Rate of Change of Quantities Questions in Hindi

(C) दिया गया वक्र समीकरण $y^3 = 27x$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3y^2 \frac{dy}{dt} = 27 \frac{dx}{dt}$
$\frac{dx}{dt} = \frac{y^2}{9} \frac{dy}{dt}$।
प्रश्न के अनुसार,भुज $(x)$ कोटि $(y)$ की तुलना में धीमी दर से बदलता है,जिसका अर्थ है:
$\left| \frac{dx}{dt} \right| < \left| \frac{dy}{dt} \right|$
$\frac{dx}{dt}$ का मान रखने पर:
$\left| \frac{y^2}{9} \frac{dy}{dt} \right| < \left| \frac{dy}{dt} \right|$
$\frac{y^2}{9} < 1$
$y^2 < 9$
$-3 < y < 3$।
चूंकि $y^3 = 27x$,जब $y = -3$ है,तो $x = -1$,और जब $y = 3$ है,तो $x = 1$ है।
अतः,भुज $x$ के लिए अंतराल $(-1, 1)$ है।

(D) माना $\frac{dr}{dt} = c$ और $h = ar + b$ है।
दिया गया है $\frac{dh}{dt} = 3 \frac{dr}{dt}$,अतः $a \frac{dr}{dt} = 3 \frac{dr}{dt}$,जिसका अर्थ है $a = 3$ है।
अतः,$h = 3r + b$ है।
जब $r = 1, h = 6$,तो $6 = 3(1) + b$,जिससे $b = 3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$h = 3r + 3 = 3(r + 1)$ है।
आयतन $V = \pi r^2 h = \pi r^2 (3r + 3) = 3\pi (r^3 + r^2)$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 3\pi (3r^2 + 2r) \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
जब $r = 6$,$\frac{dV}{dt} = 1$,तो $1 = 3\pi (3(36) + 2(6)) \frac{dr}{dt} = 3\pi (108 + 12) \frac{dr}{dt} = 360\pi \frac{dr}{dt}$ है।
अतः,$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{360\pi}$ है।
जब $r = 36$,$\frac{dV}{dt} = n = 3\pi (3(36)^2 + 2(36)) \frac{dr}{dt}$ है।
$n = 3\pi (3888 + 72) \frac{1}{360\pi} = 3\pi (3960) \frac{1}{360\pi} = 3 \times 11 = 33$ है।

(A) माना मूल बिंदु से कण की दूरी $r$ है। तब $r^2 = x^2 + y^2$ है।
दिया है $y = x^{3/2}$,अतः $y^2 = x^3$। इस प्रकार,$r^2 = x^2 + x^3$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $2r \frac{dr}{dt} = (2x + 3x^2) \frac{dx}{dt}$।
दिया है $\frac{dr}{dt} = 11$ और $x = 3$। तब $y = 3^{3/2} = 3\sqrt{3}$।
दूरी $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$।
मानों को अवकलित समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(6)(11) = (2(3) + 3(3^2)) \frac{dx}{dt}$
$132 = (6 + 27) \frac{dx}{dt}$
$132 = 33 \frac{dx}{dt}$
$\frac{dx}{dt} = \frac{132}{33} = 4$।

(B) माना घन की भुजा की लंबाई $x$ है। आयतन $V = x^3$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 6x^2$ है।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = -4 \, cm^3/min$ (चूंकि बर्फ पिघल रही है,आयतन घट रहा है)।
हम जानते हैं कि $\frac{dV}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$.
मान रखने पर: $-4 = 3x^2 \frac{dx}{dt} \implies \frac{dx}{dt} = -\frac{4}{3x^2}$.
हमें $\frac{dS}{dt}$ ज्ञात करना है।
$\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(6x^2) = 12x \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt}$ का मान रखने पर: $\frac{dS}{dt} = 12x \left( -\frac{4}{3x^2} \right) = -\frac{16}{x}$.
दिया गया है कि $V = 125 \, cm^3$,इसलिए $x^3 = 125 \implies x = 5 \, cm$.
अतः,$\frac{dS}{dt} = -\frac{16}{5} \, cm^2/min$.

(C) हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज में,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,जहाँ $R$ परिवृत्त त्रिज्या है।
चूंकि $R$ स्थिर है,हमारे पास $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है।
कोणों के सापेक्ष अवकलन करने पर,$da = 2R \cos A \, dA$,$db = 2R \cos B \, dB$,और $dc = 2R \cos C \, dC$ प्राप्त होता है।
इन मानों को दिए गए व्यंजक में रखने पर:
$\frac{da}{\cos A} + \frac{db}{\cos B} + \frac{dc}{\cos C} = \frac{2R \cos A \, dA}{\cos A} + \frac{2R \cos B \, dB}{\cos B} + \frac{2R \cos C \, dC}{\cos C} = 2R(dA + dB + dC)$।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $A + B + C = \pi$ होता है,अवकलन करने पर $dA + dB + dC = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक का मान $2R(0) = 0$ होगा।

(B) माना कि समबाहु त्रिभुज की भुजा $x$ है। दिया गया है कि भुजा के परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt} = 2 \, cm/s$ है।
$x$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल के बढ़ने की दर ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करेंगे:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2x \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} x \frac{dx}{dt}$.
यहाँ $x = 10 \, cm$ और $\frac{dx}{dt} = 2 \, cm/s$ दिया गया है,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 \times 2 = 10 \sqrt{3} \, cm^2/s$.
अतः,क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $10 \sqrt{3} \, cm^2/s$ है।

(C) गोलाकार गुब्बारे का व्यास $D = 3x + \frac{9}{2} = \frac{6x + 9}{2} = \frac{3}{2}(2x + 3)$ है।
त्रिज्या $r = \frac{D}{2} = \frac{3}{4}(2x + 3)$ होगी।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
$r$ का मान रखने पर,$V = \frac{4}{3}\pi \left[ \frac{3}{4}(2x + 3) \right]^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{64} (2x + 3)^3 = \frac{9\pi}{16} (2x + 3)^3$ प्राप्त होता है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dx} = \frac{9\pi}{16} \cdot 3(2x + 3)^2 \cdot \frac{d}{dx}(2x + 3)$.
$\frac{dV}{dx} = \frac{27\pi}{16} (2x + 3)^2 \cdot 2$.
$\frac{dV}{dx} = \frac{27\pi}{8} (2x + 3)^2$.

(A) माना $AB$ लैंप पोस्ट है और $CD$ किसी विशेष समय $t$ पर आदमी है।
माना $AC = x$ लैंप पोस्ट से आदमी की दूरी है और $CE = y$ उसकी परछाई की लंबाई है।
दिया गया है,आदमी की गति $\frac{dx}{dt} = 5 \ km/hr$ है।
हमें परछाई के बढ़ने की दर ज्ञात करनी है,अर्थात $\frac{dy}{dt}$।
चूंकि $\Delta ABE \sim \Delta CDE$,हमारे पास है:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE}$
$\frac{6}{2} = \frac{x + y}{y}$
$3 = \frac{x + y}{y}$
$3y = x + y$
$2y = x$
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 \frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$
$2 \frac{dy}{dt} = 5$
$\frac{dy}{dt} = 2.5 \ km/hr$.
अतः,परछाई की लंबाई $2.5 \ km/hr$ की दर से बढ़ती है।

(A) माना $AB$ एक $6 \ m$ ऊँचा लैंप पोस्ट है और $CD$ एक निश्चित समय $t$ पर $2 \ m$ ऊँचाई वाला व्यक्ति है।
माना $AC = x$ लैंप पोस्ट से व्यक्ति की दूरी है और $CE = y$ उसकी परछाई की लंबाई है।
दिया गया है कि व्यक्ति $5 \ km/hr$ की गति से चल रहा है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = 5 \ km/hr$.
हमें परछाई के बढ़ने की दर ज्ञात करनी है,अर्थात $\frac{dy}{dt}$.
चूँकि $\triangle ABE \sim \triangle CDE$,हमारे पास है:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE}$
$\frac{6}{2} = \frac{x + y}{y}$
$3 = \frac{x + y}{y}$
$3y = x + y$
$2y = x$
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2 \frac{dy}{dt} = \frac{dx}{dt}$
$2 \frac{dy}{dt} = 5$
$\frac{dy}{dt} = \frac{5}{2} = 2.5 \ km/hr$.
अतः,परछाई की लंबाई $2.5 \ km/hr$ की दर से बढ़ती है.

(B) गोलाकार गुब्बारे का आयतन $V$ सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3} \pi (3r^2) \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
प्रश्न के अनुसार,आयतन के बढ़ने की दर त्रिज्या के बढ़ने की दर की $16$ गुनी है:
$\frac{dV}{dt} = 16 \frac{dr}{dt}$.
इस मान को अवकलन समीकरण में रखने पर:
$16 \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
मान लीजिए $\frac{dr}{dt} \neq 0$,तो दोनों पक्षों को $\frac{dr}{dt}$ से विभाजित करने पर:
$16 = 4 \pi r^2$.
$r^2 = \frac{16}{4 \pi} = \frac{4}{\pi}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$r = \sqrt{\frac{4}{\pi}} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}$.

(A) बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि आयतन स्थिर है,समय $t$ के सापेक्ष इसका अवकलन शून्य होगा: $\frac{dV}{dt} = 0$.
$V = \pi r^2 h$ पर गुणन नियम लागू करने पर: $\frac{dV}{dt} = \pi (2rh \frac{dr}{dt} + r^2 \frac{dh}{dt}) = 0$.
$\pi r$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $2h \frac{dr}{dt} + r \frac{dh}{dt} = 0$.
दिया गया है $\frac{dr}{dt} = 5 \ cm/min$,$r = 5 \ cm$,और $h = 3 \ cm$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$2(3)(5) + 5 \frac{dh}{dt} = 0$.
$30 + 5 \frac{dh}{dt} = 0$.
$5 \frac{dh}{dt} = -30$.
$\frac{dh}{dt} = -6 \ cm/min$.
ऋणात्मक चिह्न कमी को दर्शाता है। अतः,ऊँचाई के घटने की दर $6 \ cm/min$ है।

(C) माना वर्ग और घन की भुजा की लंबाई $x$ है।
वर्ग $S$ के लिए,क्षेत्रफल $A = x^2$ है।
दिया गया है कि क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर उसकी भुजा की लंबाई के बराबर है,इसलिए $\frac{dA}{dt} = x$ है।
चूंकि $\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(x^2) = 2x \frac{dx}{dt}$ होता है,इसलिए:
$2x \frac{dx}{dt} = x$।
$x \neq 0$ मानते हुए,हमें $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
घन $C$ के लिए,आयतन $V = x^3$ है।
आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$ है।
दिया गया है कि घन की भुजा के परिवर्तन की दर वर्ग के समान है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए:
जब भुजा की लंबाई $x = 2$ इकाई है:
$\frac{dV}{dt} = 3(2)^2 \times \frac{1}{2} = 3 \times 4 \times \frac{1}{2} = 6$ $units^3/sec$।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 25$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$\Rightarrow x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$.
दिया गया है कि कोटि $y$,$1 \, cm/sec$ की दर से घट रही है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -1 \, cm/sec$.
जब $y = 3 \, cm$ है,तो वृत्त के समीकरण से $x$ का मान ज्ञात करते हैं:
$x^2 + 3^2 = 25 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4 \, cm$ (चूंकि $x > 0$).
इन मानों को अवकलित समीकरण में रखने पर:
$4 \frac{dx}{dt} + 3(-1) = 0$
$4 \frac{dx}{dt} = 3$
$\frac{dx}{dt} = \frac{3}{4} \, cm/sec$.
अतः,भुज के परिवर्तन की दर $\frac{3}{4} \, cm/sec$ है।

(A) माना $OA = x \ km$,$OB = y \ km$,और $AB = R \ km$ है।
$\triangle AOB$ में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$R^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos(120^o)$
चूंकि $\cos(120^o) = -\frac{1}{2}$,इसलिए:
$R^2 = x^2 + y^2 - 2xy(-\frac{1}{2}) = x^2 + y^2 + xy \quad \dots(1)$
दिए गए समय पर,$x = 8 \ km$ और $y = 6 \ km$ है:
$R^2 = 8^2 + 6^2 + (8 \times 6) = 64 + 36 + 48 = 148$
$R = \sqrt{148} = 2\sqrt{37} \ km$।
समीकरण $(1)$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2R \frac{dR}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} + (x \frac{dy}{dt} + y \frac{dx}{dt})$
यहाँ $\frac{dx}{dt} = 20 \ km/hr$ और $\frac{dy}{dt} = 30 \ km/hr$ दिया गया है:
$2(2\sqrt{37}) \frac{dR}{dt} = 2(8)(20) + 2(6)(30) + (8 \times 30 + 6 \times 20)$
$4\sqrt{37} \frac{dR}{dt} = 320 + 360 + (240 + 120)$
$4\sqrt{37} \frac{dR}{dt} = 680 + 360 = 1040$
$\frac{dR}{dt} = \frac{1040}{4\sqrt{37}} = \frac{260}{\sqrt{37}} \ km/hr$।

(C) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 4\pi \, cc/sec$,इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$4\pi = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} \Rightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{1}{r^2}$.
हमें दिया गया है कि आयतन $V = 288\pi \, cc$ है।
आयतन के सूत्र का उपयोग करने पर:
$288\pi = \frac{4}{3}\pi r^3
\Rightarrow r^3 = \frac{288 \times 3}{4} = 216
\Rightarrow r = 6 \, cm$.
$\frac{dr}{dt}$ के व्यंजक में $r = 6$ रखने पर:
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36} \, cm/sec$.

(D) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} \dots (i)$ प्राप्त होता है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dS}{dt} = 8 \, cm^2/s$,इसलिए $8 = 8\pi r \frac{dr}{dt}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{\pi r}$।
$\frac{dr}{dt}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \times \frac{1}{\pi r} = 4r$ प्राप्त होता है।
अतः,आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt}$,$r$ के समानुपाती है।

(A) माना गोलाकार गुब्बारे की त्रिज्या $r$ है। गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 35 \, cm^3/min$,इसलिए $35 = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$,जिसका अर्थ है $\frac{dr}{dt} = \frac{35}{4\pi r^2} \quad (1)$.
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi r^2$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ से $\frac{dr}{dt}$ का मान $\frac{dS}{dt}$ के व्यंजक में रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = 8\pi r \left( \frac{35}{4\pi r^2} \right) = \frac{70}{r}$.
चूंकि व्यास $14 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 7 \, cm$ होगी।
$r = 7$ का मान $\frac{dS}{dt}$ में रखने पर:
$\frac{dS}{dt} = \frac{70}{7} = 10 \, cm^2/min$.

(B) माना वृत्ताकार शीट की त्रिज्या $r$ है और उसका क्षेत्रफल $A$ है।
दिया गया है कि $A = \pi r^2$.
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$.
हमें दिया गया है कि $\frac{dA}{dt} = 6\pi \, cm^2/hr$ और $r = 30 \, cm$ है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$6\pi = 2\pi (30) \frac{dr}{dt}$.
$6\pi = 60\pi \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{6\pi}{60\pi} = \frac{1}{10} = 0.1 \, cm/hr$.
अतः,वृत्ताकार शीट की त्रिज्या के बढ़ने की दर $0.1 \, cm/hr$ है।

(D) माना $A$ क्षेत्रफल है,$b$ चौड़ाई है और $\ell$ आयत की लंबाई है।
दिया गया है: $\frac{dA}{dt} = -5$,$\frac{d\ell}{dt} = 2$,और $\frac{db}{dt} = -3$.
हम जानते हैं कि आयत का क्षेत्रफल $A = \ell \times b$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \ell \cdot \frac{db}{dt} + b \cdot \frac{d\ell}{dt}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$-5 = \ell(-3) + b(2)$.
$-5 = -3\ell + 2b$.
जब चौड़ाई $b = 2 \, m$ है,तो हम इसे समीकरण में रखते हैं:
$-5 = -3\ell + 2(2)$.
$-5 = -3\ell + 4$.
$3\ell = 4 + 5$.
$3\ell = 9$.
$\ell = 3 \, m$.
अतः,आयत की लंबाई $3 \, m$ है।

(C) दिया गया है $W = nw$।
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{dW}{dt} = n \frac{dw}{dt} + w \frac{dn}{dt}$
दिया गया है $n = 2t^2 + 3$ और $w = t^2 - t + 2$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dn}{dt} = 4t$
$\frac{dw}{dt} = 2t - 1$
$t = 1$ पर:
$n = 2(1)^2 + 3 = 5$
$w = (1)^2 - 1 + 2 = 2$
$\frac{dn}{dt} = 4(1) = 4$
$\frac{dw}{dt} = 2(1) - 1 = 1$
इन मानों को अवकलन सूत्र में रखने पर:
$\frac{dW}{dt} = (5)(1) + (2)(4)$
$\frac{dW}{dt} = 5 + 8 = 13$

(B) माना $A$ वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल है और $r$ इसकी त्रिज्या है। क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^2$ है।
दिया गया है कि त्रिज्या $r = 50 \, cm$ है और त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 1 \, mm/hour = 0.1 \, cm/hour = \frac{1}{10} \, cm/hour$ है।
समय $t$ के सापेक्ष क्षेत्रफल का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dA}{dt} = 2 \times \pi \times 50 \times \frac{1}{10} = 10\pi \, cm^2/hour$ प्राप्त होता है।
अतः,प्लेट के क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $10\pi \, cm^2/hour$ है।

(B) माना समय $t$ पर पानी की गहराई $h$ है और पानी की सतह की त्रिज्या $r$ है।
अर्ध-शीर्ष कोण $\theta = \tan^{-1}(1/2)$ दिया गया है,इसलिए $\tan \theta = \frac{r}{h} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $r = \frac{h}{2}$।
शंकु में पानी का आयतन $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ है।
$r = \frac{h}{2}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{12}$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{12} (3h^2) \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{4} \frac{dh}{dt}$।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 5 \ m^3/min$ और $h = 10 \ m$,इन मानों को रखने पर:
$5 = \frac{\pi (10)^2}{4} \frac{dh}{dt}$
$5 = \frac{100\pi}{4} \frac{dh}{dt}$
$5 = 25\pi \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = \frac{5}{25\pi} = \frac{1}{5\pi} \ m/min$।

(D) माना लोहे की गेंद की त्रिज्या $r = 10 \, cm$ है और बर्फ की परत की मोटाई $h$ है।
बर्फ सहित गोले की कुल त्रिज्या $R = 10 + h$ है।
बर्फ की परत का आयतन $V$,बर्फ के साथ गोले के आयतन और लोहे की गेंद के आयतन के बीच का अंतर है:
$V = \frac{4}{3}\pi (10 + h)^3 - \frac{4}{3}\pi (10)^3$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3(10 + h)^2 \cdot \frac{dh}{dt} = 4\pi (10 + h)^2 \frac{dh}{dt}$
दिया गया है कि बर्फ $50 \, cm^3/min$ की दर से पिघल रही है,इसलिए $\frac{dV}{dt} = -50 \, cm^3/min$ है।
समीकरण में $h = 5 \, cm$ और $\frac{dV}{dt} = -50$ रखने पर:
$-50 = 4\pi (10 + 5)^2 \frac{dh}{dt}$
$-50 = 4\pi (15)^2 \frac{dh}{dt}$
$-50 = 4\pi (225) \frac{dh}{dt}$
$-50 = 900\pi \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = -\frac{50}{900\pi} = -\frac{1}{18\pi} \, cm/min$.
अतः,बर्फ की मोटाई के घटने की दर $\frac{1}{18\pi} \, cm/min$ है।

(D) माना सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी $x$ है और सीढ़ी के ऊपरी सिरे की जमीन से ऊंचाई $y$ है। सीढ़ी की लंबाई $L = 2 \ m = 200 \ cm$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 200^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$,जो सरल होकर $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ हो जाता है।
दिया गया है कि ऊपरी सिरा $25 \ cm/sec$ की दर से नीचे खिसक रहा है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -25 \ cm/sec$ है।
जब $y = 1 \ m = 100 \ cm$ है,तो $x^2 + 100^2 = 200^2$ से $x^2 = 40000 - 10000 = 30000$ प्राप्त होता है,जिससे $x = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \ cm$ मिलता है।
इन मानों को अवकलित समीकरण में रखने पर: $(100\sqrt{3}) \frac{dx}{dt} + (100)(-25) = 0$।
$(100\sqrt{3}) \frac{dx}{dt} = 2500$।
$\frac{dx}{dt} = \frac{2500}{100\sqrt{3}} = \frac{25}{\sqrt{3}} \ cm/sec$।

(B) $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिज्या के सापेक्ष क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2) = 2\pi r$.
दिया गया है कि $r = 5 \text{ cm}$,इस मान को अवकलज में रखने पर:
$\frac{dA}{dr} = 2 \times \pi \times 5 = 10\pi$.
अतः,जब $r = 5 \text{ cm}$ है,तो वृत्त के क्षेत्रफल के उसकी त्रिज्या के सापेक्ष परिवर्तन की दर $10\pi \text{ cm}^2/\text{cm}$ है।

(A) माना कि $x$ घन के किनारे की लंबाई है। माना $V$ आयतन है और $S$ घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल है। तब $V = x^3$ और $S = 6x^2$, जहाँ $x$ समय $t$ का एक फलन है।
दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 9 \text{ cm}^3/\text{s}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए, $\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(x^3) = 3x^2 \cdot \frac{dx}{dt}$।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, $9 = 3x^2 \cdot \frac{dx}{dt}$, जिससे $\frac{dx}{dt} = \frac{3}{x^2}$ प्राप्त होता है।
अब, हमें पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $\frac{dS}{dt}$ ज्ञात करनी है।
श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, $\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(6x^2) = 12x \cdot \frac{dx}{dt}$।
$\frac{dx}{dt} = \frac{3}{x^2}$ का मान समीकरण में रखने पर, हमें $\frac{dS}{dt} = 12x \cdot \left(\frac{3}{x^2}\right) = \frac{36}{x}$ प्राप्त होता है।
जब किनारे की लंबाई $x = 10 \text{ cm}$ है, तो पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $\frac{dS}{dt} = \frac{36}{10} = 3.6 \text{ cm}^2/\text{s}$ है।

(A) $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
यहाँ त्रिज्या में परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 4 \text{ cm/s}$ दी गई है।
उस क्षण जब $r = 10 \text{ cm}$ है,मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (10 \text{ cm}) (4 \text{ cm/s}) = 80 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
अतः,घिरा हुआ क्षेत्रफल $80 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ की दर से बढ़ रहा है।

(A) दिया गया है कि लंबाई $x$,$3 \text{ cm/min}$ की दर से घट रही है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -3 \text{ cm/min}$.
दिया गया है कि चौड़ाई $y$,$2 \text{ cm/min}$ की दर से बढ़ रही है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = 2 \text{ cm/min}$.
आयत का क्षेत्रफल $A = x \cdot y$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dt} = \frac{dx}{dt} \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dt}$.
दिए गए मान $x = 10 \text{ cm}$,$y = 6 \text{ cm}$,$\frac{dx}{dt} = -3 \text{ cm/min}$,और $\frac{dy}{dt} = 2 \text{ cm/min}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = (-3)(6) + (10)(2) = -18 + 20 = 2 \text{ cm}^2/\text{min}$.
अतः,क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर $2 \text{ cm}^2/\text{min}$ है।

(A) सीमांत लागत $(MC)$ कुल लागत फलन $C(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन है:
$MC = \frac{dC}{dx} = \frac{d}{dx}(0.005x^{3} - 0.02x^{2} + 30x + 5000)$
$MC = 0.005(3x^{2}) - 0.02(2x) + 30$
$MC = 0.015x^{2} - 0.04x + 30$
जब $x = 3$ इकाइयों का उत्पादन होता है,तब सीमांत लागत ज्ञात करने के लिए,$MC$ के व्यंजक में $x = 3$ प्रतिस्थापित करें:
$MC = 0.015(3)^{2} - 0.04(3) + 30$
$MC = 0.015(9) - 0.12 + 30$
$MC = 0.135 - 0.12 + 30$
$MC = 0.015 + 30 = 30.015$
अतः,सीमांत लागत $Rs. 30.015$ है।

(A) सीमांत राजस्व को बेची गई इकाइयों की संख्या के सापेक्ष कुल राजस्व में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो अवकलज $\frac{dR}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $R(x) = 3x^2 + 36x + 5$.
सीमांत राजस्व $(MR) = \frac{dR}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 + 36x + 5) = 6x + 36$.
जब $x = 5$ हो,तो सीमांत राजस्व ज्ञात करने के लिए,हम $MR$ के व्यंजक में $x = 5$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$MR = 6(5) + 36 = 30 + 36 = 66$.
अतः,अभीष्ट सीमांत राजस्व $Rs. 66$ है।

(A) त्रिज्या $(r)$ वाले वृत्त का क्षेत्रफल $(A)$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A = \pi r^2$
क्षेत्रफल में उसकी त्रिज्या के सापेक्ष परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए, हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2) = 2 \pi r$
अब, $r = 3 \text{ cm}$ का मान रखने पर:
$\frac{dA}{dr} = 2 \pi (3) = 6 \pi \text{ cm}$
अतः, जब त्रिज्या $3 \text{ cm}$ है, तो वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर $6 \pi \text{ cm}$ है।

(A) त्रिज्या $(r)$ वाले वृत्त का क्षेत्रफल $(A)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A = \pi r^{2}$
क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर उसकी त्रिज्या के सापेक्ष ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^{2}) = 2 \pi r$
अब,दिए गए मान $r = 4 \, cm$ को अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dr} = 2 \pi (4) = 8 \pi \, cm$
अतः,जब त्रिज्या $r = 4 \, cm$ है,तो वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $8 \pi \, cm$ है।

(A) माना $x$ किनारे की लंबाई है,$V$ आयतन है और $S$ घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
हम जानते हैं कि $V = x^{3}$ और $S = 6x^{2}$ होता है।
दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = 8 \, cm^{3}/s$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(x^{3}) = 3x^{2} \cdot \frac{dx}{dt}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $8 = 3x^{2} \cdot \frac{dx}{dt} \implies \frac{dx}{dt} = \frac{8}{3x^{2}}$।
अब,पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $\frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(6x^{2}) = 12x \cdot \frac{dx}{dt}$ है।
पिछले चरण से $\frac{dx}{dt}$ का मान रखने पर: $\frac{dS}{dt} = 12x \cdot \left(\frac{8}{3x^{2}}\right) = \frac{32}{x}$।
जब किनारे की लंबाई $x = 12 \, cm$ है,तो पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $\frac{dS}{dt} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \, cm^{2}/s$ होगी।

(A) त्रिज्या $(r)$ वाले वृत्त का क्षेत्रफल $(A)$ इस प्रकार है:
$A = \pi r^2$
समय $(t)$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$ (श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए)।
दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 3 \text{ cm/s}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r (3) = 6 \pi r$.
जब त्रिज्या $r = 10 \text{ cm}$ है,तो क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर:
$\frac{dA}{dt} = 6 \pi (10) = 60 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
अतः,वृत्त का क्षेत्रफल $60 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ की दर से बढ़ रहा है।

(A) माना $x$ किनारे की लंबाई है और $V$ घन का आयतन है।
अतः,आयतन का सूत्र $V = x^3$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(x^3) = 3x^2 \cdot \frac{dx}{dt}$ (श्रृंखला नियम द्वारा)।
दिया गया है कि किनारे के बढ़ने की दर $\frac{dx}{dt} = 3 \, cm/s$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$\frac{dV}{dt} = 3x^2(3) = 9x^2$।
जब किनारे की लंबाई $x = 10 \, cm$ है,तो आयतन के बढ़ने की दर:
$\frac{dV}{dt} = 9(10)^2 = 9(100) = 900 \, cm^3/s$ है।
अतः,जब किनारा $10 \, cm$ लंबा है,तो घन का आयतन $900 \, cm^3/s$ की दर से बढ़ रहा है।

(A) $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2\pi r \frac{dr}{dt}$.
यहाँ त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 5 \text{ cm/s}$ दी गई है।
उस क्षण जब $r = 8 \text{ cm}$ है,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (8 \text{ cm}) (5 \text{ cm/s}) = 80 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$.
अतः,घिरा हुआ क्षेत्रफल $80 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ की दर से बढ़ रहा है।

(A) $r$ त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि $C = 2 \pi r$ द्वारा दी जाती है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें परिधि के परिवर्तन की दर प्राप्त होती है:
$\frac{dC}{dt} = \frac{d}{dt}(2 \pi r) = 2 \pi \frac{dr}{dt}$.
यह दिया गया है कि त्रिज्या के बढ़ने की दर $\frac{dr}{dt} = 0.7 \, cm/s$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dC}{dt} = 2 \pi (0.7) = 1.4 \pi \, cm/s$.
अतः,परिधि के बढ़ने की दर $1.4 \pi \, cm/s$ है।

(A) दिया गया है कि लंबाई $x$,$5 \text{ cm/min}$ की दर से घट रही है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -5 \text{ cm/min}$।
दिया गया है कि चौड़ाई $y$,$4 \text{ cm/min}$ की दर से बढ़ रही है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = 4 \text{ cm/min}$।
आयत का परिमाप $P$ सूत्र $P = 2(x + y)$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष परिमाप में परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dP}{dt} = 2 \left( \frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt} \right)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dP}{dt} = 2(-5 + 4) = 2(-1) = -2 \text{ cm/min}$।
अतः,परिमाप $2 \text{ cm/min}$ की दर से घट रहा है।

(A) दिया गया है कि लंबाई $x$,$5 \text{ cm/min}$ की दर से घट रही है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -5 \text{ cm/min}$ है।
दिया गया है कि चौड़ाई $y$,$4 \text{ cm/min}$ की दर से बढ़ रही है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = 4 \text{ cm/min}$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A = x \times y$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dt} = \frac{dx}{dt} \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $x = 8 \text{ cm}$,$y = 6 \text{ cm}$,$\frac{dx}{dt} = -5 \text{ cm/min}$,और $\frac{dy}{dt} = 4 \text{ cm/min}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = (-5)(6) + (8)(4) = -30 + 32 = 2 \text{ cm}^2/\text{min}$।
अतः,आयत का क्षेत्रफल $2 \text{ cm}^2/\text{min}$ की दर से बढ़ रहा है।

(A) त्रिज्या $(r)$ वाले गोले का आयतन $(V)$ इस प्रकार दिया गया है: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
समय $(t)$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें आयतन के परिवर्तन की दर प्राप्त होती है:
$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 900 \, cm^3/s$,इसलिए:
$900 = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{dr}{dt} = \frac{900}{4 \pi r^2} = \frac{225}{\pi r^2}$.
जब त्रिज्या $r = 15 \, cm$ है:
$\frac{dr}{dt} = \frac{225}{\pi (15)^2} = \frac{225}{225 \pi} = \frac{1}{\pi} \, cm/s$.
अतः,जिस दर पर गुब्बारे की त्रिज्या बढ़ रही है वह $\frac{1}{\pi} \, cm/s$ है।

(A) त्रिज्या $r$ वाले गोले का आयतन $V$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$।
त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के बढ़ने की दर ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $\frac{dV}{dr}$ की गणना करते हैं:
$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) = \frac{4}{3} \pi (3r^2) = 4 \pi r^2$।
हमें यह दर तब ज्ञात करनी है जब त्रिज्या $r = 10 \text{ cm}$ हो।
अवकलज में $r = 10$ रखने पर:
$\frac{dV}{dr} = 4 \pi (10)^2 = 4 \pi (100) = 400 \pi$।
अतः,त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के बढ़ने की दर $400 \pi \text{ cm}^3/\text{cm}$ है।

(A) माना सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी $x$ है और दीवार पर सीढ़ी की ऊँचाई $y$ है।
सीढ़ी की लंबाई $5 \ m$ दी गई है,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$,जो सरल होकर $\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y} \frac{dx}{dt}$ हो जाता है।
यहाँ $\frac{dx}{dt} = 2 \ cm/s$ दिया गया है।
जब $x = 4 \ m$ है,तब $y = \sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{9} = 3 \ m$.
मान रखने पर: $\frac{dy}{dt} = -\frac{4}{3} \times 2 = -\frac{8}{3} \ cm/s$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि ऊँचाई घट रही है।
अतः,ऊँचाई $\frac{8}{3} \ cm/s$ की दर से घट रही है।

(A) वक्र का समीकरण $6y = x^3 + 2$ दिया गया है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$6 \frac{dy}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$
$3$ से भाग देने पर:
$2 \frac{dy}{dt} = x^2 \frac{dx}{dt}$
यह दिया गया है कि $y$-निर्देशांक,$x$-निर्देशांक की तुलना में $8$ गुना तेजी से बदल रहा है,अर्थात $\frac{dy}{dt} = 8 \frac{dx}{dt}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$2(8 \frac{dx}{dt}) = x^2 \frac{dx}{dt}$
$16 \frac{dx}{dt} = x^2 \frac{dx}{dt}$
$(x^2 - 16) \frac{dx}{dt} = 0$
मान लीजिए $\frac{dx}{dt} \neq 0$,तो $x^2 = 16$,जिससे $x = 4$ या $x = -4$ प्राप्त होता है।
जब $x = 4$,तब $6y = 4^3 + 2 = 66$,इसलिए $y = 11$। बिंदु $(4, 11)$ है।
जब $x = -4$,तब $6y = (-4)^3 + 2 = -62$,इसलिए $y = -62/6 = -31/3$। बिंदु $(-4, -31/3)$ है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(4, 11)$ और $(-4, -31/3)$ हैं।

(A) हवा का बुलबुला एक गोले के आकार का है।
त्रिज्या $r$ वाले गोले का आयतन $V$ इस प्रकार दिया जाता है: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3} \pi \cdot 3r^2 \cdot \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$।
दिया गया है कि $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2} \text{ cm/s}$ और $r = 1 \text{ cm}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4 \pi (1)^2 \left( \frac{1}{2} \right) = 2 \pi \text{ cm}^3/\text{s}$।
अतः,बुलबुले का आयतन $2 \pi \text{ cm}^3/\text{s}$ की दर से बढ़ रहा है।

(B) त्रिज्या $(r)$ वाले गोले का आयतन $(V)$ इस प्रकार है: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$.
दिया गया व्यास $d = \frac{3}{2}(2x+1)$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{3}{4}(2x+1)$ होगी।
आयतन के सूत्र में $r$ का मान रखने पर:
$V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{3}{4}(2x+1) \right)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{27}{64} (2x+1)^3 = \frac{9}{16} \pi (2x+1)^3$.
$x$ के सापेक्ष आयतन में परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,$V$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{9}{16} \pi (2x+1)^3 \right) = \frac{9}{16} \pi \cdot 3(2x+1)^2 \cdot \frac{d}{dx}(2x+1)$.
$\frac{dV}{dx} = \frac{27}{16} \pi (2x+1)^2 \cdot 2 = \frac{27}{8} \pi (2x+1)^2$.

(A) शंकु का आयतन $V$,त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ के लिए $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
दिया गया है कि $h = \frac{1}{6} r$,इसलिए $r = 6h$ है।
आयतन के सूत्र में $r$ का मान रखने पर: $V = \frac{1}{3} \pi (6h)^2 h = \frac{1}{3} \pi (36h^2) h = 12 \pi h^3$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dt} = 12 \pi (3h^2) \frac{dh}{dt} = 36 \pi h^2 \frac{dh}{dt}$।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 12 \text{ cm}^3/\text{s}$,इसलिए $12 = 36 \pi h^2 \frac{dh}{dt}$।
जब $h = 4 \text{ cm}$ है,तब $12 = 36 \pi (4)^2 \frac{dh}{dt} = 36 \pi (16) \frac{dh}{dt} = 576 \pi \frac{dh}{dt}$।
अतः,$\frac{dh}{dt} = \frac{12}{576 \pi} = \frac{1}{48 \pi} \text{ cm/s}$।

(A) सीमांत लागत,उत्पादन के सापेक्ष कुल लागत में परिवर्तन की दर है।
सीमांत लागत $(MC) = \frac{dC}{dx} = 0.007(3x^{2}) - 0.003(2x) + 15$
$= 0.021x^{2} - 0.006x + 15$
जब $x = 17$,तब $MC = 0.021(17^{2}) - 0.006(17) + 15$
$= 0.021(289) - 0.102 + 15$
$= 6.069 - 0.102 + 15$
$= 20.967$
अतः,जब $17$ इकाइयों का उत्पादन होता है,तो सीमांत लागत $Rs. 20.967$ है।

(A) सीमांत राजस्व को बेची गई इकाइयों की संख्या के सापेक्ष कुल राजस्व में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो अवकलज $\frac{dR}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया कुल राजस्व फलन $R(x) = 13x^2 + 26x + 15$ है।
सीमांत राजस्व $(MR)$ ज्ञात करने के लिए,हम $R(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$MR = \frac{dR}{dx} = \frac{d}{dx}(13x^2 + 26x + 15)$
$MR = 13(2x) + 26(1) + 0$
$MR = 26x + 26$
अब,$x = 7$ पर सीमांत राजस्व का मान ज्ञात करते हैं:
$MR = 26(7) + 26$
$MR = 182 + 26$
$MR = 208$
अतः,जब $x = 7$ है,तो सीमांत राजस्व $Rs. 208$ है।

(B) त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार दिया गया है:
$A = \pi r^2$
क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर उसकी त्रिज्या $r$ के सापेक्ष ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(\pi r^2) = 2 \pi r$
अब,$r = 6 \text{ cm}$ पर इस अवकलज का मान ज्ञात करने पर:
$\frac{dA}{dr} = 2 \pi (6) = 12 \pi \text{ cm}^2/\text{cm}$
अतः,$r = 6 \text{ cm}$ पर वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $12 \pi \text{ cm}^2/\text{cm}$ है।
सही विकल्प $B$ है।