Tangent and Normal Questions in Gujarati

(N/A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y=7x^3+11$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{dy}{dx} = 21x^2$.
કોઈ બિંદુ $(x_0, y_0)$ આગળ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(x_0, y_0)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x=2$ માટે,સ્પર્શકનો ઢાળ:
$m_1 = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=2} = 21(2)^2 = 21 \times 4 = 84$.
$x=-2$ માટે,સ્પર્શકનો ઢાળ:
$m_2 = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=-2} = 21(-2)^2 = 21 \times 4 = 84$.
અહીં $x=2$ અને $x=-2$ આગળ સ્પર્શકોના ઢાળ સમાન $(m_1 = m_2 = 84)$ હોવાથી,સ્પર્શકો સમાંતર છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y=x^{3}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$ મળે છે.
વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્પર્શકનો ઢાળ તે બિંદુના $y$-યામ જેટલો છે,તેથી $3x^{2} = y$.
બિંદુ $(x, y)$ વક્ર પર હોવાથી,$y = x^{3}$ થાય.
$y$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,$x^{3} = 3x^{2}$ મળે છે.
$x^{3} - 3x^{2} = 0$.
$x^{2}(x - 3) = 0$.
આથી $x = 0$ અથવા $x = 3$ મળે છે.
જો $x = 0$ હોય,તો $y = (0)^{3} = 0$. તેથી,બિંદુ $(0, 0)$ છે.
જો $x = 3$ હોય,તો $y = (3)^{3} = 27$. તેથી,બિંદુ $(3, 27)$ છે.
આમ,જરૂરી બિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(3, 27)$ છે.

(A) વક્રનું સમીકરણ $y=4x^{3}-2x^{5}$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 12x^{2}-10x^{4}$ દ્વારા મળે છે.
$(x, y)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $Y-y = (12x^{2}-10x^{4})(X-x)$ છે.
સ્પર્શક ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,આપણે $X=0$ અને $Y=0$ મૂકીએ:
$-y = (12x^{2}-10x^{4})(-x)$
$y = 12x^{3}-10x^{5}$.
આને મૂળ વક્રના સમીકરણ $y=4x^{3}-2x^{5}$ સાથે સરખાવતા:
$12x^{3}-10x^{5} = 4x^{3}-2x^{5}$
$8x^{3}-8x^{5} = 0$
$8x^{3}(1-x^{2}) = 0$.
આથી $x=0$ અથવા $x^{2}=1$,એટલે કે $x=0, 1, -1$.
$x=0$ માટે,$y=4(0)^{3}-2(0)^{5} = 0$.
$x=1$ માટે,$y=4(1)^{3}-2(1)^{5} = 2$.
$x=-1$ માટે,$y=4(-1)^{3}-2(-1)^{5} = -2$.
આમ,જરૂરી બિંદુઓ $(0,0), (1,2)$ અને $(-1,-2)$ છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $a y^{2}=x^{3}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 a y \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$
$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 a y}$.
બિંદુ $(a m^{2}, a m^{3})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$m_{t} = \left. \frac{d y}{d x} \right|_{(a m^{2}, a m^{3})} = \frac{3(a m^{2})^{2}}{2 a(a m^{3})} = \frac{3 a^{2} m^{4}}{2 a^{2} m^{3}} = \frac{3 m}{2}$.
બિંદુ $(a m^{2}, a m^{3})$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_{n} = -\frac{1}{m_{t}} = -\frac{2}{3 m}$ થાય.
તેથી,અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - a m^{3} = -\frac{2}{3 m}(x - a m^{2})$
$3 m y - 3 a m^{4} = -2 x + 2 a m^{2}$
$2 x + 3 m y - a m^{2}(2 + 3 m^{2}) = 0$.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y=x^{3}+2x+6$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}+2$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = -\frac{1}{3x^{2}+2}$ છે.
આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x+14y+4=0$ છે,જેને $y = -\frac{1}{14}x - \frac{4}{14}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $-\frac{1}{14}$ છે.
અભિલંબ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$-\frac{1}{3x^{2}+2} = -\frac{1}{14} \Rightarrow 3x^{2}+2 = 14 \Rightarrow 3x^{2} = 12 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
$x=2$ માટે,$y = (2)^{3} + 2(2) + 6 = 8 + 4 + 6 = 18$. બિંદુ $(2, 18)$ છે.
$x=-2$ માટે,$y = (-2)^{3} + 2(-2) + 6 = -8 - 4 + 6 = -6$. બિંદુ $(-2, -6)$ છે.
$x=2, y=18$ અને ઢાળ $-\frac{1}{14}$ ધરાવતા અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - 18 = -\frac{1}{14}(x - 2) \Rightarrow 14y - 252 = -x + 2 \Rightarrow x + 14y - 254 = 0$.
$x=-2, y=-6$ અને ઢાળ $-\frac{1}{14}$ ધરાવતા અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - (-6) = -\frac{1}{14}(x - (-2)) \Rightarrow y + 6 = -\frac{1}{14}(x + 2) \Rightarrow 14y + 84 = -x - 2 \Rightarrow x + 14y + 86 = 0$.
આમ,માંગેલ સમીકરણો $x+14y-254=0$ અને $x+14y+86=0$ છે.

(N/A) આપેલા વક્રોના સમીકરણો $x=y^{2}$ અને $xy=k$ છે.
$xy=k$ માં $x=y^{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$y^{2} \cdot y = k \Rightarrow y^{3} = k \Rightarrow y = k^{1/3}$.
તેથી,$x = (k^{1/3})^{2} = k^{2/3}$.
આમ,છેદબિંદુ $(k^{2/3}, k^{1/3})$ છે.
$x=y^{2}$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$1 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
$(k^{2/3}, k^{1/3})$ આગળ $x=y^{2}$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $(m_{1})$ $m_{1} = \frac{1}{2k^{1/3}}$ છે.
$xy=k$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
$(k^{2/3}, k^{1/3})$ આગળ $xy=k$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $(m_{2})$ $m_{2} = -\frac{k^{1/3}}{k^{2/3}} = -\frac{1}{k^{1/3}}$ છે.
બે વક્રો કાટખૂણે છેદે જો તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$m_{1} \cdot m_{2} = -1$
$\left(\frac{1}{2k^{1/3}}\right) \cdot \left(-\frac{1}{k^{1/3}}\right) = -1$
$-\frac{1}{2k^{2/3}} = -1$
$2k^{2/3} = 1$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને મળે છે:
$(2k^{2/3})^{3} = 1^{3} \Rightarrow 8k^{2} = 1$.
આમ,વક્રો કાટખૂણે છેદે છે જો $8k^{2}=1$ હોય.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y=\sqrt{3x-2}$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2\sqrt{3x-2}}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ રેખાનું સમીકરણ $4x-2y+5=0$ છે,જેને $y=2x+\frac{5}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m=2$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$\frac{3}{2\sqrt{3x-2}} = 2$
$\Rightarrow \sqrt{3x-2} = \frac{3}{4}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$3x-2 = \frac{9}{16}$ મળે.
$3x = \frac{9}{16} + 2 = \frac{41}{16}$
$x = \frac{41}{48}$.
હવે,$y$-યામ શોધો: $y = \sqrt{3(\frac{41}{48}) - 2} = \sqrt{\frac{41}{16} - 2} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.
સ્પર્શક બિંદુ $(\frac{41}{48}, \frac{3}{4})$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - \frac{3}{4} = 2(x - \frac{41}{48})$ છે.
$y - \frac{3}{4} = 2x - \frac{41}{24}$.
$24$ વડે ગુણતા: $24y - 18 = 48x - 41$.
$48x - 24y = 41 - 18 = 23$.
આમ,સમીકરણ $48x-24y=23$ છે.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y=2x^{2}+3\sin x$ છે.
પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીને વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^{2}+3\sin x) = 4x + 3\cos x$.
$x=0$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x=0} = 4(0) + 3\cos(0) = 0 + 3(1) = 3$.
અભિલંબનો ઢાળ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી હોય છે:
$\text{અભિલંબનો ઢાળ} = -\frac{1}{\text{સ્પર્શકનો ઢાળ}} = -\frac{1}{3}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = \cos(x + y)$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\sin(x + y)(1 + \frac{dy}{dx})$ મળે.
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલતા,$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)}$ મળે.
રેખા $x + 2y = 0$ નો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ છે.
સ્પર્શકો રેખાને સમાંતર હોવાથી,$\frac{-\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)} = -\frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2\sin(x + y) = 1 + \sin(x + y)$,તેથી $\sin(x + y) = 1$.
આમ,$x + y = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
ત્યારે $y = \cos(x + y) = \cos(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 0$.
$x + y = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ માં $y = 0$ મૂકતા,$x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ મળે.
$-2\pi \leq x \leq 2\pi$ માટે,$x$ ની શક્ય કિંમતો $x = \frac{\pi}{2}$ ($n=0$ માટે) અને $x = -\frac{3\pi}{2}$ ($n=-1$ માટે) છે.
સ્પર્શબિંદુઓ $(\frac{\pi}{2}, 0)$ અને $(-\frac{3\pi}{2}, 0)$ છે.
$(\frac{\pi}{2}, 0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}) \Rightarrow 2x + 4y - \pi = 0$ છે.
$(-\frac{3\pi}{2}, 0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{1}{2}(x + \frac{3\pi}{2}) \Rightarrow 2x + 4y + 3\pi = 0$ છે.

(A) આપેલ વક્રના સમીકરણો: $x=a \cos \theta+a \theta \sin \theta$ અને $y=a \sin \theta-a \theta \cos \theta$.
પ્રથમ,આપણે $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવીએ:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta + a \sin \theta + a \theta \cos \theta = a \theta \cos \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta - a \cos \theta + a \theta \sin \theta = a \theta \sin \theta$
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \theta \sin \theta}{a \theta \cos \theta} = \tan \theta$.
અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{dy/dx} = -\cot \theta = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ થાય.
બિંદુ $(x, y)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $(Y - y) = -\cot \theta (X - x)$ છે:
$Y - (a \sin \theta - a \theta \cos \theta) = -\frac{\cos \theta}{\sin \theta} (X - (a \cos \theta + a \theta \sin \theta))$
$Y \sin \theta - a \sin^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta = -X \cos \theta + a \cos^2 \theta + a \theta \sin \theta \cos \theta$
$X \cos \theta + Y \sin \theta = a(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = a$
$X \cos \theta + Y \sin \theta - a = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $X \cos \theta + Y \sin \theta - a = 0$ નું લંબ અંતર $d$:
$d = \frac{|0 \cdot \cos \theta + 0 \cdot \sin \theta - a|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \frac{|-a|}{\sqrt{1}} = |a|$.
અહીં $|a|$ અચળ હોવાથી,અભિલંબનું ઉગમબિંદુથી અંતર અચળ છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $2y + x^{2} = 3$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2 \frac{dy}{dx} + 2x = 0$
$\frac{dy}{dx} = -x$
બિંદુ $(1,1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,1)} = -1$ થાય.
બિંદુ $(1,1)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_{normal} = \frac{-1}{\text{સ્પર્શકનો ઢાળ}} = \frac{-1}{-1} = 1$ થાય.
બિંદુ $(1,1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_{1} = m_{normal}(x - x_{1})$ મુજબ:
$y - 1 = 1(x - 1)$
$y - 1 = x - 1$
$x - y = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $9y^{2} = x^{3}$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$9(2y) \frac{dy}{dx} = 3x^{2} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}}{6y}$.
બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ પર અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{\left( \frac{dy}{dx} \right)_{(x_{1}, y_{1})}} = -\frac{6y_{1}}{x_{1}^{2}}$ છે.
$(x_{1}, y_{1})$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_{1} = -\frac{6y_{1}}{x_{1}^{2}}(x - x_{1})$ છે.
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ માં ફેરવતા:
$x_{1}^{2}y - x_{1}^{2}y_{1} = -6y_{1}x + 6x_{1}y_{1} \Rightarrow 6y_{1}x + x_{1}^{2}y = y_{1}(6x_{1} + x_{1}^{2})$.
અભિલંબ અક્ષો સાથે સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$-\frac{6y_{1}}{x_{1}^{2}} = -1 \Rightarrow x_{1}^{2} = 6y_{1}$.
$y_{1} = \frac{x_{1}^{2}}{6}$ ને વક્રના સમીકરણ $9y_{1}^{2} = x_{1}^{3}$ માં મૂકતા:
$9 \left( \frac{x_{1}^{2}}{6} \right)^{2} = x_{1}^{3} \Rightarrow 9 \cdot \frac{x_{1}^{4}}{36} = x_{1}^{3} \Rightarrow \frac{x_{1}^{4}}{4} = x_{1}^{3}$.
$x_{1} \neq 0$ હોવાથી,$x_{1} = 4$.
તેથી $y_{1}^{2} = \frac{4^{3}}{9} = \frac{64}{9} \Rightarrow y_{1} = \pm \frac{8}{3}$.
આમ,જરૂરી બિંદુઓ $\left( 4, \pm \frac{8}{3} \right)$ છે.

(A) આપેલ વક્રો $y^{2}=x$ અને $x^{2}=y$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$y=x^{2}$ ને $y^{2}=x$ માં મૂકતા,$(x^{2})^{2}=x \Rightarrow x^{4}-x=0$ મળે છે.
$x(x^{3}-1)=0$,તેથી $x=0$ અથવા $x=1$.
$x=0$ માટે $y=0$ અને $x=1$ માટે $y=1$. છેદબિંદુઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ છે.
$y^{2}=x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx}=1$,તેથી $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}$.
$x^{2}=y$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા $\frac{dy}{dx}=2x$.
બિંદુ $(0,0)$ પર,$y^{2}=x$ નો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત (શિરોલંબ) છે અને $x^{2}=y$ નો ઢાળ $0$ (ક્ષિતિજ સમાંતર) છે. તેથી,છેદકોણ $\frac{\pi}{2}$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ પર,$y^{2}=x$ નો ઢાળ $m_{1} = \frac{1}{2(1)}=\frac{1}{2}$ અને $x^{2}=y$ નો ઢાળ $m_{2} = 2(1)=2$ છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}| = |\frac{2-1/2}{1+(2)(1/2)}| = |\frac{3/2}{2}| = \frac{3}{4}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(\frac{3}{4})$.
છેદકોણ $\frac{\pi}{2}$ અને $\tan^{-1}(\frac{3}{4})$ છે.

(A) ધારો કે વક્રો $(x_{1}, y_{1})$ બિંદુએ છેદે છે.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $\frac{2x}{a^{2}}-\frac{2y}{b^{2}}\frac{dy}{dx}=0$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{b^{2}x}{a^{2}y}$.
$(x_{1}, y_{1})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{1} = \frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}$ છે.
વક્ર $xy=c^{2}$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $x\frac{dy}{dx}+y=0$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
$(x_{1}, y_{1})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{2} = -\frac{y_{1}}{x_{1}}$ છે.
લંબરૂપે છેદવા માટે,$m_{1} \times m_{2} = -1$ હોવું જોઈએ.
ઢાળની કિંમતો મૂકતા,$\left(\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}\right) \times \left(-\frac{y_{1}}{x_{1}}\right) = -1$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $-\frac{b^{2}}{a^{2}} = -1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a^{2} = b^{2}$ અથવા $a^{2}-b^{2}=0$.

(A) આપેલ વક્ર $y = \cos(x+y)$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\sin(x+y) \left(1 + \frac{dy}{dx}\right)$ મળે.
ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} (1 + \sin(x+y)) = -\sin(x+y)$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)}$.
સ્પર્શક રેખા $x+2y=0$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
વિકલિતને ઢાળ સાથે સરખાવતા: $-\frac{\sin(x+y)}{1 + \sin(x+y)} = -\frac{1}{2} \Rightarrow 2\sin(x+y) = 1 + \sin(x+y) \Rightarrow \sin(x+y) = 1$.
$\sin(x+y) = 1$ હોવાથી,$\cos(x+y) = 0$ થાય. $y = \cos(x+y)$ આપેલ હોવાથી,$y = 0$ મળે.
$y=0$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = \cos(x+0) \Rightarrow \cos(x) = 0$.
$-2\pi \leq x \leq 2\pi$ માટે,ઉકેલો $x = \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3\pi}{2}$ છે.
$\sin(x+y) = 1$ ની ચકાસણી કરતા: $x = \frac{\pi}{2}, y=0$ માટે,$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ (માન્ય). $x = -\frac{3\pi}{2}, y=0$ માટે,$\sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$ (માન્ય). અન્ય બિંદુઓ અમાન્ય છે.
સ્પર્શબિંદુઓ $(\frac{\pi}{2}, 0)$ અને $(-\frac{3\pi}{2}, 0)$ છે.
$(\frac{\pi}{2}, 0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ: $y - 0 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}) \Rightarrow 2x + 4y - \pi = 0$.
$(-\frac{3\pi}{2}, 0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ: $y - 0 = -\frac{1}{2}(x + \frac{3\pi}{2}) \Rightarrow 2x + 4y + 3\pi = 0$.

(N/A) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો:
$x = 3 \cos \theta - \cos^3 \theta$
$y = 3 \sin \theta - \sin^3 \theta$
$\theta$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = -3 \sin \theta + 3 \cos^2 \theta \sin \theta = -3 \sin \theta (1 - \cos^2 \theta) = -3 \sin^3 \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 3 \cos \theta - 3 \sin^2 \theta \cos \theta = 3 \cos \theta (1 - \sin^2 \theta) = 3 \cos^3 \theta$
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{3 \cos^3 \theta}{-3 \sin^3 \theta} = -\cot^3 \theta$
અભિલંબનો ઢાળ:
$m_n = -\frac{1}{dy/dx} = \frac{\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta}$
બિંદુ $(x, y)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - (3 \sin \theta - \sin^3 \theta) = \frac{\sin^3 \theta}{\cos^3 \theta} (x - (3 \cos \theta - \cos^3 \theta))$
$\cos^3 \theta$ વડે ગુણતા:
$y \cos^3 \theta - 3 \sin \theta \cos^3 \theta + \sin^3 \theta \cos^3 \theta = x \sin^3 \theta - 3 \cos \theta \sin^3 \theta + \sin^3 \theta \cos^3 \theta$
સાદુરૂપ આપતા:
$y \cos^3 \theta - x \sin^3 \theta = 3 \sin \theta \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \sin^3 \theta$
$y \cos^3 \theta - x \sin^3 \theta = 3 \sin \theta \cos \theta (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ અને $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y \cos^3 \theta - x \sin^3 \theta = \frac{3}{2} \sin 2\theta \cos 2\theta = \frac{3}{4} \sin 4\theta$
આમ,$4(y \cos^3 \theta - x \sin^3 \theta) = 3 \sin 4\theta$.

(A) વક્રનું સમીકરણ $y = b \cdot e^{-x / a}$ આપેલ છે.
વક્ર $y$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ લઈએ છીએ.
વક્રના સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $y = b \cdot e^{0} = b \cdot 1 = b$ મળે છે.
આમ,છેદબિંદુ $(0, b)$ છે.
હવે,$(0, b)$ આગળ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = b \cdot e^{-x / a} \cdot \left(-\frac{1}{a}\right) = -\frac{b}{a} e^{-x / a}$.
બિંદુ $(0, b)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, b)} = -\frac{b}{a} e^{0} = -\frac{b}{a}$ થાય છે.
હવે,આપેલી રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ નો ઢાળ શોધીએ.
રેખાના સમીકરણને $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં લખતા,$\frac{y}{b} = -\frac{x}{a} + 1$,એટલે કે $y = -\frac{b}{a}x + b$ મળે છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{b}{a}$ છે.
વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ અને રેખાનો ઢાળ સમાન હોવાથી અને બિંદુ $(0, b)$ વક્ર અને રેખા બંને પર હોવાથી,રેખા વક્રને $y$-અક્ષ પરના છેદબિંદુએ સ્પર્શે છે.

(D) વક્રનું આપેલ સમીકરણ $3x^{2}-y^{2}=8$ $(i)$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $6x - 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{6x}{2y} = \frac{3x}{y}$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{1} = \frac{3x}{y}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_{2} = -\frac{1}{m_{1}} = -\frac{y}{3x}$ $(ii)$ છે.
અભિલંબ એ રેખા $x+3y=4$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ.
રેખા $x+3y=4$ માટે,$y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$,તેથી ઢાળ $m_{3} = -\frac{1}{3}$ છે.
$m_{2} = m_{3}$ લેતા,આપણને $-\frac{y}{3x} = -\frac{1}{3} \Rightarrow y = x$ $(iii)$ મળે છે.
$y=x$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$3x^{2} - x^{2} = 8 \Rightarrow 2x^{2} = 8 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ મળે છે.
જો $x=2$,તો $y=2$. જો $x=-2$,તો $y=-2$. બિંદુઓ $(2, 2)$ અને $(-2, -2)$ છે.
આ બિંદુઓ પર અભિલંબનો ઢાળ $m_{2} = -\frac{y}{3x} = -\frac{2}{3(2)} = -\frac{1}{3}$ છે.
$(2, 2)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 2) \Rightarrow 3y - 6 = -x + 2 \Rightarrow x + 3y = 8$ છે.
$(-2, -2)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ $y + 2 = -\frac{1}{3}(x + 2) \Rightarrow 3y + 6 = -x - 2 \Rightarrow x + 3y = -8$ છે.
આમ,જરૂરી સમીકરણો $x + 3y = \pm 8$ છે.

(B) આપેલ વક્ર $y(x)=\int_{0}^{x}(2t^{2}-15t+10)dt$ છે.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$x=a$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $y'(a) = 2a^{2}-15a+10$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{y'(a)} = -\frac{1}{2a^{2}-15a+10}$ છે.
આપેલ રેખા $x+3y=-5$ છે,જેને $y=-\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $-\frac{1}{3}$ છે.
અભિલંબ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન થાય:
$-\frac{1}{2a^{2}-15a+10} = -\frac{1}{3} \Rightarrow 2a^{2}-15a+10 = 3$.
$2a^{2}-15a+7 = 0 \Rightarrow (2a-1)(a-7) = 0$.
$a>1$ હોવાથી,$a=7$ મળે.
હવે,$b = y(7) = \int_{0}^{7}(2t^{2}-15t+10)dt = [\frac{2}{3}t^{3} - \frac{15}{2}t^{2} + 10t]_{0}^{7}$ ની ગણતરી કરીએ.
$b = \frac{2}{3}(343) - \frac{15}{2}(49) + 10(7) = \frac{686}{3} - \frac{735}{2} + 70 = \frac{1372 - 2205 + 420}{6} = -\frac{413}{6}$.
તેથી,$6b = -413$.
$|a+6b| = |7 - 413| = |-406| = 406$.

(D) આપેલ વક્રોના સમીકરણો $2x = y^2 \dots(i)$ અને $2xy = k \dots(ii)$ છે.
$(ii)$ પરથી,$y = \frac{k}{2x}$. આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$2x = (\frac{k}{2x})^2 \Rightarrow 2x = \frac{k^2}{4x^2} \Rightarrow 8x^3 = k^2 \Rightarrow x = \frac{k^{2/3}}{2}$.
તેથી $y^2 = 2x = k^{2/3} \Rightarrow y = k^{1/3}$.
છેદબિંદુ $(\frac{k^{2/3}}{2}, k^{1/3})$ છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$. ધારો કે $m_1 = \frac{1}{k^{1/3}}$.
$(ii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2y + 2x \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
છેદબિંદુ પર,$m_2 = -\frac{k^{1/3}}{k^{2/3}/2} = -\frac{2}{k^{1/3}}$.
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,$m_1 \cdot m_2 = -1$.
$\frac{1}{k^{1/3}} \cdot (-\frac{2}{k^{1/3}}) = -1 \Rightarrow -\frac{2}{k^{2/3}} = -1 \Rightarrow k^{2/3} = 2$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$k^2 = 8$.

(A) આપેલ વક્રોના સમીકરણો $xy=4 \dots (i)$ અને $x^{2}+y^{2}=8 \dots (ii)$ છે.
$(i)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$. ધારો કે આ ઢાળ $m_{1} = -\frac{y}{x}$ છે.
$(ii)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. ધારો કે આ ઢાળ $m_{2} = -\frac{x}{y}$ છે.
વક્રો એકબીજાને સ્પર્શે તે માટે,તેઓ છેદવા જોઈએ અને છેદબિંદુ પર તેમનો ઢાળ સમાન હોવો જોઈએ. $m_{1} = m_{2}$ લેતા,$-\frac{y}{x} = -\frac{x}{y} \Rightarrow y^{2} = x^{2}$ મળે છે.
$x^{2} = y^{2}$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $y^{2} + y^{2} = 8 \Rightarrow 2y^{2} = 8 \Rightarrow y^{2} = 4 \Rightarrow y = \pm 2$.
જો $y = 2$,તો $x = \frac{4}{2} = 2$. જો $y = -2$,તો $x = \frac{4}{-2} = -2$. છેદબિંદુઓ $(2, 2)$ અને $(-2, -2)$ છે.
બિંદુ $(2, 2)$ પર: $m_{1} = -\frac{2}{2} = -1$ અને $m_{2} = -\frac{2}{2} = -1$. $m_{1} = m_{2}$ હોવાથી,વક્રો $(2, 2)$ પર સ્પર્શે છે.
બિંદુ $(-2, -2)$ પર: $m_{1} = -\frac{-2}{-2} = -1$ અને $m_{2} = -\frac{-2}{-2} = -1$. $m_{1} = m_{2}$ હોવાથી,વક્રો $(-2, -2)$ પર સ્પર્શે છે.
આમ,વક્રો એકબીજાને સ્પર્શે છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $\sqrt{x}+\sqrt{y}=4$ $(i)$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$
સ્પર્શક અક્ષો સાથે સમાન નમેલો હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $\pm 1$ હોવો જોઈએ. તેથી,$\frac{dy}{dx} = \pm 1$.
કિસ્સો $1$: $-\sqrt{\frac{y}{x}} = 1 \Rightarrow \sqrt{\frac{y}{x}} = -1$ (શક્ય નથી કારણ કે વર્ગમૂળ ઋણ ન હોઈ શકે).
કિસ્સો $2$: $-\sqrt{\frac{y}{x}} = -1 \Rightarrow \sqrt{\frac{y}{x}} = 1 \Rightarrow y = x$.
સમીકરણ $(i)$ માં $y = x$ મૂકતા:
$\sqrt{x} + \sqrt{x} = 4$
$2\sqrt{x} = 4$
$\sqrt{x} = 2$
$x = 4$.
$y = x$ હોવાથી,$y = 4$ મળે.
તેથી,માંગેલ યામ $(4, 4)$ છે.

(A) આપેલ વક્રો $y=4-x^{2} \dots(i)$ અને $y=x^{2} \dots(ii)$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $x^{2} = 4 - x^{2} \Rightarrow 2x^{2} = 4 \Rightarrow x^{2} = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$.
$x = \pm\sqrt{2}$ માટે,$y = 2$. તેથી,છેદબિંદુઓ $(\sqrt{2}, 2)$ અને $(-\sqrt{2}, 2)$ છે.
હવે,આ બિંદુઓ પર સ્પર્શકોના ઢાળ શોધો.
વક્ર $(i)$ માટે,$\frac{dy}{dx} = -2x$. $x = \sqrt{2}$ આગળ,$m_{1} = -2\sqrt{2}$.
વક્ર $(ii)$ માટે,$\frac{dy}{dx} = 2x$. $x = \sqrt{2}$ આગળ,$m_{2} = 2\sqrt{2}$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}} \right|$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{-2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{1 + (-2\sqrt{2})(2\sqrt{2})} \right| = \left| \frac{-4\sqrt{2}}{1 - 8} \right| = \left| \frac{-4\sqrt{2}}{-7} \right| = \frac{4\sqrt{2}}{7}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{4\sqrt{2}}{7}\right)$.

(C) $\left(0, \frac{3}{2}\right)$ અને $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{2 - \frac{3}{2}}{\frac{1}{2} - 0} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$ છે.
બિંદુ $(a, b)$ આગળનો સ્પર્શક આ રેખાને સમાંતર હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(a, b)} = 1$ થાય.
વક્ર $y = x + \sin y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = 1 + \cos y \cdot \frac{dy}{dx}$ મળે.
બિંદુ $(a, b)$ અને ઢાળ $1$ મૂકતા,$1 = 1 + \cos b \cdot (1)$ મળે.
આથી $\cos b = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\sin b = \pm 1$.
બિંદુ $(a, b)$ વક્ર પર હોવાથી,$b = a + \sin b$ થાય.
તેથી,$b - a = \sin b$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|b - a| = |\sin b| = 1$ મળે.

(D) વક્ર $y=x^{2}+7x+2$ પરનું બિંદુ $P$ જે રેખા $y=3x-3$ ની સૌથી નજીક છે,તે બિંદુ છે જ્યાં વક્રનો સ્પર્શક આપેલી રેખાને સમાંતર હોય.
$1$. વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{2}+7x+2) = 2x+7$
$2$. સ્પર્શક રેખા $y=3x-3$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો એટલે કે $3$ હોવો જોઈએ:
$2x+7 = 3$
$2x = -4$
$x = -2$
$3$. $x=-2$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકીને $P$ નો $y$-યામ શોધો:
$y = (-2)^{2} + 7(-2) + 2 = 4 - 14 + 2 = -8$
તેથી,બિંદુ $P$ એ $(-2, -8)$ છે.
$4$. $P$ આગળનો અભિલંબ સ્પર્શકને લંબ હોય છે. સ્પર્શકનો ઢાળ $3$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{3}$ થશે.
$5$. $P(-2, -8)$ બિંદુમાંથી પસાર થતા અને $-\frac{1}{3}$ ઢાળ ધરાવતા અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - (-8) = -\frac{1}{3}(x - (-2))$
$y + 8 = -\frac{1}{3}(x + 2)$
$3(y + 8) = -(x + 2)$
$3y + 24 = -x - 2$
$x + 3y + 26 = 0$

(B) વક્ર $y=e^{x}$ માટે,બિંદુ $(c, e^{c})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = e^{x} \implies m_{t} = e^{c}$ છે.
બિંદુ $(c, e^{c})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - e^{c} = e^{c}(x - c)$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$y=0$ લેતા: $-e^{c} = e^{c}(x - c) \implies -1 = x - c \implies x = c - 1$.
પરવલય $y^{2}=4x$ માટે,વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 4 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ મળે.
બિંદુ $(1,2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{2}{2} = 1$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_{n} = -\frac{1}{m} = -1$ થશે.
બિંદુ $(1,2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = -1(x - 1) \implies y - 2 = -x + 1 \implies x + y = 3$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$y=0$ લેતા: $x = 3$.
બંને છેદબિંદુઓ સમાન હોવાથી,$x$-યામ સરખાવતા: $c - 1 = 3 \implies c = 4$.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $x^{4} e^{y}+2 \sqrt{y+1}=3$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા:
$x^{4} e^{y} y^{\prime} + 4x^{3} e^{y} + \frac{2 y^{\prime}}{2 \sqrt{y+1}} = 0$.
બિંદુ $P(1,0)$ આગળ,$x=1$ અને $y=0$ મૂકતા:
$(1)^{4} e^{0} y^{\prime} + 4(1)^{3} e^{0} + \frac{y^{\prime}}{\sqrt{0+1}} = 0$.
$y^{\prime} + 4 + y^{\prime} = 0$.
$2y^{\prime} = -4$,જે આપણને $y^{\prime} = -2$ આપે છે.
બિંદુ $P(1,0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ જેનો ઢાળ $m = -2$ છે:
$y - 0 = -2(x - 1)$.
$y = -2x + 2$,અથવા $2x + y = 2$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(-2, 6)$ માટે,$2(-2) + 6 = -4 + 6 = 2$.
આમ,બિંદુ $(-2, 6)$ સ્પર્શક પર આવેલું છે.

(D) વક્રનું સમીકરણ $y = x^{2}-3x+2$ છે.
વક્ર $x$-અક્ષને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓ મેળવવા માટે,$y = 0$ લેતા:
$x^{2}-3x+2 = 0$
$(x-1)(x-2) = 0$
તેથી,છેદબિંદુઓ $A(1, 0)$ અને $B(2, 0)$ છે.
વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 2x - 3$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $A(1, 0)$ પર,ઢાળ $m_1 = 2(1) - 3 = -1$ છે.
બિંદુ $B(2, 0)$ પર,ઢાળ $m_2 = 2(2) - 3 = 1$ છે.
રેખા $x+y=a$ નો ઢાળ $-1$ છે. તે વક્રને $A(1, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી બિંદુના યામ રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$1 + 0 = a \implies a = 1$.
રેખા $x-y=b$ નો ઢાળ $1$ છે. તે વક્રને $B(2, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી બિંદુના યામ રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 - 0 = b \implies b = 2$.
તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{1}{2} = 0.50$.

(C) બિંદુઓ $(1, 0)$ અને $(e, e)$ ને જોડતા રેખાખંડનો ઢાળ $m = \frac{e - 0}{e - 1} = \frac{e}{e - 1}$ થાય.
વિધેય $f(x) = x \log_{e} x$ નું વિકલન $f'(x) = \log_{e} x + 1$ થાય.
સ્પર્શક રેખાખંડને સમાંતર હોવાથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $f'(c) = m$ થાય:
$f'(c) = \log_{e} c + 1 = \frac{e}{e - 1}$.
$\log_{e} c$ માટે ઉકેલતા:
$\log_{e} c = \frac{e}{e - 1} - 1 = \frac{e - (e - 1)}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}$.
તેથી,$c = e^{\frac{1}{e - 1}}$.

(A) વક્ર $y=x^{3}$ માટે $P(t, t^{3})$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$ છે.
$x=t$ આગળ ઢાળ $3t^{2}$ થાય.
$P(t, t^{3})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - t^{3} = 3t^{2}(x - t)$ છે.
$y=x^{3}$ સાથે છેદબિંદુ શોધવા માટે,$y=x^{3}$ ને સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^{3} - t^{3} = 3t^{2}(x - t)$.
$(x - t)(x^{2} + xt + t^{2}) = 3t^{2}(x - t)$.
$Q$ બિંદુ માટે $x \neq t$ હોવાથી,$x^{2} + xt + t^{2} = 3t^{2}$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x^{2} + xt - 2t^{2} = 0$ થાય.
અવયવ પાડતા $(x - t)(x + 2t) = 0$ મળે,તેથી $x = -2t$.
$Q$ ના યામ $(-2t, -8t^{3})$ છે.
$PQ$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુનો યામ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા:
$y = \frac{1 \times (-8t^{3}) + 2 \times (t^{3})}{1 + 2} = \frac{-8t^{3} + 2t^{3}}{3} = \frac{-6t^{3}}{3} = -2t^{3}$.

(C) આપેલ વક્ર $y = ax^{2} + bx + c$ છે.
વક્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,સમીકરણમાં $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકતા: $0 = a(0)^{2} + b(0) + c$,જે આપણને $c = 0$ આપે છે.
વક્રનું વિકલન $\frac{dy}{dx} = 2ax + b$ થાય.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર સ્પર્શક $y = x$ છે,જેનો ઢાળ $1$ છે.
તેથી,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0,0)} = 2a(0) + b = 1$,જે આપણને $b = 1$ આપે છે.
વક્ર બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,સમીકરણમાં $x = 1, y = 2, b = 1, c = 0$ મૂકતા: $2 = a(1)^{2} + 1(1) + 0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2 = a + 1$,તેથી $a = 1$ મળે છે.
આમ,$a = 1, b = 1, c = 0$ એ શક્ય કિંમતો છે.

(C) આપેલ વક્રો $x=y^{4}$ અને $xy=k$ છે.
છેદબિંદુ માટે,$x=y^{4}$ ને $xy=k$ માં મૂકતા:
$y^{4} \cdot y = k \Rightarrow y^{5} = k \ldots(1)$.
હવે,$x=y^{4}$ નું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$1 = 4y^{3} \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4y^{3}}$.
ત્યારબાદ,$xy=k$ નું $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$y + x \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
$x = \frac{k}{y}$ હોવાથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{k/y} = -\frac{y^{2}}{k}$.
વક્રો કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\left(\frac{1}{4y^{3}}\right) \cdot \left(-\frac{y^{2}}{k}\right) = -1$.
$\Rightarrow \frac{1}{4yk} = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{4k}$.
$y = \frac{1}{4k}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{1}{4k}\right)^{5} = k$.
$\Rightarrow \frac{1}{(4k)^{5}} = k$.
$\Rightarrow (4k)^{6} = 4$.

(D) આપેલ વક્ર $y = x^{3} + 3x^{2} + 5$ છે.
ધારો કે સ્પર્શક બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3x^{2} + 6x$ છે.
તેથી,$(x_{1}, y_{1})$ આગળ ઢાળ $m = 3x_{1}^{2} + 6x_{1}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - y_{1} = (3x_{1}^{2} + 6x_{1})(x - x_{1})$ છે.
સ્પર્શક ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$0 - y_{1} = (3x_{1}^{2} + 6x_{1})(0 - x_{1})$
$-y_{1} = -3x_{1}^{3} - 6x_{1}^{2} \implies y_{1} = 3x_{1}^{3} + 6x_{1}^{2} \quad (1)$.
બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ વક્ર $y = x^{3} + 3x^{2} + 5$ પર આવેલું હોવાથી:
$y_{1} = x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2} + 5 \quad (2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$3x_{1}^{3} + 6x_{1}^{2} = x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2} + 5$
$2x_{1}^{3} + 3x_{1}^{2} - 5 = 0$.
અહીં $x_{1} = 1$ એ ઉકેલ છે.
તેથી,$y_{1} = 3(1)^{3} + 6(1)^{2} = 9$.
આમ,બિંદુ $(1, 9)$ મળે છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\frac{1}{3} - (9)^{2} = \frac{1}{3} - 81 \neq 2$.
તેથી,$(1, 9)$ એ વક્ર $\frac{x}{3} - y^{2} = 2$ પર આવેલું નથી.

(C) વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x = 12(t + \sin t \cos t)$ અને $y = 12(1 + \sin t)^2$ આપેલ છે.
પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = 12(1 + \cos^2 t - \sin^2 t) = 12(1 + \cos 2t) = 12(2 \cos^2 t) = 24 \cos^2 t$.
$\frac{dy}{dt} = 12 \times 2(1 + \sin t) \cos t = 24(1 + \sin t) \cos t$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{24(1 + \sin t) \cos t}{24 \cos^2 t} = \frac{1 + \sin t}{\cos t}$ થાય.
સ્પર્શક ધન $x$-અક્ષ સાથે $\frac{\pi}{3}$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી ઢાળ $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ થાય.
તેથી,$\frac{1 + \sin t}{\cos t} = \sqrt{3} \Rightarrow 1 + \sin t = \sqrt{3} \cos t$.
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{2} \sin t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos t = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin(t + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ મળે.
$0 < t < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\frac{\pi}{3} < t + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6}$ થાય.
આમ,$t + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} \Rightarrow t = \frac{\pi}{6}$.
હવે,$y$ ના સમીકરણમાં $t = \frac{\pi}{6}$ મૂકતા:
$y_{0} = 12(1 + \sin(\frac{\pi}{6}))^2 = 12(1 + \frac{1}{2})^2 = 12(\frac{3}{2})^2 = 12 \times \frac{9}{4} = 27$.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $\left(\frac{x}{a}\right)^n + \left(\frac{y}{b}\right)^n = 2$.
બિંદુ $(a, b)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$n \left(\frac{x}{a}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n \left(\frac{y}{b}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(a, b)$ પર,$\frac{x}{a} = 1$ અને $\frac{y}{b} = 1$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{a} + n(1)^{n-1} \cdot \frac{1}{b} \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{n}{a} + \frac{n}{b} \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{b}{a}$.
બિંદુ $(a, b)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$ છે.
$y - b = -\frac{b}{a}x + b \implies \frac{b}{a}x + y = 2b$.
$b$ વડે ભાગતા: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2$.
આ સમીકરણ $n$ થી સ્વતંત્ર છે અને તમામ $n \in N$ માટે સાચું છે.
તેથી,$S = N$.

(A) વક્ર $y=2x^2+x+2$ ના કોઈપણ બિંદુ $(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 4x+1$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $P(h, k)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = 4h+1$ છે.
બિંદુ $P$ આગળ અભિલંબ રેખા $\ell$ નો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{4h+1}$ છે.
બિંદુ $P(h, k)$ માંથી પસાર થતી અભિલંબ રેખા $\ell$ નું સમીકરણ $y-k = -\frac{1}{4h+1}(x-h)$ છે.
બિંદુ $Q(6, 4)$ રેખા $\ell$ પર હોવાથી,$4-k = -\frac{1}{4h+1}(6-h)$ મળે.
$k = 2h^2+h+2$ મુકતા,$4-(2h^2+h+2) = -\frac{6-h}{4h+1}$ મળે.
$(2-h-2h^2)(4h+1) = h-6$.
$8h+2-4h^2-h-8h^3-2h^2 = h-6$.
$-8h^3-6h^2+7h+2 = h-6$.
$8h^3+6h^2-6h-8 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$4h^3+3h^2-3h-4 = 0$.
$(h-1)(4h^2+7h+4) = 0$.
$4h^2+7h+4$ ના કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી (વિવેચક $D = 49-64 < 0$),તેથી $h=1$.
તેથી $k = 2(1)^2+1+2 = 5$. આમ $P$ એ $(1, 5)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$P(1, 5)$,અને $Q(6, 4)$ ધરાવતા $\triangle OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(5-4) + 1(4-0) + 6(0-5)| = \frac{1}{2} |4 - 30| = \frac{1}{2} |-26| = 13$.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $4x^{3}-3xy^{2}+6x^{2}-5xy-8y^{2}+9x+14=0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$12x^{2} - 3y^{2} - 6xyy' + 12x - 5y - 5xy' - 16yy' + 9 = 0$.
બિંદુ $(-2, 3)$ મૂકતા:
$12(-2)^{2} - 3(3)^{2} - 6(-2)(3)y' + 12(-2) - 5(3) - 5(-2)y' - 16(3)y' + 9 = 0$.
$48 - 27 + 36y' - 24 - 15 + 10y' - 48y' + 9 = 0$.
$-9 - 2y' = 0 \implies y' = -\frac{9}{2}$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{T} = -\frac{9}{2}$,અભિલંબનો ઢાળ $m_{N} = \frac{2}{9}$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ: $y - 3 = -\frac{9}{2}(x + 2) \implies y = -\frac{9}{2}x - 6$. $y=0$ માટે,$x = -\frac{4}{3}$.
અભિલંબનું સમીકરણ: $y - 3 = \frac{2}{9}(x + 2) \implies y = \frac{2}{9}x + \frac{31}{9}$. $y=0$ માટે,$x = -\frac{31}{2}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times |x_{T} - x_{N}| \times |y_{P}| = \frac{1}{2} \times |-\frac{4}{3} - (-\frac{31}{2})| \times 3 = \frac{3}{2} \times |-\frac{8}{6} + \frac{93}{6}| = \frac{3}{2} \times \frac{85}{6} = \frac{85}{4}$.
$8A = 8 \times \frac{85}{4} = 170$.

(C) આપેલ છે કે $A_{1} = 2A_{2}$.
આલેખ પરથી,$(x, y)$ યામ દ્વારા બનતા લંબચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A_{1} + A_{2} = xy - (4 \times 2) = xy - 8$ છે.
$A_{1} = 2A_{2}$ હોવાથી,$A_{1} + \frac{1}{2}A_{1} = xy - 8$,જે સૂચવે છે કે $\frac{3}{2}A_{1} = xy - 8$,તેથી $A_{1} = \frac{2}{3}xy - \frac{16}{3}$.
વળી,$A_{1} = \int_{4}^{x} y \, dx$. લેબનિઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y = \frac{2}{3}(y + x \frac{dy}{dx}) \implies 3y = 2y + 2x \frac{dy}{dx} \implies y = 2x \frac{dy}{dx}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{2x} \implies \ln y = \frac{1}{2} \ln x + C \implies y^2 = cx$.
વક્ર $(4, 2)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$2^2 = c(4) \implies c = 1$. આમ,$y^2 = x$.
રેખા $2x - 12y = 15$ છે,અથવા $y = \frac{1}{6}x - \frac{15}{12}$. તેનો ઢાળ $m = \frac{1}{6}$ છે.
અભિલંબ આ રેખાને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $m_n = -6$ છે.
$y^2 = x$ માટે,$2y \frac{dy}{dx} = 1 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{m_n} = \frac{1}{6}$ લેતા,આપણને $\frac{1}{2y} = \frac{1}{6} \implies y = 3$ મળે છે. $y^2 = x$ હોવાથી,$x = 9$.
સ્પર્શબિંદુ $(9, 3)$ છે. અભિલંબનું સમીકરણ $y - 3 = -6(x - 9) \implies y = -6x + 57$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા: $(10, 4)$ માટે,$4 = -6(10) + 57 = -3$,જે ખોટું છે. આમ,અભિલંબ $(10, 4)$ માંથી પસાર થતો નથી.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^{5}-9xy+2x=0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$5y^{4}\frac{dy}{dx} - 9(y + x\frac{dy}{dx}) + 2 = 0$.
$\frac{dy}{dx}$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx}(5y^{4} - 9x) = 9y - 2$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{9y - 2}{5y^{4} - 9x}$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે $\frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે $9y - 2 = 0$,તેથી $y = \frac{2}{9}$.
મૂળ સમીકરણમાં $y = \frac{2}{9}$ મૂકતા:
$(\frac{2}{9})^{5} - 9x(\frac{2}{9}) + 2x = 0
\Rightarrow (\frac{2}{9})^{5} - 2x + 2x = 0
\Rightarrow (\frac{2}{9})^{5} = 0$,જે અશક્ય છે.
આમ,એવા કોઈ બિંદુઓ નથી જ્યાં સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય,તેથી $M = 0$.
સ્પર્શક $y$-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે છેદ $5y^{4} - 9x = 0$,તેથી $x = \frac{5y^{4}}{9}$.
આને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^{5} - 9y(\frac{5y^{4}}{9}) + 2(\frac{5y^{4}}{9}) = 0
\Rightarrow y^{5} - 5y^{5} + \frac{10y^{4}}{9} = 0
\Rightarrow -4y^{5} + \frac{10y^{4}}{9} = 0
\Rightarrow y^{4}(-4y + \frac{10}{9}) = 0$.
આનાથી $y = 0$ અથવા $y = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ મળે છે.
જો $y = 0$,તો $x = 0$. જો $y = \frac{5}{18}$,તો $x = \frac{5}{9}(\frac{5}{18})^{4}$.
આમ,$2$ બિંદુઓ છે જ્યાં સ્પર્શક $y$-અક્ષને સમાંતર છે,તેથી $N = 2$.
તેથી,$M + N = 0 + 2 = 2$.

(C) વક્રનું સમીકરણ $y=5x^{2}+2x-25$ બિંદુ $P(2, -1)$ આગળ છે.
પ્રથમ,વિકલન કરીને $P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધો: $y' = 10x + 2$.
$x=2$ આગળ,ઢાળ $m = 10(2) + 2 = 22$ મળે છે.
બિંદુ $P(2, -1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (-1) = 22(x - 2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 22x - 45$ થાય છે.
હવે,વક્ર $y=x^{3}-x^{2}+x$ ને બિંદુ $(a, b)$ આગળ ધ્યાનમાં લો.
$(a, b)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}-2x+1$ દ્વારા મળે છે.
$x=a$ આગળ,ઢાળ $3a^{2}-2a+1$ છે.
આ સ્પર્શક અગાઉ શોધેલા સ્પર્શક સમાન હોવાથી,તેનો ઢાળ $22$ હોવો જોઈએ: $3a^{2}-2a+1 = 22$.
આનાથી દ્વિઘાત સમીકરણ $3a^{2}-2a-21 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(3a+7)(a-3) = 0$,તેથી $a=3$ અથવા $a=-7/3$.
$a=3$ માટે,બિંદુ $(a, b)$ એ $y=x^{3}-x^{2}+x$ પર આવેલું છે,તેથી $b = 3^{3}-3^{2}+3 = 27-9+3 = 21$.
તેથી $|2a+9b| = |2(3)+9(21)| = |6+189| = 195$.
$a=-7/3$ માટે,સ્પર્શક રેખા સમાંતર હશે પરંતુ $y=22x-45$ રેખા સાથે એકરૂપ નહીં હોય,તેથી આ કિંમત નકારી શકાય.
આમ,જવાબ $195$ છે.

(A) આપેલ વક્ર $y = \frac{x-a}{(x+b)(x-2)}$ છે.
બિંદુ $(1, -3)$ વક્ર પર હોવાથી,$-3 = \frac{1-a}{(1+b)(1-2)}$.
$-3 = \frac{1-a}{-(1+b)} \implies 3(1+b) = 1-a \implies 1-a = 3+3b \implies a+3b = -2$ $(1)$.
અભિલંબનું સમીકરણ $x - 4y = 13$ છે,જે $y = \frac{1}{4}x - \frac{13}{4}$ તરીકે લખી શકાય.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = \frac{1}{4}$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{1}{m_n} = -4$ થાય.
હવે,$y = \frac{x-a}{x^2 + (b-2)x - 2b}$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 + (b-2)x - 2b)(1) - (x-a)(2x + b-2)}{(x^2 + (b-2)x - 2b)^2}$.
$x=1$ આગળ,$\frac{dy}{dx} = -4 = \frac{(1+b-2-2b) - (1-a)(2+b-2)}{(1+b-2-2b)^2} = \frac{-1-b - (1-a)b}{(-1-b)^2}$.
$1-a = 3(1+b)$ હોવાથી,કિંમત મૂકતા: $-4 = \frac{-(1+b) - 3(1+b)b}{(1+b)^2} = \frac{-(1+b)(1+3b)}{(1+b)^2} = \frac{-(1+3b)}{1+b}$.
$-4(1+b) = -1-3b \implies -4-4b = -1-3b \implies b = -3$.
$b = -3$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $a + 3(-3) = -2 \implies a - 9 = -2 \implies a = 7$.
તેથી,$a+b = 7 + (-3) = 4$.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x+90y+2=0$ છે,જેને $y=-\frac{1}{90}x-\frac{2}{90}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m=-\frac{1}{90}$ છે.
અભિલંબ રેખા આ રેખાને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબનો ઢાળ $(m_N)$ $-\frac{1}{90}$ હોવો જોઈએ.
સ્પર્શકનો ઢાળ $(m_T)$ એ અભિલંબના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી હોય છે,તેથી $m_T = -\frac{1}{m_N} = -\frac{1}{-1/90} = 90$.
વક્ર $y=54x^5-135x^4-70x^3+180x^2+210x$ નું વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 270x^4 - 540x^3 - 210x^2 + 360x + 210$.
વિકલનને સ્પર્શકના ઢાળ $(90)$ સાથે સરખાવતા:
$270x^4 - 540x^3 - 210x^2 + 360x + 210 = 90$
$270x^4 - 540x^3 - 210x^2 + 360x + 120 = 0$
$30$ વડે ભાગતા:
$9x^4 - 18x^3 - 7x^2 + 12x + 4 = 0$.
આ સમીકરણના બીજ $x=1, x=2, x=-\frac{2}{3}, x=-\frac{1}{3}$ મળે છે.
આમ,$x$ ની $4$ અલગ કિંમતો હોવાથી,વક્ર પર આવા $4$ બિંદુઓ છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત વક્ર $f(x) = A(x+1)(x-k)$ છે. તે $(1, 1)$ આગળ $y=x$ ને સ્પર્શે છે,તેથી $f(1)=1$ અને $f'(1)=1$.
$f(1) = A(2)(1-k) = 1 \Rightarrow 2A(1-k) = 1$.
$f'(x) = A(x-k) + A(x+1) = A(2x+1-k)$.
$f'(1) = A(2+1-k) = A(3-k) = 1$.
$2A(1-k) = 1$ અને $A(3-k) = 1$ પરથી,$2A(1-k) = A(3-k) \Rightarrow 2-2k = 3-k \Rightarrow k = -1$.
તેથી $A(3 - (-1)) = 1 \Rightarrow 4A = 1 \Rightarrow A = 1/4$.
આમ,$f(x) = \frac{1}{4}(x+1)^2$.
આપેલ છે કે બિંદુ $(\alpha, \alpha+1)$ વક્ર પર છે: $\alpha+1 = \frac{1}{4}(\alpha+1)^2$.
$\alpha > -1$ હોવાથી,$\alpha+1 = 4 \Rightarrow \alpha = 3$.
બિંદુ $(3, 4)$ છે.
$f'(x) = \frac{1}{2}(x+1)$,તેથી $f'(3) = \frac{1}{2}(3+1) = 2$.
$(3, 4)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -1/2$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 3)$ છે.
$x$-અંતઃખંડ માટે,$y=0$ લેતા: $-4 = -\frac{1}{2}(x - 3) \Rightarrow 8 = x - 3 \Rightarrow x = 11$.

(A) બિંદુઓ $(c-1, e^{c-1})$ અને $(c+1, e^{c+1})$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{e^{c+1}-e^{c-1}}{(c+1)-(c-1)} = \frac{e^{c+1}-e^{c-1}}{2}$ છે.
$e^x$ એ ચુસ્ત બહિર્મુખ વિધેય હોવાથી,કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેની છેદિકા રેખાનો ઢાળ તેમની વચ્ચેના કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શકના ઢાળ કરતા વધારે હોય છે. ખાસ કરીને,$\frac{e^{c+1}-e^{c-1}}{2} > e^c$ કારણ કે $\frac{e-e^{-1}}{2} > 1$ (કારણ કે $e \approx 2.718$,$\frac{2.718-0.368}{2} = 1.175 > 1$).
છેદિકા રેખાનો ઢાળ $(c, e^c)$ આગળના સ્પર્શકના ઢાળ કરતા વધારે હોવાથી અને વિધેય બહિર્મુખ હોવાથી,સ્પર્શક રેખા $x > c$ માટે છેદિકા રેખાની નીચે અને $x < c$ માટે તેની ઉપર હશે. તેથી,છેદબિંદુ $x=c$ ની ડાબી બાજુએ હોવું જોઈએ.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $(y-x^5)^2=x(1+x^2)^2$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$2(y-x^5)(\frac{dy}{dx}-5x^4) = (1+x^2)^2 + x \cdot 2(1+x^2)(2x)$
$2(y-x^5)(\frac{dy}{dx}-5x^4) = (1+x^2)^2 + 4x^2(1+x^2)$
બિંદુ $(1,3)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(3-1^5)(\frac{dy}{dx}-5(1)^4) = (1+1^2)^2 + 4(1)^2(1+1^2)$
$2(3-1)(\frac{dy}{dx}-5) = (2)^2 + 4(2)$
$2(2)(\frac{dy}{dx}-5) = 4 + 8$
$4(\frac{dy}{dx}-5) = 12$
$\frac{dy}{dx}-5 = 3$
$\frac{dy}{dx} = 8$
આમ,બિંદુ $(1,3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $8$ છે.

(A) આપેલ વક્રો $xy=6$ $(1)$ અને $x^2y=12$ $(2)$ છે.
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2y}{xy} = \frac{12}{6}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x=2$.
$x=2$ ને $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $2y=6$ મળે છે,તેથી $y=3$. છેદબિંદુ $(2, 3)$ છે.
વક્ર $(1)$ માટે,$y = \frac{6}{x}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{6}{x^2}$. $(2, 3)$ બિંદુએ,$m_1 = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
વક્ર $(2)$ માટે,$y = \frac{12}{x^2}$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{24}{x^3}$. $(2, 3)$ બિંદુએ,$m_2 = -\frac{24}{8} = -3$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tan \theta = |\frac{-1.5 - (-3)}{1 + (-1.5)(-3)}| = |\frac{1.5}{1 + 4.5}| = |\frac{1.5}{5.5}| = \frac{15}{55} = \frac{3}{11}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1} \frac{3}{11}$.

(B) આપેલ વક્ર $y = \cos(x + y)$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\sin(x + y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$ મળે.
તેથી,$\frac{dy}{dx}(1 + \sin(x + y)) = -\sin(x + y)$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)}$.
સ્પર્શક રેખા $x + 2y = 0$ ને સમાંતર છે,જેનો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}$ લેતા,$\frac{-\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)} = -\frac{1}{2} \implies 2\sin(x + y) = 1 + \sin(x + y) \implies \sin(x + y) = 1$.
$\sin(x + y) = 1$ હોવાથી,$x + y = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
મૂળ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $y = \cos(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 0$.
તેથી,$x + 0 = 2n\pi + \frac{\pi}{2} \implies x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
$x \in [-2\pi, 2\pi]$ માટે,શક્ય કિંમતો $x = \frac{\pi}{2}$ અને $x = -\frac{3\pi}{2}$ છે.
$x = \frac{\pi}{2}, y = 0$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}) \implies 2y = -x + \frac{\pi}{2} \implies 2x + 4y - \pi = 0$ મળે.
આ વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y = ax^2 - 6x + b$ છે.
વક્ર $(0, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0$ અને $y=4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$4 = a(0)^2 - 6(0) + b \implies b = 4$.
હવે,વક્રનું વિકલન $\frac{dy}{dx} = 2ax - 6$ થાય.
સ્પર્શક $x=\frac{3}{2}$ આગળ $x$-અક્ષને સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{3}{2}$ આગળ $\frac{dy}{dx} = 0$ થાય.
$2a(\frac{3}{2}) - 6 = 0 \implies 3a - 6 = 0 \implies 3a = 6 \implies a = 2$.
આમ,$a = 2$ અને $b = 4$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો: $x = 9(1 + \cos \theta)$ અને $y = 9 \sin \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = -9 \sin \theta$
$\frac{dy}{d\theta} = 9 \cos \theta$
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{9 \cos \theta}{-9 \sin \theta} = -\cot \theta$.
અભિલંબનો ઢાળ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી થાય: $m_n = -\frac{1}{-\cot \theta} = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.
બિંદુ $(9(1 + \cos \theta), 9 \sin \theta)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - 9 \sin \theta = \tan \theta (x - 9(1 + \cos \theta))$
$y - 9 \sin \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} (x - 9 - 9 \cos \theta)$
$y \cos \theta - 9 \sin \theta \cos \theta = x \sin \theta - 9 \sin \theta - 9 \sin \theta \cos \theta$
$y \cos \theta = x \sin \theta - 9 \sin \theta$
$y \cos \theta = \sin \theta (x - 9)$
જો આપણે બિંદુ $(9, 0)$ ચકાસીએ:
$0 \cdot \cos \theta = \sin \theta (9 - 9) \implies 0 = 0$.
આમ,અભિલંબ હંમેશા નિશ્ચિત બિંદુ $(9, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) વક્રનું સમીકરણ $xy = 1$ છે,જેને $y = \frac{1}{x}$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ મળે છે.
વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{1}{x_1^2}$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = x_1^2$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે,જેને $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $-\frac{a}{b}$ છે.
રેખા વક્રને અભિલંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ અભિલંબના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ: $-\frac{a}{b} = x_1^2$.
બધા $x_1 \neq 0$ માટે $x_1^2 > 0$ હોવાથી,$-\frac{a}{b} > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{a}{b} < 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $a$ અને $b$ ના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
વિકલ્પો જોતા,જો $a > 0$ હોય,તો $b < 0$ થાય (વિકલ્પ $B$).