क्या ऐसा कोई फलन अस्तित्व में है जो हर जगह सतत है लेकिन ठीक दो बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

(A) फलन $f(x) = |x| + |x - 1|$ पर विचार करें।
चूंकि मापांक फलन हर जगह सतत होता है और दो सतत फलनों का योग भी सतत होता है,इसलिए $f(x)$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है।
$f(x)$ की अवकलनीयता की जांच करने के लिए,हम उन बिंदुओं की जांच करते हैं जहां मापांक के अंदर का व्यंजक अपना चिह्न बदलता है,जो $x = 0$ और $x = 1$ हैं।
$x = 0$ पर:
बायां अवकलज $(LHD)$ $= \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{(|x| + |x - 1|) - 1}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{(-x - x + 1) - 1}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2x}{x} = -2$.
दायां अवकलज $(RHD)$ $= \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(|x| + |x - 1|) - 1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(x - x + 1) - 1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{0}{x} = 0$.
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर:
$LHD$ $= \lim_{x \to 1^-} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{(|x| + |x - 1|) - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{(x - x + 1) - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{0}{x - 1} = 0$.
$RHD$ $= \lim_{x \to 1^+} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(|x| + |x - 1|) - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x + x - 1) - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{2x - 2}{x - 1} = 2$.
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f(x)$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f(x) = |x| + |x - 1|$ हर जगह सतत है लेकिन ठीक दो बिंदुओं $x = 0$ और $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।