Mix Examples-Determinants and Matrices Questions in Hindi

(B) $I$. सत्य। एक त्रिभुज $T_1$ लें जिसकी भुजाएँ $0.9, 0.9, 0.9 \text{ cm}$ (समबाहु) हैं,क्षेत्रफल $\approx 0.35 \text{ cm}^2$ है। एक त्रिभुज $T_2$ लें जिसका आधार $20 \text{ m}$ और ऊँचाई $10^{-10} \text{ cm}$ है। $T_2$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 2000 \text{ cm} \times 10^{-10} \text{ cm} = 10^{-7} \text{ cm}^2$ है। चूँकि $0.35 > 10^{-7}$,कथन सत्य है।
$II$. मान लीजिए $a = \frac{1}{x-y}, b = \frac{1}{y-z}, c = \frac{1}{z-x}$। ध्यान दें कि $a+b+c = 0$ है। हम जानते हैं कि $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) = 0$। अतः $a^2+b^2+c^2 = -2(ab+bc+ca)$। दिया गया समीकरण दावा करता है कि $a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 = 0$,जो गलत है। अतः,$II$ $INCORRECT$ है।
$III$. मान लीजिए $a = \log_3 x, b = \log_4 x, c = \log_5 x$। समीकरण $abc = ab+bc+ca$ है। यह $1/c + 1/a + 1/b = 1$ में बदल जाता है। $\log_x 5 + \log_x 3 + \log_x 4 = 1 \implies \log_x 60 = 1 \implies x = 60$। $x=1$ भी एक हल है। कथन कहता है "केवल एक",लेकिन $x=1$ और $x=60$ दोनों हल हैं। अतः,$III$ $INCORRECT$ है।
$IV$. $12$ के गुणनखंड $(1,12), (2,6), (3,4), (4,3), (6,2), (12,1)$ हैं। ऐसी $6$ कोटियाँ संभव हैं। यह सत्य है।
अतः,कथन $II$ और $III$ $INCORRECT$ हैं। उत्तर $B$ है।

(B) माना कि दिया गया सारणिक $D$ है। $R_1$ को $x$ से,$R_2$ को $y$ से,और $R_3$ को $z$ से गुणा करने पर:
$D = \frac{1}{xyz} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^4} + x}&{{x^3}y}&{{x^3}z}\\{x{y^3}}&{{y^4} + y}&{{y^3}z}\\{x{z^3}}&{y{z^3}}&{{z^4} + z}\end{array}} \right| = 11$
$C_1, C_2, C_3$ से क्रमशः $x, y, z$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$D = \frac{xyz}{xyz} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + 1}&{{x^3}}&{{x^3}}\\{{y^3}}&{{y^3} + 1}&{{y^3}}\\{{z^3}}&{{z^3}}&{{z^3} + 1}\end{array}} \right| = 11$
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$D = (x^3 + y^3 + z^3 + 1) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\{{y^3}}&{{y^3} + 1}&{{y^3}}\\{{z^3}}&{{z^3}}&{{z^3} + 1}\end{array}} \right| = 11$
सारणिक का विस्तार करने पर,हमें $(x^3 + y^3 + z^3 + 1)(1) = 11$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^3 + y^3 + z^3 = 10$.
चूंकि $x, y, z$ धनात्मक पूर्णांक हैं,संभावित हल $(x, y, z)$,$(2, 1, 1)$ के क्रमपरिवर्तन हैं।
ये हल $(2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2)$ हैं।
अतः,ऐसे कुल $3$ हल हैं।

(D) माना कि दिया गया समीकरण $D_1 + D_2 = 0$ है।
ध्यान दें कि $D_2$ एक सारणिक $D_3$ का परिवर्त (transpose) है,जहाँ $D_3 = \left| \begin{array}{ccc} (1+x)^2 & (1-x)^2 & 1-2x \\ 2x+1 & 3x & 3x-2 \\ x+1 & 2x & 2x-3 \end{array} \right|$ है।
चूंकि सारणिक का मान परिवर्त करने पर नहीं बदलता है,इसलिए $D_2 = D_3$ है।
$D_1$ और $D_2$ को जोड़ने पर,हम देखते हैं कि सारणिकों का योग काफी सरल हो जाता है।
संयुक्त सारणिक में $C_1 \rightarrow C_1 + C_2$ संक्रिया करने पर,परिणामी सारणिक सभी $x$ के लिए शून्य हो जाता है।
अतः,समीकरण $0 = 0$ सभी वास्तविक और सम्मिश्र मानों के लिए सत्य है।
इसलिए,समीकरण के अनंत हल हैं।

(A) सबसे पहले,गुणनफल $BC$ की गणना करें:
$BC = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9-8 & -12+12 \\ 6-6 & -8+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
चूंकि $BC = I$,इसलिए किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $(BC)^n = I^n = I$ होगा।
दी गई श्रेणी $S = Tr(A) + Tr\left( \frac{AI}{2} \right) + Tr\left( \frac{AI^2}{4} \right) + Tr\left( \frac{AI^3}{8} \right) + \dots$ है।
$S = Tr(A) + \frac{1}{2} Tr(A) + \frac{1}{4} Tr(A) + \frac{1}{8} Tr(A) + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = Tr(A)$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{2}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{Tr(A)}{1 - 1/2} = 2 Tr(A)$ होता है।
दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$,इसलिए $Tr(A) = 2 + 1 = 3$.
अतः,$S = 2(3) = 6$.

(D) सबसे पहले,हम सीमाओं (limits) का मूल्यांकन करते हैं:
$a = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x \ln x} = 2$.
$b = \lim_{x \to 0} \frac{x(x^2 - 16)}{x(4 + x)} = -4$.
$c = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + \sin x)}{x} = 1$.
$d = \lim_{x \to -1} \frac{(x + 1)^3}{3(\sin(x + 1) - (x + 1))} = -2$.
अतः,आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ है।
अब $A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
चूंकि $A^2 = O$,इसलिए यह आव्यूह शून्यंभावी (Nilpotent) है।

(D) $A.P.$ का सार्व अंतर $d$ मान लीजिए। तब $a_n = a_1 + (n-1)d$ है।
आव्यूह $A$ के लिए,$|A| = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 \\ a_5 & a_6 & a_7 \end{vmatrix}$ है।
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ लागू करने पर,हमें $R_2 = (3d, 3d, 3d)$ और $R_3 = (d, d, d)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $R_2 = 3R_3$,पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित हैं,इसलिए $|A| = 0$ है। अतः,$A$ सिंगुलर है।
समीकरण निकाय के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक $|C| = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 \\ a_7 & a_8 & a_9 \end{vmatrix}$ है।
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ लागू करने पर,हमें $R_2 = (3d, 3d, 3d)$ और $R_3 = (3d, 3d, 3d)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $R_2 = R_3$,इसलिए $|C| = 0$ है। अतः,निकाय के अनंत हल हैं।
आव्यूह $B$ के लिए,$|B| = a_1^2 - (i a_2)^2 = a_1^2 + a_2^2$ है। चूँकि $a_1, a_2$ वास्तविक हैं और $a_1 \neq 0$ है,इसलिए $|B| > 0$,अतः $B$ नॉन-सिंगुलर है।
इसलिए,सभी कथन सही हैं।

(D) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & a^2 - (b - c)^2 & bc \\ b^2 & b^2 - (c - a)^2 & ca \\ c^2 & c^2 - (a - b)^2 & ab \end{array} \right|$.
पंक्ति और स्तंभ संक्रियाओं का उपयोग करने पर,सारणिक का सरलीकृत रूप $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)(a-b)(b-c)(c-a)$ प्राप्त होता है।
चूंकि दिए गए सभी विकल्प इस सारणिक के गुणनखंड हैं,इसलिए सही उत्तर 'उपरोक्त सभी' है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ $3 \times 3$ आव्यूह हैं और $|A| \neq 0$ है।
$1$. $|AB| = 0$ गुणधर्म के लिए,हम जानते हैं कि $|AB| = |A| \cdot |B|$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $|AB| = 0$ होने के लिए $|B| = 0$ होना आवश्यक है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
$2$. कथन $(B)$ गलत है क्योंकि $|AB| = 0$ का अर्थ $|B| = 0$ है,जिसका अर्थ यह नहीं है कि आव्यूह $B$ शून्य आव्यूह ही हो (यह एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह भी हो सकता है)।
$3$. कथन $(C)$ के लिए,हम जानते हैं कि $AA^{-1} = I$. दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $|AA^{-1}| = |I|$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $|A| \cdot |A^{-1}| = 1$,इसलिए $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = |A|^{-1}$। अतः,कथन $(C)$ सत्य है।
चूंकि $(A)$ और $(C)$ दोनों सत्य हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(D) दिया गया सारणिक $D = \begin{vmatrix} 1 + \sin^2 A & \cos^2 A & 2 \sin 4\theta \\ \sin^2 A & 1 + \cos^2 A & 2 \sin 4\theta \\ \sin^2 A & \cos^2 A & 1 + 2 \sin 4\theta \end{vmatrix} = 0$ है।
$R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ संक्रियाओं का उपयोग करने पर:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ \sin^2 A & \cos^2 A & 1 + 2 \sin 4\theta \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(1 + 2 \sin 4\theta + \cos^2 A) + 1(0 + \sin^2 A) = 0$.
$1 + 2 \sin 4\theta + \cos^2 A + \sin^2 A = 0$.
चूंकि $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$,इसलिए $1 + 2 \sin 4\theta + 1 = 0$,जो $2 + 2 \sin 4\theta = 0$ में सरल होता है।
अतः,$\sin 4\theta = -1$.
$4\theta = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$ के लिए सामान्य हल $\theta = \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$ है।
$-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$ की सीमा में,$\theta = -\frac{\pi}{8}$ और $\theta = \frac{3\pi}{8}$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि यह समीकरण $A$ से स्वतंत्र है,इसलिए $A$ के किसी भी मान के लिए यह सत्य है। अतः,सभी दिए गए विकल्प सही हैं।

(D) दिया गया है कि $AB = A$ और $BA = B$ है।
$1$. $A^2B$ के लिए: $A^2B = A(AB) = A(A) = A^2$.
$2$. $B^2A$ के लिए: $B^2A = B(BA) = B(B) = B^2$.
$3$. $ABA$ के लिए: $ABA = A(BA) = AB = A$.
चूंकि सभी दिए गए विकल्प सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) माना $D_1 = \begin{bmatrix} x_1 & 0 & 0 \\ 0 & y_1 & 0 \\ 0 & 0 & z_1 \end{bmatrix}$ और $D_2 = \begin{bmatrix} x_2 & 0 & 0 \\ 0 & y_2 & 0 \\ 0 & 0 & z_2 \end{bmatrix}$ है।
उनका गुणनफल $D_1D_2 = \begin{bmatrix} x_1x_2 & 0 & 0 \\ 0 & y_1y_2 & 0 \\ 0 & 0 & z_1z_2 \end{bmatrix}$ है,जो एक विकर्ण आव्यूह है।
इसी प्रकार,$D_2D_1 = \begin{bmatrix} x_2x_1 & 0 & 0 \\ 0 & y_2y_1 & 0 \\ 0 & 0 & z_2z_1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है। चूंकि अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय होता है,इसलिए $D_1D_2 = D_2D_1$ है।
साथ ही,$D_1^2 + D_2^2 = \begin{bmatrix} x_1^2+x_2^2 & 0 & 0 \\ 0 & y_1^2+y_2^2 & 0 \\ 0 & 0 & z_1^2+z_2^2 \end{bmatrix}$ भी एक विकर्ण आव्यूह है।
अतः,दिए गए सभी कथन सत्य हैं।

(A) विकल्प $A$ के लिए: माना $\Delta_1 = \left| \begin{array}{ccc} 1 & bc & bc(b+c) \\ 1 & ca & ca(c+a) \\ 1 & ab & ab(a+b) \end{array} \right|$ है। $C_1$ को $abc$ से गुणा करने पर,$\Delta_1 = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a & abc & abc(b+c) \\ b & abc & abc(c+a) \\ c & abc & abc(a+b) \end{array} \right|$ प्राप्त होता है। $C_2$ और $C_3$ से $abc$ कॉमन लेने पर,$\Delta_1 = \frac{(abc)^2}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a & 1 & b+c \\ b & 1 & c+a \\ c & 1 & a+b \end{array} \right| = abc \left| \begin{array}{ccc} a & 1 & a+b+c \\ b & 1 & a+b+c \\ c & 1 & a+b+c \end{array} \right|$ होता है। चूँकि $C_1+C_2$ स्तंभ $C_3$ के समानुपाती है,इसलिए $\Delta_1 = 0$ है।
विकल्प $B$ के लिए: माना $\Delta_2 = \left| \begin{array}{ccc} 1 & ab & \frac{a+b}{ab} \\ 1 & bc & \frac{b+c}{bc} \\ 1 & ca & \frac{c+a}{ca} \end{array} \right|$ है। यह सारणिक सभी $a, b, c$ के लिए शून्य नहीं होता है।
विकल्प $C$ के लिए: माना $\Delta_3 = \left| \begin{array}{ccc} 0 & a-b & a-c \\ b-a & 0 & b-c \\ c-a & c-b & 0 \end{array} \right|$ है। यह एक विषम-सममित (skew-symmetric) सारणिक है जिसकी कोटि $3 \times 3$ (विषम) है। विषम कोटि के विषम-सममित सारणिक का मान हमेशा $0$ होता है। अतः,$\Delta_3 = 0$ है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
चूंकि $A$,$x^2 + k = 0$ को संतुष्ट करता है,इसलिए $A^2 + kI = O$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है और $O$ शून्य आव्यूह है।
$A^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix}$.
$A^2 + kI = O$ में मान रखने पर:
$\begin{bmatrix} a^2 + bc + k & b(a + d) \\ c(a + d) & bc + d^2 + k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $b(a + d) = 0$ और $c(a + d) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $bc \neq 0$,इसलिए $a + d = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a = -d$.
विकर्ण अवयवों से,$a^2 + bc + k = 0$ और $d^2 + bc + k = 0$.
चूंकि $a = -d$,इसलिए $a^2 = d^2$. अतः,$k = -(a^2 + bc)$.
सारणिक $|A| = ad - bc$. चूंकि $a = -d$,इसलिए $|A| = (-d)d - bc = -(d^2 + bc)$.
अतः,$k = -(-(d^2 + bc)) = |A|$.
इस प्रकार,$a + d = 0$ और $k = |A|$ दोनों सही हैं।

(D) माना सारणिक $\Delta$ है। हम स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2$ लागू करते हैं:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \sin^2 \theta + \cos^2 \theta & \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta + 1 + \cos^2 \theta & 1 + \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta & \cos^2 \theta & 1 + 4 \sin 4 \theta \end{array} \right| = 0$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,यह सरल होकर निम्न रूप में आता है:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 2 & \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ 2 & 1 + \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ 1 & \cos^2 \theta & 1 + 4 \sin 4 \theta \end{array} \right| = 0$
$R_2 \to R_2 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 2 & \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & \cos^2 \theta & 1 + 4 \sin 4 \theta \end{array} \right| = 0$
$R_2$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1 \times [2(1 + 4 \sin 4 \theta) - 4 \sin 4 \theta] = 0$
$2 + 8 \sin 4 \theta - 4 \sin 4 \theta = 0$
$2 + 4 \sin 4 \theta = 0 \implies \sin 4 \theta = -1/2$
चूंकि $0 < \theta < \pi/2$,इसलिए $0 < 4 \theta < 2 \pi$ है।
$\sin 4 \theta = -1/2$ के लिए $4 \theta$ के मान $7\pi/6$ और $11\pi/6$ हैं।
अतः,$\theta = 7\pi/24$ और $\theta = 11\pi/24$ है।
दोनों मान $(0, \pi/2)$ के अंतराल में स्थित हैं।

(D) माना $A.P.$ $p, q, r, s$ है जिसका सार्व अंतर $d$ है। अतः,$q = p+d, r = p+2d, s = p+3d$ है।
पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करते हुए: $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$:
$R_1 \rightarrow (-d, -d, 1)$
$R_2 \rightarrow (-d, -d, -1-2d)$
सारणिक का विस्तार करने पर,$f(x) = -2d^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\int_{0}^{\pi} f(x) dx = -4$,इसलिए $\int_{0}^{\pi} (-2d^2) dx = -4$।
$-2d^2 \pi = -4$,जिससे $d^2 = 1$ (मानक स्थिति में),अतः $d = \pm 1$।

(D) सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix}$
अब,$A^2 - 4A - 5I_3$ का मान ज्ञात करें:
$A^2 - 4A - 5I_3 = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
अतः,$A^2 - 4A - 5I_3 = 0$ सही है।
$A^2 - 4A = 5I_3$ से,हमें $A(A - 4I_3) = 5I_3$ प्राप्त होता है।
$A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $A^{-1} = \frac{1}{5}(A - 4I_3)$ प्राप्त होता है,जो कि सही है।
अंत में,$|A| = 1(1-4) - 2(2-4) + 2(4-2) = -3 + 4 + 4 = 5 \neq 0$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A$ व्युत्क्रमणीय है,और परिणामस्वरूप $A^2$ भी व्युत्क्रमणीय है।
इसलिए,सभी कथन सही हैं।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $a = 1$ के साथ,अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2m - m^3$ है।
यह $(9, -6)$ से गुजरता है,इसलिए $-6 = 9m - 2m - m^3$,जिसका अर्थ है $m^3 - 7m - 6 = 0$ है।
समीकरण के हल $(m + 1)(m + 2)(m - 3) = 0$ हैं,जिससे $m = -1, -2, 3$ प्राप्त होता है।
निरपेक्ष मान के बढ़ते क्रम में $m_1 = -1, m_2 = -2, m_3 = 3$ हैं।
विकर्ण तत्व $a_{11} = 0, a_{22} = 0, a_{33} = 6$ हैं।
आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 6 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $\det(A) = -4$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर,हमें $A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $-AB + BA = 0$ देता है,जिसका अर्थ है कि $AB = BA$.
अब,हमें $(A^2BA^{-1}B^{-1})^3$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $AB = BA$,इसलिए $B^{-1}A^{-1} = (AB)^{-1} = (BA)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$.
साथ ही,$BA^{-1} = A^{-1}B$ क्योंकि $AB = BA \Rightarrow B = A^{-1}BA \Rightarrow BA^{-1} = A^{-1}B$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(A^2BA^{-1}B^{-1})^3 = (A^2(A^{-1}B)B^{-1})^3$
$= (A^2A^{-1}(BB^{-1}))^3$
$= (A(I))^3 = A^3$.

(D) दिया गया है कि $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $A^T = -A$ है।
मान लीजिए $M = XA + AX^T$ है। हमें सारणिक $|M|$ ज्ञात करना है।
$M$ का परिवर्त आव्यूह लेने पर:
$M^T = (XA + AX^T)^T = (XA)^T + (AX^T)^T = A^T X^T + (X^T)^T A^T = A^T X^T + X A^T$ है।
$A^T = -A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$M^T = (-A) X^T + X (-A) = -AX^T - XA = -(XA + AX^T) = -M$ प्राप्त होता है।
चूंकि $M$ कोटि $3$ का आव्यूह है,इसलिए $|M^T| = | -M | = (-1)^3 |M| = -|M|$ होगा।
अतः,$|M| = -|M|$,जिसका अर्थ है कि $2|M| = 0$,इसलिए $|M| = 0$ है।

(A) आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & 5-\lambda & 4 \\ 0 & 3 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(1-\lambda) [(5-\lambda)(2-\lambda) - 12] = 0$
$(1-\lambda) [10 - 5\lambda - 2\lambda + \lambda^2 - 12] = 0$
$(1-\lambda) [\lambda^2 - 7\lambda - 2] = 0$
$\lambda^2 - 7\lambda - 2 - \lambda^3 + 7\lambda^2 + 2\lambda = 0$
$-\lambda^3 + 8\lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0$
$\lambda^3 - 8\lambda^2 + 5\lambda + 2 = 0$
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है:
$A^3 - 8A^2 + 5A + 2I = O$
इसकी तुलना $A^3 - 8A^2 + \alpha A + \beta I = O$ से करने पर,हमें $\alpha = 5$ और $\beta = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,क्रमित युग्म $(\alpha, \beta) = (5, 2)$ है।

(D) दिया गया है कि $AB = A$ और $BA = B$ है।
$AB = A$ को दाईं ओर $A$ से गुणा करने पर,हमें $A(BA) = A^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $AB = A^2$। चूंकि $AB = A$,इसलिए $A^2 = A$ है।
इसी प्रकार,$BA = B$ को दाईं ओर $B$ से गुणा करने पर,हमें $B(AB) = B^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $BA = B^2$। चूंकि $BA = B$,इसलिए $B^2 = B$ है।
अब,$(A + I)^2 = A^2 + 2A + I$ पर विचार करें।
चूंकि $A^2 = A$,इसलिए $(A + I)^2 = A + 2A + I = 3A + I$ प्राप्त होता है।
आगे,$(A + I)^4 = (3A + I)^2 = 9A^2 + 6A + I$।
$A^2 = A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(A + I)^4 = 9A + 6A + I = 15A + I$ प्राप्त होता है।
अंत में,$(A + I)^5 = (A + I)^4(A + I) = (15A + I)(A + I) = 15A^2 + 15A + A + I$।
चूंकि $A^2 = A$,यह $15A + 16A + I = 31A + I$ हो जाता है।

(A) माना $\Delta_2 = \begin{vmatrix} a & b^2 & c^3 \\ a^4 & b^5 & c^6 \\ a^7 & b^8 & c^9 \end{vmatrix}$ है।
स्तंभों से $a, b^2, c^3$ को बाहर निकालने पर,हमें $\Delta_2 = abc^3 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a^3 & b^3 & c^3 \\ a^6 & b^6 & c^6 \end{vmatrix}$ प्राप्त होता है।
सारणिक $\Delta_1$ का मूल्यांकन करके और इसे सहखंडज आव्यूह (adjoint matrix) या सारणिकों के गुणनफल के गुणों के साथ तुलना करने पर,यह देखा जाता है कि $\Delta_1 = (\Delta_2)^2$ है।
अतः,$\Delta_1 \Delta_2 = (\Delta_2)^2 \cdot \Delta_2 = (\Delta_2)^3$।

(D) माना $G.P.$ का सार्व अनुपात $r$ है। तब $b=ar, c=ar^2, d=ar^3, e=ar^4, f=ar^5$ होगा।
सारणिक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & (ar^3)^2 & x \\ (ar)^2 & (ar^4)^2 & y \\ (ar^2)^2 & (ar^5)^2 & z \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & a^2r^6 & x \\ a^2r^2 & a^2r^8 & y \\ a^2r^4 & a^2r^{10} & z \end{array} \right|$.
प्रथम स्तंभ से $a^2$ और द्वितीय स्तंभ से $a^2r^6$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = a^4r^6 \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & x \\ r^2 & r^2 & y \\ r^4 & r^4 & z \end{array} \right|$.
चूंकि प्रथम और द्वितीय स्तंभ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,सारणिक का मान $x, y$ और $z$ से स्वतंत्र है।

(A) दिए गए आव्यूह $A$ को दो आव्यूहों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है: $A = \begin{bmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{bmatrix}$.
अतः,$\det(A) = \det \begin{bmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{bmatrix} \times \det \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{bmatrix} = [(a-b)(b-c)(c-a)]^2$.
यहाँ,$\det(4I) = 4^3 \det(I) = 64 \times 1 = 64$.
इसलिए,$[(a-b)(b-c)(c-a)]^2 = 64$,जिसका अर्थ है कि $(a-b)(b-c)(c-a) = \pm 8$.
हम जानते हैं कि यदि $x+y+z=0$ हो,तो $x^3+y^3+z^3 = 3xyz$ होता है।
यहाँ $x=(a-b)$,$y=(b-c)$,और $z=(c-a)$ लेने पर,$x+y+z = (a-b)+(b-c)+(c-a) = 0$ होता है।
अतः,$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) = 3(\pm 8) = \pm 24$.

(C) माना $A$ कोटि $n = 3$ का एक वर्ग आव्यूह है।
आव्यूह $B = A - A^T$ पर विचार करें।
$B$ का परिवर्त आव्यूह $B^T = (A - A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T) = -B$ है।
चूंकि $B^T = -B$,इसलिए $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
किसी भी विषम कोटि $n$ वाले विषम-सममित आव्यूह $B$ के लिए,सारणिक $|B| = 0$ होता है।
चूंकि $A$ की कोटि $3$ है,इसलिए $(A - A^T)$ की कोटि भी $3$ है,जो कि विषम है।
अतः,$|A - A^T| = 0$ है।
इसी प्रकार,$|A^T - A| = 0$ है।
अब,$|(A - A^T)^5| = |A - A^T|^5 = 0^5 = 0$ है।
और $|(A^T - A)^3| = |A^T - A|^3 = 0^3 = 0$ है।
इस प्रकार,$|(A - A^T)^5| + |(A^T - A)^3| = 0 + 0 = 0$ है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A$ और $B$ के सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = (3 \times 1) - (2 \times 2) = 3 - 4 = -1$.
$|B| = (3 \times 3) - (1 \times 7) = 9 - 7 = 2$.
हमें $\det(2A^9B^{-1})$ का मान ज्ञात करना है।
$n \times n$ आव्यूह के लिए गुणधर्म $\det(kA) = k^n \det(A)$ और $\det(XY) = \det(X)\det(Y)$ का उपयोग करते हुए:
$\det(2A^9B^{-1}) = 2^2 \det(A^9) \det(B^{-1})$ (चूंकि $A$ और $B$ $2 \times 2$ आव्यूह हैं)।
$= 4 \times (\det(A))^9 \times \frac{1}{\det(B)}$.
$= 4 \times (-1)^9 \times \frac{1}{2}$.
$= 4 \times (-1) \times \frac{1}{2} = -2$.

(D) दिया गया है कि $A = A^{T}$ (सममित) और $B = -B^{T}$ (विषम-सममित)।
हमें $A - B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ दिया गया है ......$(i)$
दोनों पक्षों का परिवर्त (transpose) लेने पर:
$(A - B)^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$
$A^{T} - B^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$
चूंकि $A^{T} = A$ और $B^{T} = -B$,हमें प्राप्त होता है:
$A + B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ ......$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(A - B) + (A + B) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$
$2A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 8 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 1 & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & 4 \end{bmatrix}$
अब,सारणिक $|A|$ की गणना करने पर:
$|A| = (1)(4) - (\frac{5}{2})(\frac{5}{2}) = 4 - \frac{25}{4} = \frac{16 - 25}{4} = -\frac{9}{4}$

(D) हम जानते हैं कि किन्हीं दो व्युत्क्रमणीय आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए,गुणनफल के सहखंडज (adjoint) का गुणधर्म $adj\ (AB) = adj\ (B) \, adj\ (A)$ होता है।
चूंकि $adj\ (A) = |A| A^{-1}$,हम लिख सकते हैं कि $adj\ (B) \, adj\ (A) = (|B| B^{-1}) (|A| A^{-1}) = |B| |A| (B^{-1} A^{-1})$।
साथ ही,हम जानते हैं कि $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$,इसलिए $|B| |A| (B^{-1} A^{-1}) = |A| |B| (AB)^{-1}$।
अतः,तीनों व्यंजक $adj\ (AB)$ के बराबर हैं।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(D) सबसे पहले,$a$ ज्ञात करें: $a = \min \{x^2 + 2x + 3\}$. चूँकि $x^2 + 2x + 3 = (x+1)^2 + 2$,न्यूनतम मान $a = 2$ है।
फिर,$b$ ज्ञात करें: $b = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{e^x - e^{-x}}$. सीमा के नियमों का उपयोग करते हुए,$b = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,योग $S = \sum_{r=0}^n a^r b^{n-r} = b^n + a b^{n-1} + \dots + a^n$ ज्ञात करें। यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $n+1$ पद हैं,प्रथम पद $T_1 = b^n$ और सार्व अनुपात $r = \frac{a}{b} = 4$ है।
योग $S = b^n \frac{(a/b)^{n+1} - 1}{(a/b) - 1} = \frac{4^{n+1} - 1}{3 \cdot 2^n}$ है।

(A) माना $B = A - A^T$.
तब $B^T = (A - A^T)^T = A^T - (A^T)^T = A^T - A = -(A - A^T) = -B$.
चूँकि $B^T = -B$,$B$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
विषम-सममित आव्यूह का सारणिक,यदि उसकी कोटि विषम हो,तो हमेशा $0$ होता है।
चूँकि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,$B = A - A^T$ भी एक $3 \times 3$ आव्यूह है,जो कि विषम कोटि का है।
इसलिए,$|A - A^T| = 0$.
इसी प्रकार,$|A^T - A| = |-(A - A^T)| = (-1)^3 |A - A^T| = -1 \times 0 = 0$.
अब,$|(A - A^T)^6| = |A - A^T|^6 = 0^6 = 0$.
और $|(A^T - A)^7| = |A^T - A|^7 = 0^7 = 0$.
अतः,$|(A - A^T)^6| + |(A^T - A)^7| = 0 + 0 = 0$.

(C) दिया गया है कि $A + B = I$ और $A^{-1} + B^{-1} = 2I$ है।
चूंकि $A^{-1} + B^{-1} = \frac{A+B}{AB} = 2I$,इसलिए $I = 2AB$,जिसका अर्थ है कि $AB = \frac{1}{2}I$ है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,$|AB| = |\frac{1}{2}I| = (\frac{1}{2})^3 |I| = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
हमें $|adj(4AB)|$ ज्ञात करना है।
चूंकि $4AB = 4(\frac{1}{2}I) = 2I$,इसलिए $|4AB| = |2I| = 2^3 |I| = 8$ है।
सहखंडज आव्यूह का गुणधर्म है कि $|adj(M)| = |M|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह का क्रम है।
यहाँ $n = 3$ है,इसलिए $|adj(4AB)| = |4AB|^{3-1} = |4AB|^2$ है।
$|4AB| = 8$ रखने पर,हमें $|adj(4AB)| = 8^2 = 64$ प्राप्त होता है।

(A) $z^5=1$ के मूल $1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4$ हैं,जहाँ $\omega = e^{i2\pi/5}$ है। चूँकि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ काल्पनिक मूल हैं,इसलिए वे $\omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4$ हैं।
दिए गए सारणिक में,हम तीसरे स्तंभ से $e$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$D = e \cdot \left| \begin{array}{ccc} e^{\alpha} & e^{2\alpha} & e^{3\alpha} \\ e^{\beta} & e^{2\beta} & e^{3\beta} \\ e^{\gamma} & e^{2\gamma} & e^{3\gamma} \end{array} \right|$.
यह एक वेंडरमोंड प्रकार का सारणिक है। इकाई के किसी भी भिन्न मूलों के समूह के लिए,यदि पंक्तियाँ रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं हैं या यदि पंक्ति संक्रियाओं के माध्यम से एक शून्य स्तंभ बनाया जा सकता है,तो सारणिक का मान $0$ होता है। इकाई के मूलों के गुणों और घातांकीय पदों की संरचना को देखते हुए,पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित हैं,जिसके परिणामस्वरूप $D = 0$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $A$ और $B$ कोटि $n$ के वर्ग आव्यूह हैं।
हम जानते हैं कि $\text{adj}(kA) = k^{n-1} \text{adj}(A)$ होता है।
$\text{trace}(\text{adj}(|A||B|AB))$ पद के लिए,हमारे पास है:
$\text{trace}((|A||B|)^{n-1} \text{adj}(AB)) = (|A||B|)^{n-1} \text{trace}(\text{adj}(B) \text{adj}(A))$।
इसी प्रकार,$\text{trace}(\text{adj}(|AB|BA))$ के लिए,हमारे पास है:
$\text{trace}((|AB|)^{n-1} \text{adj}(BA)) = (|A||B|)^{n-1} \text{trace}(\text{adj}(A) \text{adj}(B))$।
चूंकि किसी भी दो आव्यूहों $X$ और $Y$ के लिए $\text{trace}(XY) = \text{trace}(YX)$ होता है,इसलिए $\text{trace}(\text{adj}(B) \text{adj}(A)) = \text{trace}(\text{adj}(A) \text{adj}(B))$ होता है।
अतः,उनका अंतर $0$ है।
इस प्रकार,विकल्प $C$ सही है।

(A) दिया गया है कि $AB = A$ और $BA = B$ है।
हम जानते हैं कि $A^2 = A \cdot A = (AB)A = A(BA) = AB = A$ है।
इसी प्रकार,$B^2 = B \cdot B = (BA)B = B(AB) = BA = B$ है।
चूंकि $A^2 = A$,इसलिए सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए $A^n = A$ होता है।
इसी प्रकार,चूंकि $B^2 = B$,इसलिए सभी $n \in \mathbb{N}$ के लिए $B^n = B$ होता है।
अतः,$X = A^4 + B^4 = A + B$ है।
और $Y = A^{10} + B^{10} = A + B$ है।
इसलिए,$X - Y = (A + B) - (A + B) = O$,जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है।
एक शून्य आव्यूह एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह होता है क्योंकि इसका सारणिक $0$ होता है।

(A) दिया गया है कि $A$ एक ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह है,इसलिए $A$ का सारणिक उसके विकर्ण तत्वों का गुणनफल है: $|A| = x \times y \times z = xyz$.
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$|ABC| = |A| \times |B| \times |C|$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $xyz \times 36 \times 4 = 1152$.
$xyz \times 144 = 1152$.
$xyz = \frac{1152}{144} = 8$.
चूंकि $x, y, z \in \mathbb{N}$,हमें $xyz = 8$ की शर्त के तहत $x + y + z$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य ($AM$-$GM$) असमिका के अनुसार,$\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}$.
$\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{8} = 2$.
$x + y + z \geq 6$.
न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $x = y = z = 2$,जिससे $x + y + z = 6$ प्राप्त होता है।

(A) माना $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 8 & 9 & 5 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 7 \\ 3 & 7 & 9 \end{bmatrix}$ है।
यहाँ $A^T = \begin{bmatrix} 3 & 8 & 1 \\ 1 & 9 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \end{bmatrix}$ है।
दिया गया व्यंजक $X = (ABA^T)^2$ है।
चूँकि $B$ एक सममित आव्यूह है $(B^T = B)$,इसलिए आव्यूह $ABA^T$ भी सममित है क्योंकि $(ABA^T)^T = (A^T)^T B^T A^T = ABA^T$ होता है।
यदि कोई आव्यूह $M$ सममित है,तो $M^2$ भी एक सममित आव्यूह होता है।
अतः,$X = (ABA^T)^2$ एक सममित आव्यूह है।
सममित आव्यूह $X = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$ के लिए,$a_2 = b_1$,$a_3 = c_1$,और $b_3 = c_2$ होता है।
इसलिए,$|a_2 - b_1| + |a_3 - c_1| + |b_3 - c_2| = |0| + |0| + |0| = 0$।

(A) दिया गया है कि $Q^r = I$,जहाँ $r > 1$ एक पूर्णांक है।
दोनों पक्षों को दाईं ओर से $Q^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $Q^r Q^{-1} = I Q^{-1}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $Q^{r-1} = Q^{-1}$ हो जाता है।
अब,इस मान को व्यंजक $P^{-1}Q^{r-1}P - P^{-1}Q^{-1}P$ में प्रतिस्थापित करने पर।
चूंकि $Q^{r-1} = Q^{-1}$ है,इसलिए व्यंजक $P^{-1}Q^{-1}P - P^{-1}Q^{-1}P$ बन जाता है।
इसका परिणाम $O$ प्राप्त होता है,जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है।

(B) दिया गया है $AB = A$। चूंकि $A$ व्युत्क्रमणीय है,$A^{-1}$ का अस्तित्व है। बाईं ओर $A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें $B = I$ प्राप्त होता है,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
चूंकि $B = I$,तो $B^2 = I^2 = I = B$ होगा।
साथ ही,$AB = A \implies AI = A$,जो संगत है।
अब,$A + B = A + I$।
चूंकि $A$ व्युत्क्रमणीय है,$|A| \neq 0$। हालाँकि,$AB = A$ और $A$ व्युत्क्रमणीय होने पर $B = I$ होता है।
$|A + B| \neq 0$ दिया गया है,इसलिए $|A + I| \neq 0$।
$AB = A$ से,हमें $A(B - I) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $A$ व्युत्क्रमणीय है,$B = I$।
तब $(A + B)^2 = (A + I)^2 = A^2 + 2A + I$। चूंकि $A^2 = A(AB) = A^2B = AB = A$,इसलिए $(A + I)^2 = A + 2A + I = 3A + I$ होता है।
वास्तव में,यदि $B = I$ है,तो किसी भी $A$ के लिए $AB = A$ हमेशा सत्य है।
यदि $A$ वर्गसम (idempotent) है,तो $|A+I| = 2^n$ जहाँ $n=3$,इसलिए $|A+I| = 2^3 = 8$ होगा।

(D) दिया गया है कि $A$ एक आवर्ती आव्यूह है जिसका आवर्तकाल $4$ है,इसलिए $A^{4+1} = A$,जिसका अर्थ है $A^5 = A$।
इस गुण को दोहराने पर,हमें $A^9 = A^5 = A$ और $A^{13} = A^9 = A$ प्राप्त होता है।
समीकरण $A^{12} + B = I$ दिया गया है,दोनों पक्षों को बाईं ओर से $A$ से गुणा करने पर:
$A(A^{12} + B) = A(I)$
$A^{13} + AB = A$
चूंकि $A^{13} = A$,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$A + AB = A$
दोनों पक्षों से $A$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB = 0$
अतः,आव्यूह गुणनफल $AB$ शून्य आव्यूह है।

(D) सबसे पहले,$A = \int\limits_1^{\sin \theta } {\frac{t}{{1 + {t^2}}}} dt$ का मूल्यांकन करें। मान लीजिए $u = 1 + t^2$,तो $du = 2t dt$। अतः,$A = \frac{1}{2} \ln(1 + t^2) \Big|_1^{\sin \theta} = \frac{1}{2} \ln(1 + \sin^2 \theta) - \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + \sin^2 \theta}{2}\right)$.
इसके बाद,$B = \int\limits_1^{\csc \theta } {\frac{dt}{{t(1 + t^2)}}}$ का मूल्यांकन करें। आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}$।
$B = \int\limits_1^{\csc \theta } (\frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}) dt = [\ln|t| - \frac{1}{2} \ln(1+t^2)]_1^{\csc \theta} = [\ln(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}})]_1^{\csc \theta}$।
$B = \ln(\frac{\csc \theta}{\sqrt{1+\csc^2 \theta}}) - \ln(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \ln(\frac{1}{\sqrt{\sin^2 \theta + 1}}) + \ln(\sqrt{2}) = \ln(\sqrt{\frac{2}{1+\sin^2 \theta}}) = -\frac{1}{2} \ln(\frac{1+\sin^2 \theta}{2})$।
इस प्रकार,$A = -B$,जिसका अर्थ है कि $A + B = 0$।
सारणिक में $A+B=0$ प्रतिस्थापित करने पर,पद $e^{A+B} = e^0 = 1$ प्राप्त होता है।
सारणिक $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} A & {{A^2}} & { - B} \\ 1 & {{B^2}} & { - 1} \\ 1 & {{A^2} + {B^2}} & { - 1} \end{array}} \right|$ बन जाता है।
चूंकि $A = -B$,हमारे पास $A^2 = B^2$ और $-B = A$ है।
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} A & {{A^2}} & A \\ 1 & {{A^2}} & { - 1} \\ 1 & {2{A^2}} & { - 1} \end{array}} \right|$।
तीसरी पंक्ति से दूसरी पंक्ति घटाने पर: $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} A & {{A^2}} & A \\ 1 & {{A^2}} & { - 1} \\ 0 & {{A^2}} & 0 \end{array}} \right|$।
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $\Delta = -A^2 \cdot (-A - A) = -A^2(-2A) = 2A^3$।

(A) दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} p & 13 \\ -13 & p \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 4q & 85 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ हैं।
सारणिकों की गणना करने पर,$|A| = p^2 - (13)(-13) = p^2 + 169$ प्राप्त होता है।
$|B| = (4q)(1) - (85)(-2) = 4q + 170$ प्राप्त होता है।
$|A| = |B|$ दिया गया है,इसलिए $p^2 + 169 = 4q + 170$,जो सरल होकर $p^2 = 4q + 1$ हो जाता है।
चूंकि $p^2 = 4q + 1$,इसलिए $p^2$ विषम होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $p$ एक विषम पूर्णांक है। मान लीजिए $p = 2k + 1$ किसी पूर्णांक $k \geq 0$ के लिए।
$p = 2k + 1$ को समीकरण में रखने पर: $(2k + 1)^2 = 4q + 1 \Rightarrow 4k^2 + 4k + 1 = 4q + 1 \Rightarrow 4k(k + 1) = 4q \Rightarrow q = k(k + 1)$ प्राप्त होता है।
हमें $1 \leq q \leq 1000$ और $1 \leq p \leq 1000$ दिया गया है।
$q = k(k + 1) \leq 1000$ के लिए,हम पाते हैं कि $k^2 \approx 1000$,इसलिए $k \leq 31$ है।
चूंकि $p = 2k + 1$,यदि $k = 31$ है,तो $p = 2(31) + 1 = 63$,जो $\leq 1000$ है।
इस प्रकार,$k$ का मान $1$ से $31$ तक हो सकता है (क्योंकि $q \geq 1$,इसलिए $k \geq 1$)।
$k$ के लिए $31$ संभावित मान हैं,और प्रत्येक $k$ एक अद्वितीय युग्म $(p, q)$ देता है।
अतः,क्रमित युग्मों $(p, q)$ की कुल संख्या $31$ है।

(B) दिया गया है $ABA^{-1} = B^2$।
हम $B$ की घातों की गणना करते हैं:
$B^2 = ABA^{-1}$
$B^4 = (ABA^{-1})(ABA^{-1}) = AB^2A^{-1} = A(ABA^{-1})A^{-1} = A^2BA^{-2}$
$B^8 = (A^2BA^{-2})(A^2BA^{-2}) = A^2B^2A^{-2} = A^2(ABA^{-1})A^{-2} = A^3BA^{-3}$
इस पैटर्न को जारी रखते हुए,$B^{2^k} = A^kBA^{-k}$ प्राप्त होता है।
$k=5$ के लिए,$B^{2^5} = A^5BA^{-5}$।
चूंकि $A^5 = I$,इसलिए $B^{32} = I B I^{-1} = B$।
अतः,$B^{32} = B$,जिसका अर्थ है $B^{31} = I$।
आव्यूह $B$ की घात $31$ है,जो $28$ और $32$ के बीच स्थित है।

(A) दिए गए सारणिक को दो आव्यूहों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a^2 & -2a & 1 \\ b^2 & -2b & 1 \\ c^2 & -2c & 1 \end{array} \right| \times \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{array} \right|$
$= -2(a-b)(b-c)(c-a) \times (x-y)(y-z)(z-x) = \frac{-351}{8}$.
त्रिघात समीकरण $8t^3 - 62t^2 + 43t - 7 = 0$ के लिए,मूल $x, y, z$ हैं। $(x-y)(y-z)(z-x)$ त्रिघात समीकरण के विविक्तकर (discriminant) का वर्गमूल है।
$At^3 + Bt^2 + Ct + D = 0$ के लिए विविक्तकर $D = B^2C^2 - 4AC^3 - 4B^3D - 27A^2D^2 + 18ABCD$ है।
$8t^3 - 62t^2 + 43t - 7 = 0$ के लिए,$A=8, B=-62, C=43, D=-7$ है।
विविक्तकर की गणना करने पर,हमें $(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2 = \frac{351^2}{256}$ प्राप्त होता है।
अतः,$|(x-y)(y-z)(z-x)| = \frac{351}{16}$ है।
इस मान को सारणिक समीकरण में रखने पर: $2 |(a-b)(b-c)(c-a)| \times \frac{351}{16} = \frac{351}{8}$.
$|(a-b)(b-c)(c-a)| = \frac{351}{8} \times \frac{16}{351} \times \frac{1}{2} = 1$.

(C) दिया गया है कि $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर,हमें $A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $-AB + BA = 0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि $AB = BA$।
अब,हमें $(ABA^{-1})^2$ का मान ज्ञात करना है।
$(ABA^{-1})^2 = (ABA^{-1})(ABA^{-1})$।
चूँकि $AB = BA$,हम $ABA^{-1} = BAA^{-1} = BI = B$ लिख सकते हैं।
अतः,$(ABA^{-1})^2 = B^2$ होगा।

(D) दिया गया है कि $a^2 + b^2 + c^2 = 0$। हम जानते हैं कि $b^2 + c^2 = -a^2$,$c^2 + a^2 = -b^2$,और $a^2 + b^2 = -c^2$।
इन मानों को सारणिक $\Delta$ में रखने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} -a^2 & ab & ac \\ ab & -b^2 & bc \\ ac & bc & -c^2 \end{vmatrix}$
$R_1$ से $a$,$R_2$ से $b$,और $R_3$ से $c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = abc \begin{vmatrix} -a & b & c \\ a & -b & c \\ a & b & -c \end{vmatrix}$
$C_1$ से $a$,$C_2$ से $b$,और $C_3$ से $c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (abc)(abc) \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$
$\Delta = a^2 b^2 c^2 \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$
सारणिक का मान ज्ञात करने पर:
$-1(1 - 1) - 1(-1 - 1) + 1(1 - (-1)) = 0 + 2 + 2 = 4$
अतः,$\Delta = 4 a^2 b^2 c^2$।
$K a^2 b^2 c^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $K = 4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $ABC = I$।
चूंकि $ABC = I$,हम बाईं ओर $A^{-1}$ से गुणा कर सकते हैं जिससे $BC = A^{-1}$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$BCA = A^{-1}(ABC)A = A^{-1}(I)A = I$।
इसी प्रकार,$CAB = B^{-1}(BCA)B = B^{-1}(I)B = I$।
अतः,$ABC = I$,$BCA = I$,और $CAB = I$।
इसलिए,$tr(ABC + BCA + CAB) = tr(I + I + I) = tr(3I)$।
चूंकि $I$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह है,$3I$ एक विकर्ण आव्यूह है जिसके विकर्ण पर $3$ है।
ट्रेस विकर्ण तत्वों का योग है: $3 + 3 + 3 = 9$।

(B) दिया गया है कि $\left( A - \frac{I}{2} \right)$ और $\left( A + \frac{I}{2} \right)$ लंबकोणीय आव्यूह हैं।
$\left( A - \frac{I}{2} \right)$ के लंबकोणीय होने के लिए:
$\left( A - \frac{I}{2} \right) \left( A^T - \frac{I}{2} \right) = I$
$AA^T - \frac{1}{2}(A + A^T) = \frac{3}{4}I$ .......$(1)$
$\left( A + \frac{I}{2} \right)$ के लंबकोणीय होने के लिए:
$\left( A + \frac{I}{2} \right) \left( A^T + \frac{I}{2} \right) = I$
$AA^T + \frac{1}{2}(A + A^T) = \frac{3}{4}I$ .......$(2)$
$(2) - (1)$ करने पर:
$A + A^T = 0 \Rightarrow A^T = -A$,अर्थात $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
$(1) + (2)$ करने पर:
$2AA^T = \frac{6}{4}I \Rightarrow AA^T = \frac{3}{4}I$
सारणिक लेने पर,$|A|^2 = (\frac{3}{4})^n$। यदि $n$ विषम है तो $|A|=0$ होगा,लेकिन यहाँ $|A| \neq 0$ है,इसलिए $n$ को सम होना चाहिए। अतः $A$ सम कोटि का विषम-सममित आव्यूह है।

(B) आव्यूह गुणन $[p \, q \, r] \begin{bmatrix} 2 & p & q \\ -3 & q & -p+r \\ 12 & r & -q+3r \end{bmatrix} = [5 \, b \, c]$ करने पर निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:
$1$) $2p - 3q + 12r = 5$
$2$) $b = p^2 + q^2 + r^2$
$3$) $c = pq - qp + qr - qr + 3r^2 = 3r^2$
$b$ और $c$ को जोड़ने पर,$b + c = p^2 + q^2 + 4r^2$ प्राप्त होता है।
हमें $2p - 3q + 12r = 5$ की शर्त के तहत $p^2 + q^2 + 4r^2$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
कोशी-श्वार्ट्ज असमिका $(\vec{u} \cdot \vec{v})^2 \le |\vec{u}|^2 |\vec{v}|^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\vec{u} = (2, -3, 6)$ और $\vec{v} = (p, q, 2r)$ है।
अतः $(\vec{u} \cdot \vec{v}) = 2p - 3q + 12r = 5$.
$|\vec{u}|^2 = 2^2 + (-3)^2 + 6^2 = 4 + 9 + 36 = 49$.
$|\vec{v}|^2 = p^2 + q^2 + (2r)^2 = p^2 + q^2 + 4r^2$.
इस प्रकार,$5^2 \le 49(p^2 + q^2 + 4r^2)$.
$25 \le 49(b+c) \implies b+c \ge \frac{25}{49}$.

(B) एक आव्यूह अव्युत्क्रमणीय होता है यदि उसका सारणिक $0$ हो। दिए गए आव्यूह का सारणिक:
$|A| = 1(1 - wc) - a(w - w^2c) + b(w^2 - w^2) = 1 - wc - aw + aw^2c = 0$
$(1 - aw)(1 - wc) = 0$
इसका अर्थ है $aw = 1$ या $wc = 1$।
चूँकि $x^5 = 1$,इसके मूल $1, w, w^2, w^3, w^4$ हैं। $a, b, c$ अवास्तविक हैं,इसलिए उन्हें ${w, w^2, w^3, w^4}$ से चुना जाना चाहिए।
स्थिति $1$: $aw = 1 \Rightarrow a = w^4$। यहाँ $a$ निश्चित है ($1$ विकल्प)। $b$ के $4$ विकल्प और $c$ के $4$ विकल्प। कुल = $1 \times 4 \times 4 = 16$।
स्थिति $2$: $wc = 1 \Rightarrow c = w^4$। यहाँ $c$ निश्चित है ($1$ विकल्प)। $a$ के $4$ विकल्प और $b$ के $4$ विकल्प। कुल = $4 \times 4 \times 1 = 16$।
सर्वनिष्ठ: $aw = 1$ और $wc = 1 \Rightarrow a = w^4$ और $c = w^4$। यहाँ $b$ के $4$ विकल्प। कुल = $1 \times 4 \times 1 = 4$।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत द्वारा,कुल आव्यूह = $16 + 16 - 4 = 28$।

(C) आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$3 \times 3$ आव्यूह के लिए,अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^3 - \text{tr}(A)\lambda^2 + (A_{11} + A_{22} + A_{33})\lambda - |A| = 0$ है,जहाँ $A_{ii}$ द्वितीय क्रम के मुख्य उपसारणिक हैं।
दिया गया है कि $f(A) = 0$,अतः अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^3 - 2\lambda^2 - \alpha\lambda + \beta = 0$ है।
ट्रेस की तुलना करने पर: $\text{tr}(A) = 1 + 2 + k = 2 \Rightarrow 3 + k = 2 \Rightarrow k = -1$.
अब,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = 1(2k - 0) - 2(2k + 3) + 3(0 - 6) = 2k - 4k - 6 - 18 = -2k - 24$.
$k = -1$ रखने पर: $|A| = -2(-1) - 24 = 2 - 24 = -22$.
अभिलक्षणिक समीकरण में अचर पद $-|A|$ होता है,इसलिए $-\beta = -|A| \Rightarrow \beta = |A| = -22$.
चूँकि समीकरण $f(x) = x^3 - 2x^2 - \alpha x + \beta = 0$ में अचर पद $\beta$ है,इसलिए $\beta = -(-22) = 22$.
अतः,$k = -1$ और $\beta = 22$ प्राप्त होता है।