वक्र $y = 12x - x^3$ पर वे बिंदु जहाँ प्रवणता शून्य है,हैं

सिद्ध कीजिए कि $r$ त्रिज्या वाले गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन वाले लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई $\frac{4r}{3}$ है।

$12$ इकाई त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित बेलन का अधिकतम आयतन (घन इकाइयों में) क्या है?

$a$ का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समानता $2 \alpha + \beta = 8$ सत्य है,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ फलन $f(x) = 2 x^3 - 9 a x^2 + 12 a^2 x + 1$ के क्रमशः उच्चतम और निम्नतम बिंदु हैं।

$f(x)=|x|, x \in R$ द्वारा दिए गए फलन $f$ के लिए,यदि कोई हो,तो अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

एक फूलों की क्यारी को वृत्ताकार सेक्टर के रूप में घेरने के लिए $20 \ m$ तार उपलब्ध है। यदि फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल अधिकतम है,तो वृत्त की त्रिज्या क्या होगी ($m$ में)?