{-x} = \int e^{-x} \cos x dx + C$ --- $(1)$
ધારો કે $I = \int e^{-x} \cos x dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \cos x (-e^{-x}) - \int (-\sin x)(-e^{-x}) dx$
$I = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x dx$
$I = -e^{-x} \cos x - [\sin x (-e^{-x}) - \int \cos x (-e^{-x}) dx]$
$I = -e^{-x} \cos x + e^{-x} \sin x - I$
$2I = e^{-x} (\sin x - \cos x)$
$I = \frac{e^{-x}(\sin x - \cos x)}{2}$
$I$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$y e^{-x} = \frac{e^{-x}(\sin x - \cos x)}{2} + C$
$e^{x}$ વડે ગુણતા:
$y = \frac{\sin x - \cos x}{2} + C e^{x}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ છે $(1)$.
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{2}{x}$ અને $Q = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ નીચે મુજબ મળે: $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = e^{\ln(x^2)} = x^2$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx + C$.
$y \cdot x^2 = \int x^3 dx + C$.
$y \cdot x^2 = \frac{x^4}{4} + C$.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $y = \frac{x^2}{4} + Cx^{-2}$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y dx - (x + 2y^2) dy = 0$ છે.
$dy$ વડે ભાગતા,આપણને $y \frac{dx}{dy} - x - 2y^2 = 0$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$y \frac{dx}{dy} - x = 2y^2$ મળે છે.
$y$ વડે ભાગતા,$\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y} x = 2y$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} + P_1 x = Q_1$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P_1 = -\frac{1}{y}$ અને $Q_1 = 2y$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P_1 dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = e^{\log(y^{-1})} = \frac{1}{y}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x(I.F.) = \int (Q_1 \times I.F.) dy + C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x \cdot \frac{1}{y} = \int (2y \cdot \frac{1}{y}) dy + C$ મળે છે.
$\frac{x}{y} = \int 2 dy + C$.
$\frac{x}{y} = 2y + C$.
$x = 2y^2 + Cy$.

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \cot x$ અને $Q = 2x + x^2 \cot x$ છે.
પ્રથમ,સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) શોધો:
$I.F. = e^{\int \cot x dx} = e^{\log |\sin x|} = \sin x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$y \sin x = \int (2x + x^2 \cot x) \sin x dx + C$
$y \sin x = \int (2x \sin x + x^2 \cos x) dx + C$.
અહીં,$\frac{d}{dx}(x^2 \sin x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$ હોવાથી,
$y \sin x = x^2 \sin x + C$ $(1)$.
$x = \frac{\pi}{2}$ અને $y = 0$ મુકતા:
$0 = (\frac{\pi}{2})^2 \sin(\frac{\pi}{2}) + C \implies 0 = \frac{\pi^2}{4} + C \implies C = -\frac{\pi^2}{4}$.
$C$ ની કિંમત $(1)$ માં મુકતા:
$y \sin x = x^2 \sin x - \frac{\pi^2}{4}$.
$\sin x$ વડે ભાગતા:
$y = x^2 - \frac{\pi^2}{4 \sin x}$.

(A) વક્રના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{dy}{dx} = x + xy$.
આને $\frac{dy}{dx} - xy = x$ તરીકે લખી શકાય.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -x$ અને $Q = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int -x dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y e^{-\frac{x^2}{2}} = \int x e^{-\frac{x^2}{2}} dx + C$.
ધારો કે $t = -\frac{x^2}{2}$,તો $dt = -x dx$,તેથી $x dx = -dt$.
આમ,$\int x e^{-\frac{x^2}{2}} dx = -\int e^t dt = -e^t = -e^{-\frac{x^2}{2}}$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,$y e^{-\frac{x^2}{2}} = -e^{-\frac{x^2}{2}} + C$.
$e^{-\frac{x^2}{2}}$ વડે ભાગતા,આપણને $y = -1 + C e^{\frac{x^2}{2}}$ મળે છે.
વક્ર $(0, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$1 = -1 + C e^0 \implies 1 = -1 + C \implies C = 2$.
તેથી,વક્રનું સમીકરણ $y = -1 + 2e^{\frac{x^2}{2}}$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y = \sin x$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2$ અને $Q = \sin x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 dx} = e^{2x}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y e^{2x} = \int \sin x \cdot e^{2x} dx + C$ ..........$(1)$.
$I = \int e^{2x} \sin x dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$I = \sin x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int \cos x \cdot \frac{e^{2x}}{2} dx = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x dx$.
ફરીથી $\int e^{2x} \cos x dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{1}{2} \left[ \cos x \cdot \frac{e^{2x}}{2} - \int (-\sin x) \cdot \frac{e^{2x}}{2} dx \right] = \frac{e^{2x} \sin x}{2} - \frac{e^{2x} \cos x}{4} - \frac{1}{4} I$.
$I + \frac{1}{4} I = \frac{e^{2x}}{4} (2 \sin x - \cos x) \Rightarrow \frac{5}{4} I = \frac{e^{2x}}{4} (2 \sin x - \cos x) \Rightarrow I = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sin x - \cos x)$.
આ કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$y e^{2x} = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sin x - \cos x) + C$.
$e^{2x}$ વડે ભાગતા,આપણને $y = \frac{1}{5} (2 \sin x - \cos x) + Ce^{-2x}$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $P = 3$ અને $Q = e^{-2x}$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 3 dx} = e^{3x}$.
વ્યાપક ઉકેલ નીચે મુજબ મળે છે:
$y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$.
કિંમતો મૂકતા:
$y e^{3x} = \int (e^{-2x} \times e^{3x}) dx + C$
$y e^{3x} = \int e^{x} dx + C$
$y e^{3x} = e^{x} + C$.
બંને બાજુ $e^{3x}$ વડે ભાગતા:
$y = \frac{e^{x}}{e^{3x}} + \frac{C}{e^{3x}}$
$y = e^{-2x} + Ce^{-3x}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{1}{x}$ અને $Q = x^2$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\log x} = e^{\log(x^{-1})} = \frac{1}{x}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y \cdot \frac{1}{x} = \int (x^2 \cdot \frac{1}{x}) dx + C$
$\frac{y}{x} = \int x dx + C$
$\frac{y}{x} = \frac{x^2}{2} + C$
$y = \frac{x^3}{2} + Cx$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = \sec x$ અને $Q = \tan x$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \sec x dx} = e^{\ln|\sec x + \tan x|} = \sec x + \tan x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$y(\sec x + \tan x) = \int \tan x(\sec x + \tan x) dx + C$
$y(\sec x + \tan x) = \int (\sec x \tan x + \tan^2 x) dx + C$
$y(\sec x + \tan x) = \int \sec x \tan x dx + \int (\sec^2 x - 1) dx + C$
$y(\sec x + \tan x) = \sec x + \tan x - x + C$.

(N/A) આપેલ રેખીય વિકલ સમીકરણ: $\cos ^2 x \frac{d y}{d x}+y=\tan x$ છે.
બંને બાજુ $\cos ^2 x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{d y}{d x} + (\sec ^2 x) y = \sec ^2 x \tan x$.
આ સમીકરણ $\frac{d y}{d x} + Py = Q$ પ્રકારનું છે,જ્યાં $P = \sec ^2 x$ અને $Q = \sec ^2 x \tan x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ નીચે મુજબ મળે: $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \sec ^2 x dx} = e^{\tan x}$.
વ્યાપક ઉકેલનું સૂત્ર $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y \cdot e^{\tan x} = \int (\sec ^2 x \tan x) e^{\tan x} dx + C$.
ધારો કે $t = \tan x$,તેથી $dt = \sec ^2 x dx$. સંકલન આ મુજબ થશે: $y \cdot e^{\tan x} = \int t e^t dt + C$.
ખંડશઃ સંકલન $\int u dv = uv - \int v du$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = t$ અને $dv = e^t dt$:
$y \cdot e^{\tan x} = t e^t - \int e^t dt + C = t e^t - e^t + C$.
$t = \tan x$ પાછું મૂકતા: $y \cdot e^{\tan x} = \tan x e^{\tan x} - e^{\tan x} + C$.
$e^{\tan x}$ વડે ભાગતા,આપણને વ્યાપક ઉકેલ મળે: $y = \tan x - 1 + C e^{-\tan x}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ છે.
$x$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x \log x$.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{2}{x}$ અને $Q = x \log x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$.
વ્યાપક ઉકેલ: $y(IF) = \int (Q \times IF) dx + C$.
કિંમતો મૂકતા: $y \cdot x^2 = \int (x \log x \cdot x^2) dx + C = \int x^3 \log x dx + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x^3 \log x dx = \log x \cdot \frac{x^4}{4} - \int (\frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4}) dx = \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{1}{4} \int x^3 dx = \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{x^4}{16} + C$.
તેથી,$x^2 y = \frac{x^4}{16} (4 \log x - 1) + C$.
$x^2$ વડે ભાગતા,વ્યાપક ઉકેલ: $y = \frac{1}{16} x^2 (4 \log x - 1) + Cx^{-2}$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \log x \frac{dy}{dx} + y = \frac{2}{x} \log x$ છે.
બંને બાજુ $x \log x$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2}{x^2}$ મળે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q = \frac{2}{x^2}$ છે.
વિકલ સમીકરણનો સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$ થાય.
વ્યાપક ઉકેલનું સૂત્ર $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y \log x = \int \left( \frac{2}{x^2} \log x \right) dx + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int \frac{2 \log x}{x^2} dx$ માટે,
$u = \log x$ અને $dv = \frac{2}{x^2} dx$ લેતા,$du = \frac{1}{x} dx$ અને $v = -\frac{2}{x}$ મળે.
$\int u dv = uv - \int v du = (\log x)(-\frac{2}{x}) - \int (-\frac{2}{x}) \cdot \frac{1}{x} dx$.
$= -\frac{2 \log x}{x} + 2 \int x^{-2} dx = -\frac{2 \log x}{x} + 2(-\frac{1}{x}) = -\frac{2}{x}(\log x + 1)$.
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $y \log x = -\frac{2}{x}(1 + \log x) + C$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+x^{2}) dy + 2xy dx = \cot x dx$
$(1+x^{2}) dx$ વડે ભાગતા:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2xy}{1+x^{2}} = \frac{\cot x}{1+x^{2}}$
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{2x}{1+x^{2}}$ અને $Q = \frac{\cot x}{1+x^{2}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^{2}} dx} = e^{\log(1+x^{2})} = 1+x^{2}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ છે.
$y(1+x^{2}) = \int \left( \frac{\cot x}{1+x^{2}} \times (1+x^{2}) \right) dx + C$.
$y(1+x^{2}) = \int \cot x dx + C$.
$y(1+x^{2}) = \log |\sin x| + C$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} + y - x + xy \cot x = 0$
$x$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} + y \cot x = 1$
$\frac{dy}{dx} + y(\frac{1}{x} + \cot x) = 1$
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x} + \cot x$ અને $Q = 1$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $= e^{\int P dx} = e^{\int (\frac{1}{x} + \cot x) dx} = e^{\ln|x| + \ln|\sin x|} = e^{\ln|x \sin x|} = x \sin x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y(I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ છે.
$y(x \sin x) = \int (1 \cdot x \sin x) dx + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x \sin x dx = x(-\cos x) - \int (1)(-\cos x) dx = -x \cos x + \sin x$.
તેથી,$y(x \sin x) = -x \cos x + \sin x + C$.
$x \sin x$ વડે ભાગતા: $y = \frac{-x \cos x}{x \sin x} + \frac{\sin x}{x \sin x} + \frac{C}{x \sin x}$.
$y = -\cot x + \frac{1}{x} + \frac{C}{x \sin x}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y dx + (x - y^2) dy = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $y dx = (y^2 - x) dy$
$dy$ અને $y$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{y^2 - x}{y} = y - \frac{x}{y}$
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{dx}{dy} + \frac{1}{y} x = y$
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{y}$ અને $Q = y$ છે.
હવે,સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધો:
$I.F. = e^{\int P dy} = e^{\int \frac{1}{y} dy} = e^{\ln |y|} = y$
વ્યાપક ઉકેલ આ મુજબ છે: $x(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dy + C$
કિંમતો મૂકતા: $x(y) = \int (y \cdot y) dy + C$
$xy = \int y^2 dy + C$
$xy = \frac{y^3}{3} + C$
$y$ વડે ભાગતા: $x = \frac{y^2}{3} + \frac{C}{y}$

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(x + 3y^3) \frac{dy}{dx} = y$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{dx}{dy} = \frac{x + 3y^3}{y} = \frac{x}{y} + 3y^2$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 3y^2$.
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -\frac{1}{y}$ અને $Q = 3y^2$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ નીચે મુજબ મળે છે: $I.F. = e^{\int P dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln y} = e^{\ln(y^{-1})} = \frac{1}{y}$.
વ્યાપક ઉકેલ આ મુજબ છે: $x(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dy + C$.
કિંમતો મૂકતા: $x \cdot \frac{1}{y} = \int (3y^2 \cdot \frac{1}{y}) dy + C$.
$\frac{x}{y} = \int 3y dy + C$.
$\frac{x}{y} = \frac{3y^2}{2} + C$.
$y$ વડે ગુણતા: $x = \frac{3y^3}{2} + Cy$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2 \tan x$ અને $Q = \sin x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 \tan x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = e^{\ln |\sec^2 x|} = \sec^2 x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$y \cdot \sec^2 x = \int (\sin x \cdot \sec^2 x) dx + C$.
$y \cdot \sec^2 x = \int (\tan x \cdot \sec x) dx + C$.
$y \cdot \sec^2 x = \sec x + C$ --- $(1)$.
આપેલ છે કે $x = \frac{\pi}{3}$ ત્યારે $y = 0$:
$0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + C$.
$0 = 2 + C \Rightarrow C = -2$.
$C = -2$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$y \cdot \sec^2 x = \sec x - 2$.
$\sec^2 x$ વડે ભાગતા:
$y = \cos x - 2 \cos^2 x$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(1+x^{2}\right) \frac{dy}{dx}+2 xy=\frac{1}{1+x^{2}}$ છે.
$\left(1+x^{2}\right)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx}+\frac{2x}{1+x^{2}}y=\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=\frac{2x}{1+x^{2}}$ અને $Q=\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^{2}} dx} = e^{\ln(1+x^{2})} = 1+x^{2}$.
સામાન્ય ઉકેલ $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ છે.
$y(1+x^{2}) = \int \left(\frac{1}{(1+x^{2})^{2}} \cdot (1+x^{2})\right) dx + C$.
$y(1+x^{2}) = \int \frac{1}{1+x^{2}} dx + C$.
$y(1+x^{2}) = \tan^{-1} x + C$ --- $(1)$.
આપેલ છે કે $x=1$ ત્યારે $y=0$,આ કિંમતો $(1)$ માં મૂકતા:
$0(1+1^{2}) = \tan^{-1}(1) + C \Rightarrow 0 = \frac{\pi}{4} + C \Rightarrow C = -\frac{\pi}{4}$.
$C$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y(1+x^{2}) = \tan^{-1} x - \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - 3y \cot x = \sin 2x$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -3 \cot x$ અને $Q = \sin 2x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $= e^{\int P dx} = e^{-3 \int \cot x dx} = e^{-3 \ln |\sin x|} = e^{\ln |\sin x|^{-3}} = \frac{1}{\sin^3 x}$.
વ્યાપક ઉકેલ $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ છે.
$y \cdot \frac{1}{\sin^3 x} = \int \left( \sin 2x \cdot \frac{1}{\sin^3 x} \right) dx + C$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ હોવાથી,$y \cdot \frac{1}{\sin^3 x} = \int \frac{2 \sin x \cos x}{\sin^3 x} dx + C = 2 \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx + C$.
$u = \sin x$ લેતા,$du = \cos x dx$ મળે. સંકલન $2 \int u^{-2} du = -2u^{-1} = -\frac{2}{\sin x}$ થાય.
તેથી,$\frac{y}{\sin^3 x} = -\frac{2}{\sin x} + C$.
$\sin^3 x$ વડે ગુણતા,$y = -2 \sin^2 x + C \sin^3 x$ મળે.
$x = \frac{\pi}{2}$ પર $y = 2$ આપેલ છે,તેથી $2 = -2 \sin^2(\frac{\pi}{2}) + C \sin^3(\frac{\pi}{2}) \Rightarrow 2 = -2(1) + C(1) \Rightarrow C = 4$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = 4 \sin^3 x - 2 \sin^2 x$ છે.

(A) ધારો કે વક્ર $y = f(x)$ છે. કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{dy}{dx} = x + y$.
આ $\frac{dy}{dx} - y = x$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
અહીં,$P = -1$ અને $Q = x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y(I.F.) = \int Q(I.F.) dx + C$ છે.
$y e^{-x} = \int x e^{-x} dx + C$.
$\int x e^{-x} dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$\int x e^{-x} dx = x(-e^{-x}) - \int 1(-e^{-x}) dx = -x e^{-x} - e^{-x} = -e^{-x}(x+1)$.
આમ,$y e^{-x} = -e^{-x}(x+1) + C$.
$e^{x}$ વડે ગુણતા,આપણને $y = -(x+1) + C e^{x}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y + 1 = C e^{x}$ થાય છે.
વક્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0$ અને $y=0$ મૂકતા:
$0 + 0 + 1 = C e^{0} \Rightarrow 1 = C(1) \Rightarrow C = 1$.
$C=1$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x + y + 1 = e^{x}$ મળે છે.

(A) ધારો કે વક્ર $y=f(x)$ છે. કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,યામોનો સરવાળો $(x+y)$ એ ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ કરતા $5$ વધારે છે,તેથી $x+y = \frac{dy}{dx} + 5$.
ગોઠવતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dy}{dx} - y = x - 5$.
અહીં,$P = -1$ અને $Q = x - 5$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y e^{-x} = \int (x - 5) e^{-x} dx + C$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int (x - 5) e^{-x} dx = (x - 5)(-e^{-x}) - \int (1)(-e^{-x}) dx = -(x - 5)e^{-x} - e^{-x} + C = (5 - x - 1)e^{-x} + C = (4 - x)e^{-x} + C$.
તેથી,$y e^{-x} = (4 - x)e^{-x} + C$,જેનું સાદું રૂપ $y = 4 - x + C e^x$ થાય છે.
વક્ર $(0, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=0$ અને $y=2$ મૂકતા: $2 = 4 - 0 + C e^0 \Rightarrow 2 = 4 + C \Rightarrow C = -2$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $y = 4 - x - 2e^x$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$x \frac{dy}{dx} - y = 2x^2$
બંને બાજુ $x$ વડે ભાગતા,આપણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ મળે છે:
$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = 2x$
અહીં,$P = -\frac{1}{x}$ અને $Q = 2x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$I.F. = e^{\int P \, dx}$
$I.F. = e^{\int -\frac{1}{x} \, dx}$
$I.F. = e^{-\ln|x|} = e^{\ln|x^{-1}|} = x^{-1} = \frac{1}{x}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1 - y^2)\frac{dx}{dy} + yx = ay$ છે.
$(1 - y^2)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} + \frac{y}{1 - y^2}x = \frac{ay}{1 - y^2}$ મળે છે.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{y}{1 - y^2}$ અને $Q(y) = \frac{ay}{1 - y^2}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P(y) dy}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I.F. = e^{\int \frac{y}{1 - y^2} dy}$.
ધારો કે $1 - y^2 = t$,તો $-2y dy = dt$,અથવા $y dy = -\frac{1}{2} dt$.
$I.F. = e^{-\frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt} = e^{-\frac{1}{2} \ln|t|} = e^{\ln|t|^{-1/2}} = |t|^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણને $\frac{d x}{d y}+\frac{x}{1+y^{2}}=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}$ ..........$(1)$ તરીકે લખી શકાય છે.
હવે $(1)$ એ $\frac{d x}{d y}+P_{1} x=Q_{1}$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P_{1}=\frac{1}{1+y^{2}}$ અને $Q_{1}=\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}$ છે.
તેથી,સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int \frac{1}{1+y^{2}} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$ મળે.
આમ,આપેલ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ $x e^{\tan ^{-1} y} = \int \left(\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\right) e^{\tan ^{-1} y} dy + C$ ..........$(2)$ છે.
ધારો કે $I = \int \left(\frac{\tan ^{-1} y}{1+y^{2}}\right) e^{\tan ^{-1} y} dy$.
$\tan ^{-1} y = t$ આદેશ લેતા,જેથી $\left(\frac{1}{1+y^{2}}\right) dy = dt$ મળે,તેથી $I = \int t e^{t} dt = t e^{t} - \int 1 \cdot e^{t} dt = t e^{t} - e^{t} = e^{t}(t-1)$ થાય.
$t = \tan ^{-1} y$ મૂકતા,$I = e^{\tan ^{-1} y}(\tan ^{-1} y - 1)$ મળે.
$I$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા,$x e^{\tan ^{-1} y} = e^{\tan ^{-1} y}(\tan ^{-1} y - 1) + C$ મળે.
$e^{\tan ^{-1} y}$ વડે ભાગતા,$x = \tan ^{-1} y - 1 + C e^{-\tan ^{-1} y}$ મળે,જે માંગેલ વ્યાપક ઉકેલ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left[\frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}-\frac{y}{\sqrt{x}}\right] \frac{d x}{d y}=1$
સમીકરણને $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\sqrt{x}}{e^{-2 \sqrt{x}} - y}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{-2 \sqrt{x}} - y}{\sqrt{x}} = \frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} - \frac{y}{\sqrt{x}}$
તેથી,$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{\sqrt{x}} y = \frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{\sqrt{x}}$ અને $Q = \frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધતા:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx} = e^{2 \sqrt{x}}$
વ્યાપક ઉકેલ $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે:
$y e^{2 \sqrt{x}} = \int \left( \frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \times e^{2 \sqrt{x}} \right) dx + C$
$y e^{2 \sqrt{x}} = \int \frac{1}{\sqrt{x}} dx + C$
$y e^{2 \sqrt{x}} = 2 \sqrt{x} + C$

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} + y \cot x = 4x \csc x$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \cot x$ અને $Q = 4x \csc x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ શોધીએ:
$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln|\sin x|} = \sin x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y(I.F.) = \int (Q \cdot I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $y \sin x = \int (4x \csc x \cdot \sin x) dx + C$.
$\csc x \cdot \sin x = 1$ હોવાથી,$y \sin x = \int 4x dx + C$.
સંકલન કરતા,$y \sin x = 2x^2 + C$ મળે છે.
આપેલ છે કે $x=\frac{\pi}{2}$ ત્યારે $y=0$,તેથી:
$0 \cdot \sin(\frac{\pi}{2}) = 2(\frac{\pi}{2})^2 + C$.
$0 = 2(\frac{\pi^2}{4}) + C \Rightarrow 0 = \frac{\pi^2}{2} + C \Rightarrow C = -\frac{\pi^2}{2}$.
આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y \sin x = 2x^2 - \frac{\pi^2}{2}$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} + P_{1}x = Q_{1}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P_{1}$ અને $Q_{1}$ એ માત્ર $y$ ના વિધેયો છે.
આ વિકલ સમીકરણ માટે સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) નીચે મુજબ છે:
$I.F. = e^{\int P_{1} dy}$
વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ નીચે મુજબ છે:
$x \cdot (I.F.) = \int (Q_{1} \cdot I.F.) dy + C$
સંકલ્યકારક અવયવની કિંમત મૂકતા:
$x \cdot e^{\int P_{1} dy} = \int (Q_{1} \cdot e^{\int P_{1} dy}) dy + C$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $e^{x} dy + (ye^{x} + 2x) dx = 0$ છે.
$dx$ વડે ભાગતા,આપણને $e^{x} \frac{dy}{dx} + ye^{x} + 2x = 0$ મળે છે.
$e^{x}$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + y = -2x e^{-x}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 1$ અને $Q = -2x e^{-x}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int 1 dx} = e^{x}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y(I.F.) = \int (Q \times I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y e^{x} = \int (-2x e^{-x} \cdot e^{x}) dx + C$.
$y e^{x} = \int -2x dx + C$.
$y e^{x} = -x^{2} + C$.
તેથી,$y e^{x} + x^{2} = C$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ છે. આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2 \tan x$ અને $Q = \sin x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 \tan x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \sec^2 x = \int \sin x \cdot \sec^2 x dx = \int \sec x \tan x dx = \sec x + C$.
$y(\frac{\pi}{3}) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = \frac{\pi}{3}$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + C \implies 0 = 2 + C \implies C = -2$.
તેથી,$y \sec^2 x = \sec x - 2$,જેનું સાદું રૂપ $y = \frac{\sec x - 2}{\sec^2 x} = \cos x - 2 \cos^2 x$ થાય છે.
ધારો કે $t = \cos x$. કારણ કે $-1 \le \cos x \le 1$,તેથી $y = t - 2t^2$ મળે. મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dt} = 1 - 4t = 0 \implies t = \frac{1}{4}$.
$t = \frac{1}{4}$ એ $[-1, 1]$ ની વચ્ચે હોવાથી,મહત્તમ કિંમત $y = \frac{1}{4} - 2(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{16} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx}-y=x^{2}(x \cos x+\sin x)$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x(x \cos x+\sin x)$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=-\frac{1}{x}$ અને $Q=x^{2} \cos x+x \sin x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{-\int \frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{y}{x} = \int \frac{1}{x} \cdot x(x \cos x+\sin x) dx = \int (x \cos x+\sin x) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \cos x dx = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x$.
તેથી,$\frac{y}{x} = x \sin x + \cos x - \cos x + C = x \sin x + C$.
$y(\pi)=\pi$ આપેલ હોવાથી,$\frac{\pi}{\pi} = \pi \sin(\pi) + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C=1$.
આમ,$y = x^{2} \sin x + x$.
હવે,$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^{2}}{4} + \frac{\pi}{2}$.
આગળ,$\frac{dy}{dx} = x^{2} \cos x + 2x \sin x + 1$.
તેથી,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -x^{2} \sin x + 2x \cos x + 2x \cos x + 2 \sin x = -x^{2} \sin x + 4x \cos x + 2 \sin x$.
$x=\frac{\pi}{2}$ પર કિંમત મુકતા,$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 4\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi^{2}}{4} + 0 + 2 = 2 - \frac{\pi^{2}}{4}$.
અંતે,$y^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right) + y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(2 - \frac{\pi^{2}}{4}\right) + \left(\frac{\pi^{2}}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = 2 + \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\cos x \frac{dy}{dx} + 2y \sin x = \sin 2x$.
$\cos x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = 2 \sin x$.
આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 2 \tan x$ અને $Q = 2 \sin x$.
સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) = $e^{\int P dx} = e^{\int 2 \tan x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = \sec^2 x$.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે.
$y \sec^2 x = \int 2 \sin x \cdot \sec^2 x dx + C$.
$y \sec^2 x = 2 \int \tan x \sec x dx + C$.
$y \sec^2 x = 2 \sec x + C$.
આપેલ છે કે $y(\frac{\pi}{3}) = 0$,તેથી $x = \frac{\pi}{3}$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = 2 \sec(\frac{\pi}{3}) + C$.
$0 = 2(2) + C \implies C = -4$.
તેથી,ઉકેલ $y \sec^2 x = 2 \sec x - 4$ છે.
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$y \sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2 \sec(\frac{\pi}{4}) - 4$.
$y(2) = 2(\sqrt{2}) - 4$.
$2y = 2\sqrt{2} - 4$.
$y = \sqrt{2} - 2$.

(A) આપેલ ઉકેલ $y = \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) \operatorname{cosec} x$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) \operatorname{cosec} x + \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) \frac{d}{dx}(\operatorname{cosec} x)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x + \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) (-\operatorname{cosec} x \cot x)$
$y = \left(\frac{2x}{\pi} - 1\right) \operatorname{cosec} x$ ને પદમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x - y \cot x$
પદોને $\frac{dy}{dx} + p(x) y = Q(x)$ ના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x$
આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + p(x) y = \frac{2}{\pi} \operatorname{cosec} x$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$p(x) = \cot x$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \tan x$ અને $Q(x) = \sin x$ છે.
પ્રથમ,આપણે સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) શોધીએ:
$I.F. = e^{\int \tan x dx} = e^{\ln|\sec x|} = \sec x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ દ્વારા મળે છે.
$y \sec x = \int \sin x \cdot \sec x dx + C$
$y \sec x = \int \tan x dx + C$
$y \sec x = \ln|\sec x| + C$.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$0 \cdot \sec(0) = \ln|\sec(0)| + C$
$0 = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y \sec x = \ln|\sec x|$ છે,જે $y = \cos x \ln|\sec x|$ તરીકે લખી શકાય.
$y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ શોધવા માટે:
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \ln\left|\sec\left(\frac{\pi}{4}\right)\right|$
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln(\sqrt{2})$
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln(2^{1/2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \log_{e} 2$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\cos x(3 \sin x+\cos x+3) dy = (1+y \sin x(3 \sin x+\cos x+3)) dx$ છે.
તેને $\cos x(3 \sin x+\cos x+3) dx$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} - (\tan x)y = \frac{1}{\cos x(3 \sin x+\cos x+3)}$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\tan x$ અને $Q(x) = \frac{1}{\cos x(3 \sin x+\cos x+3)}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -\tan x dx} = e^{\ln|\cos x|} = \cos x$ ($x \in [0, \pi/2)$ માટે).
ઉકેલ $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ છે.
$y \cos x = \int \frac{1}{\cos x(3 \sin x+\cos x+3)} \cdot \cos x dx + C = \int \frac{dx}{3 \sin x+\cos x+3} + C$.
$t = \tan(x/2)$ આદેશ લેતા,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
$y \cos x = \int \frac{2 dt / (1+t^2)}{3(2t/(1+t^2)) + (1-t^2)/(1+t^2) + 3} + C = \int \frac{2 dt}{6t + 1 - t^2 + 3 + 3t^2} + C = \int \frac{2 dt}{2t^2 + 6t + 4} + C = \int \frac{dt}{t^2 + 3t + 2} + C$.
$y \cos x = \int \frac{dt}{(t+1)(t+2)} + C = \int (\frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+2}) dt + C = \ln|\frac{t+1}{t+2}| + C$.
$y \cos x = \ln|\frac{\tan(x/2)+1}{\tan(x/2)+2}| + C$.
$y(0)=0$ આપેલ છે,તેથી $0 = \ln(1/2) + C \Rightarrow C = \ln 2$.
$y \cos x = \ln(\frac{1+\tan(x/2)}{2+\tan(x/2)}) + \ln 2 = \ln(\frac{2(1+\tan(x/2))}{2+\tan(x/2)})$.
$x = \pi/3$ માટે,$\tan(x/2) = \tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$.
$y(1/2) = \ln(\frac{2(1+1/\sqrt{3})}{2+1/\sqrt{3}}) = \ln(\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{3}+1})$.
વિકલ્પો તપાસતા,સાચો જવાબ $2 \ln(\frac{2\sqrt{3}+10}{11})$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2(x^{2}+x^{5/4}) \frac{dy}{dx} - y(x+x^{1/4}) = 2x^{9/4}$ છે.
$2(x^{2}+x^{5/4}) = 2x(x+x^{1/4})$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{2x} = \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1}$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{1}{2x}$ અને $Q(x) = \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{1}{2x} dx} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.
$y \cdot x^{-1/2} = \int \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1} \cdot x^{-1/2} dx = \int \frac{x^{3/4}}{x^{3/4}+1} dx$.
ધારો કે $x^{1/4} = t$,તો $x = t^{4}$ અને $dx = 4t^{3} dt$.
$y x^{-1/2} = \int \frac{t^{3}}{t^{3}+1} \cdot 4t^{3} dt = 4 \int \frac{t^{6}}{t^{3}+1} dt = 4 \int (t^{3} - 1 + \frac{1}{t^{3}+1}) dt$.
આનું સંકલન કરતા $y x^{-1/2} = \frac{4}{3} x^{3/4} - \frac{4}{3} \ln(x^{3/4}+1) + C$ મળે છે.
બિંદુ $(1, 1-\frac{4}{3} \ln 2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$C = -\frac{1}{3}$ મળે છે.
તેથી $y = \frac{4}{3} x^{5/4} - \frac{4}{3} \sqrt{x} \ln(x^{3/4}+1) - \frac{\sqrt{x}}{3}$.
$y(16) = \frac{4}{3}(32) - \frac{4}{3}(4) \ln 9 - \frac{4}{3} = \frac{124}{3} - \frac{32}{3} \ln 3 = 4(\frac{31}{3} - \frac{8}{3} \ln 3)$.

(A) ધારો કે $Y = y+1$. તેથી $\frac{dY}{dx} = \frac{dy}{dx}$.
સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dY}{dx} = Y^{2}e^{x^{2}/2} - xY$.
આ એક બર્નુલી વિકલ સમીકરણ છે. $Y^{2}$ વડે ભાગતા: $Y^{-2}\frac{dY}{dx} + xY^{-1} = e^{x^{2}/2}$.
ધારો કે $v = Y^{-1} = \frac{1}{y+1}$. તેથી $\frac{dv}{dx} = -Y^{-2}\frac{dY}{dx}$,જેથી $-\frac{dv}{dx} + xv = e^{x^{2}/2}$,અથવા $\frac{dv}{dx} - xv = -e^{x^{2}/2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -x dx} = e^{-x^{2}/2}$ છે.
$I.F.$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dx}(v e^{-x^{2}/2}) = -1$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $v e^{-x^{2}/2} = -x + C$,તેથી $v = (-x+C)e^{x^{2}/2}$.
કારણ કે $v = \frac{1}{y+1}$,આપણને મળે $y+1 = \frac{1}{(-x+C)e^{x^{2}/2}}$.
$y(2)=0$ આપેલ છે,તેથી $1 = \frac{1}{(-2+C)e^{2}}$,જેનો અર્થ છે $-2+C = e^{-2}$,એટલે કે $C = 2+e^{-2}$.
આમ,$y+1 = \frac{1}{(-x+2+e^{-2})e^{x^{2}/2}}$.
$x=1$ માટે,$y+1 = \frac{1}{(-1+2+e^{-2})e^{1/2}} = \frac{1}{(1+e^{-2})e^{1/2}} = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1}$.
મૂળ સમીકરણ પરથી,$y'(1) = (y(1)+1)((y(1)+1)e^{1/2}-1)$.
$y(1)+1 = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1}$ મૂકતા: $y'(1) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \cdot e^{1/2} - 1 \right) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{e^{2}}{e^{2}+1} - 1 \right) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{-1}{e^{2}+1} \right) = \frac{-e^{3/2}}{(e^{2}+1)^{2}}$.

(D) આપેલ છે કે વક્ર ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $y(0) = 0$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}-4x+y+8}{x-2}$ છે.
અંશને $(x-2)^{2} + y + 4$ તરીકે લખતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{(x-2)^{2} + y + 4}{x-2} = (x-2) + \frac{y}{x-2} + \frac{4}{x-2}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે: $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x-2} = (x-2) + \frac{4}{x-2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{-\int \frac{1}{x-2} dx} = e^{-\ln|x-2|} = \frac{1}{x-2}$ છે.
બંને બાજુ $I.F.$ વડે ગુણતા,$\frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x-2} \right) = \frac{1}{x-2} \left( (x-2) + \frac{4}{x-2} \right) = 1 + \frac{4}{(x-2)^{2}}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $\frac{y}{x-2} = x - \frac{4}{x-2} + C$.
શરત $y(0) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{0}{-2} = 0 - \frac{4}{-2} + C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2$.
આમ,$\frac{y}{x-2} = x - \frac{4}{x-2} - 2$.
$(x-2)$ વડે ગુણતા,$y = x(x-2) - 4 - 2(x-2) = x^{2} - 2x - 4 - 2x + 4 = x^{2} - 4x$.
વિકલ્પો તપાસતા: $x = 5$ માટે,$y = 5^{2} - 4(5) = 25 - 20 = 5$. તેથી,વક્ર $(5, 5)$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) ધારો કે $e^{\sin y} = t$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $e^{\sin y} \cos y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$ મળે છે.
આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dt}{dx} + t \cos x = \cos x$ બને છે.
આ $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \cos x$ અને $Q(x) = \cos x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int \cos x \, dx} = e^{\sin x}$ છે.
ઉકેલ $t \cdot e^{\sin x} = \int \cos x \cdot e^{\sin x} \, dx$ છે.
ધારો કે $u = \sin x$,તો $du = \cos x \, dx$.
તેથી,$t \cdot e^{\sin x} = \int e^u \, du = e^u + c = e^{\sin x} + c$.
$t = e^{\sin y}$ મૂકતા,આપણને $e^{\sin y} \cdot e^{\sin x} = e^{\sin x} + c$ મળે છે.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$e^{\sin 0} \cdot e^{\sin 0} = e^{\sin 0} + c$,જેનો અર્થ છે કે $1 \cdot 1 = 1 + c$,તેથી $c = 0$.
આમ,$e^{\sin y} \cdot e^{\sin x} = e^{\sin x}$,જેનું સાદું રૂપ $e^{\sin y} = 1$ થાય છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\sin y = 0$,જેનો અર્થ છે કે દરેક $x$ માટે $y = 0$.
તેથી,$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0$,$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$,અને $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$.
આમ,$1 + y\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} y\left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{\sqrt{2}} y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 0 + 0 + 0 = 1$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y = bx^4$ છે,જેને $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = bx^3$ તરીકે લખી શકાય.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x}$ અને $Q(x) = bx^3$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$ છે.
સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે,જે $yx = \int bx^3 \cdot x dx + C = \int bx^4 dx + C$ આપે છે.
આમ,$yx = \frac{bx^5}{5} + C$,અથવા $f(x) = y = \frac{bx^4}{5} + \frac{C}{x}$ મળે.
વક્ર $(1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $2 = \frac{b}{5} + C$,એટલે કે $C = 2 - \frac{b}{5}$.
આપેલ છે કે $\int_{1}^{2} f(x) dx = \frac{62}{5}$,તેથી $\int_{1}^{2} (\frac{bx^4}{5} + \frac{C}{x}) dx = [\frac{bx^5}{25} + C \ln x]_{1}^{2} = \frac{62}{5}$.
સીમાઓ મૂકતા: $(\frac{32b}{25} + C \ln 2) - (\frac{b}{25} + 0) = \frac{31b}{25} + C \ln 2 = \frac{62}{5}$.
$C = 2 - \frac{b}{5}$ મૂકતા: $\frac{31b}{25} + (2 - \frac{b}{5}) \ln 2 = \frac{62}{5}$.
આ સમીકરણ સંતોષવા માટે,$\ln 2$ નો સહગુણક $0$ લેતા,$2 - \frac{b}{5} = 0$,જે $b = 10$ આપે છે.
ત્યારબાદ $\frac{31(10)}{25} = \frac{310}{25} = \frac{62}{5}$ મળે છે,જે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે. તેથી,$b = 10$.

(C) વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{xy^2 + y}{x} = y^2 + \frac{y}{x}$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = y^2$ મળે.
$y^2$ વડે ભાગતા,$y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y^{-1} = 1$ મળે.
ધારો કે $v = y^{-1}$,તો $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,એટલે કે $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$.
આને સમીકરણમાં મૂકતા,$-\frac{dv}{dx} - \frac{1}{x} v = 1$,અથવા $\frac{dv}{dx} + \frac{1}{x} v = -1$ મળે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ છે.
ઉકેલ $v \cdot x = \int (-1) \cdot x dx + C = -\frac{x^2}{2} + C$ છે.
$v = \frac{1}{y}$ હોવાથી,$\frac{x}{y} = -\frac{x^2}{2} + C$ મળે.
વક્ર રેખા $x + 2y = 4$ ને $x = -2$ પર છેદે છે,તેથી $y$ શોધવા માટે $x = -2$ મૂકતા: $-2 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$.
વક્ર $(-2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{-2}{3} = -\frac{(-2)^2}{2} + C \Rightarrow -\frac{2}{3} = -2 + C \Rightarrow C = \frac{4}{3}$.
આમ,$\frac{x}{y} = -\frac{x^2}{2} + \frac{4}{3}$ છે.
બિંદુ $(3, y)$ માટે,$\frac{3}{y} = -\frac{3^2}{2} + \frac{4}{3} = -\frac{9}{2} + \frac{4}{3} = -\frac{19}{6}$ મળે.
તેથી,$y = -\frac{18}{19}$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{0}^{x} e^{t} f(t) dt + e^{x}$.
$x=0$ લેતા,$f(0) = \int_{0}^{0} e^{t} f(t) dt + e^{0} = 0 + 1 = 1$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$f'(x) = e^{x} f(x) + e^{x} = e^{x}(f(x) + 1)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{f'(x)}{f(x) + 1} = e^{x}$ મળે છે.
બંને બાજુ $0$ થી $x$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{x} \frac{f'(t)}{f(t) + 1} dt = \int_{0}^{x} e^{t} dt$.
$[\ln(f(t) + 1)]_{0}^{x} = [e^{t}]_{0}^{x}$.
$\ln(f(x) + 1) - \ln(f(0) + 1) = e^{x} - e^{0}$.
$f(0) = 1$ હોવાથી,$\ln(f(x) + 1) - \ln(2) = e^{x} - 1$.
$\ln\left(\frac{f(x) + 1}{2}\right) = e^{x} - 1$.
બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા:
$\frac{f(x) + 1}{2} = e^{(e^{x} - 1)}$.
$f(x) = 2 e^{(e^{x} - 1)} - 1$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(y+1) \tan ^{2} x \,dx+\tan x \,dy+y \,dx=0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\tan x \,dy + (y \tan^2 x + y + \tan^2 x) \,dx = 0$ મળે છે.
$\tan x \,dx$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + \frac{y(\tan^2 x + 1) + \tan^2 x}{\tan x} = 0$ મળે.
$1+\tan^2 x = \sec^2 x$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx} + y \frac{\sec^2 x}{\tan x} = -\tan x$ થાય.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{\sec^2 x}{\tan x}$ અને $Q(x) = -\tan x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \frac{\sec^2 x}{\tan x} \,dx} = e^{\ln(\tan x)} = \tan x$.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF \,dx + C$ છે.
$y \tan x = \int -\tan^2 x \,dx + C = \int (1 - \sec^2 x) \,dx + C = x - \tan x + C$.
તેથી,$y = \frac{x}{\tan x} - 1 + \frac{C}{\tan x}$.
આપેલ છે કે $\lim_{x \to 0+} x y(x) = 1$,તેથી $\lim_{x \to 0+} x \left( \frac{x}{\tan x} - 1 + \frac{C}{\tan x} \right) = 1$.
$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1$ હોવાથી,લક્ષ $1(1) - 0 + C(1) = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $1 + C = 1$,તેથી $C = 0$.
આમ,$y(x) = \frac{x}{\tan x} - 1$.
$x = \frac{\pi}{4}$ માટે,$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi/4}{1} - 1 = \frac{\pi}{4} - 1$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $2 x^{2} dy + (e^{y} - 2x) dx = 0$.
$2 x^{2} dx$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{e^{y} - 2x}{2 x^{2}} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{e^{y}}{2 x^{2}} - \frac{1}{x} = 0$.
પુનઃગોઠવણ કરતા: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} = -\frac{e^{y}}{2 x^{2}} \Rightarrow e^{-y} \frac{dy}{dx} - \frac{e^{-y}}{x} = -\frac{1}{2 x^{2}}$.
ધારો કે $z = e^{-y}$,તો $\frac{dz}{dx} = -e^{-y} \frac{dy}{dx}$.
સમીકરણમાં મૂકતા: $-\frac{dz}{dx} - \frac{z}{x} = -\frac{1}{2 x^{2}} \Rightarrow \frac{dz}{dx} + \frac{z}{x} = \frac{1}{2 x^{2}}$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log_{e} x} = x$ છે.
ઉકેલ: $z \cdot x = \int x \cdot \frac{1}{2 x^{2}} dx + C = \int \frac{1}{2x} dx + C = \frac{1}{2} \log_{e} x + C$.
$z = e^{-y}$ હોવાથી,$x e^{-y} = \frac{1}{2} \log_{e} x + C$.
$y(e) = 1$ આપેલ છે,તેથી $x = e$ અને $y = 1$ મૂકતા: $e \cdot e^{-1} = \frac{1}{2} \log_{e} e + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.
આમ,$x e^{-y} = \frac{1}{2} \log_{e} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \log_{e} (ex)$.
$y(1)$ શોધવા માટે,$x = 1$ મૂકતા: $1 \cdot e^{-y(1)} = \frac{1}{2} \log_{e} (e \cdot 1) = \frac{1}{2} \log_{e} e = \frac{1}{2}$.
$e^{-y(1)} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{y(1)} = 2 \Rightarrow y(1) = \log_{e} 2$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = 2x(y + 2 \sin x - 5) - 2 \cos x$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - 2xy = 2x(2 \sin x - 5) - 2 \cos x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -2x$ અને $Q(x) = 4x \sin x - 10x - 2 \cos x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -2x dx} = e^{-x^{2}}$ છે.
બંને બાજુ $IF$ વડે ગુણતા,આપણને $e^{-x^{2}} \frac{dy}{dx} - 2x e^{-x^{2}} y = e^{-x^{2}}(4x \sin x - 10x - 2 \cos x)$ મળે છે.
આ $\frac{d}{dx}(y \cdot e^{-x^{2}}) = e^{-x^{2}}(4x \sin x - 2 \cos x) - 10x e^{-x^{2}}$ માં પરિણમે છે.
નોંધો કે $\frac{d}{dx}(e^{-x^{2}}(5 - 2 \sin x)) = e^{-x^{2}}(-2 \cos x) + (5 - 2 \sin x)(-2x e^{-x^{2}}) = -2 \cos x e^{-x^{2}} - 10x e^{-x^{2}} + 4x \sin x e^{-x^{2}}$ થાય છે.
તેથી,$y \cdot e^{-x^{2}} = e^{-x^{2}}(5 - 2 \sin x) + C$ મળે છે.
$e^{-x^{2}}$ વડે ભાગતા,$y = 5 - 2 \sin x + C e^{x^{2}}$ મળે છે.
$y(0) = 7$ આપેલ હોવાથી,$7 = 5 - 2 \sin(0) + C e^{0} \Rightarrow 7 = 5 + C \Rightarrow C = 2$ મળે છે.
તેથી,$y(x) = 5 - 2 \sin x + 2 e^{x^{2}}$ છે.
$x = \pi$ પર,$y(\pi) = 5 - 2 \sin(\pi) + 2 e^{\pi^{2}} = 5 - 0 + 2 e^{\pi^{2}} = 2 e^{\pi^{2}} + 5$ થાય છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $f(x)+x f'(x)=x^2$ છે,જેને $y+x \frac{dy}{dx}=x^2$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ વડે ભાગતા (ધારો કે $x \neq 0$),આપણને $\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=x$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=\frac{1}{x}$ અને $Q=x$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ છે.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$y \cdot x = \int x \cdot x dx + C = \int x^2 dx + C = \frac{x^3}{3} + C$.
વક્ર બિંદુ $(-2, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=-2$ અને $y=2$ મૂકતા:
$2(-2) = \frac{(-2)^3}{3} + C \Rightarrow -4 = -\frac{8}{3} + C$.
$C = -4 + \frac{8}{3} = -\frac{4}{3}$.
$C$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $xy = \frac{x^3}{3} - \frac{4}{3}$.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $3xy = x^3 - 4$ મળે છે,એટલે કે $x^3 - 3x f(x) - 4 = 0$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2x - 10y^3) dy + y dx = 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $y dx = (10y^3 - 2x) dy$.
$y dy$ વડે ભાગતા,આપણને $x$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ મળે છે:
$\frac{dx}{dy} + \frac{2}{y}x = 10y^2$.
અહીં,સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ નીચે મુજબ છે:
$I.F. = e^{\int \frac{2}{y} dy} = e^{2 \ln|y|} = y^2$.
વ્યાપક ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int (10y^2) \cdot (I.F.) dy + C$ દ્વારા મળે છે.
$x y^2 = \int 10y^4 dy + C$.
$x y^2 = 2y^5 + C$.
વક્ર $(0, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=0$ અને $y=1$ મૂકતા:
$0 \cdot (1)^2 = 2(1)^5 + C \Rightarrow C = -2$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $x y^2 = 2y^5 - 2$ છે.
વક્ર $(2, \beta)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$x=2$ અને $y=\beta$ મૂકતા:
$2 \beta^2 = 2 \beta^5 - 2$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\beta^2 = \beta^5 - 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\beta^5 - \beta^2 - 1 = 0$ થાય છે.
તેથી,$\beta$ એ $y^5 - y^2 - 1 = 0$ સમીકરણનું બીજ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x \phi(x) = \int_{5}^{x} (3t^{2} - 2 \phi'(t)) dt$.
લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} [x \phi(x)] = 3x^{2} - 2 \phi'(x)$.
ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$\phi(x) + x \phi'(x) = 3x^{2} - 2 \phi'(x)$.
$\phi'(x)$ વાળા પદોને એકસાથે ગોઠવતા:
$(x + 2) \phi'(x) = 3x^{2} - \phi(x)$.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે: $\phi'(x) + \frac{1}{x+2} \phi(x) = \frac{3x^{2}}{x+2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int \frac{1}{x+2} dx} = e^{\ln(x+2)} = x+2$.
$I.F.$ વડે ગુણતા:
$(x+2) \phi'(x) + \phi(x) = 3x^{2}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$(x+2) \phi(x) = \int 3x^{2} dx = x^{3} + C$.
આપેલ છે કે $\phi(0) = 4$:
$(0+2) \phi(0) = 0^{3} + C \Rightarrow 2(4) = C \Rightarrow C = 8$.
તેથી,$(x+2) \phi(x) = x^{3} + 8$.
$\phi(x) = \frac{x^{3} + 8}{x+2} = \frac{(x+2)(x^{2} - 2x + 4)}{x+2} = x^{2} - 2x + 4$.
$x = 2$ માટે:
$\phi(2) = 2^{2} - 2(2) + 4 = 4 - 4 + 4 = 4$.