फलन $f:R \to R$ के लिए $x = a$ पर स्थानीय उच्चतम (local maximum) होने के लिए पर्याप्त शर्तें क्या हैं?

$N$ वर्णों की जानकारी चुंबकीय टेप पर रखी गई है,जिसमें प्रत्येक बैच में $x$ वर्ण हैं; बैच प्रसंस्करण समय $\alpha + \beta x^2$ सेकंड है; $\alpha$ और $\beta$ स्थिरांक हैं। तेज़ प्रसंस्करण के लिए $x$ का इष्टतम मान क्या है?

मान लीजिए $S=(-1, \infty)$ और $f: S \rightarrow R$ को $f(x)=\int_{-1}^x (e^t-1)^{11}(2t-1)^5(t-2)^7(t-3)^{12}(2t-10)^{61} dt$ के रूप में परिभाषित किया गया है। मान लीजिए $p$,$x$ के उन मानों के वर्गों का योग है जहाँ $f(x)$,$S$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ (local maxima) प्राप्त करता है,और $q$,$x$ के उन मानों का योग है जहाँ $f(x)$,$S$ पर स्थानीय निम्निष्ठ (local minima) प्राप्त करता है। तब,$p^2+2q$ का मान है

$176 \ cm$ परिमाप वाले आयत का अधिकतम क्षेत्रफल .......... $sq. \ cm$ है।

$f(x) = \int_{\cos x}^{\sin x} (1 - t + 2t^3) dt$ का $[0, 2\pi]$ में:

$2x$,$4x$ और $5x$ भुजाओं वाले एक घनाभ और $r$ त्रिज्या वाले एक बंद अर्धगोले पर विचार करें। यदि उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग एक स्थिरांक $k$ है,तो वह अनुपात $x:r$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए उनके आयतनों का योग अधिकतम है।