Integration by substitution Questions in Hindi

(B) माना $t = \cos^{-1} x$ है।
तब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = -dt$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{(\cos^{-1} x) \sqrt{1 - x^2}} dx = \int \frac{1}{t} (-dt) = -\int \frac{1}{t} dt$।
समाकलन करने पर,हमें $-\log|t| + c$ प्राप्त होता है।
$t = \cos^{-1} x$ वापस रखने पर,परिणाम $-\log(\cos^{-1} x) + c$ प्राप्त होता है।

(B) सबसे सरल तरीका $3x^2 + 5 = t$ प्रतिस्थापित करना है।
माना $t = 3x^2 + 5$. तब $dt = 6x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{dt}{6}$.
साथ ही,$x^2 = \frac{t - 5}{3}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$\int x^3 e^{3x^2 + 5} dx = \int x^2 \cdot e^{3x^2 + 5} \cdot x dx = \int \left( \frac{t - 5}{3} \right) e^t \cdot \frac{dt}{6} = \frac{1}{18} \int (t - 5) e^t dt$.
$= \frac{1}{18} \left[ \int t e^t dt - 5 \int e^t dt \right] = \frac{1}{18} [ (t e^t - e^t) - 5 e^t ] + c = \frac{1}{18} (t e^t - 6 e^t) + c$.
$t = 3x^2 + 5$ वापस रखने पर:
$= \frac{1}{18} (3x^2 + 5) e^{3x^2 + 5} - \frac{6}{18} e^{3x^2 + 5} + c = \frac{1}{18} (3x^2 + 5) e^{3x^2 + 5} - \frac{1}{3} e^{3x^2 + 5} + c$.

(C) मान लीजिए $I = \int \frac{\sec^2 x}{(1 + \tan x)(2 + \tan x)} \, dx$ है।
समाकलन को सरल बनाने के लिए,हम $\tan x = t$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\sec^2 x \, dx = dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें $I = \int \frac{dt}{(1 + t)(2 + t)}$ प्राप्त होता है।
यह एक मानक रूप है जिसे आंशिक भिन्नों (partial fractions) का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
अतः,सबसे उपयुक्त प्रतिस्थापन $\tan x = t$ है।

(B) माना $I = \int \frac{\csc^2 x}{1 + \cot x} dx$.
$1 + \cot x = t$ प्रतिस्थापित करें।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$-\csc^2 x dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\csc^2 x dx = -dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{-dt}{t}$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,$I = -\log|t| + c$ प्राप्त होता है।
$t$ के स्थान पर $1 + \cot x$ रखने पर,$I = -\log|1 + \cot x| + c$ प्राप्त होता है।

(B) समाकल $\int \frac{1}{\sqrt{x}} \sin \sqrt{x} \, dx$ को हल करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $t = \sqrt{x}$।
तब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \, dt$।
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int \sin(t) \cdot 2 \, dt = 2 \int \sin(t) \, dt$।
$\sin(t)$ का समाकल $-\cos(t)$ होता है।
अतः,$2(-\cos(t)) + c = -2 \cos(t) + c$।
अंत में $t = \sqrt{x}$ वापस रखने पर,हमें $-2 \cos \sqrt{x} + c$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int e^x \tan^2(e^x) \, dx$ है।
$t = e^x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \tan^2(t) \, dt$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan^2(t) = \sec^2(t) - 1$ का उपयोग करने पर:
$I = \int (\sec^2(t) - 1) \, dt$।
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = \tan(t) - t + c$।
अंत में $t = e^x$ का मान वापस रखने पर:
$I = \tan(e^x) - e^x + c$।

(A) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{dx}{e^{-2x}(e^{2x} + 1)^2}$
चूंकि $\frac{1}{e^{-2x}} = e^{2x}$,इसलिए समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int \frac{e^{2x} dx}{(e^{2x} + 1)^2}$
माना $t = e^{2x} + 1$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dt = 2e^{2x} dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $e^{2x} dx = \frac{dt}{2}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{t^2} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int t^{-2} dt$
समाकलन के घात नियम $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{t^{-1}}{-1} \right) + c = -\frac{1}{2t} + c$
$t = e^{2x} + 1$ वापस रखने पर:
$I = \frac{-1}{2(e^{2x} + 1)} + c$

(C) माना $I = \int \frac{dx}{x\sqrt{1 - (\log x)^2}}$.
$t = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर.
अतः,अवकलन $dt = \frac{1}{x} dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sin^{-1}(t) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \sin^{-1}(t) + c$.
अब $t = \log x$ वापस रखने पर:
$I = \sin^{-1}(\log x) + c$.

(C) प्रतिस्थापन ${x^2} = t$ का अर्थ है $2x \,dx = dt$,या $x \,dx = \frac{1}{2} \,dt$.
विकल्प $(c)$ के लिए,हमारे पास $\int {x^3 \cos(x^2)} \,dx = \int {x^2 \cdot \cos(x^2) \cdot x \,dx}$ है।
${x^2} = t$ और $x \,dx = \frac{1}{2} \,dt$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{2} \int {t \cos t \,dt}$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\frac{1}{2} [t \sin t - \int \sin t \,dt] = \frac{1}{2} (t \sin t + \cos t) + C$.
$t = x^2$ वापस रखने पर,हमें $\frac{1}{2} (x^2 \sin(x^2) + \cos(x^2)) + C$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(A) माना $I = \int \tan x \sec^2 x \sqrt{1 - \tan^2 x} \; dx$.
$\tan x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sec^2 x \; dx = dt$ प्राप्त होता है।
अतः समाकलन $\int t \sqrt{1 - t^2} \; dt$ में परिवर्तित हो जाता है।
अब,$1 - t^2 = u$ प्रतिस्थापित करने पर,$-2t \; dt = du$ या $t \; dt = -\frac{1}{2} du$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int u^{1/2} \; du$.
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $I = -\frac{1}{2} \left(\frac{u^{3/2}}{3/2}\right) + c = -\frac{1}{3} u^{3/2} + c$.
अंत में $u = 1 - t^2 = 1 - \tan^2 x$ रखने पर: $I = -\frac{1}{3}(1 - \tan^2 x)^{3/2} + c$.

(B) माना कि $e^x = t$ है। तब,$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $e^x \, dx = dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$।
हम जानते हैं कि $\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sin^{-1}(t) + c$ या $-\cos^{-1}(t) + c$ होता है।
चूंकि दिए गए विकल्पों में कोसाइन इनवर्स फलन का उपयोग किया गया है,इसलिए हम सर्वसमिका $\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = -\cos^{-1}(t) + c$ का उपयोग करेंगे।
$t = e^x$ वापस रखने पर,हमें $-\cos^{-1}(e^x) + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{1}{\log a} (a^x \cos a^x) \, dx$.
$t = a^x$ प्रतिस्थापित करें।
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dt = a^x \log a \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^x \, dx = \frac{dt}{\log a}$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{\log a} \cos t \left( \frac{dt}{\log a} \right) = \frac{1}{(\log a)^2} \int \cos t \, dt$।
$\cos t$ का समाकलन $\sin t$ होता है:
$I = \frac{1}{(\log a)^2} \sin t + c$।
$t = a^x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{(\log a)^2} \sin a^x + c$।

(B) माना $I = \int \frac{\sin x}{(a + b \cos x)^2} \, dx$.
$t = a + b \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब,$dt = -b \sin x \, dx$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \, dx = -\frac{dt}{b}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{t^2} \left(-\frac{dt}{b}\right) = -\frac{1}{b} \int t^{-2} \, dt$.
$t^{-2}$ का समाकलन $-t^{-1} = -\frac{1}{t}$ होता है।
अतः,$I = -\frac{1}{b} \left(-\frac{1}{t}\right) + c = \frac{1}{bt} + c$.
$t = a + b \cos x$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{b(a + b \cos x)} + c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{1}{x^3} [\log x^x]^2 \, dx$
चूंकि $\log x^x = x \log x$,हम इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करते हैं:
$I = \int \frac{1}{x^3} (x \log x)^2 \, dx$
$I = \int \frac{1}{x^3} (x^2 (\log x)^2) \, dx$
$I = \int \frac{1}{x} (\log x)^2 \, dx$
अब,मान लीजिए $t = \log x$,तो $dt = \frac{1}{x} \, dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} + c$
$t$ के स्थान पर $\log x$ रखने पर:
$I = \frac{1}{3}(\log x)^3 + c$

(A) माना कि $t = \log x$ है।
अतः,$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $dt = \frac{1}{x} \, dx$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \sec^2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \, dx = \int \sec^2(t) \, dt$।
$\sec^2(t)$ का समाकलन $\tan(t) + c$ होता है।
$t$ के स्थान पर $\log x$ रखने पर,हमें $\tan(\log x) + c$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{dx}{x \log x \log(\log x)}$.
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{x} dx = dt$ प्राप्त होता है।
अतः समाकलन $\int \frac{dt}{t \log t}$ के रूप में परिवर्तित हो जाता है।
अब,$\log t = z$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{t} dt = dz$ प्राप्त होता है।
अतः समाकलन $\int \frac{dz}{z} = \log|z| + c$ हो जाता है।
मान वापस रखने पर,हमें $\log|\log t| + c = \log|\log(\log x)| + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $t = \tan x$. तब,$dt = \sec^2 x \, dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर हमें प्राप्त होता है:
$\int \frac{dt}{\sqrt{t^2 + 2^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \log |x + \sqrt{x^2 + a^2}| + c$ का उपयोग करने पर:
$\log |t + \sqrt{t^2 + 2^2}| + c$.
अब $t = \tan x$ वापस रखने पर,अंतिम उत्तर है:
$\log |\tan x + \sqrt{\tan^2 x + 4}| + c$.

(B) माना $t = \tan^{-1}(x^2)$.
अतः,$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $dt = \frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) \, dx = \frac{2x}{1 + x^4} \, dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int \tan^{-1}(x^2) \cdot \frac{2x}{1 + x^4} \, dx = \int t \, dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\frac{t^2}{2} + c$ प्राप्त होता है।
$t$ का मूल मान वापस रखने पर,हमें $\frac{1}{2} (\tan^{-1}(x^2))^2 + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^8}} \, dx$.
समाकल को $I = \int \frac{x^3}{\sqrt{1 - (x^4)^2}} \, dx$ के रूप में लिखें।
$t = x^4$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 4x^3 \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^3 \, dx = \frac{1}{4} \, dt$.
इन मानों को समाकल में रखने पर,हमें $I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \cdot \frac{1}{4} \, dt$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \, dt$.
मानक समाकल $\int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \, dt = \sin^{-1}(t) + c$ का उपयोग करने पर,हमें $I = \frac{1}{4} \sin^{-1}(t) + c$ प्राप्त होता है।
$t = x^4$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{4} \sin^{-1}(x^4) + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $t = \cos(x^2)$.
तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = -\sin(x^2) \cdot 2x \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $2x \sin(x^2) \, dx = -dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int 2x \cos^3(x^2) \sin(x^2) \, dx = \int t^3 (-dt)$
$= -\int t^3 \, dt$
$= -\frac{t^4}{4} + c$
अब $t = \cos(x^2)$ वापस रखने पर:
$= -\frac{1}{4} \cos^4(x^2) + c$.

(A) समाकल $\int \sec^4 x \tan x \; dx$ को हल करने के लिए,हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\int \sec^3 x (\sec x \tan x) \; dx$
माना $t = \sec x$ है।
तब,अवकलन $dt = \sec x \tan x \; dx$ होगा।
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int t^3 \; dt$
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{t^4}{4} + c$
अंत में,$t = \sec x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{4} \sec^4 x + c$

(A) माना $I = \int {{e^{ - x}}{{\csc }^2}(2{e^{ - x}} + 5)} \,dx$.
$t = 2{e^{ - x}} + 5$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,$dt = -2{e^{ - x}}dx$,जिसका अर्थ है कि ${e^{ - x}}dx = -\frac{1}{2}dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int {\csc^2(t) \cdot (-\frac{1}{2}dt)} = -\frac{1}{2} \int \csc^2(t) dt$.
चूंकि $\int \csc^2(t) dt = -\cot(t) + c$,हमें प्राप्त होता है:
$I = -\frac{1}{2} (-\cot(t)) + c = \frac{1}{2} \cot(t) + c$.
$t = 2{e^{ - x}} + 5$ वापस रखने पर,हमें मिलता है:
$I = \frac{1}{2} \cot(2{e^{ - x}} + 5) + c$.

(B) समाकलन $\int \sin^3 x \cdot \cos x \, dx$ को हल करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $t = \sin x$ है।
तब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = \cos x \, dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\int t^3 \, dt$ प्राप्त होता है।
$t^3$ का $t$ के सापेक्ष समाकलन $\frac{t^4}{4} + c$ होता है।
अब $t = \sin x$ वापस रखने पर,हमें अंतिम उत्तर $\frac{\sin^4 x}{4} + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{\cos 2x + x + 1}{x^2 + \sin 2x + 2x} \, dx$ है।
हर $t = x^2 + \sin 2x + 2x$ को लें।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dt}{dx} = 2x + 2\cos 2x + 2 = 2(x + \cos 2x + 1)$ प्राप्त होता है।
अतः,$dt = 2(x + \cos 2x + 1) \, dx$,जिसका अर्थ है कि $(x + \cos 2x + 1) \, dx = \frac{1}{2} dt$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,$I = \frac{1}{2} \log |t| + c$ प्राप्त होता है।
$t$ का मूल मान वापस रखने पर,$I = \frac{1}{2} \log |x^2 + \sin 2x + 2x| + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $t = x + \log \sec x$.
तब,$x$ के सापेक्ष $t$ का अवकलन:
$\frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(\log \sec x) = 1 + \frac{1}{\sec x} \cdot (\sec x \tan x) = 1 + \tan x$.
अतः,$dt = (1 + \tan x) \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1 + \tan x}{x + \log \sec x} \, dx = \int \frac{1}{t} \, dt = \log |t| + c$.
$t$ का मूल मान वापस रखने पर:
$\log |x + \log \sec x| + c$.

(C) माना $I = \int \frac{(x + 1)(x + \log x)^2}{x} \, dx$.
हम समाकल्य को $\int (x + \log x)^2 \left( \frac{x + 1}{x} \right) \, dx = \int (x + \log x)^2 \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \, dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $t = x + \log x$.
तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = (1 + \frac{1}{x}) \, dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int t^2 \, dt$ प्राप्त होता है।
$t^2$ का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $I = \frac{t^3}{3} + c$ प्राप्त होता है।
$t = x + \log x$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{3}(x + \log x)^3 + c$ प्राप्त होता है।

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\cos x - \sin x}{1 + \sin 2x} \, dx$ है।
चूंकि $1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$,इसलिए समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int \frac{\cos x - \sin x}{(\sin x + \cos x)^2} \, dx$.
माना $t = \sin x + \cos x$.
तब $dt = (\cos x - \sin x) \, dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{1}{t^2} \, dt = \int t^{-2} \, dt = \frac{t^{-1}}{-1} + c = -\frac{1}{t} + c$.
$t = \sin x + \cos x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = -\frac{1}{\sin x + \cos x} + c$.

(C) माना $I = \int {{x^3}\sqrt {3 + 5{x^4}} } \;dx$.
$3 + 5{x^4} = t$ प्रतिस्थापित करने पर।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$20{x^3}dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है ${x^3}dx = \frac{1}{20}dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{20} dt = \frac{1}{20} \int t^{1/2} dt$.
घात नियम $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{20} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{20} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{1}{30} t^{3/2} + C$.
$t = 3 + 5{x^4}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{30}{(3 + 5{x^4})^{3/2}} + C$.

(B) माना $I = \int \sqrt{\frac{x}{a^3 - x^3}} \, dx$.
$x = a(\sin \theta)^{2/3}$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब $dx = a \cdot \frac{2}{3}(\sin \theta)^{-1/3} \cdot \cos \theta \, d\theta$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \sqrt{\frac{a(\sin \theta)^{2/3}}{a^3 - a^3(\sin \theta)^2}} \cdot \frac{2}{3}a(\sin \theta)^{-1/3} \cos \theta \, d\theta$
$I = \int \sqrt{\frac{a(\sin \theta)^{2/3}}{a^3(1 - \sin^2 \theta)}} \cdot \frac{2}{3}a(\sin \theta)^{-1/3} \cos \theta \, d\theta$
$I = \int \frac{a^{1/2}(\sin \theta)^{1/3}}{a^{3/2} \cos \theta} \cdot \frac{2}{3}a(\sin \theta)^{-1/3} \cos \theta \, d\theta$
$I = \frac{2}{3} \int d\theta = \frac{2}{3} \theta + c$.
चूंकि $x = a(\sin \theta)^{2/3}$,इसलिए $(\frac{x}{a})^{3/2} = \sin \theta$,अर्थात $\theta = \sin^{-1}(\frac{x}{a})^{3/2}$.
अतः,$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}(\frac{x}{a})^{3/2} + c$.

(A) माना $I = \int \frac{1}{x \cos^2(1 + \log x)} \, dx$.
$t = 1 + \log x$ प्रतिस्थापन लेने पर।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}$,जिसका अर्थ है $dt = \frac{1}{x} \, dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{\cos^2 t} \, dt = \int \sec^2 t \, dt$.
चूँकि $\sec^2 t$ का समाकलन $\tan t + c$ होता है,हमें प्राप्त होता है:
$I = \tan t + c$.
$t = 1 + \log x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \tan(1 + \log x) + c$.

(A) माना $x = \tan \theta$ है। तब $dx = \sec^2 \theta \, d\theta$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{x^2 \sqrt{1 + x^2}} \, dx = \int \frac{\sec^2 \theta \, d\theta}{\tan^2 \theta \sqrt{1 + \tan^2 \theta}} = \int \frac{\sec^2 \theta \, d\theta}{\tan^2 \theta \sec \theta} = \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} \, d\theta$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\int \frac{1/\cos \theta}{\sin^2 \theta / \cos^2 \theta} \, d\theta = \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} \, d\theta = \int \csc \theta \cot \theta \, d\theta$.
$\csc \theta \cot \theta$ का समाकलन $-\csc \theta + c$ होता है।
चूंकि $x = \tan \theta$,इसलिए $\tan \theta = \frac{x}{1}$,जिसका अर्थ है कि $\csc \theta = \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x}$।
अतः,अंतिम उत्तर $-\frac{\sqrt{1 + x^2}}{x} + c$ है।

(A) माना $I = \int \frac{\log (x + \sqrt {1 + x^2})}{\sqrt {1 + x^2}} \, dx$.
$t = \log (x + \sqrt {1 + x^2})$ प्रतिस्थापित करें।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt {1 + x^2}} \cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt {1 + x^2}} \cdot 2x) = \frac{1}{x + \sqrt {1 + x^2}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt {1 + x^2}}) = \frac{1}{x + \sqrt {1 + x^2}} \cdot \frac{\sqrt {1 + x^2} + x}{\sqrt {1 + x^2}} = \frac{1}{\sqrt {1 + x^2}}$.
अतः,$dt = \frac{dx}{\sqrt {1 + x^2}}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + c$.
$t$ का मूल मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2}[\log (x + \sqrt {1 + x^2})]^2 + c$.

(A) समाकल $I = \int {{e^x}\sin ({e^x})} \,dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $t = {e^x}$ है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dt}{dx} = {e^x}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $dt = {e^x}dx$ है।
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \sin(t) \,dt$।
$\sin(t)$ का समाकल $-\cos(t) + c$ होता है।
अब $t = {e^x}$ वापस रखने पर,हमें $I = -\cos({e^x}) + c$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int {\frac{{{x^5}dx}}{{\sqrt {1 + {x^3}} }}} $.
हम $x^5 dx$ को $x^3 \cdot x^2 dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $1 + x^3 = t^2$. तब $3x^2 dx = 2t dt$,जिसका अर्थ है $x^2 dx = \frac{2}{3}t dt$.
साथ ही,$x^3 = t^2 - 1$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int {\frac{{(t^2 - 1)}}{t} \cdot \frac{2}{3}t dt} = \frac{2}{3} \int {(t^2 - 1) dt} $.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{2}{3} \left( \frac{t^3}{3} - t \right) + C = \frac{2}{9} t(t^2 - 3) + C$.
चूंकि $t = \sqrt{1 + x^3}$ और $t^2 = 1 + x^3$,इसलिए:
$I = \frac{2}{9} \sqrt{1 + x^3} (1 + x^3 - 3) + C = \frac{2}{9} \sqrt{1 + x^3} (x^3 - 2) + C$.

(A) हमारे पास $I = \int {\frac{{{{({x^4} - x)}^{1/4}}}}{{{x^5}}}\,dx}$ है।
कोष्ठक से $x^4$ कॉमन लेने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int {\frac{{{{[x^4(1 - 1/x^3)]}^{1/4}}}}{{{x^5}}}\,dx} = \int {\frac{{x{{(1 - 1/x^3)}^{1/4}}}}{{{x^5}}}\,dx} = \int {\frac{{{{(1 - 1/x^3)}^{1/4}}}}{{{x^4}}}\,dx}$।
माना $1 - \frac{1}{{{x^3}}} = t$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{3}{{{x^4}}}dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{{{x^4}}}dx = \frac{1}{3}dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int {{t^{1/4}} \cdot \frac{1}{3}dt} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{t^{5/4}}}}{{5/4}} + c = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} {t^{5/4}} + c = \frac{4}{{15}}{t^{5/4}} + c$।
$t = 1 - \frac{1}{{{x^3}}}$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{4}{{15}}{\left( {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^{5/4}} + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int e^x \sec^2(e^x) \, dx$.
$t = e^x$ प्रतिस्थापित करने पर,
अतः,अवकलन $dt = e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \sec^2(t) \, dt$.
हम जानते हैं कि $\sec^2(t)$ का समाकलन $\tan(t)$ होता है,इसलिए:
$I = \tan(t) + k$.
अब $t = e^x$ वापस रखने पर:
$I = \tan(e^x) + k$.

(D) माना $I = \int t e^{-3t^2} \, dt$ है।
$z = -3t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dz = -6t \, dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t \, dt = -\frac{1}{6} \, dz$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int e^z \left(-\frac{1}{6}\right) \, dz = -\frac{1}{6} \int e^z \, dz$।
$e^z$ का समाकलन $e^z$ होता है:
$I = -\frac{1}{6} e^z + c$।
अब $z = -3t^2$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{6} e^{-3t^2} + c$।

(B) माना $I = \int \frac{1}{(1 + x)\sqrt{x}} \, dx$.
हम समाकल को $I = \int \frac{1}{(1 + (\sqrt{x})^2)\sqrt{x}} \, dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $\sqrt{x} = t$. तब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \, dt$.
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int \frac{2 \, dt}{1 + t^2}$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,हमें $I = 2\tan^{-1}(t) + A$ प्राप्त होता है।
$t = \sqrt{x}$ वापस रखने पर,हमें $I = 2\tan^{-1}(\sqrt{x}) + A$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $f(x) + A$ से करने पर,हमें $f(x) = 2\tan^{-1}(\sqrt{x})$ प्राप्त होता है।

(D) समाकलन $I = \int x \cos(x^2) \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $t = x^2$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = 2x \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x \, dx = \frac{1}{2} \, dt$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \cos(t) \cdot \frac{1}{2} \, dt$
$I = \frac{1}{2} \int \cos(t) \, dt$
$I = \frac{1}{2} \sin(t) + c$
अब $t = x^2$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \sin(x^2) + c$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) माना $I = \int \frac{x^2 \tan^{-1}(x^3)}{1 + x^6} \, dx$ है।
$t = x^3$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 3x^2 \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 \, dx = \frac{1}{3} \, dt$।
समाकलन $I = \frac{1}{3} \int \frac{\tan^{-1}(t)}{1 + t^2} \, dt$ में परिवर्तित हो जाता है।
अब,$z = \tan^{-1}(t)$ प्रतिस्थापित करने पर,$dz = \frac{1}{1 + t^2} \, dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \frac{1}{3} \int z \, dz$ प्राप्त होता है।
$z$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$I = \frac{1}{3} \cdot \frac{z^2}{2} + c = \frac{z^2}{6} + c$ प्राप्त होता है।
अंत में $z = \tan^{-1}(x^3)$ रखने पर,$I = \frac{1}{6}(\tan^{-1}(x^3))^2 + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{x^2 + 1}{x(x^2 - 1)} \, dx$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x - \frac{1}{x}} \, dx$.
माना $t = x - \frac{1}{x}$. तब $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{t} \, dt = \log |t| + c$.
$t = x - \frac{1}{x} = \frac{x^2 - 1}{x}$ वापस रखने पर:
$I = \log \left| \frac{x^2 - 1}{x} \right| + c$.

(A) माना $I = \int {\frac{{{e^{2x}} + 1}}{{{e^{2x}} - 1}}} \,dx$.
अंश और हर को ${e^x}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int {\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}} \,dx$.
माना $t = {e^x} - {e^{ - x}}$.
तब,$dt = ({e^x} - ({ - 1}){e^{ - x}}) \,dx = ({e^x} + {e^{ - x}}) \,dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int {\frac{1}{t}} \,dt = \log |t| + c$.
$t$ का मूल मान वापस रखने पर:
$I = \log |{e^x} - {e^{ - x}}| + c$.

(A) माना $I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\sqrt{\sin 2x}} \, dx$.
हम जानते हैं कि $\sin 2x = 1 - (\sin x - \cos x)^2$.
अतः,$I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}} \, dx$.
माना $u = \sin x - \cos x$,तो $du = (\cos x + \sin x) \, dx$.
यदि हम $u = \sin x + \cos x$ लेते हैं,तो $du = (\cos x - \sin x) \, dx$ और $\sin 2x = u^2 - 1$.
इस स्थिति में,$I = \int \frac{du}{\sqrt{u^2 - 1}} = \ln|u + \sqrt{u^2 - 1}| + c$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\sin^{-1}(\sin x - \cos x) + c$ है।

(A) माना $I = \int {\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right){e^{x - \frac{1}{x}}}} \,dx$ है।
$t = x - \frac{1}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dt}{dx} = 1 - ( - \frac{1}{{{x^2}}}) = 1 + \frac{1}{{{x^2}}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(1 + \frac{1}{{{x^2}}})\,dx = dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int {{e^t}} \,dt$ प्राप्त होता है।
${e^t}$ का समाकलन ${e^t} + c$ होता है।
$t = x - \frac{1}{x}$ वापस रखने पर,हमें $I = {e^{x - \frac{1}{x}}} + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int (x + 3)({x^2} + 6x + 10)^9 \, dx$.
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int (2x + 6)({x^2} + 6x + 10)^9 \, dx$.
माना $u = x^2 + 6x + 10$.
तब $du = (2x + 6) \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int u^9 \, du$.
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{10}}{10} + c$.
$I = \frac{1}{20} u^{10} + c$.
$u = x^2 + 6x + 10$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{20} ({x^2} + 6x + 10)^{10} + c$.

(C) $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ का आदि फलन (अनिश्चित समाकलन) ज्ञात करने के लिए,हम समाकलन $I = \int \frac{x}{1 + x^2} dx$ का मूल्यांकन करते हैं।
माना $t = 1 + x^2$ है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dt = 2x dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x dx = \frac{dt}{2}$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,हमें $I = \frac{1}{2} \log_e |t| + C$ प्राप्त होता है।
$t = 1 + x^2$ वापस रखने पर,$I = \frac{1}{2} \log_e(1 + x^2) + C$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{1}{x} \log x \, dx$ है।
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{x} \, dx = dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int t \, dt$ प्राप्त होता है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$I = \frac{t^2}{2} + c$ प्राप्त होता है।
$t = \log x$ वापस रखने पर,$I = \frac{(\log x)^2}{2} + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \sin^2 x \cos x \, dx$ है।
$\sin x = t$ प्रतिस्थापित करने पर।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\cos x \, dx = dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int t^2 \, dt$ प्राप्त होता है।
$t^2$ का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$I = \frac{t^3}{3} + c$ प्राप्त होता है।
अंत में $t = \sin x$ रखने पर,$I = \frac{\sin^3 x}{3} + c$ प्राप्त होता है।

(B) समाकलन $I = \int e^{x^2} x \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे।
माना $t = x^2$ है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = 2x \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x \, dx = \frac{1}{2} dt$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int e^t \cdot \frac{1}{2} dt$
$I = \frac{1}{2} \int e^t \, dt$
$I = \frac{1}{2} e^t + C$
अब $t = x^2$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) समाकलन $I = \int \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^4}} \, dx$ को हल करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $t = 1 + x^4$ है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = 4x^3 \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x^3 \, dx = \frac{1}{4} \, dt$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{4} \, dt = \frac{1}{4} \int t^{-1/2} \, dt$।
समाकलन के घात नियम $\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + c = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot t^{1/2} + c = \frac{1}{2} \sqrt{t} + c$।
$t = 1 + x^4$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2} \sqrt{1 + x^4} + c$।