Maxima and Minima Questions in Hindi

(B) माना $z = xy$ है।
दिया गया है कि $x + y = 8$,इसलिए $y = 8 - x$ है।
$z$ में $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $z = x(8 - x) = 8x - x^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $z$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dz}{dx} = 8 - 2x$।
$\frac{dz}{dx} = 0$ रखने पर,$8 - 2x = 0$,जिसका अर्थ है कि $x = 4$ है।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $\frac{d^2z}{dx^2} = -2$।
चूंकि $\frac{d^2z}{dx^2} < 0$ है,इसलिए फलन $z$ का मान $x = 4$ पर अधिकतम है।
$x = 4$ को $y$ के समीकरण में रखने पर,हमें $y = 8 - 4 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः अधिकतम मान $z = xy = 4 \times 4 = 16$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = 1 + 2x^2 + 2^2 x^4 + \dots + 2^{10} x^{20}$।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ प्रथम पद $a = 1$,सार्व अनुपात $r = 2x^2$ और पदों की संख्या $n = 11$ है।
$f(x) = \frac{1((2x^2)^{11} - 1)}{2x^2 - 1} = \frac{(2x^2)^{11} - 1}{2x^2 - 1}$।
वैकल्पिक रूप से,$f(x)$ का अवकलन करने पर:
$f'(x) = 0 + 2(2x) + 2^2(4x^3) + \dots + 2^{10}(20x^{19})$।
$f'(x) = 4x + 16x^3 + \dots + 2^{10}(20x^{19}) = 4x(1 + 2(2x^2) + 3(2x^2)^2 + \dots + 10(2x^2)^9)$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$ एकमात्र वास्तविक क्रांतिक बिंदु प्राप्त होता है क्योंकि कोष्ठक में दिया गया पद सभी $x \neq 0$ के लिए धनात्मक पदों का योग है।
$x < 0$ के लिए $f'(x) < 0$ और $x > 0$ के लिए $f'(x) > 0$ होता है।
प्रथम अवकलज परीक्षण के अनुसार,$f(x)$ का $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम है।
अतः,$f(x)$ का ठीक एक न्यूनतम है।

(C) माना $f(x) = x + \sin(2x)$.
सबसे पहले,अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = 1 + 2\cos(2x)$.
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $1 + 2\cos(2x) = 0 \Rightarrow \cos(2x) = -\frac{1}{2}$.
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$2x$ का मान $\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}$ हो सकता है।
अतः,$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.
द्वितीय अवकलन ज्ञात करें: $f''(x) = -4\sin(2x)$.
क्रांतिक बिंदुओं पर $f''(x)$ का चिह्न जांचें:
$x = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$f''(\frac{\pi}{3}) = -4\sin(\frac{2\pi}{3}) = -4(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2\sqrt{3} < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
$x = \frac{2\pi}{3}$ के लिए,$f''(\frac{2\pi}{3}) = -4\sin(\frac{4\pi}{3}) = -4(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\sqrt{3} > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
$x = \frac{\pi}{3}$ पर मान की गणना करने पर: $f(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) माना कि दो भाग $x$ और $(10 - x)$ हैं।
फलन $f(x) = 2x + (10 - x)^2$ को परिभाषित करें।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$f'(x) = 2 + 2(10 - x)(-1) = 2 - 20 + 2x = 2x - 18$.
क्रांतिक बिंदु (critical point) ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$2x - 18 = 0 \implies x = 9$.
न्यूनतम मान की जाँच करने के लिए द्वितीय अवकलज ज्ञात करें:
$f''(x) = 2$.
चूँकि $f''(9) = 2 > 0$ है,इसलिए फलन का मान $x = 9$ पर न्यूनतम है।
अतः,दो भाग $x = 9$ और $10 - x = 1$ हैं।

(C) माना फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $1 = \frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$,इसलिए $x = \pm 1$।
अब,हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $f''(x) = \frac{2}{x^3}$।
$x = 1$ के लिए,$f''(1) = 2 > 0$,इसलिए फलन का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ है।
$x = -1$ के लिए,$f''(-1) = -2 < 0$,इसलिए फलन का $x = -1$ पर स्थानीय अधिकतम मान है,जहाँ $f(-1) = -2$ है।

(A) माना गोले की त्रिज्या $R$ है। माना शंकु की ऊँचाई $h$ है और शंकु के आधार की त्रिज्या $x$ है।
गोले की ज्यामिति से,गोले के केंद्र से शंकु के आधार की दूरी $|h - R|$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$x^2 + (h - R)^2 = R^2$।
$x^2 = R^2 - (h^2 - 2hR + R^2) = 2hR - h^2$।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3}\pi x^2 h = \frac{1}{3}\pi (2hR - h^2)h = \frac{1}{3}\pi (2Rh^2 - h^3)$ है।
आयतन को अधिकतम करने के लिए,$h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dh} = \frac{1}{3}\pi (4Rh - 3h^2)$।
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर,$h(4R - 3h) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $h \neq 0$,इसलिए $h = \frac{4}{3}R$।
गोले का व्यास $D = 2R$ है।
शंकु की ऊँचाई और गोले के व्यास का अनुपात $\frac{h}{D} = \frac{\frac{4}{3}R}{2R} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।

(D) दिया गया है $y = f(x) = a \log x + bx^2 + x$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
चूंकि फलन के चरम मान $x = -1$ और $x = 2$ पर हैं,इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज शून्य होना चाहिए।
$x = -1$ के लिए: $\frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \implies -a - 2b + 1 = 0 \implies a + 2b = 1$.
$x = 2$ के लिए: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \implies \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \implies a + 8b = -2$.
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - 1 \implies 6b = -3 \implies b = -\frac{1}{2}$.
$b = -\frac{1}{2}$ का मान $a + 2b = 1$ में रखने पर: $a + 2(-\frac{1}{2}) = 1 \implies a - 1 = 1 \implies a = 2$.
अतः,$a = 2$ और $b = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = 1 + 2 \sin x + 3 \cos^2 x = 1 + 2 \sin x + 3(1 - \sin^2 x) = 4 + 2 \sin x - 3 \sin^2 x$.
माना $u = \sin x$. $0 < x < 2\pi / 3$ के लिए,$u = \sin x$ का परिसर $(0, 1]$ है।
अतः $g(u) = 4 + 2u - 3u^2$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$g'(u) = 2 - 6u = 0 \implies u = 1/3$.
चूंकि $g''(u) = -6 < 0$,इसलिए $u = 1/3$ स्थानीय अधिकतम का बिंदु है।
अतः $f(x)$ का मान $\sin x = 1/3$ यानी $x = \sin^{-1}(1/3)$ पर अधिकतम है।
अंतराल $(0, 2\pi / 3)$ की सीमाओं पर:
जब $x \to 0^+$,$f(x) \to 4$.
$x = 2\pi / 3$ पर,$f(2\pi / 3) = 1 + \sqrt{3} + 0.75 \approx 3.48$.
$g(1/3) = 4.33$ होने के कारण,अधिकतम मान $x = \sin^{-1}(1/3)$ पर प्राप्त होता है।
अवकलन $f'(x) = 2 \cos x (1 - 3 \sin x)$ से,$f'(x) = 0$ बिंदु $x = \pi / 2$ और $x = \sin^{-1}(1/3)$ हैं।
$x = \pi / 2$ पर,$f(\pi / 2) = 3$ है,जो कि न्यूनतम मान है।

(C) माना $f(x) = \frac{\log x}{x}$.
स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
स्थानीय चरम बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0 \implies 1 - \log x = 0 \implies \log x = 1 \implies x = e$.
अब,$x = e$ पर द्वितीय अवकलज $f''(x)$ की जाँच करें:
$f''(x) = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3x + 2x \log x}{x^4}$.
$x = e$ पर,$f''(e) = \frac{-3e + 2e(1)}{e^4} = \frac{-e}{e^4} = -\frac{1}{e^3} < 0$.
चूँकि $f''(e) < 0$ है,इसलिए फलन का $x = e$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
स्थानीय अधिकतम मान $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ है।

(A) यहाँ,$f(x) = \frac{1}{4x^2 + 2x + 1}$ दिया गया है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = -\frac{1}{(4x^2 + 2x + 1)^2} \cdot (8x + 2) = -\frac{2(4x + 1)}{(4x^2 + 2x + 1)^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$4x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = -1/4$.
चूंकि हर $4x^2 + 2x + 1$ हमेशा धनात्मक है (क्योंकि इसका विविक्तकर $D = 2^2 - 4(4)(1) = 4 - 16 = -12 < 0$),इसलिए $f(x)$ का मान तब अधिकतम होता है जब हर $4x^2 + 2x + 1$ का मान न्यूनतम हो।
द्विघात समीकरण $g(x) = 4x^2 + 2x + 1$ का न्यूनतम मान $x = -b/(2a) = -2/(2 \cdot 4) = -1/4$ पर प्राप्त होता है।
हर का न्यूनतम मान $g(-1/4) = 4(1/16) + 2(-1/4) + 1 = 1/4 - 1/2 + 1 = 3/4$ है।
अतः,$f(x)$ का अधिकतम मान $1 / (3/4) = 4/3$ है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि $x + y = 24$,इसलिए $y = 24 - x$ $(i)$.
माना $P$ दोनों संख्याओं का गुणनफल है,तो $P = xy$.
$(i)$ से $y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $P = x(24 - x) = 24x - x^2$.
अधिकतम गुणनफल ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dP}{dx} = 24 - 2x$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$\frac{dP}{dx} = 0$ रखने पर,$24 - 2x = 0$,जिससे $x = 12$ प्राप्त होता है।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $\frac{d^2P}{dx^2} = -2$.
चूंकि $\frac{d^2P}{dx^2} < 0$ है,इसलिए फलन $P$ का $x = 12$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ मान है।
जब $x = 12$ है,तो $y = 24 - 12 = 12$.
अतः,वे दो संख्याएँ $12$ और $12$ हैं।

(B) माना कि $f(x) = 4e^{2x} + 9e^{-2x}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \ge GM)$ असमिका का उपयोग करेंगे।
किन्हीं भी दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ होता है।
यहाँ,$a = 4e^{2x}$ और $b = 9e^{-2x}$ है।
$\frac{4e^{2x} + 9e^{-2x}}{2} \ge \sqrt{4e^{2x} \times 9e^{-2x}}$
$\frac{4e^{2x} + 9e^{-2x}}{2} \ge \sqrt{36 \times e^{2x-2x}}$
$\frac{4e^{2x} + 9e^{-2x}}{2} \ge \sqrt{36 \times 1}$
$\frac{4e^{2x} + 9e^{-2x}}{2} \ge 6$
$4e^{2x} + 9e^{-2x} \ge 12$.
अतः,न्यूनतम मान $12$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = x^3 + 1$।
चरण $1$: अवकलज ज्ञात करें $f'(x) = 3x^2$।
चरण $2$: स्थानीय चरम मान के लिए,हम $f'(x) = 0$ रखते हैं,जिससे $3x^2 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 0$।
चरण $3$: $x = 0$ के आसपास $f'(x)$ का चिह्न जाँचें। $x < 0$ के लिए,$f'(x) = 3x^2 > 0$। $x > 0$ के लिए,$f'(x) = 3x^2 > 0$।
चूंकि अवकलज $f'(x)$ का चिह्न $x = 0$ पर नहीं बदलता है,इसलिए फलन $f(x)$ का $x = 0$ पर कोई स्थानीय चरम मान नहीं है। अतः,कथन-$1$ असत्य है।
चरण $4$: फलन $f(x) = x^3 + 1$ एक बहुपद फलन है,जो $(-\infty, \infty)$ पर सतत और अवकलनीय है। साथ ही,$f'(0) = 3(0)^2 = 0$। अतः,कथन-$2$ सत्य है।

(C) दिया गया फलन $y = xe^x$ है।
सबसे पहले,प्रथम अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = x \cdot e^x + e^x \cdot 1 = e^x(x + 1)$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखें:
$e^x(x + 1) = 0$.
चूंकि सभी $x$ के लिए $e^x > 0$,इसलिए $x + 1 = 0$,जिसका अर्थ है $x = -1$.
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}[e^x(x + 1)] = e^x(1) + (x + 1)e^x = e^x(x + 2)$.
$x = -1$ पर द्वितीय अवकलज का मान ज्ञात करें:
$\left. \frac{d^2y}{dx^2} \right|_{x=-1} = e^{-1}(-1 + 2) = e^{-1}(1) = \frac{1}{e}$.
चूंकि $\frac{1}{e} > 0$,इसलिए फलन का $x = -1$ पर स्थानीय निम्निष्ठ मान है।

(A) माना आयत की लंबाई $x \ cm$ और चौड़ाई $y \ cm$ है।
दिया गया परिमाप $P = 2(x + y) = 176 \ cm$ है।
अतः,$x + y = 88$,जिसका अर्थ है $y = 88 - x$।
आयत का क्षेत्रफल $A = x \times y = x(88 - x) = 88x - x^2$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{dx} = 88 - 2x = 0$।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $2x = 88$ मिलता है,इसलिए $x = 44 \ cm$।
चूंकि $x = 44$,इसलिए $y = 88 - 44 = 44 \ cm$।
इस प्रकार,आयत $44 \ cm$ भुजा वाला एक वर्ग है।
अधिकतम क्षेत्रफल $A = 44 \times 44 = 1936 \ sq. \ cm$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = x^2 e^{-2x}$.
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = x^2 \frac{d}{dx}(e^{-2x}) + e^{-2x} \frac{d}{dx}(x^2)$
$f'(x) = x^2(-2e^{-2x}) + e^{-2x}(2x)$
$f'(x) = 2xe^{-2x}(1 - x) = \frac{2x(1 - x)}{e^{2x}}$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
चूंकि $x > 0$ और $e^{2x} > 0$,इसलिए $1 - x = 0$,जिससे $x = 1$ प्राप्त होता है।
अब,अधिकतम मान की पुष्टि करने के लिए द्वितीय अवकलज $f''(x)$ की जांच करें:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[2(x - x^2)e^{-2x}] = 2[(1 - 2x)e^{-2x} + (x - x^2)(-2e^{-2x})]$
$f''(1) = 2[(1 - 2)e^{-2} + (1 - 1)(-2e^{-2})] = 2[-e^{-2}] = -2/e^2 < 0$.
चूंकि $f''(1) < 0$ है,इसलिए $x = 1$ पर $f(x)$ का स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान $f(1) = (1)^2 e^{-2(1)} = 1/e^2$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x + 7$ है।
सबसे पहले,प्रथम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 21x^2 + 36x + 7) = 6x^2 - 42x + 36$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) को ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$6(x^2 - 7x + 6) = 0$
$6(x - 1)(x - 6) = 0$
अतः,$x = 1$ और $x = 6$ प्राप्त होते हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 42x + 36) = 12x - 42$.
क्रांतिक बिंदुओं पर $f''(x)$ का चिह्न जाँचें:
$x = 1$ के लिए: $f''(1) = 12(1) - 42 = -30$। चूंकि $f''(1) < 0$ है,इसलिए फलन का $x = 1$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।
$x = 6$ के लिए: $f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30$। चूंकि $f''(6) > 0$ है,इसलिए फलन का $x = 6$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
अतः,फलन का $x = 1$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।

(C) यहाँ $f(x) = \sin x (1 + \cos x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x$ है।
प्रथम अवकलज ज्ञात करने पर: $f'(x) = \cos x + \cos 2x$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर: $\cos x + (2 \cos^2 x - 1) = 0$.
इसे व्यवस्थित करने पर $2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर: $(2 \cos x - 1)(\cos x + 1) = 0$.
इससे $\cos x = 1/2$ या $\cos x = -1$ प्राप्त होता है।
$x \in [0, \pi]$ के लिए,$\cos x = 1/2 \implies x = \pi / 3$ और $\cos x = -1 \implies x = \pi$.
द्वितीय अवकलज ज्ञात करने पर: $f''(x) = -\sin x - 2 \sin 2x$.
$x = \pi / 3$ पर: $f''(\pi / 3) = -\sin(\pi / 3) - 2 \sin(2\pi / 3) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} < 0$.
चूंकि $f''(\pi / 3) < 0$ है,इसलिए फलन का मान $x = \pi / 3$ पर अधिकतम है।

(A) दिया गया है $xy = 1$,इसलिए $y = \frac{1}{x}$ है।
मान लीजिए $f(x) = x + y = x + \frac{1}{x}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $1 - \frac{1}{x^2} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$। चूंकि $x > 0$,इसलिए $x = 1$ है।
अब,हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं $f''(x) = \frac{2}{x^3}$।
$x = 1$ पर,$f''(1) = \frac{2}{1^3} = 2 > 0$ है।
चूंकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,इसलिए $x = 1$ स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है।
न्यूनतम मान $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ है।

(C) दिया गया है कि $h(x) = f(x) + f(-x)$.
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम $h(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$h'(x) = \frac{d}{dx}(f(x) + f(-x)) = f'(x) - f'(-x)$.
$h(x)$ के चरम मान प्राप्त करने के लिए,$h'(x) = 0$ होना चाहिए।
अतः,चरम मान के बिंदु पर $f'(x) - f'(-x) = 0$ होगा।
इस प्रकार,$f'(x) - f'(-x)$ का मान $0$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = ax + \frac{b}{x}$ है।
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) को खोजने के लिए,हम प्रथम अवकलज $f'(x)$ की गणना करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(ax + bx^{-1}) = a - \frac{b}{x^2}$.
चरम मान (extrema) के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$a - \frac{b}{x^2} = 0 \Rightarrow a = \frac{b}{x^2} \Rightarrow x^2 = \frac{b}{a} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ (चूंकि $x > 0$ है)।
अब,फलन की प्रकृति की पुष्टि करने के लिए हम द्वितीय अवकलज $f''(x)$ की जाँच करते हैं:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(a - bx^{-2}) = 0 - b(-2)x^{-3} = \frac{2b}{x^3}$.
चूंकि $b > 0$ और $x > 0$ है,इसलिए $f''(x) = \frac{2b}{x^3} > 0$ होगा।
चूंकि द्वितीय अवकलज $x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ पर धनात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ का मान $x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ पर न्यूनतम होगा।

(C) दिया गया है $f(x) = \sin x + \cos 2x$।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें $f'(x) = \cos x - 2 \sin 2x$।
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$f'(x) = \cos x - 4 \sin x \cos x = \cos x (1 - 4 \sin x)$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखें,जिससे $\cos x = 0$ या $\sin x = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x) = -\sin x - 4 \cos 2x$ ज्ञात करें।
$x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ के लिए,$\sin x = (-1)^n$ और $\cos 2x = \cos((2n+1)\pi) = -1$ होता है।
अतः,$f''((2n+1)\frac{\pi}{2}) = -(-1)^n - 4(-1) = 4 - (-1)^n$।
यदि $n$ सम है,तो $f'' = 4 - 1 = 3 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
यदि $n$ विषम है,तो $f'' = 4 - (-1) = 5 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
अतः,फलन $x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ पर न्यूनतम है।

(C) दिया गया है $f(x) = \frac{x}{x^2 + x + 4}$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{(x^2 + x + 4)(1) - x(2x + 1)}{(x^2 + x + 4)^2} = \frac{x^2 + x + 4 - 2x^2 - x}{(x^2 + x + 4)^2} = \frac{4 - x^2}{(x^2 + x + 4)^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$4 - x^2 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 2$ या $x = -2$ है।
$x = 2$ और $x = -2$ में से कोई भी मान अंतराल $[-1, 1]$ में नहीं आता है।
अतः,फलन $[-1, 1]$ पर एकदिष्ट (monotonic) है।
हम अंत बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-1) = \frac{-1}{4 - 1 + 1} = \frac{-1}{4} = -0.25$.
$f(1) = \frac{1}{4 + 1 + 1} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$.
मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $\frac{1}{6}$ है।

(C) दिया गया है $\frac{dy}{dx} = (x - 1)^3 (x - 2)^4$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखें,जिससे $x = 1$ और $x = 2$ प्राप्त होते हैं।
इन बिंदुओं की प्रकृति की जाँच करने के लिए हम प्रथम अवकलज परीक्षण (first derivative test) का उपयोग करते हैं।
$x = 1$ के लिए:
- यदि $x = 1 - h$ (जहाँ $h > 0$ बहुत छोटा है),तो $\frac{dy}{dx} = (1 - h - 1)^3 (1 - h - 2)^4 = (-h)^3 (-1 - h)^4 = (-h^3)(+) = -ve$.
- यदि $x = 1 + h$,तो $\frac{dy}{dx} = (1 + h - 1)^3 (1 + h - 2)^4 = (h)^3 (h - 1)^4 = (+)(+) = +ve$.
चूँकि $x = 1$ पर $\frac{dy}{dx}$ का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है,इसलिए $x = 1$ पर $y$ का मान न्यूनतम है।
$x = 2$ के लिए:
- यदि $x = 2 - h$,तो $\frac{dy}{dx} = (2 - h - 1)^3 (2 - h - 2)^4 = (1 - h)^3 (-h)^4 = (+)(+) = +ve$.
- यदि $x = 2 + h$,तो $\frac{dy}{dx} = (2 + h - 1)^3 (2 + h - 2)^4 = (1 + h)^3 (h)^4 = (+)(+) = +ve$.
चूँकि $x = 2$ पर $\frac{dy}{dx}$ का चिह्न नहीं बदलता है,इसलिए $x = 2$ एक नति परिवर्तन बिंदु (point of inflection) है।

(A) दिया गया है,$x = t^4 - kt^3$।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = 4t^3 - 3kt^2$।
वेग के अधिकतम होने के लिए,समय के सापेक्ष इसका अवकलन शून्य होना चाहिए,अर्थात $\frac{dv}{dt} = 0$।
$\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^3 - 3kt^2) = 12t^2 - 6kt$।
$t = 2$ पर,$\frac{dv}{dt} = 0$।
$12(2)^2 - 6k(2) = 0$।
$12(4) - 12k = 0$।
$48 - 12k = 0$।
$12k = 48$।
$k = 4$।

(B) माना $f(x) = e^{(2x^2 - 2x - 1)\sin^2 x}$ है।
$f(x)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हमें घातांक $u(x) = (2x^2 - 2x - 1)\sin^2 x$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना होगा।
द्विघात व्यंजक $g(x) = 2x^2 - 2x - 1$ पर विचार करें। इस परवलय का शीर्ष $x = 0.5$ पर है।
$x = 0.5$ पर,$g(0.5) = 2(0.25) - 2(0.5) - 1 = -1.5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin^2 x$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है और $g(x)$ ऋणात्मक हो सकता है,इसलिए $u(x)$ का मान तब न्यूनतम होगा जब $g(x)$ न्यूनतम हो और $\sin^2 x$ का मान $1$ हो।
विकल्पों को देखते हुए,घातांक का न्यूनतम मान $-1$ लेने पर,फलन का न्यूनतम मान $e^{-1} = 1/e$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $y = a \log x + bx^2 + x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$।
चूंकि फलन के चरम मान $x = 1$ और $x = 2$ पर हैं,इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज शून्य होगा।
$x = 1$ के लिए: $\frac{a}{1} + 2b(1) + 1 = 0 \implies a + 2b = -1$।
$x = 2$ के लिए: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \implies \frac{a}{2} + 4b = -1 \implies a + 8b = -2$।
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर:
$(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - (-1) \implies 6b = -1 \implies b = -\frac{1}{6}$।
$b = -\frac{1}{6}$ को $a + 2b = -1$ में रखने पर:
$a + 2(-\frac{1}{6}) = -1 \implies a - \frac{1}{3} = -1 \implies a = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$।
अतः,$(a, b) = \left( -\frac{2}{3}, -\frac{1}{6} \right)$।

(B) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^x {{e^{\frac{{ - {t^2}}}{2}}}} \left( {1 - {t^2}} \right)\,dt$।
अवकलन के लिए लेबनीज नियम का उपयोग करने पर:
$f'(x) = e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} (1 - x^2)$।
स्थानीय चरम मान के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} (1 - x^2) = 0$।
चूंकि $e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} > 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $1 - x^2 = 0$,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$,अर्थात $x = \pm 1$।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f''(x) = e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} (-2x) + (1 - x^2) e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} (-x) = e^{\frac{{ - {x^2}}}{2}} (x^3 - 3x)$।
क्रांतिक बिंदुओं पर $f''(x)$ का चिह्न जाँचने पर:
$x = 1$ पर: $f''(1) = e^{-1/2} (1 - 3) = -2e^{-1/2} < 0$ (स्थानीय उच्चिष्ठ)।
$x = -1$ पर: $f''(-1) = e^{-1/2} (-1 + 3) = 2e^{-1/2} > 0$ (स्थानीय निम्निष्ठ)।
अतः,$f(x)$ का मान $x = -1$ पर न्यूनतम है।

(B) दिया गया है $P(x) = a_0 + a_1x^2 + a_2x^4 + \dots + a_nx^{2n}$।
उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ के लिए,हम अवकलज $P'(x) = 0$ ज्ञात करते हैं।
$P'(x) = 2a_1x + 4a_2x^3 + \dots + 2na_nx^{2n-1} = 2x(a_1 + 2a_2x^2 + \dots + na_nx^{2n-2}) = 0$।
इससे हमें क्रांतिक बिंदु $x = 0$ प्राप्त होता है।
अब,हम द्वितीय अवकलज $P''(x) = 2a_1 + 12a_2x^2 + \dots + 2n(2n-1)a_nx^{2n-2}$ ज्ञात करते हैं।
$x = 0$ पर,$P''(0) = 2a_1$।
चूँकि $0 < a_1$,इसलिए $P''(0) = 2a_1 > 0$।
चूँकि द्वितीय अवकलज $x = 0$ पर धनात्मक है,इसलिए $P(x)$ का $x = 0$ पर स्थानीय निम्निष्ठ है।
चूँकि $P(x)$ एक सम फलन है और गुणांक सख्ती से बढ़ रहे हैं,$x = 0$ ही एकमात्र बिंदु है जहाँ $P'(x) = 0$ होता है,इसलिए $P(x)$ के पास केवल एक न्यूनतम बिंदु है।

(A) दिया गया है $f'(x) = (x - a)^{2m} (x - b)^{2n + 1}$।
क्रांतिक बिंदु $f'(x) = 0$ रखने पर $x = a$ और $x = b$ प्राप्त होते हैं।
बिंदु $x = a$ के लिए,एक छोटा धनात्मक मान $h$ लेते हुए,$x = a$ के आसपास $f'(x)$ का चिह्न जाँचते हैं:
$x = a - h$ के लिए,$f'(a - h) = (a - h - a)^{2m} (a - h - b)^{2n + 1} = (-h)^{2m} (a - b - h)^{2n + 1}$। चूँकि $2m$ सम है,$(-h)^{2m} = h^{2m} > 0$। चूँकि $a > b$,छोटे $h$ के लिए $(a - b - h) > 0$,इसलिए $f'(a - h) > 0$।
$x = a + h$ के लिए,$f'(a + h) = (a + h - a)^{2m} (a + h - b)^{2n + 1} = (h)^{2m} (a - b + h)^{2n + 1}$। चूँकि $a > b$,$(a - b + h) > 0$,इसलिए $f'(a + h) > 0$।
चूँकि $x$ के $a$ से गुजरने पर $f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है,इसलिए $x = a$ एक नति परिवर्तन बिंदु है और यहाँ न तो उच्चिष्ठ और न ही निम्निष्ठ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $xy = c^2$,इसलिए $y = \frac{c^2}{x}$।
माना $f(x) = ax + by = ax + b\left(\frac{c^2}{x}\right) = ax + \frac{bc^2}{x}$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = a - \frac{bc^2}{x^2}$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$a = \frac{bc^2}{x^2} \implies x^2 = \frac{bc^2}{a} \implies x = c\sqrt{\frac{b}{a}}$ (चूंकि यहाँ न्यूनतम मान के लिए $x, a, b, c > 0$ है)।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f''(x) = \frac{2bc^2}{x^3}$।
चूंकि $x > 0$ है,इसलिए $f''(x) > 0$ है,जो पुष्टि करता है कि $x = c\sqrt{\frac{b}{a}}$ पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है।
$x$ का मान $f(x)$ में रखने पर:
$f\left(c\sqrt{\frac{b}{a}}\right) = a\left(c\sqrt{\frac{b}{a}}\right) + \frac{bc^2}{c\sqrt{\frac{b}{a}}} = c\sqrt{ab} + c\sqrt{ab} = 2c\sqrt{ab}$।

(D) माना $g(x) = 3x^4 + 8x^3 - 18x^2 + 60$ है। फलन $f(x) = \frac{40}{g(x)}$ का मान न्यूनतम तब होगा जब $g(x)$ का मान अधिकतम होगा।
$g(x)$ का अवकलन करने पर: $g'(x) = 12x^3 + 24x^2 - 36x$ प्राप्त होता है।
$g'(x) = 0$ रखने पर,$12x(x^2 + 2x - 3) = 0$,अर्थात $12x(x+3)(x-1) = 0$ मिलता है।
क्रांतिक बिंदु $x = 0, x = 1, x = -3$ हैं।
इन बिंदुओं पर $g(x)$ का मान:
$g(0) = 60$.
$g(1) = 53$.
$g(-3) = -75$.
$f(x)$ के मान:
$f(0) = 40/60 = 2/3$.
$f(1) = 40/53$.
$f(-3) = 40/(-75) = -8/15$.
जैसे $x \to \pm \infty$,$f(x) \to 0$ होता है। अतः फलन का न्यूनतम मान $-8/15$ है,जो विकल्पों में नहीं है। इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(C) माना $f(x) = x - x^3$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(x) = 1 - 3x^2$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$1 - 3x^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 1/3$,इसलिए $x = \pm 1/\sqrt{3}$.
चूंकि अंतराल $0 \leq x \leq 2$ है,हम केवल $x = 1/\sqrt{3}$ पर विचार करेंगे।
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $f''(x) = -6x$.
$x = 1/\sqrt{3}$ पर,$f''(1/\sqrt{3}) = -6/\sqrt{3} < 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,फलन का मान $x = 1/\sqrt{3}$ पर स्थानीय अधिकतम है।
हम अंतराल $[0, 2]$ के अंतिम बिंदुओं की भी जाँच करते हैं:
$f(0) = 0(1 - 0) = 0$.
$f(2) = 2(1 - 4) = 2(-3) = -6$.
$f(1/\sqrt{3}) = (1/\sqrt{3})(1 - 1/3) = (1/\sqrt{3})(2/3) = 2/(3\sqrt{3}) \approx 0.385$.
$0$,$-6$,और $2/(3\sqrt{3})$ की तुलना करने पर,अधिकतम मान $x = 1/\sqrt{3}$ पर प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = \sin 2x - x$.
चरण $1$: अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें।
$f'(x) = 2\cos 2x - 1$.
चरण $2$: क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें।
$2\cos 2x - 1 = 0 \implies \cos 2x = \frac{1}{2}$.
अंतराल $[0, \pi]$ में,$2x$ का मान $[0, 2\pi]$ तक होता है।
अतः,$2x = \frac{\pi}{3}$ या $2x = \frac{5\pi}{3}$.
इसलिए,$x = \frac{\pi}{6}$ या $x = \frac{5\pi}{6}$.
चरण $3$: द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करें।
$f''(x) = -4\sin 2x$.
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$f''(\frac{\pi}{6}) = -4\sin(\frac{\pi}{3}) = -4(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2\sqrt{3} < 0$. अतः,$x = \frac{\pi}{6}$ स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
$x = \frac{5\pi}{6}$ पर,$f''(\frac{5\pi}{6}) = -4\sin(\frac{5\pi}{3}) = -4(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\sqrt{3} > 0$. अतः,$x = \frac{5\pi}{6}$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
चरण $4$: मानों की गणना करें।
स्थानीय उच्चतम मान $f(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\sqrt{3} - \pi}{6}$.
स्थानीय न्यूनतम मान $f(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{3}) - \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{6} = \frac{-3\sqrt{3} - 5\pi}{6}$.
चूंकि ये मान दिए गए विकल्पों से मेल नहीं खाते हैं,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(D) पहले पत्थर के लिए,गति का समीकरण $s_1 = 19.6t - 4.9t^2$ है। वेग $v_1 = \frac{ds_1}{dt} = 19.6 - 9.8t$ है। अधिकतम ऊँचाई पर,$v_1 = 0$,इसलिए $19.6 - 9.8t = 0$,जिससे $t = 2 \text{ s}$ प्राप्त होता है।
पहले पत्थर द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h = s_1(2) = 19.6(2) - 4.9(2)^2 = 39.2 - 19.6 = 19.6 \text{ m}$ है।
अब,दूसरे पत्थर के लिए समीकरण $s_2 = 9.8t - 4.9t^2$ है। वेग $v_2 = \frac{ds_2}{dt} = 9.8 - 9.8t$ है। दूसरा पत्थर $t = 1 \text{ s}$ पर अपनी अधिकतम ऊँचाई प्राप्त करता है,जहाँ $s_2(1) = 9.8(1) - 4.9(1)^2 = 4.9 \text{ m}$ है।
$t = 1 \text{ s}$ के बाद,दूसरा पत्थर नीचे की ओर गति करना शुरू करता है और जब $s_2 = 0$ होता है तो वह जमीन से टकराता है,अर्थात $9.8t - 4.9t^2 = 0 \implies 4.9t(2 - t) = 0$,इसलिए $t = 2 \text{ s}$ प्राप्त होता है।
$t = 2 \text{ s}$ पर,पहला पत्थर अपनी अधिकतम ऊँचाई $h$ पर है,और दूसरा पत्थर $s_2(2) = 9.8(2) - 4.9(2)^2 = 19.6 - 19.6 = 0 \text{ m}$ पर है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} |x| & 0 < |x| \leqslant 2 \\ 1 & x = 0 \end{cases}$ है।
$x = 0$ के निकट के मानों के लिए (जहाँ $x \neq 0$),$|x| > 0$ होता है। चूँकि $x \neq 0$ के लिए $f(x) = |x|$ है,इसलिए $x = 0$ को छोड़कर $0$ के पड़ोस के सभी बिंदुओं के लिए $f(x) > 0$ होता है।
$x = 0$ पर,$f(0) = 1$ है।
यदि हम $0$ के चारों ओर एक छोटा अंतराल $(-\delta, \delta)$ लें (उदाहरण के लिए,$\delta = 0.5$),तो $f(x) = |x|$ होता है।
हम जानते हैं कि $(-1, 1)$ अंतराल के सभी $x$ के लिए $|x| < 1$ होता है,इसलिए $0$ के पड़ोस के सभी $x$ के लिए $f(x) < f(0)$ प्राप्त होता है (जहाँ $x \neq 0$)।
विशेष रूप से,$x \in (-0.5, 0.5)$ और $x \neq 0$ के लिए,$f(x) = |x| < 0.5 < 1 = f(0)$ होता है।
चूँकि $0$ के पड़ोस के सभी बिंदुओं के लिए $f(x) < f(0)$ है,इसलिए $x = 0$ एक स्थानीय उच्चतम बिंदु है।

(D) मान लीजिए $PQ = a$ और $PR = b$ है,और उनके बीच का कोण $\theta$ है।
$\Delta PQR$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} ab \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $f(\theta) = \frac{1}{2} ab \sin \theta$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष $f(\theta)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(\theta) = \frac{1}{2} ab \cos \theta$।
अधिकतम क्षेत्रफल के लिए,$f'(\theta) = 0$ रखें:
$\frac{1}{2} ab \cos \theta = 0 \implies \cos \theta = 0$।
चूंकि $0 < \theta < \pi$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए:
$f''(\theta) = -\frac{1}{2} ab \sin \theta$।
$\theta = \frac{\pi}{2}$ पर,$f''(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2} ab < 0$।
चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{2}$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।

(B) दी गई शर्त $x + y = 8$ के अनुसार,हम $y$ को $y = 8 - x$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना कि अधिकतम किए जाने वाला फलन $f(x) = xy$ है।
$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = x(8 - x) = 8x - x^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(x) = 8 - 2x$।
क्रांतिक बिंदु के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर,$8 - 2x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 4$।
यदि $x = 4$ है,तो $y = 8 - 4 = 4$ होगा।
अतः,$xy$ का अधिकतम मान $4 \times 4 = 16$ है।

(B) मान लीजिए कि त्रिभुज की दो समान भुजाएँ $x$ हैं और उनके बीच का कोण $2\theta$ है।
त्रिभुज की ज्यामिति से,ऊँचाई $h = x \sin \theta$ है और आधार $b = 2x \cos \theta$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
$A = \frac{1}{2} \times (2x \cos \theta) \times (x \sin \theta) = x^2 \sin \theta \cos \theta$।
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $A = \frac{1}{2} x^2 \sin 2\theta$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $A$ को अधिकतम करने के लिए,हमें $\sin 2\theta$ को अधिकतम करना होगा।
$\sin 2\theta$ का अधिकतम मान $1$ है,जो $2\theta = 90^\circ$ या $\theta = 45^\circ$ पर होता है।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $A_{\max} = \frac{1}{2} x^2 (1) = \frac{1}{2} x^2$ है।

(D) कथन-$I$ के लिए: हम $x = 0$ के निकट $f(x)$ के व्यवहार की जाँच करते हैं।
$x < 0$ के लिए,$f(x) = -\frac{x}{2}$ है। जैसे $x \to 0^-$,$f(x) \to 0$ होता है।
$x \geq 0$ के लिए,$f(x) = 7x + 8$ है। जैसे $x \to 0^+$,$f(x) \to 8$ होता है।
$x = 0$ पर,$f(0) = 8$ है।
चूँकि $x < 0$ के लिए $f(x)$ ऋणात्मक है और $f(0) = 8$ है,किसी भी छोटे $h > 0$ के लिए,$f(-h) = \frac{h}{2} > 0$ होगा,लेकिन $f(0) = 8$ है। स्थानीय न्यूनतम के लिए हमें $f(0) < f(-h)$ की आवश्यकता है,जो $8 < \frac{h}{2}$ है। छोटे $h$ के लिए यह असत्य है। अतः,$x = 0$ स्थानीय न्यूनतम नहीं है।
कथन-$I$ असत्य है।
कथन-$II$ के लिए: यह $x = a$ पर स्थानीय न्यूनतम की मानक परिभाषा है। अतः,कथन-$II$ सत्य है।

(D) माना $f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x$ है।
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 3x^2 - 24x + 45 = 3(x^2 - 8x + 15) = 3(x - 3)(x - 5)$।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें,जिससे हमें $x = 3$ और $x = 5$ प्राप्त होता है।
अब,अंतराल $[0, 7]$ के क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं पर फलन $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(0) = (0)^3 - 12(0)^2 + 45(0) = 0$
$f(3) = (3)^3 - 12(3)^2 + 45(3) = 27 - 108 + 135 = 54$
$f(5) = (5)^3 - 12(5)^2 + 45(5) = 125 - 300 + 225 = 50$
$f(7) = (7)^3 - 12(7)^2 + 45(7) = 343 - 588 + 315 = 70$
इन मानों की तुलना करने पर,अंतराल $[0, 7]$ पर $f(x)$ का अधिकतम मान $70$ है।

(C) माना $y = 64 \sec x + 27 \csc x$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 64 \sec x \tan x - 27 \csc x \cot x$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर:
$64 \sec x \tan x = 27 \csc x \cot x$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$64 \left(\frac{1}{\cos x}\right) \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) = 27 \left(\frac{1}{\sin x}\right) \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)$।
$\frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} = \frac{27}{64} \Rightarrow \tan^3 x = \left(\frac{3}{4}\right)^3$।
अतः,$\tan x = \frac{3}{4}$ है।
एक समकोण त्रिभुज के लिए जिसमें सम्मुख भुजा $3$ और आसन्न भुजा $4$ है,कर्ण $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ होगा।
इसलिए,$\sec x = \frac{5}{4}$ और $\csc x = \frac{5}{3}$ है।
इन मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$y = 64 \left(\frac{5}{4}\right) + 27 \left(\frac{5}{3}\right) = 16(5) + 9(5) = 80 + 45 = 125$।

(B) माना $l$ तिर्यक ऊँचाई है और $\alpha$ लंबवृत्तीय शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण है। माना $h$ ऊँचाई है और $r$ आधार की त्रिज्या है।
तब $h = l \cos \alpha$ और $r = l \sin \alpha$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।
$r$ और $h$ के मान रखने पर,$V = \frac{1}{3} \pi (l \sin \alpha)^2 (l \cos \alpha) = \frac{1}{3} \pi l^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha$ प्राप्त होता है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{d\alpha} = \frac{1}{3} \pi l^3 [\sin^2 \alpha (-\sin \alpha) + \cos \alpha (2 \sin \alpha \cos \alpha)]$
$\frac{dV}{d\alpha} = \frac{1}{3} \pi l^3 [-\sin^3 \alpha + 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha]$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dV}{d\alpha} = 0$ रखने पर:
$-\sin^3 \alpha + 2 \sin \alpha (1 - \sin^2 \alpha) = 0$
$\sin \alpha (2 - 3 \sin^2 \alpha) = 0$।
चूँकि $\alpha \neq 0$,इसलिए $2 - 3 \sin^2 \alpha = 0$,जिसका अर्थ है $\sin^2 \alpha = \frac{2}{3}$।
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{2/3}{1/3} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \alpha = \sqrt{2}$,या $\alpha = \tan^{-1}(\sqrt{2})$।
द्वितीय अवकलज परीक्षण $\frac{d^2V}{d\alpha^2}$ से यह पुष्टि होती है कि इस मान पर आयतन अधिकतम है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{\sin(x + a)}{\sin(x + b)}$ है।
अवकलन करने पर,भागफल नियम का उपयोग करते हुए:
$f'(x) = \frac{\sin(x + b) \cos(x + a) - \sin(x + a) \cos(x + b)}{\sin^2(x + b)}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$f'(x) = \frac{\sin((x + a) - (x + b))}{\sin^2(x + b)} = \frac{\sin(a - b)}{\sin^2(x + b)}$.
चूंकि $a \neq b$,इसलिए $\sin(a - b) \neq 0$ है। अतः,किसी भी $x$ के लिए $f'(x) \neq 0$ है।
इसलिए,$f$ का $x = 0$ पर न तो कोई अधिकतम मान है और न ही न्यूनतम मान।

(B) दिया गया है $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$।
तब $P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c$।
यह दिया गया है कि $x = 0$,$P'(x) = 0$ का एकमात्र वास्तविक मूल है।
चूंकि $P'(0) = 0$,इसलिए $c = 0$ है।
अतः,$P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx = x(4x^2 + 3ax + 2b)$।
चूंकि $x=0$ एकमात्र वास्तविक मूल है,द्विघात समीकरण $4x^2 + 3ax + 2b = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं होना चाहिए।
$P'(x)$,$x=0$ पर अपना चिह्न बदलता है,इसलिए $x=0$ एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
$P(x)$ एक $4$ घात का बहुपद है,इसलिए अंतराल $[-1, 1]$ में निरपेक्ष न्यूनतम मान $x=0$ पर प्राप्त होता है।
चूंकि $P(-1) < P(1)$ दिया गया है,अंतराल $[-1, 1]$ में अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x=1$ पर प्राप्त होगा।
इसलिए,$P(-1)$ न्यूनतम है और $P(1)$ $P$ का अधिकतम मान है।

(B) चूंकि वक्र मूलबिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $0 = 2(0)^3 + a(0)^2 + b(0) + c$,जिसका अर्थ है $c = 0$ है।
वक्र का अवकलन $\frac{dy}{dx} = 6x^2 + 2ax + b$ है।
यह दिया गया है कि $x = -1$ और $x = 2$ पर स्पर्श रेखाएं $X$-अक्ष के समानांतर हैं,इसलिए उनकी ढाल शून्य होनी चाहिए।
$x = -1$ पर: $6(-1)^2 + 2a(-1) + b = 0 \implies 6 - 2a + b = 0 \implies 2a - b = 6 \quad (1)$.
$x = 2$ पर: $6(2)^2 + 2a(2) + b = 0 \implies 24 + 4a + b = 0 \implies 4a + b = -24 \quad (2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(2a - b) + (4a + b) = 6 - 24$
$6a = -18 \implies a = -3$.
$a = -3$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2(-3) - b = 6 \implies -6 - b = 6 \implies b = -12$.
अतः,मान $a = -3, b = -12$ और $c = 0$ हैं।

(B) माना $f(x) = x^{25}(1 - x)^{75}$ है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{75} + x^{25} \cdot 75(1 - x)^{74}(-1)$
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{74} [(1 - x) - 3x]$
$f'(x) = 25x^{24}(1 - x)^{74} (1 - 4x)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$,$x = 1$,और $x = 1/4$ पर क्रांतिक बिंदु प्राप्त होते हैं।
क्रांतिक बिंदुओं और अंत बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करने पर:
$f(0) = 0^{25}(1 - 0)^{75} = 0$
$f(1) = 1^{25}(1 - 1)^{75} = 0$
$f(1/4) = (1/4)^{25}(1 - 1/4)^{75} = (1/4)^{25}(3/4)^{75} > 0$.
चूंकि अंतराल $[0, 1]$ में सभी $x$ के लिए $f(x) \geq 0$ है और $x = 1/4$ पर फलन का मान धनात्मक है,इसलिए फलन $x = 1/4$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है।

(A) माना $y = \sin^p x \cos^q x$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$z = \ln(y) = p \ln(\sin x) + q \ln(\cos x)$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dz}{dx} = p \cot x - q \tan x$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$\frac{dz}{dx} = 0$ रखने पर,$p \cot x = q \tan x$ प्राप्त होता है,अर्थात $\tan^2 x = p/q$। अतः,$x = \tan^{-1} \sqrt{p/q}$ है।
उच्चिष्ठ की जाँच करने के लिए,द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $\frac{d^2z}{dx^2} = -p \csc^2 x - q \sec^2 x$।
चूँकि $p, q > 0$ है,इसलिए $\frac{d^2z}{dx^2} < 0$ होता है,जो यह पुष्टि करता है कि $x = \tan^{-1} \sqrt{p/q}$ एक स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = 2\sin x + \cos 2x$,जहाँ $0 \leq x \leq 2\pi$ है।
प्रथम अवकलन करने पर: $f'(x) = 2\cos x - 2\sin 2x$।
$f'(x) = 0$ रखने पर:
$2\cos x - 4\sin x \cos x = 0$
$2\cos x(1 - 2\sin x) = 0$
अतः $\cos x = 0$ या $\sin x = 1/2$।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\cos x = 0$ के लिए $x = \pi/2, 3\pi/2$ और $\sin x = 1/2$ के लिए $x = \pi/6, 5\pi/6$ प्राप्त होते हैं।
द्वितीय अवकलन करने पर: $f''(x) = -2\sin x - 4\cos 2x$।
मानों की जाँच करने पर:
$x = \pi/6$ के लिए: $f''(\pi/6) = -2(1/2) - 4\cos(\pi/3) = -1 - 2 = -3 < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
$x = \pi/2$ के लिए: $f''(\pi/2) = -2(1) - 4\cos(\pi) = -2 + 4 = 2 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
$x = 5\pi/6$ के लिए: $f''(5\pi/6) = -2(1/2) - 4\cos(5\pi/3) = -1 - 2 = -3 < 0$ (स्थानीय अधिकतम)।
$x = 3\pi/2$ के लिए: $f''(3\pi/2) = -2(-1) - 4\cos(3\pi) = 2 + 4 = 6 > 0$ (स्थानीय न्यूनतम)।
अधिकतम मान $x = \pi/6$ और $x = 5\pi/6$ पर प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $f(x) = \ln|x| + bx^2 + ax$. अवकलज $f'(x) = \frac{1}{x} + 2bx + a$ है।
चूंकि $f(x)$ के चरम मान $x = -1$ और $x = 2$ पर हैं,इसलिए $f'(-1) = 0$ और $f'(2) = 0$ होना चाहिए।
$x = -1$ के लिए: $-1 - 2b + a = 0 \implies a - 2b = 1$.
$x = 2$ के लिए: $\frac{1}{2} + 4b + a = 0 \implies a + 4b = -\frac{1}{2}$.
समीकरणों को घटाने पर: $(a + 4b) - (a - 2b) = -\frac{1}{2} - 1 \implies 6b = -\frac{3}{2} \implies b = -\frac{1}{4}$.
$b = -\frac{1}{4}$ को $a - 2b = 1$ में रखने पर: $a - 2(-\frac{1}{4}) = 1 \implies a + \frac{1}{2} = 1 \implies a = \frac{1}{2}$.
अतः,कथन-$2$ सत्य है।
अब,$f''(x) = -\frac{1}{x^2} + 2b = -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{2}$.
$x = -1$ पर,$f''(-1) = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} < 0$,इसलिए $f$ का $x = -1$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।
$x = 2$ पर,$f''(2) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} < 0$,इसलिए $f$ का $x = 2$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।
अतः,कथन-$1$ सत्य है और कथन-$2$,कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण है।