Derivative at a point, Standard differentiation Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \log(\sec x + \tan x)$.
$f^{\prime}(x)$ શોધવા માટે,આપણે સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} [\log(\sec x + \tan x)]$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot \frac{d}{dx}(\sec x + \tan x)$
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot (\sec x \tan x + \sec^2 x)$
અંશમાંથી $\sec x$ સામાન્ય લેતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{\sec x(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x}$
$f^{\prime}(x) = \sec x$
હવે,$x = \frac{\pi}{4}$ માટે કિંમત મૂકતા:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta = E - 1$,તેથી $\Delta^{2} = (E - 1)^{2} = E^{2} - 2E + 1$.
આપેલ પદાવલિ $\left(\frac{\Delta^{2}}{E}\right) x^{3} = \left(\frac{E^{2} - 2E + 1}{E}\right) x^{3}$ છે.
આનું સાદું રૂપ $(E - 2 + E^{-1}) x^{3}$ થાય છે.
ઓપરેટર્સ લાગુ કરતા: $E(x^{3}) = (x+1)^{3}$,$-2(x^{3}) = -2x^{3}$,અને $E^{-1}(x^{3}) = (x-1)^{3}$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા: $(x+1)^{3} - 2x^{3} + (x-1)^{3}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1) - 2x^{3} + (x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1)$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $(x^{3} - 2x^{3} + x^{3}) + (3x^{2} - 3x^{2}) + (3x + 3x) + (1 - 1) = 6x$.

(D) આપેલ શ્રેણી એ ઘાતાંકીય વિધેય $e^{x}$ માટેનું મેકલોરિન શ્રેણી વિસ્તરણ છે.
$y = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots = e^{x}$.
હવે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x})$.
$e^{x}$ નું વિકલન $e^{x}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = e^{x}$.
$y$ માટેના મૂળ અભિવ્યક્તિને પરિણામમાં પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = y$.

(D) આપેલ છે કે $y = (x^x)^x$.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{mn}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $y = x^{x \cdot x} = x^{x^2}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\log y = \log(x^{x^2}) = x^2 \log x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 \log x)$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = x^2 \cdot \frac{1}{x} + (\log x) \cdot (2x) = x + 2x \log x$.
$\frac{dy}{dx} = y(x + 2x \log x) = x^{x^2} \cdot x(1 + 2 \log x)$.
આમ,$\frac{dy}{dx} = x \cdot x^{x^2}(1 + 2 \log x)$.

(A) આપેલ છે,$y=x^{n} \log x+x(\log x)^{n}$.
બંને પદો માટે ગુણાકારનો નિયમ $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$ લાગુ પાડતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^n \log x) + \frac{d}{dx}(x(\log x)^n)$
$= (x^n \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot nx^{n-1}) + (x \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} + (\log x)^n \cdot 1)$
$= (x^{n-1} + nx^{n-1} \log x) + (n(\log x)^{n-1} + (\log x)^n)$
$= x^{n-1}(1 + n \log x) + (\log x)^{n-1}(n + \log x)$.

(C) ધારો કે $u = e^x$ અને $v = \sqrt{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં $u$ અને $v$ નું વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{du}{dx} = e^x$
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$v$ ની સાપેક્ષમાં $u$ નું વિકલન:
$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{e^x}{1/(2\sqrt{x})} = 2\sqrt{x} e^x$.

(A) આપેલ છે $y = \tan^{-1}\left(\frac{5x-x}{1+5x \cdot x}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{\frac{3}{2}-x}{1+\frac{3}{2}x}\right)$.
સૂત્ર $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = (\tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x)) + (\cot^{-1}(x) - \cot^{-1}(\frac{3}{2}))$.
$\cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(x)$ હોવાથી:
$y = \tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x) + \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(x) - \cot^{-1}(\frac{3}{2})$.
$y = \tan^{-1}(5x) - 2\tan^{-1}(x) + \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(\frac{3}{2})$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(5x)) - 2\frac{d}{dx}(\tan^{-1}(x)) + 0 - 0$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{1+25x^2} - \frac{2}{1+x^2}$.
નોંધ: $\cot^{-1}\left(\frac{3-2x}{2+3x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2+3x}{3-2x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{2}{3}+x}{1-\frac{2}{3}x}\right) = \tan^{-1}(\frac{2}{3}) + \tan^{-1}(x)$ થાય છે.
તેથી,$y = \tan^{-1}(5x) - \tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(\frac{2}{3}) + \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}(5x) + \tan^{-1}(\frac{2}{3})$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{1+25x^2}$.

(A) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x) = \tan ^{-1}(\sec x + \tan x)$.
ઇન્વર્સ ટેન્જન્ટની અંદરના પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$f^{\prime}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)$
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$,$\cos x = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$,અને $1 = \cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f^{\prime}(x) = \tan ^{-1}\left[\frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})}\right]$
$f^{\prime}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}\right)$
અંશ અને છેદને $\cos \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા:
$f^{\prime}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}}\right) = \tan ^{-1}\left[\tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)\right]$
આમ,$f^{\prime}(x) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$f(x) = \int \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) dx = \frac{\pi x}{4} + \frac{x^2}{4} + C$.
$f(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,આપણને $C = 0$ મળે છે.
તેથી,$f(x) = \frac{\pi x + x^2}{4}$.
માટે,$f(1) = \frac{\pi(1) + (1)^2}{4} = \frac{\pi+1}{4}$.

(C) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x) = \tan^{-1}(\sec x + \tan x) = \tan^{-1}\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1+\sin x}{\cos x} = \frac{(\cos(x/2) + \sin(x/2))^2}{\cos^2(x/2) - \sin^2(x/2)} = \frac{\cos(x/2) + \sin(x/2)}{\cos(x/2) - \sin(x/2)} = \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})$.
તેથી,$f^{\prime}(x) = \tan^{-1}(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
હવે,$f(x) = \int f^{\prime}(x) dx = \int (\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}) dx = \frac{\pi}{4}x + \frac{x^2}{4} + C$.
કારણ કે $f(0) = 0$,તેથી $0 = 0 + 0 + C$,એટલે કે $C = 0$.
તેથી,$f(x) = \frac{x^2 + \pi x}{4}$.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $f(1) = \frac{1^2 + \pi(1)}{4} = \frac{\pi+1}{4}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = \cot^{-1}(\sqrt{\cos 2x})$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વિકલિત $f'(x) = \frac{-1}{1 + (\sqrt{\cos 2x})^2} \times \frac{d}{dx}(\sqrt{\cos 2x})$ થાય.
$f'(x) = \frac{-1}{1 + \cos 2x} \times \frac{1}{2\sqrt{\cos 2x}} \times (-\sin 2x \times 2)$.
$f'(x) = \frac{\sin 2x}{(1 + \cos 2x)\sqrt{\cos 2x}}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$2x = \frac{\pi}{3}$ થાય.
$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sin(\pi/3)}{(1 + \cos(\pi/3))\sqrt{\cos(\pi/3)}}$.
$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}/2}{(1 + 1/2)\sqrt{1/2}} = \frac{\sqrt{3}/2}{(3/2)(1/\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{3} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{1/2}$.

(D) આપેલ છે કે $y = \sec(\tan^{-1} x)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \sec(\tan^{-1} x) \tan(\tan^{-1} x) \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \sec(\tan^{-1} x) \cdot x \cdot \frac{1}{1+x^2}$.
$x = 1$ આગળ,$\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \sec(\frac{\pi}{4}) \cdot 1 \cdot \frac{1}{1+1^2} = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
વૈકલ્પિક રીતે,ધારો કે $\tan^{-1} x = \theta$,તો $\tan \theta = x$. $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ હોવાથી,$\sec \theta = \sqrt{1+x^2}$.
આમ,$y = \sqrt{1+x^2}$.
તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.
$x = 1$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) ધારો કે $y = \sqrt{\frac{1-\tan x}{1+\tan x}}$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-\tan x}{1+\tan x}}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)$.
અંદરના પદ માટે ભાગાકારનો નિયમ (quotient rule) વાપરતા:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\right) = \frac{(1+\tan x)(-\sec^2 x) - (1-\tan x)(\sec^2 x)}{(1+\tan x)^2} = \frac{-\sec^2 x - \tan x \sec^2 x - \sec^2 x + \tan x \sec^2 x}{(1+\tan x)^2} = \frac{-2\sec^2 x}{(1+\tan x)^2}$.
હવે,આ કિંમત પાછી મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1+\tan x}{1-\tan x}} \cdot \left(\frac{-2\sec^2 x}{(1+\tan x)^2}\right) = \frac{-\sec^2 x}{\sqrt{1-\tan x} \cdot (1+\tan x)^{3/2}}$.

(B) આપેલ છે કે $y = \cos(\sin x^2)$.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીને,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(\sin x^2) \cdot \frac{d}{dx}(\sin x^2)$
$\frac{dy}{dx} = -\sin(\sin x^2) \cdot \cos(x^2) \cdot 2x$
હવે,$x = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ ને વિકલનમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(\sin(\frac{\pi}{2})) \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) \cdot 2\sqrt{\frac{\pi}{2}}$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ થાય છે,તેથી સમગ્ર પદની કિંમત:
$\frac{dy}{dx} = -\sin(1) \cdot 0 \cdot 2\sqrt{\frac{\pi}{2}} = 0$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = 3x^2 + 2x f'(1) + f''(2)$.
ધારો કે $f'(1) = a$ અને $f''(2) = b$.
તેથી $f(x) = 3x^2 + 2ax + b$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 6x + 2a$ મળે છે.
$x = 1$ માટે,$f'(1) = 6(1) + 2a = 6 + 2a$.
કારણ કે $f'(1) = a$,તેથી $a = 6 + 2a$,જેનો અર્થ છે કે $a = -6$.
હવે,$f'(x) = 6x + 2a$ નું ફરીથી વિકલન કરતા,આપણને $f''(x) = 6$ મળે છે.
આમ,$f''(2) = 6$.
કારણ કે $f''(2) = b$,તેથી $b = 6$.
$a = -6$ અને $b = 6$ ને $f(x)$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f(x) = 3x^2 + 2(-6)x + 6 = 3x^2 - 12x + 6$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)=x^3+x^2 f^{\prime}(1)+x f^{\prime \prime}(2)+6$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f^{\prime}(x)=3 x^2+2 x f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2)$ મળે.
ફરીથી વિકલન કરતા,$f^{\prime \prime}(x)=6 x+2 f^{\prime}(1)$ મળે.
$f^{\prime}(x)$ માં $x=1$ મૂકતા:
$f^{\prime}(1)=3(1)^2+2(1) f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2) \Rightarrow f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(2)=-3$ (સમીકરણ $I$).
$f^{\prime \prime}(x)$ માં $x=2$ મૂકતા:
$f^{\prime \prime}(2)=6(2)+2 f^{\prime}(1) \Rightarrow f^{\prime \prime}(2)=12+2 f^{\prime}(1)$ (સમીકરણ $II$).
સમીકરણ $II$ માંથી $f^{\prime \prime}(2)$ ની કિંમત સમીકરણ $I$ માં મૂકતા:
$f^{\prime}(1)+12+2 f^{\prime}(1)=-3 \Rightarrow 3 f^{\prime}(1)=-15 \Rightarrow f^{\prime}(1)=-5$.
હવે,સમીકરણ $II$ નો ઉપયોગ કરીને $f^{\prime \prime}(2)$ શોધો:
$f^{\prime \prime}(2)=12+2(-5)=12-10=2$.
અંતે,$f(x)$ માં $x=2$ મૂકીને $f^{\prime}(1)$ અને $f^{\prime \prime}(2)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$f(2)=2^3+2^2(-5)+2(2)+6 = 8-20+4+6 = -2$.

(D) આપેલ છે કે $8 f(x)+6 f\left(\frac{1}{x}\right)=x+5 \dots (i)$
$x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા,આપણને મળે $8 f\left(\frac{1}{x}\right)+6 f(x)=\frac{1}{x}+5 \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $4$ વડે અને $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$32 f(x)+24 f\left(\frac{1}{x}\right)=4x+20 \dots (iii)$
$18 f(x)+24 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{3}{x}+15 \dots (iv)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(iv)$ બાદ કરતા:
$14 f(x)=4x-\frac{3}{x}+5 \implies f(x)=\frac{1}{14}\left(4x-\frac{3}{x}+5\right)$
તેથી $f'(x)=\frac{1}{14}\left(4+\frac{3}{x^2}\right)$
$x=-1$ આગળ:
$f(-1)=\frac{1}{14}(-4+3+5)=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$
$f'(-1)=\frac{1}{14}(4+3)=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$
આપેલ છે $y=x^2 f(x)$,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx}=2x f(x)+x^2 f'(x)$
$x=-1$ આગળ:
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=-1}=2(-1)f(-1)+(-1)^2 f'(-1)$
$= -2\left(\frac{2}{7}\right) + 1\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{7} + \frac{1}{2} = \frac{-8+7}{14} = -\frac{1}{14}$

(D) ધારો કે $y = f(f(f(x))) + (f(x))^2$.
સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા,વિકલિત નીચે મુજબ મળે:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) + 2f(x)f^{\prime}(x)$.
$x=1$ આગળ કિંમત મુકતા:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1) + 2f(1)f^{\prime}(1)$.
આપેલ છે કે $f(1)=1$ અને $f^{\prime}(1)=3$,તેથી:
$f(f(1)) = f(1) = 1$ અને $f(f(f(1))) = f(1) = 1$.
આ કિંમતો મુકતા:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) + 2(1)(3) = 3 \cdot 3 \cdot 3 + 6 = 27 + 6 = 33$.

(C) ધારો કે $y = f(f(f(x))) + (f(x))^2$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વિકલન નીચે મુજબ મળે:
$\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(f(f(x))) \cdot f^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x) + 2f(x) \cdot f^{\prime}(x)$.
$x=1$ આગળ,આપણને મળે:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=1} = f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot f^{\prime}(1) + 2f(1) \cdot f^{\prime}(1)$.
આપેલ છે કે $f(1)=1$ અને $f^{\prime}(1)=5$,આ કિંમતો મૂકતા:
$= f^{\prime}(f(f(1))) \cdot f^{\prime}(f(1)) \cdot 5 + 2(1)(5)$.
કારણ કે $f(1)=1$,તેથી $f(f(1)) = f(1) = 1$.
$= f^{\prime}(1) \cdot f^{\prime}(1) \cdot 5 + 10$.
$= 5 \cdot 5 \cdot 5 + 10 = 125 + 10 = 135$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = e^{x} g(x)$ છે.
વિકલન માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(e^{x}) \cdot g(x) + e^{x} \cdot \frac{d}{dx}(g(x))$.
આથી $f^{\prime}(x) = e^{x} g(x) + e^{x} g^{\prime}(x) = e^{x} (g(x) + g^{\prime}(x))$ મળે છે.
હવે,વિકલિતના પદમાં $x = 0$ મૂકતા:
$f^{\prime}(0) = e^{0} (g(0) + g^{\prime}(0))$.
આપેલ છે કે $g(0) = 4$ અને $g^{\prime}(0) = 2$,અને આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{0} = 1$:
$f^{\prime}(0) = 1 \cdot (4 + 2) = 6$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે શિફ્ટ ઓપરેટર $E$ ને $E = 1 + \Delta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta$ એ ફોરવર્ડ ડિફરન્સ ઓપરેટર છે.
આમ,$(1+\Delta)^{n} f(a) = E^{n} f(a)$.
શિફ્ટ ઓપરેટરની વ્યાખ્યા મુજબ,$E^{n} f(a) = f(a+nh)$.
તેથી,$(1+\Delta)^{n} f(a) = f(a+nh)$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = e^{x} g(x)$.
વિકલન માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$f^{\prime}(x) = e^{x} g^{\prime}(x) + e^{x} g(x)$.
$x = 0$ મૂકતા:
$f^{\prime}(0) = e^{0} \cdot g^{\prime}(0) + e^{0} \cdot g(0)$.
$e^{0} = 1$,$g^{\prime}(0) = 1$,અને $g(0) = 2$ હોવાથી:
$f^{\prime}(0) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2$.
$f^{\prime}(0) = 1 + 2 = 3$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta \log f(x) = \log f(x+h) - \log f(x) = \log \left[\frac{f(x+h)}{f(x)}\right]$.
કારણ કે $f(x+h) = (1 + \Delta) f(x)$,તેથી $\Delta \log f(x) = \log \left[\frac{(1 + \Delta) f(x)}{f(x)}\right] = \log \left[1 + \frac{\Delta f(x)}{f(x)}\right]$.
બીજા પદ માટે,$\Delta^{2}(3^{x}) = (E - 1)^{2} 3^{x} = (E^{2} - 2E + 1) 3^{x}$.
$= E^{2}(3^{x}) - 2E(3^{x}) + 3^{x} = 3^{x+2} - 2 \cdot 3^{x+1} + 3^{x}$.
$= 3^{x}(9 - 6 + 1) = 4 \cdot 3^{x}$.
બંને પદોને જોડતા,પરિણામ $\log \left[1 + \frac{\Delta f(x)}{f(x)}\right] + 4 \cdot 3^{x}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x)=k(\cos x-\sin x)$.
વિકલનમાં $x=0$ મૂકતા: $f^{\prime}(0)=k(\cos 0-\sin 0)=k(1-0)=k$.
$f^{\prime}(0)=3$ હોવાથી,આપણને $k=3$ મળે છે.
હવે,$f(x)$ શોધવા માટે $f^{\prime}(x)$ નું સંકલન કરો:
$f(x)=\int 3(\cos x-\sin x) \, dx = 3(\sin x+\cos x)+C$.
$C$ શોધવા માટે શરત $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=15$ નો ઉપયોગ કરો:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=3(\sin \frac{\pi}{2}+\cos \frac{\pi}{2})+C = 3(1+0)+C = 3+C$.
$3+C=15$ લેતા,આપણને $C=12$ મળે છે.
તેથી,$f(x)=3(\sin x+\cos x)+12$.

(C) પદાવલિ $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{G(x)-G(1)}{x-1}$ એ $x=1$ આગળ $G(x)$ નું વિકલન દર્શાવે છે,જેને $G'(1)$ કહેવાય છે.
આપેલ છે કે $G(x) = -\sqrt{25-x^{2}}$.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$G'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{25-x^{2}}} \cdot (-2x) = \frac{x}{\sqrt{25-x^{2}}}$.
$x=1$ મુકતા:
$G'(1) = \frac{1}{\sqrt{25-(1)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{24}}$.

(C) ધારો કે $f(x) = x^x + x^{x+1} + x^{x+2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln x)$.
$x^{x+1}$ માટે,ધારો કે $y = x^{x+1}$,તો $\ln y = (x+1)\ln x$. બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + \frac{x+1}{x} = \ln x + 1 + \frac{1}{x}$. તેથી,$\frac{d}{dx}(x^{x+1}) = x^{x+1}(\ln x + 1 + \frac{1}{x})$.
$x^{x+2}$ માટે,ધારો કે $y = x^{x+2}$,તો $\ln y = (x+2)\ln x$. બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + \frac{x+2}{x} = \ln x + 1 + \frac{2}{x}$. તેથી,$\frac{d}{dx}(x^{x+2}) = x^{x+2}(\ln x + 1 + \frac{2}{x})$.
હવે,$x=e$ પર કિંમત મૂકતા:
$\frac{d}{dx}(x^x)|_{x=e} = e^e(1 + \ln e) = e^e(1+1) = 2e^e$.
$\frac{d}{dx}(x^{x+1})|_{x=e} = e^{e+1}(\ln e + 1 + \frac{1}{e}) = e^{e+1}(2 + \frac{1}{e}) = 2e^{e+1} + e^e = e^e(2e+1)$.
$\frac{d}{dx}(x^{x+2})|_{x=e} = e^{e+2}(\ln e + 1 + \frac{2}{e}) = e^{e+2}(2 + \frac{2}{e}) = 2e^{e+2} + 2e^{e+1} = e^e(2e^2+2e)$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા: $e^e(2 + 2e + 1 + 2e^2 + 2e) = e^e(2e^2 + 4e + 3)$.

(A) $x \in [1.2, 1.9]$ માટે,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x]$ અચળ છે કારણ કે $1 \le x < 2$ છે.
ચોક્કસ રીતે,અંતરાલ $[1.2, 1.9]$ માં કોઈપણ $x$ માટે,$[x] = 1$ થાય છે.
અંતરાલ $[1.2, 1.9]$ પર $f(x) = 1$ એ અચળ વિધેય હોવાથી,તે અંતરાલના દરેક બિંદુએ સતત અને વિકલનીય છે.
અચળ વિધેયનું વિકલન શૂન્ય થાય છે,તેથી તમામ $x \in [1.2, 1.9]$ માટે $f'(x) = 0$ થાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $y = \operatorname{cosec}^{-1}(e^x)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(\operatorname{cosec}^{-1}(e^x))$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{d}{d u}(\operatorname{cosec}^{-1} u) = \frac{-1}{|u| \sqrt{u^2 - 1}}$.
અહીં,$u = e^x$,તેથી $\frac{d u}{d x} = e^x$.
ચેઈન રૂલ લાગુ કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{|e^x| \sqrt{(e^x)^2 - 1}} \cdot \frac{d}{d x}(e^x)$
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $e^x > 0$ હોવાથી,$|e^x| = e^x$.
$\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{e^x \sqrt{e^{2 x} - 1}} \cdot e^x$
$\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{\sqrt{e^{2 x} - 1}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = 4x^3 + 3x^2 + 3x + 4$.
સૌ પ્રથમ,$f\left(\frac{1}{x}\right)$ શોધો:
$f\left(\frac{1}{x}\right) = 4\left(\frac{1}{x}\right)^3 + 3\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{x}\right) + 4 = \frac{4}{x^3} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x} + 4$.
હવે,તેને $x^3$ વડે ગુણો:
$x^3 \cdot f\left(\frac{1}{x}\right) = x^3 \left(\frac{4}{x^3} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x} + 4\right) = 4 + 3x + 3x^2 + 4x^3$.
છેલ્લે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$\frac{d}{dx}(4 + 3x + 3x^2 + 4x^3) = 0 + 3 + 6x + 12x^2 = 12x^2 + 6x + 3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{1000}$ છે.
આ $1001$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = x$ છે.
શ્રેણીનો સરવાળો $f(x) = \frac{x^{1001} - 1}{x - 1}$ થાય,જ્યાં $x \neq 1$.
$f^{\prime}(x)$ શોધવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ: $\left( \frac{u}{v} \right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$.
અહીં $u = x^{1001} - 1$ અને $v = x - 1$ છે,તેથી $u^{\prime} = 1001x^{1000}$ અને $v^{\prime} = 1$ થાય.
$f^{\prime}(x) = \frac{(1001x^{1000})(x - 1) - (x^{1001} - 1)(1)}{(x - 1)^2}$.
હવે,$x = -1$ મૂકતા:
$f^{\prime}(-1) = \frac{(1001(-1)^{1000})(-1 - 1) - ((-1)^{1001} - 1)}{(-1 - 1)^2}$.
$f^{\prime}(-1) = \frac{(1001 \times 1)(-2) - (-1 - 1)}{(-2)^2}$.
$f^{\prime}(-1) = \frac{-2002 - (-2)}{4} = \frac{-2002 + 2}{4} = \frac{-2000}{4} = -500$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta)$ છે.
આપેલ પદાવલિ $E = 3 \cos \left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right)-4 \cos ^3\left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right)$ છે.
આને $E = - (4 \cos ^3\left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right) - 3 \cos \left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right))$ તરીકે લખી શકાય.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$E = - \cos \left(3 \left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right)\right) = - \cos \left(\frac{\pi}{2} + 3x^{\circ}\right)$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin(\theta)$,તેથી $E = -(-\sin(3x^{\circ})) = \sin(3x^{\circ})$.
હવે,આપણે $E$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવાનું છે.
પ્રથમ,$x^{\circ}$ ને રેડિયનમાં ફેરવો: $x^{\circ} = x \times \frac{\pi}{180}$ રેડિયન.
તેથી,$E = \sin\left(3 \times \frac{\pi x}{180}\right) = \sin\left(\frac{\pi x}{60}\right)$.
હવે,$\frac{d}{dx} \sin\left(\frac{\pi x}{60}\right) = \cos\left(\frac{\pi x}{60}\right) \times \frac{d}{dx} \left(\frac{\pi x}{60}\right) = \frac{\pi}{60} \cos\left(\frac{\pi x}{60}\right)$.
પાછા અંશમાં ફેરવતા,$\frac{\pi x}{60} = 3x^{\circ}$.
આમ,વિકલન $\frac{\pi}{60} \cos(3x^{\circ})$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે $y = \sqrt{3} \sin \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) + \cos \left(2x + \frac{\pi}{3} \right)$.
આ પદને $2$ વડે ગુણી અને ભાગીને ફરીથી લખતા:
$y = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) + \frac{1}{2} \cos \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) \right)$.
નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ છે:
$y = 2 \left( \sin \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) \cos \left(\frac{\pi}{6} \right) + \cos \left(2x + \frac{\pi}{3} \right) \sin \left(\frac{\pi}{6} \right) \right)$.
$y = 2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin \left(2x + \frac{\pi}{2} \right)$.
કારણ કે $\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos \theta$,તેથી $y = 2 \cos(2x)$ મળે.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (2 \cos 2x) = 2 \times (- \sin 2x) \times 2 = -4 \sin 2x$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી એ ઘાતાંકીય વિધેય $y = e^x$ નું વિસ્તરણ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots$.
તેથી,$y = e^x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$ મળે છે.
કારણ કે $y = e^x$,તેથી $\frac{dy}{dx} = y$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2x$ માટેનું ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ આ મુજબ છે:
$\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d}{dx} (\sin 2x)$
વિકલન માટે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\sin(ax)$ નું વિકલન $a \cos(ax)$ થાય છે:
$\frac{d}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,ખૂણાને અંશમાંથી રેડિયનમાં ફેરવો: $x^{\circ} = x \times \frac{\pi}{180} \text{ રેડિયન}$.
તેથી,$\sec(x^{\circ}) = \sec\left(\frac{\pi x}{180}\right)$.
ધારો કે $f(x) = \sec\left(\frac{\pi x}{180}\right)$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,વિકલન $f'(x) = \sec\left(\frac{\pi x}{180}\right) \tan\left(\frac{\pi x}{180}\right) \times \frac{\pi}{180}$ થશે.
$x = 30$ માટે,$f'(30) = \sec\left(\frac{30\pi}{180}\right) \tan\left(\frac{30\pi}{180}\right) \times \frac{\pi}{180}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $f'(30) = \sec\left(\frac{\pi}{6}\right) \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) \times \frac{\pi}{180}$ મળે.
કારણ કે $\sec\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ અને $\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી:
$f'(30) = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \times \frac{\pi}{180} = \frac{2}{3} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{270}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે $y = \frac{2^x + 3^x}{4^x} = \frac{2^x}{4^x} + \frac{3^x}{4^x} = \left(\frac{2}{4}\right)^x + \left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^x + \left(\frac{3}{4}\right)^x$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,સૂત્ર $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \log a$ નો ઉપયોગ કરો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^x\right) + \frac{d}{dx}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^x\right)$
$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{2}\right)^x \log \frac{1}{2} + \left(\frac{3}{4}\right)^x \log \frac{3}{4}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $y = 3^{1-2 x}$ નું વિકલન શોધવા માટે,આપણે સાંકળના નિયમ (chain rule) અને સૂત્ર $\frac{d}{d x}(a^u) = a^u \cdot \log a \cdot \frac{d u}{d x}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = 3$ અને $u = 1 - 2x$ છે.
પ્રથમ,ઘાતાંકનું વિકલન શોધો: $\frac{d}{d x}(1 - 2x) = -2$.
હવે,સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:
$\frac{d}{d x}(3^{1-2 x}) = 3^{1-2 x} \cdot \log 3 \cdot \frac{d}{d x}(1 - 2x)$
$= 3^{1-2 x} \cdot \log 3 \cdot (-2)$
$= -2 \cdot 3^{1-2 x} \log 3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $y = 5 \sin x + 6 \cos x$.
પ્રથમ,વિકલન $y_1 = \frac{dy}{dx} = 5 \cos x - 6 \sin x$ શોધો.
હવે,$y^2 + (y_1)^2$ ની ગણતરી કરો:
$y^2 = (5 \sin x + 6 \cos x)^2 = 25 \sin^2 x + 36 \cos^2 x + 60 \sin x \cos x$.
$(y_1)^2 = (5 \cos x - 6 \sin x)^2 = 25 \cos^2 x + 36 \sin^2 x - 60 \sin x \cos x$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$y^2 + (y_1)^2 = (25 \sin^2 x + 36 \cos^2 x + 60 \sin x \cos x) + (25 \cos^2 x + 36 \sin^2 x - 60 \sin x \cos x)$.
$y^2 + (y_1)^2 = 25(\sin^2 x + \cos^2 x) + 36(\cos^2 x + \sin^2 x)$.
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$y^2 + (y_1)^2 = 25(1) + 36(1) = 61$.

(A) ધારો કે $y = e^{\tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x}+\frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
તેથી,પ્રથમ પદ $e^{\pi/2}$ બને છે,જે એક અચળ છે. અચળનું વિકલન $0$ થાય છે.
હવે,બાકીના પદોનું વિકલન કરો: $\frac{d}{dx} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a} \right]$.
પ્રથમ ભાગ માટે ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા: $\frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} \right) = \frac{1}{2} \sqrt{a^2-x^2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}} \cdot (-2x) = \frac{1}{2} \sqrt{a^2-x^2} - \frac{x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{a^2-2x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}$.
બીજા ભાગ માટે: $\frac{d}{dx} \left( \frac{a^2}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a} \right) = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(x/a)^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $\frac{a^2-2x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} + \frac{a^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{2a^2-2x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}} = \sqrt{a^2-x^2}$.

(A) $f(x) = \sin(x^2) + \cos(x^2)$ નું વિકલન શોધવા માટે,આપણે સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $u = x^2$,તો $\frac{du}{dx} = 2x$ થાય.
વિકલન આ મુજબ મળે: $\frac{d}{dx}(\sin(u) + \cos(u)) = \frac{d}{du}(\sin(u) + \cos(u)) \cdot \frac{du}{dx}$.
$= (\cos(u) - \sin(u)) \cdot 2x$.
$u = x^2$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને મળે છે:
$= 2x(\cos(x^2) - \sin(x^2))$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $y = \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2$.
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરીને પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$y = (\sqrt{x})^2 + 2(\sqrt{x})\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2$
$y = x + 2 + \frac{1}{x}$
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(x) + \frac{d}{d x}(2) + \frac{d}{d x}(x^{-1})$
$\frac{d y}{d x} = 1 + 0 - x^{-2}$
$\frac{d y}{d x} = 1 - \frac{1}{x^2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે $\theta = \cot ^{-1} \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}$. તેથી $\cot \theta = \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}$.
પાયો $\sqrt{2+x}$ અને વેધ $\sqrt{2-x}$ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,કર્ણ $\sqrt{(\sqrt{2+x})^2 + (\sqrt{2-x})^2} = \sqrt{2+x+2-x} = \sqrt{4} = 2$ થાય.
આમ,$\cos \theta = \frac{\text{પાયો}}{\text{કર્ણ}} = \frac{\sqrt{2+x}}{2}$.
હવે,પદાવલિ $\frac{d}{d x}\left[\cos ^2 \theta\right] = \frac{d}{d x}\left[\left(\frac{\sqrt{2+x}}{2}\right)^2\right]$ બને છે.
$= \frac{d}{d x}\left(\frac{2+x}{4}\right) = \frac{d}{d x}\left(\frac{1}{2} + \frac{x}{4}\right) = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x^{100}}{100} + \frac{x^{99}}{99} + \dots + \frac{x^2}{2} + x + 1$ છે.
$f'(x)$ શોધવા માટે,આપણે ઘાતનો નિયમ $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરીને $f(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{100x^{99}}{100} + \frac{99x^{98}}{99} + \dots + \frac{2x}{2} + 1$.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $f'(x) = x^{99} + x^{98} + \dots + x + 1$ મળે છે.
હવે,વિકલનમાં $x = 0$ મૂકતા:
$f'(0) = 0^{99} + 0^{98} + \dots + 0 + 1 = 1$.

(A) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x)f(y)$.
$x=0, y=5$ મુકતા,આપણને $f(5)=f(0)f(5)$ મળે છે.
$f(5)=3 \neq 0$ હોવાથી,$f(0)=1$ થાય.
હવે,$f^{\prime}(5) = \lim_{h \to 0} \frac{f(5+h)-f(5)}{h}$.
આપેલ વિધેય મુજબ,$f(5+h)=f(5)f(h)$.
તેથી,$f^{\prime}(5) = \lim_{h \to 0} \frac{f(5)f(h)-f(5)}{h} = f(5) \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h}$.
$f(0)=1$ હોવાથી,આ $f(5) \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = f(5)f^{\prime}(0)$ થાય.
કિંમતો મુકતા,$f^{\prime}(5) = 3 \times 2 = 6$.

(D) આપેલ વિધેય $y = f(x^2 + 2)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવા માટે સાંકળના નિયમ (chain rule) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = f'(x^2 + 2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 2)$
$\frac{dy}{dx} = f'(x^2 + 2) \cdot (2x)$
હવે,$x = 1$ આગળ વિકલિતની કિંમત મેળવતા:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f'(1^2 + 2) \cdot (2 \cdot 1)$
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = f'(3) \cdot 2$
આપેલ છે કે $f'(3) = 5$,તેથી આ કિંમત મૂકતા:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=1} = 5 \cdot 2 = 10$

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,વિધેય $f(x)$ યુગ્મ છે જો $f(-x) = f(x)$ હોય.
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}[f(-x)] = \frac{d}{dx}[f(x)]$
$f^{\prime}(-x) \cdot (-1) = f^{\prime}(x)$
$-f^{\prime}(-x) = f^{\prime}(x)$
$f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$
કારણ કે $f^{\prime}(-x) = -f^{\prime}(x)$,તેથી વિકલિત $f^{\prime}(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.

(B) આપેલ વિધેય: $g(x) = \frac{x^{200}}{200} + \frac{x^{199}}{199} + \dots + \frac{x^2}{2} + x + 5$.
$g'(x)$ શોધવા માટે,આપણે ઘાતનો નિયમ $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$g'(x) = \frac{200x^{199}}{200} + \frac{199x^{198}}{199} + \dots + \frac{2x}{2} + 1 + 0$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$g'(x) = x^{199} + x^{198} + \dots + x + 1$.
હવે,વિકલિતમાં $x = 0$ મૂકતા:
$g'(0) = 0^{199} + 0^{198} + \dots + 0 + 1$.
$g'(0) = 1$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = 3 + |x|$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|x|$ નું વિકલન નીચે મુજબ થાય છે:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3 + |x|) = \frac{d}{dx}(|x|) = \text{sgn}(x)$
જ્યાં $\text{sgn}(x)$ એ સાઇનમ વિધેય છે જે નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f'(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$
વિધેય $f'(x)$ એ $x = 0$ આગળ અવ્યાખ્યાયિત છે.
$f'(x)$ ની કિંમતો જોતા,તે ફક્ત બે જ કિંમતો ધારણ કરે છે: $x > 0$ માટે $1$ અને $x < 0$ માટે $-1$.
આમ,આ વિધેય $f'(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-1$ છે.

(C) આપેલ છે $y = \frac{\cos x}{1+\sin x}$.
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(-\sin x)(1+\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{(1+\sin x)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin x - \sin^2 x - \cos^2 x}{(1+\sin x)^2} = \frac{-(\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x)}{(1+\sin x)^2}$
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-(1+\sin x)}{(1+\sin x)^2} = \frac{-1}{1+\sin x}$. આ વિકલ્પ $(a)$ સાથે મેળ ખાય છે.
હવે,ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને $\frac{-1}{1+\sin x}$ ને સરળ બનાવતા:
$1+\sin x = 1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)} = -\frac{1}{2}\sec^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)$. આ વિકલ્પ $(c)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{a}{x^{4}} - \frac{b}{x^{2}} + \cos x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવા માટે,આપણે ઘાતનો નિયમ $\frac{d}{dx}(x^{n}) = nx^{n-1}$ અને $\cos x$ નું વિકલન $-\sin x$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx}(ax^{-4} - bx^{-2} + \cos x)$
$= a(-4x^{-5}) - b(-2x^{-3}) - \sin x$
$= -\frac{4a}{x^{5}} + \frac{2b}{x^{3}} - \sin x$
આને $ma + nb - p$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$m = -\frac{4}{x^{5}}$,$n = \frac{2}{x^{3}}$,અને $p = \sin x$.

(C) $y = (\cos x^{2})^{2}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{dy}{dx} = 2(\cos x^{2}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos x^{2})$
$\frac{dy}{dx} = 2(\cos x^{2}) \cdot (-\sin x^{2}) \cdot \frac{d}{dx}(x^{2})$
$\frac{dy}{dx} = 2(\cos x^{2}) \cdot (-\sin x^{2}) \cdot (2x)$
$\frac{dy}{dx} = -4x \sin x^{2} \cos x^{2}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = -2x(2 \sin x^{2} \cos x^{2}) = -2x \sin 2x^{2}$