Rate of Change of Quantities Questions in Hindi

(B) माना गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या $r$ है। दिया गया है कि आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ की वृद्धि दर $\frac{dV}{dt} = 35 \, cc/min$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ होता है।
व्यास $d = 14 \, cm$ दिया गया है,इसलिए त्रिज्या $r = 7 \, cm$ है।
मान रखने पर: $35 = 4\pi (7)^2 \frac{dr}{dt} = 196\pi \frac{dr}{dt}$.
अतः,$\frac{dr}{dt} = \frac{35}{196\pi} = \frac{5}{28\pi} \, cm/min$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ है। पृष्ठीय क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ है।
$r = 7$ और $\frac{dr}{dt} = \frac{5}{28\pi}$ रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = 8\pi (7) \left( \frac{5}{28\pi} \right) = 56\pi \left( \frac{5}{28\pi} \right) = 2 \times 5 = 10 \, cm^2/min$.

(D) दिया गया है कि विस्थापन $s$,वेग $v$ के वर्ग के समानुपाती है,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$s = kv^2$,जहाँ $k$ एक समानुपाती नियतांक है।
$v^2$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $v^2 = \frac{1}{k} s$.
मान लीजिए $C = \frac{1}{k}$,तो $v^2 = Cs$.
दोनों पक्षों का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dt}(v^2) = \frac{d}{dt}(Cs)$
$2v \frac{dv}{dt} = C \frac{ds}{dt}$
चूंकि $\frac{dv}{dt} = a$ (त्वरण) और $\frac{ds}{dt} = v$ (वेग),इसलिए:
$2v a = Cv$
मान लीजिए $v \neq 0$,$v$ से विभाजित करने पर:
$2a = C$
$a = \frac{C}{2}$
चूंकि $C$ एक नियतांक है,इसलिए त्वरण $a$ एक नियतांक है।

(A) बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2rh \frac{dr}{dt} + r^2 \frac{dh}{dt} \right)$.
दिया गया है: $r = 4 \, m$,$h = 6 \, m$,$\frac{dr}{dt} = 3 \, m/sec$,और $\frac{dh}{dt} = -4 \, m/sec$ (चूंकि ऊँचाई घट रही है)।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left[ 2(4)(6)(3) + (4)^2(-4) \right]$.
$\frac{dV}{dt} = \pi [144 - 64] = 80\pi \, m^3/sec$.

(B) माना कि सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी $x$ है और ऊपरी सिरे की जमीन से ऊँचाई $y$ है।
चूँकि सीढ़ी की लंबाई $10 \, m$ है,हमारे पास संबंध $x^2 + y^2 = 10^2 = 100$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
यहाँ $\frac{dx}{dt} = 3 \, cm/sec$ और $\frac{dy}{dt} = -4 \, cm/sec$ दिया गया है (क्योंकि ऊँचाई घट रही है)।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x(3) + y(-4) = 0$
$3x = 4y \implies x = \frac{4}{3}y$
अब $x = \frac{4}{3}y$ को मूल समीकरण $x^2 + y^2 = 100$ में रखने पर:
$(\frac{4}{3}y)^2 + y^2 = 100$
$\frac{16}{9}y^2 + y^2 = 100$
$\frac{25}{9}y^2 = 100$
$y^2 = 100 \times \frac{9}{25} = 36$
$y = 6 \, m$.
अतः,ऊपरी सिरे की ऊँचाई $6 \, m$ है।

(C) माना $f(x) = x^3$ और $g(x) = 6x^2 + 15x + 5$ है।
$f(x)$ के $g(x)$ की तुलना में कम तेजी से बढ़ने के लिए,$f(x)$ के परिवर्तन की दर $g(x)$ के परिवर्तन की दर से कम होनी चाहिए।
इसका अर्थ है $f'(x) < g'(x)$।
अवकलन करने पर: $f'(x) = 3x^2$ और $g'(x) = 12x + 15$।
असमिका बनाने पर: $3x^2 < 12x + 15$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3x^2 - 12x - 15 < 0$।
$3$ से भाग देने पर: $x^2 - 4x - 5 < 0$।
गुणनखंड करने पर: $(x - 5)(x + 1) < 0$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$ द्विघात समीकरण $x^2 - 4x - 5 = 0$ के मूलों $-1$ और $5$ के बीच स्थित हो।
अतः,अभीष्ट अंतराल $(-1, 5)$ है।

(C) माना कि $r$ त्रिज्या वाले गोलाकार गुब्बारे का आयतन $V$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ है।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 40 \ cm^3/\min$.
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $40 = 4\pi (8)^2 \frac{dr}{dt} \implies 40 = 256\pi \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{40}{256\pi} = \frac{5}{32\pi} \ cm/\min$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$r = 8$ और $\frac{dr}{dt} = \frac{5}{32\pi}$ रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = 8\pi \times 8 \times \frac{5}{32\pi} = 64\pi \times \frac{5}{32\pi} = 2 \times 5 = 10 \ cm^2/\min$.

(B) माना $AB$ ऊँचाई $4.5 \ m$ का लैंप पोस्ट है और $PQ$ ऊँचाई $1.8 \ m$ का आदमी है। माना आदमी लैंप पोस्ट से $y$ दूरी पर है,इसलिए $QB = y$। माना परछाई की लंबाई $x$ है,इसलिए $CQ = x$।
समरूप त्रिभुजों $\triangle AB C$ और $\triangle PQC$ से,हमारे पास है:
$\frac{PQ}{AB} = \frac{CQ}{CB}$
$\frac{1.8}{4.5} = \frac{x}{x + y}$
$\frac{2}{5} = \frac{x}{x + y}$
$2(x + y) = 5x$
$2x + 2y = 5x$
$3x = 2y$
$x = \frac{2}{3}y$
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{2}{3} \frac{dy}{dt}$
यह दिया गया है कि आदमी $\frac{dy}{dt} = 1.2 \ m/sec$ की दर से दूर जा रहा है,इसलिए:
$\frac{dx}{dt} = \frac{2}{3} \times 1.2 = 0.8 \ m/sec$।
अतः,परछाई $0.8 \ m/sec$ की दर से लंबी हो रही है।

(A) दी गई दूरी का फलन $s(t) = t^3 + 2t^2 + t$ है।
कण की गति $v$,समय के सापेक्ष दूरी के परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{ds}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$v = \frac{d}{dt}(t^3 + 2t^2 + t) = 3t^2 + 4t + 1$.
$1$ सेकंड के बाद गति ज्ञात करने के लिए,$v$ के व्यंजक में $t = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v(1) = 3(1)^2 + 4(1) + 1 = 3 + 4 + 1 = 8 \, cm/sec$.
अतः,$1$ सेकंड के बाद कण की गति $8 \, cm/sec$ होगी।

(D) माना कि वर्ग की भुजा $x$ है और इसका क्षेत्रफल $A$ है।
दिया गया है कि भुजा के परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt} = 4 \text{ cm/min}$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $A = x^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
जब भुजा $x = 8 \text{ cm}$ है,तो क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर है:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 8 \times 4 = 64 \text{ cm}^2/\text{min}$।

(C) माना कि गोलाकार गुब्बारे का आयतन $V$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ है,जहाँ त्रिज्या $r$ है।
दिया है: $\frac{dV}{dt} = 40 \text{ cm}^3/\text{min}$ और $r = 8 \text{ cm}$.
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान रखने पर: $40 = 4\pi (8)^2 \frac{dr}{dt} \Rightarrow 40 = 256\pi \frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{40}{256\pi} = \frac{5}{32\pi} \text{ cm/min}$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$.
$r = 8$ और $\frac{dr}{dt} = \frac{5}{32\pi}$ रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = 8\pi \times 8 \times \frac{5}{32\pi} = 64\pi \times \frac{5}{32\pi} = 2 \times 5 = 10 \text{ cm}^2/\text{min}$.

(B) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ दिया गया है।
$t$ के सापेक्ष $V$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{4}{3}\pi r^3 \right) = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 \cdot \frac{dr}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
यहाँ $r = 10$ और $\frac{dr}{dt} = 0.01$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi (10)^2 (0.01) = 4\pi (100) (0.01) = 4\pi (1) = 4\pi$.

(A) गोलाकार गुब्बारे का आयतन $V$ इस प्रकार है:
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
यहाँ $\frac{dV}{dt} = 900 \ cm^3/sec$ और त्रिज्या $r = 15 \ cm$ दी गई है,इसलिए:
$900 = 4 \pi (15)^2 \frac{dr}{dt}$.
$900 = 4 \pi (225) \frac{dr}{dt}$.
$900 = 900 \pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{dr}{dt} = \frac{900}{900 \pi} = \frac{1}{\pi} \ cm/sec$.
अतः,गुब्बारे की त्रिज्या $1/\pi \ cm/sec$ की दर से बढ़ रही है।

(C) माना किसी क्षण $t$ पर बेलन की त्रिज्या $r$,ऊँचाई $h$ और आयतन $V$ है।
दिया है: $\frac{dr}{dt} = 3 \text{ m/s}$ और $\frac{dh}{dt} = -4 \text{ m/s}$।
हमें $\frac{dV}{dt}$ ज्ञात करना है जब $r = 4 \text{ m}$ और $h = 6 \text{ m}$ हो।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( r^2 \frac{dh}{dt} + h \cdot 2r \frac{dr}{dt} \right)$.
मान रखने पर:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( (4)^2(-4) + 6 \cdot 2(4)(3) \right)$.
$\frac{dV}{dt} = \pi (-64 + 144) = 80\pi \text{ m}^3/\text{s}$.

(A) माना $v$ कण का वेग है और $s$ तय की गई दूरी है।
दिया गया है कि $v \propto \sqrt{s}$,जिसका अर्थ है $v = k\sqrt{s}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
त्वरण $a$ को $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = v \frac{dv}{ds}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $v = k\sqrt{s}$,इसलिए $\frac{dv}{ds} = k \cdot \frac{1}{2\sqrt{s}} = \frac{k}{2\sqrt{s}}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को त्वरण के सूत्र में रखने पर:
$a = (k\sqrt{s}) \cdot \left( \frac{k}{2\sqrt{s}} \right) = \frac{k^2}{2}$.
चूंकि $k$ एक स्थिरांक है,इसलिए $a = \frac{k^2}{2}$ भी एक स्थिरांक है।
अतः,कण का त्वरण स्थिर है।

(C) विस्थापन का समीकरण $s = 13.8t - 4.9t^2$ दिया गया है।
वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जो $v = \frac{ds}{dt}$ द्वारा दी जाती है।
$s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$v = \frac{d}{dt}(13.8t - 4.9t^2) = 13.8 - 9.8t$.
$t = 1$ सेकंड पर वेग ज्ञात करने के लिए,वेग के समीकरण में $t = 1$ रखने पर:
$v(1) = 13.8 - 9.8(1) = 13.8 - 9.8 = 4.0 \text{ } m/s$.
अतः,$t = 1$ सेकंड पर वेग $4 \text{ } m/s$ है।

(B) माना सीढ़ी $PQ$ की लंबाई $5 \ m$ है। माना $P$ सीढ़ी का निचला सिरा है जो दीवार से $x$ दूरी पर है और $Q$ सीढ़ी का ऊपरी सिरा है जो जमीन से $y$ ऊँचाई पर है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ है।
दिया गया है कि सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से दूर जाने की दर $\frac{dx}{dt} = 2 \ m/sec$ है।
हमें वह दर ज्ञात करनी है जिस पर ऊँचाई $y$ घट रही है,यानी $-\frac{dy}{dt}$,जब $x = 4 \ m$ हो।
जब $x = 4$ हो,तो $x^2 + y^2 = 25$ में मान रखने पर $4^2 + y^2 = 25$,जिससे $y^2 = 25 - 16 = 9$,अर्थात $y = 3 \ m$ प्राप्त होता है।
$x^2 + y^2 = 25$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
ज्ञात मान $x = 4$,$y = 3$,और $\frac{dx}{dt} = 2$ रखने पर:
$2(4)(2) + 2(3) \frac{dy}{dt} = 0$
$16 + 6 \frac{dy}{dt} = 0$
$6 \frac{dy}{dt} = -16$
$\frac{dy}{dt} = -\frac{16}{6} = -\frac{8}{3} \ m/sec$.
चूँकि ऊँचाई घट रही है,इसलिए घटने की दर $\frac{8}{3} \ m/sec$ है।

(B) माना कि समय $t$ पर समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $x$ है और क्षेत्रफल $A$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2x \times \frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} x \frac{dx}{dt}$.
यहाँ दिया गया है कि $\frac{dx}{dt} = 2 \ cm/s$ और $x = 10 \ cm$ है।
इन मानों को अवकलन सूत्र में रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 \times 2 = 10\sqrt{3} \ cm^2/s$.

(D) माना किसी समय $t$ पर बर्फ की परत की मोटाई $r$ है और बर्फ का आयतन $V$ है।
दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = -50 \text{ cm}^3/\text{min}$ है।
हमें $r = 5 \text{ cm}$ पर $\frac{dr}{dt}$ ज्ञात करना है।
बर्फ सहित गोले की त्रिज्या $(r + 10) \text{ cm}$ है।
बर्फ की परत का आयतन $V$,बर्फ सहित गोले के आयतन में से लोहे के गोले का आयतन घटाने पर प्राप्त होता है:
$V = \frac{4}{3}\pi(r + 10)^3 - \frac{4}{3}\pi(10)^3$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi(r + 10)^2 \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान $\frac{dV}{dt} = -50$ और $r = 5$ रखने पर:
$-50 = 4\pi(5 + 10)^2 \frac{dr}{dt}$.
$-50 = 4\pi(15)^2 \frac{dr}{dt}$.
$-50 = 4\pi(225) \frac{dr}{dt}$.
$-50 = 900\pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \text{ cm/min}$.
अतः,बर्फ की परत की मोटाई घटने की दर $1/(18\pi) \text{ cm/min}$ है।

(A) माना कि लहर की त्रिज्या $r$ है और लहर द्वारा घिरा क्षेत्रफल $A$ है।
दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 3.5 \text{ cm/sec}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
उस क्षण पर जब $r = 7.5 \text{ cm}$ है,मान रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times \pi \times 7.5 \times 3.5$.
$\frac{dA}{dt} = 15 \times 3.5 \times \pi$.
$\frac{dA}{dt} = 52.5 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.
अतः,क्षेत्रफल $52.5 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$ की दर से बढ़ रहा है।

(C) माना $y = \sqrt{x^2 + 16}$ और $z = \frac{x}{x - 1}$ है।
सबसे पहले,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 16}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}}$.
इसके बाद,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $z$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dz}{dx} = \frac{(x - 1)(1) - x(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-1}{(x - 1)^2}$.
अब,$y$ के $z$ के सापेक्ष परिवर्तन की दर:
$\frac{dy}{dz} = \frac{dy/dx}{dz/dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} \cdot (-(x - 1)^2) = \frac{-x(x - 1)^2}{\sqrt{x^2 + 16}}$.
$x = 3$ का मान रखने पर:
$\left( \frac{dy}{dz} \right)_{x = 3} = \frac{-3(3 - 1)^2}{\sqrt{3^2 + 16}} = \frac{-3(2^2)}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{-3(4)}{\sqrt{25}} = \frac{-12}{5}$.

(D) माना कि $x$ बर्फ की मोटाई है। बर्फ सहित गेंद की कुल त्रिज्या $r = (10 + x) \ cm$ है।
बर्फ की परत का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi(10 + x)^3 - \frac{4}{3}\pi(10)^3$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4\pi(10 + x)^2 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\frac{dV}{dt} = -50 \ cm^3/min$ दिया गया है (चूंकि बर्फ पिघल रही है,आयतन घट रहा है)।
जब $x = 5 \ cm$ हो,तब $-50 = 4\pi(10 + 5)^2 \frac{dx}{dt}$.
$-50 = 4\pi(15)^2 \frac{dx}{dt} = 4\pi(225) \frac{dx}{dt} = 900\pi \frac{dx}{dt}$.
अतः,$\frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \ cm/min$.
इस प्रकार,बर्फ की मोटाई के घटने की दर $\frac{1}{18\pi} \ cm/min$ है।

(B) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x = At^2 + Bt + C$ है।
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(At^2 + Bt + C) = 2At + B$।
अब,$4Ax - v^2$ व्यंजक में $x$ और $v$ का मान रखने पर:
$4Ax - v^2 = 4A(At^2 + Bt + C) - (2At + B)^2$।
पदों का विस्तार करने पर:
$4Ax - v^2 = (4A^2t^2 + 4ABt + 4AC) - (4A^2t^2 + 4ABt + B^2)$।
समान पदों को हटाकर व्यंजक को सरल करने पर:
$4Ax - v^2 = 4A^2t^2 - 4A^2t^2 + 4ABt - 4ABt + 4AC - B^2$।
$4Ax - v^2 = 4AC - B^2$।

(B) दिया गया व्यास $ d = \frac{3}{2}(2x + 3) $ है।
त्रिज्या $ r = \frac{d}{2} = \frac{3}{4}(2x + 3) $ है।
$x$ के सापेक्ष $r$ का अवकलन करने पर,$ \frac{dr}{dx} = \frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2} $ प्राप्त होता है।
गोले का आयतन $ V = \frac{4}{3}\pi r^3 $ होता है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $V$ का अवकलन करने पर:
$ \frac{dV}{dx} = \frac{dV}{dr} \times \frac{dr}{dx} $.
$ \frac{dV}{dx} = (4\pi r^2) \times \frac{dr}{dx} $.
$r$ और $ \frac{dr}{dx} $ के मान रखने पर:
$ \frac{dV}{dx} = 4\pi \left[ \frac{3}{4}(2x + 3) \right]^2 \times \frac{3}{2} $.
$ \frac{dV}{dx} = 4\pi \times \frac{9}{16}(2x + 3)^2 \times \frac{3}{2} $.
$ \frac{dV}{dx} = \frac{27\pi}{8}(2x + 3)^2 $.

(A) माना गोलाकार बुलबुले की त्रिज्या $r$ और आयतन $V$ है। पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dA}{dt} = 2 \text{ cm}^2/\text{s}$ और $r = 6 \text{ cm}$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2 = 8\pi(6) \frac{dr}{dt} \Rightarrow 2 = 48\pi \frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{1}{24\pi} \text{ cm/s}$.
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$r = 6$ और $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{24\pi}$ रखने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi(6)^2 \left(\frac{1}{24\pi}\right) = 4\pi(36) \left(\frac{1}{24\pi}\right) = \frac{144\pi}{24\pi} = 6 \text{ cm}^3/\text{s}$.

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल $S = \frac{1}{2} ab \sin C$ द्वारा दिया जाता है।
$C$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dS}{dC} = \frac{1}{2} ab \cos C$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि $\Delta S$ क्षेत्रफल $S$ में त्रुटि है जो कोण $C$ में $\Delta C = \alpha$ त्रुटि के अनुरूप है।
अतः,$\Delta S \approx \frac{dS}{dC} \cdot \Delta C = \frac{1}{2} ab \cos C \cdot \alpha$।
क्षेत्रफल में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta S}{S}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $\frac{\Delta S}{S} = \frac{\frac{1}{2} ab \cos C \cdot \alpha}{\frac{1}{2} ab \sin C} = \alpha \cot C$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया विस्थापन समीकरण: $x = t^3 - 12t^2 + 6t + 8$ है।
वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{dx}{dt} = 3t^2 - 24t + 6$।
त्वरण $a$,समय के सापेक्ष वेग का अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = 6t - 24$।
उस क्षण पर जब त्वरण शून्य है: $a = 0 \Rightarrow 6t - 24 = 0 \Rightarrow t = 4 \text{ s}$।
अब,वेग समीकरण में $t = 4$ रखने पर: $v = 3(4)^2 - 24(4) + 6$।
$v = 3(16) - 96 + 6 = 48 - 96 + 6 = -42 \text{ units/s}$।

(B) माना कि वर्ग की भुजा की लंबाई $x$ है।
वर्ग का विकर्ण $R = \sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt{2}$ होता है।
वर्ग का क्षेत्रफल $A = x^2$ होता है।
क्षेत्रफल के समीकरण से,$x = \sqrt{A}$ प्राप्त होता है।
इस मान को विकर्ण के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$R = \sqrt{2} \cdot \sqrt{A} = \sqrt{2A}$ प्राप्त होता है।
अब,$R$ का $A$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dR}{dA} = \frac{d}{dA}(\sqrt{2} \cdot A^{1/2}) = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} A^{-1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{A}} = \frac{1}{\sqrt{2A}}$.
चूँकि $R = \sqrt{2A}$,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$\frac{dR}{dA} = \frac{1}{R}$.

(D) माना $y = x^3 - 5x^2 + 5x + 8$ है।
समय $t$ के सापेक्ष $y$ के परिवर्तन की दर $\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dt}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\frac{dy}{dt} = 2 \frac{dx}{dt}$,इसलिए:
$(3x^2 - 10x + 5) \frac{dx}{dt} = 2 \frac{dx}{dt}$.
मान लीजिए $\frac{dx}{dt} \neq 0$,दोनों पक्षों को $\frac{dx}{dt}$ से विभाजित करने पर:
$3x^2 - 10x + 5 = 2$.
$3x^2 - 10x + 3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(3x - 1)(x - 3) = 0$.
अतः,$x = 3$ या $x = \frac{1}{3}$।

(D) यहाँ परवलय का समीकरण $y^2 = 18x$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dt} = 18 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $y \frac{dy}{dt} = 9 \frac{dx}{dt}$ (समीकरण $1$) मिलता है।
यह दिया गया है कि $y$-निर्देशांक के परिवर्तन की दर $x$-निर्देशांक के परिवर्तन की दर की दोगुनी है,अर्थात $\frac{dy}{dt} = 2 \frac{dx}{dt}$।
इस मान को समीकरण $1$ में रखने पर,$y(2 \frac{dx}{dt}) = 9 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
यदि $\frac{dx}{dt} \neq 0$ है,तो $2y = 9$ होगा,जिसका अर्थ है $y = \frac{9}{2}$।
अब $y = \frac{9}{2}$ को मूल समीकरण $y^2 = 18x$ में रखने पर,$\left( \frac{9}{2} \right)^2 = 18x$ प्राप्त होता है।
अतः $\frac{81}{4} = 18x$,जिससे $x = \frac{81}{4 \times 18} = \frac{9}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left( \frac{9}{8}, \frac{9}{2} \right)$ है।

(C) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ और त्रिज्या $r$ का संबंध $A = 4\pi r^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$.
यहाँ $\frac{dr}{dt} = 0.1 \ cm/s$ और $r = 200 \ cm$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 8\pi \times 200 \times 0.1$.
$\frac{dA}{dt} = 160\pi \ cm^2/s$.

(B) माना किसी क्षण $t$ पर पानी की ऊँचाई $h$ और आयतन $V$ है।
बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या $r = 2 \text{ cm}$ दी गई है।
आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 8 \text{ cm}^3/\text{s}$ दी गई है।
बेलन में पानी का आयतन $V = \pi r^2 h$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$r = 2$ का मान रखने पर,$V = \pi (2)^2 h = 4\pi h$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4\pi \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया मान $\frac{dV}{dt} = 8$ रखने पर,$8 = 4\pi \frac{dh}{dt}$ होता है।
अतः,$\frac{dh}{dt} = \frac{8}{4\pi} = \frac{2}{\pi} \text{ cm/s}$।

(A) माना गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है और पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ है।
हमें पृष्ठीय क्षेत्रफल के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जो $\frac{dV}{dS}$ है।
सबसे पहले,$V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2$.
इसके बाद,$S$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dS}{dr} = 8\pi r$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr} = \frac{4\pi r^2}{8\pi r}$.
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{dV}{dS} = \frac{r}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) यहाँ,$x = t^3 - 9t^2 + 24t + 6$ दिया गया है।
वेग $v$,$x$ का $t$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज है:
$v = \frac{dx}{dt} = 3t^2 - 18t + 24$.
त्वरण $a$,$x$ का $t$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलज है:
$a = \frac{d^2x}{dt^2} = 6t - 18$.
दिया गया है कि त्वरण $a = 6$:
$6t - 18 = 6$
$6t = 24$
$t = 4$.
अब,$t = 4$ को वेग के समीकरण में रखने पर:
$v = 3(4)^2 - 18(4) + 24$
$v = 3(16) - 72 + 24$
$v = 48 - 72 + 24$
$v = 0$ इकाई।

(A) माना कि समय $t$ पर पहले साइकिल सवार की स्थिति $A$ है और दूसरे की $B$ है। उनके बीच की दूरी $x$ है।
दिया गया है $OA = 4t$ और $OB = 3t$।
$\triangle OAB$ में कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर:
$x^2 = (OA)^2 + (OB)^2 - 2(OA)(OB) \cos(120^{\circ})$
$x^2 = (4t)^2 + (3t)^2 - 2(4t)(3t) \left(-\frac{1}{2}\right)$
$x^2 = 16t^2 + 9t^2 + 12t^2$
$x^2 = 37t^2$
$x = \sqrt{37}t$
उनके अलग होने की दर $\frac{dx}{dt}$ है।
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\sqrt{37}t) = \sqrt{37} \text{ km/h}$।

(B) माना कि सीढ़ी,दीवार और फर्श द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में सीढ़ी कर्ण है।
माना कि सीढ़ी पर व्यक्ति की दीवार से दूरी $x$ है।
माना कि व्यक्ति की दीवार से क्षैतिज दूरी $y$ है।
सीढ़ी और दीवार के बीच का कोण $\theta = 30^\circ$ है।
त्रिकोणमिति के अनुसार,क्षैतिज दूरी $y = x \sin(\theta)$ होती है।
यहाँ,$\theta = 30^\circ$ है,इसलिए $y = x \sin(30^\circ) = x \times \frac{1}{2}$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt} \times \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि सीढ़ी चढ़ने की दर $\frac{dx}{dt} = 3 \text{ ft/sec}$ है।
अतः,दीवार की ओर पहुँचने की दर $\frac{dy}{dt} = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \text{ ft/sec}$ है।

(B) वक्र का समीकरण $y = x^2 + 2x$ दिया गया है।
हमें दिया गया है कि $x$ और $y$ निर्देशांक समान दर से बदलते हैं,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt}$।
इसका तात्पर्य है कि $\frac{dy/dt}{dx/dt} = 1$।
समीकरण $y = x^2 + 2x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = (2x + 2) \frac{dx}{dt}$।
दोनों पक्षों को $\frac{dx}{dt}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy/dt}{dx/dt} = 2x + 2$।
चूंकि $\frac{dy/dt}{dx/dt} = 1$,इसलिए:
$1 = 2x + 2$।
$2x = 1 - 2 = -1$।
$x = -\frac{1}{2}$।
अब,$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $x = -\frac{1}{2}$ को मूल समीकरण में रखने पर:
$y = (-\frac{1}{2})^2 + 2(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left( -\frac{1}{2}, -\frac{3}{4} \right)$ है।

(A) मान लीजिए कि किसी समय $t$ पर आदमी खंभे से $x$ दूरी पर है और दीवार पर उसकी परछाई की ऊंचाई $y$ है। खंभे से दीवार की कुल दूरी $12 \ m$ है। जब आदमी दीवार से $8 \ m$ दूर है,तो खंभे से उसकी दूरी $x = 12 - 8 = 4 \ m$ है। दिया गया है कि $dx/dt = 1/2 \ m/s$.
समरूप त्रिभुजों का उपयोग करते हुए:
$\frac{y}{2} = \frac{12}{x}$
$y = \frac{24}{x}$
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = -\frac{24}{x^2} \cdot \frac{dx}{dt}$
जब $x = 4$ और $dx/dt = 1/2$ हो:
$\frac{dy}{dt} = -\frac{24}{16} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} \ m/s$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि परछाई की लंबाई घट रही है। अतः,परछाई के घटने की दर $3/4 \ m/s$ है।

(D) माना घन के किनारे की लंबाई $x$ है और इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ है। घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 6x^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{dA}{dt} = 2 \ cm^2/sec$ है।
$A$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dt} = 12x \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 = 12 \times 90 \times \frac{dx}{dt}$।
अतः,$\frac{dx}{dt} = \frac{2}{12 \times 90} = \frac{1}{540} \ cm/sec$।
घन का आयतन $V = x^3$ है।
$V$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
$x = 90$ और $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{540}$ रखने पर:
$\frac{dV}{dt} = 3 \times (90)^2 \times \frac{1}{540} = 3 \times 8100 \times \frac{1}{540} = \frac{24300}{540} = 45 \ cm^3/sec$।

(C) माना कि $x$ दीवार से सीढ़ी के आधार की दूरी है और $y$ दीवार पर सीढ़ी की ऊँचाई है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 10^2 = 100$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $x = 6 \ m$ और $\frac{dx}{dt} = 2 \ m/min$ है।
जब $x = 6$,तब $y = \sqrt{100 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \ m$ है।
इन मानों को अवकलित समीकरण में रखने पर:
$2(6)(2) + 2(8) \frac{dy}{dt} = 0$
$24 + 16 \frac{dy}{dt} = 0$
$16 \frac{dy}{dt} = -24$
$\frac{dy}{dt} = -\frac{24}{16} = -\frac{3}{2} \ m/min$ है।
अतः,ऊँचाई $3/2 \ m/min$ की दर से घट रही है।

(C) माना गोले की त्रिज्या $r$ है और उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
हमें दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/s}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष $S$ का अवकलन करने पर:
$\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(4\pi r^2) = 4\pi \times 2r \times \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt}$ का दिया गया मान रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = 8\pi r \times 2 = 16\pi r$.
चूँकि $16\pi$ एक स्थिरांक है,इसलिए $\frac{dS}{dt} \propto r$ प्राप्त होता है।
अतः,पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $r$ के समानुपाती है।

(C) गुब्बारे का प्रारंभिक आयतन $V_i = 4500\pi \text{ m}^3$ है।
आयतन में परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = -72\pi \text{ m}^3/\text{min}$ है।
$t = 49$ मिनट के बाद,आयतन $V$ होगा:
$V = 4500\pi - (72\pi \times 49) = 4500\pi - 3528\pi = 972\pi \text{ m}^3$.
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
$t = 49$ मिनट पर,$972\pi = \frac{4}{3}\pi r^3$,जिसका अर्थ है $r^3 = \frac{972 \times 3}{4} = 729$.
अतः,$r = \sqrt[3]{729} = 9 \text{ m}$.
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
मान रखने पर: $-72\pi = 4\pi (9)^2 \frac{dr}{dt}$.
$-72\pi = 4\pi (81) \frac{dr}{dt} = 324\pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = -\frac{72\pi}{324\pi} = -\frac{2}{9}$.
अतः,त्रिज्या के घटने की दर $\frac{2}{9} \text{ m/min}$ है।

(C) उत्पादन के परिवर्तन की दर दी गई है: $\frac{dP}{dx} = 100 - 12\sqrt{x}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int dP = \int (100 - 12x^{1/2}) dx$
$P = 100x - 12 \times \frac{x^{3/2}}{3/2} + C$
$P = 100x - 8x^{3/2} + C$
प्रारंभ में,जब $x = 0$ है,तो उत्पादन $P = 2000$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2000 = 100(0) - 8(0)^{3/2} + C \Rightarrow C = 2000$।
अतः,उत्पादन फलन $P = 100x - 8x^{3/2} + 2000$ है।
$x = 25$ अतिरिक्त श्रमिकों के लिए,नया उत्पादन स्तर है:
$P = 100(25) - 8(25)^{3/2} + 2000$
$P = 2500 - 8(125) + 2000$
$P = 2500 - 1000 + 2000$
$P = 3500$।

(B) पत्थर की ऊँचाई का फलन $s(t) = 24t - 0.8t^2$ दिया गया है।
वेग $v(t)$ ज्ञात करने के लिए,हम स्थिति फलन का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(24t - 0.8t^2) = 24 - 1.6t$.
त्वरण $a(t)$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग फलन का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(24 - 1.6t) = -1.6 \ m/s^2$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि त्वरण नीचे की ओर (ऊर्ध्व गति के विपरीत) कार्य कर रहा है।
अतः,चंद्रमा की सतह पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण का परिमाण $1.6 \ m/s^2$ है।

(C) दी गई दूरी $s = \sqrt{at^2 + bt + c}$,इसलिए $s^2 = at^2 + bt + c$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2s \frac{ds}{dt} = 2at + b$
$\frac{ds}{dt} = \frac{2at + b}{2s}$
त्वरण $f = \frac{d^2s}{dt^2}$ ज्ञात करने के लिए पुनः $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 \left( \frac{ds}{dt} \right)^2 + 2s \frac{d^2s}{dt^2} = 2a$
$s \frac{d^2s}{dt^2} = a - \left( \frac{ds}{dt} \right)^2$
$s \frac{d^2s}{dt^2} = a - \frac{(2at + b)^2}{4s^2} = \frac{4as^2 - (2at + b)^2}{4s^2}$
$s^2 = at^2 + bt + c$ रखने पर:
$s \frac{d^2s}{dt^2} = \frac{4a(at^2 + bt + c) - (4a^2t^2 + 4abt + b^2)}{4s^2}$
$s \frac{d^2s}{dt^2} = \frac{4a^2t^2 + 4abt + 4ac - 4a^2t^2 - 4abt - b^2}{4s^2} = \frac{4ac - b^2}{4s^2}$
$\frac{d^2s}{dt^2} = \frac{4ac - b^2}{4s^3}$
चूंकि $4ac - b^2$ एक स्थिरांक है,इसलिए त्वरण $f \propto s^{-3}$ है।

(D) माना कि वृत्ताकार लहर की त्रिज्या $r$ है और इसका क्षेत्रफल $A$ है।
दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 6 \text{ cm/sec}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान $r = 10 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 6 \text{ cm/sec}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi \times 10 \times 6 = 120 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.
अतः,क्षेत्रफल में वृद्धि की दर $120 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$ है।

(A) परवलय $y^2 = 4x$ की नाभि $S(1, 0)$ है। माना $P(T^2, 2T)$ वक्र पर एक बिंदु है।
सदिश $\vec{SP} = (T^2 - 1)\hat{i} + 2T\hat{j}$ है।
रेखा $x + y - 1 = 0$ की दिशा में इकाई सदिश $\frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}$ है।
रेखा पर $SP$ का प्रक्षेप $L = \frac{(T^2 - 1) - 2T}{\sqrt{2}} = \frac{T^2 - 2T - 1}{\sqrt{2}}$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dL}{dt} = \frac{1}{\sqrt{2}} (2T - 2) \frac{dT}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया है $\frac{dx}{dt} = 4$। चूँकि $x = T^2$,इसलिए $2T \frac{dT}{dt} = 4$। $P(4, 4)$ पर $T = 2$ है,अतः $\frac{dT}{dt} = 1$।
इन मानों को रखने पर,$\frac{dL}{dt} = \frac{1}{\sqrt{2}} (2(2) - 2)(1) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।

(D) लंबवृत्तीय बेलन का आयतन $V = \pi r^2h$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( r^2 \frac{dh}{dt} + 2rh \frac{dr}{dt} \right)$.
यहाँ $\frac{dr}{dt} = 0.1 = \frac{1}{10} \text{ cm/min}$ और $\frac{dh}{dt} = -0.2 = -\frac{2}{10} \text{ cm/min}$ दिया गया है।
इन मानों को अवकलज के सूत्र में रखने पर:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( r^2 \left( -\frac{2}{10} \right) + 2rh \left( \frac{1}{10} \right) \right)$.
$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi r}{10} (-2r + 2h) = \frac{2\pi r}{10} (h - r) = \frac{\pi r}{5} (h - r)$.
जब $r = 2 \text{ cm}$ और $h = 3 \text{ cm}$ है,तब:
$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi (2)}{5} (3 - 2) = \frac{2\pi}{5} \text{ cm}^3/\text{min}$.

(D) बेलनाकार पॉट में कॉफी का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ कॉफी के स्तर की ऊँचाई है।
पॉट का व्यास $15 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{15}{2} \, cm$ होगी।
चूँकि पॉट बेलनाकार है,इसलिए स्तर बढ़ने पर त्रिज्या $r$ स्थिर रहती है,अतः $\frac{dr}{dt} = 0$ है।
समय $t$ के सापेक्ष आयतन का अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \pi r^2 \frac{dh}{dt}$.
हमें $\frac{dV}{dt} = 100 \, cm^3/min$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$100 = \pi \left( \frac{15}{2} \right)^2 \frac{dh}{dt}$
$100 = \pi \left( \frac{225}{4} \right) \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = \frac{100 \times 4}{225 \pi} = \frac{400}{225 \pi} = \frac{16}{9 \pi} \, cm/min$.
अतः,पॉट में स्तर के बढ़ने की दर $\frac{16}{9 \pi} \, cm/min$ है।

(B) माना $r$ वृत्त की त्रिज्या है और $v = 20 \, km/hr$ घोड़े की गति है।
माना $\theta$ किसी समय $t$ पर वृत्त के केंद्र पर घोड़े द्वारा बनाया गया कोण है।
बाड़ पर छाया की स्थिति $x = r \tan \theta$ द्वारा दी जाती है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dx}{dt} = r \sec^2 \theta \frac{d\theta}{dt}$ प्राप्त होता है।
चूंकि घोड़े की गति $v = r \frac{d\theta}{dt}$ है,इसलिए $\frac{d\theta}{dt} = \frac{v}{r}$ है।
इसे $\frac{dx}{dt}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{dx}{dt} = r \sec^2 \theta \left(\frac{v}{r}\right) = v \sec^2 \theta$ प्राप्त होता है।
घोड़ा वृत्त का $1/8$ भाग तय करता है,जो $\theta = \frac{1}{8} \times 360^\circ = 45^\circ$ के कोण के बराबर है।
$\theta = 45^\circ$ पर,$\sec^2(45^\circ) = (\sqrt{2})^2 = 2$ होता है।
अतः,छाया की गति $\frac{dx}{dt} = 20 \times 2 = 40 \, km/hr$ है।

(D) समान भुजाओं $x$ और उनके बीच के कोण $\theta$ वाले समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} x^2 \sin\theta$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \left( 2x \frac{dx}{dt} \sin\theta + x^2 \cos\theta \frac{d\theta}{dt} \right) = x \frac{dx}{dt} \sin\theta + \frac{1}{2} x^2 \cos\theta \frac{d\theta}{dt}$.
दिए गए मान: $x = 12 \ m$,$\theta = \pi/4$,$\frac{dx}{dt} = 1/12 \ m/hr$,और $\frac{d\theta}{dt} = \pi/180 \ \text{rad/hr}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = (12) \left( \frac{1}{12} \right) \sin(\pi/4) + \frac{1}{2} (12)^2 \cos(\pi/4) \left( \frac{\pi}{180} \right)$
$\frac{dA}{dt} = (1) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \frac{1}{2} (144) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{\pi}{180} \right)$
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{72}{\sqrt{2}} \left( \frac{\pi}{180} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{2\pi}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 1 + \frac{2\pi}{5} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{\pi}{5} \right)$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।