किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या और उसके व्युत | vedclass

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Question

(B) माना कि धनात्मक वास्तविक संख्या $x$ है,जहाँ $x > 0$ है।हम फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना चाहते हैं।क्रांतिक बिंदु (critica

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(B) माना कि धनात्मक वास्तविक संख्या $x$ है,जहाँ $x > 0$ है।हम फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना चाहते हैं।क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$.$f'(x) = 0$ रखने पर $1 - \frac{1}{x^2} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$।चूँकि $x$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है,इसलिए हम $x = 1$ लेते हैं।अब,न्यूनतम मान की पुष्टि करने के लिए हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं:$f''(x) = \frac{2}{x^3}$.$x = 1$ पर,$f''(1) = 2 > 0$,जो पुष्टि करता है कि $f(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।न्यूनतम मान $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ है।वैकल्पिक रूप से,समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका द्वारा,$x > 0$ के लिए,$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \ge \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 1$,इसलिए $x + \frac{1}{x} \ge 2$।

किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या और उसके व्युत्क्रम के योग का न्यूनतम मान क्या है?

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$f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 6x + 5$ द्वारा दिए गए फलन $f$ के सभी स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(x) = 1 + 2x^2 + 2^2 x^4 + \dots + 2^{10} x^{20}$ है,तो $f(x)$ के पास:

बहुपद $x(x + 1)(x + 2)(x + 3)$ का न्यूनतम मान क्या है?

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