Rate of Change of Quantities Questions in Hindi

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
दिया गया है कि $y$-निर्देशांक $3 \text{ units/sec}$ की दर से घट रहा है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -3 \text{ units/sec}$।
बिंदु $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ पर,$x = \frac{1}{2}$,$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$,और $\frac{dy}{dt} = -3$ रखने पर:
$\frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(-3) = 0$
$\frac{1}{2} \frac{dx}{dt} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$\frac{dx}{dt} = 3\sqrt{3} \text{ units/sec}$।
अतः,$x$-निर्देशांक $3\sqrt{3} \text{ units/sec}$ की दर से बढ़ रहा है।

(B) माना $P$ पतंग की स्थिति है और $PR$ डोरी है। माना $PQ = 120 \ m$ स्थिर ऊँचाई है।
माना $QR = x$ और $PR = y$ है।
$\triangle PQR$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$y^2 = (120)^2 + x^2 \dots (i)$
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2y \frac{dy}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$
$y \frac{dy}{dt} = x \frac{dx}{dt} \dots (ii)$
दिया गया है कि पतंग $39 \ m/sec$ की दर से क्षैतिज रूप से दूर जा रही है,अर्थात $\frac{dx}{dt} = 39 \ m/sec$.
$(i)$ से,जब $y = 130 \ m$ है:
$(130)^2 = (120)^2 + x^2$
$x^2 = 16900 - 14400 = 2500$
$x = 50 \ m$
इन मानों को $(ii)$ में रखने पर:
$130 \frac{dy}{dt} = 50 \times 39$
$\frac{dy}{dt} = \frac{50 \times 39}{130} = \frac{1950}{130} = 15 \ m/sec$.
अतः,जिस दर से डोरी बाहर निकल रही है,वह $15 \ m/sec$ है।

(B) माना सीढ़ी $AC = 17 \,m$ है। दीवार की ऊँचाई $AB = x$ और जमीन पर दूरी $BC = y$ है।
$\triangle ABC$ में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$x^2 + y^2 = 17^2 = 289$
दिया गया है कि निचला सिरा $\frac{dy}{dt} = 1 \,m/sec$ की दर से फिसल रहा है।
जब $y = 8 \,m$ है, तो $x^2 + 8^2 = 289 \Rightarrow x^2 = 289 - 64 = 225 \Rightarrow x = 15 \,m$।
समय $t$ के सापेक्ष $x^2 + y^2 = 289$ का अवकलन करने पर:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
मान $x = 15$, $y = 8$, और $\frac{dy}{dt} = 1$ रखने पर:
$15 \frac{dx}{dt} + 8(1) = 0$
$15 \frac{dx}{dt} = -8$
$\frac{dx}{dt} = -\frac{8}{15} \,m/sec$।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि ऊँचाई $x$ घट रही है। अतः, ऊपरी सिरा $\frac{8}{15} \,m/sec$ की दर से नीचे आ रहा है।

(D) माना $t$ सेकंड पर वर्ग का क्षेत्रफल $A$, परिमाप $P$ और भुजा की लंबाई $X$ है।
तब, $A = X^2$ और $P = 4X$ है।
इससे हमें $P = 4 \sqrt{A}$ प्राप्त होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dP}{dt} = 4 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{A}} \cdot \frac{dA}{dt} = \frac{2}{\sqrt{A}} \cdot \frac{dA}{dt}$.
चूंकि $A = X^2$, इसलिए $\sqrt{A} = X$ है। अतः, $\frac{dP}{dt} = \frac{2}{X} \cdot \frac{dA}{dt}$.
दिया गया है कि क्षेत्रफल $4 \,cm^2 / sec$ की दर से घट रहा है, इसलिए $\frac{dA}{dt} = -4 \,cm^2 / sec$.
$X = 20 \,cm$ पर:
$\frac{dP}{dt} = \frac{2}{20} \times (-4) = -\frac{8}{20} = -\frac{2}{5} \,cm / sec$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि परिमाप $\frac{2}{5} \,cm / sec$ की दर से घट रहा है।

(B) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dS}{dt} = 2 \text{ cm}^2/\text{sec}$ और $r = 6 \text{ cm}$,इसलिए $2 = 8 \pi (6) \frac{dr}{dt}$।
अतः,$\frac{dr}{dt} = \frac{2}{48 \pi} = \frac{1}{24 \pi} \text{ cm/sec}$।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi (6)^2 \times \frac{1}{24 \pi} = 4 \pi \times 36 \times \frac{1}{24 \pi} = \frac{144 \pi}{24 \pi} = 6 \text{ cm}^3/\text{sec}$।

(B) शंक्वाकार पात्र के लिए, ऊँचाई $H = 9 \text{ cm}$ और आधार की त्रिज्या $R = 5 \text{ cm}$ है।
पात्र का कुल आयतन $V_{total} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (25)(9) = 75\pi \text{ cm}^3$ है।
माना $t$ समय पर पानी की ऊँचाई $h$ है और पानी की सतह की त्रिज्या $r$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से, $\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{5}{9}$, अतः $r = \frac{5h}{9}$।
पानी की सतह का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{5h}{9}\right)^2 = \frac{25\pi h^2}{81}$ है।
दी गई शर्त के अनुसार पानी के स्तर के बढ़ने की दर $\frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{A} = \frac{\pi}{\frac{25\pi h^2}{81}} = \frac{81}{25h^2}$ है।
चरों को अलग करने पर, $h^2 \, dh = \frac{81}{25} \, dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\int h^2 \, dh = \int \frac{81}{25} \, dt \implies \frac{h^3}{3} = \frac{81}{25}t + C$।
चूँकि $t=0$ पर $h=0$ है, इसलिए $C=0$, अतः $h^3 = \frac{243}{25}t$।
पानी का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{25h^2}{81}\right) h = \frac{25\pi h^3}{243}$ है।
$h^3 = \frac{243}{25}t$ का मान रखने पर, $V = \frac{25\pi}{243} \left(\frac{243}{25}t\right) = \pi t$ प्राप्त होता है।
शंकु के पूरी तरह भरने के लिए, $V = V_{total} = 75\pi$ होना चाहिए।
अतः, $\pi t = 75\pi \implies t = 75 \text{ सेकंड}$।

(C) अर्धगोलाकार कटोरे की त्रिज्या $R = 180 \text{ cm}$ है।
पानी के प्रवाह की दर $\frac{dV}{dt} = 108 \text{ dm}^3/\text{min}$ है।
चूँकि $1 \text{ dm} = 10 \text{ cm}$,इसलिए $1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$ है।
$\frac{dV}{dt} = 108 \times 1000 \text{ cm}^3 / 60 \text{ sec} = 1800 \text{ cm}^3/\text{sec}$।
माना पानी की गहराई $x$ है। अर्धगोलाकार कटोरे में पानी का आयतन $V = \frac{\pi}{3} x^2(3R - x)$ द्वारा दिया जाता है।
$R = 180$ रखने पर,$V = \frac{\pi}{3} x^2(540 - x) = 180 \pi x^2 - \frac{\pi}{3} x^3$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = (360 \pi x - \pi x^2) \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
$x = 120 \text{ cm}$ पर,$1800 = (360 \pi(120) - \pi(120)^2) \frac{dx}{dt}$।
$1800 = (43200 \pi - 14400 \pi) \frac{dx}{dt} = 28800 \pi \frac{dx}{dt}$।
$\frac{dx}{dt} = \frac{1800}{28800 \pi} = \frac{1}{16 \pi} \text{ cm/sec}$।

(A) मान लीजिए $A = (h, 2h)$ है।
दूरी $OA = \sqrt{h^2 + (2h)^2} = \sqrt{5}h$ है।
यह दिया गया है कि बिंदु $A$ $2 \text{ units/sec}$ की दर से गति कर रहा है,इसलिए $\frac{d(OA)}{dt} = 2$ है।
अतः,$\sqrt{5} \frac{dh}{dt} = 2$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dh}{dt} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।
शीर्षों $A(h, 2h)$,$B(0, 3)$,और $C(4, 0)$ वाले $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\alpha$ सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\alpha = \frac{1}{2} |h(3-0) + 0(0-2h) + 4(2h-3)| = \frac{1}{2} |3h + 8h - 12| = \frac{1}{2} |11h - 12|$ है।
यह मानते हुए कि क्षेत्रफल बढ़ रहा है,हम $\alpha = \frac{11h - 12}{2}$ लेते हैं।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d\alpha}{dt} = \frac{11}{2} \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dh}{dt} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{d\alpha}{dt} = \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{11}{\sqrt{5}} \text{ (units)}^2/\text{sec}$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि $x$ वर्ग के विकर्ण की लंबाई है और $A$ इसका क्षेत्रफल है।
दिया गया है कि विकर्ण के परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt} = 0.5 \text{ cm/sec}$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल उसके विकर्ण $x$ के पदों में $A = \frac{x^2}{2}$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{x^2}{2} \right) = \frac{2x}{2} \cdot \frac{dx}{dt} = x \cdot \frac{dx}{dt}$.
दिया गया है कि क्षेत्रफल $A = 400 \text{ cm}^2$,इसलिए $A = \frac{x^2}{2}$ का उपयोग करके विकर्ण $x$ ज्ञात करते हैं:
$400 = \frac{x^2}{2} \implies x^2 = 800 \implies x = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \text{ cm}$.
अब,$\frac{dA}{dt}$ के समीकरण में $x = 20\sqrt{2}$ और $\frac{dx}{dt} = 0.5$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = (20\sqrt{2}) \cdot (0.5) = 10\sqrt{2} \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(A) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ है।
उस क्षण पर जब त्रिज्या $r = 10 \text{ cm}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान $r = 10 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi \times 10 \times 2 = 40 \pi \text{ cm}^2\text{/sec}$.
अतः, क्षेत्रफल में वृद्धि की दर $40 \pi \text{ cm}^2\text{/sec}$ है।

(A) माना कि वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है और इसका क्षेत्रफल $A$ है।
दिया गया है कि भुजा की लंबाई में परिवर्तन की दर $\frac{da}{dt} = 3 \text{ cm/min}$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $A = a^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dt} = 2a \frac{da}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $a = 6 \text{ cm}$ और $\frac{da}{dt} = 3 \text{ cm/min}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 6 \times 3 = 36 \text{ cm}^2/\text{min}$।
अतः,क्षेत्रफल $36 \text{ cm}^2/\text{min}$ की दर से बढ़ रहा है।

(A) माना $r$ बर्फ की परत सहित गोले की त्रिज्या है।
दिया गया है कि लोहे की गेंद की त्रिज्या $10 \text{ cm}$ है और बर्फ की मोटाई $x = 5 \text{ cm}$ है,इसलिए कुल त्रिज्या $r = 10 + x = 15 \text{ cm}$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बर्फ $50 \text{ cm}^3/\text{min}$ की दर से पिघलती है,इसलिए आयतन में परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = -50 \text{ cm}^3/\text{min}$ है।
मान रखने पर: $-50 = 4 \pi (15)^2 \frac{dr}{dt}$.
$\frac{dr}{dt} = \frac{-50}{4 \pi \times 225} = \frac{-50}{900 \pi} = \frac{-1}{18 \pi} \text{ cm/min}$.
चूंकि $\frac{dr}{dt} = \frac{dx}{dt}$,इसलिए मोटाई घटने की दर $\frac{1}{18 \pi} \text{ cm/min}$ है।

(C) उत्पादन में परिवर्तन की दर दी गई है: $\frac{dP}{dx} = 100 - 12\sqrt{x}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int dP = \int (100 - 12x^{1/2}) dx$.
$P = 100x - 12 \times \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = 100x - 8x^{3/2} + C$.
प्रारंभ में,जब $x = 0$,तो उत्पादन $P = 2000$ है। इन मानों को रखने पर: $2000 = 100(0) - 8(0)^{3/2} + C$,जिससे $C = 2000$ प्राप्त होता है।
अतः,उत्पादन फलन $P(x) = 100x - 8x^{3/2} + 2000$ है।
$x = 25$ अतिरिक्त श्रमिकों के लिए,नया उत्पादन स्तर: $P(25) = 100(25) - 8(25)^{3/2} + 2000$.
$P(25) = 2500 - 8(125) + 2000$.
$P(25) = 2500 - 1000 + 2000 = 3500$.

(A) दिया गया है कि आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dv}{dt} = 36 \text{ } m^3/sec$ है।
बेलन का आयतन $v = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
आधार त्रिज्या $r = 3 \text{ } m$ दी गई है,इसलिए आयतन $v = \pi (3)^2 h = 9\pi h$ होगा।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dv}{dt} = 9\pi \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर,$36 = 9\pi \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dh}{dt}$ के लिए हल करने पर,$\frac{dh}{dt} = \frac{36}{9\pi} = \frac{4}{\pi} \text{ } m/sec$ प्राप्त होता है।

(D) माना लोहे की गेंद की त्रिज्या $r = 10 \text{ cm}$ है। माना बर्फ की परत की मोटाई $x$ है। गोले की कुल त्रिज्या (लोहे की गेंद + बर्फ) $R = r + x = 10 + x \text{ cm}$ है।
बर्फ का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3 - \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (10 + x)^3 - \frac{4}{3} \pi (10)^3$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi (10 + x)^2 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि बर्फ $50 \text{ cm}^3/\text{min}$ की दर से पिघलती है,इसलिए $\frac{dV}{dt} = -50 \text{ cm}^3/\text{min}$।
जब मोटाई $x = 5 \text{ cm}$ है,तो कुल त्रिज्या $R = 10 + 5 = 15 \text{ cm}$ है।
इन मानों को रखने पर: $-50 = 4 \pi (15)^2 \frac{dx}{dt}$।
$-50 = 4 \pi (225) \frac{dx}{dt} = 900 \pi \frac{dx}{dt}$।
$\frac{dx}{dt} = -\frac{50}{900 \pi} = -\frac{1}{18 \pi} \text{ cm/min}$।
अतः,बर्फ की मोटाई घटने की दर $\frac{1}{18 \pi} \text{ cm/min}$ है।

(A) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा $s$ है और इसका क्षेत्रफल $A$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2s \cdot \frac{ds}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} s \cdot \frac{ds}{dt}$.
दिया गया है कि $\frac{ds}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ और $s = 10 \text{ cm}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 \times 2 = 10 \sqrt{3} \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(D) बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2rh \frac{dr}{dt} + r^2 \frac{dh}{dt} \right)$
दिया गया है: $r = 3 \text{ cm}$,$h = 5 \text{ cm}$,$\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$,और $\frac{dh}{dt} = -3 \text{ cm/sec}$ (चूँकि ऊँचाई घट रही है)।
इन मानों को अवकलज में रखने पर:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2 \times 3 \times 5 \times 2 + 3^2 \times (-3) \right)$
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 60 - 27 \right)$
$\frac{dV}{dt} = 33 \pi \text{ cm}^3/\text{sec}$.

(D) लंबवृत्तीय बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2r \cdot \frac{dr}{dt} \cdot h + r^2 \cdot \frac{dh}{dt} \right)$.
दिया है: $r = 2 \text{ cm}$,$h = 3 \text{ cm}$,$\frac{dr}{dt} = 0.1 \text{ cm/min}$,और $\frac{dh}{dt} = -0.2 \text{ cm/min}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dV}{dt} = \pi \left( 2 \times 2 \times 0.1 \times 3 + 2^2 \times (-0.2) \right)$
$= \pi \left( 1.2 - 0.8 \right) = 0.4 \pi = \frac{2\pi}{5} \text{ cm}^3\text{/min}$.

(C) माना $V$ गोले का आयतन है और $S$ त्रिज्या $r$ वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$
$S = 4 \pi r^2$
$V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$
$S$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dS}{dr} = 8 \pi r$
हमें पृष्ठीय क्षेत्रफल के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जो $\frac{dV}{dS}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$
यहाँ $r = 5 \ m$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{dV}{dS} = \frac{5}{2}$

(D) कण की स्थिति $S(t) = at^2 + bt + 6$ द्वारा दी गई है।
$t = 0$ पर,प्रारंभिक स्थिति $S(0) = 6 \text{ m}$ है।
समय $t$ पर शुरुआती बिंदु से विस्थापन $S(t) - S(0) = at^2 + bt$ है।
दिया गया है कि $t = 4 \text{ s}$ पर,विस्थापन $16 \text{ m}$ है,इसलिए $a(4)^2 + b(4) = 16 \Rightarrow 16a + 4b = 16 \Rightarrow 4a + b = 4$ (समीकरण $1$)।
वेग $v(t) = \frac{dS}{dt} = 2at + b$ है।
चूंकि कण $t = 4 \text{ s}$ पर स्थिर हो जाता है,$v(4) = 0 \Rightarrow 2a(4) + b = 0 \Rightarrow 8a + b = 0$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ से समीकरण $1$ घटाने पर: $(8a + b) - (4a + b) = 0 - 4 \Rightarrow 4a = -4 \Rightarrow a = -1$।
$a = -1$ को समीकरण $2$ में रखने पर: $8(-1) + b = 0 \Rightarrow b = 8$।
त्वरण $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = 2a = 2(-1) = -2 \text{ m/s}^2$।
यदि प्रश्न का अर्थ $S(4) = 16$ है,तो $16a + 4b + 6 = 16 \Rightarrow 16a + 4b = 10 \Rightarrow 8a + 2b = 5$। $8a + 2b = 5$ और $8a + b = 0$ को हल करने पर $b = 5$ और $a = -5/8$ प्राप्त होता है। अतः,$a_{acc} = 2a = -5/4 \text{ m/s}^2$। यह विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(D) दिया गया है कि पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $\frac{dA}{dt} = 2 \text{ cm}^2/\text{sec}$ है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $2 = 8\pi(6) \frac{dr}{dt} \implies 2 = 48\pi \frac{dr}{dt} \implies \frac{dr}{dt} = \frac{1}{24\pi} \text{ cm/sec}$.
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$r = 6$ और $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{24\pi}$ रखने पर:
$\frac{dV}{dt} = 4\pi(6)^2 \left(\frac{1}{24\pi}\right) = 4\pi(36) \left(\frac{1}{24\pi}\right) = \frac{144\pi}{24\pi} = 6 \text{ cm}^3/\text{sec}$.

(D) गोलाकार बर्फ के गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 8 \text{ cm}^3/\text{sec}$ और $r = 2 \text{ cm}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$8 = 4 \pi (2)^2 \frac{dr}{dt}$.
$8 = 16 \pi \frac{dr}{dt}$.
अतः,$\frac{dr}{dt} = \frac{8}{16\pi} = \frac{1}{2\pi} \text{ cm/sec}$.

(B) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/sec}$ है।
वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dA}{dt} = \pi (2r) \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान $r = 12 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 0.01 \text{ cm/sec}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (12) (0.01) = 0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.
अतः,क्षेत्रफल $0.24 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$ की दर से बढ़ रहा है।

(C) कण द्वारा तय की गई दूरी $s = 2 + 27t - t^3$ है।
यह जानने के लिए कि कण कब रुकता है,हमें वह समय $t$ ज्ञात करना होगा जब उसका वेग $v = \frac{ds}{dt}$ शून्य हो।
$\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2 + 27t - t^3) = 27 - 3t^2$.
वेग को शून्य रखने पर: $27 - 3t^2 = 0$.
$3t^2 = 27 \Rightarrow t^2 = 9$.
चूंकि समय $t > 0$ है,इसलिए $t = 3 \text{ सेकंड}$ प्राप्त होता है।
अब,$t = 3 \text{ सेकंड}$ पर तय की गई दूरी की गणना करते हैं:
$s(3) = 2 + 27(3) - (3)^3$.
$s(3) = 2 + 81 - 27$.
$s(3) = 56 \text{ मीटर}$.
अतः,कण $56 \text{ मीटर}$ की दूरी तय करने के बाद रुक जाएगा।

(B) विस्थापन $s = t^{3} - 4t^{2} - 5t$ द्वारा दिया गया है।
वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{ds}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^{3} - 4t^{2} - 5t) = 3t^{2} - 8t - 5$.
$t = 2 \text{ sec}$ पर वेग ज्ञात करने के लिए,$v$ के व्यंजक में $t = 2$ रखने पर:
$v = 3(2)^{2} - 8(2) - 5$.
$v = 3(4) - 16 - 5$.
$v = 12 - 16 - 5$.
$v = -9 \text{ इकाई/सेकंड}$.

(B) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ है।
चूंकि $1 \text{ decimeter} = 10 \text{ cm}$,इसलिए त्रिज्या $r = 5 \text{ decimeters} = 50 \text{ cm}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
मान $r = 50 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$ रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \times \pi \times 50 \times 2 = 200 \pi \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(C) दिया गया विस्थापन समीकरण: $s = t^{3} - 6t^{2} + 9t + 25$ ....$(1)$
वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है:
$v = \frac{ds}{dt} = 3t^{2} - 12t + 9$
दिया गया है कि वेग शून्य है:
$3t^{2} - 12t + 9 = 0$
$t^{2} - 4t + 3 = 0$
$(t - 1)(t - 3) = 0$
अतः,$t = 1$ या $t = 3$.
$t = 1$ पर विस्थापन: $s(1) = 1 - 6 + 9 + 25 = 29 \text{ इकाई}$.
$t = 3$ पर विस्थापन: $s(3) = 27 - 54 + 27 + 25 = 25 \text{ इकाई}$.
विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $27$ है।

(D) दिया गया विस्थापन फलन $s = 3t^{2} - 12t + 14$ है।
वेग $v$, समय $t$ के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है, जिसे $v = \frac{ds}{dt}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$v = \frac{d}{dt}(3t^{2} - 12t + 14) = 6t - 12$.
जब वेग शून्य हो जाता है, तो हम $v = 0$ रखते हैं:
$6t - 12 = 0 \implies 6t = 12 \implies t = 2 \text{ सेकंड}$.
अब, उस क्षण पर विस्थापन ज्ञात करने के लिए $t = 2$ को विस्थापन समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$s = 3(2)^{2} - 12(2) + 14$
$s = 3(4) - 24 + 14$
$s = 12 - 24 + 14 = 2 \text{ इकाई}$.
अतः, जब वेग शून्य होता है तब कण का विस्थापन $2 \text{ इकाई}$ है।

(C) माना वर्ग की भुजा $x$ है। क्षेत्रफल $A = x^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dA}{dt} = 0.5 \text{ cm}^2/\text{sec}$ और $x = 10 \text{ cm}$ है।
इन मानों को रखने पर: $0.5 = 2(10) \frac{dx}{dt} \Rightarrow 0.5 = 20 \frac{dx}{dt}$।
अतः,$\frac{dx}{dt} = \frac{0.5}{20} = 0.025 \text{ cm/sec}$।
वर्ग का परिमाप $P = 4x$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dP}{dt} = 4 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dx}{dt} = 0.025$ रखने पर,$\frac{dP}{dt} = 4(0.025) = 0.1 \text{ cm/sec}$ प्राप्त होता है।

(A) माना घन की भुजा $x \ cm$ है। घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 6x^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि भुजा के परिवर्तन की दर $\frac{dx}{dt} = -0.04 \ cm/sec$ है।
$A$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dt} = 12x \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dA}{dt} = 12(10)(-0.04) = 120(-0.04) = -4.8 \ cm^2/sec$।
ऋणात्मक चिह्न कमी को दर्शाता है। अतः,पृष्ठीय क्षेत्रफल के घटने की दर $4.8 \ cm^2/sec$ है।

(A) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 5 \ cm/sec$ है।
$t = 0$ पर,त्रिज्या $r = 0$ है।
$\frac{dr}{dt} = 5$ का समाकलन करने पर,हमें $r = 5t$ प्राप्त होता है।
$t = 2 \ \text{सेकंड}$ पर,त्रिज्या $r = 5(2) = 10 \ cm$ होगी।
वृत्ताकार लहर का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$r = 10 \ cm$ और $\frac{dr}{dt} = 5 \ cm/sec$ का मान रखने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (10)(5) = 100 \pi \ cm^2/sec$.

(A) गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है। समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{dV}{dt} = 4 \pi \ cm^3/sec$,इसलिए $4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} = 4 \pi$,जिसका अर्थ है $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{r^2}$।
जब आयतन $V = 288 \pi \ cm^3$ है,तो $\frac{4}{3} \pi r^3 = 288 \pi$,इसलिए $r^3 = 216$,जिसका अर्थ है $r = 6 \ cm$।
अब,पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ है। समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$r = 6$ और $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{r^2}$ रखने पर,$\frac{dA}{dt} = 8 \pi r \times \frac{1}{r^2} = \frac{8 \pi}{r}$ प्राप्त होता है।
$r = 6$ के लिए,$\frac{dA}{dt} = \frac{8 \pi}{6} = \frac{4}{3} \pi \ cm^2/sec$।

(A) दिया गया वक्र समीकरण $6y = x^3 + 2$ है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $6 \frac{dy}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $2 \frac{dy}{dt} = x^2 \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि $y$-निर्देशांक $x$-निर्देशांक की तुलना में $8$ गुना तेजी से बदल रहा है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = 8 \frac{dx}{dt}$ है।
इस मान को अवकल समीकरण में रखने पर: $2(8 \frac{dx}{dt}) = x^2 \frac{dx}{dt}$।
यह मानते हुए कि $\frac{dx}{dt} \neq 0$,हमें $16 = x^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 4$ या $x = -4$।
यदि $x = 4$ है,तो $6y = (4)^3 + 2 = 64 + 2 = 66$,इसलिए $y = 11$। बिंदु $(4, 11)$ है।
यदि $x = -4$ है,तो $6y = (-4)^3 + 2 = -64 + 2 = -62$,इसलिए $y = -31/3$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही बिंदु $(4, 11)$ है।

(A) माना अर्ध-शीर्ष कोण $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ है।
अतः,$\tan \alpha = \frac{r}{h} = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $r = \frac{h}{2}$।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$r = \frac{h}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{1}{12} \pi h^3$ प्राप्त होता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = \frac{1}{12} \pi (3h^2) \frac{dh}{dt} = \frac{1}{4} \pi h^2 \frac{dh}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिया है $\frac{dV}{dt} = 5 \text{ m}^3/\text{min}$,इसलिए $5 = \frac{1}{4} \pi h^2 \frac{dh}{dt}$,अर्थात $\frac{dh}{dt} = \frac{20}{\pi h^2}$।
जब $h = 10 \text{ m}$ है,तो पानी के स्तर के बढ़ने की दर $\frac{dh}{dt} = \frac{20}{\pi (10)^2} = \frac{20}{100 \pi} = \frac{1}{5 \pi} \text{ m/min}$ है।

(A) दिया गया है कि त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 7 \text{ cm/sec}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$10 \text{ मिनट}$ बाद,समय $t = 10 \times 60 = 600 \text{ सेकंड}$ होगा।
चूंकि त्रिज्या $7 \text{ cm/sec}$ की स्थिर दर से बढ़ रही है,इसलिए $600 \text{ सेकंड}$ बाद त्रिज्या $r = 7 \times 600 = 4200 \text{ cm}$ होगी।
मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{dA}{dt} = 2 \times \frac{22}{7} \times 4200 \times 7$.
$\frac{dA}{dt} = 2 \times 22 \times 600 \times 7 = 1,84,800 \text{ cm}^2/\text{sec}$.

(B) दिया गया है कि गोलाकार धब्बे की त्रिज्या $r$,$\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/min}$ की दर से बढ़ रही है।
हमें $r = 3 \text{ cm}$ पर क्षेत्रफल $A$ में परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2 \pi r \frac{dr}{dt}$.
दिए गए मान $r = 3 \text{ cm}$ और $\frac{dr}{dt} = 2 \text{ cm/min}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = 2 \pi (3)(2) = 12 \pi \text{ cm}^2/\text{min}$.
अतः,क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर $12 \pi \text{ cm}^2/\text{min}$ है।

(A) दिया गया त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = 8 - \frac{t}{5} \text{ cm/s}^2$ है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$v = \int (8 - \frac{t}{5}) dt = 8t - \frac{t^2}{10} + C$।
चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए $t = 0$ पर $v = 0$ है।
$0 = 8(0) - \frac{0^2}{10} + C \Rightarrow C = 0$।
अतः,वेग फलन $v(t) = 8t - \frac{t^2}{10}$ है।
त्वरण शून्य तब होता है जब $8 - \frac{t}{5} = 0$,जिससे $t = 40 \text{ s}$ प्राप्त होता है।
वेग समीकरण में $t = 40$ रखने पर:
$v = 8(40) - \frac{(40)^2}{10} = 320 - \frac{1600}{10} = 320 - 160 = 160 \text{ cm/s}$।

(B) दिया गया गति का समीकरण $s = at^2 + bt + c$ है।
$1 \text{ s}$ के बाद विस्थापन $20 \text{ m}$ है,इसलिए $s(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 20 \implies a + b + c = 20 \dots (i)$.
वेग $v = \frac{ds}{dt} = 2at + b$.
$2 \text{ s}$ के बाद वेग $30 \text{ m/s}$ है,इसलिए $v(2) = 2a(2) + b = 30 \implies 4a + b = 30 \dots (ii)$.
त्वरण $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = 2a$.
दिया गया त्वरण $10 \text{ m/s}^2$ है,इसलिए $2a = 10 \implies a = 5$.
समीकरण $(ii)$ में $a = 5$ रखने पर: $4(5) + b = 30 \implies 20 + b = 30 \implies b = 10$.
समीकरण $(i)$ में $a = 5$ और $b = 10$ रखने पर: $5 + 10 + c = 20 \implies 15 + c = 20 \implies c = 5$.
अब,विकल्पों की जाँच करने पर: $a + c = 5 + 5 = 10$ और $b = 10$.
अतः,$a + c = b$.

(D) दिया गया है $s = (1+t)^{1/2}$.
सबसे पहले,$s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके वेग $v$ ज्ञात करें:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{1}{2}(1+t)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{1+t}}$.
इससे,हम देख सकते हैं कि $\sqrt{1+t} = \frac{1}{2v}$.
अब,$v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करके त्वरण $a$ ज्ञात करें:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(1+t)^{-3/2} = -\frac{1}{4}(1+t)^{-3/2}$.
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$a = -2 \cdot \left[ \frac{1}{2}(1+t)^{-1/2} \right]^3$.
चूंकि $v = \frac{1}{2}(1+t)^{-1/2}$,हम $a$ के व्यंजक में $v$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$a = -2v^3$.
अतः,त्वरण $a$ वेग के घन $v^3$ के समानुपाती है।

(B) दिया गया विस्थापन समीकरण: $s = 16 - 2t + 3t^{3}$
वेग $v$ समय के सापेक्ष विस्थापन का प्रथम अवकलज है: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(16 - 2t + 3t^{3}) = -2 + 9t^{2}$
त्वरण $a$ समय के सापेक्ष विस्थापन का द्वितीय अवकलज है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-2 + 9t^{2}) = 18t$
$t = 2 \ s$ पर,त्वरण: $a = 18 \times 2 = 36 \ m/s^{2}$

(A) दिया गया गति का समीकरण: $s = 2t^{3} - 9t^{2} + 12t$।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^{3} - 9t^{2} + 12t) = 6t^{2} - 18t + 12$।
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग $v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^{2} - 18t + 12) = 12t - 18$।
त्वरण के शून्य होने के लिए,हम $a = 0$ रखते हैं:
$12t - 18 = 0$
$12t = 18$
$t = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \ s = 1.5 \ s$।
अतः,$1.5 \ s$ के बाद कण का त्वरण शून्य हो जाएगा।

(D) दिया गया है,$S=5+\frac{48}{t}+t^3$.
वेग $(V) = \frac{dS}{dt} = 0 - \frac{48}{t^2} + 3t^2$.
$V=0$ रखने पर:
$-\frac{48}{t^2} + 3t^2 = 0
\Rightarrow 3t^2 = \frac{48}{t^2}
\Rightarrow t^4 = 16
\Rightarrow t = 2$ (चूंकि $t > 0$).
अब,त्वरण $(A) = \frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(-\frac{48}{t^2} + 3t^2) = \frac{96}{t^3} + 6t$.
$t=2$ पर,$A = \frac{96}{2^3} + 6(2) = \frac{96}{8} + 12 = 12 + 12 = 24$.

(A) उत्पादन में परिवर्तन की दर दी गई है: $\frac{dP}{dx} = 100 - 12\sqrt{x}$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int dP = \int (100 - 12x^{1/2}) dx$
$P = 100x - 12 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C$
$P = 100x - 8x^{3/2} + C$
दिया गया है कि जब $x = 0$ है,तो प्रारंभिक उत्पादन $P = 1000$ है:
$1000 = 100(0) - 8(0)^{3/2} + C \implies C = 1000$।
अतः,उत्पादन फलन $P(x) = 100x - 8x\sqrt{x} + 1000$ है।
$x = 9$ अतिरिक्त श्रमिकों के लिए:
$P(9) = 100(9) - 8(9)\sqrt{9} + 1000$
$P(9) = 900 - 8(9)(3) + 1000$
$P(9) = 900 - 216 + 1000 = 1684$।
वस्तुओं के उत्पादन का नया स्तर $1684$ है।

(C) ध्यान दें कि $\triangle OAB$ एक समकोण त्रिभुज है। मान लीजिए $OA = x \text{ ft}$ और $OB = y \text{ ft}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 13^2 = 169$ है।
अतः,$y^2 = 169 - x^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2y \frac{dy}{dt} = -2x \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है,जो $y \frac{dy}{dt} = -x \frac{dx}{dt}$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है कि $x = 5 \text{ ft}$ पर,$\frac{dx}{dt} = 3 \text{ ft/sec}$ है।
जब $x = 5$ है,तो $y = \sqrt{169 - 5^2} = \sqrt{144} = 12 \text{ ft}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $12 \frac{dy}{dt} = -5(3) = -15$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\frac{dy}{dt} = -\frac{15}{12} = -\frac{5}{4} \text{ ft/sec}$ है।
ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि $B$,$O$ की ओर नीचे की दिशा में गति कर रहा है।
अतः,$B$,$\frac{5}{4} \text{ ft/sec}$ की दर से नीचे की ओर गति कर रहा है।

(B) माना $x$ दीवार से निचले सिरे की दूरी है और $y$ फर्श से सीढ़ी के ऊपरी सिरे की ऊँचाई है। सीढ़ी की लंबाई $L = 5 \ m$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ है।
हमें दिया गया है कि ऊपरी सिरा $10 \ cm/s = 0.1 \ m/s$ की दर से नीचे खिसकता है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -0.1 \ m/s$ है।
हमें सीढ़ी और फर्श के बीच के कोण $\theta$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जहाँ $\sin \theta = \frac{y}{5}$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\cos \theta \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{5} \frac{dy}{dt}$ प्राप्त होता है।
जब $x = 4 \ m$ है,तब $y = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \ m$ है।
अतः $\cos \theta = \frac{x}{5} = \frac{4}{5}$ है।
मान रखने पर: $\frac{4}{5} \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{5} (-0.1)$ है।
$\frac{d\theta}{dt} = -\frac{0.1}{4} = -0.025 \ rad/s$ है।
कोण $0.025 \ rad/s$ की दर से घट रहा है।

(D) माना सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी $x$ है और ऊपरी सिरे की फर्श से ऊँचाई $y$ है। सीढ़ी की लंबाई $L = 5 \ m$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$.
हमें दिया गया है कि ऊपरी सिरा $10 \ cm/s = 0.1 \ m/s$ की दर से नीचे फिसल रहा है,अतः $\frac{dy}{dt} = -0.1 \ m/s$.
हमें सीढ़ी और फर्श के बीच के कोण $\theta$ के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जहाँ $\sin \theta = \frac{y}{5}$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\cos \theta \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{5} \frac{dy}{dt}$.
जब $x = 4 \ m$ है,तब $y = \sqrt{25 - 4^2} = \sqrt{9} = 3 \ m$.
अतः $\cos \theta = \frac{x}{5} = \frac{4}{5}$.
मान रखने पर: $\frac{4}{5} \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{5} (-0.1)$.
$\frac{d\theta}{dt} = -\frac{0.1}{4} = -0.025 \ rad/s$.
अतः,कोण $0.025 \ rad/s$ की दर से घट रहा है।

(D) त्रिज्या $r$ वाले गोलाकार गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,पृष्ठीय क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर स्थिर $K$ है।
अतः,$\frac{d}{dt}(4 \pi r^2) = K$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{d}{dt}(4 \pi r^2) dt = \int K dt$.
इससे हमें $4 \pi r^2 = K t + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

(C) $r$ त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ सूत्र $A = 4 \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिज्या के सापेक्ष क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए, हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(4 \pi r^2) = 4 \pi (2r) = 8 \pi r$.
चूंकि त्रिज्या $r = 6 \text{ cm}$ दी गई है, हम इस मान को अवकलज में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{dA}{dr} = 8 \pi (6) = 48 \pi$.
अतः, क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $48 \pi \text{ cm}^2/\text{cm}$ है।

(D) माना गोले की त्रिज्या $r$ है और उसका व्यास $D = 2r$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
हमें व्यास के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जो $\frac{dV}{dD}$ है।
चूंकि $D = 2r$,इसलिए $r = \frac{D}{2}$ है।
आयतन के सूत्र में $r$ का मान रखने पर: $V = \frac{4}{3} \pi (\frac{D}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{D^3}{8}) = \frac{1}{6} \pi D^3$.
अब,$V$ का $D$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dD} = \frac{d}{dD} (\frac{1}{6} \pi D^3) = \frac{1}{6} \pi (3D^2) = \frac{1}{2} \pi D^2$.
$D = 2r$ का मान वापस रखने पर: $\frac{dV}{dD} = \frac{1}{2} \pi (2r)^2 = \frac{1}{2} \pi (4r^2) = 2 \pi r^2$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।