Integration by substitution Questions in Hindi

(A) दिया गया समाकल $I = \int \frac{dx}{(1 + e^x)(1 + e^{-x})}$ है।
पद $(1 + e^{-x})$ को $(1 + \frac{1}{e^x}) = \frac{e^x + 1}{e^x}$ के रूप में लिखें।
इसे समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int \frac{dx}{(1 + e^x) \cdot \frac{e^x + 1}{e^x}} = \int \frac{e^x dx}{(1 + e^x)^2}$।
माना $t = 1 + e^x$,तब $dt = e^x dx$।
इन मानों को समाकल में रखने पर,$I = \int \frac{dt}{t^2} = \int t^{-2} dt$।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{t^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{t} + C$।
$t = 1 + e^x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = -\frac{1}{1 + e^x} + C$।

(C) माना $I = \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx$.
$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int e^t (2 dt) = 2 \int e^t dt$.
$e^t$ का समाकलन $e^t$ होता है,इसलिए:
$I = 2 e^t + C$.
$t = \sqrt{x}$ वापस रखने पर:
$I = 2 e^{\sqrt{x}} + C$.

(D) माना $I = \int \frac{\sin^3 2x}{\cos^5 2x} \, dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{\sin^3 2x}{\cos^3 2x} \cdot \frac{1}{\cos^2 2x} \, dx = \int \tan^3 2x \cdot \sec^2 2x \, dx$.
अब,प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें। माना $u = \tan 2x$.
तब,इसका अवकलन $du = 2 \sec^2 2x \, dx$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\sec^2 2x \, dx = \frac{du}{2}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^3 \, du$.
$u^3$ का $u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर $\frac{u^4}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{1}{8} u^4 + C$.
$u = \tan 2x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{8} \tan^4 2x + C$.

(B) माना $I = \int \frac{dx}{(a^2 + x^2)^{3/2}}$.
$x = a \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = a \sec^2 \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{a \sec^2 \theta}{(a^2 + a^2 \tan^2 \theta)^{3/2}} \, d\theta = \int \frac{a \sec^2 \theta}{(a^2 \sec^2 \theta)^{3/2}} \, d\theta$.
$I = \int \frac{a \sec^2 \theta}{a^3 \sec^3 \theta} \, d\theta = \frac{1}{a^2} \int \frac{1}{\sec \theta} \, d\theta$.
$I = \frac{1}{a^2} \int \cos \theta \, d\theta = \frac{1}{a^2} \sin \theta + C$.
चूंकि $x = a \tan \theta$,इसलिए $\tan \theta = \frac{x}{a}$ है।
त्रिकोणमिति के अनुसार,$\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$ होता है।
अतः,$I = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} + C = \frac{x}{a^2(a^2 + x^2)^{1/2}} + C$.

(C) माना $I = \int {\frac{{{e^{m{{\tan }^{ - 1}}x}}}}{{1 + {x^2}}}dx} $.
$t = m{{\tan }^{ - 1}}x$ प्रतिस्थापित करने पर.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dt}{dx} = \frac{m}{1 + x^2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{1 + x^2} = \frac{dt}{m}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int {e^t \cdot \frac{dt}{m}} = \frac{1}{m} \int {e^t dt}$.
$e^t$ का समाकलन $e^t + C$ होता है।
अतः,$I = \frac{1}{m} e^t + C = \frac{1}{m} e^{m{{\tan }^{ - 1}}x} + C$.

(D) माना $I = \int \frac{2dx}{\sqrt{1 - 4x^2}}$.
$2x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$2dx = dt$ प्राप्त होता है।
अतः समाकलन $I = \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sin^{-1}(t) + c$.
$t = 2x$ का मान वापस रखने पर,हमें $I = \sin^{-1}(2x) + c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समाकलन: $I = \int {{e^{3\log x}}{{({x^4} + 1)}^{ - 1}}dx}$
गुणधर्म $n\log x = \log(x^n)$ और $e^{\log f(x)} = f(x)$ का उपयोग करने पर:
$e^{3\log x} = e^{\log(x^3)} = x^3$
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int \frac{x^3}{x^4 + 1} dx$
माना $u = x^4 + 1$. तब $du = 4x^3 dx$,जिसका अर्थ है कि $x^3 dx = \frac{1}{4} du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} du$
$I = \frac{1}{4} \log|u| + c$
$u = x^4 + 1$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{4} \log(x^4 + 1) + c$

(B) माना $I = \int \frac{dx}{2\sqrt{x}(1 + x)}$.
$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{dt}{1 + t^2}$ प्राप्त होता है।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dt}{1 + t^2} = \tan^{-1}(t) + c$ का उपयोग करने पर,$I = \tan^{-1}(t) + c$ प्राप्त होता है।
अब $t$ के स्थान पर $\sqrt{x}$ रखने पर,अंतिम उत्तर $\tan^{-1}(\sqrt{x}) + c$ है।

(B) माना $I = \int {x{e^{{x^2}}}} dx$.
${x^2} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{dt}{2}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें $I = \int {{e^t} \cdot \frac{dt}{2}} = \frac{1}{2} \int {{e^t} dt}$ प्राप्त होता है.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$I = \frac{1}{2} {e^t} + c$ प्राप्त होता है.
अंत में $t = {x^2}$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{{{e^{{x^2}}}}}{2} + c$ प्राप्त होता है.

(C) माना $I = \int \frac{e^x}{e^x + 1} \,dx$ है।
$e^x + 1 = t$ प्रतिस्थापित करने पर।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$e^x \,dx = dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{1}{t} \,dt$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{t}$ का समाकलन $\log|t| + c$ होता है।
$t = e^x + 1$ वापस रखने पर,$I = \log|e^x + 1| + c$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e^x + 1$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक है,इसलिए $I = \log(e^x + 1) + c$ लिखा जा सकता है।

(D) माना $I = \int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} \,dx$ है।
$t = \sin x + \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब,$dt = (\cos x - \sin x) \,dx$,जिसका अर्थ है कि $-dt = (\sin x - \cos x) \,dx$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-dt}{t} = -\log |t| + c$।
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$-\log |t| = \log |t^{-1}| = \log \left( \frac{1}{|t|} \right) + c$।
$t = \sin x + \cos x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \log \left( \frac{1}{|\sin x + \cos x|} \right) + c$।

(B) माना कि $t = \tan^{-1} x$ है।
तब,अवकलन $dt = \frac{1}{1 + x^2} \, dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int t^3 \, dt = \frac{t^4}{4} + c$।
अब $t = \tan^{-1} x$ का मान वापस रखने पर,अंतिम उत्तर $\frac{(\tan^{-1} x)^4}{4} + c$ प्राप्त होता है।

(A) समाकल $I = \int \frac{\sqrt{x}}{1+x} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,$x = t^2$ प्रतिस्थापित करें,जिससे $dx = 2t dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकल में रखने पर:
$I = \int \frac{t}{1+t^2} (2t dt) = 2 \int \frac{t^2}{1+t^2} dt$
$I = 2 \int \frac{t^2+1-1}{1+t^2} dt = 2 \int \left(1 - \frac{1}{1+t^2}\right) dt$
$I = 2 \left( \int 1 dt - \int \frac{1}{1+t^2} dt \right)$
$I = 2(t - \tan^{-1}t) + c$
$t = \sqrt{x}$ वापस रखने पर:
$I = 2(\sqrt{x} - \tan^{-1}\sqrt{x}) + c$.

(D) माना $I = \int \frac{x}{\sqrt{4 - x^4}} \, dx$.
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{x}{\sqrt{2^2 - (x^2)^2}} \, dx$.
माना $x^2 = t$.
तब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x \, dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \, dx = \frac{1}{2} \, dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{2^2 - t^2}} \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{2^2 - t^2}} \, dt$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + C$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2} \sin^{-1} \left( \frac{t}{2} \right) + C$.
$t = x^2$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x^2}{2} \right) + C$.

(C) माना $I = \int \frac{\sin x}{3 + 4\cos^2 x} dx$.
$\cos x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$-\sin x \, dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin x \, dx = -dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{-dt}{3 + 4t^2}$ प्राप्त होता है।
$I = -\frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan^{-1} \left( \frac{t}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right) + c$.
$I = -\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2t}{\sqrt{3}} \right) + c$.
$I = -\frac{1}{2\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2\cos x}{\sqrt{3}} \right) + c$.

(D) माना $I = \int \frac{dx}{\sqrt{x}(x + 9)}$.
$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t^2$ प्राप्त होता है,जिससे $dx = 2t \, dt$ होगा।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{2t \, dt}{t(t^2 + 9)} = 2 \int \frac{dt}{t^2 + 3^2}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \cdot \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{t}{3}\right) + C = \frac{2}{3} \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{x}}{3}\right) + C$.

(A) माना $I = \int \frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x} \, dx$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{2 \sin x \cos x}{1 + \cos^2 x} \, dx$.
माना $t = 1 + \cos^2 x$.
तब,$dt = 2 \cos x (-\sin x) \, dx = -\sin 2x \, dx$.
अतः,$\sin 2x \, dx = -dt$.
समाकलन में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{-dt}{t} = -\log|t| + c$.
$t$ के स्थान पर $1 + \cos^2 x$ रखने पर:
$I = -\log(1 + \cos^2 x) + c$.

(B) दिया गया है $f(x) = \int \frac{x^2 dx}{(1 + x^2)(1 + \sqrt{1 + x^2})}$.
मान लीजिए $x = \tan \theta$,तब $dx = \sec^2 \theta \, d\theta$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \int \frac{\tan^2 \theta \cdot \sec^2 \theta \, d\theta}{\sec^2 \theta (1 + \sec \theta)} = \int \frac{\tan^2 \theta \, d\theta}{1 + \sec \theta}$.
$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \int \frac{\sec^2 \theta - 1}{1 + \sec \theta} \, d\theta = \int \frac{(\sec \theta - 1)(\sec \theta + 1)}{1 + \sec \theta} \, d\theta = \int (\sec \theta - 1) \, d\theta$.
समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x) = \log|\sec \theta + \tan \theta| - \theta + C$.
चूंकि $x = \tan \theta$,इसलिए $\sec \theta = \sqrt{1 + x^2}$ और $\theta = \tan^{-1} x$.
अतः,$f(x) = \log|\sqrt{1 + x^2} + x| - \tan^{-1} x + C$.
चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,तो $\log(1) - 0 + C = 0$,जिसका अर्थ है $C = 0$.
इसलिए,$f(x) = \log(x + \sqrt{1 + x^2}) - \tan^{-1} x$.
$x = 1$ के लिए,$f(1) = \log(1 + \sqrt{2}) - \tan^{-1}(1) = \log(1 + \sqrt{2}) - \frac{\pi}{4}$.

(A) माना $I = \int {\sqrt {{e^x} - 1} } dx$ है।
${e^x} - 1 = {t^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है ${e^x} = {t^2} + 1$।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें ${e^x} dx = 2t dt$ प्राप्त होता है,इसलिए $dx = \frac{2t}{t^2 + 1} dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int t \cdot \frac{2t}{t^2 + 1} dt = \int \frac{2t^2}{t^2 + 1} dt$।
अब,समाकल्य को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$I = \int \frac{2(t^2 + 1) - 2}{t^2 + 1} dt = \int \left( 2 - \frac{2}{t^2 + 1} \right) dt$।
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$I = 2t - 2 \tan^{-1}(t) + c$।
$t = \sqrt{e^x - 1}$ का मान वापस रखने पर:
$I = 2\sqrt{e^x - 1} - 2 \tan^{-1}(\sqrt{e^x - 1}) + c = 2\left[ \sqrt{e^x - 1} - \tan^{-1}(\sqrt{e^x - 1}) \right] + c$।

(C) माना $I = \int \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sqrt{\sin 2\theta}} d\theta$.
हम जानते हैं कि $\sin 2\theta = 1 - (1 - 2\sin \theta \cos \theta) = 1 - (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta) = 1 - (\sin \theta - \cos \theta)^2$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sqrt{1 - (\sin \theta - \cos \theta)^2}} d\theta$.
माना $t = \sin \theta - \cos \theta$.
तब $dt = (\cos \theta + \sin \theta) d\theta$.
$t$ और $dt$ का मान समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sin^{-1}(t) + c$.
$t$ के स्थान पर $(\sin \theta - \cos \theta)$ रखने पर:
$I = \sin^{-1}(\sin \theta - \cos \theta) + c$.

(A) माना $I = \int \sin^3 x \cos^2 x \, dx$.
हम $\sin^3 x$ को $\sin^2 x \cdot \sin x = (1 - \cos^2 x) \sin x$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int (1 - \cos^2 x) \cos^2 x \sin x \, dx$.
माना $\cos x = t$. तब $-\sin x \, dx = dt$,या $\sin x \, dx = -dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int (1 - t^2) t^2 (-dt) = \int (t^4 - t^2) \, dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{t^5}{5} - \frac{t^3}{3} + c$.
$t = \cos x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^3 x}{3} + c$.

(A) माना $I = \int \frac{x}{x^4 - 1} dx$ है।
$t = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 2x dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t^2 - 1} dt$।
मानक सूत्र $\int \frac{1}{t^2 - a^2} dt = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{t - a}{t + a} \right| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2(1)} \log \left| \frac{t - 1}{t + 1} \right| \right) + c$।
$I = \frac{1}{4} \log \left| \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \right| + c$।

(A) माना $I = \int \sin^5 x \cos^4 x \, dx$.
$\cos x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$-\sin x \, dx = dt$ या $\sin x \, dx = -dt$ प्राप्त होता है।
हम $\sin^5 x$ को $(\sin^2 x)^2 \sin x = (1 - \cos^2 x)^2 \sin x$ के रूप में लिख सकते हैं।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int (1 - t^2)^2 t^4 (-dt) = - \int (1 - 2t^2 + t^4) t^4 \, dt$
$I = - \int (t^4 - 2t^6 + t^8) \, dt$
$I = - (\frac{t^5}{5} - \frac{2t^7}{7} + \frac{t^9}{9}) + c$
$I = - \frac{t^5}{5} + \frac{2t^7}{7} - \frac{t^9}{9} + c$
$t = \cos x$ वापस रखने पर:
$I = - \frac{1}{5}\cos^5 x + \frac{2}{7}\cos^7 x - \frac{1}{9}\cos^9 x + c$.

(B) समाकल $I = \int \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर के व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करते हैं:
$2x - x^2 = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = 1 - (x - 1)^2$.
इस मान को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{1 - (x - 1)^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \sin^{-1}(u) + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x - 1$ और $du = dx$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \sin^{-1}(x - 1) + c$.

(C) समाकल $I = \int \frac{dx}{5 + 4\cos x}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम $\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं।
इसे समाकल में रखने पर:
$I = \int \frac{dx}{5 + 4\left[ \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} \right]} = \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{5(1 + \tan^2(x/2)) + 4(1 - \tan^2(x/2))}$
$I = \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{5 + 5\tan^2(x/2) + 4 - 4\tan^2(x/2)} = \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{9 + \tan^2(x/2)}$
माना $t = \tan(x/2)$,तब $dt = \frac{1}{2}\sec^2(x/2) dx$,जिसका अर्थ है $2 dt = \sec^2(x/2) dx$.
इन मानों को समाकल में रखने पर:
$I = \int \frac{2 dt}{3^2 + t^2} = 2 \cdot \frac{1}{3} \tan^{-1}\left( \frac{t}{3} \right) + c = \frac{2}{3} \tan^{-1}\left( \frac{1}{3} \tan \frac{x}{2} \right) + c$.

(B) समाकलन $I = \int \frac{dx}{1 + 3\sin^2 x}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर में $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ सर्वसमिका का उपयोग करते हैं।
$I = \int \frac{dx}{\sin^2 x + \cos^2 x + 3\sin^2 x} = \int \frac{dx}{4\sin^2 x + \cos^2 x}$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{4\tan^2 x + 1} = \frac{1}{4} \int \frac{\sec^2 x dx}{\tan^2 x + \frac{1}{4}}$.
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x dx$.
$I = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2 + (\frac{1}{2})^2}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1/2} \tan^{-1}(\frac{t}{1/2}) + c = \frac{1}{4} \cdot 2 \tan^{-1}(2t) + c = \frac{1}{2} \tan^{-1}(2\tan x) + c$.

(A) माना $I = \int \frac{dx}{7 + 5\cos x}$.
$\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{dx}{7 + 5 \left( \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} \right)} = \int \frac{(1 + \tan^2(x/2)) dx}{7(1 + \tan^2(x/2)) + 5(1 - \tan^2(x/2))}$
$I = \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{7 + 7\tan^2(x/2) + 5 - 5\tan^2(x/2)} = \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{12 + 2\tan^2(x/2)}$
$I = \frac{1}{2} \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{6 + \tan^2(x/2)}$
माना $\tan(x/2) = t$,तब $\frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx = dt$.
$I = \int \frac{dt}{t^2 + (\sqrt{6})^2} = \frac{1}{\sqrt{6}} \tan^{-1} \left( \frac{t}{\sqrt{6}} \right) + c$
$t = \tan(x/2)$ का मान रखने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{6}} \tan^{-1} \left( \frac{\tan(x/2)}{\sqrt{6}} \right) + c$.

(A) माना $\log x = t$ है। तब,$\frac{1}{x} dx = dt$ होगा।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int \frac{dt}{t^2 + 4t - 1}$.
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$t^2 + 4t - 1 = (t^2 + 4t + 4) - 4 - 1 = (t + 2)^2 - 5 = (t + 2)^2 - (\sqrt{5})^2$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{u^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{u - a}{u + a} \right| + c$ का उपयोग करने पर:
$\int \frac{dt}{(t + 2)^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{1}{2\sqrt{5}} \log \left| \frac{t + 2 - \sqrt{5}}{t + 2 + \sqrt{5}} \right| + c$.
$t = \log x$ वापस रखने पर:
$\frac{1}{2\sqrt{5}} \log \left| \frac{\log x + 2 - \sqrt{5}}{\log x + 2 + \sqrt{5}} \right| + c$.

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{x(x^7 + 1)}$ है।
अंश और हर को $x^6$ से गुणा करने पर,$I = \int \frac{x^6 dx}{x^7(x^7 + 1)}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $x^7 = u$,तब $7x^6 dx = du$,जिसका अर्थ है $x^6 dx = \frac{du}{7}$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int \frac{du/7}{u(u + 1)} = \frac{1}{7} \int \frac{du}{u(u + 1)}$।
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{u(u + 1)} = \frac{1}{u} - \frac{1}{u + 1}$।
अतः,$I = \frac{1}{7} \int \left( \frac{1}{u} - \frac{1}{u + 1} \right) du = \frac{1}{7} (\log |u| - \log |u + 1|) + c$।
$I = \frac{1}{7} \log \left| \frac{u}{u + 1} \right| + c$।
$u = x^7$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{7} \log \left( \frac{x^7}{x^7 + 1} \right) + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{dx}{(1 + x^2)\sqrt{p^2 + q^2(\tan^{-1}x)^2}}$.
$t = q\tan^{-1}x$ प्रतिस्थापित करने पर.
तब $dt = \frac{q}{1 + x^2} dx$,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{1 + x^2} = \frac{dt}{q}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{p^2 + t^2}} \cdot \frac{dt}{q} = \frac{1}{q} \int \frac{dt}{\sqrt{p^2 + t^2}}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \log |x + \sqrt{x^2 + a^2}| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{q} \log |t + \sqrt{t^2 + p^2}| + c$.
$t = q\tan^{-1}x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{q} \log |q\tan^{-1}x + \sqrt{q^2(\tan^{-1}x)^2 + p^2}| + c$.

(C) माना $I = \int \frac{x^5}{\sqrt{1 + x^3}} dx$.
$1 + x^3 = t^2$ रखने पर,$3x^2 dx = 2t dt$,जिसका अर्थ है $x^2 dx = \frac{2}{3} t dt$.
साथ ही,$x^3 = t^2 - 1$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{x^3 \cdot x^2 dx}{\sqrt{1 + x^3}} = \int \frac{(t^2 - 1) \cdot \frac{2}{3} t dt}{t}$
$I = \frac{2}{3} \int (t^2 - 1) dt$
$I = \frac{2}{3} \left( \frac{t^3}{3} - t \right) + c$
$I = \frac{2}{9} t^3 - \frac{2}{3} t + c$
चूंकि $t = (1 + x^3)^{1/2}$,इसलिए:
$I = \frac{2}{9} (1 + x^3)^{3/2} - \frac{2}{3} (1 + x^3)^{1/2} + c$.

(A) माना $I = \int \frac{a \, dx}{b + c e^x}$.
अंश और हर को $e^{-x}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{a e^{-x} \, dx}{b e^{-x} + c}$.
माना $u = b e^{-x} + c$,तब $du = -b e^{-x} \, dx$,जिसका अर्थ है $e^{-x} \, dx = -\frac{du}{b}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = a \int \frac{-du/b}{u} = -\frac{a}{b} \int \frac{du}{u} = -\frac{a}{b} \log |u| + C$.
$u = b e^{-x} + c = \frac{b + c e^x}{e^x}$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{a}{b} \log \left| \frac{b + c e^x}{e^x} \right| + C = \frac{a}{b} \log \left| \frac{e^x}{b + c e^x} \right| + C$.

(B) माना कि $\sqrt{x} = t$. तब $x = t^2$,जिसका अर्थ है $dx = 2t \, dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \sin \sqrt{x} \, dx = \int \sin(t) \cdot 2t \, dt = 2 \int t \sin(t) \, dt$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,जहाँ $u = t$ और $dv = \sin(t) \, dt$:
$du = dt$ और $v = -\cos(t)$.
अतः,$2 \int t \sin(t) \, dt = 2 [t(-\cos(t)) - \int (-\cos(t)) \, dt] = 2 [-t \cos(t) + \sin(t)] + c$.
$t = \sqrt{x}$ वापस रखने पर:
$= 2[\sin \sqrt{x} - \sqrt{x} \cos \sqrt{x}] + c$.

(A) माना $x = 3\sin \theta$,तब $dx = 3\cos \theta \, d\theta$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{9\sin^2 \theta}{(9 - 9\sin^2 \theta)^{3/2}} \cdot 3\cos \theta \, d\theta = \int \frac{27\sin^2 \theta \cos \theta}{(9\cos^2 \theta)^{3/2}} \, d\theta$
$= \int \frac{27\sin^2 \theta \cos \theta}{27\cos^3 \theta} \, d\theta = \int \tan^2 \theta \, d\theta$
$= \int (\sec^2 \theta - 1) \, d\theta = \tan \theta - \theta + c$
चूंकि $\sin \theta = \frac{x}{3}$,इसलिए $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)$ और $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{x/3}{\sqrt{1 - (x/3)^2}} = \frac{x}{\sqrt{9 - x^2}}$ है।
अतः,समाकलन का मान $\frac{x}{\sqrt{9 - x^2}} - \sin^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + c$ प्राप्त होता है।

(C) अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$\int {\frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{x^2} - 1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}\,dx} $
$= \int {\frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2} + 1}}\,dx} $
मान लीजिए $t = x - \frac{1}{x}$,तो $dt = (1 + \frac{1}{{{x^2}}})\,dx$.
समाकलन में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\int {\frac{{dt}}{{{t^2} + 1}} = {{\tan }^{ - 1}}t + c} $
$t = x - \frac{1}{x}$ को वापस रखने पर:
$= {\tan ^{ - 1}}\left( {x - \frac{1}{x}} \right) + c = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{x}} \right) + c$.

(A) माना $I = \int {\frac{{\sqrt {{x^2} - {a^2}} }}{x}dx}$.
$\sqrt {{x^2} - {a^2}} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,${x^2} - {a^2} = {t^2}$,जिसका अर्थ है ${x^2} = {a^2} + {t^2}$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$2xdx = 2tdt$,इसलिए $xdx = tdt$.
अब,अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर:
$I = \int {\frac{{\sqrt {{x^2} - {a^2}} \cdot x}}{{{x^2}}}dx} = \int {\frac{t}{{{a^2} + {t^2}}} \cdot tdt} = \int {\frac{{{t^2}}}{{{a^2} + {t^2}}}dt}$.
$I = \int {\left( {\frac{{{t^2} + {a^2} - {a^2}}}{{{a^2} + {t^2}}}} \right)dt} = \int {\left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {t^2}}}} \right)dt}$.
$I = \int {1dt} - {a^2}\int {\frac{1}{{{a^2} + {t^2}}}dt} = t - {a^2} \cdot \frac{1}{a}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{t}{a}} \right) + C$.
$I = t - a{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{t}{a}} \right) + C$.
$t = \sqrt {{x^2} - {a^2}}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \sqrt {{x^2} - {a^2}} - a{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{\sqrt {{x^2} - {a^2}} }}{a}} \right) + C$.

(A) माना $I = \int \tan^3 2x \sec 2x \, dx$.
हम $\tan^3 2x$ को $\tan^2 2x \cdot \tan 2x$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $\tan^2 2x = \sec^2 2x - 1$,इसलिए समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int (\sec^2 2x - 1) \sec 2x \tan 2x \, dx$.
माना $u = \sec 2x$. तब $du = 2 \sec 2x \tan 2x \, dx$,जिसका अर्थ है कि $\sec 2x \tan 2x \, dx = \frac{1}{2} du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int (u^2 - 1) \cdot \frac{1}{2} du$
$I = \frac{1}{2} \int (u^2 - 1) \, du$
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{u^3}{3} - u \right) + c$
$I = \frac{u^3}{6} - \frac{u}{2} + c$
अब $u = \sec 2x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{6} \sec^3 2x - \frac{1}{2} \sec 2x + c$.

(A) माना $I = \int \sqrt{\frac{a-x}{x}} \, dx$ है।
$x = a \sin^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2a \sin \theta \cos \theta \, d\theta$ प्राप्त होता है।
$I = \int \sqrt{\frac{a - a \sin^2 \theta}{a \sin^2 \theta}} \cdot (2a \sin \theta \cos \theta) \, d\theta$
$I = \int \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \cdot 2a \sin \theta \cos \theta \, d\theta = 2a \int \cos^2 \theta \, d\theta$
$I = a \int (1 + \cos 2\theta) \, d\theta = a(\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}) + c = a(\theta + \sin \theta \cos \theta) + c$
चूँकि $x = a \sin^2 \theta$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{\frac{x}{a}}$ और $\theta = \sin^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}$ है।
साथ ही,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{x}{a}} = \sqrt{\frac{a-x}{a}}$ है।
इन मानों को रखने पर,$I = a \left[ \sin^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} + \sqrt{\frac{x}{a}} \sqrt{\frac{a-x}{a}} \right] + c$।

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{\sin x - \cos x}{\sqrt{1 - \sin 2x}} e^{\sin x} \cos x \, dx$ है।
हम जानते हैं कि $1 - \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2$।
अतः,$\sqrt{1 - \sin 2x} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|$।
चूंकि $x \in \left( \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right)$,इसलिए $\sin x > \cos x$ है,अतः $|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x$।
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x - \cos x} e^{\sin x} \cos x \, dx = \int e^{\sin x} \cos x \, dx$।
मान लीजिए $u = \sin x$,तो $du = \cos x \, dx$।
$I = \int e^u \, du = e^u + c = e^{\sin x} + c$।

(B) माना $I = \int \frac{x}{x^4 + x^2 + 1} dx$.
$u = x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = 2x dx$ प्राप्त होता है,अर्थात $x dx = \frac{1}{2} du$.
अतः समाकलन $I = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2 + u + 1}$ हो जाता है।
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $u^2 + u + 1 = (u + \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$.
सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan^{-1} \left( \frac{u + \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right) + C$.
$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2u + 1}{\sqrt{3}} \right) + C$.
$u = x^2$ वापस रखने पर,$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2x^2 + 1}{\sqrt{3}} \right) + C$ प्राप्त होता है।

(A) ${I_1} = \int_e^{{e^2}} \frac{dx}{\log x}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $\log x = u$ है। तब $x = e^u$,जिसका अर्थ है कि $dx = e^u du$ है।
जब $x = e$,तब $u = \log e = 1$ है।
जब $x = e^2$,तब $u = \log e^2 = 2$ है।
इन मानों को समाकलन ${I_1}$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
${I_1} = \int_1^2 \frac{e^u}{u} du$।
चूंकि समाकलन का चर एक डमी चर है,हम $u$ को $x$ से बदल सकते हैं:
${I_1} = \int_1^2 \frac{e^x}{x} dx$।
इसकी तुलना ${I_2} = \int_1^2 \frac{e^x}{x} dx$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि ${I_1} = {I_2}$ है।

(A) माना $I = \int \frac{\sin^2 x \cos^2 x}{(\sin^5 x + \cos^3 x \sin^2 x + \sin^3 x \cos^2 x + \cos^5 x)^2} dx$.
हर का गुणनखंड करने पर:
$\sin^5 x + \cos^3 x \sin^2 x + \sin^3 x \cos^2 x + \cos^5 x = \sin^2 x(\sin^3 x + \cos^3 x) + \cos^2 x(\sin^3 x + \cos^3 x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^3 x + \cos^3 x) = (\sin^3 x + \cos^3 x)$.
अतः,$I = \int \frac{\sin^2 x \cos^2 x}{(\sin^3 x + \cos^3 x)^2} dx$.
अंश और हर को $\cos^6 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\tan^2 x \sec^2 x}{(\tan^3 x + 1)^2} dx$.
माना $t = 1 + \tan^3 x$,तब $dt = 3 \tan^2 x \sec^2 x dx$,इसलिए $\tan^2 x \sec^2 x dx = \frac{dt}{3}$.
$I = \frac{1}{3} \int \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{3} (-t^{-1}) + C = \frac{-1}{3(1 + \tan^3 x)} + C$.

(C) अभिकथन $(A)$ सत्य है क्योंकि समाकलन $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx$ को $x = a \tan \theta$ प्रतिस्थापित करके हल किया जा सकता है,जिससे $dx = a \sec^2 \theta d\theta$ प्राप्त होता है। इन्हें समाकलन में रखने पर $\int \frac{a \sec^2 \theta}{a^2 \tan^2 \theta + a^2} d\theta = \int \frac{a \sec^2 \theta}{a^2 \sec^2 \theta} d\theta = \frac{1}{a} \int d\theta = \frac{1}{a} \theta + C = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ प्राप्त होता है।
कारण $(R)$ असत्य है क्योंकि सभी समाकल्यों को केवल प्रतिस्थापन विधि द्वारा समाकलित नहीं किया जा सकता है। समाकलन के लिए कई अन्य विधियाँ जैसे खंडशः समाकलन,आंशिक भिन्न और सीधे मानक सूत्रों का उपयोग किया जाता है।
अतः,$A$ सत्य है लेकिन $R$ असत्य है।

(B) माना $I = \int {{e^{{{\cos }^2}x}}\sin 2x\,dx}$ है।
$t = {\cos ^2}x$ प्रतिस्थापित करें।
अतः,$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $dt = 2\cos x(-\sin x)\,dx = -\sin 2x\,dx$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\sin 2x\,dx = -dt$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें $I = \int {e^t(-dt)} = -\int {e^t\,dt}$ प्राप्त होता है।
$e^t$ का समाकलन करने पर,हमें $I = -{e^t} + c$ प्राप्त होता है।
$t = {\cos ^2}x$ वापस रखने पर,हमें $I = -{e^{{{\cos }^2}x}} + c$ प्राप्त होता है।

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{1}{x^2(x^4 + 1)^{3/4}} dx$ है।
कोष्ठक से $x^4$ कॉमन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{1}{x^2 [x^4(1 + \frac{1}{x^4})]^{3/4}} dx = \int \frac{1}{x^2 \cdot x^3 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}} dx = \int \frac{1}{x^5 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}} dx$.
माना $t = 1 + \frac{1}{x^4}$।
तब $dt = -\frac{4}{x^5} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x^5} = -\frac{1}{4} dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int -\frac{1}{4} t^{-3/4} dt = -\frac{1}{4} \cdot \frac{t^{1/4}}{1/4} + c = -t^{1/4} + c$।
$t$ का मान वापस रखने पर:
$I = -(1 + \frac{1}{x^4})^{1/4} + c = -(\frac{x^4 + 1}{x^4})^{1/4} + c = -\frac{(x^4 + 1)^{1/4}}{x} + c$।

(D) माना $I = \int \sqrt{2 + \sin 3x} \cdot \cos 3x \, dx$.
$t = 2 + \sin 3x$ प्रतिस्थापन करने पर।
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $dt = 3 \cos 3x \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\cos 3x \, dx = \frac{1}{3} dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int t^{1/2} dt$।
घात नियम $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + c = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + c = \frac{2}{9} t^{3/2} + c$।
$t = 2 + \sin 3x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{2}{9}(2 + \sin 3x)^{3/2} + c$.

(B) माना $I = \int {\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} [\log ({x^2} + 1) - 2\log x]}}{{{x^4}}}} dx$ है।
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int {\frac{{\sqrt {{x^2}(1 + 1/x^2)} [\log (x^2(1 + 1/x^2))]}}{{{x^4}}}} dx = \int {\frac{{x\sqrt {1 + 1/x^2} [\log x^2 + \log(1 + 1/x^2) - 2\log x]}}{{{x^4}}}} dx$.
चूंकि $\log x^2 = 2\log x$,व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:
$I = \int {\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \log \left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) \cdot \frac{1}{{{x^3}}}} dx$.
माना $1 + \frac{1}{{{x^2}}} = t$ है। तब $-\frac{2}{{{x^3}}} dx = dt$,या $\frac{1}{{{x^3}}} dx = -\frac{1}{2} dt$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = - \frac{1}{2} \int {\sqrt t \log t} dt$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u dv = uv - \int v du$,जहाँ $u = \log t$ और $dv = \sqrt t dt$ है:
$I = - \frac{1}{2} \left[ \log t \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} - \int \frac{1}{t} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} dt \right] = - \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} \log t - \frac{2}{3} \int t^{1/2} dt \right]$.
$I = - \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} \log t - \frac{2}{3} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} \right] + c = - \frac{1}{3} t^{3/2} \log t + \frac{2}{9} t^{3/2} + c$.
$I = - \frac{1}{3} t^{3/2} \left[ \log t - \frac{2}{3} \right] + c$.
$t = 1 + \frac{1}{{{x^2}}}$ वापस रखने पर:
$I = - \frac{1}{3} {\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{3/2}} \left[ {\log \left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) - \frac{2}{3}} \right] + c$.

(C) माना $I = \int \sqrt{\frac{\cos x(1 - \cos^2 x)}{1 - \cos^3 x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{\cos x \sin^2 x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$.
यहाँ $\sqrt{\sin^2 x} = \sin x$ लेने पर,$I = \int \sqrt{\frac{\cos x}{1 - \cos^3 x}} \sin x \, dx$.
माना $t = \cos x$,तब $dt = -\sin x \, dx$,अर्थात $\sin x \, dx = -dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = - \int \sqrt{\frac{t}{1 - t^3}} \, dt = - \int \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1 - (t^{3/2})^2}} \, dt$.
माना $u = t^{3/2}$,तब $du = \frac{3}{2} t^{1/2} \, dt = \frac{3}{2} \sqrt{t} \, dt$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{t} \, dt = \frac{2}{3} du$.
अतः,$I = - \int \frac{2/3}{\sqrt{1 - u^2}} \, du = - \frac{2}{3} \sin^{-1}(u) + c = - \frac{2}{3} \sin^{-1}(t^{3/2}) + c$.
सर्वसमिका $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,$-\frac{2}{3} \sin^{-1}(t^{3/2}) + c = \frac{2}{3} \cos^{-1}(t^{3/2}) + K$.
$t = \cos x$ रखने पर,हमें $I = \frac{2}{3} \cos^{-1}(\cos^{3/2} x) + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{1}{x \cdot l^1(x) \cdot l^2(x) \cdot ... \cdot l^r(x)} \, dx$.
प्रतिस्थापन $t = l^{r+1}(x)$ लें।
श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार,$l^{r+1}(x) = \log(l^r(x))$ का अवकलन $\frac{d}{dx} l^{r+1}(x) = \frac{1}{l^r(x)} \cdot \frac{d}{dx} l^r(x)$ होता है।
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\frac{d}{dx} l^{r+1}(x) = \frac{1}{l^r(x) \cdot l^{r-1}(x) \cdot ... \cdot l^1(x) \cdot x}$।
अतः,$dt = \frac{1}{x \cdot l^1(x) \cdot ... \cdot l^r(x)} \, dx$।
इस मान को समाकलन में रखने पर,हमें $\int 1 \, dt = t + c$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकलन का मान $l^{r+1}(x) + c$ है।

(B) माना $I = \int {{2^{{2^{{2^x}}}}}{2^{{2^x}}}{2^x}dx}$ है।
प्रतिस्थापन $t = 2^{2^{2^x}}$ लेने पर,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dt}{dx} = 2^{2^{2^x}} \cdot \ln 2 \cdot \frac{d}{dx}(2^{2^x}) = 2^{2^{2^x}} \cdot \ln 2 \cdot (2^{2^x} \cdot \ln 2 \cdot \frac{d}{dx}(2^x)) = 2^{2^{2^x}} \cdot 2^{2^x} \cdot 2^x \cdot (\ln 2)^3$.
अतः,$2^{2^{2^x}} \cdot 2^{2^x} \cdot 2^x \, dx = \frac{dt}{(\ln 2)^3}$.
इसलिए,$\int \frac{dt}{(\ln 2)^3} = \frac{t}{(\ln 2)^3} + c = \frac{2^{2^{2^x}}}{(\ln 2)^3} + c$.