उन बिंदुओं के भुज (abscissae) ज्ञात कीजिए,जहाँ वक्र $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ की स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के समांतर है।

मान लीजिए कि $(2\alpha, \alpha)$ वह सबसे बड़ा अंतराल है जिसमें फलन $f(t) = \frac{|t+1|}{t^2}, t < 0$,निरंतर ह्रासमान (strictly decreasing) है। तो फलन $g(x) = 2\log_e(x-2) + \alpha x^2 + 4x - \alpha, x > 2$,का स्थानीय उच्चतम मान ज्ञात कीजिए।

$x \in [0, \pi]$ के लिए फलन $f(x) = \sin x + \cos x$ का निरपेक्ष अधिकतम और निरपेक्ष न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

अंतराल $0 \leq x \leq 1$ के लिए फलन $f(x) = [x(x-1) + 1]^{\frac{1}{3}}$ का अधिकतम मान . . . . . . है।

मान लीजिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। फलन $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=\begin{cases} \frac{6x+\sin x}{2x+\sin x} & \text{यदि } x \neq 0 \\ \frac{7}{3} & \text{यदि } x=0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ बिंदु $x=0$,$f$ का स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है
$(B)$ बिंदु $x=0$,$f$ का स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है
$(C)$ अंतराल $[\pi, 6\pi]$ में $f$ के स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदुओं की संख्या $3$ है
$(D)$ अंतराल $[2\pi, 4\pi]$ में $f$ के स्थानीय निम्निष्ठ बिंदुओं की संख्या $1$ है

यदि फलनों $f(x) = \frac{x^3}{3} + 2bx + \frac{ax^2}{2}$ और $g(x) = \frac{x^3}{3} + ax + bx^2$,जहाँ $a \neq 2b$,का एक उभयनिष्ठ चरम बिंदु (extreme point) है,तो $a + 2b + 7$ का मान ज्ञात कीजिए।