यदि एक वृत्त का क्षेत्रफल एक समान दर से बढ़ता है,तो सिद्ध कीजिए कि इसकी परिधि के परिवर्तन की दर त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

(N/A) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है और वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt} \quad \dots(i)$
यह दिया गया है कि वृत्त का क्षेत्रफल एक समान दर से बढ़ता है,अतः माना $\frac{dA}{dt} = k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
समीकरण $(i)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$k = 2\pi r \cdot \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{k}{2\pi r} \quad \dots(ii)$
माना वृत्त की परिधि $P = 2\pi r$ है।
समय $t$ के सापेक्ष परिधि का अवकलन करने पर:
$\frac{dP}{dt} = \frac{d}{dt}(2\pi r) = 2\pi \cdot \frac{dr}{dt}$
समीकरण $(ii)$ से $\frac{dr}{dt}$ का मान रखने पर:
$\frac{dP}{dt} = 2\pi \cdot \left( \frac{k}{2\pi r} \right) = \frac{k}{r}$
चूँकि $k$ एक स्थिरांक है,इसलिए $\frac{dP}{dt} \propto \frac{1}{r}$ है।
अतः,परिधि के परिवर्तन की दर त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती है।