Maxima and Minima Questions in Hindi

(A) दिया गया है कि $xy = 1$ और $x > 0$,इसलिए $y = \frac{1}{x}$ है।
मान लीजिए $f(x) = x + y = x + \frac{1}{x}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$1 - \frac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 1$।
चूंकि $x > 0$ है,इसलिए हम $x = 1$ लेते हैं।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f''(x) = \frac{2}{x^3}$।
$x = 1$ पर,$f''(1) = \frac{2}{1^3} = 2 > 0$ है।
चूंकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,इसलिए $x = 1$ स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है।
न्यूनतम मान $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ है।

(A) माना $y = f(x) = x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 10$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $\frac{dy}{dx} = 5x^4 - 20x^3 + 15x^2 = 5x^2(x^2 - 4x + 3) = 5x^2(x - 3)(x - 1)$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $x = 0, 1, 3$ पर क्रांतिक बिंदु प्राप्त होते हैं।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $\frac{d^2y}{dx^2} = 20x^3 - 60x^2 + 30x = 10x(2x^2 - 6x + 3)$.
$x = 0$ के लिए: $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$. तृतीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^3y}{dx^3} = 60x^2 - 120x + 30$. $x = 0$ पर,$\frac{d^3y}{dx^3} = 30 \neq 0$. अतः,$x = 0$ एक नति परिवर्तन बिंदु है,स्थानीय चरम बिंदु नहीं।
$x = 1$ के लिए: $\frac{d^2y}{dx^2} = 10(1)(2 - 6 + 3) = -10 < 0$. अतः,$x = 1$ एक स्थानीय अधिकतम है।
$f(1) = 1 - 5 + 5 - 10 = -9$.
$x = 3$ के लिए: $\frac{d^2y}{dx^2} = 10(3)(2(9) - 6(3) + 3) = 30(18 - 18 + 3) = 90 > 0$. अतः,$x = 3$ एक स्थानीय न्यूनतम है।
$f(3) = 3^5 - 5(3^4) + 5(3^3) - 10 = 243 - 405 + 135 - 10 = -37$.
अतः,न्यूनतम मान $-37$ और अधिकतम मान $-9$ है।

(B) माना कि दो भाग $x$ और $y$ हैं ताकि $x + y = 20$ हो।
हम गुणनफल $z = x \cdot y^3$ को अधिकतम करना चाहते हैं।
समीकरण में $x = 20 - y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $z = (20 - y)y^3 = 20y^3 - y^4$ प्राप्त होता है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $z$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dz}{dy} = 60y^2 - 4y^3$।
$\frac{dz}{dy} = 0$ रखने पर,हमें $4y^2(15 - y) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = 0$ या $y = 15$।
अब,हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $\frac{d^2z}{dy^2} = 120y - 12y^2$।
$y = 15$ पर,$\frac{d^2z}{dy^2} = 120(15) - 12(15^2) = 1800 - 2700 = -900 < 0$।
चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए $y = 15$ उच्चिष्ठ (maxima) का बिंदु है।
यदि $y = 15$ है,तो $x = 20 - 15 = 5$।
अतः,वे दो भाग $(5, 15)$ हैं।

(C) माना $f(x) = {x^3} - 18{x^2} + 96x$.
सबसे पहले,अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 3{x^2} - 36x + 96$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $3(x^2 - 12x + 32) = 0 \Rightarrow 3(x - 4)(x - 8) = 0$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 4$ और $x = 8$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = 6x - 36$.
$x = 4$ पर,$f''(4) = 6(4) - 36 = -12 < 0$,इसलिए $f(x)$ का $x = 4$ पर स्थानीय अधिकतम मान है।
अधिकतम मान $f(4) = (4)^3 - 18(4)^2 + 96(4) = 64 - 288 + 384 = 160$ है।
$x = 8$ पर,$f''(8) = 6(8) - 36 = 12 > 0$,इसलिए $f(x)$ का $x = 8$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान $f(8) = (8)^3 - 18(8)^2 + 96(8) = 512 - 1152 + 768 = 128$ है।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम मान क्रमशः $160$ और $128$ हैं।

(C) माना $f(x) = \sin x(1 + \cos x) = \sin x + \sin x \cos x = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2x$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$f'(x) = \cos x + \cos 2x = 0$.
सर्वसमिका $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0$.
माना $u = \cos x$,तब $2u^2 + u - 1 = 0$,जिसके गुणनखंड $(2u - 1)(u + 1) = 0$ हैं।
अतः,$\cos x = \frac{1}{2}$ या $\cos x = -1$.
$\cos x = \frac{1}{2}$ के लिए,$x = \frac{\pi}{3}$ (प्रथम चतुर्थांश में)।
$\cos x = -1$ के लिए,$x = \pi$,लेकिन $x = \pi$ पर $f(x) = 0$,जो न्यूनतम है।
द्वितीय अवकलज $f''(x) = -\sin x - 2\sin 2x$ की जाँच करने पर:
$x = \frac{\pi}{3}$ पर,$f''(\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) - 2\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} < 0$.
चूंकि द्वितीय अवकलज ऋणात्मक है,इसलिए फलन का मान $x = \frac{\pi}{3}$ पर अधिकतम है।

(B) माना $f(x) = \frac{x}{1 + x \tan x}$. $f(x)$ का उच्चिष्ठ (maxima) ज्ञात करने के लिए,हम इसके व्युत्क्रम $g(x) = \frac{1}{f(x)} = \frac{1 + x \tan x}{x} = \frac{1}{x} + \tan x$ का निम्निष्ठ (minima) ज्ञात कर सकते हैं।
अब,$x$ के सापेक्ष $g(x)$ का अवकलन करने पर:
$g'(x) = -\frac{1}{x^2} + \sec^2 x$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$g'(x) = 0$ रखें:
$-\frac{1}{x^2} + \sec^2 x = 0 \implies \sec^2 x = \frac{1}{x^2} \implies \cos^2 x = x^2 \implies x = \cos x$ ($x > 0$ के लिए)।
अब,द्वितीय अवकलज $g''(x)$ ज्ञात करें:
$g''(x) = \frac{2}{x^3} + 2 \sec^2 x \tan x$.
$x = \cos x$ पर,$g''(x) = \frac{2}{\cos^3 x} + 2 \sec^2 x \tan x = 2 \sec^2 x (\sec x + \tan x)$।
चूंकि $x = \cos x$ प्रथम चतुर्थांश में है,$\sec x > 0$ और $\tan x > 0$,इसलिए $g''(x) > 0$ है।
अतः,$g(x)$ का मान $x = \cos x$ पर न्यूनतम है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ का मान $x = \cos x$ पर अधिकतम है।

(B) माना $y = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$.
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 + x + 1)(2x - 1) - (x^2 - x + 1)(2x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$
$= \frac{(2x^3 + x^2 + x - 1) - (2x^3 - x^2 + x + 1)}{(x^2 + x + 1)^2}$
$= \frac{2x^2 - 2}{(x^2 + x + 1)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $2x^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$,इसलिए $x = 1$ या $x = -1$.
$x = 1$ के लिए,$y = \frac{1 - 1 + 1}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3}$.
$x = -1$ के लिए,$y = \frac{1 + 1 + 1}{1 - 1 + 1} = \frac{3}{1} = 3$.
अतः,अधिकतम मान $3$ है और न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।

(D) माना $f(x) = \frac{\log x}{x}$.
अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
चूंकि $e \approx 2.718$,$x = e$ अंतराल $[2, \infty)$ में स्थित है।
क्रांतिक बिंदु और सीमा पर फलन का मान ज्ञात करें:
$f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e} \approx 0.367$.
$f(2) = \frac{\log 2}{2} \approx \frac{0.693}{2} = 0.346$.
जैसे $x \to \infty$,$\frac{\log x}{x} \to 0$ ($L$'Hopital के नियम द्वारा)।
चूंकि $f(2) \approx 0.346$ है और $x \to \infty$ के लिए सीमा $0$ है,और $x > e$ के लिए फलन घटता है,फलन के मान $0$ के करीब पहुंचते हैं लेकिन अंतराल $[2, \infty)$ में कभी $0$ तक नहीं पहुंचते हैं।
अतः,न्यूनतम मान का अस्तित्व नहीं है।

(B) माना फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ है,जहाँ $x > 0$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,$1 - \frac{1}{x^2} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$। चूँकि $x > 0$ है,इसलिए $x = 1$ प्राप्त होता है।
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $f''(x) = \frac{2}{x^3}$।
$x = 1$ पर,$f''(1) = \frac{2}{1^3} = 2 > 0$ है।
चूँकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ का न्यूनतम मान $x = 1$ पर प्राप्त होता है।

(B) माना अंश $x$ है। तब हर $x^2 + 16$ होगा।
भिन्न $f(x) = \frac{x}{x^2 + 16}$ है।
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{(x^2 + 16)(1) - x(2x)}{(x^2 + 16)^2} = \frac{16 - x^2}{(x^2 + 16)^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$16 - x^2 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 4$ या $x = -4$.
इन क्रांतिक बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$x = 4$ के लिए,$f(4) = \frac{4}{16 + 16} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.
$x = -4$ के लिए,$f(-4) = \frac{-4}{16 + 16} = \frac{-4}{32} = -\frac{1}{8}$.
मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $-1/8$ है।

(B) माना संख्या $x$ है। हम संख्या और उसके घन के बीच के अंतर को अधिकतम करना चाहते हैं,इसलिए हम फलन $f(x) = x - x^3$ को परिभाषित करते हैं।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज लेते हैं: $f'(x) = 1 - 3x^2$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $1 - 3x^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 1/3$,इसलिए $x = \pm 1/\sqrt{3}$.
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $f''(x) = -6x$.
$x = 1/\sqrt{3}$ के लिए,$f''(1/\sqrt{3}) = -6/\sqrt{3} < 0$,जो स्थानीय अधिकतम मान को दर्शाता है।
$x = -1/\sqrt{3}$ के लिए,$f''(-1/\sqrt{3}) = 6/\sqrt{3} > 0$,जो स्थानीय न्यूनतम मान को दर्शाता है।
अतः,वह संख्या जो अपने घन से सबसे अधिक है,$1/\sqrt{3}$ है।

(C) दिया गया फलन: $f(x) = \frac{x}{4 + x + x^2}$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{(4 + x + x^2)(1) - x(1 + 2x)}{(4 + x + x^2)^2}$
$f'(x) = \frac{4 + x + x^2 - x - 2x^2}{(4 + x + x^2)^2} = \frac{4 - x^2}{(4 + x + x^2)^2}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$4 - x^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 2$ या $x = -2$.
चूंकि $x = 2$ और $x = -2$ दोनों दिए गए अंतराल $[-1, 1]$ के बाहर हैं,इसलिए अधिकतम और न्यूनतम मान अंतराल के अंतिम बिंदुओं (endpoints) पर ही प्राप्त होंगे।
अंतिम बिंदुओं पर मान ज्ञात करने पर:
$f(-1) = \frac{-1}{4 - 1 + 1} = \frac{-1}{4} = -0.25$.
$f(1) = \frac{1}{4 + 1 + 1} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$.
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $1/6$ है।

(A) माना गोले की त्रिज्या $R$ है,इसलिए व्यास $2R$ है।
माना शंकु की ऊँचाई $y$ है और शंकु के आधार की त्रिज्या $x$ है।
गोले की ज्यामिति के अनुसार,गोले के केंद्र से शंकु के आधार की दूरी $|y - R|$ है।
गोले की त्रिज्या,शंकु की त्रिज्या और केंद्र से दूरी द्वारा निर्मित त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $x^2 + (y - R)^2 = R^2$.
$x^2 = R^2 - (y - R)^2 = R^2 - (y^2 - 2Ry + R^2) = 2Ry - y^2$.
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3}\pi x^2 y = \frac{1}{3}\pi (2Ry - y^2)y = \frac{1}{3}\pi (2Ry^2 - y^3)$ है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dy} = \frac{1}{3}\pi (4Ry - 3y^2)$.
$\frac{dV}{dy} = 0$ रखने पर,हमें $y(4R - 3y) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $y \neq 0$,इसलिए $y = \frac{4}{3}R$ है।
द्वितीय अवकलज $\frac{d^2V}{dy^2} = \frac{1}{3}\pi (4R - 6y)$ है। $y = \frac{4}{3}R$ रखने पर,$\frac{d^2V}{dy^2} = \frac{1}{3}\pi (4R - 8R) = -\frac{4}{3}\pi R < 0$,जो अधिकतम मान की पुष्टि करता है।
शंकु की ऊँचाई $(y)$ और गोले के व्यास $(2R)$ का अनुपात $\frac{y}{2R} = \frac{4/3 R}{2R} = \frac{2}{3}$ है।

(B) माना गोले की त्रिज्या $R$ है और व्यास $AE = 2R$ है।
माना शंकु की त्रिज्या $x$ और ऊँचाई $y$ है।
समकोण त्रिभुज $BDE$ में,जीवा के गुणधर्म के अनुसार,$BD^2 = AD \times DE$,जहाँ $AD = y$ और $DE = 2R - y$ है।
अतः,$x^2 = y(2R - y)$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3}\pi x^2 y = \frac{1}{3}\pi y(2R - y)y = \frac{1}{3}\pi (2Ry^2 - y^3)$ है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dy} = \frac{1}{3}\pi (4Ry - 3y^2)$।
$\frac{dV}{dy} = 0$ रखने पर:
$\frac{1}{3}\pi y(4R - 3y) = 0$।
चूँकि $y \neq 0$,इसलिए $y = \frac{4}{3}R$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर,$\frac{d^2V}{dy^2} = \frac{1}{3}\pi (4R - 6y)$।
$y = \frac{4}{3}R$ पर,$\frac{d^2V}{dy^2} = \frac{1}{3}\pi (4R - 8R) = -\frac{4}{3}\pi R < 0$,जो यह पुष्टि करता है कि आयतन अधिकतम है।
शंकु की ऊँचाई और गोले की त्रिज्या का अनुपात $\frac{y}{R} = \frac{4}{3}$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x + \sin x$ है।
सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 1 + \cos x$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $1 + \cos x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos x = -1$.
यह $x = (2n+1)\pi$ पर होता है,जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है।
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $f''(x) = -\sin x$.
$x = \pi$ पर,$f''(\pi) = -\sin(\pi) = 0$.
चूँकि द्वितीय अवकलज शून्य है,हम तृतीय अवकलज की जाँच करते हैं: $f'''(x) = -\cos x$.
$x = \pi$ पर,$f'''(\pi) = -\cos(\pi) = -(-1) = 1 \neq 0$.
चूँकि क्रांतिक बिंदु पर पहला गैर-शून्य अवकलज विषम क्रम (तृतीय अवकलज) का है,इसलिए फलन $f(x)$ का $x = \pi$ पर नतिपरिवर्तन बिंदु (point of inflection) है और इसका कोई स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = ax + \frac{b}{x}$ है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = a - \frac{b}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$a - \frac{b}{x^2} = 0 \Rightarrow a = \frac{b}{x^2} \Rightarrow x^2 = \frac{b}{a} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ (चूंकि $x > 0$ है)।
अब,न्यूनतम मान की जाँच करने के लिए हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(a - bx^{-2}) = 0 - b(-2)x^{-3} = \frac{2b}{x^3}$.
चूंकि $b > 0$ और $x > 0$ है,इसलिए $f''(x) = \frac{2b}{x^3} > 0$ होगा।
अतः,$x = \sqrt{\frac{b}{a}}$ पर फलन का मान न्यूनतम है।

(B) दिया गया है $xy = c^2$,जिससे हम $y = \frac{c^2}{x}$ लिख सकते हैं।
माना $f(x) = ax + by = ax + \frac{bc^2}{x}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = a - \frac{bc^2}{x^2}$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(x) = 0$ रखने पर:
$a - \frac{bc^2}{x^2} = 0 \implies ax^2 = bc^2 \implies x^2 = \frac{bc^2}{a}$।
यहाँ $x = c\sqrt{\frac{b}{a}}$ लेने पर (यह मानते हुए कि $a, b, c > 0$ हैं)।
अब $x$ का मान $f(x)$ में रखने पर:
$f\left(c\sqrt{\frac{b}{a}}\right) = a\left(c\sqrt{\frac{b}{a}}\right) + \frac{bc^2}{c\sqrt{\frac{b}{a}}} = ac\sqrt{\frac{b}{a}} + bc\sqrt{\frac{a}{b}} = c\sqrt{ab} + c\sqrt{ab} = 2c\sqrt{ab}$।

(C) दिया गया समीकरण ${a^2}{x^4} + {b^2}{y^4} = {c^6}$ है।
$AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि धनात्मक संख्याओं $u$ और $v$ के लिए,$\frac{u+v}{2} \ge \sqrt{uv}$ होता है।
माना $u = {a^2}{x^4}$ और $v = {b^2}{y^4}$ है।
तब $\frac{{{a^2}{x^4} + {b^2}{y^4}}}{2} \ge \sqrt{{a^2}{x^4} \cdot {b^2}{y^4}}$।
दिए गए समीकरण का मान रखने पर: $\frac{{{c^6}}}{2} \ge \sqrt{{a^2}{b^2}{x^4}{y^4}}$।
$\frac{{{c^6}}}{2} \ge ab{x^2}{y^2}$।
${x^2}{y^2} \le \frac{{{c^6}}}{{2ab}}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $xy \le \sqrt{\frac{{{c^6}}}{{2ab}}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$xy$ का अधिकतम मान $\frac{{{c^3}}}{{\sqrt {2ab} }}$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 4$ है।
सबसे पहले,प्रथम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 15x^2 + 36x + 4) = 6x^2 - 30x + 36$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$6(x^2 - 5x + 6) = 0$
$6(x - 2)(x - 3) = 0$
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = 3$ हैं।
अब,उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ की जाँच करने के लिए द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 30x + 36) = 12x - 30$.
क्रांतिक बिंदुओं पर $f''(x)$ का मान ज्ञात करें:
$x = 2$ के लिए: $f''(2) = 12(2) - 30 = 24 - 30 = -6$.
चूँकि $f''(2) < 0$ है,इसलिए फलन का मान $x = 2$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ (maximum) है।
$x = 3$ के लिए: $f''(3) = 12(3) - 30 = 36 - 30 = 6$.
चूँकि $f''(3) > 0$ है,इसलिए फलन का मान $x = 3$ पर स्थानीय निम्निष्ठ (minimum) है।
अतः,फलन $x = 2$ पर अधिकतम है।

(B) माना फलन $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 27$ है।
किसी बिंदु $x$ पर वक्र की ढाल अवकलज $f'(x) = -3x^2 + 6x + 9$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम ढाल ज्ञात करने के लिए,माना $g(x) = f'(x) = -3x^2 + 6x + 9$ है।
हम $x$ के सापेक्ष $g(x)$ का अवकलन करते हैं: $g'(x) = -6x + 6$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $g'(x) = 0$ रखने पर,$-6x + 6 = 0$,जिसका अर्थ है $x = 1$।
अधिकतम मान की पुष्टि करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $g''(x) = -6$। चूँकि $g''(1) = -6 < 0$ है,इसलिए फलन $g(x)$ का मान $x = 1$ पर अधिकतम है।
$g(x)$ में $x = 1$ रखने पर,हमें अधिकतम ढाल प्राप्त होती है: $g(1) = -3(1)^2 + 6(1) + 9 = -3 + 6 + 9 = 12$।

(B) दिया गया फलन: $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$
चरण $1$: प्रथम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 12x + 4) = 6x^2 - 6x - 12$
चरण $2$: $f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करें।
$6(x^2 - x - 2) = 0$
$6(x - 2)(x + 1) = 0$
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = -1$ हैं।
चरण $3$: उच्चिष्ठ/निम्निष्ठ की जाँच करने के लिए द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें।
$f''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6x - 12) = 12x - 6$
चरण $4$: क्रांतिक बिंदुओं पर $f''(x)$ का मान ज्ञात करें।
$x = 2$ के लिए: $f''(2) = 12(2) - 6 = 24 - 6 = 18 > 0$। चूंकि $f''(2) > 0$ है,फलन का $x = 2$ पर स्थानीय निम्निष्ठ मान है।
$x = -1$ के लिए: $f''(-1) = 12(-1) - 6 = -12 - 6 = -18 < 0$। चूंकि $f''(-1) < 0$ है,फलन का $x = -1$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ मान है।
निष्कर्ष: फलन का एक उच्चिष्ठ और एक निम्निष्ठ मान है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ है,जहाँ $x > 0$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष फलन का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x + x^{-1}) = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम $f'(x) = 0$ रखते हैं:
$1 - \frac{1}{x^2} = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
चूँकि डोमेन $x > 0$ है,इसलिए हम केवल $x = 1$ पर विचार करेंगे।
अब,क्रांतिक बिंदु की प्रकृति निर्धारित करने के लिए द्वितीय अवकलज (second derivative) ज्ञात करते हैं:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(1 - x^{-2}) = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$.
$x = 1$ पर,$f''(1) = \frac{2}{1^3} = 2 > 0$.
चूँकि $f''(1) > 0$ है,इसलिए फलन का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है,जो $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ है।
जैसे-जैसे $x \to 0^+$,$f(x) \to \infty$,और जैसे-जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$ होता है।
अतः,अंतराल $(0, \infty)$ पर फलन का कोई अधिकतम मान नहीं है।
इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) माना सेक्टर की त्रिज्या $r$ है और चाप की लंबाई $s$ है। परिमाप $p = 2r + s$ द्वारा दिया गया है,इसलिए $s = p - 2r$ है।
सेक्टर का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}rs$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल के सूत्र में $s = p - 2r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = \frac{1}{2}r(p - 2r) = \frac{1}{2}pr - r^2$ प्राप्त होता है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और अवकलज को शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{dr} = \frac{1}{2}p - 2r = 0$.
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $2r = \frac{p}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = \frac{p}{4}$।
चूंकि $\frac{d^2A}{dr^2} = -2 < 0$ है,इसलिए $r = \frac{p}{4}$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।

(D) दिया गया फलन $y = a \ln x + bx^2 + x$ है।
अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
चूंकि फलन का चरम मान $x = 1$ और $x = 2$ पर है,इसलिए इन बिंदुओं पर अवकलज शून्य होगा।
$x = 1$ पर: $\frac{a}{1} + 2b(1) + 1 = 0 \implies a + 2b = -1$ (समीकरण $1$)।
$x = 2$ पर: $\frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \implies \frac{a}{2} + 4b = -1 \implies a + 8b = -2$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - (-1) \implies 6b = -1 \implies b = -1/6$।
$b = -1/6$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $a + 2(-1/6) = -1 \implies a - 1/3 = -1 \implies a = -1 + 1/3 = -2/3$।
अतः,$(a, b) = (-2/3, -1/6)$।

(C) दिया गया है $f(x) = \int_{-10}^x (t^4 - 4)e^{-4t} dt$.
कलन के मूलभूत प्रमेय द्वारा,$f'(x) = (x^4 - 4)e^{-4x}$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$(x^4 - 4)e^{-4x} = 0$.
चूंकि $e^{-4x} \neq 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $x^4 - 4 = 0$,जिसका अर्थ है $x^2 = 2$ या $x^2 = -2$.
वास्तविक डोमेन में,$x = \sqrt{2}$ और $x = -\sqrt{2}$.
दोनों मान $\sqrt{2} \approx 1.414$ और $-\sqrt{2} \approx -1.414$ अंतराल $(-4, 4)$ के भीतर स्थित हैं।
चूंकि $x = \sqrt{2}$ और $x = -\sqrt{2}$ पर $f'(x)$ अपना चिह्न बदलता है,इसलिए फलन के पास दिए गए अंतराल में दो चरम बिंदु हैं।

(A) माना $f(x) = x^2 \log x$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot \log x + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \log x + x = x(2 \log x + 1)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x(2 \log x + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \in [1, e]$,इसलिए $x \neq 0$. अतः,$2 \log x + 1 = 0 \implies \log x = -\frac{1}{2} \implies x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$.
चूंकि $\frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0.606$,जो अंतराल $[1, e]$ में नहीं है,इसलिए दिए गए अंतराल में कोई क्रांतिक बिंदु नहीं है।
अतः,अधिकतम मान अंत बिंदुओं $x = 1$ या $x = e$ पर ही प्राप्त होगा।
$f(1) = 1^2 \cdot \log(1) = 1 \cdot 0 = 0$.
$f(e) = e^2 \cdot \log(e) = e^2 \cdot 1 = e^2$.
$0$ और $e^2$ की तुलना करने पर,अधिकतम मान $e^2$ है।

(C) माना $f(x) = y = x^{-x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln y = -x \ln x$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -[x \cdot \frac{1}{x} + \ln x \cdot 1] = -(1 + \ln x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -x^{-x}(1 + \ln x)$ है।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,$1 + \ln x = 0$ प्राप्त होता है।
$\ln x = -1$,इसलिए $x = e^{-1} = \frac{1}{e}$ है।
अधिकतम मान की पुष्टि करने के लिए,हम द्वितीय अवकलज या प्रथम अवकलज के चिह्न में परिवर्तन की जाँच करते हैं। चूंकि $x < 1/e$ के लिए $f'(x) > 0$ और $x > 1/e$ के लिए $f'(x) < 0$ है,इसलिए फलन $x = 1/e$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है।

(B) दिया गया है कि $ab = 2a + 3b$। चूँकि $a > 0$ और $b > 0$ है,हम $b$ को $a$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:
$b(a - 3) = 2a \implies b = \frac{2a}{a - 3}$.
चूँकि $b > 0$ और $a > 0$ है,इसलिए $a - 3 > 0$ होना चाहिए,अर्थात $a > 3$।
मान लीजिए $z = ab = a \left( \frac{2a}{a - 3} \right) = \frac{2a^2}{a - 3}$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $z$ का $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dz}{da} = \frac{(a - 3)(4a) - 2a^2(1)}{(a - 3)^2} = \frac{4a^2 - 12a - 2a^2}{(a - 3)^2} = \frac{2a^2 - 12a}{(a - 3)^2}$।
$\frac{dz}{da} = 0$ रखने पर,$2a(a - 6) = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $a > 3$ है,इसलिए $a = 6$ होगा।
जब $a = 6$ है,तो $b = \frac{2(6)}{6 - 3} = \frac{12}{3} = 4$।
अतः $ab = 6 \times 4 = 24$।
इस प्रकार,$ab$ का न्यूनतम मान $24$ है।

(D) मान लीजिए भुजाओं $PQ$ और $PR$ की लंबाई क्रमशः $a$ और $b$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta = \frac{1}{2} ab \sin \theta$,जहाँ $\theta$ भुजाओं $PQ$ और $PR$ के बीच का कोण है।
चूँकि $a$ और $b$ स्थिर लंबाई हैं,क्षेत्रफल $\Delta$,$\sin \theta$ के सीधे आनुपातिक है।
क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब $\sin \theta$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।
हम जानते हैं कि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = \frac{\pi}{2}$ पर प्राप्त होता है।
अतः,वह कोण जो अधिकतम क्षेत्रफल देता है,$\frac{\pi}{2}$ है।

(A) दिया गया फलन $y = a(1 - \cos x)$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलज $y'$ ज्ञात करें:
$y' = \frac{d}{dx}[a(1 - \cos x)] = a(0 - (-\sin x)) = a \sin x$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,$y' = 0$ रखें:
$a \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \Rightarrow x = n\pi$ जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है।
मानक अंतराल $[0, 2\pi]$ में,क्रांतिक बिंदु $x = 0$ और $x = \pi$ हैं।
अब,द्वितीय अवकलज $y''$ ज्ञात करें:
$y'' = \frac{d}{dx}(a \sin x) = a \cos x$.
क्रांतिक बिंदुओं पर $y''$ का मान ज्ञात करें:
$x = 0$ के लिए,$y''(0) = a \cos(0) = a$.
$x = \pi$ के लिए,$y''(\pi) = a \cos(\pi) = -a$.
यदि हम $a > 0$ मान लें,तो फलन का स्थानीय अधिकतम मान तब होता है जब $y'' < 0$ हो,जो $x = \pi$ पर प्राप्त होता है।

(A) माना $f(x) = x^2 + \frac{250}{x}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = 2x - \frac{250}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) को ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें:
$2x - \frac{250}{x^2} = 0 \implies 2x^3 = 250 \implies x^3 = 125 \implies x = 5$.
अब,फलन की प्रकृति की जाँच करने के लिए द्वितीय अवकलज $f''(x)$ निकालते हैं:
$f''(x) = 2 + \frac{500}{x^3}$.
$x = 5$ पर,$f''(5) = 2 + \frac{500}{125} = 2 + 4 = 6$.
चूँकि $f''(5) > 0$ है,इसलिए फलन का मान $x = 5$ पर न्यूनतम है।
न्यूनतम मान $f(5) = 5^2 + \frac{250}{5} = 25 + 50 = 75$ है।

(A) माना $f(x) = x^2 + \frac{1}{1 + x^2}$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 2x - \frac{1}{(1 + x^2)^2} \cdot (2x) = 2x \left( 1 - \frac{1}{(1 + x^2)^2} \right)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $2x = 0$ या $1 - \frac{1}{(1 + x^2)^2} = 0$ प्राप्त होता है।
$2x = 0$ से,हमें $x = 0$ प्राप्त होता है।
$1 - \frac{1}{(1 + x^2)^2} = 0$ से,हमें $(1 + x^2)^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $1 + x^2 = 1$ (क्योंकि $1 + x^2 > 0$),अतः $x^2 = 0$,जो पुनः $x = 0$ देता है।
$x = 0$ पर फलन का मान ज्ञात करने पर,$f(0) = 0^2 + \frac{1}{1 + 0^2} = 1$.
अतः,फलन का न्यूनतम मान $x = 0$ पर प्राप्त होता है।

(A) दिए गए समीकरण $x - 2y = 4$ से,हम $x$ को $y$ के पदों में $x = 2y + 4$ $(i)$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना गुणनफल $P = xy$ है।
$P$ के व्यंजक में $(i)$ का मान रखने पर,हमें $P = y(2y + 4) = 2y^2 + 4y$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dP}{dy} = 4y + 4 = 0 \Rightarrow y = -1.$
अब,न्यूनतम मान की पुष्टि करने के लिए हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2P}{dy^2} = 4,$ जो $0$ से बड़ा है,यह पुष्टि करता है कि $y = -1$ पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है।
$y = -1$ को $(i)$ में रखने पर,हमें $x = 2(-1) + 4 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$xy$ का न्यूनतम मान $P = (2)(-1) = -2$ है।

(A) माना $f(x, y) = 2x + 3y$ और प्रतिबंध $xy = 6$ है।
चूंकि $xy = 6,$ इसलिए $y = \frac{6}{x}$ होगा।
इस मान को फलन में रखने पर,$f(x) = 2x + 3\left(\frac{6}{x}\right) = 2x + \frac{18}{x}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,अवकलन करने पर $f'(x) = 2 - \frac{18}{x^2}$ प्राप्त होता है।
$f'(x) = 0$ रखने पर,$2 = \frac{18}{x^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 9,$ अतः $x = \pm 3.$
यहाँ न्यूनतम मान के लिए $x$ और $y$ धनात्मक होने चाहिए,इसलिए $x = 3$ लेने पर।
तब $y = \frac{6}{3} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम मान $f(3) = 2(3) + 3(2) = 6 + 6 = 12$ होगा।

(B) दिया गया फलन $f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 12x^2 - 48x + 25$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = 12x^3 - 24x^2 + 24x - 48$
$f'(x) = 12(x^3 - 2x^2 + 2x - 4)$
$f'(x) = 12[x^2(x - 2) + 2(x - 2)] = 12(x - 2)(x^2 + 2)$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
चूंकि $x^2 + 2 = 0$ का कोई वास्तविक हल नहीं है,इसलिए केवल एक क्रांतिक बिंदु $x = 2$ है।
अब,$x = 2$ और अंतराल के अंतिम बिंदुओं $x = 0$ तथा $x = 3$ पर $f(x)$ का मान ज्ञात करें:
$f(0) = 25$
$f(2) = 3(16) - 8(8) + 12(4) - 96 + 25 = 48 - 64 + 48 - 96 + 25 = -39$
$f(3) = 3(81) - 8(27) + 12(9) - 144 + 25 = 243 - 216 + 108 - 144 + 25 = 16$.
अतः,न्यूनतम मान $\min\{25, -39, 16\} = -39$ है।

(B) माना $y = x^{1/x}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln y = \frac{1}{x} \ln x$ प्राप्त होता है।
गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \left(-\frac{1}{x^2}\right) \ln x + \left(\frac{1}{x}\right) \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = x^{1/x} \left(\frac{1 - \ln x}{x^2}\right)$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,जिससे $1 - \ln x = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $\ln x = 1$,जो $x = e$ देता है।
चूंकि $x = e$ पर अवकलज धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए फलन $x = e$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है।
अधिकतम मान $y(e) = e^{1/e}$ है।

(D) माना वक्र पर एक बिंदु $P(h, k)$ है।
चूंकि बिंदु वक्र ${x^2} = 2y$ पर स्थित है,इसलिए ${h^2} = 2k$ ... $(i)$.
बिंदु $(0, 5)$ और $P(h, k)$ के बीच की दूरी $D = \sqrt{(h - 0)^2 + (k - 5)^2} = \sqrt{h^2 + (k - 5)^2}$ है।
समीकरण $(i)$ से ${h^2} = 2k$ रखने पर,$D = \sqrt{2k + (k - 5)^2} = \sqrt{2k + k^2 - 10k + 25} = \sqrt{k^2 - 8k + 25}$.
$D$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $f(k) = k^2 - 8k + 25$ को न्यूनतम करेंगे।
अवकलन करने पर,$f'(k) = 2k - 8$.
$f'(k) = 0$ रखने पर,$2k = 8$,जिसका अर्थ है $k = 4$.
$k = 4$ के लिए,${h^2} = 2(4) = 8$,इसलिए $h = \pm 2\sqrt{2}$.
वक्र पर वे बिंदु जो $(0, 5)$ के सबसे निकट हैं,$(2\sqrt{2}, 4)$ और $(-2\sqrt{2}, 4)$ हैं।
चूंकि ये बिंदु विकल्प $A$,$B$ या $C$ में नहीं दिए गए हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया फलन $f(a) = (2a^2 - 3) + 3(3 - a) + 4$ है।
व्यंजक को सरल करने पर:
$f(a) = 2a^2 - 3 + 9 - 3a + 4$
$f(a) = 2a^2 - 3a + 10$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(a)$ निकालते हैं:
$f'(a) = \frac{d}{da}(2a^2 - 3a + 10) = 4a - 3$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $f'(a) = 0$ रखने पर:
$4a - 3 = 0 \Rightarrow a = \frac{3}{4}$.
चूंकि द्वितीय अवकलज $f''(a) = 4 > 0$ है,इसलिए फलन का $a = \frac{3}{4}$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान है:
$f\left(\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{4}\right) + 10$
$f\left(\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{9}{16}\right) - \frac{9}{4} + 10$
$f\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{80}{8} = \frac{71}{8}$.

(B) दिया गया फलन एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$,सार्व अनुपात $r = 2x^2$ और $n = 11$ पद हैं।
$f(x) = \sum_{k=0}^{10} (2x^2)^k = \frac{(2x^2)^{11} - 1}{2x^2 - 1}$.
वैकल्पिक रूप से,हम बहुपद का सीधे अवकलन कर सकते हैं:
$f(x) = 1 + 2x^2 + 4x^4 + 8x^6 + \dots + 1024x^{20}$.
$f'(x) = 4x + 16x^3 + 48x^5 + \dots + 20480x^{19}$.
$f'(x) = 4x(1 + 4x^2 + 12x^4 + \dots + 5120x^{18})$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हम देख सकते हैं कि $x = 0$ ही एकमात्र वास्तविक क्रांतिक बिंदु है क्योंकि कोष्ठक में दिया गया पद सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक है।
$x = 0$ पर द्वितीय अवकलज की गणना करने पर:
$f''(x) = 4 + 48x^2 + 240x^4 + \dots$
$f''(0) = 4 > 0$.
चूंकि $f'(0) = 0$ और $f''(0) > 0$,फलन $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम रखता है। चूंकि यह धनात्मक अग्रणी गुणांक वाला एक सम घात का बहुपद है,इसलिए यह वैश्विक न्यूनतम है। अतः,$f(x)$ के पास ठीक एक न्यूनतम है।

(B) माना फलन $f(x) = x - \log_e(1 + x)$,जहाँ $x \in (0, 1)$ है।
अवकलन करने पर,$f'(x) = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{1 + x - 1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x > 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$ है,जो दर्शाता है कि $f(x)$ अंतराल $(0, 1)$ में एक वर्धमान फलन है।
चूँकि $f(0) = 0 - \log_e(1) = 0$ है और $f(x)$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $x > 0$ के लिए $f(x) > f(0)$ होगा।
अतः,$x - \log_e(1 + x) > 0$,जिसका अर्थ है कि $\log_e(1 + x) < x$ सभी $x \in (0, 1)$ के लिए सत्य है।
इस प्रकार,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) माना $R$ त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है। आकृति की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध है:
${r^2} + {\left( {\frac{h}{2}} \right)^2} = {R^2}$
${h^2} = 4({R^2} - {r^2}) \implies h = 2\sqrt {{R^2} - {r^2}}$
बेलन का आयतन $V$ इस प्रकार है:
$V = \pi {r^2}h = 2\pi {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}}$
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{{dV}}{{dr}} = 2\pi \left[ {2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2} \cdot \frac{1}{{2\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} \cdot ( - 2r)} \right]$
$\frac{{dV}}{{dr}} = 2\pi \left[ {2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^3}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}} \right]$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{{dV}}{{dr}} = 0$ रखने पर:
$2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} = \frac{{{r^3}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}$
$2({R^2} - {r^2}) = {r^2}$
$2{R^2} - 2{r^2} = {r^2}$
$3{r^2} = 2{R^2}$
${r^2} = \frac{2}{3}{R^2}$
$r = \sqrt {\frac{2}{3}} R$
अतः,अधिकतम आयतन वाले बेलन की त्रिज्या $\sqrt {\frac{2}{3}} R$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^x \frac{\cos t}{t} dt$ जहाँ $x > 0$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = \frac{\cos x}{x}$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखने पर,जिसका अर्थ है $\cos x = 0$ (चूंकि $x > 0$).
अतः,$x = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
अब,$f''(x) = \frac{-x \sin x - \cos x}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं $x_n = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$ पर,$\cos x_n = 0$ और $\sin x_n = (-1)^n$ होता है।
अतः,$f''(x_n) = \frac{-x_n \sin x_n}{x_n^2} = \frac{-\sin x_n}{x_n} = \frac{-(-1)^n}{(2n + 1)\frac{\pi}{2}} = \frac{2(-1)^{n+1}}{(2n + 1)\pi}$.
उच्चिष्ठ के लिए,$f''(x_n) < 0$ होना चाहिए। यह तब होता है जब $(-1)^{n+1} < 0$,जिसका अर्थ है $n+1$ विषम है,इसलिए $n$ सम है $(n = 0, 2, 4, \dots)$.
निम्निष्ठ के लिए,$f''(x_n) > 0$ होना चाहिए। यह तब होता है जब $(-1)^{n+1} > 0$,जिसका अर्थ है $n+1$ सम है,इसलिए $n$ विषम है $(n = 1, 3, 5, \dots)$.
चूंकि दिए गए विकल्पों में से कोई भी इन शर्तों से मेल नहीं खाता है,इसलिए सही उत्तर $(d)$ है।

(C) कुल बैचों की संख्या $\frac{N}{x}$ है।
प्रति बैच समय $(\alpha + \beta x^2)$ सेकंड है।
इसलिए,कुल प्रसंस्करण समय $T = \frac{N}{x}(\alpha + \beta x^2) = N(\frac{\alpha}{x} + \beta x)$ है।
तेज़ प्रसंस्करण के लिए,$T$ का मान न्यूनतम होना चाहिए।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dT}{dx} = N(-\frac{\alpha}{x^2} + \beta)$।
क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dT}{dx} = 0$ रखने पर: $-\frac{\alpha}{x^2} + \beta = 0 \implies x^2 = \frac{\alpha}{\beta} \implies x = \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर: $\frac{d^2T}{dx^2} = N(\frac{2\alpha}{x^3})$। चूँकि $x, \alpha, \beta > 0$ है,इसलिए $\frac{d^2T}{dx^2} > 0$ प्राप्त होता है,जो यह पुष्टि करता है कि $x = \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$ पर $T$ न्यूनतम है।

(D) माना $f(x) = {x^{25}}{(1 - x)^{75}}$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = {x^{25}} \cdot 75{(1 - x)^{74}} \cdot (-1) + 25{x^{24}} \cdot {(1 - x)^{75}}$
$f'(x) = 25{x^{24}}{(1 - x)^{74}} [ -3x + (1 - x) ]$
$f'(x) = 25{x^{24}}{(1 - x)^{74}} (1 - 4x)$
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$f'(x) = 0$ रखें:
$25{x^{24}}{(1 - x)^{74}} (1 - 4x) = 0$
इससे हमें $x = 0, x = 1,$ या $x = 1/4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(0) = 0$ और $f(1) = 0$,और $x \in (0, 1)$ के लिए $f(x) > 0$ है,इसलिए अधिकतम मान क्रांतिक बिंदु $x = 1/4$ पर प्राप्त होगा।
अतः,फलन अपना अधिकतम मान $x = 1/4$ पर प्राप्त करता है।

(B) दिया गया है $f(x) = \int_{-1}^x {t({e^t} - 1)(t - 1){(t - 2)}^3{(t - 3)}^5} dt$.
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f'(x) = x({e^x} - 1)(x - 1){(x - 2)}^3{(x - 3)}^5$.
स्थानीय चरम मानों के लिए,हम $f'(x) = 0$ रखते हैं,जिससे क्रांतिक बिंदु $x = 0, 1, 2, 3$ प्राप्त होते हैं।
इन बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ के चिह्न में परिवर्तन की जाँच करते हैं:
$1$. $x = 0$ पर: $f'(x)$ ऋणात्मक से ऋणात्मक में बदलता है (कोई चरम मान नहीं)।
$2$. $x = 1$ पर: $f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है (स्थानीय न्यूनतम)।
$3$. $x = 2$ पर: $f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है (स्थानीय अधिकतम)।
$4$. $x = 3$ पर: $f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक में बदलता है (स्थानीय न्यूनतम)।
अतः,फलन का स्थानीय न्यूनतम मान $x = 1$ और $x = 3$ पर है। विकल्पों में $1$ उपलब्ध है,इसलिए सही उत्तर $1$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$ है।
प्रथम अवकलज ज्ञात करें: $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$.
क्रांतिक बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0 \Rightarrow 6(x - a)(x - 2a) = 0$.
क्रांतिक बिंदु $x = a$ और $x = 2a$ हैं।
द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $f''(x) = 12x - 18a$.
$x = a$ पर,$f''(a) = 12a - 18a = -6a < 0$ (चूंकि $a > 0$),इसलिए $x = a$ स्थानीय अधिकतम बिंदु है। अतः,$p = a$.
$x = 2a$ पर,$f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a > 0$,इसलिए $x = 2a$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु है। अतः,$q = 2a$.
दी गई शर्त $p^2 = q$ के अनुसार,$a^2 = 2a$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a$ से विभाजित करने पर $a = 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना योगफल $S = x + \frac{1}{x}$ है।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM-GM)$ असमिका के अनुसार,धनात्मक वास्तविक संख्याओं $x$ और $\frac{1}{x}$ के लिए:
$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \ge \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$
$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \ge \sqrt{1}$
$x + \frac{1}{x} \ge 2$.
योगफल का न्यूनतम मान $2$ है,जो तब प्राप्त होता है जब $x = \frac{1}{x}$,अर्थात $x^2 = 1$ हो। चूंकि $x$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है,इसलिए $x = 1$।

(B) माना $A = x + y$ है। चूँकि $xy = 1$,इसलिए $y = \frac{1}{x}$ है।
इसे $A$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A(x) = x + \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है,जहाँ $x > 0$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $\frac{dA}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$।
$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $1 = \frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$। चूँकि $x > 0$ है,इसलिए $x = 1$ होगा।
अब,द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2A}{dx^2} = \frac{2}{x^3}$।
$x = 1$ पर,$\frac{d^2A}{dx^2} = \frac{2}{1^3} = 2 > 0$ है।
चूँकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,इसलिए $x = 1$ स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है।
अतः न्यूनतम मान $A(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^2 \log x$ अंतराल $[1, e]$ पर है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = x^2 \cdot \frac{1}{x} + (\log x) \cdot 2x = x + 2x \log x = x(1 + 2 \log x)$.
$x \in [1, e]$ के लिए,$x$ हमेशा धनात्मक है और $\log x \ge 0$ है।
चूंकि $1 + 2 \log x > 0$ सभी $x \in [1, e]$ के लिए है,इसलिए $f'(x) > 0$ है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $[1, e]$ पर एक वर्धमान फलन है।
इसलिए,अधिकतम मान अंतराल के दाहिने अंतिम बिंदु $x = e$ पर प्राप्त होता है।
$f(e) = e^2 \log e = e^2 \cdot 1 = e^2$.

दिया गया फलन $f(x) = x^4(12\ln x - 7)$ है।
$f'(x) = 4x^3(12\ln x - 7) + x^4(\frac{12}{x}) = 48x^3\ln x - 28x^3 + 12x^3 = 16x^3(3\ln x - 1)$.
$f''(x) = 48x^2(3\ln x - 1) + 16x^3(\frac{3}{x}) = 144x^2\ln x$.
$(A)$ नतिपरिवर्तन बिंदु तब होता है जब $f''(x) = 0$,अर्थात $144x^2\ln x = 0 \implies x = 1$. तब $f(1) = -7$. अतः $(a, b) = (1, -7)$ और $a - b = 8$. इसलिए $(A) \to S$.
$(B)$ स्थानीय न्यूनतम बिंदु के लिए $f'(x) = 0$ और $f''(x) > 0$. $16x^3(3\ln x - 1) = 0 \implies x = e^{1/3}$. यहाँ $t = 1/3$,इसलिए $12t = 4$. इसलिए $(B) \to R$.
$(C)$ अवतल नीचे (concave down) के लिए $f''(x) < 0$,अर्थात $144x^2\ln x < 0 \implies 0 < x < 1$. अतः $(d, e) = (0, 1)$ और $d + 3e = 3$. इसलिए $(C) \to P$.
$(D)$ अवतल ऊपर (concave up) के लिए $f''(x) > 0$,अर्थात $x > 1$. अतः $p = 1$. इसलिए $(D) \to Q$.