Increasing and Decreasing function Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x \cdot e^{x-x^2}$.
વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
ગુણાકારના નિયમ અને સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $f'(x) = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1-2x)$.
$f'(x) = e^{x-x^2} [1 + x(1-2x)] = e^{x-x^2} [1 + x - 2x^2]$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $1 + x - 2x^2 = -(2x^2 - x - 1) = -(2x+1)(x-1) = (2x+1)(1-x)$.
તેથી,$f'(x) = e^{x-x^2} (2x+1)(1-x)$.
દરેક $x \in R$ માટે $e^{x-x^2} > 0$ હોવાથી,$f'(x)$ ની નિશાની $(2x+1)(1-x)$ પર આધાર રાખે છે.
જ્યારે $(2x+1)(1-x) > 0$ હોય ત્યારે $f'(x) > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{1}{2} < x < 1$.
આમ,$f(x)$ એ અંતરાલ $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$ માં વધતું વિધેય છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$ છે.
આપણે તેને $f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$ તરીકે લખી શકીએ.
વિધેય ક્યાં વધે છે તે શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ: $f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2\sin(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = -\sin(4x)$.
વિધેય ત્યારે વધે છે જ્યારે $f'(x) > 0$,એટલે કે $-\sin(4x) > 0$,અથવા $\sin(4x) < 0$.
આ સ્થિતિ $\pi < 4x < 2\pi$ માટે થાય છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ છે.
વિધેય ચુસ્ત રીતે ઘટતું હોય તેવા અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx} (\frac{x}{2} + 2x^{-1}) = \frac{1}{2} - 2x^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$.
વિધેય ચુસ્ત રીતે ઘટતું હોવા માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જરૂરી છે.
$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} < 0 \implies \frac{x^2 - 4}{2x^2} < 0$.
બધા $x \neq 0$ માટે $2x^2 > 0$ હોવાથી,અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $x^2 - 4 < 0$ હોય.
$(x - 2)(x + 2) < 0$.
આ અસમતા $x \in (-2, 2)$ માટે સાચી છે.
$x \neq 0$ હોવાથી,વિધેય $(-2, 0) \cup (0, 2)$ અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે.

(A) $f(x)$ ક્યાં વધતું વિધેય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
આપેલ છે કે $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$.
$f(x)$ નો પ્રદેશ $x > -1$ છે.
$f'(x) = \frac{d}{dx} [\log(1+x)] - \frac{d}{dx} [\frac{2x}{2+x}]$.
બીજા પદ માટે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{d}{dx} [\frac{2x}{2+x}] = \frac{(2+x)(2) - 2x(1)}{(2+x)^2} = \frac{4+2x-2x}{(2+x)^2} = \frac{4}{(2+x)^2}$.
તેથી,$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$.
$f'(x) = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{4+4x+x^2-4-4x}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે,આપણે $f'(x) > 0$ ની જરૂર છે.
કારણ કે $x^2 \ge 0$ અને $(2+x)^2 > 0$ પ્રદેશના તમામ $x$ માટે છે,તેથી $f'(x) > 0$ ત્યારે જ થાય જ્યારે $1+x > 0$,જેનો અર્થ છે $x > -1$.
આમ,$f(x)$ એ $(-1, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = [x(x-2)]^2 = (x^2 - 2x)^2$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધતું છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ.
$f'(x) = 2(x^2 - 2x)(2x - 2) = 4x(x-2)(x-1)$.
વિધેય વધતું હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
$4x(x-1)(x-2) > 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 0, 1, 2$ માટે વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
- જો $x > 2$ હોય,તો બધા અવયવો $(x), (x-1), (x-2)$ ધન છે,તેથી $f'(x) > 0$.
- જો $1 < x < 2$ હોય,તો $(x)$ ધન,$(x-1)$ ધન અને $(x-2)$ ઋણ છે,તેથી $f'(x) < 0$.
- જો $0 < x < 1$ હોય,તો $(x)$ ધન,$(x-1)$ ઋણ અને $(x-2)$ ઋણ છે,તેથી $f'(x) > 0$.
- જો $x < 0$ હોય,તો બધા અવયવો ઋણ છે,તેથી $f'(x) < 0$.
આમ,$f'(x) > 0$ એ $(0, 1) \cup (2, \infty)$ માં મળે છે.
તેથી,વિધેય $(0, 1) \cup (2, \infty)$ માં વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$ મળે છે.
$f(x)$ ચુસ્ત વધતું વિધેય હોય તે માટે,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
દ્વિઘાત સમીકરણ $f'(x)$ નો વિવેચક $D = (2b)^2 - 4(3)(c) = 4b^2 - 12c$ છે.
$b^2 < c$ હોવાથી,$4b^2 < 4c$ થાય.
આમ,$D = 4b^2 - 12c < 4c - 12c = -8c$.
$0 < b^2 < c$ હોવાથી,$c > 0$ થાય. તેથી,$D < 0$.
$f'(x)$ નો અગ્ર સહગુણક $3 > 0$ છે અને $D < 0$ હોવાથી,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ થાય છે.
તેથી,$f(x)$ એ $(-\infty, \infty)$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(C) ધારો કે $f(x) = \frac{\ln(\pi+x)}{\ln(e+x)}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{\ln(e+x) \cdot \frac{1}{\pi+x} - \ln(\pi+x) \cdot \frac{1}{e+x}}{[\ln(e+x)]^2}$.
અંશનું સાદું રૂપ આપતા,$f'(x) = \frac{(e+x)\ln(e+x) - (\pi+x)\ln(\pi+x)}{(\pi+x)(e+x)[\ln(e+x)]^2}$.
વિધેય $g(t) = t \ln(t)$ ધ્યાનમાં લો. તેનું વિકલન $g'(t) = 1 + \ln(t)$ છે. $t > 1$ માટે,$g'(t) > 0$,તેથી $g(t)$ વધતું વિધેય છે.
અહીં $\pi > e > 1$ હોવાથી,$x > 0$ માટે,$\pi+x > e+x > e > 1$ થાય.
$g(t)$ વધતું હોવાથી,$g(\pi+x) > g(e+x)$,જેનો અર્થ છે કે $(\pi+x)\ln(\pi+x) > (e+x)\ln(e+x)$.
તેથી,$(e+x)\ln(e+x) - (\pi+x)\ln(\pi+x) < 0$.
છેદ $x > 0$ માટે હંમેશા ધન હોવાથી,$f'(x) < 0$ તમામ $x \in (0, \infty)$ માટે.
આમ,$f(x)$ એ $(0, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{\log x}{x}$ છે.
વિધેય ક્યાં વધતું વિધેય છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
વિધેય વધતું વિધેય હોય તે માટે,આપણે $f'(x) > 0$ ની શરત તપાસવી પડે.
અહીં $x > 0$ માટે $x^2 > 0$ હોવાથી,$f'(x) > 0$ થવા માટે $1 - \log x > 0$ હોવું જરૂરી છે.
આથી $1 > \log x$,જેનો અર્થ છે કે $\log x < 1$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય સ્વરૂપ લેતા,આપણને $x < e^1$ અથવા $x < e$ મળે છે.
આપેલ પ્રદેશ $x > 0$ ને ધ્યાનમાં લેતા,વિધેય $(0, e)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = 2x^3 - 6x + 5$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલિત $f'(x)$ મેળવીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x + 5) = 6x^2 - 6$.
વિધેય વધતું વિધેય ત્યારે કહેવાય જ્યારે $f'(x) > 0$ હોય.
તેથી,$6x^2 - 6 > 0$.
$6$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 - 1 > 0$ મળે છે,જેના અવયવો $(x - 1)(x + 1) > 0$ થાય છે.
અસમતા $(x - 1)(x + 1) > 0$ માટે ચિહ્ન યોજનાનો ઉપયોગ કરતા,આ પદ ત્યારે ધન બને છે જ્યારે $x > 1$ અથવા $x < -1$ હોય.
આમ,વિધેય $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ માટે વધતું વિધેય છે.

(B) આપેલ વિધેય: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 3$.
વિકલન મેળવતા: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$.
વિધેય ઘટતું હોવા માટેની શરત $f'(x) < 0$ છે.
તેથી,$3x^2 - 12x + 9 < 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^2 - 4x + 3 < 0$.
અવયવ પાડતા: $(x - 3)(x - 1) < 0$.
અસમતાના ચિહ્ન પદ્ધતિ મુજબ,આ પદ $1$ અને $3$ ની વચ્ચે ઋણ મળે છે.
તેથી,$x \in (1, 3)$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - \frac{d-x}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}}$.
$f(x)$ વધતું છે કે ઘટતું તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\frac{d}{dx}(\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}) = \frac{1 \cdot \sqrt{a^2+x^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}}{a^2+x^2} = \frac{a^2+x^2-x^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}$.
તે જ રીતે,બીજા પદ માટે,ધારો કે $u = d-x$,તો $\frac{d}{dx}(-\frac{u}{\sqrt{b^2+u^2}}) = -\frac{d}{du}(\frac{u}{\sqrt{b^2+u^2}}) \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{b^2}{(b^2+u^2)^{3/2}} \cdot (-1) = \frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$.
આમ,$f'(x) = \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}} + \frac{b^2}{(b^2+(d-x)^2)^{3/2}}$.
કારણ કે $a^2 > 0$ અને $b^2 > 0$,પદો $(a^2+x^2)^{3/2}$ અને $(b^2+(d-x)^2)^{3/2}$ હંમેશા ધન છે.
તેથી,તમામ $x \in R$ માટે $f'(x) > 0$.
કારણ કે $f'(x) > 0$,$f(x)$ એ $x$ નું વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 - 10x^2 + 200x - 10$ છે.
વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 10x^2 + 200x - 10) = 3x^2 - 20x + 200$.
$f'(x)$ ની નિશાની તપાસવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલિ $3x^2 - 20x + 200$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4(3)(200) = 400 - 2400 = -2000$.
અહીં $D < 0$ છે અને $x^2$ નો સહગુણક (જે $3$ છે) ધન છે,તેથી દ્વિઘાત પદાવલિ $3x^2 - 20x + 200$ એ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન રહેશે.
આમ,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા રેખા પર હંમેશા વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 2$.
વિકલિત મેળવતા: $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$.
વિધેય ઘટતું હોવા માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
$6x^2 - 18x + 12 < 0$.
$6$ વડે ભાગતા: $x^2 - 3x + 2 < 0$.
અવયવ પાડતા: $(x - 1)(x - 2) < 0$.
અસમતા માટે ચિહ્ન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,આ પદ $x = 1$ અને $x = 2$ ની વચ્ચે ઋણ મળે છે.
તેથી,વિધેય અંતરાલ $(1, 2)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = x^2 e^{-x}$.
$f(x)$ ચુસ્ત રીતે વધતું હોય તે અંતરાલ શોધવા માટે,આપણે વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ છીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) e^{-x} + x^2 \frac{d}{dx}(e^{-x}) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x e^{-x}(2 - x)$.
$f(x)$ ચુસ્ત રીતે વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{-x} > 0$ હોવાથી,અસમતા $x e^{-x}(2 - x) > 0$ એ $x(2 - x) > 0$ માં પરિણમે છે.
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા ઉલટાય છે: $x(x - 2) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે સાચી ઠરે છે જ્યારે $x$ એ $0$ અને $2$ ની વચ્ચે હોય.
આમ,$x \in (0, 2)$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{a \sin x + b \cos x}{c \sin x + d \cos x}$.
$f(x)$ ઘટતું વિધેય હોવા માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{(c \sin x + d \cos x)(a \cos x - b \sin x) - (a \sin x + b \cos x)(c \cos x - d \sin x)}{(c \sin x + d \cos x)^2}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$= (ac \sin x \cos x - bc \sin^2 x + ad \cos^2 x - bd \sin x \cos x) - (ac \sin x \cos x - ad \sin^2 x + bc \cos^2 x - bd \sin x \cos x)$.
$= ac \sin x \cos x - bc \sin^2 x + ad \cos^2 x - bd \sin x \cos x - ac \sin x \cos x + ad \sin^2 x - bc \cos^2 x + bd \sin x \cos x$.
$= ad(\sin^2 x + \cos^2 x) - bc(\sin^2 x + \cos^2 x)$.
$= ad - bc$.
છેદ $(c \sin x + d \cos x)^2$ હંમેશા ધન હોવાથી,$f'(x) < 0$ માટે,આપણે $ad - bc < 0$ ની જરૂર છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x e^{x(1-x)}$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = x \cdot e^{x(1-x)} \cdot \frac{d}{dx}(x-x^2) + e^{x(1-x)} \cdot 1$.
$f'(x) = x e^{x(1-x)}(1-2x) + e^{x(1-x)}$.
$f'(x) = e^{x(1-x)} [x(1-2x) + 1] = e^{x(1-x)} (x - 2x^2 + 1)$.
$f'(x) = e^{x(1-x)} (-2x^2 + x + 1) = -e^{x(1-x)} (2x^2 - x - 1)$.
$f'(x) = -e^{x(1-x)} (2x+1)(x-1) = e^{x(1-x)} (2x+1)(1-x)$.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે $f'(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $e^{x(1-x)} > 0$ તમામ $x \in R$ માટે,આપણે $(2x+1)(1-x) \geq 0$ ની જરૂર છે.
આ અસમતા $x \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ માટે સાચી છે.
તેથી,$f(x)$ એ $\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$ માં વધતું વિધેય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.
આપણે તેને $f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$ તરીકે લખી શકીએ.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2\sin 2x \cdot \cos 2x \cdot 2 = -2\sin 2x \cos 2x = -\sin 4x$ મળે.
વિધેય $f(x)$ વધતું હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $-\sin 4x > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\sin 4x < 0$.
સાઇન વિધેય ત્રીજા અને ચોથા ચરણમાં ઋણ હોય છે,તેથી $\pi < 4x < 2\pi$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$ મળે છે.
$f(x)$ ચુસ્ત વધતું વિધેય હોય તે માટે,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
દ્વિઘાત પદાવલિ $3x^2 + 2bx + c$ હંમેશા ધન હોય જો તેનો વિવેચક $D < 0$ હોય અને $x^2$ નો સહગુણક ધન હોય.
અહીં,$D = (2b)^2 - 4(3)(c) = 4b^2 - 12c = 4(b^2 - 3c)$.
$0 < b^2 < c$ હોવાથી,$b^2 - 3c < c - 3c = -2c < 0$ થાય (જ્યાં $c > 0$ છે).
આમ,$D < 0$ હોવાથી,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ થાય છે.
તેથી,$f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \int \frac{x^2-3x+2}{x^4+1} \, dx$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,વિકલિત $f'(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^4+1}$ થાય.
વિધેય $f(x)$ ઘટતું વિધેય હોય તે માટે,$f'(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે $x^4+1 > 0$ હોવાથી,$f'(x) < 0$ ની શરત $x^2-3x+2 < 0$ ને સમતુલ્ય છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,આપણને $(x-1)(x-2) < 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $x=1$ અને $x=2$ છે.
અંતરાલો તપાસતા,પદાવલિ $(x-1)(x-2)$ એ $x \in (1, 2)$ માટે ઋણ છે.
તેથી,વિધેય અંતરાલ $(1, 2)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = (x+2)e^{-x}$ છે.
વધતા અને ઘટતા અંતરાલો નક્કી કરવા માટે,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ છીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x+2) \cdot e^{-x} + (x+2) \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$
$f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x+2) \cdot (-e^{-x})$
$f'(x) = e^{-x}(1 - (x+2))$
$f'(x) = e^{-x}(1 - x - 2)$
$f'(x) = -e^{-x}(x+1)$
હવે,આપણે $f'(x)$ ની નિશાની તપાસીએ:
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{-x} > 0$ હોવાથી,$f'(x)$ ની નિશાની $-(x+1)$ પર આધાર રાખે છે.
$1$. જો $x < -1$ હોય,તો $(x+1) < 0$ થાય,તેથી $-(x+1) > 0$ થાય. આમ,$f'(x) > 0$ છે,અને વિધેય $(-\infty, -1)$ માં એકવિધ વધતું છે.
$2$. જો $x > -1$ હોય,તો $(x+1) > 0$ થાય,તેથી $-(x+1) < 0$ થાય. આમ,$f'(x) < 0$ છે,અને વિધેય $(-1, \infty)$ માં એકવિધ ઘટતું છે.
તેથી,વિધેય $(-\infty, -1)$ માં વધતું અને $(-1, \infty)$ માં ઘટતું છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{\log(\pi + x)}{\log(e + x)}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{\frac{1}{\pi + x} \log(e + x) - \log(\pi + x) \cdot \frac{1}{e + x}}{\{\log(e + x)\}^2}$.
$f'(x) = \frac{(e + x) \log(e + x) - (\pi + x) \log(\pi + x)}{(\pi + x)(e + x) \{\log(e + x)\}^2}$.
ધારો કે $g(x) = (e + x) \log(e + x) - (\pi + x) \log(\pi + x)$.
તેથી $g'(x) = \log(e + x) + 1 - (\log(\pi + x) + 1) = \log(e + x) - \log(\pi + x)$.
કારણ કે $\pi > e$,$x > 0$ માટે $\pi + x > e + x$,તેથી $\log(\pi + x) > \log(e + x)$.
આમ,$g'(x) < 0$,જેનો અર્થ છે કે $g(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.
કારણ કે $g(0) = e \log e - \pi \log \pi = e - \pi \log \pi < 0$ (કારણ કે $e < \pi \log \pi$),અને $g(x)$ ઘટતું હોવાથી,$x > 0$ માટે $g(x) < 0$ થાય.
તેથી,તમામ $x \in (0, \infty)$ માટે $f'(x) < 0$,જે સૂચવે છે કે $f(x)$ એ $(0, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x)=2 x^3-9 x^2+12 x+29$
વિધેય કયા અંતરાલમાં એકવિધ વધતું છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f^{\prime}(x)$ શોધીએ:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(2 x^3-9 x^2+12 x+29) = 6 x^2-18 x+12$
વિકલનના અવયવ પાડતા:
$f^{\prime}(x) = 6(x^2-3 x+2) = 6(x-1)(x-2)$
વિધેય એકવિધ વધતું હોય તે માટે,આપણે $f^{\prime}(x) > 0$ ની જરૂર છે:
$6(x-1)(x-2) > 0$
સંખ્યા રેખા પર ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=1$ અને $x=2$ નો ઉપયોગ કરીને ચિહ્ન યોજના:
- $x < 1$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0$ (ધન)
- $1 < x < 2$ માટે,$f^{\prime}(x) < 0$ (ઋણ)
- $x > 2$ માટે,$f^{\prime}(x) > 0$ (ધન)
આમ,$f(x)$ એ અંતરાલ $(-\infty, 1) \cup(2, \infty)$ માં એકવિધ વધતું વિધેય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{\log x}$.
$f(x)$ વધતું વિધેય કયા અંતરાલમાં છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{(\log x)(1) - (x)(\frac{1}{x})}{(\log x)^2} = \frac{\log x - 1}{(\log x)^2}$.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોય તે માટે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં $(\log x)^2 > 0$ છે,તેથી $f'(x)$ ની નિશાની અંશ $\log x - 1$ પર આધાર રાખે છે.
$\log x - 1 > 0 \Rightarrow \log x > 1 \Rightarrow x > e$.
આમ,$f(x)$ એ $(e, \infty)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{1}{8^x} = 8^{-x}$ છે.
વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(8^{-x}) = 8^{-x} \cdot \ln(8) \cdot (-1)$.
$f'(x) = -\frac{\ln(8)}{8^x}$.
અહીં $x \in [1, 3]$ માટે $8^x > 0$ અને $\ln(8) > 0$ હોવાથી,પદ $f'(x) = -\frac{\ln(8)}{8^x}$ એ દરેક $x \in [1, 3]$ માટે હંમેશા ઋણ રહેશે.
$f'(x) < 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ અંતરાલ $[1, 3]$ પર ઘટતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \cot^{-1} x + x$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધતું છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\cot^{-1} x) + \frac{d}{dx}(x) = -\frac{1}{1+x^2} + 1$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $f'(x) = \frac{-1 + (1+x^2)}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $x^2 \geq 0$ અને $1+x^2 > 0$ હોવાથી,$f'(x) \geq 0$ થાય છે.
આમ,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) \geq 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ સમગ્ર વાસ્તવિક રેખા $(-\infty, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{\lambda \sin x + 6 \cos x}{2 \sin x + 3 \cos x}$ છે.
વિધેય વધતું હોય તે માટે $f'(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
ભાગાકારના નિયમ $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{(\lambda \cos x - 6 \sin x)(2 \sin x + 3 \cos x) - (\lambda \sin x + 6 \cos x)(2 \cos x - 3 \sin x)}{(2 \sin x + 3 \cos x)^2}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
અંશ $= (2\lambda \sin x \cos x + 3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x - 18 \sin x \cos x) - (2\lambda \sin x \cos x - 3\lambda \sin^2 x + 12 \cos^2 x - 18 \sin x \cos x)$.
અંશનું સાદું રૂપ આપતા:
અંશ $= 3\lambda \cos^2 x - 12 \sin^2 x + 3\lambda \sin^2 x - 12 \cos^2 x$.
અંશ $= 3\lambda(\sin^2 x + \cos^2 x) - 12(\sin^2 x + \cos^2 x) = 3\lambda - 12$.
છેદ $(2 \sin x + 3 \cos x)^2$ હંમેશા ધન હોવાથી,$f'(x) \geq 0$ નો અર્થ છે કે $3\lambda - 12 \geq 0$.
તેથી,$3\lambda \geq 12$,જે આપણને $\lambda \geq 4$ આપે છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \log |\sin x|$ છે,જ્યાં $x \in (0, \pi)$.
અહીં $x \in (0, \pi)$ હોવાથી,$\sin x$ હંમેશા ધન છે,તેથી આપણે $f(x) = \log(\sin x)$ લખી શકીએ.
વિધેય કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત વધતું છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$.
વિધેય ચુસ્ત વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\cot x > 0$.
અંતરાલ $(0, \pi)$ માં,$\cot x$ એ $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે ધન છે.
આમ,વિધેય $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = e^{-1/x}$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત વધતું છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{-1/x}) = e^{-1/x} \cdot \frac{d}{dx}(-x^{-1}) = e^{-1/x} \cdot (x^{-2}) = \frac{1}{x^2 e^{1/x}}$.
વિધેય ચુસ્ત વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં $x^2 > 0$ એ તમામ $x \neq 0$ માટે સત્ય છે અને $e^{1/x} > 0$ એ પણ તમામ $x \neq 0$ માટે સત્ય છે,તેથી વિકલન $f'(x) = \frac{1}{x^2 e^{1/x}}$ એ તેના પ્રદેશમાં હંમેશા ધન છે.
વિધેય $f(x) = e^{-1/x}$ નો પ્રદેશ $x = 0$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
તેથી,વિધેય તમામ $x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ માટે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \log x - \frac{2x}{x+2}$.
વિધેયનો પ્રદેશ $x > 0$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{(x+2)(2) - 2x(1)}{(x+2)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{(x+2)^2}$
$f'(x) = \frac{(x+2)^2 - 4x}{x(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 4 - 4x}{x(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4}{x(x+2)^2}$
અહીં $x^2 + 4 > 0$ અને $(x+2)^2 > 0$ હોવાથી,પ્રદેશના તમામ $x > 0$ માટે $f'(x) > 0$ થાય છે.
તેથી,વિધેય $x \in (0, \infty)$ માટે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{1}{a^x} = a^{-x}$ છે,જ્યાં $a > 0$.
વિધેયનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(a^{-x}) = -a^{-x} \cdot \ln(a)$.
બધા $x$ માટે $a^x > 0$ અને $a > 0$ હોવાથી,$f'(x)$ ની નિશાની $a$ ની કિંમત પર આધાર રાખે છે:
$1$. જો $a > 1$ હોય,તો $\ln(a) > 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f'(x) < 0$,તેથી વિધેય ઘટતું વિધેય છે.
$2$. જો $0 < a < 1$ હોય,તો $\ln(a) < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f'(x) > 0$,તેથી વિધેય વધતું વિધેય છે.
$3$. જો $a = 1$ હોય,તો $f(x) = 1$ થાય,જે અચળ વિધેય છે.
સામાન્ય રીતે પાઠ્યપુસ્તકના સંદર્ભમાં જ્યાં $a > 1$ લેવામાં આવે છે,ત્યારે વિધેય ઘટતું વિધેય છે.

(C) આપેલ વિધેય: $f(x)=3x^{4}+16x^{3}-30x^{2}+10$
વિકલન મેળવતા: $f'(x)=12x^{3}+48x^{2}-60x$
વિધેય વધતું હોય તે માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ:
$12x^{3}+48x^{2}-60x > 0$
$12x$ સામાન્ય લેતા:
$12x(x^{2}+4x-5) > 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$12x(x+5)(x-1) > 0$
અંતરાલ નક્કી કરવા માટે,ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = -5, 0, 1$ છે.
અંતરાલ તપાસતા:
$x \in (-\infty, -5)$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x \in (-5, 0)$ માટે,$f'(x) > 0$.
$x \in (0, 1)$ માટે,$f'(x) < 0$.
$x \in (1, \infty)$ માટે,$f'(x) > 0$.
આમ,વિધેય $x \in (-5, 0) \cup (1, \infty)$ માટે વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 - 3x$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિધેયનું વિકલન શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3$.
વિકલનના અવયવ પાડતા:
$f'(x) = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$.
વધતા અને ઘટતા અંતરાલો નક્કી કરવા માટે,$f'(x) = 0$ લઈને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ:
$3(x - 1)(x + 1) = 0 \implies x = 1, x = -1$.
આ બિંદુઓ વાસ્તવિક સંખ્યા રેખાને ત્રણ અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે: $(-\infty, -1)$,$(-1, 1)$,અને $(1, \infty)$.
$1$. $x \in (-\infty, -1)$ માટે,$x = -2$ લો: $f'(-2) = 3((-2)^2 - 1) = 3(4 - 1) = 9 > 0$. આમ,$f(x)$ વધતું વિધેય છે.
$2$. $x \in (-1, 1)$ માટે,$x = 0$ લો: $f'(0) = 3(0^2 - 1) = -3 < 0$. આમ,$f(x)$ ઘટતું વિધેય છે.
$3$. $x \in (1, \infty)$ માટે,$x = 2$ લો: $f'(2) = 3(2^2 - 1) = 3(3) = 9 > 0$. આમ,$f(x)$ વધતું વિધેય છે.
તેથી,$f(x)$ એ $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ માં વધતું અને $(-1, 1)$ માં ઘટતું વિધેય છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$.
$f(x)$ વધતું વિધેય ક્યારે છે તે જાણવા માટે,આપણે ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{(x^2+1)(1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં $(x^2+1)^2$ હંમેશા ધન હોવાથી,$f'(x) > 0$ માટે $1-x^2 > 0$ હોવું જરૂરી છે.
આથી $x^2 - 1 < 0$,જેનો અર્થ થાય છે $(x-1)(x+1) < 0$.
આ અસમતા ઉકેલતા,આપણને $x \in (-1, 1)$ મળે છે.

(A) વિધેય $f(x)$ એકવિધ વધતું વિધેય ત્યારે કહેવાય જ્યારે તમામ $x \in R$ માટે $f'(x) \geq 0$ હોય.
આપેલ છે કે $f(x) = kx - \sin x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f'(x) = k - \cos x$ મળે.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોવા માટે,તમામ $x \in R$ માટે $f'(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
$k - \cos x \geq 0 \implies k \geq \cos x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos x$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી તમામ $x$ માટે $k \geq \cos x$ શરતનું પાલન થાય તે માટે $k$ ની કિંમત $\cos x$ ની મહત્તમ કિંમત કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
તેથી,$k \geq 1$.

(A) આપેલ છે,$f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$.
પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(2+x)(2) - 2x(1)}{(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4 + 2x - 2x}{(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{4 + 4x + x^2 - 4 - 4x}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$.
વિધેય વધતું હોય તે માટે,આપણે $f'(x) > 0$ ની જરૂર છે.
કારણ કે $x^2 \geq 0$ અને $(2+x)^2 > 0$ છે ($x > -1$ માટે),તેથી $f'(x)$ ની નિશાની $(1+x)$ પર આધાર રાખે છે.
આમ,$f'(x) > 0$ જ્યારે $1+x > 0$ હોય,એટલે કે $x > -1$.
જોકે,આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,$x > 0$ માટે $f'(x) > 0$ ની શરત સ્પષ્ટપણે સંતોષાય છે.
તેથી,વિધેય $(0, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે.

(A) આપેલ વિધેય: $f(x) = x^3 + 6x^2 - 36x + 7$
વિકલન મેળવતા: $f'(x) = 3x^2 + 12x - 36$
અવયવ પાડતા: $f'(x) = 3(x^2 + 4x - 12) = 3(x + 6)(x - 2)$
વિધેય વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ:
$3(x + 6)(x - 2) > 0$
$(x + 6)(x - 2) > 0$
દ્વિઘાત અસમતાના ચિહ્ન પદ્ધતિ મુજબ,આ પદ $x < -6$ અથવા $x > 2$ માટે ધન છે.
આમ,$x$ ની કિંમતોનો વિસ્તાર $x \in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $f(x) = x^3+x-1 = 0$ છે.
વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે,આપણે વિધેય $f(x)$ ના વિકલિતનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
વિકલિત $f'(x) = 3x^2 + 1$ છે.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $x^2 \geq 0$ હોવાથી,$3x^2 + 1 \geq 1 > 0$ થાય છે.
કારણ કે $f'(x) > 0$ છે,તેથી વિધેય $f(x)$ સમગ્ર વાસ્તવિક રેખા પર ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.
ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય $x$-અક્ષને વધુમાં વધુ એક વાર છેદી શકે છે.
આપણે ચોક્કસ બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમતો જોઈએ:
$f(0) = 0^3 + 0 - 1 = -1$
$f(1) = 1^3 + 1 - 1 = 1$
અહીં $f(0) < 0$ અને $f(1) > 0$ હોવાથી,'ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ' મુજબ,અંતરાલ $(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક બીજ $x$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેના માટે $f(x) = 0$ થાય.
વિધેય ચુસ્ત રીતે વધતું હોવાથી,આ બીજ અનન્ય છે.
તેથી,સમીકરણને બરાબર એક વાસ્તવિક બીજ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x)=2x^3-15x^2-144x-7$ છે.
$f(x)$ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય હોય તે માટે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3-15x^2-144x-7) = 6x^2-30x-144$.
$f(x)$ ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય હોવા માટે,$f'(x) < 0$ થવું જોઈએ:
$6x^2-30x-144 < 0$.
$6$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2-5x-24 < 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $(x-8)(x+3) < 0$.
અહીં શૂન્યો $x=8$ અને $x=-3$ છે.
આ અસમતા $x$ ની કિંમત $(-3, 8)$ અંતરાલમાં હોય ત્યારે સાચી ઠરે છે.
આમ,$f(x)$ એ $(-3, 8)$ અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે ઘટતું વિધેય છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = (x + 2) e^{-x}$.
વિધેય વધતું કે ઘટતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = (x + 2) \frac{d}{dx}(e^{-x}) + e^{-x} \frac{d}{dx}(x + 2)$
$f'(x) = (x + 2)(-e^{-x}) + e^{-x}(1)$
$f'(x) = e^{-x} [-(x + 2) + 1] = e^{-x}(-x - 1) = -e^{-x}(x + 1)$.
કારણ કે $e^{-x} > 0$ દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે,$f'(x)$ ની નિશાની $-(x + 1)$ પર આધાર રાખે છે.
વિધેય વધતું હોય તે માટે,$f'(x) > 0 \Rightarrow -(x + 1) > 0 \Rightarrow x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1$.
આમ,$f(x)$ એ $(-\infty, -1)$ માં વધતું વિધેય છે.
વિધેય ઘટતું હોય તે માટે,$f'(x) < 0 \Rightarrow -(x + 1) < 0 \Rightarrow x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$.
આમ,$f(x)$ એ $(-1, \infty)$ માં ઘટતું વિધેય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = e^x - x$ અને $g(x) = x^2 - x$.
$h(x) = (fog)(x) = f(g(x)) = e^{x^2-x} - (x^2-x) = e^{x^2-x} - x^2 + x$.
હવે,$h(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$h'(x) = e^{x^2-x}(2x-1) - 2x + 1$.
$h'(x) = (2x-1)(e^{x^2-x} - 1)$.
વિધેય $h(x)$ વધતું હોય તે માટે $h'(x) \geq 0$ હોવું જરૂરી છે.
$(2x-1)(e^{x^2-x} - 1) \geq 0$.
ધારો કે $u = x^2-x$. કારણ કે $e^u - 1$ ની નિશાની $u$ જેવી જ હોય છે,તેથી $(2x-1)(x^2-x) \geq 0$.
$(2x-1)x(x-1) \geq 0$.
ક્રિટીકલ પોઈન્ટ્સ $0, \frac{1}{2}, 1$ માટે સાઈન સ્કીમનો ઉપયોગ કરતા:
જ્યારે $x \in [0, \frac{1}{2}]$ હોય,ત્યારે $(2x-1) \leq 0$ અને $x(x-1) \leq 0$ થાય,તેથી ગુણાકાર $\geq 0$ મળે.
જ્યારે $x \in [1, \infty)$ હોય,ત્યારે $(2x-1) > 0$ અને $x(x-1) \geq 0$ થાય,તેથી ગુણાકાર $\geq 0$ મળે.
આમ,$h(x)$ એ $x \in [0, \frac{1}{2}] \cup [1, \infty)$ માટે વધતું વિધેય છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^3 + x - 1$.
$f(0) = -1 < 0$ અને $f(1) = 1 > 0$ હોવાથી,ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,અંતરાલ $(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક વાસ્તવિક બીજ $c$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,વિકલન $f'(x) = 3x^2 + 1$ લો.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $3x^2 + 1 > 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
ચુસ્ત વધતું ત્રિઘાત વિધેય $X$-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુએ છેદે છે.
તેથી,આપેલ સમીકરણને બરાબર એક વાસ્તવિક બીજ છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$.
નિત્યસમ $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \sin 3x$ મળે.
વિધેય વધતું હોય તે અંતરાલ શોધવા માટે,વિકલિત $f'(x) = 3 \cos 3x$ મેળવીએ.
વિધેય વધતું હોવા માટે $f'(x) \geq 0$,એટલે કે $3 \cos 3x \geq 0$ અથવા $\cos 3x \geq 0$.
કોસાઇન વિધેય $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અંતરાલમાં અ-ઋણ હોય છે.
તેથી,$-\frac{\pi}{2} \leq 3x \leq \frac{\pi}{2}$.
$3$ વડે ભાગતા,$-\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{6}$ મળે.
આ અંતરાલની લંબાઈ $\frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ છે.

(D) વધતા અને ઘટતા અંતરાલો નક્કી કરવા માટે,આપણે $f(x) = \sin 3x$ નું વિકલન કરીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin 3x) = 3 \cos 3x$.
વિધેય વધતું હોય તે માટે $f'(x) > 0$,તેથી $3 \cos 3x > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cos 3x > 0$.
અહીં $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ હોવાથી,$3x \in [0, \frac{3\pi}{2}]$.
$\cos 3x > 0$ જ્યારે $3x \in [0, \frac{\pi}{2})$,એટલે કે $x \in [0, \frac{\pi}{6})$.
વિધેય ઘટતું હોય તે માટે $f'(x) < 0$,તેથી $3 \cos 3x < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cos 3x < 0$.
$\cos 3x < 0$ જ્યારે $3x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$,એટલે કે $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$.
આમ,વિધેય $[0, \frac{\pi}{6})$ પર વધતું અને $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$ પર ઘટતું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) અંતરાલ $I = \left(0, \frac{\pi}{8}\right)$ માં કયું વિધેય ઘટતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક વિધેયનું વિકલન તપાસીએ:
$A) f(x) = \tan 4x \implies f'(x) = 4 \sec^2 4x$. $x \in I$ માટે $\sec^2 4x > 0$ હોવાથી,$f'(x) > 0$,તેથી વિધેય વધતું છે.
$B) f(x) = \sin x \implies f'(x) = \cos x$. $x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right)$ માટે $\cos x > 0$ હોવાથી,$f'(x) > 0$,તેથી વિધેય વધતું છે.
$C) f(x) = \cos 4x \implies f'(x) = -4 \sin 4x$. $x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right)$ માટે,$4x \in (0, \frac{\pi}{2})$ થાય. આ અંતરાલમાં,$\sin 4x > 0$ હોવાથી,$f'(x) = -4 \sin 4x < 0$ થાય. આમ,વિધેય ઘટતું છે.
$D) f(x) = -\cos x \implies f'(x) = \sin x$. $x \in I$ માટે $\sin x > 0$ હોવાથી,$f'(x) > 0$,તેથી વિધેય વધતું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) વિધેય $y = f(x) = x^2 e^{-x}$ કયા અંતરાલ પર વધતું વિધેય છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીશું.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$.
$f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x(2 - x) e^{-x}$.
વિધેય વધતું વિધેય હોય તે માટે,આપણે $f'(x) > 0$ ની જરૂર છે.
દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{-x} > 0$ હોવાથી,$f'(x)$ ની નિશાની $x(2 - x)$ પર આધાર રાખે છે.
$x(2 - x) > 0$ નો અર્થ છે કે $x(x - 2) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $x$ એ $0$ અને $2$ ની વચ્ચે હોય.
આમ,વિધેય અંતરાલ $(0, 2)$ પર વધતું વિધેય છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x}{\log_x e}$ છે.
ગુણધર્મ $\log_x e = \frac{1}{\ln x}$ નો ઉપયોગ કરતા,વિધેયને આ રીતે લખી શકાય:
$f(x) = x \cdot \ln x$.
વિધેય કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે તે જાણવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x \ln x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
વિધેય વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જરૂરી છે:
$\ln x + 1 > 0$
$\ln x > -1$
$x > e^{-1}$
$x > \frac{1}{e}$.
વિધેયનો પ્રદેશ $x \in \mathbb{R}^+ - \{1\}$ હોવાથી,વિધેય $(\frac{1}{e}, 1) \cup (1, \infty)$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે. આપેલા વિકલ્પો જોતા,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) વિધેય $f(x) = x + \sqrt{1 - x}$ ક્યાં ઘટે છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}((1 - x)^{1/2}) = 1 + \frac{1}{2}(1 - x)^{-1/2}(-1) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{1 - x}}$.
વિધેય ઘટતું હોય તે માટે,આપણે $f'(x) < 0$ લઈએ.
$1 - \frac{1}{2\sqrt{1 - x}} < 0 \implies 1 < \frac{1}{2\sqrt{1 - x}}$.
$0 < x < 1$ હોવાથી,$\sqrt{1 - x}$ ધન છે,તેથી આપણે અસમતાની નિશાની બદલ્યા વગર $2\sqrt{1 - x}$ વડે ગુણી શકીએ:
$2\sqrt{1 - x} < 1 \implies \sqrt{1 - x} < \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1 - x < \frac{1}{4} \implies 1 - \frac{1}{4} < x \implies x > \frac{3}{4}$.
પ્રદેશ $0 < x < 1$ ને ધ્યાનમાં લેતા,વિધેય $\left(\frac{3}{4}, 1\right)$ અંતરાલમાં ઘટે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) વિધેય $y = f(x) = 6 - 9x - x^2$ કયા અંતરાલ પર ચુસ્ત વધતું છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનું વિકલન મેળવીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(6 - 9x - x^2) = -9 - 2x$.
વિધેય ચુસ્ત વધતું હોય તે માટે,આપણે $f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$-9 - 2x > 0$.
$-2x > 9$.
$-2$ વડે ભાગતા અસમતા બદલાશે: $x < -4.5$.
આમ,વિધેય અંતરાલ $(-\infty, -4.5)$ પર ચુસ્ત વધતું છે.