f(x) = [x] sin(pi x) का x = k पर बायां अवकलज | vedclass

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Question

(A) $f(x) = [x] \sin(\pi x)$ दिया गया है।$x = k$ के लिए,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$,बायां अवकलज $(LHD)$ इस प्रकार परिभाषित है:$LHD = \lim_{h 	o 0^+} \fra

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$(-1)^{k}(k-1) \pi$

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(A) $f(x) = [x] \sin(\pi x)$ दिया गया है।$x = k$ के लिए,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$,बायां अवकलज $(LHD)$ इस प्रकार परिभाषित है:$LHD = \lim_{h 	o 0^+} \frac{f(k-h) - f(k)}{-h}$चूँकि $k$ एक पूर्णांक है,छोटे $h > 0$ के लिए $[k-h] = k-1$ होता है।साथ ही,$f(k) = [k] \sin(k\pi) = k \cdot 0 = 0$ है।इन मानों को सीमा में रखने पर:$LHD = \lim_{h 	o 0^+} \frac{(k-1) \sin(\pi(k-h)) - 0}{-h}$सर्वसमिका $\sin(k\pi - \pi h) = (-1)^{k+1} \sin(\pi h)$ का उपयोग करने पर:$LHD = \lim_{h 	o 0^+} \frac{(k-1) (-1)^{k+1} \sin(\pi h)}{-h}$चूँकि $\lim_{h 	o 0} \frac{\sin(\pi h)}{h} = \pi$ है:$LHD = (k-1) (-1)^{k+1} (-\pi) = (-1)^k (k-1) \pi$.

$f(x) = [x] \sin(\pi x)$ का $x = k$ पर बायां अवकलज (left-hand derivative) ज्ञात कीजिए,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है और $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

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