Rate of Change of Quantities Questions in Hindi

(D) माना कि $r$ वृत्त की त्रिज्या है और $C$ वृत्त की परिधि है।
दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 0.7 \text{ cm/s}$ है।
वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2 \pi r$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dC}{dt} = 2 \pi \frac{dr}{dt}$.
दिया गया मान $\frac{dr}{dt} = 0.7 \text{ cm/s}$ रखने पर:
$\frac{dC}{dt} = 2 \pi (0.7) = 1.4 \pi \text{ cm/s}$.
अतः,वृत्त की परिधि $1.4 \pi \text{ cm/s}$ की दर से बढ़ रही है।

(C) सीमांत राजस्व को बेची गई इकाइयों की संख्या के सापेक्ष कुल राजस्व में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो अवकलज $R'(x)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $R(x) = x^2 + 6x + 5$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 6x + 5) = 2x + 6$.
जब $x = 20$ हो,तो सीमांत राजस्व ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज में $x = 20$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$R'(20) = 2(20) + 6 = 40 + 6 = 46$.
अतः,सीमांत राजस्व $46$ रुपये है।

(A) वृत्त का क्षेत्रफल $A$ सूत्र $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
त्रिज्या के सापेक्ष क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2) = 2 \pi r$.
अब,हम इस अवकलज का मान $r = 3 \text{ cm}$ पर ज्ञात करते हैं:
$\left. \frac{dA}{dr} \right|_{r=3} = 2 \pi (3) = 6 \pi$.
अतः,$r = 3 \text{ cm}$ पर वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर उसकी त्रिज्या के सापेक्ष $6 \pi \text{ cm}^2/\text{cm}$ है।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y^2 = 18x$ है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dt} = 18 \frac{dx}{dt}$
$y \frac{dy}{dt} = 9 \frac{dx}{dt}$
प्रश्न के अनुसार,$Y$-निर्देशांक के परिवर्तन की दर $X$-निर्देशांक के परिवर्तन की दर की दोगुनी है,अर्थात $\frac{dy}{dt} = 2 \frac{dx}{dt}$।
इस मान को अवकलित समीकरण में रखने पर:
$y(2 \frac{dx}{dt}) = 9 \frac{dx}{dt}$
चूँकि $\frac{dx}{dt} \neq 0$,हम $\frac{dx}{dt}$ से विभाजित कर सकते हैं:
$2y = 9 \implies y = \frac{9}{2}$।
अब,$y = \frac{9}{2}$ का मान मूल वक्र समीकरण $y^2 = 18x$ में रखने पर:
$\left(\frac{9}{2}\right)^2 = 18x$
$\frac{81}{4} = 18x$
$x = \frac{81}{4 \times 18} = \frac{81}{72} = \frac{9}{8}$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{9}{8}, \frac{9}{2}\right)$ है।

(B) कण का वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{ds}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $s = t^3 - 6t^2 + 9t$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$v = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 9t) = 3t^2 - 12t + 9$।
$t = 2 \ s$ पर वेग ज्ञात करने के लिए,वेग के समीकरण में $t = 2$ रखें:
$v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9$
$v(2) = 3(4) - 24 + 9$
$v(2) = 12 - 24 + 9 = -3 \ m/s$।
अतः,$t = 2 \ s$ पर वेग $-3 \ m/s$ है।

(B) $r$ त्रिज्या वाले गोले का आयतन $V$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
आयतन में उसकी त्रिज्या के सापेक्ष परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi (3r^2) = 4 \pi r^2$
अब,हम इस अवकलज का मान $r = 7 \ cm$ पर ज्ञात करते हैं:
$\frac{dV}{dr} \Big|_{r=7} = 4 \pi (7)^2 = 4 \pi (49) = 196 \pi$
त्रिज्या के सापेक्ष आयतन में परिवर्तन की दर की इकाई $\frac{cm^3}{cm} = cm^2$ है।
अतः,परिवर्तन की दर $196 \pi \ cm^2$ है।

(B) सीमांत राजस्व (Marginal Revenue) को कुल राजस्व फलन $R(x)$ के $x$ के सापेक्ष अवकलज के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $MR = \frac{dR}{dx}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिया गया है $R(x) = 10x^2 + 20x + 1500$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dR}{dx} = \frac{d}{dx}(10x^2 + 20x + 1500) = 20x + 20$.
जब $x = 1500$ हो,तब सीमांत राजस्व ज्ञात करने के लिए:
$MR = 20(1500) + 20 = 30000 + 20 = 30020$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) मान लीजिए गोले की त्रिज्या $r$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र से,हमारे पास $r^2 = \frac{S}{4 \pi}$ है,जिसका अर्थ है $r = \sqrt{\frac{S}{4 \pi}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{S}{\pi}}$।
हमें $\frac{dV}{dS}$ ज्ञात करना है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr}$।
$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} (\frac{4}{3} \pi r^3) = 4 \pi r^2$।
$\frac{dS}{dr} = \frac{d}{dr} (4 \pi r^2) = 8 \pi r$।
अतः,$\frac{dV}{dS} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$।
$r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{dV}{dS} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \sqrt{\frac{S}{\pi}}) = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{S}{\pi}}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $V$ गोले का आयतन है और $r$ उसकी त्रिज्या है।
दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = \pi \text{ cm}^3/\text{s}$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $\frac{dV}{dt} = \pi$ और $r = 2 \text{ cm}$ रखने पर:
$\pi = 4 \pi (2)^2 \frac{dr}{dt}$
$\pi = 16 \pi \frac{dr}{dt}$
$\frac{dr}{dt} = \frac{\pi}{16 \pi} = \frac{1}{16} \text{ cm/s}$.
अतः,त्रिज्या के बढ़ने की दर $\frac{1}{16} \text{ cm/s}$ है।

(A) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \Pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \Pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 10 \text{ cm}^3 \text{s}^{-1}$ और $r = 15 \text{ cm}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $10 = 4 \Pi (15)^2 \frac{dr}{dt}$।
$\frac{dr}{dt} = \frac{10}{4 \Pi (225)} = \frac{10}{900 \Pi} = \frac{1}{90 \Pi} \text{ cm s}^{-1}$।

(B) माना गोले की त्रिज्या $r = 4 \text{ cm}$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$
$\frac{dS}{dr} = 8 \pi r$
पृष्ठीय क्षेत्रफल के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर:
$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$.
$r = 4 \text{ cm}$ पर:
$\frac{dV}{dS} = \frac{4}{2} = 2 \text{ cm}^3 \text{ cm}^{-2}$.

(B) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $ \frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm s}^{-1} $ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $ A = \pi r^2 $ द्वारा दिया जाता है।
समय $ t $ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$ \frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2\pi r \frac{dr}{dt} $.
दिए गए मानों $ r = 8 \text{ cm} $ और $ \frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm s}^{-1} $ को प्रतिस्थापित करने पर:
$ \frac{dA}{dt} = 2 \pi (8) (5) = 80 \pi \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1} $.
अतः,घिरा हुआ क्षेत्रफल $ 80 \pi \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1} $ की दर से बढ़ रहा है।

(B) दिया गया है,$s = \frac{2 t^3}{3} - 18 t + \frac{5}{3}$.
वेग $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{2 t^3}{3} - 18 t + \frac{5}{3}) = 2 t^2 - 18$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (2 t^2 - 18) = 4 t$.
कण विराम अवस्था में आता है जब $v = 0$ हो।
$2 t^2 - 18 = 0 \Rightarrow 2 t^2 = 18 \Rightarrow t^2 = 9 \Rightarrow t = 3 \ s$ (चूंकि $t > 0$ है)।
अब,त्वरण के समीकरण में $t = 3$ रखने पर:
$a = 4(3) = 12 \ m/s^2$.

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{16} \frac{dx}{dt} + \frac{2y}{4} \frac{dy}{dt} = 0$.
$\frac{x}{8} \frac{dx}{dt} + \frac{y}{2} \frac{dy}{dt} = 0$.
दिया गया है कि भुज के परिवर्तन की दर $(\frac{dx}{dt})$ कोटि के परिवर्तन की दर $(\frac{dy}{dt})$ की $4$ गुनी है,अर्थात $\frac{dx}{dt} = 4 \frac{dy}{dt}$.
इस मान को अवकलित समीकरण में रखने पर:
$\frac{x}{8} (4 \frac{dy}{dt}) + \frac{y}{2} \frac{dy}{dt} = 0$.
$(\frac{x}{2} + \frac{y}{2}) \frac{dy}{dt} = 0$.
चूँकि $\frac{dy}{dt} \neq 0$,इसलिए $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 0$,जिसका अर्थ है $x = -y$.
$x = -y$ को मूल वक्र समीकरण में रखने पर:
$\frac{(-y)^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$.
$\frac{y^2}{16} + \frac{4y^2}{16} = 1 \Rightarrow \frac{5y^2}{16} = 1 \Rightarrow y^2 = \frac{16}{5}$.
अतः,$y = \pm \frac{4}{\sqrt{5}}$.
चूँकि $x = -y$,यदि $y = \frac{4}{\sqrt{5}}$,तो $x = -\frac{4}{\sqrt{5}}$ (द्वितीय चतुर्थांश).
यदि $y = -\frac{4}{\sqrt{5}}$,तो $x = \frac{4}{\sqrt{5}}$ (चतुर्थ चतुर्थांश).
अतः,कण $II$ या $IV$ चतुर्थांश में स्थित है.

(C) माना कि $r$ वृत्ताकार प्लेट की त्रिज्या है और $A$ किसी भी समय $t$ पर उसका क्षेत्रफल है।
हम जानते हैं कि वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 0.05 \text{ cm/s}$ है।
हमें $r = 5.2 \text{ cm}$ पर क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है।
मान रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times \pi \times 5.2 \times 0.05$.
$\frac{dA}{dt} = 10.4 \times 0.05 \times \pi = 0.52 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
अतः,जब त्रिज्या $5.2 \text{ cm}$ है,तो क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $0.52 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ है।

(A) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा $x$ है और उसका क्षेत्रफल $A$ है।
दिया गया है कि भुजा के परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt} = 4 \text{ cm/sec}$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2x \cdot \frac{dx}{dt}$
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x \cdot \frac{dx}{dt}$
दिए गए मान $x = 14 \text{ cm}$ और $\frac{dx}{dt} = 4 \text{ cm/sec}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 14 \cdot 4$
$\frac{dA}{dt} = \sqrt{3} \cdot 7 \cdot 4$
$\frac{dA}{dt} = 28 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{sec}$.
अतः,क्षेत्रफल $28 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{sec}$ की दर से बढ़ रहा है।

(D) वृत्त का क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A = \pi r^2$
त्रिज्या $r$ के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2) = 2\pi r$
अब,$r = 2 \text{ cm}$ पर इस अवकलज का मान ज्ञात करते हैं:
$\left(\frac{dA}{dr}\right)_{r=2} = 2\pi(2) = 4\pi \text{ cm}^2/\text{cm}$
अतः,परिवर्तन की दर $4\pi$ है।

(A) दिया गया है कि गोले के आयतन के बढ़ने की दर $\frac{dV}{dt} = \pi \text{ cm}^3/\text{s}$ है।
हम जानते हैं कि गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dV}{dt} = \pi$ रखने पर,$\pi = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4r^2}$।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4r^2}$ रखने पर,$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \left( \frac{1}{4r^2} \right) = \frac{2 \pi}{r}$ प्राप्त होता है।
जब $r = 1 \text{ cm}$ है,तो पृष्ठीय क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $\frac{dS}{dt} = \frac{2 \pi}{1} = 2 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ है।

(A) माना $O$ मूलबिंदु $(0,0)$ है। माना समय $t$ पर $X$ की स्थिति $OA$ के अनुदिश $x(t) = 4t$ है और $Y$ की स्थिति $OB$ के अनुदिश $y(t) = 3t$ है।
माना $A$ समय $t$ पर $X$ और $Y$ के बीच की न्यूनतम दूरी है।
$\triangle OXY$ में कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर:
$A^2 = (4t)^2 + (3t)^2 - 2(4t)(3t) \cos(120^{\circ})$
चूंकि $\cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$,इसलिए:
$A^2 = 16t^2 + 9t^2 - 24t^2 \left(-\frac{1}{2}\right)$
$A^2 = 25t^2 + 12t^2 = 37t^2$
$A = \sqrt{37}t$
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2A \frac{dA}{dt} = 37(2t)$
$\frac{dA}{dt} = \frac{37t}{A}$
$A = \sqrt{37}t$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{37t}{\sqrt{37}t} = \sqrt{37} \text{ km/h}$.
अतः,दूरी के बढ़ने की दर $\sqrt{37} \text{ km/h}$ है।

(D) माना कि घन की भुजा $x$ है। घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 6x^2$ द्वारा दिया जाता है।
जब भुजा $x$ में $5 \%$ की वृद्धि होती है,तो नई भुजा $x' = x + 0.05x = 1.05x$ हो जाती है।
नया पृष्ठीय क्षेत्रफल $S' = 6(1.05x)^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
$S' = 6(1.1025x^2) = 1.1025(6x^2) = 1.1025S$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{S' - S}{S} \times 100 \%$ है।
$= \frac{1.1025S - S}{S} \times 100 \% = 0.1025 \times 100 \% = 10.25 \%$.

(C) दिया गया है कि,$f(x) = 2x^{2}$.
हमें व्यंजक $\frac{f(3.8) - f(4)}{3.8 - 4}$ का मान ज्ञात करना है।
फलन में मान रखने पर:
$\frac{f(3.8) - f(4)}{3.8 - 4} = \frac{2(3.8)^{2} - 2(4)^{2}}{3.8 - 4}$.
अंश से $2$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \frac{2(3.8^{2} - 4^{2})}{3.8 - 4}$.
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 3.8$ और $b = 4$ है:
$= \frac{2(3.8 - 4)(3.8 + 4)}{3.8 - 4}$.
अंश और हर से उभयनिष्ठ पद $(3.8 - 4)$ को काटने पर:
$= 2(3.8 + 4)$.
$= 2(7.8) = 15.6$.

(A) दिया गया फलन $y = 5x^2 + 6x + 6$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(5x^2 + 6x + 6) = 10x + 6$.
परिभाषा के अनुसार,अवकल $dy$ को $dy = (\frac{dy}{dx}) dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$dx = \Delta x = 0.001$ और $x = 2$ है।
इन मानों को $dy$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$dy = (10(2) + 6) \times 0.001$.
$dy = (20 + 6) \times 0.001$.
$dy = 26 \times 0.001$.
$dy = 0.026$.

(B) दिया गया है कि समय $t$ पर कण का विस्थापन $s = \frac{t^3}{3} - 6t$ है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^3}{3} - 6t) = t^2 - 6$।
जब वेग शून्य हो जाता है,तो $v = 0$,इसलिए $t^2 - 6 = 0$,जिससे $t = \sqrt{6} \text{ s}$ प्राप्त होता है ($t > 0$ मानते हुए)।
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग के परिवर्तन की दर है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 6) = 2t$।
त्वरण के समीकरण में $t = \sqrt{6} \text{ s}$ रखने पर,हमें $a = 2(\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} \text{ m/s}^2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया विस्थापन $s = 5 \sin(2t)$ है।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{ds}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$v = \frac{d}{dt} [5 \sin(2t)] = 5 \cdot \cos(2t) \cdot 2 = 10 \cos(2t)$.
अब,वेग समीकरण में $t = \frac{\pi}{3}$ रखने पर:
$v = 10 \cos(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 10 \cos(\frac{2\pi}{3})$.
चूंकि $\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$ है,
$v = 10 \cdot (-\frac{1}{2}) = -5$.
अतः,वेग $-5$ है। सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया दूरी फलन: $s = t^2 - 2t + 5$ है।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष दूरी का प्रथम अवकलज है:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 2t + 5) = 2t - 2$।
त्वरण $a$,समय $t$ के सापेक्ष वेग का अवकलज है:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2t - 2) = 2$।
अतः,कण का त्वरण $2$ इकाई है।

(A) कण का वेग $(v)$,समय $(t)$ के सापेक्ष दूरी $(s)$ के परिवर्तन की दर है,जिसे अवकलज $v = \frac{ds}{dt}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
दी गई दूरी का समीकरण $s = 4t^2 + 2t + 3$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$v = \frac{d}{dt}(4t^2 + 2t + 3) = 8t + 2$.
$t = 3$ सेकंड पर वेग ज्ञात करने के लिए,वेग समीकरण में $t = 3$ रखने पर:
$v = 8(3) + 2 = 24 + 2 = 26 \text{ unit/sec}$.

(B) दिया गया है कि वेग $v$ विस्थापन $x$ के घनमूल के समानुपाती है:
$v = k x^{1/3}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$.
सबसे पहले,$\frac{dv}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dv}{dx} = k \cdot \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{k}{3 x^{2/3}}$.
अब,त्वरण के सूत्र में $v$ और $\frac{dv}{dx}$ का मान रखें:
$a = (k x^{1/3}) \cdot \left( \frac{k}{3 x^{2/3}} \right) = \frac{k^2}{3 x^{1/3}}$.
चूंकि $v = k x^{1/3}$,हम लिख सकते हैं कि $x^{1/3} = \frac{v}{k}$.
इस मान को $a$ के समीकरण में रखने पर:
$a = \frac{k^2}{3 (v/k)} = \frac{k^3}{3v}$.
अतः,$a \propto \frac{1}{v}$,जिसका अर्थ है कि त्वरण उसके वेग के व्युत्क्रमानुपाती है।

(C) माना $V$ गोले का आयतन है और $S$ इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल है,जहाँ त्रिज्या $r$ है।
दिया है,$\frac{dV}{dt} = 12 \text{ cm}^3/\text{sec}$.
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
व्यास $d = 12 \text{ cm}$ दिया है,इसलिए त्रिज्या $r = 6 \text{ cm}$ होगी।
मान रखने पर: $12 = 4 \pi (6)^2 \frac{dr}{dt} \implies 12 = 144 \pi \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{12}{144 \pi} = \frac{1}{12 \pi} \text{ cm/sec}$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$r = 6$ और $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{12 \pi}$ रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = 8 \pi (6) \left( \frac{1}{12 \pi} \right) = 48 \pi \times \frac{1}{12 \pi} = 4 \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(D) माना $r$ त्रिज्या है,$S$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है,और $V$ गोलाकार बुलबुले का आयतन है।
दिया गया है: $\frac{dS}{dt} = 4 \text{ cm}^2/\text{sec}$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $4 = 8\pi(8) \frac{dr}{dt} \implies 4 = 64\pi \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{1}{16\pi} \text{ cm/sec}$.
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
$r = 8$ और $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{16\pi}$ रखने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi(8)^2 \left(\frac{1}{16\pi}\right) = 4\pi(64) \left(\frac{1}{16\pi}\right) = 4(4) = 16 \text{ cm}^3/\text{sec}$.

(A) कण का वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{dS}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $S = 2t^3 + 2t^2 - 2t - 3$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $v = \frac{d}{dt}(2t^3 + 2t^2 - 2t - 3) = 6t^2 + 4t - 2$।
एक कण अपनी दिशा तब बदलता है जब उसका वेग शून्य हो जाता है।
$v = 0$ रखने पर,हमें मिलता है $6t^2 + 4t - 2 = 0$।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $3t^2 + 2t - 1 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3t^2 + 3t - t - 1 = 0 \implies 3t(t + 1) - 1(t + 1) = 0$।
$(3t - 1)(t + 1) = 0$।
इससे $t = \frac{1}{3}$ या $t = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए हम $t = \frac{1}{3}$ सेकंड लेते हैं।

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $y = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$.
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = (3x^2 - 6x + 2) \frac{dx}{dt}$.
हमें दिया गया है कि $\frac{dy}{dt} = 6 \text{ units/sec}$ और बिंदु $(2, -1)$ है,इसलिए $x = 2$.
इन मानों को अवकल समीकरण में रखने पर:
$6 = (3(2)^2 - 6(2) + 2) \frac{dx}{dt}$.
$6 = (12 - 12 + 2) \frac{dx}{dt}$.
$6 = 2 \frac{dx}{dt}$.
अतः,$\frac{dx}{dt} = \frac{6}{2} = 3 \text{ units/sec}$.

(C) दिया गया है $y = x - x^2$।
हमें $x^2$ के सापेक्ष $y^2$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है।
माना $v = y^2 = (x - x^2)^2 = x^2 + x^4 - 2x^3$।
माना $u = x^2$।
हमें $\frac{dv}{du} = \frac{dv/dx}{du/dx}$ की गणना करनी है।
सबसे पहले,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + x^4 - 2x^3) = 2x + 4x^3 - 6x^2$।
इसके बाद,$u$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$।
अब,$\frac{dv}{du} = \frac{2x + 4x^3 - 6x^2}{2x} = 1 + 2x^2 - 3x$।
$x = 2$ पर,परिवर्तन की दर $1 + 2(2)^2 - 3(2) = 1 + 8 - 6 = 3$ है।

(C) दिया गया विस्थापन $s = 2t^3 - 9t$ है।
वेग $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3 - 9t) = 6t^2 - 9$.
वेग तब शून्य होता है जब $v = 0$,इसलिए $6t^2 - 9 = 0 \Rightarrow t^2 = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2 - 9) = 12t$.
त्वरण के समीकरण में $t = \sqrt{\frac{3}{2}}$ रखने पर:
$a = 12 \times \sqrt{\frac{3}{2}} = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 6 \times \sqrt{2} \times \sqrt{3} = 6\sqrt{6}$.

(C) माना $OA$ ऊँचाई $6 \ m$ का प्रकाश स्तंभ है और $FG$ ऊँचाई $1.8 \ m$ का व्यक्ति है। माना व्यक्ति की स्तंभ से दूरी $x$ है और उसकी छाया की लंबाई $y$ है।
समरूप त्रिभुजों $\triangle BGF$ और $\triangle BOA$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{FG}{OA} = \frac{BG}{BO}$
$\frac{1.8}{6} = \frac{y}{x+y}$
$1.8(x+y) = 6y$
$1.8x + 1.8y = 6y$
$1.8x = 4.2y$
$y = \frac{1.8}{4.2}x = \frac{18}{42}x = \frac{3}{7}x$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{7} \frac{dx}{dt}$
यह दिया गया है कि व्यक्ति $7 \ km/h$ की गति से स्तंभ से दूर जा रहा है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = 7 \ km/h$.
अतः,$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{7} \times 7 = 3 \ km/h$.
उसकी छाया की लंबाई के परिवर्तन की दर $3 \ km/h$ है।

(B) दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या $OP = 8$ है।
$M$,$P$ से $OA$ पर डाले गए लंब का पाद है,इसलिए $\triangle OMP$,$M$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
$\triangle OMP$ में,हमारे पास $\cos \theta = \frac{OM}{OP}$ है।
दिया गया है $OM = 4$ और $OP = 8$,इसलिए $\cos \theta = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।
साथ ही,$PM = OP \sin \theta = 8 \sin \theta$ है।
समय $t$ के सापेक्ष $PM$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम $PM$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d(PM)}{dt} = \frac{d}{dt}(8 \sin \theta) = 8 \cos \theta \frac{d\theta}{dt}$।
दिया गया है $\frac{d\theta}{dt} = 6 \text{ रेडियन/सेकंड}$ और $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d(PM)}{dt} = 8 \times \frac{1}{2} \times 6 = 24 \text{ इकाई/सेकंड}$।

(D) वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln A = \ln \pi + 2 \ln r$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{A} = 2 \frac{dr}{r}$ प्राप्त होता है।
छोटी त्रुटियों के लिए,इसे $\frac{\Delta A}{A} = 2 \times \frac{\Delta r}{r}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह दिया गया है कि त्रिज्या में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta r}{r} = 0.05 \%$ है,इसलिए क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta A}{A} = 2 \times 0.05 \% = 0.1 \%$ होगी।
अतः,क्षेत्रफल की गणना में संबंधित त्रुटि $0.1 \%$ है।

(D) माना $D$ व्यास है,$r$ त्रिज्या है और $h$ लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई है।
दिया गया है $D = 10 \ cm$,इसलिए $r = 5 \ cm$।
दिया गया है $h = 20 \ cm$।
व्यास के परिवर्तन की दर $\frac{dD}{dt} = 2 \ cm/s$ है।
चूँकि $D = 2r$,इसलिए $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2} \frac{dD}{dt} = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \ cm/s$।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ है।
आयतन को स्थिर रखने के लिए,$\frac{dV}{dt} = 0$ होना चाहिए।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi (2rh \frac{dr}{dt} + r^2 \frac{dh}{dt}) = 0$।
मान रखने पर: $2(5)(20)(1) + (5)^2 \frac{dh}{dt} = 0$।
$200 + 25 \frac{dh}{dt} = 0$।
$25 \frac{dh}{dt} = -200$।
$\frac{dh}{dt} = -8 \ cm/s$।
अतः,ऊँचाई को $-8 \ cm/s$ की दर से बदलना चाहिए।

(D) माना लोहे की गेंद की त्रिज्या $r_0 = 10 \ cm$ है और बर्फ की परत की मोटाई $x \ cm$ है। गोले की कुल त्रिज्या (लोहे की गेंद + बर्फ) $R = 10 + x \ cm$ है।
बर्फ की परत का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi (10+x)^3 - \frac{4}{3}\pi (10)^3$ है।
चूंकि लोहे की गेंद स्थिर है,कुल आयतन में परिवर्तन की दर बर्फ के आयतन में परिवर्तन की दर के बराबर है।
$V = \frac{4}{3}\pi (10+x)^3$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi (10+x)^2 \frac{dx}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = -50 \ cm^3/min$ (क्योंकि यह पिघल रही है) और $x = 5 \ cm$:
$-50 = 4\pi (10+5)^2 \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 4\pi (15)^2 \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 4\pi (225) \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 900\pi \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \ cm/min$.
ऋणात्मक चिह्न मोटाई में कमी को दर्शाता है।
अतः,मोटाई घटने की दर $\frac{1}{18\pi} \ cm/min$ है।
इस प्रकार,विकल्प $(D)$ सही है।

(C) माना $v$ आयतन है और $s$ त्रिज्या $r$ वाले गोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
दिया है: $\frac{dv}{dt} = 30 \ cm^3/min$.
गोले का आयतन $v = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dv}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $30 = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{30}{4 \pi r^2} = \frac{15}{2 \pi r^2}$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $s = 4 \pi r^2$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{ds}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt}$ का मान रखने पर: $\frac{ds}{dt} = 8 \pi r \left( \frac{15}{2 \pi r^2} \right) = \frac{60}{r}$.
$r = 6 \ cm$ के लिए: $\frac{ds}{dt} = \frac{60}{6} = 10 \ cm^2/min$.

(B) दिया गया है,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi \text{ cm}^3/\text{s}$ ...$(i)$
हमें $\frac{dr}{dt}$ ज्ञात करना है जब $V = 288 \pi \text{ cm}^3$ हो।
माना $r$ गोलाकार गेंद की त्रिज्या है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
दी गई दर $\frac{dV}{dt} = 4 \pi$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \pi = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{1}{r^2}$ ...(ii)
जब $V = 288 \pi$ हो,तो:
$288 \pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow r^3 = 288 \times \frac{3}{4} = 216$.
अतः,$r = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ cm}$.
समीकरण (ii) में $r = 6$ रखने पर:
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} \text{ cm/s}$.

(C) दिया गया वक्र $y = 5x - 2x^3$ है।
वक्र का ढाल $m = \frac{dy}{dx} = 5 - 6x^2$ द्वारा दिया जाता है।
हमें समय $t$ के सापेक्ष ढाल में परिवर्तन की दर $\frac{dm}{dt}$ ज्ञात करनी है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $m$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dm}{dt} = \frac{d}{dt}(5 - 6x^2) = -12x \cdot \frac{dx}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{dx}{dt} = 2 \text{ units/sec}$ और हमें $x = 3$ पर मान ज्ञात करना है:
$\left(\frac{dm}{dt}\right)_{x=3} = -12(3) \times 2 = -72$.
अतः,$x = 3$ पर ढाल में परिवर्तन की दर $-72 \text{ units/sec}^2$ है।

(D) दिया गया दूरी फलन $s = 60t - 5t^2$ है।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष दूरी के परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{ds}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(60t - 5t^2) = 60 - 10t$।
कण विराम अवस्था में तब आता है जब उसका वेग $v = 0$ होता है।
$60 - 10t = 0$ रखने पर,हमें $10t = 60$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t = 6 \text{ s}$।
अब,$t = 6 \text{ s}$ पर तय की गई दूरी की गणना करते हैं:
$s(6) = 60(6) - 5(6)^2$
$s(6) = 360 - 5(36)$
$s(6) = 360 - 180 = 180 \text{ इकाई}$।
अतः,विराम अवस्था में आने से पहले तय की गई दूरी $180 \text{ इकाई}$ है।

(B) मान लीजिए कि $t$ समय पर बैक्टीरिया की संख्या $N(t)$ है। वृद्धि $N(t) = t^3$ द्वारा दी गई है।
बैक्टीरिया के विकास की दर अवकलन $\frac{dN}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3) = 3t^2$ द्वारा दी जाती है।
हमें दिया गया है कि विकास की दर $1200 \ \text{per } s$ है।
इसलिए,$3t^2 = 1200$.
$3$ से विभाजित करने पर,हमें $t^2 = 400$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$t = \sqrt{400} = 20 \ s$.
अतः,लगा हुआ समय $20 \ s$ है।

(A) एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A$ जिसकी भुजा $a$ है,इस प्रकार दिया जाता है:
$A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2a \cdot \frac{da}{dt}$
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \cdot \frac{da}{dt}$
यहाँ दिया गया है कि भुजा के बढ़ने की दर $\frac{da}{dt} = 2 \text{ cm s}^{-1}$ है और भुजा की लंबाई $a = 10 \text{ cm}$ है,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 \times 2$
$\frac{dA}{dt} = 10 \sqrt{3} \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1}$
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $10 \sqrt{3} \text{ cm}^2 \text{ s}^{-1}$ की दर से बढ़ रहा है।

(D) माना $r$ गोले की त्रिज्या है।
दिया गया है,त्रिज्या में परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 0.04 \text{ cm/sec}$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3} \pi (3r^2) \cdot \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt} \quad \dots(i)$
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dS}{dt} = 4 \pi (2r) \cdot \frac{dr}{dt} = 8 \pi r \cdot \frac{dr}{dt} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dV/dt}{dS/dt} = \frac{dV}{dS} = \frac{4 \pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt}}{8 \pi r \cdot \frac{dr}{dt}}$
$\frac{dV}{dS} = \frac{r}{2}$
$r = 10 \text{ cm}$ दिया गया है,मान रखने पर:
$\frac{dV}{dS} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$।
अतः,पृष्ठीय क्षेत्रफल के सापेक्ष आयतन में वृद्धि की दर $5 \text{ cm}$ है।
इसलिए,विकल्प $(D)$ सही है।

(C) माना सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी $x$ है और ऊपरी सिरे की जमीन से ऊँचाई $y$ है।
सीढ़ी की लंबाई $5 \ m$ दी गई है,अतः पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ होगा।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$ प्राप्त होता है,जिसे $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
हमें $\frac{dx}{dt} = 3 \ m/sec$ दिया गया है और चूँकि सीढ़ी नीचे उतर रही है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -4 \ m/sec$ है।
इन मानों को अवकलित समीकरण में रखने पर: $x(3) + y(-4) = 0$,जिससे $3x = 4y$ या $x = \frac{4}{3}y$ प्राप्त होता है।
अब $x = \frac{4}{3}y$ को मूल समीकरण $x^2 + y^2 = 25$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{4}{3}y)^2 + y^2 = 25$
$\frac{16}{9}y^2 + y^2 = 25$
$\frac{25}{9}y^2 = 25$
$y^2 = 9$
$y = 3 \ m$ (चूँकि ऊँचाई धनात्मक होनी चाहिए)।
अतः,ऊपरी सिरे की ऊँचाई $3 \ m$ है।

(B) माना $V$ आयतन है और $S$ त्रिज्या $r$ वाले गोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
दिया गया है, हवा के बाहर निकलने की दर $\frac{dV}{dt} = -4 \,m^3 / min$ है (चूंकि हवा बाहर निकल रही है, आयतन घट रहा है)।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$r = 8 \,m$ पर मान रखने पर:
$-4 = 4 \pi (8)^2 \frac{dr}{dt} \Rightarrow -4 = 256 \pi \frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = -\frac{1}{64 \pi} \,m / min$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$r = 8 \,m$ और $\frac{dr}{dt} = -\frac{1}{64 \pi} \,m / min$ रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = 8 \pi (8) \left( -\frac{1}{64 \pi} \right) = -1 \,m^2 / min$.
अतः, सतह का क्षेत्रफल $1 \,m^2 / min$ की दर से घट रहा है।

(B) माना $x$ घन के किनारे की लंबाई है और $V$ इसका आयतन है।
दिया गया है कि किनारे की लंबाई में परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt} = 1 \text{ cm/sec}$ है।
घन का आयतन $V = x^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
जब किनारे की लंबाई $x = 5 \text{ cm}$ है,तो हम अवकलज में मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{dV}{dt} = 3(5)^2(1) = 3 \times 25 \times 1 = 75 \text{ cc/sec}$।
अतः,आयतन में परिवर्तन की दर $75 \text{ cc/sec}$ है।