$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{\cos (\beta - \alpha )}&{\cos (\gamma - \alpha )}\\{\cos (\alpha - \beta )}&1&{\cos (\gamma - \beta )}\\{\cos (\alpha - \gamma )}&{\cos (\beta - \gamma )}&1\end{array}} \right|$ का मान क्या है?

मान लीजिए कि $A$ एक $2 \times 2$ वास्तविक आव्यूह है और $I$ क्रम $2$ का तत्समक आव्यूह है। यदि समीकरण $|A-xI|=0$ के मूल $-1$ और $3$ हैं,तो आव्यूह $A^2$ के विकर्ण तत्वों का योग $..............$ है।

मान लीजिए $|M|$ एक वर्ग आव्यूह $M$ के सारणिक को दर्शाता है। मान लीजिए $g:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow R$ वह फलन है जो $g(\theta)=\sqrt{f(\theta)-1}+\sqrt{f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-1}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $f(\theta)=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}\sin \pi & \cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) & -\cos \frac{\pi}{2} & \log _e\left(\frac{4}{\pi}\right) \\ \cot \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \log _e\left(\frac{\pi}{4}\right) & \tan \pi\end{array}\right|$ है। मान लीजिए $p(x)$ एक द्विघात बहुपद है जिसके मूल फलन $g(\theta)$ के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं,और $p(2)=2-\sqrt{2}$ है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से $TRUE$ है/हैं?
$(A) \ p \left(\frac{3+\sqrt{2}}{4}\right) < 0$
$(B) \ p \left(\frac{1+3 \sqrt{2}}{4}\right)>0$
$(C) \ p \left(\frac{5 \sqrt{2}-1}{4}\right)>0$
$(D) \ p \left(\frac{5-\sqrt{2}}{4}\right) < 0$

मान लीजिए $X = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ और $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ है। $k \in N$ के लिए,यदि $X^{T} A^{k} X = 33$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों के लिए $T$ या $F$ का सही क्रम दें। यदि कथन सत्य है तो $T$ और यदि असत्य है तो $F$ का उपयोग करें।
कथन $-1$ : यदि $A$ एक व्युत्क्रमणीय $3 \times 3$ आव्यूह है और $B$ एक $3 \times 4$ आव्यूह है,तो $A^{-1}B$ परिभाषित है।
कथन $-2$ : यह कभी सत्य नहीं होता कि $A + B, A - B$,और $AB$ सभी परिभाषित हों।
कथन $-3$ : प्रत्येक आव्यूह जिसके कोई भी अवयव शून्य नहीं हैं,वह व्युत्क्रमणीय होता है।
कथन $-4$ : प्रत्येक व्युत्क्रमणीय आव्यूह वर्ग आव्यूह होता है और इसकी कोई भी दो पंक्तियाँ समान नहीं होती हैं।

माना $p$ एक विषम अभाज्य संख्या है और $T_p$ निम्नलिखित $2 \times 2$ आव्यूहों का समुच्चय है:
$T_p = \left\{ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & a \end{bmatrix} : a, b, c \in \{0, 1, \ldots, p-1\} \right\}$
$1.$ $T_p$ में ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जो या तो सममित हैं या विषम-सममित हैं या दोनों हैं,और $\det(A)$,$p$ से विभाज्य है:
$(A) (p-1)^2$ $(B) 2(p-1)$ $(C) (p-1)^2+1$ $(D) 2p-1$
$2.$ $T_p$ में ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका ट्रेस $p$ से विभाज्य नहीं है लेकिन $\det(A)$,$p$ से विभाज्य है:
$(A) (p-1)(p^2-p+1)$ $(B) p^3-(p-1)^2$ $(C) (p-1)^2$ $(D) (p-1)(p^2-2)$
$3.$ $T_p$ में ऐसे आव्यूहों $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए जिनका $\det(A)$,$p$ से विभाज्य नहीं है:
$(A) 2p^2$ $(B) p^3-5p$ $(C) p^3-3p$ $(D) p^3-p^2$