Differentiability Questions in Hindi

(C) फलन $f(x)$ को मापांक हटाकर इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}(-x - 1), & x < -1 \\ \tan^{-1}x, & -1 \le x \le 1 \\ \frac{1}{2}(x - 1), & x > 1 \end{cases}$
अवकलज $f'(x)$ का प्रांत ज्ञात करने के लिए,हम $x = -1$ और $x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करेंगे।
$x < -1$ के लिए,$f'(x) = -\frac{1}{2}$।
$-1 < x < 1$ के लिए,$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$।
$x > 1$ के लिए,$f'(x) = \frac{1}{2}$।
$x = -1$ पर:
बायाँ अवकलज $f'(-1^-) = -\frac{1}{2}$।
दायाँ अवकलज $f'(-1^+) = \frac{1}{1+(-1)^2} = \frac{1}{2}$।
चूँकि $f'(-1^-) \neq f'(-1^+)$,फलन $x = -1$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर:
बायाँ अवकलज $f'(1^-) = \frac{1}{1+(1)^2} = \frac{1}{2}$।
दायाँ अवकलज $f'(1^+) = \frac{1}{2}$।
चूँकि $f'(1^-) = f'(1^+)$,फलन $x = 1$ पर अवकलनीय है।
अतः,$f'(x)$ का अस्तित्व $x = -1$ को छोड़कर सभी $x \in R$ के लिए है।
इसलिए,$f'(x)$ का प्रांत $R - \{-1\}$ है।

(D) सही कथन $(d)$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,यदि कोई फलन $f(x)$ किसी बिंदु $x = c$ पर अवकलनीय है,तो उसे उस बिंदु $x = c$ पर सतत होना ही चाहिए।
हालाँकि,इसका विलोम हमेशा सत्य नहीं होता है; एक सतत फलन अवकलनीय नहीं भी हो सकता है (उदाहरण के लिए,$x = 0$ पर $f(x) = |x|$)।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में से केवल $(d)$ ही सार्वभौमिक रूप से सत्य कथन है।

(D) $f'(2)$ ज्ञात करने के लिए,हमें $x = 2$ पर बाएँ पक्ष का अवकलज $(Lf'(2))$ और दाएँ पक्ष का अवकलज $(Rf'(2))$ की जाँच करनी होगी।
$1$. बाएँ पक्ष का अवकलज $(Lf'(2))$:
$Lf'(2) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$
चूँकि $x < 2$ के लिए,$f(x) = x + 1$ है। अतः,$f(2+h) = (2+h) + 1 = 3+h$ और $f(2) = 2(2) - 1 = 3$ है।
$Lf'(2) = \lim_{h \to 0^-} \frac{(3+h) - 3}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h}{h} = 1$.
$2$. दाएँ पक्ष का अवकलज $(Rf'(2))$:
$Rf'(2) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$
चूँकि $x \ge 2$ के लिए,$f(x) = 2x - 1$ है। अतः,$f(2+h) = 2(2+h) - 1 = 3+2h$ और $f(2) = 3$ है।
$Rf'(2) = \lim_{h \to 0^+} \frac{(3+2h) - 3}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2$.
चूँकि $Lf'(2) \neq Rf'(2)$ है,इसलिए अवकलज $f'(2)$ का अस्तित्व नहीं है।

(D) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(3 - h) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} |3 - h - 3| = 0$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} f(3 + h) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} |3 + h - 3| = 0$
$\because \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = f(3)$
अतः,$f$ बिंदु $x = 3$ पर संतत है।
अब,$L f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(3 - h) - f(3)}{-h}$
$= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{|3 - h - 3| - 0}{-h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{h}{-h} = -1$
$R f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(3 + h) - f(3)}{h}$
$= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{|3 + h - 3| - 0}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1$
$\because L f'(3) \neq R f'(3)$
अतः,$f$ बिंदु $x = 3$ पर अवकलनीय नहीं है।
ट्रिक: ग्राफ को देखकर यह देखा जा सकता है कि यह संतत है,लेकिन $x = 3$ पर तीक्ष्ण कोने (sharp corner) के कारण स्पर्शरेखा परिभाषित नहीं है।

(B) हम $x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
$f(1) = 1 - 1 = 0$
$LHL = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{h \to 0} f(1 - h) = \lim_{h \to 0} ((1 - h) - 1) = 0$
$RHL = \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{h \to 0} f(1 + h) = \lim_{h \to 0} ((1 + h)^3 - 1) = 0$
चूँकि $LHL = RHL = f(1)$,फलन $x = 1$ पर संतत है।
अब,हम $x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
$Lf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 - h) - f(1)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1 - h - 1) - 0}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{-h} = 1$
$Rf'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{((1 + h)^3 - 1) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + 3h + 3h^2 + h^3 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} (3 + 3h + h^2) = 3$
चूँकि $Lf'(1) \neq Rf'(1)$,फलन $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,फलन $x = 1$ पर संतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(B) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है।
चूंकि प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत होता है,इसलिए $f(x)$ को $x = 0$ पर सतत होना चाहिए।
अतः,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.
$\lim_{x \to 0^-} (e^x + ax) = e^0 + a(0) = 1$.
$\lim_{x \to 0^+} b(x - 1)^2 = b(0 - 1)^2 = b$.
इनकी तुलना करने पर,हमें $b = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है,इसलिए बायां अवकलज $(LHD)$ और दायां अवकलज $(RHD)$ $x = 0$ पर समान होने चाहिए।
$LHD = \frac{d}{dx}(e^x + ax) = e^x + a$. $x = 0$ पर,$LHD = e^0 + a = 1 + a$.
$RHD = \frac{d}{dx}(b(x - 1)^2) = 2b(x - 1)$. $x = 0$ पर,$RHD = 2b(0 - 1) = -2b$.
$LHD = RHD$ रखने पर,हमें $1 + a = -2b$ प्राप्त होता है।
$b = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$1 + a = -2(1) \implies 1 + a = -2 \implies a = -3$.
अतः,$(a, b) = (-3, 1)$.

(D) फलन $f(x) = |\sin x|$ सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए सतत है।
हालाँकि,यह उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है जहाँ ग्राफ में तीक्ष्ण कोने (cusps) होते हैं।
$f(x) = |\sin x|$ के ग्राफ से,हम देख सकते हैं कि फलन के $x = 0, \pm \pi, \pm 2\pi, \dots$ पर तीक्ष्ण कोने हैं।
ये बिंदु $x = k\pi$ के रूप के हैं,जहाँ $k$ कोई भी पूर्णांक है।
इसलिए,फलन किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए $x = k\pi$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) हमारे पास,$f(x) = \begin{cases} e^x, & x < 0 \\ e^{-x}, & x \ge 0 \end{cases}$ है।
स्पष्ट रूप से,$f(x)$ सभी $x \neq 0$ के लिए सतत और अवकलनीय है।
अब,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} e^x = 1$ और $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} e^{-x} = 1$ है।
साथ ही,$f(0) = e^0 = 1$ है। चूंकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$,इसलिए फलन $x = 0$ पर सतत है।
अब,$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
$x = 0$ पर बायां अवकलज $(LHD)$ $\frac{d}{dx}(e^x) |_{x=0} = e^0 = 1$ है।
$x = 0$ पर दायां अवकलज $(RHD)$ $\frac{d}{dx}(e^{-x}) |_{x=0} = -e^0 = -1$ है।
चूंकि $x = 0$ पर $LHD \neq RHD$ है,इसलिए फलन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f(x) = e^{-|x|}$ $x = 0$ पर सतत है लेकिन अवकलनीय नहीं है।

(A) $x = k$ पर बायां अवकलज $f'(k^-) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(k - h) - f(k)}{-h}$ द्वारा परिभाषित है।
दिया गया है $f(x) = [x]\sin(\pi x)$,इसलिए $f(k) = [k]\sin(\pi k) = k \times 0 = 0$ है।
छोटे $h > 0$ के लिए,$[k - h] = k - 1$ होता है।
अतः,$f(k - h) = (k - 1)\sin(\pi(k - h)) = (k - 1)\sin(\pi k - \pi h) = (k - 1)(\sin(\pi k)\cos(\pi h) - \cos(\pi k)\sin(\pi h))$ है।
चूंकि $\sin(\pi k) = 0$ और $\cos(\pi k) = (-1)^k$,हमें प्राप्त होता है $f(k - h) = (k - 1)(0 - (-1)^k \sin(\pi h)) = -(k - 1)(-1)^k \sin(\pi h) = (k - 1)(-1)^{k+1} \sin(\pi h)$।
इस मान को सीमा में रखने पर: $f'(k^-) = \lim_{h \to 0^+} \frac{(k - 1)(-1)^{k+1} \sin(\pi h) - 0}{-h}$।
$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(\pi h)}{\pi h} = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $f'(k^-) = (k - 1)(-1)^{k+1} \times (-\pi) = (k - 1)(-1)^{k+1} (-1) \pi = (k - 1)(-1)^{k+2} \pi = (k - 1)(-1)^k \pi$।

(D) यह जाँचने के लिए कि क्या $f'(2)$ का अस्तित्व है,हम $x = 2$ पर दाएँ हाथ का अवकलज $(Rf'(2))$ और बाएँ हाथ का अवकलज $(Lf'(2))$ ज्ञात करते हैं।
सबसे पहले,$x \ge 2$ के लिए $f(x) = 2x - 1$ परिभाषा का उपयोग करके $f(2)$ ज्ञात करें:
$f(2) = 2(2) - 1 = 3$.
दाएँ हाथ का अवकलज $(Rf'(2))$:
$Rf'(2) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2(2 + h) - 1 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{4 + 2h - 1 - 3}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2$.
बाएँ हाथ का अवकलज $(Lf'(2))$:
$Lf'(2) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2 - h) - f(2)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2 - h) + 1 - 3}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{3 - h - 3}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h}{-h} = 1$.
चूँकि $Rf'(2) \neq Lf'(2)$,इसलिए $f'(2)$ का अस्तित्व नहीं है।

(B) एक बहुपद फलन हर जगह सतत होता है,इसलिए विकल्प $A$ सत्य है।
प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत होता है,इसलिए विकल्प $C$ सत्य है।
चरघातांकीय फलन $e^x$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है,इसलिए विकल्प $D$ सत्य है।
हालाँकि,एक सतत फलन का अवकलनीय होना आवश्यक नहीं है (उदाहरण के लिए,$f(x) = |x|$,$x = 0$ पर सतत है लेकिन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है)।
इसलिए,कथन $B$ सत्य नहीं है।

(D) $x = 0$ पर सांतत्य की जाँच:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x}$.
चूँकि $-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$,इसलिए $-x^2 \le x^2 \sin \frac{1}{x} \le x^2$.
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$. अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है।
$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin \frac{1}{h}$.
चूँकि $\lim_{h \to 0} h = 0$ और $\sin(1/h)$ परिबद्ध (bounded) है,इसलिए सीमा $0$ है।
अतः,$f'(0) = 0$,इसलिए फलन $x = 0$ पर अवकलनीय है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{x - 1}{2x^2 - 7x + 5}$ जब $x \neq 1$ है।
हर का गुणनखंड करके हम $x \neq 1$ के लिए व्यंजक को सरल कर सकते हैं:
$2x^2 - 7x + 5 = 2x^2 - 2x - 5x + 5 = 2x(x - 1) - 5(x - 1) = (2x - 5)(x - 1)$.
अतः,$x \neq 1$ के लिए,$f(x) = \frac{x - 1}{(2x - 5)(x - 1)} = \frac{1}{2x - 5}$.
$x = 1$ पर अवकलज की परिभाषा के अनुसार:
$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}$.
$f(1 + h) = \frac{1}{2(1 + h) - 5} = \frac{1}{2h - 3}$ और $f(1) = -\frac{1}{3}$ रखने पर:
$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2h - 3} - (-\frac{1}{3})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2h - 3} + \frac{1}{3}}{h}$.
$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{3 + (2h - 3)}{3h(2h - 3)} = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{3h(2h - 3)}$.
$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{2}{3(2h - 3)} = \frac{2}{3(0 - 3)} = \frac{2}{-9} = -\frac{2}{9}$.

(D) $f(x)$ को $x = 1$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे पहले $x = 1$ पर सतत होना चाहिए।
सांतत्य के लिए,$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$।
$\lim_{x \to 1^-} (mx^2) = m(1)^2 = m$।
$\lim_{x \to 1^+} (2x) = 2(1) = 2$।
अतः,सांतत्य के लिए,$m = 2$ होना चाहिए।
अब,$m = 2$ के साथ $x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
बायां अवकलज $L f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{2(1-h)^2 - 2}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{2(1 + h^2 - 2h) - 2}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h^2 - 4h}{-h} = \lim_{h \to 0} (4 - 2h) = 4$।
दायां अवकलज $R f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2(1+h) - 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h} = 2$।
चूंकि $L f'(1) \neq R f'(1)$ $(4 \neq 2)$,इसलिए $m$ के किसी भी मान के लिए फलन $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) $(g \circ f)'(0)$ ज्ञात करने के लिए,हमें $x = 0$ पर बाएँ पक्ष का अवकलज और दाएँ पक्ष का अवकलज ज्ञात करना होगा।
दाएँ पक्ष के अवकलज $(g \circ f)'(0^+)$ के लिए:
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\sin x) = e^{\sin x}$,जहाँ $x \ge 0$.
$(g \circ f)'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x$.
$x = 0$ पर,$(g \circ f)'(0^+) = e^{\sin 0} \cdot \cos 0 = e^0 \cdot 1 = 1$.
बाएँ पक्ष के अवकलज $(g \circ f)'(0^-)$ के लिए:
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(1 - \cos x) = e^{1 - \cos x}$,जहाँ $x \le 0$.
$(g \circ f)'(x) = e^{1 - \cos x} \cdot \sin x$.
$x = 0$ पर,$(g \circ f)'(0^-) = e^{1 - \cos 0} \cdot \sin 0 = e^0 \cdot 0 = 0$.
चूँकि बाएँ पक्ष का अवकलज $(0)$ दाएँ पक्ष के अवकलज $(1)$ के बराबर नहीं है,इसलिए $(g \circ f)'(0)$ का अस्तित्व नहीं है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दी गई शर्त $|f(x) - f(y)| \le (x - y)^2$ है,जहाँ $x, y \in R$ है।
दोनों पक्षों को $|x - y|$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x \neq y$):
$\left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \le |x - y|$
दोनों पक्षों में $x \to y$ की सीमा लेने पर:
$\lim_{x \to y} \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \le \lim_{x \to y} |x - y|$
यह दर्शाता है कि $|f'(y)| \le 0$ है।
चूँकि मापांक कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $|f'(y)| = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि सभी $y \in R$ के लिए $f'(y) = 0$ है।
यदि किसी फलन का अवकलज हर जगह शून्य है,तो वह फलन एक अचर फलन होता है।
अतः,$f(x) = C$ जहाँ $C$ एक अचर है।
दिया गया है कि $f(0) = 0$,इसलिए $C = 0$ है।
इस प्रकार,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = 0$ है।
अतः,$f(1) = 0$।

(B) फलन $f(x) = ||x| - 1|$ के रूप में परिभाषित है।
हम इसे अंदर के व्यंजक के चिह्न के आधार पर इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} |x| - 1, & |x| - 1 \ge 0 \\ -(|x| - 1), & |x| - 1 < 0 \end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} |x| - 1, & |x| \ge 1 \\ 1 - |x|, & |x| < 1 \end{cases}$
इसे $x$ के विभिन्न अंतरालों के लिए इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है:
$f(x) = \begin{cases} -x - 1, & x \le -1 \\ x + 1, & -1 < x < 0 \\ 1 - x, & 0 \le x < 1 \\ x - 1, & x \ge 1 \end{cases}$
एक फलन उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं होता है जहाँ उसके ग्राफ में तीक्ष्ण कोने (cusps) होते हैं।
ग्राफ का अवलोकन करने पर,फलन के $x = -1$,$x = 0$ और $x = 1$ पर तीक्ष्ण कोने हैं।
अतः,$f(x)$,$x \in \{-1, 0, 1\}$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) दिया गया है कि $f\left( \frac{1}{n} \right) = 0$ सभी $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$ के लिए।
चूंकि $f(x)$ सतत है (क्योंकि यह अवकलनीय है),इसलिए $f(0) = \lim_{n \to \infty} f\left( \frac{1}{n} \right) = 0$ है।
अब,अनुक्रम $x_n = \frac{1}{n}$ पर विचार करें। हमारे पास $f(x_n) = 0$ और $f(0) = 0$ है।
$x = 0$ पर अवकलज की परिभाषा के अनुसार:
$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(1/n) - f(0)}{1/n - 0} = \lim_{n \to \infty} \frac{0 - 0}{1/n} = 0$ है।
अतः,$f(0) = 0$ और $f'(0) = 0$ प्राप्त होता है।

(D) $x = 0$ पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ हाथ का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ हाथ का अवकलज $(RHD)$ ज्ञात करते हैं।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = 1$ है। अतः,$x = 0$ पर $LHD$:
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1 - 1}{h} = 0$.
$x \ge 0$ के लिए,$f(x) = 1 + \sin x$ है। अतः,$x = 0$ पर $RHD$:
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(1 + \sin h) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sin h}{h} = 1$.
चूँकि $LHD \neq RHD$ (अर्थात् $0 \neq 1$),इसलिए अवकलज $f'(0)$ का अस्तित्व नहीं है।

(D) फलन $f(x) = (x^2 - 1)|(x - 1)(x - 2)| + \cos(|x|)$ है।
सबसे पहले,पद $\cos(|x|)$ पर विचार करें। फलन $|x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है,इसलिए $\cos(|x|)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
इसके बाद,पद $(x^2 - 1)|(x - 1)(x - 2)|$ पर विचार करें। व्यंजक $|(x - 1)(x - 2)|$,$(x - 1)(x - 2) = 0$ के मूलों यानी $x = 1$ और $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर,$f(x) = (x^2 - 1)|(x - 1)(x - 2)| + \cos(|x|)$ है। चूंकि $(x^2 - 1)$ में $(x - 1)$ गुणनखंड है,इसलिए गुणनफल $(x^2 - 1)|(x - 1)(x - 2)|$,$x = 1$ पर अवकलनीय हो जाता है क्योंकि बहुपद का शून्य मापांक की अ-अवकलनीयता को समाप्त कर देता है।
$x = 2$ पर,पद $(x^2 - 1)$ का मान $3 \neq 0$ है। अतः,$|(x - 1)(x - 2)|$ की $x = 2$ पर अ-अवकलनीयता बनी रहती है।
$x = 2$ के लिए जाँच करने पर:
$Lf'(2) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = -3 - \sin(2)$
$Rf'(2) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = 3 - \sin(2)$
चूंकि $Lf'(2) \neq Rf'(2)$,इसलिए फलन $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है।

(C) $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए सतत और $x = 0$ पर अवकलनीय फलन निर्धारित करने के लिए:
$1$. $f(x) = |x|$ के लिए,फलन सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है,लेकिन यह $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि बायां अवकलज $-1$ है और दायां अवकलज $1$ है।
$2$. $f(x) = \log x$ के लिए,फलन $x \le 0$ के लिए परिभाषित नहीं है,इसलिए यह सभी वास्तविक मानों के लिए सतत नहीं है।
$3$. $f(x) = \sin x$ के लिए,फलन सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सतत है। इसका अवकलज $f'(x) = \cos x$ है। $x = 0$ पर,$f'(0) = \cos(0) = 1$,जो परिभाषित है। अतः,यह $x = 0$ पर अवकलनीय है।
$4$. $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ के लिए,फलन $x < 0$ के लिए परिभाषित नहीं है,इसलिए यह सभी वास्तविक मानों के लिए सतत नहीं है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) सही उत्तर $C$ है।
कथन $A$ सत्य है: अवकलनीयता निरंतरता (सांतत्य) को इंगित करती है।
कथन $B$ सत्य है: यदि किसी अंतराल में प्रत्येक $x$ के लिए $f'(x) = 0$ है,तो $f(x)$ एक अचर फलन है।
कथन $D$ सत्य है: एक अचर फलन का अवकलज हमेशा $0$ होता है।
कथन $C$ असत्य है: एक फलन का किसी बिंदु पर उच्चतम या निम्नतम मान हो सकता है जहाँ वह अवकलनीय न हो (उदाहरण के लिए,$f(x) = |x|$ का $x = 0$ पर निम्नतम मान है,लेकिन यह $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है)।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x + 2, & -1 < x < 3 \\ 5, & x = 3 \\ 8 - x, & x > 3 \end{cases}$ और $f(3) = 5$.
$x = 3$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ हाथ का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ हाथ का अवकलज $(RHD)$ ज्ञात करेंगे।
$LHD = \lim_{x \to 3^-} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = \lim_{h \to 0} \frac{f(3 - h) - f(3)}{-h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{(3 - h + 2) - 5}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{5 - h - 5}{-h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{-h} = 1$.
$RHD = \lim_{x \to 3^+} \frac{f(x) - f(3)}{x - 3} = \lim_{h \to 0} \frac{f(3 + h) - f(3)}{h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{(8 - (3 + h)) - 5}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{8 - 3 - h - 5}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h} = -1$.
चूँकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f'(3)$ का अस्तित्व नहीं है।

(D) $f'(0)$ ज्ञात करने के लिए,हमें बाएँ पक्ष का अवकलज $(Lf'(0))$ और दाएँ पक्ष का अवकलज $(Rf'(0))$ की जाँच करनी होगी।
$Rf'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(1 + \sin h) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\sin h}{h} = 1$.
$Lf'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1 - 1}{-h} = 0$.
चूँकि $Lf'(0) \neq Rf'(0)$,इसलिए अवकलज $f'(0)$ का अस्तित्व नहीं है।

(C) $f(x)$ का $x = 0$ पर अवकलज विद्यमान होने के लिए,इसे $x = 0$ पर सतत (continuous) होना चाहिए।
$x = 0$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$
$\lim_{x \to 0^-} (ax^2 + b) = b$
$\lim_{x \to 0^+} (x^2) = 0$
$f(0) = b$
अतः,$b = 0$।
अब,$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए,बायां अवकलज $(LHD)$ दाएं अवकलज $(RHD)$ के बराबर होना चाहिए:
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{a(h)^2 + b - b}{h} = \lim_{h \to 0^-} (ah) = 0$
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(h)^2 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} (h) = 0$
चूंकि $LHD = RHD = 0$ किसी भी $a$ के मान के लिए सत्य है,इसलिए यदि $b = 0$ है,तो फलन सभी $a \in R$ के लिए $x = 0$ पर अवकलनीय है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ है।
हम $x = 0$ और अन्य बिंदुओं पर $f(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करते हैं।
$x > 0$ के लिए,$f(x) = \frac{x}{1 + x}$,जो एक परिमेय फलन है जिसका हर शून्य नहीं है,अतः यह अवकलनीय है।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = \frac{x}{1 - x}$,जो भी एक परिमेय फलन है जिसका हर शून्य नहीं है,अतः यह अवकलनीय है।
अब,अवकलज की परिभाषा का उपयोग करके $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h - 0} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{1 + |h|} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{1 + |h|}$.
जैसे $h \to 0$,$|h| \to 0$,इसलिए सीमा $\frac{1}{1 + 0} = 1$ प्राप्त होती है।
चूँकि सीमा का अस्तित्व है और यह परिमित है,फलन $f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है।
अतः,फलन सभी $x \in ( - \infty, \infty )$ के लिए अवकलनीय है।

(B) माना $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1 + x^2}\right)$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{2x}{1 + x^2} = \sin(2\tan^{-1}x)$ होता है।
अतः,$y = \sin^{-1}(\sin(2\tan^{-1}x))$ है।
स्थिति $1$: यदि $|x| \le 1$ है,तो $-\frac{\pi}{2} \le 2\tan^{-1}x \le \frac{\pi}{2}$,इसलिए $y = 2\tan^{-1}x$ है। अवकलज $y' = \frac{2}{1 + x^2}$ है।
स्थिति $2$: यदि $x > 1$ है,तो $2\tan^{-1}x > \frac{\pi}{2}$,इसलिए $y = \pi - 2\tan^{-1}x$ है। अवकलज $y' = -\frac{2}{1 + x^2}$ है।
स्थिति $3$: यदि $x < -1$ है,तो $2\tan^{-1}x < -\frac{\pi}{2}$,इसलिए $y = -\pi - 2\tan^{-1}x$ है। अवकलज $y' = -\frac{2}{1 + x^2}$ है।
$x = 1$ पर,बायां अवकलज $\frac{2}{1 + 1^2} = 1$ है और दायां अवकलज $-\frac{2}{1 + 1^2} = -1$ है।
$x = -1$ पर,बायां अवकलज $-\frac{2}{1 + (-1)^2} = -1$ है और दायां अवकलज $\frac{2}{1 + (-1)^2} = 1$ है।
चूंकि $x = 1$ और $x = -1$ पर बायां और दायां अवकलज समान नहीं हैं,इसलिए फलन इन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं है।

(C) फलन $f(x) = x(\sqrt{x} - \sqrt{x + 1})$ पद $\sqrt{x}$ के कारण $x \ge 0$ के लिए परिभाषित है।
$x < 0$ के लिए,पद $\sqrt{x}$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में परिभाषित नहीं है।
चूंकि फलन किसी भी $\delta > 0$ के लिए पड़ोस $(-\delta, 0)$ में परिभाषित नहीं है,इसलिए यह $x = 0$ पर सतत नहीं हो सकता है।
परिभाषा के अनुसार,किसी बिंदु पर अवकलनीय होने के लिए फलन का उस बिंदु पर सतत होना आवश्यक है।
इसलिए,$f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) दिया गया है $f(x) = \text{sgn}(x^3)$.
हम जानते हैं कि $\text{sgn}(x^3) = \text{sgn}(x)$ क्योंकि $x^3$ का चिह्न $x$ के चिह्न के समान ही होता है।
अतः,$f(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$ है।
चूंकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$ और $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ है,इसलिए फलन $x = 0$ पर असतत है।
जो फलन किसी बिंदु पर सतत नहीं होता,वह उस बिंदु पर अवकलनीय नहीं हो सकता है।
इसलिए,$f$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$।
तब $g(x) = x \cdot f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$।
$x = 0$ पर $g(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:
$g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h)$।
चूँकि $\lim_{h \to 0} h = 0$ और $\sin(1/h)$,$[-1, 1]$ में परिबद्ध है,स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$g'(0) = 0$ है।
अतः,$g(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय है।
अब,$x \ne 0$ के लिए,$g'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 \sin \frac{1}{x}) = 2x \sin \frac{1}{x} + x^2 \cos \frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$।
जैसे $x \to 0$,$2x \sin \frac{1}{x} \to 0$,लेकिन $\lim_{x \to 0} \cos \frac{1}{x}$ का अस्तित्व नहीं है।
इसलिए,$\lim_{x \to 0} g'(x)$ का अस्तित्व नहीं है,जिसका अर्थ है कि $g'(x)$,$x = 0$ पर सतत नहीं है।

(C) दिया गया है $f(x) = \max \{(1 - x), (1 + x), 2\}.$
अंतरालों का विश्लेषण करके हम $f(x)$ को टुकड़ों में परिभाषित कर सकते हैं:
यदि $x > 1$ है,तो $1 + x > 2$ और $1 + x > 1 - x$,इसलिए $f(x) = 1 + x.$
यदि $- 1 \le x \le 1$ है,तो $2 \ge 1 + x$ और $2 \ge 1 - x$,इसलिए $f(x) = 2.$
यदि $x < - 1$ है,तो $1 - x > 2$ और $1 - x > 1 + x$,इसलिए $f(x) = 1 - x.$
अतः,$f(x) = \begin{cases} 1 - x, & x < - 1 \\ 2, & - 1 \le x \le 1 \\ 1 + x, & x > 1 \end{cases}$
चूंकि प्रत्येक अंतराल में $f(x)$ एक बहुपद फलन है और सीमाओं पर टुकड़े आपस में मिलते हैं ($f(-1) = 2$ और $f(1) = 2$),इसलिए फलन हर जगह सतत है।
$x = - 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करना:
बाएँ हाथ का अवकलज: $\frac{d}{dx}(1 - x) = - 1.$
दाएँ हाथ का अवकलज: $\frac{d}{dx}(2) = 0.$
चूंकि $- 1 \neq 0$,इसलिए यह $x = - 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करना:
बाएँ हाथ का अवकलज: $\frac{d}{dx}(2) = 0.$
दाएँ हाथ का अवकलज: $\frac{d}{dx}(1 + x) = 1.$
चूंकि $0 \neq 1$,इसलिए यह $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,फलन $x = 1$ और $x = - 1$ को छोड़कर सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है।

(A) हमारे पास $f(x) = |x| + |x - 1|$ है।
मापांक की परिभाषा के अनुसार,हम $f(x)$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} -2x + 1, & x < 0 \\ 1, & 0 \le x < 1 \\ 2x - 1, & x \ge 1 \end{cases}$
$x = 1$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (1) = 1$
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1$
$f(1) = 2(1) - 1 = 1$
चूँकि $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$,इसलिए फलन $x = 1$ पर सतत है।
$x = 1$ पर अवकलनीयता के लिए:
$x = 1$ पर बायां अवकलज $(LHD)$ = $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{d}{dx}(1) = 0$ है।
$x = 1$ पर दायां अवकलज $(RHD)$ = $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{d}{dx}(2x - 1) = 2$ है।
चूँकि $LHD \neq RHD$,इसलिए फलन $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) दिया गया है $f(x) = |x|.$ हम $x = 0$ पर बाएँ पक्ष का अवकलज $(Lf'(0))$ और दाएँ पक्ष का अवकलज $(Rf'(0))$ ज्ञात करके अवकलनीयता की जाँच करते हैं।
$Rf'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1.$
$Lf'(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0 - h) - f(0)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|-h| - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{-h} = -1.$
चूँकि $Rf'(0) \neq Lf'(0),$ इसलिए अवकलज $f'(0)$ का अस्तित्व नहीं है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) फलन $y = f(x) = 1 - |x|$ के रूप में परिभाषित है।
हम इसे एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} 1 - x, & x \ge 0 \\ 1 + x, & x < 0 \end{cases}$
$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ हाथ का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ हाथ का अवकलज $(RHD)$ ज्ञात करते हैं:
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(1 + h) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h}{h} = 1$
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(1 - h) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h}{h} = -1$
चूँकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $x = 0$ पर फलन का अवकलज अस्तित्व में नहीं है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = |x|^3$ है।
हम इसे $x \ge 0$ के लिए $f(x) = x^3$ और $x < 0$ के लिए $f(x) = -x^3$ के रूप में लिख सकते हैं।
$x = 0$ पर अवकलज ज्ञात करने के लिए,हम बाएँ पक्ष का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ पक्ष का अवकलज $(RHD)$ ज्ञात करेंगे।
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|^3 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h^3}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-h^2) = 0$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|^3 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^3}{h} = \lim_{h \to 0^+} (h^2) = 0$.
चूँकि $LHD = RHD = 0$ है,इसलिए अवकलज $f'(0)$ का अस्तित्व है और यह $0$ के बराबर है।

(C) माना $y = \sec^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right) + \sin^{-1} \left( \frac{x - 1}{x + 1} \right)$ है।
पद $\sec^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right)$ के लिए,$\sec^{-1}(u)$ का प्रांत $|u| \ge 1$ होता है।
अतः,हमारे पास $\left| \frac{2x}{1 + x^2} \right| \ge 1$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $2|x| \ge 1 + x^2$,जो सरल होकर $x^2 - 2|x| + 1 \le 0$ या $(|x| - 1)^2 \le 0$ बन जाता है।
चूंकि किसी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता,यह केवल तभी संभव है जब $|x| - 1 = 0$ हो,अर्थात $x = 1$ या $x = -1$ हो।
चूंकि फलन $y$ केवल $x = 1$ और $x = -1$ जैसे अलग-अलग बिंदुओं पर परिभाषित है,यह किसी अंतराल पर परिभाषित नहीं है।
इसलिए,अवकलज $\frac{dy}{dx}$ का अस्तित्व नहीं है।

(B) क्रांतिक बिंदु वे बिंदु होते हैं जहाँ $f'(x) = 0$ हो या जहाँ $f(x)$ अवकलनीय न हो।
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = 1 \neq 0$।
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = -3 \neq 0$।
अब,$x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$x = 0$ पर बायाँ अवकलज $(LHD)$: $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(1+h) - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h-1}{h} = \infty$।
चूँकि $x = 0$ पर अवकलज का अस्तित्व नहीं है,इसलिए $x = 0$ एक क्रांतिक बिंदु है।

(C) फलन को $f(x) = |x|$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = -x$ और $x > 0$ के लिए,$f(x) = x$ होता है।
$x = 0$ पर,$f(0) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $|x| \geq 0$ होता है,इसलिए $f(0) = 0$ फलन का सबसे छोटा संभव मान है।
अतः,$f(x)$ का $x = 0$ पर न्यूनतम मान है।
ध्यान दें कि $f'(0)$ का अस्तित्व नहीं है क्योंकि बायां अवकलज $-1$ है और दायां अवकलज $1$ है।

(A) फलन $f(x) = \frac{x}{1 + |x|}$ के रूप में परिभाषित है।
हम इसे एक टुकड़ों में परिभाषित फलन के रूप में लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1 - x}, & x < 0 \\ \frac{x}{1 + x}, & x \geq 0 \end{cases}$
अब,हम दोनों स्थितियों के लिए अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{(1-x)(1) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2}$.
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = \frac{(1+x)(1) - x(1)}{(1+x)^2} = \frac{1+x-x}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2}$.
$x = 0$ पर,हम बाएँ हाथ का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ हाथ का अवकलज $(RHD)$ की जाँच करते हैं:
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\frac{h}{1-h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1}{1-h} = 1$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h}{1+h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{1+h} = 1$.
चूँकि $LHD = RHD = 1$,फलन $x = 0$ पर भी अवकलनीय है।
अतः,फलन सभी $x \in ( - \infty, \infty )$ के लिए अवकलनीय है।

(C) फलन $f(x) = \text{Min}\{x + 1, |x| + 1\}$ के रूप में परिभाषित है।
हम $x$ के लिए दो स्थितियों पर विचार करके इसका विश्लेषण कर सकते हैं:
स्थिति $1$: $x \ge 0$. तो $|x| = x$,इसलिए $f(x) = \text{Min}\{x + 1, x + 1\} = x + 1$.
स्थिति $2$: $x < 0$. तो $|x| = -x$,इसलिए $f(x) = \text{Min}\{x + 1, -x + 1\}$.
$x < 0$ के लिए,$x + 1 < -x + 1$ का अर्थ $2x < 0$ है,जो सभी $x < 0$ के लिए सत्य है।
इस प्रकार,सभी $x < 0$ के लिए $f(x) = x + 1$.
इन दोनों को मिलाने पर,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = x + 1$.
चूंकि $f(x) = x + 1$ एक रैखिक बहुपद है,यह $R$ में हर जगह अवकलनीय है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(D) $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(h-1) \sin(\frac{1}{h-1}) - (-1) \sin(-1)}{h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{(h-1) \sin(\frac{1}{h-1}) - \sin(1)}{h}$.
जैसे $h \to 0$,सीमा $\frac{-\sin(-1) - \sin(1)}{0}$ प्राप्त होती है,जो परिभाषित नहीं है। अतः,$f$,$x = 0$ पर अवकलनीय है।
$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:
$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h \sin(\frac{1}{h}) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \sin(\frac{1}{h})$.
चूंकि $\lim_{h \to 0} \sin(\frac{1}{h})$,$-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है। अतः,$f$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
इसलिए,$f$,$x = 0$ पर अवकलनीय है लेकिन $x = 1$ पर नहीं।

(D) हमारे पास $f(x) = x|x|$ और $g(x) = \sin x$ है।
अतः,$(gof)(x) = \sin(x|x|) = \begin{cases} -\sin(x^2), & x < 0 \\ \sin(x^2), & x \ge 0 \end{cases}$ है।
$x=0$ पर $gof$ का $LHD$: $\lim_{x \to 0^-} \frac{-\sin(x^2) - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} -x \left(\frac{\sin(x^2)}{x^2}\right) = 0$ है।
$x=0$ पर $gof$ का $RHD$: $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin(x^2) - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} x \left(\frac{\sin(x^2)}{x^2}\right) = 0$ है।
चूंकि $LHD = RHD = 0$,इसलिए $gof$,$x=0$ पर अवकलनीय है और $(gof)'(0) = 0$ है।
अवकलज $(gof)'(x) = \begin{cases} -2x\cos(x^2), & x < 0 \\ 2x\cos(x^2), & x \ge 0 \end{cases}$ है।
चूंकि $\lim_{x \to 0^-} (gof)'(x) = 0$ और $\lim_{x \to 0^+} (gof)'(x) = 0$,इसलिए अवकलज $x=0$ पर सतत है। अतः,कथन-$1$ सत्य है।
अब,$x=0$ पर द्वितीय अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
$x=0$ पर $(gof)'$ का $LHD$: $\lim_{x \to 0^-} \frac{-2x\cos(x^2) - 0}{x - 0} = -2\cos(0) = -2$ है।
$x=0$ पर $(gof)'$ का $RHD$: $\lim_{x \to 0^+} \frac{2x\cos(x^2) - 0}{x - 0} = 2\cos(0) = 2$ है।
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $gof$,$x=0$ पर दो बार अवकलनीय नहीं है। अतः,कथन-$2$ असत्य है।

(B) चूंकि $g(x)$ अवकलनीय है,इसलिए इसे $x=3$ पर सतत होना चाहिए।
$x=3$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x \to 3^-} g(x) = \lim_{x \to 3^+} g(x) = g(3)$।
$\lim_{x \to 3^-} k\sqrt{x+1} = k\sqrt{3+1} = 2k$।
$\lim_{x \to 3^+} (mx+2) = 3m+2$।
अतः,$2k = 3m+2$ --- $(i)$।
$x=3$ पर अवकलनीयता के लिए,$g'(3^-) = g'(3^+)$।
$g'(x) = \begin{cases} \frac{k}{2\sqrt{x+1}}, & 0 < x < 3 \\ m, & 3 < x < 5 \end{cases}$।
$g'(3^-) = \frac{k}{2\sqrt{3+1}} = \frac{k}{4}$।
$g'(3^+) = m$।
इसलिए,$\frac{k}{4} = m \Rightarrow k = 4m$ --- $(ii)$।
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(4m) = 3m+2 \Rightarrow 8m = 3m+2 \Rightarrow 5m = 2 \Rightarrow m = \frac{2}{5}$।
तब $k = 4(\frac{2}{5}) = \frac{8}{5}$।
अतः,$k+m = \frac{8}{5} + \frac{2}{5} = \frac{10}{5} = 2$।

(D) फलन $f(x) = |x-\pi|(e^{|x|}-1)\sin|x|$ दिया गया है।
हम $x=0$ और $x=\pi$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं।
$x=\pi$ पर:
$f(\pi) = 0$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{|\pi+h-\pi|(e^{|\pi+h|}-1)\sin|\pi+h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h(e^{\pi+h}-1)\sin(\pi+h)}{h} = (e^{\pi}-1)\sin(\pi) = 0$.
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{|\pi-h-\pi|(e^{|\pi-h|}-1)\sin|\pi-h| - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h(e^{\pi-h}-1)\sin(\pi-h)}{-h} = -(e^{\pi}-1)\sin(\pi) = 0$.
चूँकि $RHD = LHD = 0$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x=\pi$ पर अवकलनीय है।
$x=0$ पर:
$f(0) = 0$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h-\pi|(e^{|h|}-1)\sin|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h-\pi|(e^h-1)\sin(h)}{h} = |-\pi| \cdot (1) \cdot (0) = 0$.
$LHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{|-h-\pi|(e^{|-h|}-1)\sin|-h| - 0}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|-h-\pi|(e^h-1)\sin(h)}{-h} = |-\pi| \cdot (1) \cdot (0) = 0$.
चूँकि $RHD = LHD = 0$,इसलिए $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय है।
अतः,$f(x)$ सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है,इसलिए समुच्चय $S$ एक रिक्त समुच्चय है,अर्थात $S = \emptyset$.

(D) उन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए जहाँ $f(x) = \max(x, x^3)$ अवकलनीय नहीं है,हम विभिन्न अंतरालों में $x$ और $x^3$ के व्यवहार का विश्लेषण करते हैं:
$1$. यदि $x < -1$ है,तो $x^3 < x$,इसलिए $f(x) = x$.
$2$. यदि $-1 < x < 0$ है,तो $x^3 > x$,इसलिए $f(x) = x^3$.
$3$. यदि $0 < x < 1$ है,तो $x > x^3$,इसलिए $f(x) = x$.
$4$. यदि $x > 1$ है,तो $x^3 > x$,इसलिए $f(x) = x^3$.
परिवर्तन बिंदुओं $x = -1, 0, 1$ पर,हम बाएँ और दाएँ अवकलज की जाँच करते हैं:
$x = -1$ पर: $f'( -1^-) = 1$ और $f'( -1^+) = 3(-1)^2 = 3$. चूँकि $1 \neq 3$,यह अवकलनीय नहीं है।
$x = 0$ पर: $f'( 0^-) = 3(0)^2 = 0$ और $f'( 0^+) = 1$. चूँकि $0 \neq 1$,यह अवकलनीय नहीं है।
$x = 1$ पर: $f'( 1^-) = 1$ और $f'( 1^+) = 3(1)^2 = 3$. चूँकि $1 \neq 3$,यह अवकलनीय नहीं है।
अतः,उन बिंदुओं का समुच्चय जहाँ $f(x)$ अवकलनीय नहीं है,$\{ -1, 0, 1\}$ है।

(D) माना $f(x) = \sin(|x|) - |x|$ है। हम $x = 0$ पर बाएँ हाथ के अवकलज $(LHD)$ और दाएँ हाथ के अवकलज $(RHD)$ की गणना करके अवकलनीयता की जाँच करते हैं।
$x < 0$ के लिए,$|x| = -x$,इसलिए $f(x) = \sin(-x) - (-x) = -\sin x + x$ है। इसका अवकलज $f'(x) = -\cos x + 1$ है। अतः,$LHD = \lim_{x \to 0^-} (-\cos x + 1) = -\cos(0) + 1 = -1 + 1 = 0$ है।
$x > 0$ के लिए,$|x| = x$,इसलिए $f(x) = \sin x - x$ है। इसका अवकलज $f'(x) = \cos x - 1$ है। अतः,$RHD = \lim_{x \to 0^+} (\cos x - 1) = \cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0$ है।
चूंकि $LHD = RHD = 0$ है,इसलिए फलन $\sin(|x|) - |x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय है।
अन्य विकल्पों के लिए,$\cos(|x|)$ तो $x=0$ पर अवकलनीय है लेकिन $|x|$ नहीं है,इसलिए उनका योग या अंतर $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है। इसी प्रकार,$\sin(|x|) + |x|$ के लिए $LHD = -2$ और $RHD = 2$ प्राप्त होता है,इसलिए यह अवकलनीय नहीं है।

(B) $x = 0$ पर अवकलज की परिभाषा के अनुसार:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(h) \cos(\frac{1}{h}) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(h)}{h} \cos(\frac{1}{h})$.
चूंकि $g(x)$ एक सम फलन है,इसलिए $g(-x) = g(x)$.
दिया गया है कि $g(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय है और मूल बिंदु से होकर गुजरता है,इसलिए $g(0) = 0$.
अतः,$g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(h)}{h}$.
चूंकि $g(x)$ सम है,$g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(-h) - g(0)}{-h} = -g'(0)$,जिसका अर्थ है $g'(0) = 0$.
इसलिए,$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(h)}{h} \cos(\frac{1}{h}) = g'(0) \times (\text{एक परिबद्ध मान}) = 0 \times \text{परिबद्ध मान} = 0$.

(C) फलन $h(x) = \max\{f(x), g(x)\}$ को $h(x) = \frac{f(x) + g(x) + |f(x) - g(x)|}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $f(x)$ और $g(x)$ $x = x_0$ पर अवकलनीय हैं,इसलिए उनका योग और अंतर भी अवकलनीय हैं।
$h(x)$ की अवकलनीयता $|f(x) - g(x)|$ पद पर निर्भर करती है।
यदि $f(x_0) \neq g(x_0)$ है,तो $f$ और $g$ की निरंतरता के कारण,$x_0$ के आसपास एक ऐसा पड़ोस मौजूद है जहाँ $f(x) - g(x)$ एक समान चिह्न बनाए रखता है,जो $|f(x) - g(x)|$ को $x_0$ पर अवकलनीय बनाता है।
यदि $f(x_0) = g(x_0)$ है,तो फलन $h(x)$ $x_0$ पर तभी अवकलनीय होता है यदि $f'(x_0) = g'(x_0)$ हो।
इसलिए,यदि $f(x_0) \neq g(x_0)$ है तो $h(x)$ के $x_0$ पर अवकलनीय होने की गारंटी है।

(C) $x = 0$ पर अवकलनीयता की जाँच करने के लिए,हम अवकलज की परिभाषा $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ का उपयोग करते हैं।
$(1)$ $f(x)$ के लिए:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \sin(1/h)$.
चूँकि $\lim_{h \to 0} \sin(1/h)$ का मान $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है,इसलिए यह सीमा मौजूद नहीं है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$(2)$ $g(x)$ के लिए:
$g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h)$.
चूँकि $|h \sin(1/h)| \le |h|$,स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) के अनुसार,सीमा $0$ है। अतः,$g(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है।
$(3)$ $h(x) = |x|^3$ के लिए:
$h'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{|h|^3 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|^3}{h}$.
$h > 0$ के लिए,$\frac{h^3}{h} = h^2 \to 0$। $h < 0$ के लिए,$\frac{(-h)^3}{h} = -h^2 \to 0$।
चूँकि सीमा मौजूद है और $0$ है,इसलिए $h(x)$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय है।
अतः,$g$ और $h$ बिंदु $x = 0$ पर अवकलनीय हैं। सही विकल्प $C$ है।

(D) $g(x)$ को $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे पहले $x = 0$ पर सतत होना चाहिए।
सांतत्य के लिए: $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = g(0)$।
$\lim_{x \to 0^-} (x + b) = b$ और $\lim_{x \to 0^+} \cos x = \cos(0) = 1$।
अतः,$b = 1$।
अब,$x = 0$ पर बाएँ पक्ष का अवकलज $(LHD)$ और दाएँ पक्ष का अवकलज $(RHD)$ की जाँच करें:
$RHD = g'(0^+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{\cos(0 + h) - \cos(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$।
$LHD = g'(0^-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{(0 + h + b) - (0 + b)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{h}{h} = 1$।
चूँकि $LHD \neq RHD$ $(1 \neq 0)$,इसलिए $b$ के किसी भी मान के लिए फलन $g(x)$ को $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं बनाया जा सकता है।