Rate of Change of Quantities Questions in Hindi

(C) सीमांत राजस्व को बेची गई इकाइयों की संख्या के सापेक्ष कुल राजस्व में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\therefore$ सीमांत राजस्व $(MR) = \frac{dR}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 + 36x + 5) = 6x + 36$.
अब,जब $x = 15$ है,तो सीमांत राजस्व की गणना इस प्रकार है:
$MR = 6(15) + 36 = 90 + 36 = 126$.
अतः,अभीष्ट सीमांत राजस्व $Rs. 126$ है।
सही उत्तर $C$ है।

(A) मान लीजिए कि $t$ सेकंड पर कार का वेग $v$ है।
तय की गई दूरी $x = t^{2}(2 - \frac{t}{3}) = 2t^{2} - \frac{t^{3}}{3}$ द्वारा दी गई है।
वेग $v$ समय के सापेक्ष दूरी में परिवर्तन की दर है,इसलिए $v = \frac{dx}{dt}$।
$v = \frac{d}{dt}(2t^{2} - \frac{t^{3}}{3}) = 4t - t^{2} = t(4 - t)$।
कार बिंदु $Q$ पर तब रुकती है जब वेग $v = 0$ होता है।
$v = 0$ रखने पर,हमें $t(4 - t) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t = 0$ या $t = 4$।
चूंकि कार $t = 0$ पर बिंदु $P$ से शुरू होती है,इसलिए यह $t = 4$ सेकंड पर बिंदु $Q$ तक पहुँचती है।
$P$ और $Q$ के बीच की दूरी $t = 4$ पर $x$ का मान है।
$x(4) = 4^{2}(2 - \frac{4}{3}) = 16(\frac{6-4}{3}) = 16(\frac{2}{3}) = \frac{32}{3} \, m$।

(A) माना किसी समय $t$ पर पानी की त्रिज्या $r$ और गहराई $h$ है। अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha$ के लिए $\tan \alpha = 0.5 = \frac{1}{2}$ दिया गया है।
शंकु की ज्यामिति से,$\tan \alpha = \frac{r}{h}$,इसलिए $\frac{r}{h} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $r = \frac{h}{2}$।
शंकु में पानी का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
$r = \frac{h}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{12}$ प्राप्त होता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{12} \cdot 3h^2 \cdot \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{4} \cdot \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\frac{dV}{dt} = 5 \ m^3/h$ और $h = 4 \ m$ दिया गया है,इसलिए:
$5 = \frac{\pi (4)^2}{4} \cdot \frac{dh}{dt} = 4\pi \cdot \frac{dh}{dt}$।
अतः,$\frac{dh}{dt} = \frac{5}{4\pi} \ m/h$।

(A) माना $AB$ लैंप पोस्ट है जिसकी ऊँचाई $6 \text{ m}$ है और $MN$ व्यक्ति है जिसकी ऊँचाई $2 \text{ m}$ है। माना व्यक्ति समय $t$ पर लैंप पोस्ट से $l$ दूरी पर है,इसलिए $AM = l$ है। माना $MS = s$ छाया की लंबाई है।
चूँकि $\triangle MSN \sim \triangle ASB$,हमारे पास है:
$\frac{MS}{AS} = \frac{MN}{AB}$
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{s}{l + s} = \frac{2}{6}$
$\frac{s}{l + s} = \frac{1}{3}$
$3s = l + s$
$l = 2s$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dl}{dt} = 2 \frac{ds}{dt}$
यह दिया गया है कि व्यक्ति $\frac{dl}{dt} = 5 \text{ km/h}$ की गति से चल रहा है,इसलिए:
$5 = 2 \frac{ds}{dt}$
$\frac{ds}{dt} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ km/h}$
अतः,छाया की लंबाई $2.5 \text{ km/h}$ की दर से बढ़ती है।

(A) माना कि वृत्ताकार डिस्क की त्रिज्या $r$ है और इसका क्षेत्रफल $A$ है।
डिस्क का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$.
दिया गया है कि त्रिज्या के बढ़ने की दर $\frac{dr}{dt} = 0.05 \text{ cm/s}$ है।
हमें वह दर ज्ञात करनी है जिस पर क्षेत्रफल बढ़ रहा है जब $r = 3.2 \text{ cm}$ है।
अवकलन सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times \pi \times (3.2 \text{ cm}) \times (0.05 \text{ cm/s})$
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 3.2 \times 0.05 \times \pi \text{ cm}^2\text{/s}$
$\frac{dA}{dt} = 0.320\pi \text{ cm}^2\text{/s}$.
अतः,जिस दर पर क्षेत्रफल बढ़ रहा है वह $0.320\pi \text{ cm}^2\text{/s}$ है।

(B) माना $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ $BC$ आधार है जिसकी लंबाई $b$ स्थिर है। माना दो समान भुजाओं की लंबाई $a$ है।
$AD \perp BC$ खींचिए। $\triangle ADC$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,ऊँचाई $h = AD = \sqrt{a^2 - (b/2)^2} = \sqrt{a^2 - b^2/4}$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times b \times \sqrt{a^2 - b^2/4} = \frac{b}{2} \sqrt{a^2 - b^2/4}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dt} = \frac{b}{2} \times \frac{1}{2\sqrt{a^2 - b^2/4}} \times 2a \times \frac{da}{dt} = \frac{ab}{2\sqrt{a^2 - b^2/4}} \times \frac{da}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया है $\frac{da}{dt} = -3 \ cm/s$। जब $a = b$ हो,तो ऊँचाई $h = \sqrt{b^2 - b^2/4} = \sqrt{3b^2/4} = \frac{\sqrt{3}b}{2}$ होगी।
$a = b$ और $\frac{da}{dt} = -3$ का मान रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{b \cdot b}{2(\sqrt{3}b/2)} \times (-3) = \frac{b^2}{\sqrt{3}b} \times (-3) = -\frac{3b}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}b$।
अतः,क्षेत्रफल $\sqrt{3}b \ cm^2/s$ की दर से घट रहा है।

(C) माना बेलन की त्रिज्या $r$ है और गेहूं की गहराई (ऊंचाई) $h$ है।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r = 10 \ m$ दिया गया है,इसलिए $V = \pi (10)^2 h = 100 \pi h$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 100 \pi \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
हमें $\frac{dV}{dt} = 314 \ m^3/h$ दिया गया है।
मान रखने पर,$314 = 100 \pi \frac{dh}{dt}$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$314 = 100(3.14) \frac{dh}{dt} = 314 \frac{dh}{dt}$.
अतः,$\frac{dh}{dt} = \frac{314}{314} = 1 \ m/h$.
गेहूं की गहराई $1 \ m/h$ की दर से बढ़ रही है।
सही उत्तर $C$ है।

(A) वक्र की ढाल $m = \frac{dy}{dx} = 5 - 6x^{2}$ द्वारा दी जाती है।
समय $t$ के सापेक्ष ढाल के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $m$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dm}{dt} = \frac{d}{dt}(5 - 6x^{2}) = -12x \cdot \frac{dx}{dt}$.
दिया गया है कि $x = 3$ और $\frac{dx}{dt} = 2 \text{ units/sec}$,इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dm}{dt} = -12(3)(2) = -72 \text{ units/sec}$.
अतः,वक्र की ढाल $-72 \text{ units/sec}$ की दर से बदल रही है,जिसका अर्थ है कि यह $72 \text{ units/sec}$ की दर से घट रही है।

(N/A) माना समय $t$ पर शंक्वाकार बर्तन में पानी का आयतन $v$ है। हमें दिया गया है कि $\frac{dv}{dt} = -1 \text{ cm}^3/\text{s}$ (ऋणात्मक क्योंकि पानी बाहर निकल रहा है)।
माना $l$ तिर्यक ऊँचाई है,$h$ ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है,और $r$ पानी की सतह की त्रिज्या है।
अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = \frac{\pi}{6}$ है।
शंकु की ज्यामिति से,$h = l \cos \alpha = l \cos \frac{\pi}{6} = l \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $r = l \sin \alpha = l \sin \frac{\pi}{6} = \frac{l}{2}$ प्राप्त होता है।
शंकु का आयतन $v = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{l}{2}\right)^2 \left(l \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3} \pi}{24} l^3$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dt} = \frac{\sqrt{3} \pi}{24} \cdot 3l^2 \frac{dl}{dt} = \frac{\sqrt{3} \pi}{8} l^2 \frac{dl}{dt}$ प्राप्त होता है।
$l = 4 \text{ cm}$ और $\frac{dv}{dt} = -1 \text{ cm}^3/\text{s}$ दिया गया है,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$-1 = \frac{\sqrt{3} \pi}{8} (4)^2 \frac{dl}{dt} = \frac{\sqrt{3} \pi}{8} \cdot 16 \frac{dl}{dt} = 2\sqrt{3} \pi \frac{dl}{dt}$.
अतः,$\frac{dl}{dt} = -\frac{1}{2\sqrt{3} \pi} \text{ cm/s}$.
इसलिए,तिर्यक ऊँचाई के घटने की दर $\frac{1}{2\sqrt{3} \pi} \text{ cm/s}$ है।

(8 M/S) माना पतंग की ऊँचाई $CD = 151.5 \ m$ है और लड़के की ऊँचाई $AB = 1.5 \ m$ है। माना लड़के और पतंग के बीच की क्षैतिज दूरी $x$ है और डोरी की लंबाई $y$ है।
समस्या की ज्यामिति के अनुसार,लड़के की आँखों के स्तर से पतंग की प्रभावी ऊँचाई $h = 151.5 - 1.5 = 150 \ m$ है।
डोरी,क्षैतिज दूरी और प्रभावी ऊँचाई द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$x^2 + h^2 = y^2$
$x^2 + (150)^2 = y^2$ --- $(i)$
दिया गया है कि पतंग $10 \ m/s$ की गति से क्षैतिज रूप से चल रही है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = 10 \ m/s$ है।
जब डोरी की लंबाई $y = 250 \ m$ है,तो समीकरण $(i)$ से $x$ का मान ज्ञात करते हैं:
$x^2 + 150^2 = 250^2$
$x^2 = 62500 - 22500 = 40000$
$x = 200 \ m$।
समीकरण $(i)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dt} + 0 = 2y \frac{dy}{dt}$
$x \frac{dx}{dt} = y \frac{dy}{dt}$
मान रखने पर:
$200 \times 10 = 250 \times \frac{dy}{dt}$
$\frac{dy}{dt} = \frac{2000}{250} = 8 \ m/s$।
अतः,डोरी $8 \ m/s$ की दर से बाहर निकल रही है।

(A) मान लीजिए कि दो व्यक्ति बिंदु $C$ से एक ही समय पर $v$ वेग के साथ चलना शुरू करते हैं। साथ ही,$\angle BCA = 45^{\circ}$ है।
चूंकि $A$ और $B$ समान वेग $v$ से गति कर रहे हैं,इसलिए वे समान समय में समान दूरी तय करेंगे।
अतः,$\Delta ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $AC = BC$ है। मान लीजिए $AC = BC = x$ और किसी भी क्षण उनके बीच की दूरी $y = AB$ है।
$CD \perp AB$ खींचिए। $\Delta ACD$ और $\Delta DCB$ में:
$\angle CAD = \angle CBD$ (चूंकि $AC = BC$)
$\angle CDA = \angle CDB = 90^{\circ}$
अतः,$\angle ACD = \angle DCB = \frac{1}{2} \times \angle ACB = \frac{1}{2} \times 45^{\circ} = 22.5^{\circ} = \frac{\pi}{8}$ है।
$\Delta ACD$ में,$\sin(\frac{\pi}{8}) = \frac{AD}{AC} = \frac{y/2}{x}$ है।
इस प्रकार,$y = 2x \sin(\frac{\pi}{8})$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = 2 \sin(\frac{\pi}{8}) \frac{dx}{dt} = 2v \sin(\frac{\pi}{8})$ है।
$\sin(\frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dt} = 2v \cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} = v \sqrt{2-\sqrt{2}}$।

(A) मान लीजिए $AB$ स्ट्रीट लाइट का खंभा है और $CD$ आदमी की ऊंचाई है,अर्थात $CD = 2 \ m$.
मान लीजिए $BC = x \ m$,$CE = y \ m$,और $\frac{dx}{dt} = -\frac{5}{3} \ m/s$ (चूंकि आदमी खंभे की ओर चल रहा है)।
$\Delta ABE$ और $\Delta DCE$ में,हम देखते हैं कि $\Delta ABE \sim \Delta DCE$ ($AAA$ समरूपता द्वारा)।
अतः,$\frac{AB}{DC} = \frac{BE}{CE} \Rightarrow \frac{16/3}{2} = \frac{x+y}{y}$.
$\Rightarrow \frac{16}{6} = \frac{x+y}{y} \Rightarrow \frac{8}{3} = \frac{x+y}{y}$.
$\Rightarrow 8y = 3x + 3y \Rightarrow 5y = 3x \Rightarrow y = \frac{3}{5}x$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dt} = \frac{3}{5} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -1 \ m/s$.
इस प्रकार,परछाई की लंबाई $1 \ m/s$ की दर से घट रही है।
मान लीजिए $z = x + y$ परछाई के सिरे की खंभे से दूरी है।
अब,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dz}{dt} = \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} = -\frac{5}{3} - 1 = -\frac{8}{3} = -2 \frac{2}{3} \ m/s$.
अतः,परछाई का सिरा $2 \frac{2}{3} \ m/s$ की दर से प्रकाश स्रोत की ओर गति कर रहा है।

(A) दिया गया है $f(x) = x^{2}$।
हमें $\frac{f(1.1) - f(1)}{1.1 - 1}$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,$f(1.1) = (1.1)^{2} = 1.21$ ज्ञात करें।
फिर,$f(1) = (1)^{2} = 1$ ज्ञात करें।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1.21 - 1}{1.1 - 1} = \frac{0.21}{0.1} = 2.1$।

(N/A) माना किसी समय $t$ पर नमक की गोलाकार गेंद की त्रिज्या $r$ है।
गेंद का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ है और पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^{2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,आयतन के घटने की दर पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है:
$-\frac{dV}{dt} \propto S$
इसका अर्थ है $-\frac{dV}{dt} = kS$,जहाँ $k$ एक धनात्मक समानुपाती स्थिरांक है।
$V$ और $S$ के मान रखने पर:
$-\frac{d}{dt} \left( \frac{4}{3} \pi r^{3} \right) = k(4 \pi r^{2})$
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$-\frac{4}{3} \pi \cdot 3r^{2} \cdot \frac{dr}{dt} = k(4 \pi r^{2})$
$-4 \pi r^{2} \cdot \frac{dr}{dt} = k(4 \pi r^{2})$
दोनों पक्षों को $4 \pi r^{2}$ से विभाजित करने पर ($r \neq 0$ मानते हुए):
$-\frac{dr}{dt} = k$
$\frac{dr}{dt} = -k$
चूंकि $k$ एक स्थिरांक है,इसलिए त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt}$ स्थिर है। अतः,त्रिज्या एक स्थिर दर से घट रही है।

(N/A) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है और वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt} \quad \dots(i)$
यह दिया गया है कि वृत्त का क्षेत्रफल एक समान दर से बढ़ता है,अतः माना $\frac{dA}{dt} = k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
समीकरण $(i)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$k = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{k}{2\pi r} \quad \dots(ii)$
माना वृत्त की परिधि $P = 2\pi r$ है।
समय $t$ के सापेक्ष परिधि का अवकलन करने पर:
$\frac{dP}{dt} = \frac{d}{dt}(2\pi r) = 2\pi \cdot \frac{dr}{dt}$
समीकरण $(ii)$ से $\frac{dr}{dt}$ का मान रखने पर:
$\frac{dP}{dt} = 2\pi \cdot \left( \frac{k}{2\pi r} \right) = \frac{k}{r}$
चूँकि $k$ एक स्थिरांक है,इसलिए $\frac{dP}{dt} \propto \frac{1}{r}$ है।
अतः,परिधि के परिवर्तन की दर त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती है।

(A) दिया गया है कि समय $t$ पर पानी का आयतन $L = 200(10-t)^2$ है।
पानी के बाहर निकलने की दर $-\frac{dL}{dt}$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,अवकलन ज्ञात करें: $\frac{dL}{dt} = 200 \cdot 2(10-t) \cdot (-1) = -400(10-t)$.
अतः,प्रवाह की दर $-\frac{dL}{dt} = 400(10-t)$ है।
$t = 5$ सेकंड पर,दर $400(10-5) = 400(5) = 2000 \text{ L/s}$ है।
पहले $5$ सेकंड के दौरान औसत दर ज्ञात करने के लिए,हम आयतन में कुल परिवर्तन को समय अंतराल से विभाजित करते हैं: $\text{औसत दर} = \frac{L(0) - L(5)}{5 - 0}$.
$L(0) = 200(10-0)^2 = 200(100) = 20000 \text{ L}$.
$L(5) = 200(10-5)^2 = 200(25) = 5000 \text{ L}$.
$\text{औसत दर} = \frac{20000 - 5000}{5} = \frac{15000}{5} = 3000 \text{ L/s}$.

(N/A) माना कि घन की भुजा $x$ इकाई है।
घन का आयतन $V = x^{3}$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 3x^{2} \frac{dx}{dt} = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
$\Rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{k}{3x^{2}} \dots (i)$.
घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 6x^{2}$.
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dt} = 12x \cdot \frac{dx}{dt}$.
समीकरण $(i)$ से $\frac{dx}{dt}$ का मान रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = 12x \cdot \left( \frac{k}{3x^{2}} \right) = \frac{4k}{x}$.
चूँकि $4k$ एक स्थिरांक है,इसलिए $\frac{dS}{dt} \propto \frac{1}{x}$.
अतः,घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि उसकी भुजा की लंबाई $x$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

(A) मान लीजिए $A_{1}$ पहले वर्ग का क्षेत्रफल है और $A_{2}$ दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल है।
दिया गया है कि पहले वर्ग की भुजा $x$ है,इसलिए $A_{1} = x^{2}$ है।
दूसरे वर्ग की भुजा $y = x - x^{2}$ है,इसलिए $A_{2} = y^{2} = (x - x^{2})^{2}$ है।
हमें $A_{1}$ के सापेक्ष $A_{2}$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जो $\frac{dA_{2}}{dA_{1}}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dA_{2}}{dA_{1}} = \frac{dA_{2}/dx}{dA_{1}/dx}$ है।
सबसे पहले,$\frac{dA_{1}}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\frac{dA_{2}}{dx} = \frac{d}{dx}(x - x^{2})^{2} = 2(x - x^{2}) \cdot \frac{d}{dx}(x - x^{2}) = 2(x - x^{2})(1 - 2x)$ ज्ञात करें।
अब,$\frac{dA_{2}}{dA_{1}} = \frac{2(x - x^{2})(1 - 2x)}{2x} = \frac{2x(1 - x)(1 - 2x)}{2x}$ है।
इसे सरल करने पर,$\frac{dA_{2}}{dA_{1}} = (1 - x)(1 - 2x) = 1 - 2x - x + 2x^{2} = 2x^{2} - 3x + 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना घन की भुजा की लंबाई $a$ है। घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 6a^2$ होता है।
दिया गया है कि $\frac{dS}{dt} = 3.6 \text{ cm}^2/\text{sec}$ है।
$S$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dt} = 12a \frac{da}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $3.6 = 12(10) \frac{da}{dt} \Rightarrow 3.6 = 120 \frac{da}{dt} \Rightarrow \frac{da}{dt} = \frac{3.6}{120} = 0.03 \text{ cm}/\text{sec}$।
घन का आयतन $V = a^3$ होता है।
$V$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 3a^2 \frac{da}{dt}$ प्राप्त होता है।
$a = 10$ और $\frac{da}{dt} = 0.03$ रखने पर: $\frac{dV}{dt} = 3(10)^2(0.03) = 3(100)(0.03) = 300 \times 0.03 = 9 \text{ cm}^3/\text{sec}$।

(A) माना गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या $r$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ है।
दिया गया है कि पृष्ठीय क्षेत्रफल एक स्थिर दर से बढ़ रहा है,इसलिए $\frac{dS}{dt} = k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $S = kt + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
$S = 4 \pi r^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4 \pi r^2 = kt + C$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$r = 3$,इसलिए $4 \pi (3)^2 = k(0) + C \Rightarrow C = 36 \pi$।
$t = 5$ पर,$r = 7$,इसलिए $4 \pi (7)^2 = k(5) + 36 \pi \Rightarrow 196 \pi = 5k + 36 \pi \Rightarrow 5k = 160 \pi \Rightarrow k = 32 \pi$।
अतः,समीकरण $4 \pi r^2 = 32 \pi t + 36 \pi$ बन जाता है।
$4 \pi$ से भाग देने पर,हमें $r^2 = 8t + 9$ प्राप्त होता है।
$t = 9$ के लिए,$r^2 = 8(9) + 9 = 72 + 9 = 81$।
इसलिए,$r = \sqrt{81} = 9$ इकाई।

(C) माना शंकु की त्रिज्या $R = 7 \, cm$ और ऊँचाई $H = 35 \, cm$ है। समरूप त्रिभुजों द्वारा,$\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}$,इसलिए $h = 5r$ है।
पानी का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 (5r) = \frac{5}{3} \pi r^3$ है।
दिया है $\frac{dV}{dt} = 1 \, cm^3/sec$,इसलिए $\frac{d}{dt} (\frac{5}{3} \pi r^3) = 5 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = 1$,जिससे $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{5 \pi r^2}$ प्राप्त होता है।
गीली शंक्वाकार सतह का क्षेत्रफल $S = \pi r l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} = \pi r \sqrt{r^2 + (5r)^2} = \pi r \sqrt{26r^2} = \sqrt{26} \pi r^2$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dt} = 2 \sqrt{26} \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{5 \pi r^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dS}{dt} = 2 \sqrt{26} \pi r (\frac{1}{5 \pi r^2}) = \frac{2 \sqrt{26}}{5r}$ मिलता है।
जब $h = 10 \, cm$ है,तो $r = \frac{h}{5} = \frac{10}{5} = 2 \, cm$ है।
अतः,$\frac{dS}{dt} = \frac{2 \sqrt{26}}{5(2)} = \frac{\sqrt{26}}{5} \, cm^2/sec$।

(C) माना पानी की गहराई $h$ है,पानी की सतह की त्रिज्या $r$ है और अर्ध-शीर्ष कोण $\theta$ है। दिया गया है $\tan \theta = \frac{r}{h} = \frac{3}{4}$,इसलिए $r = \frac{3}{4}h$.
पानी का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{3}{4}h\right)^2 h = \frac{3 \pi}{16} h^3$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = \frac{3 \pi}{16} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{9 \pi}{16} h^2 \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\frac{dV}{dt} = 6 \text{ m}^3/\text{hr}$। जब $h = 4 \text{ m}$ है,तब $6 = \frac{9 \pi}{16} (4)^2 \frac{dh}{dt} = 9 \pi \frac{dh}{dt}$,इसलिए $\frac{dh}{dt} = \frac{6}{9 \pi} = \frac{2}{3 \pi} \text{ m/hr}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक ऊँचाई $\ell = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(\frac{3}{4}h)^2 + h^2} = \sqrt{\frac{9}{16}h^2 + h^2} = \sqrt{\frac{25}{16}h^2} = \frac{5}{4}h$ है।
वक्र सतह का क्षेत्रफल $S = \pi r \ell = \pi (\frac{3}{4}h) (\frac{5}{4}h) = \frac{15 \pi}{16} h^2$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dt} = \frac{15 \pi}{16} \cdot 2h \frac{dh}{dt} = \frac{15 \pi}{8} h \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
$h = 4$ और $\frac{dh}{dt} = \frac{2}{3 \pi}$ रखने पर,$\frac{dS}{dt} = \frac{15 \pi}{8} (4) (\frac{2}{3 \pi}) = \frac{15 \pi}{8} \cdot \frac{8}{3 \pi} = 5 \text{ m}^2/\text{hr}$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि पहले आधार की त्रिज्या $R_1 = 50 \, mm$ है और दूसरे आधार की त्रिज्या $R_2 = r \, mm$ है। ऊंचाई $h$ है। शंकु के छिन्नक का आयतन $V = \frac{\pi h}{3} (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $R_1 = 50 \, mm$। नई त्रिज्या $R_1' = R_1 + 0.21 R_1 = 1.21 R_1 = 1.21 \times 50 = 60.5 \, mm$।
नया आयतन $V' = 1.21 V$ है। मान रखने पर:
$1.21 \times \frac{\pi h}{3} (50^2 + 50r + r^2) = \frac{\pi h}{3} (60.5^2 + 60.5r + r^2)$।
दोनों पक्षों को $\frac{\pi h}{3}$ से विभाजित करने पर:
$1.21 (2500 + 50r + r^2) = 3660.25 + 60.5r + r^2$।
$3025 + 60.5r + 1.21r^2 = 3660.25 + 60.5r + r^2$।
दोनों पक्षों से $60.5r$ घटाने पर:
$3025 + 1.21r^2 = 3660.25 + r^2$।
$0.21r^2 = 635.25$।
$r^2 = \frac{635.25}{0.21} = 3025$।
$r = \sqrt{3025} = 55 \, mm$।

(D) मान लीजिए कि $R$ और $H$ पूर्ण शंकु की त्रिज्या और ऊंचाई हैं। पूर्ण शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$ है।
चूंकि पानी एक स्थिर गति से बाहर निकल रहा है,इसलिए आयतन के परिवर्तन की दर स्थिर है,अर्थात $\frac{dV}{dt} = -k$,जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है।
किसी भी ऊंचाई $h$ पर,पानी की सतह की त्रिज्या $r$ को $\frac{r}{h} = \frac{R}{H}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $r = \frac{R}{H} h$ है।
ऊंचाई $h$ पर पानी का आयतन $V(h) = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{R}{H} h\right)^2 h = \frac{\pi R^2}{3 H^2} h^3$ है।
दिया गया है कि $t = 0$ पर,$h = H$,इसलिए $V(H) = \frac{1}{3} \pi R^2 H$ है।
$t = 21 \, min$ पर,$h = \frac{H}{2}$,इसलिए शेष पानी का आयतन $V\left(\frac{H}{2}\right) = \frac{\pi R^2}{3 H^2} \left(\frac{H}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \left(\frac{1}{3} \pi R^2 H\right) = \frac{V}{8}$ है।
$21 \, min$ में निकाला गया पानी का आयतन $V - \frac{V}{8} = \frac{7V}{8}$ है।
चूंकि बाहर निकलने की दर स्थिर है,इसलिए शेष आयतन $\frac{V}{8}$ को निकालने में लगा समय $t'$ है।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{\text{निकाला गया आयतन}}{\text{लगा समय}} = \text{स्थिरांक}$.
$\frac{7V/8}{21} = \frac{V/8}{t'}$.
$t' = 21 \times \frac{V/8}{7V/8} = 21 \times \frac{1}{7} = 3 \, min$.
इस प्रकार,बर्तन को खाली करने के लिए $3 \, min$ और लगेंगे।

(A) गोले का द्रव्यमान $m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कुल द्रव्यमान $m$ स्थिर है,समय $t$ के सापेक्ष इसका अवकलन शून्य है: $\frac{dm}{dt} = 0$.
द्रव्यमान समीकरण का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$0 = \frac{d\rho}{dt} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 + \rho \cdot 4 \pi R^2 \frac{dR}{dt}$.
$\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0 = \frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dt} + \frac{3}{R} \frac{dR}{dt}$.
सतह के वेग $v = \frac{dR}{dt}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dR}{dt} = -\frac{R}{3} \left(\frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dt}\right)$.
यह दिया गया है कि घनत्व में आंशिक परिवर्तन की दर $\left(\frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dt}\right)$ एक स्थिरांक है,मान लीजिए यह स्थिरांक $k$ है।
अतः $v = \frac{dR}{dt} = -\frac{k}{3} R$.
इस प्रकार,$v \propto R$.

(D) माना $r$ चॉकलेट बॉल की त्रिज्या है और $x$ आइसक्रीम परत की मोटाई है। गोले की कुल त्रिज्या (चॉकलेट + आइसक्रीम) $R = r + x$ है।
दिया गया है $x = 1 \ cm$, गोले का कुल आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{dV}{dt} = 4\pi R^2 \frac{dR}{dt}$ प्राप्त होता है।
चूंकि चॉकलेट बॉल स्थिर है, $\frac{dR}{dt} = \frac{dx}{dt}$ होगा।
हमें $\frac{dV}{dt} = -81 \ cm^3/min$ (पिघलने के कारण) और $\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{4\pi} \ cm/min$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $-81 = 4\pi R^2 \left(-\frac{1}{4\pi}\right)$.
$-81 = -R^2 \implies R^2 = 81 \implies R = 9 \ cm$.
चूंकि $R = r + x$ और $x = 1 \ cm$, इसलिए $r = 9 - 1 = 8 \ cm$ है।
चॉकलेट बॉल का पृष्ठीय क्षेत्रफल $4\pi r^2 = 4\pi(8)^2 = 4\pi(64) = 256\pi \ cm^2$ है।

(D) दिया गया वक्र समीकरण $y = \frac{2x^3 - 1}{3}$ है।
हमें दिया गया है कि $y$-निर्देशांक के परिवर्तन की दर $x$-निर्देशांक के परिवर्तन की दर की $18$ गुना है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dt} = 18 \frac{dx}{dt}$।
दोनों पक्षों को $\frac{dx}{dt}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = 18$ प्राप्त होता है।
अब,वक्र समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{2x^3 - 1}{3}) = \frac{1}{3} \cdot 6x^2 = 2x^2$।
अवकलज को $18$ के बराबर रखने पर:
$2x^2 = 18 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$।
जब $x = 3$ है,तो $y = \frac{2(3)^3 - 1}{3} = \frac{54 - 1}{3} = \frac{53}{3}$।
जब $x = -3$ है,तो $y = \frac{2(-3)^3 - 1}{3} = \frac{-54 - 1}{3} = -\frac{55}{3}$।
अतः,बिंदु $(3, \frac{53}{3})$ और $(-3, -\frac{55}{3})$ हैं।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया स्थिति फलन $x = 2 + 27t - t^3$ है।
वेग ज्ञात करने के लिए,हम $x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dx}{dt} = 27 - 3t^2$।
गति की दिशा तब उलट जाती है जब वेग शून्य हो जाता है:
$27 - 3t^2 = 0$
$3t^2 = 27$
$t^2 = 9$
$t = 3$ (चूंकि $t > 0$)।
अब,हम $t = 3$ पर दूरी $x$ की गणना करते हैं:
$x = 2 + 27(3) - (3)^3$
$x = 2 + 81 - 27$
$x = 56 \text{ इकाई}$।

(C) माना $r$ वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या है और $A$ वृत्ताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल है।
दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 2.1 \text{ cm/sec}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $r = 10 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 2.1 \text{ cm/sec}$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dA}{dt} = 2 \times \frac{22}{7} \times 10 \times 2.1$.
$\frac{dA}{dt} = 2 \times \frac{22}{7} \times 10 \times \frac{21}{10}$.
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 22 \times 3 = 132 \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(D) माना शंकु की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है। तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ है।
दिया है: $\frac{dr}{dt} = 3 \text{ cm/min}$ और $\frac{dh}{dt} = -4 \text{ cm/min}$.
शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = \pi rl = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$ है।
जब $r = 7$ और $h = 24$,तब $l = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25 \text{ cm}$.
$S$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dS}{dt} = \pi \left( \frac{dr}{dt} \sqrt{r^2 + h^2} + r \cdot \frac{1}{2\sqrt{r^2 + h^2}} \cdot (2r \frac{dr}{dt} + 2h \frac{dh}{dt}) \right)$.
$\frac{dS}{dt} = \pi \left( 3 \cdot 25 + 7 \cdot \frac{1}{25} \cdot (7 \cdot 3 + 24 \cdot (-4)) \right)$.
$\frac{dS}{dt} = \pi \left( 75 + \frac{7}{25} \cdot (-75) \right) = \pi (75 - 21) = 54 \pi \text{ cm}^2/\text{min}$.

(B) समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} x^2 \sin \theta$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = x \frac{dx}{dt} \sin \theta + \frac{1}{2} x^2 \cos \theta \frac{d\theta}{dt}$.
दिए गए मान रखने पर: $x = 12$,$\theta = \frac{\pi}{4}$,$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{12}$,$\frac{d\theta}{dt} = \frac{\pi}{180}$.
$\frac{dA}{dt} = (12) \left( \frac{1}{12} \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) + \frac{1}{2} (144) \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) \left( \frac{\pi}{180} \right)$.
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{72}{\sqrt{2}} \left( \frac{\pi}{180} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2\pi}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 1 + \frac{2\pi}{5} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{\pi}{5} \right)$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया गति का समीकरण: $s(t) = at^2 + bt + c$।
वेग $v(t) = \frac{ds}{dt} = 2at + b$।
त्वरण $a_{acc}(t) = \frac{dv}{dt} = 2a$।
दिया गया त्वरण $10 \ m/s^2$ है,इसलिए $2a = 10 \implies a = 5$।
$2 \ s$ के बाद वेग $30 \ m/s$ है: $v(2) = 2a(2) + b = 30 \implies 4a + b = 30$।
$a = 5$ रखने पर: $4(5) + b = 30 \implies 20 + b = 30 \implies b = 10$।
$1 \ s$ के बाद विस्थापन $20 \ m$ है: $s(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 20 \implies a + b + c = 20$।
$a = 5$ और $b = 10$ रखने पर: $5 + 10 + c = 20 \implies 15 + c = 20 \implies c = 5$।
अब विकल्पों की जाँच करें:
$a + c = 5 + 5 = 10$।
चूँकि $b = 10$,इसलिए $a + c = b$ सत्य है।

(A) माना आयत की लंबाई $x$ और चौड़ाई $y$ है। दिया गया है कि $\frac{dx}{dt} = -5 \text{ cm/min}$ और $\frac{dy}{dt} = 3 \text{ cm/min}$.
परिमाप $P = 2(x + y)$.
परिमाप में परिवर्तन की दर $\frac{dP}{dt} = 2(\frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt}) = 2(-5 + 3) = 2(-2) = -4 \text{ cm/min}$.
क्षेत्रफल $A = xy$.
क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर $\frac{dA}{dt} = x \frac{dy}{dt} + y \frac{dx}{dt}$.
मान $x = 5$,$y = 2$,$\frac{dx}{dt} = -5$,और $\frac{dy}{dt} = 3$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = (5)(3) + (2)(-5) = 15 - 10 = 5 \text{ cm}^2\text{/min}$.
अतः,परिवर्तन की दर $-4 \text{ cm/min}$ और $5 \text{ cm}^2\text{/min}$ है।

(A) माना गोले की त्रिज्या $r$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
हमें पृष्ठीय क्षेत्रफल के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जो $\frac{dV}{dS}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr}$.
$V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}(\frac{4}{3} \pi r^3) = 4 \pi r^2$.
$S$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dS}{dr} = \frac{d}{dr}(4 \pi r^2) = 8 \pi r$.
अतः,$\frac{dV}{dS} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$.
जब त्रिज्या $r = 5 \ m$ है,तो परिवर्तन की दर $\frac{5}{2} \ m$ है।

(C) मान लीजिए $A_1$ पहले वर्ग का क्षेत्रफल है और $A_2$ दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल है।
दिया गया है कि पहले वर्ग की भुजा $x$ है,इसलिए $A_1 = x^2$ है।
दिया गया है कि दूसरे वर्ग की भुजा $y = x - x^2$ है,इसलिए $A_2 = y^2 = (x - x^2)^2$ है।
हमें $A_1$ के सापेक्ष $A_2$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जो $\frac{dA_2}{dA_1}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dA_2}{dA_1} = \frac{dA_2/dx}{dA_1/dx}$ है।
सबसे पहले,$\frac{dA_1}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\frac{dA_2}{dx} = \frac{d}{dx}((x - x^2)^2) = 2(x - x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x - x^2) = 2(x - x^2)(1 - 2x)$ ज्ञात करें।
अब,इन मानों को श्रृंखला नियम के सूत्र में रखने पर:
$\frac{dA_2}{dA_1} = \frac{2(x - x^2)(1 - 2x)}{2x} = \frac{2x(1 - x)(1 - 2x)}{2x} = (1 - x)(1 - 2x) = 1 - 2x - x + 2x^2 = 2x^2 - 3x + 1$।

(B) मान लीजिए $S$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है और $r$ गोलाकार गेंद की त्रिज्या है। पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{dS}{dt} = 4 \pi \,cm^2/s$ है।
$S$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
जब $S = 16 \pi \,cm^2$ है,तो $4 \pi r^2 = 16 \pi$,जिसका अर्थ है $r^2 = 4$,इसलिए $r = 2 \,cm$ है।
मानों को अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $4 \pi = 8 \pi (2) \frac{dr}{dt}$।
$4 \pi = 16 \pi \frac{dr}{dt}$।
$\frac{dr}{dt} = \frac{4 \pi}{16 \pi} = 0.25 \,cm/s$।

(D) गोलाकार गुब्बारे का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक आयतन $V_0 = 4500 \pi \ m^3$ दिया गया है।
आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = -72 \pi \ m^3/\text{min}$ है।
$t = 49$ मिनट के बाद,आयतन $V = V_0 + (\frac{dV}{dt}) \times t = 4500 \pi - 72 \pi \times 49$ होगा।
$V = 4500 \pi - 3528 \pi = 972 \pi \ m^3$.
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ का उपयोग करके,$t = 49$ पर त्रिज्या $r$ ज्ञात करते हैं:
$972 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \implies r^3 = 972 \times \frac{3}{4} = 729$.
$r = \sqrt[3]{729} = 9 \ m$.
अब,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
ज्ञात मान रखने पर: $-72 \pi = 4 \pi (9)^2 \frac{dr}{dt}$.
$-72 \pi = 4 \pi (81) \frac{dr}{dt} \implies -72 \pi = 324 \pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = -\frac{72}{324} = -\frac{2}{9} \ m/\text{min}$.
अतः,त्रिज्या के घटने की दर $\frac{2}{9} \ m/\text{min}$ है।

(B) दूरी का समीकरण $S = 1200t - 15t^2$ है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए, हम $S$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(1200t - 15t^2) = 1200 - 30t$.
जब गोली स्थिर हो जाती है, तो उसका वेग $v = 0$ हो जाता है:
$1200 - 30t = 0$
$30t = 1200$
$t = 40 \text{ सेकंड}$.
अब, कुल दूरी ज्ञात करने के लिए $t = 40$ को दूरी के समीकरण में रखने पर:
$S = 1200(40) - 15(40)^2$
$S = 48000 - 15(1600)$
$S = 48000 - 24000$
$S = 24000 \text{ cm}$.

(C) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 8 \,cm/sec$ है।
वृत्ताकार लहर का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें $\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
उस क्षण जब $r = 12 \,cm$ है, मान रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (8)$.
$\frac{dA}{dt} = 192 \pi \,cm^2/sec$.

(D) माना $x$ सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी है और $y$ सीढ़ी के ऊपरी सिरे की जमीन से ऊँचाई है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ है।
दिया गया है कि ऊपरी सिरा $10 \ cm/sec$ की दर से नीचे फिसल रहा है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -10 \ cm/sec = -0.1 \ m/sec$ है।
जब $x = 4 \ m$ है,तब $4^2 + y^2 = 25$,जिससे $y^2 = 25 - 16 = 9$ प्राप्त होता है,अतः $y = 3 \ m$ है।
$x^2 + y^2 = 25$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} = -y \frac{dy}{dt}$
$x = 4$,$y = 3$,और $\frac{dy}{dt} = -0.1$ मान रखने पर:
$4 \frac{dx}{dt} = -3(-0.1)$
$4 \frac{dx}{dt} = 0.3$
$\frac{dx}{dt} = \frac{0.3}{4} = 0.075 \ m/sec$ है।
अतः,सीढ़ी का निचला सिरा $0.075 \ m/sec$ की दर से फिसल रहा है।

(B) $\text{माना } t \text{ सेकंड पर वर्ग का क्षेत्रफल } A, \text{ परिधि } P \text{ और भुजा की लंबाई } X \text{ है।}
\text{दिया गया है कि क्षेत्रफल } \frac{dA}{dt} = -3 \,cm^2 / sec \text{ की दर से सिकुड़ रहा है।}
\text{वर्ग का क्षेत्रफल } A = X^2 \text{ और परिधि } P = 4X \text{ है।}
A = X^2 \text{ से, } X = \sqrt{A} \text{ प्राप्त होता है।}
\text{इसे परिधि के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: } P = 4\sqrt{A} \text{।}
t \text{ के सापेक्ष अवकलन करने पर:}
\frac{dP}{dt} = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{A}} \cdot \frac{dA}{dt} = \frac{2}{X} \cdot \frac{dA}{dt} \text{।}
\text{यहाँ } X = 15 \,cm \text{ और } \frac{dA}{dt} = -3 \,cm^2 / sec \text{ (क्योंकि यह सिकुड़ रहा है):}
\frac{dP}{dt} = \frac{2}{15} \cdot (-3) = -\frac{6}{15} = -\frac{2}{5} \,cm / sec \text{।}
\text{ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि परिधि } \frac{2}{5} \,cm / sec \text{ की दर से घट रही है।}$

(B) दिया है,$\frac{dx}{dt} = 2 \text{ units/sec}$.
परवलय का समीकरण $y = 2x^2$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dt} = 4x \cdot \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dx}{dt} = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dt} = 4x(2) = 8x$ ... $(i)$.
माना बिंदु $(x, y)$ की मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $r$ है,अतः $r = \sqrt{x^2 + y^2}$।
दूरी के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{d}{dt}(x^2 + y^2) = \frac{2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt}}{2\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt}}{\sqrt{x^2 + y^2}}$।
$\frac{dx}{dt} = 2$ और $\frac{dy}{dt} = 8x$ रखने पर,$\frac{dr}{dt} = \frac{x(2) + y(8x)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{2x + 8xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$।
बिंदु $(1, 2)$ पर,$x = 1$ और $y = 2$ है।
$\frac{dr}{dt} = \frac{2(1) + 8(1)(2)}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{2 + 16}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{18}{\sqrt{5}} \text{ units/sec}$।

(C) अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या $R = 180 \text{ cm}$ है।
पानी के प्रवाह की दर $\frac{dV}{dt} = 108 \text{ dm}^3/\text{min} = 108 \times 1000 \text{ cm}^3/\text{min} = 108000 \text{ cm}^3/\text{min}$ है।
सेकंड में बदलने पर: $\frac{dV}{dt} = \frac{108000}{60} \text{ cm}^3/\text{s} = 1800 \text{ cm}^3/\text{s}$।
माना पानी की गहराई $x$ है। अर्धगोलाकार कटोरे में पानी का आयतन $V = \frac{\pi}{3} x^2(3R - x)$ द्वारा दिया जाता है।
$R = 180$ रखने पर: $V = \frac{\pi}{3} x^2(540 - x) = 180 \pi x^2 - \frac{\pi}{3} x^3$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dt} = (360 \pi x - \pi x^2) \frac{dx}{dt}$।
$x = 120 \text{ cm}$ पर,$1800 = (360 \pi(120) - \pi(120)^2) \frac{dx}{dt}$।
$1800 = (43200 \pi - 14400 \pi) \frac{dx}{dt} = 28800 \pi \frac{dx}{dt}$।
$\frac{dx}{dt} = \frac{1800}{28800 \pi} = \frac{18}{288 \pi} = \frac{1}{16 \pi} \text{ cm/s}$।

(B) दिया गया है,गेंद का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
जब $V = 288 \pi$ है,तो:
$288 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3$
$r^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 216$
$r = 6 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
अब,$V$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$
यहाँ $\frac{dV}{dt} = 4 \pi \text{ cc/sec}$ दिया गया है,मान रखने पर:
$4 \pi = 4 \pi (6)^2 \frac{dr}{dt}$
$1 = 36 \frac{dr}{dt}$
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{36} \text{ cm/sec}$।

(C) पिंड द्वारा तय की गई दूरी $s = 3t^2 - 8t + 5$ है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम समय $t$ के सापेक्ष $s$ का अवकलन करते हैं:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 8t + 5) = 6t - 8$.
पिंड तब रुकता है जब उसका वेग शून्य हो जाता है,अर्थात $v = 0$।
वेग को शून्य रखने पर: $6t - 8 = 0$।
$t$ के लिए हल करने पर: $6t = 8 \Rightarrow t = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \text{ सेकंड}$।
अतः,पिंड $\frac{4}{3} \text{ सेकंड}$ बाद रुक जाएगा।

(C) माना गोले की त्रिज्या $r$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ है।
हमें पृष्ठीय क्षेत्रफल के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर,यानी $\frac{dV}{dA}$ ज्ञात करनी है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dV}{dA} = \frac{dV/dr}{dA/dr}$।
सबसे पहले,$V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr}(\frac{4}{3} \pi r^3) = 4 \pi r^2$।
इसके बाद,$A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(4 \pi r^2) = 8 \pi r$।
अब,$\frac{dV}{dA} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$ प्राप्त होता है।
दी गई त्रिज्या $r = 2 \text{ cm}$ के लिए,इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{dV}{dA} = \frac{2}{2} = 1 \text{ cm}^3 / \text{ cm}^2$।

(D) माना $x$ सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी है और $y$ दीवार पर सीढ़ी के ऊपरी सिरे की ऊंचाई है।
दिया गया है कि सीढ़ी की लंबाई $5 \ m$ है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y} \frac{dx}{dt}$
दिया गया है कि $\frac{dx}{dt} = 2 \ m/sec$ और उस क्षण जब $x = 4 \ m$ है,तब $y = \sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{9} = 3 \ m$ है।
इन मानों को अवकलन समीकरण में रखने पर:
$\frac{dy}{dt} = -\frac{4}{3} \times 2 = -\frac{8}{3} \ m/sec$।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि ऊंचाई घट रही है।
अतः,दीवार पर ऊंचाई $\frac{8}{3} \ m/sec$ की दर से घट रही है।

(B) दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 36 \ m^3/min$ है और आधार की त्रिज्या $r = 3 \ m$ है।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = \pi r^2 \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$36 = \pi \times (3)^2 \times \frac{dh}{dt}$।
$36 = 9 \pi \times \frac{dh}{dt}$।
अतः,$\frac{dh}{dt} = \frac{36}{9 \pi} = \frac{4}{\pi} \ m/min$।

(C) गोले का आयतन $(V) = \frac{4}{3} \pi r^3$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $(A) = 4 \pi r^2$.
दोनों का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ और $\frac{dA}{dr} = 8 \pi r$.
हमें पृष्ठीय क्षेत्रफल के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जो $\frac{dV}{dA}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर: $\frac{dV}{dA} = \frac{dV/dr}{dA/dr} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$.
दी गई त्रिज्या $r = 2 \text{ cm}$ के लिए,यह मान रखने पर:
$\frac{dV}{dA} = \frac{2}{2} = 1 \text{ cm}^3 / \text{cm}^2$.