Integral of the form ex(F(x) + F'(x)) dx Questions in Hindi

(B) माना $I = \int \left\{ \frac{\log x - 1}{1 + (\log x)^2} \right\}^2 dx$ है।
$\log x = t$ रखने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
यह समाकलन $I = \int e^t \left[ \frac{1}{1 + t^2} - \frac{2t}{(1 + t^2)^2} \right] dt$ के रूप में है।
$\left[ \because \int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + C \right]$
यहाँ $f(t) = \frac{1}{1 + t^2}$ और $f'(t) = \frac{-2t}{(1 + t^2)^2}$ है।
अतः,$I = \frac{e^t}{1 + t^2} + C = \frac{x}{1 + (\log x)^2} + C$.

(A) माना $I = \int {\log x(\log x + 2) \, dx}$.
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $x = e^t$ और $dx = e^t \, dt$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int t(t + 2) e^t \, dt = \int (t^2 + 2t) e^t \, dt$.
हम जानते हैं कि $\int e^t [f(t) + f'(t)] \, dt = e^t f(t) + c$.
यहाँ,$f(t) = t^2$ और $f'(t) = 2t$ है।
इसलिए,$I = e^t \cdot t^2 + c$.
$t = \log x$ और $e^t = x$ वापस रखने पर,हमें $I = x{(\log x)^2} + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{\log x}{(1 + \log x)^2} dx$ है।
$1 + \log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $\log x = t - 1$।
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$\frac{1}{x} dx = dt$,इसलिए $dx = x dt$।
चूंकि $1 + \log x = t$,हमारे पास $\log x = t - 1$ है,इसलिए $x = e^{t-1}$। अतः,$dx = e^{t-1} dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{t - 1}{t^2} e^{t-1} dt = \int e^{t-1} \left( \frac{t}{t^2} - \frac{1}{t^2} \right) dt = \int e^{t-1} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \right) dt$।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^u (f(u) + f'(u)) du = e^u f(u) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \frac{1}{t}$ और $f'(t) = -\frac{1}{t^2}$ है:
$I = e^{t-1} \cdot \frac{1}{t} + c$।
$t = 1 + \log x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{e^{(1 + \log x) - 1}}{1 + \log x} + c = \frac{e^{\log x}}{1 + \log x} + c = \frac{x}{1 + \log x} + c$।

(D) हमें समाकलन $I = \int {e^x \left( \frac{2 + \sin 2x}{1 + \cos 2x} \right) dx}$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ और $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को सरल बना सकते हैं:
$\frac{2 + \sin 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{2 + 2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{2(1 + \sin x \cos x)}{2\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} = \sec^2 x + \tan x$.
अब,समाकलन $I = \int e^x (\tan x + \sec^2 x) dx$ हो जाता है।
हम मानक समाकलन रूप $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ को जानते हैं।
यहाँ,$f(x) = \tan x$ और $f'(x) = \sec^2 x$ है।
अतः,$I = e^x \tan x + c$।

(D) हम मानक सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int {{e^{kx}}(k f(x) + f'(x))\,dx = e^{kx} f(x) + c}$.
यहाँ,$k = 2$ और $f(x) = \cos x$ है।
तब $f'(x) = -\sin x$ होगा।
अतः समाकलन $\int {{e^{2x}}(2\cos x - \sin x)\,dx}$ हो जाता है।
सूत्र के साथ तुलना करने पर,हमें $e^{2x} \cos x + c$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $\int {{e^x}[f(x) + f'(x)]\,dx = e^x f(x) + C}$ होता है।
दिया गया समाकलन $I = \int {{e^x}(\sec x + \sec x \tan x)\,dx}$ है।
माना $f(x) = \sec x$,तब $f'(x) = \sec x \tan x$ होगा।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = e^x \sec x + C$।

(C) हमें समाकलन $I = \int \frac{x e^x}{(1 + x)^2} dx$ का मान ज्ञात करना है।
अंश को $(x + 1 - 1)$ के रूप में लिखें:
$I = \int \frac{(x + 1 - 1) e^x}{(1 + x)^2} dx$
भिन्न को अलग करें:
$I = \int e^x \left( \frac{x + 1}{(1 + x)^2} - \frac{1}{(1 + x)^2} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{(1 + x)^2} \right) dx$
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ को याद करें।
यहाँ,$f(x) = \frac{1}{1 + x}$ लें। तब $f'(x) = -\frac{1}{(1 + x)^2}$ होगा।
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = e^x \left( \frac{1}{1 + x} \right) + c = \frac{e^x}{1 + x} + c$.

(A) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)]\,dx = e^x f(x) + c$ के रूप वाले समाकलन का मान $e^x f(x) + c$ होता है।
दिया गया समाकलन $\int e^x [\tan x - \log (\cos x)]\,dx$ है।
माना $f(x) = -\log (\cos x) = \log (\cos x)^{-1} = \log (\sec x)$ है।
तब,$f'(x) = \frac{d}{dx} [\log (\sec x)] = \frac{1}{\sec x} \cdot (\sec x \tan x) = \tan x$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\int e^x [\tan x + \log (\sec x)]\,dx = e^x \log (\sec x) + c$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) माना $I = \int {{e^x}(\sin^2 x + 2\sin x \cos x)} \,dx$
सर्वसमिका $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int {{e^x}(\sin^2 x + \sin 2x)} \,dx$
माना $f(x) = \sin^2 x$. तब $f'(x) = 2\sin x \cos x = \sin 2x$ होगा।
हम जानते हैं कि $\int e^x(f(x) + f'(x)) \,dx = e^x f(x) + c$ होता है।
अतः,$I = e^x \sin^2 x + c$.

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int {{e^{2x}}\frac{{1 + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x}}} \,dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ और $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int {{e^{2x}}\frac{{1 + 2\sin x \cos x}}{{2\cos^2 x}}} \,dx$
$I = \int {{e^{2x}}\left( \frac{1}{2\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \right)} \,dx$
$I = \int {{e^{2x}}\left( \frac{1}{2}\sec^2 x + \tan x \right)} \,dx$
माना $f(x) = \tan x$,तब $f'(x) = \sec^2 x$ है।
यह समाकलन $\int e^{ax} [f(x) + \frac{1}{a}f'(x)] \,dx = \frac{1}{a} e^{ax} f(x) + c$ के रूप में है।
यहाँ $a = 2$ है,इसलिए $I = \frac{1}{2} e^{2x} \tan x + c$।

(A) हम मानक समाकलन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int {e^x [f(x) + f'(x)]\,dx = e^x f(x) + c}$.
दिया गया समाकलन: $I = \int {\frac{{{e^x}(x - 1)}}{{{x^2}}}\;dx}$.
समाकल्य को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करें: $I = \int {e^x \left( {\frac{x}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\,dx} = \int {e^x \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\,dx}$.
माना $f(x) = \frac{1}{x}$. तब $f'(x) = -\frac{1}{{{x^2}}}$.
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = e^x \left( \frac{1}{x} \right) + c = \frac{{{e^x}}}{x} + c$.

(D) हम जानते हैं कि $\int {{e^x} [f(x) + f'(x)] \, dx} = {e^x} f(x) + c$ के रूप वाले समाकलन का मान ${e^x} f(x) + c$ होता है।
दिया गया समाकलन $\int {{e^x} \left[ \frac{1 + x \log x}{x} \right] \, dx}$ है।
इसे $\int {{e^x} \left( \frac{1}{x} + \log x \right) \, dx}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,मान लीजिए $f(x) = \log x$,तो $f'(x) = \frac{1}{x}$ होगा।
इन मानों को मानक सूत्र में रखने पर,हमें $\int {{e^x} [\log x + \frac{1}{x}] \, dx} = {e^x} \log x + c$ प्राप्त होता है।

(C) हम मानक समाकलन सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ का उपयोग करते हैं।
माना $f(x) = \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ है।
अतः,अवकलज $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(\frac{x}{a})) = \frac{1}{\sqrt{1 - (x/a)^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ है।
चूंकि समाकल्य $e^x [f(x) + f'(x)]$ के रूप में है,इसलिए समाकलन $e^x f(x) + c$ होगा।
अतः,$\int e^x [\sin^{-1}(\frac{x}{a}) + \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}] dx = e^x \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c$।

(A) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$.
दिया गया समाकलन $I = \int e^x \frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2} dx$ है।
अंश को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 + 1 = (x^2 - 1) + 2 = (x - 1)(x + 1) + 2$.
अतः,$I = \int e^x \left[ \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)^2} + \frac{2}{(x + 1)^2} \right] dx$.
$I = \int e^x \left[ \frac{x - 1}{x + 1} + \frac{2}{(x + 1)^2} \right] dx$.
मान लीजिए $f(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$.
तब $f'(x) = \frac{(x + 1)(1) - (x - 1)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2}$.
चूंकि समाकलन $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx$ के रूप में है,इसलिए परिणाम $e^x f(x) + c$ है।
अतः,$I = e^x \left( \frac{x - 1}{x + 1} \right) + c$.

(C) हम मानक समाकलन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int {{e^x} \{ f(x) + f'(x) \} \,dx} = {e^x}f(x) + c$.
यहाँ,मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{x}$.
तब,अवकलज $f'(x) = -\frac{1}{{{x^2}}}$ होगा।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int {{e^x} \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} \,dx = {e^x} \left( \frac{1}{x} \right) + c = \frac{{{e^x}}}{x} + c$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) हम जानते हैं कि $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ होता है।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int e^x (\tan x + \sec^2 x) \, dx$.
माना $f(x) = \tan x$,तब $f'(x) = \sec^2 x$ होगा।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = e^x \tan x + c$.

(B) माना $I = \int {{e^x}\left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 - \cos x}}} \right)dx} $.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ और $\sin x = 2\sin(x/2)\cos(x/2)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int {{e^x}\left( {\frac{{1 - 2\sin(x/2)\cos(x/2)}}{{2\sin^2(x/2)}}} \right)dx} $.
$I = \int {{e^x}\left( {\frac{1}{{2\sin^2(x/2)}} - \frac{{2\sin(x/2)\cos(x/2)}}{{2\sin^2(x/2)}}} \right)dx} $.
$I = \int {{e^x}\left( {\frac{1}{2}\csc^2(x/2) - \cot(x/2)} \right)dx} $.
हम जानते हैं कि $\int {{e^x}(f(x) + f'(x))dx} = {e^x}f(x) + C$.
यहाँ,$f(x) = -\cot(x/2)$ लेने पर,$f'(x) = -(-\csc^2(x/2) \cdot 1/2) = \frac{1}{2}\csc^2(x/2)$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = {e^x}(-\cot(x/2)) + C = -{e^x}\cot(x/2) + C$.

(C) हमें समाकलन $I = \int {\frac{{(x + 3){e^x}}}{{{{(x + 4)}^2}}}dx}$ का मान ज्ञात करना है।
अंश $(x + 3)$ को $(x + 4 - 1)$ के रूप में लिखें:
$I = \int {{e^x}\frac{{(x + 4) - 1}}{{{{(x + 4)}^2}}}dx}$
$I = \int {{e^x}\left( {\frac{{x + 4}}{{{{(x + 4)}^2}}} - \frac{1}{{{{(x + 4)}^2}}}} \right)dx}$
$I = \int {{e^x}\left( {\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{{{(x + 4)}^2}}}} \right)dx}$
मानक समाकलन सूत्र को याद करें: $\int {{e^x}(f(x) + f'(x))dx = {e^x}f(x) + c}$।
यहाँ,मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{{x + 4}}$। तब $f'(x) = -\frac{1}{{{{(x + 4)}^2}}}$।
अतः,$I = {e^x}\left( {\frac{1}{{x + 4}}} \right) + c = \frac{{{e^x}}}{{x + 4}} + c$।

(A) हम जानते हैं कि $\int {{e^x}[f(x) + f'(x)]dx = {e^x}f(x) + c}$ होता है।
माना $I = \int {{e^x}{{\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 4}}} \right)}^2}dx} $ है।
वर्ग के अंदर के पद को फिर से लिखने पर: $\frac{{x + 2}}{{x + 4}} = \frac{{x + 4 - 2}}{{x + 4}} = 1 - \frac{2}{{x + 4}}$।
अतः,$I = \int {{e^x}{{\left( {1 - \frac{2}{{x + 4}}} \right)}^2}dx} = \int {{e^x}\left( {1 - \frac{4}{{x + 4}} + \frac{4}{{{{(x + 4)}^2}}}} \right)dx} $ है।
माना $f(x) = 1 - \frac{4}{{x + 4}}$ है। तब $f'(x) = - \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{4}{{x + 4}}} \right) = - 4 \cdot \left( { - \frac{1}{{{{(x + 4)}^2}}}} \right) = \frac{4}{{{{(x + 4)}^2}}}$ है।
इस प्रकार,$I = \int {{e^x}[f(x) + f'(x)]dx = {e^x}f(x) + c} $ है।
$I = {e^x}\left( {1 - \frac{4}{{x + 4}}} \right) + c = {e^x}\left( {\frac{{x + 4 - 4}}{{x + 4}}} \right) + c = {e^x}\left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right) + c$।

(A) हमें समाकलन $I = \int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx$ दिया गया है।
समाकलन के वितरण गुण का उपयोग करके,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int e^x f(x) \, dx + \int e^x f'(x) \, dx$.
अब,पहले समाकलन $\int e^x f(x) \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$f(x)$ को पहला फलन और $e^x$ को दूसरा फलन मानने पर:
$\int e^x f(x) \, dx = f(x) \int e^x \, dx - \int \left( f'(x) \int e^x \, dx \right) \, dx$.
$= f(x) e^x - \int f'(x) e^x \, dx$.
इस मान को $I$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = [f(x) e^x - \int e^x f'(x) \, dx] + \int e^x f'(x) \, dx$.
$I = e^x f(x) + C$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) हम जानते हैं कि $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ होता है।
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int e^x (1 - \cot x + \cot^2 x) \, dx = \int e^x (\csc^2 x - \cot x) \, dx$.
माना $f(x) = -\cot x$ है।
तब $f'(x) = -(-\csc^2 x) = \csc^2 x$ होगा।
मानक सूत्र $\int e^x (f(x) + f'(x)) \, dx = e^x f(x) + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = e^x(-\cot x) + c = -e^x \cot x + c$.

(C) हमें समाकलन $I = \int {e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right)} dx$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos x = 2\cos^2(x/2)$ और $\sin x = 2\sin(x/2)\cos(x/2)$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^x \left[ \frac{1 + 2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\cos^2(x/2)} \right] dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{1}{2\cos^2(x/2)} + \frac{2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\cos^2(x/2)} \right] dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{1}{2}\sec^2(x/2) + \tan(x/2) \right] dx$.
माना $f(x) = \tan(x/2)$ है। तब $f'(x) = \frac{1}{2}\sec^2(x/2)$ होगा।
चूंकि समाकलन $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ के रूप में है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$I = e^x \tan(x/2) + c$.
इसे दिए गए व्यंजक ${e^x}f(x) + c$ के साथ तुलना करने पर,$f(x) = \tan(x/2)$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int {{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}} \left( {\frac{{1 + x + {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)dx$।
${\tan ^{ - 1}}x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = \tan t$ और $dx = \sec^2 t \, dt$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\frac{dx}{1+x^2} = dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int e^t (1 + \tan t + \tan^2 t) dt$
$I = \int e^t (1 + \tan^2 t + \tan t) dt$
चूँकि $1 + \tan^2 t = \sec^2 t$,अतः:
$I = \int e^t (\sec^2 t + \tan t) dt$।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \tan t$ और $f'(t) = \sec^2 t$:
$I = e^t \tan t + C$।
$t = \tan^{-1} x$ वापस रखने पर:
$I = x e^{\tan^{-1} x} + C$।

(C) दिया गया है कि $f(x)$ का प्रतिअवकलज $e^x$ है,इसलिए $f(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$ है।
दिया गया है कि $g(x)$ का प्रतिअवकलज $\cos x$ है,इसलिए $g(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ है।
हमें समाकलन $I = \int f(x) \cos x \, dx + \int g(x) e^x \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
$f(x)$ और $g(x)$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int e^x \cos x \, dx + \int (-\sin x) e^x \, dx$।
$I = \int e^x (\cos x - \sin x) \, dx$।
हम जानते हैं कि मानक समाकलन सूत्र $\int e^x (h(x) + h'(x)) \, dx = e^x h(x) + c$ होता है।
यहाँ,$h(x) = \cos x$ लेने पर,$h'(x) = -\sin x$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = e^x \cos x + c$।

(B) हम मानक समाकलन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c$.
समाकल्य को इस प्रकार लिखें:
$\frac{x - 1}{(x + 1)^3} = \frac{(x + 1) - 2}{(x + 1)^3} = \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{2}{(x + 1)^3}$.
मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{(x + 1)^2}$.
तब $f'(x) = \frac{d}{dx} [(x + 1)^{-2}] = -2(x + 1)^{-3} = -\frac{2}{(x + 1)^3}$.
इस प्रकार,समाकलन बन जाता है:
$\int e^x \left[ \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{2}{(x + 1)^3} \right] \, dx = \int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c$.
$f(x)$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{e^x}{(x + 1)^2} + c$.

(C) हम मानक समाकलन सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{x}$ है।
तब,$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ है।
अतः,समाकलन $\int_1^2 e^x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right) \, dx = \left[ e^x \cdot \frac{1}{x} \right]_1^2$ हो जाता है।
निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$= \left( e^2 \cdot \frac{1}{2} \right) - \left( e^1 \cdot \frac{1}{1} \right) = \frac{e^2}{2} - e$.

(A) हमें समाकलन $I = \int_1^e \frac{e^x}{x}(1 + x \log x) \, dx$ दिया गया है।
समाकल्य का विस्तार करने पर:
$I = \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx + \int_1^e e^x \log x \, dx$।
दूसरे पद $\int_1^e e^x \log x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = \log x$ और $dv = e^x \, dx$।
तब $du = \frac{1}{x} \, dx$ और $v = e^x$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर:
$\int_1^e e^x \log x \, dx = [e^x \log x]_1^e - \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx$।
इस मान को $I$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx + ([e^x \log x]_1^e - \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx)$।
यहाँ $\int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx$ पद कट जाएंगे।
$I = [e^x \log x]_1^e = (e^e \log e - e^1 \log 1)$।
चूँकि $\log e = 1$ और $\log 1 = 0$ है,इसलिए:
$I = e^e(1) - e(0) = e^e$।

(C) माना $I = \int_{\pi/4}^{\pi/2} e^x (\log \sin x + \cot x) \, dx$ है।
गुणधर्म $\int e^x (f(x) + f'(x)) \, dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करते हुए,हम $f(x) = \log \sin x$ लेते हैं।
तब $f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$ होता है।
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = [e^x \log \sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$
$I = e^{\pi/2} \log \sin(\pi/2) - e^{\pi/4} \log \sin(\pi/4)$
चूंकि $\sin(\pi/2) = 1$ और $\log(1) = 0$ है:
$I = e^{\pi/2} \cdot 0 - e^{\pi/4} \log(1/\sqrt{2})$
$I = -e^{\pi/4} \log(2^{-1/2}) = -e^{\pi/4} \cdot (-\frac{1}{2} \log 2) = \frac{1}{2} e^{\pi/4} \log 2$.

(B) माना $I = \int_0^1 \frac{e^x(x - 1)}{(x + 1)^3} \, dx$.
अंश को $(x + 1 - 2)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$I = \int_0^1 \frac{e^x(x + 1 - 2)}{(x + 1)^3} \, dx = \int_0^1 \frac{e^x}{(x + 1)^2} \, dx - 2 \int_0^1 \frac{e^x}{(x + 1)^3} \, dx$.
हम जानते हैं कि $\int e^x (f(x) + f'(x)) \, dx = e^x f(x) + C$.
यदि हम $f(x) = \frac{1}{(x + 1)^2}$ लें,तो $f'(x) = -\frac{2}{(x + 1)^3}$ होगा।
अतः,$\int e^x \left( \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{2}{(x + 1)^3} \right) \, dx = \frac{e^x}{(x + 1)^2} + C$.
निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$\left[ \frac{e^x}{(x + 1)^2} \right]_0^1 = \frac{e^1}{(1 + 1)^2} - \frac{e^0}{(0 + 1)^2} = \frac{e}{4} - 1$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = e^x(\sin x + \cos x)$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$y = \int e^x(\sin x + \cos x) dx$ प्राप्त होता है।
हम मानक समाकलन सूत्र $\int e^x(f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ जानते हैं।
यहाँ,यदि $f(x) = \sin x$ है,तो $f'(x) = \cos x$ होगा।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = e^x \sin x + c$ प्राप्त होता है।

(D) माना $I = \int \left( {1 + x - \frac{1}{x}} \right){e^{x + \frac{1}{x}}} dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \left( {e^{x + \frac{1}{x}} + x \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) {e^{x + \frac{1}{x}}}} \right) dx$.
माना $f(x) = x e^{x + \frac{1}{x}}$.
तब,गुणन नियम के अनुसार,$f'(x) = 1 \cdot e^{x + \frac{1}{x}} + x \cdot e^{x + \frac{1}{x}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)$.
$f'(x) = e^{x + \frac{1}{x}} + x \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) e^{x + \frac{1}{x}}$.
यह समाकल्य से मेल खाता है।
अतः,$\int f'(x) dx = f(x) + C$.
$I = x e^{x + \frac{1}{x}} + C$.

(A) माना $I = \int {{e^{2x}}\left( {\frac{{\sin 4x - 2}}{{1 - \cos 4x}}} \right)} \,dx$.
सर्वसमिकाओं $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$ और $1 - \cos 4x = 2 \sin^2 2x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int {{e^{2x}}\left( {\frac{{2 \sin 2x \cos 2x - 2}}{{2 \sin^2 2x}}} \right)} \,dx$
$I = \int {{e^{2x}}\left( {\frac{{\sin 2x \cos 2x - 1}}{{\sin^2 2x}}} \right)} \,dx$
$I = \int {{e^{2x}}\left( {\cot 2x - \csc^2 2x} \right)} \,dx$
माना $f(x) = \cot 2x$,तब $f'(x) = -2 \csc^2 2x$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int e^{2x} \cot 2x \, dx - \int e^{2x} \csc^2 2x \, dx$.
$\int e^{2x} \cot 2x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cot 2x - \int \frac{1}{2} e^{2x} (-2 \csc^2 2x) \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cot 2x + \int e^{2x} \csc^2 2x \, dx$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \left( \frac{1}{2} e^{2x} \cot 2x + \int e^{2x} \csc^2 2x \, dx \right) - \int e^{2x} \csc^2 2x \, dx + c$
$I = \frac{1}{2} e^{2x} \cot 2x + c$.

(A) हम मानक समाकलन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int {{e^{ax}}[af(x) + f'(x)]\,dx = {e^{ax}}f(x) + C}$।
यहाँ,$a = 2$ और $f(x) = \sin 3x$ है।
अतः,$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin 3x) = 3\cos 3x$ होता है।
दिया गया समाकलन $\int {{e^{2x}}(2\sin 3x + 3\cos 3x)\,dx}$ है।
सूत्र के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = \sin 3x$ और $f'(x) = 3\cos 3x$ प्राप्त होता है।
इसलिए,समाकलन का मान ${e^{2x}}\sin 3x + C$ है।

(C) माना $I = \int_{0}^{\infty} e^{-2x} (\sin 2x + \cos 2x) dx$.
हम मानक सूत्र $\int e^{ax} (f(x) + \frac{1}{a} f'(x)) dx = \frac{1}{a} e^{ax} f(x) + C$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ $a = -2$ और $f(x) = \sin 2x$ है,इसलिए $f'(x) = 2 \cos 2x$ है।
अतः,समाकल $\left[ \frac{1}{-2} e^{-2x} \sin 2x \right]_{0}^{\infty}$ होगा।
सीमाओं को लागू करने पर:
जब $x \to \infty$,तो $e^{-2x} \to 0$,इसलिए पद $0$ हो जाता है।
जब $x = 0$,तो $\sin(0) = 0$,इसलिए पद $0$ हो जाता है।
सीधे गणना करने पर:
$\int_{0}^{\infty} e^{-2x} \sin 2x dx = 1/4$ और $\int_{0}^{\infty} e^{-2x} \cos 2x dx = 1/4$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = 1/4 + 1/4 = 1/2$।

(A) माना $I = \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} (x + \sqrt{x}) \, dx$.
$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$,जिससे $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int e^t (t^2 + t) (2 dt) = 2 \int e^t (t^2 + t) \, dt$.
सूत्र $\int e^t [f(t) + f'(t)] \, dt = e^t f(t) + C$ का उपयोग करने पर,
$2 \int e^t (t^2 + t) \, dt = 2 e^t (t^2 - t + 1) + C$.
$t = \sqrt{x}$ वापस रखने पर:
$I = 2 e^{\sqrt{x}} (x - \sqrt{x} + 1) + C$.

(C) दिया गया समाकलन $I = \int {\frac{{{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}}}{{(1 + {x^2})}}\,\,\left[ {{{\left( {{{\sec }^{ - 1}}\,\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}\,\, + \,\,{{\cos }^{ - 1}}\,\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)} \right]} \,\,\,dx$ है।
सबसे पहले,त्रिकोणमितीय पदों को सरल करने पर:
$x > 0$ के लिए,माना $\tan^{-1}x = \theta$,तो $x = \tan\theta$।
$\sec^{-1}\sqrt{1+x^2} = \sec^{-1}(\sec\theta) = \theta = \tan^{-1}x$।
साथ ही,$\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1}x$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{e^{\tan^{-1}x}}{1+x^2} [(\tan^{-1}x)^2 + 2\tan^{-1}x] dx$।
माना $t = \tan^{-1}x$,तो $dt = \frac{1}{1+x^2} dx$।
$I = \int e^t (t^2 + 2t) dt$।
सूत्र $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = t^2$ और $f'(t) = 2t$:
$I = e^t \cdot t^2 + C = e^{\tan^{-1}x} (\tan^{-1}x)^2 + C$।

(A) माना $I = \int {\frac{{{e^{\sqrt x }}}}{{\sqrt x }}} \left( {x + \sqrt x } \right)dx$.
$\sqrt x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{{2\sqrt x }}dx = dt$,जिसका अर्थ है $\frac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int {{e^t}} (t^2 + t) (2dt) = 2 \int {{e^t}} (t^2 + t) dt$.
हम जानते हैं कि $\int {{e^t}} (f(t) + f'(t)) dt = {e^t}f(t) + C$.
यहाँ,$I = 2 \int {{e^t}} (t^2 + t) dt$ को हल करने पर:
$I = 2 [e^t(t^2 - t + 1)] + C$.
$t = \sqrt x$ रखने पर:
$I = 2{e^{\sqrt x }}(x - \sqrt x + 1) + C$.

(A) हमें $f(x) = \frac{2\sin^2 x - 1}{\cos x} + \frac{\cos x(2\sin x + 1)}{1 + \sin x}$ दिया गया है।
पद को सरल करने पर: $f(x) = \frac{2\sin^2 x - 1}{\cos x} + \frac{\cos x(2\sin x + 1)(1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \frac{2\sin^2 x - 1}{\cos x} + \frac{\cos x(2\sin x - 2\sin^2 x + 1 - \sin x)}{\cos^2 x} = \frac{2\sin^2 x - 1 + \sin x - 2\sin^2 x + 1}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.
अतः,$f(x) = \tan x$ और $f'(x) = \sec^2 x$ प्राप्त होता है।
समाकलन $\int e^x(\tan x + \sec^2 x) dx$ है।
सूत्र $\int e^x(f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ का उपयोग करने पर,हमें $e^x \tan x + c$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$ होता है।
दिया गया समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 - \sin x = 1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^x \left( \frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} - \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2} \csc^2 \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2} \right) dx$
माना $f(x) = - \cot \frac{x}{2}$ है। तब $f'(x) = - \left( - \csc^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \csc^2 \frac{x}{2}$ होगा।
अतः,$I = \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C = -e^x \cot \frac{x}{2} + C$।

(D) माना $I = \int_1^2 e^{2x} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} \right) dx$ है।
हम मानक समाकलन रूप $\int e^{ax} [f(x) + \frac{f'(x)}{a}] dx = \frac{1}{a} e^{ax} f(x) + C$ जानते हैं।
यहाँ,$f(x) = \frac{1}{x}$ लें। तब $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ होगा।
दिए गए समाकलन के साथ तुलना करने पर,$a = 2$ है।
अतः,$\int e^{2x} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} \right) dx = \frac{1}{2} e^{2x} \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{e^{2x}}{2x}$।
अब,$1$ से $2$ तक की सीमाएँ लागू करने पर:
$I = \left[ \frac{e^{2x}}{2x} \right]_1^2 = \frac{e^{2(2)}}{2(2)} - \frac{e^{2(1)}}{2(1)} = \frac{e^4}{4} - \frac{e^2}{2}$।
इसे $\frac{e^4 - 2e^2}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c$ होता है।
दिया गया समाकलन $I = \int e^x \frac{x - 3}{(x - 1)^3} \, dx$ है।
अंश को $(x - 1) - 2$ के रूप में लिखने पर:
$I = \int e^x \frac{(x - 1) - 2}{(x - 1)^3} \, dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{x - 1}{(x - 1)^3} - \frac{2}{(x - 1)^3} \right] \, dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{1}{(x - 1)^2} - \frac{2}{(x - 1)^3} \right] \, dx$
माना $f(x) = \frac{1}{(x - 1)^2} = (x - 1)^{-2}$ है।
तब $f'(x) = -2(x - 1)^{-3} = -\frac{2}{(x - 1)^3}$ होगा।
चूंकि यह समाकलन $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx$ के रूप में है,इसलिए परिणाम $e^x f(x) + c$ होगा।
अतः,$I = \frac{e^x}{(x - 1)^2} + c$।

(A) दिया गया समाकलन $I = \int e^{\sin x} (\sin x + \sec^2 x) \, dx$ है।
हम जानते हैं कि यदि $f(x) = \tan x$ है,तो $f'(x) = \sec^2 x$ होगा।
यहाँ,$\frac{d}{dx} [e^{\sin x} \tan x] = e^{\sin x} \cdot \cos x \cdot \tan x + e^{\sin x} \cdot \sec^2 x$ है।
चूँकि $\cos x \cdot \tan x = \sin x$,इसलिए $\frac{d}{dx} [e^{\sin x} \tan x] = e^{\sin x} (\sin x + \sec^2 x)$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकलन का मान $e^{\sin x} \tan x + C$ है।

(B) दिया गया समाकलन: $I = \int e^{x^2+x}(2x^2+x+1) dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int e^{x^2+x} [x(2x+1) + 1] dx$.
माना $g(x) = x$ और $h(x) = x^2+x$. तब $h'(x) = 2x+1$.
समाकलन $\int e^{h(x)} [g(x)h'(x) + g'(x)] dx$ के रूप में है।
सूत्र $\int e^{h(x)} [g(x)h'(x) + g'(x)] dx = g(x)e^{h(x)} + c$ का उपयोग करने पर:
$I = x e^{x^2+x} + c$.
अतः $f(x) = x$.
दिए गए समाधान के अनुसार $m = -1/e$ लेने पर,
$-\frac{1}{m} = e \approx 2.718$.
इसलिए $[2.718] = 2$.

(A) हमें दिया गया है कि $\int e^{x^2} \left( 2 - \frac{1}{x^2} \right) dx = e^{x^2} f(x) + C$.
माना $I = \int e^{x^2} \left( 2 - \frac{1}{x^2} \right) dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$e^{x^2} \left( 2 - \frac{1}{x^2} \right) = e^{x^2} \left( 2x \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right)$.
यदि हम $f(x) = \frac{1}{x}$ लें,तो $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ होगा।
अब,$\frac{d}{dx} [e^{x^2} f(x)] = e^{x^2} (2x) f(x) + e^{x^2} f'(x) = e^{x^2} [2x f(x) + f'(x)]$.
दिए गए समीकरण से तुलना करने पर,$2x f(x) + f'(x) = 2 - \frac{1}{x^2}$.
यदि $f(x) = \frac{1}{x}$ है,तो $2x(\frac{1}{x}) + (-\frac{1}{x^2}) = 2 - \frac{1}{x^2}$,जो सत्य है।
अतः,$f(x) = \frac{1}{x} + k$.
चूंकि $f(\frac{1}{2}) = 2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{1/2} + k = 2 \implies 2 + k = 2 \implies k = 0$.
इस प्रकार,$f(x) = \frac{1}{x}$.
अतः,$f(1) = \frac{1}{1} = 1$.

(B) माना $I = \int {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + 1}}} \cdot {e^{{{\cot }^{ - 1}}x}}dx$ है।
$x = \cot t$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\csc^2 t \, dt$ प्राप्त होता है।
चूंकि $1 + \cot^2 t = \csc^2 t$,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int {\frac{{\cot^2 t - \cot t + 1}}{{\csc^2 t}}} \cdot {e^t} \cdot (-\csc^2 t) \, dt$
$I = - \int {e^t} (\cot^2 t - \cot t + 1) \, dt$
$I = - \int {e^t} (\csc^2 t - \cot t) \, dt$
$I = \int {e^t} (\cot t - \csc^2 t) \, dt$
सूत्र $\int {e^t} (f(t) + f'(t)) \, dt = {e^t} f(t) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = \cot t$ और $f'(t) = -\csc^2 t$ है:
$I = {e^t} \cot t + C$
$t = \cot^{-1} x$ वापस रखने पर:
$I = {e^{\cot^{-1} x}} \cdot x + C$
इसे $A(x) {e^{\cot^{-1} x}} + C$ के साथ तुलना करने पर,$A(x) = x$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समाकलन समीकरण: $\int e^{\sec x} (\sec x + \tan x f(x) + \sec x \tan x + \sec^2 x) dx = e^{\sec x} f(x) + C$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$e^{\sec x} (\sec x + \tan x f(x) + \sec x \tan x + \sec^2 x) = \frac{d}{dx} (e^{\sec x} f(x))$.
दाहिनी ओर गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$e^{\sec x} (\sec x + \tan x f(x) + \sec x \tan x + \sec^2 x) = e^{\sec x} \cdot \sec x \tan x \cdot f(x) + e^{\sec x} f'(x)$.
दोनों पक्षों को $e^{\sec x}$ से विभाजित करने पर:
$\sec x + \tan x f(x) + \sec x \tan x + \sec^2 x = \sec x \tan x f(x) + f'(x)$.
$f'(x)$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$f'(x) = \sec x + \sec x \tan x + \sec^2 x + \tan x f(x) - \sec x \tan x f(x)$.
यदि हम $f(x) = \sec x + \tan x$ मानते हैं,तो $f'(x) = \sec x \tan x + \sec^2 x$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर यह सिद्ध होता है। अतः,$f(x) = \sec x + \tan x + c$.
विकल्पों को देखते हुए,$f(x) = \sec x + \tan x + \frac{1}{2}$ एक सही विकल्प है।

(A) हमें समाकलन $I = \int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}\right) e^{2 x} d x$ का मान ज्ञात करना है।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए:
$I = \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{x} dx - \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{2x^2} dx$.
प्रथम पद के लिए $u = \frac{1}{x}$ और $dv = e^{2x} dx$ लेने पर:
$du = -\frac{1}{x^2} dx$ और $v = \frac{e^{2x}}{2}$.
अतः,$\int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{x} dx = \left[ \frac{e^{2x}}{2x} \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{2} \left(-\frac{1}{x^2}\right) dx = \left[ \frac{e^{2x}}{2x} \right]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{2x^2} dx$.
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर:
$I = \left[ \frac{e^{2x}}{2x} \right]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{2x^2} dx - \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{2x^2} dx = \left[ \frac{e^{2x}}{2x} \right]_{1}^{2}$.
$I = \frac{e^4}{4} - \frac{e^2}{2} = \frac{e^4 - 2e^2}{4}$.

(D) माना $I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} e^{x}\left(\frac{1-\sin x}{1-\cos x}\right) d x$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1-\sin x = 1-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1-\cos x = 2 \sin^{2} \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} e^{x} \left( \frac{1-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^{2} \frac{x}{2}} \right) d x$
$I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} e^{x} \left( \frac{1}{2} \csc^{2} \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2} \right) d x$
माना $f(x) = -\cot \frac{x}{2}$. तब $f'(x) = -(-\frac{1}{2} \csc^{2} \frac{x}{2}) = \frac{1}{2} \csc^{2} \frac{x}{2}$.
चूंकि $\int e^{x} (f(x) + f'(x)) d x = e^{x} f(x) + C$,इसलिए:
$I = \left[ e^{x} (-\cot \frac{x}{2}) \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}$
$I = -\left[ e^{\pi} \cot \frac{\pi}{2} - e^{\frac{\pi}{2}} \cot \frac{\pi}{4} \right]$
चूंकि $\cot \frac{\pi}{2} = 0$ और $\cot \frac{\pi}{4} = 1$:
$I = -\left[ e^{\pi} (0) - e^{\frac{\pi}{2}} (1) \right] = e^{\frac{\pi}{2}}$.

(A) हमारे पास $I = \int e^{x} \left( \tan^{-1} x + \frac{1}{1+x^{2}} \right) dx$ है।
मान लीजिए $f(x) = \tan^{-1} x$ है।
तब,इसका अवकलज $f'(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$ है।
हम जानते हैं कि $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$ के रूप वाले समाकलन का मान $e^{x} f(x) + C$ होता है।
अपने समाकलन की तुलना इस मानक रूप से करने पर,हमें $I = e^{x} \tan^{-1} x + C$ प्राप्त होता है।

(A) हमारे पास $I = \int \frac{(x^{2}+1) e^{x}}{(x+1)^{2}} dx = \int e^{x} \left[ \frac{x^{2}-1+2}{(x+1)^{2}} \right] dx$ है।
$= \int e^{x} \left[ \frac{x^{2}-1}{(x+1)^{2}} + \frac{2}{(x+1)^{2}} \right] dx = \int e^{x} \left[ \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^{2}} + \frac{2}{(x+1)^{2}} \right] dx$
$= \int e^{x} \left[ \frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^{2}} \right] dx$
माना $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ है। तब,$f'(x) = \frac{(1)(x+1) - (x-1)(1)}{(x+1)^{2}} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^{2}} = \frac{2}{(x+1)^{2}}$ है।
चूँकि समाकलन $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$ के रूप में है,
अतः हमें $I = e^{x} \left( \frac{x-1}{x+1} \right) + C$ प्राप्त होता है।