निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?

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Question

(A) एक वर्ग आव्यूह $A$ विषम-सममित होता है यदि $A^T = -A$ हो। $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$\det(A^T) = \det(A)$ होता है। अतः,$\det(-A) =

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विषम कोटि का प्रत्येक विषम-सममित आव्यूह व्युत्क्रमणीय (non-singular) होता है

Vedclass · Answer

(A) एक वर्ग आव्यूह $A$ विषम-सममित होता है यदि $A^T = -A$ हो। $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$\det(A^T) = \det(A)$ होता है। अतः,$\det(-A) = (-1)^n \det(A)$ होता है। यदि $n$ विषम है,तो $\det(-A) = -\det(A)$ होता है। चूंकि $\det(A^T) = \det(A)$,हमें $\det(A) = -\det(A)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $2 \det(A) = 0$,इसलिए $\det(A) = 0$। अतः,विषम कोटि का प्रत्येक विषम-सममित आव्यूह अव्युत्क्रमणीय (singular) होता है। विकल्प $(a)$ कहता है कि यह व्युत्क्रमणीय (non-singular) है,जो गलत है।

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