आव्यूह $A$,$A^2 = 2A - I$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है। तो $n \ge 2$ के लिए,$A^n$ का मान क्या होगा? $(n \in N)$

मान लीजिए कि $A$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक तत्वों का एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इस प्रकार कि $A\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$। तो $\operatorname{det}(A)$ का अधिकतम मान क्या है?

मान लीजिए कि $A$ वास्तविक प्रविष्टियों वाला एक $2 \times 2$ आव्यूह है। मान लीजिए कि $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है। $\operatorname{Tr}(A)$,$A$ के विकर्ण प्रविष्टियों का योग दर्शाता है। मान लीजिए कि $A^2=I$.
कथन $I$: यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $\operatorname{det}(A) = -1$ है।
कथन $II$: यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $\operatorname{Tr}(A) \neq 0$ है।

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो $A^3 - 4A^2 - 6A$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 4 & -2 & 8 \\ 3 & 8 & -7 \end{pmatrix}$ और $\det(A - \alpha I) = 0$,जहाँ $\alpha$ एक वास्तविक संख्या है। यदि $\alpha$ का अधिकतम संभव मान $p$ है,तो वृत्त $(x - p)^2 + (y - 2p)^2 = 320$ निर्देशांक अक्षों को कितने बिंदुओं पर काटता है ($\text{बिंदु}$ में)?

यदि $p, q, r, s$ एक $A.P.$ में हैं और $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} p + \sin x & q + \sin x & p - r + \sin x \\ q + \sin x & r + \sin x & -1 + \sin x \\ r + \sin x & s + \sin x & s - q + \sin x \end{array} \right|$ इस प्रकार है कि $\int_{0}^{\pi} f(x) dx = -4$,तो $A.P.$ का सार्व अंतर क्या हो सकता है?