यदि $A_i = \begin{bmatrix} a^i & b^i \\ b^i & a^i \end{bmatrix}$ और यदि $|a| < 1, |b| < 1$ है,तो $\sum_{i=1}^{\infty} \det(A_i)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\Delta_1=\left|\begin{array}{lll}1 & a^2 & a^3 \\ 1 & b^2 & b^3 \\ 1 & c^2 & c^3\end{array}\right|$ और $\Delta_2=\left|\begin{array}{lll}b c & b+c & 1 \\ c a & c+a & 1 \\ a b & a+b & 1\end{array}\right|$,तो $\frac{\Delta_1}{\Delta_2}=$

मान लीजिए $P$ एक वर्ग आव्यूह है ताकि $P^2 = I - P$ हो। $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in N$ के लिए,यदि $P^\alpha + P^\beta = \gamma I - 29 P$ और $P^\alpha - P^\beta = \delta I - 13 P$ है,तो $\alpha + \beta + \gamma - \delta$ का मान $........$ है।

मान लीजिए $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है ताकि $A^2 - 5A + 7I = 0$ हो।
कथन-$I$: ${A^{-1}} = \frac{1}{7}(5I - A)$.
कथन-$II$: बहुपद $A^3 - 2A^2 - 3A + I$ को $5(A - 4I)$ में घटाया जा सकता है।

मान लीजिए $A$ वास्तविक प्रविष्टियों वाला एक $2 \times 2$ आव्यूह है। मान लीजिए $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है। $tr(A)$ को $A$ की विकर्ण प्रविष्टियों का योग कहें। मान लीजिए $A^2 = I$ है।
कथन-$1$: यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $\det(A) = -1$ है।
कथन-$2$: यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $tr(A) \neq 0$ है।

मान लीजिए $A$ एक ऐसा आव्यूह है कि $A \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ एक अदिश आव्यूह (scalar matrix) है और $|3A| = 108$ है। तो $A^2$ किसके बराबर है?