x^x का स्थिर बिंदु (stationary point) कहाँ है | vedclass

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Question

(B) माना $y = x^x$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$x > 0$ के लिए $\log y = x \log x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac

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$x = \frac{1}{e}$

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(B) माना $y = x^x$ है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$x > 0$ के लिए $\log y = x \log x$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$ प्राप्त होता है।अतः,$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log x)$ है।स्थिर बिंदु के लिए,हम $\frac{dy}{dx} = 0$ रखते हैं।चूँकि $x^x > 0$ है,इसलिए $1 + \log x = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\log x = -1$।अतः,$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$ है।सत्यापन के लिए,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2} = x^x(1 + \log x)^2 + x^x \cdot \frac{1}{x}$ है।$x = \frac{1}{e}$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = (\frac{1}{e})^{1/e}(0)^2 + (\frac{1}{e})^{1/e} \cdot e = e \cdot (\frac{1}{e})^{1/e} > 0$ होता है।चूँकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,इसलिए $x = \frac{1}{e}$ पर $y$ का मान न्यूनतम है।

$x^x$ का स्थिर बिंदु (stationary point) कहाँ है?

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यदि $f(x) = \int\limits_0^x {{e^{\frac{{ - {t^2}}}{2}}}} \left( {1 - {t^2}} \right)\,dt$ है,तो $f(x)$ का मान $x = \dots$ पर न्यूनतम है।

सिद्ध कीजिए कि $f(x) = \frac{\log x}{x}$ द्वारा दिया गया फलन $x = e$ पर उच्चतम मान रखता है।

मान लीजिए $f(x) = 1 - \sqrt{x^2}$,जहाँ वर्गमूल धनात्मक लिया जाना है। तो:

यदि $f(x) = x^4 + \lambda x^3 + x^2$ $(\lambda \in R)$ का $x = \frac{1}{2}$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ (local maximum) है,तो $f(x)$ का निरपेक्ष निम्निष्ठ (absolute minimum) मान है:

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