Mix Examples-Determinants and Matrices Questions in Hindi

(C) आव्यूह $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & 2 \\ 0 & 2 - \lambda & 1 \\ 1 & 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(1 - \lambda)[(2 - \lambda)^2 - 0] - 1[0 - 1] + 2[0 - (2 - \lambda)] = 0$
$(1 - \lambda)(4 - 4\lambda + \lambda^2) + 1 - 4 + 2\lambda = 0$
$4 - 4\lambda + \lambda^2 - 4\lambda + 4\lambda^2 - \lambda^3 - 3 + 2\lambda = 0$
$-\lambda^3 + 5\lambda^2 - 6\lambda + 1 = 0$
$\lambda^3 = 5\lambda^2 - 6\lambda + 1$
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^3 = 5A^2 - 6A + I$ है।
हमें $A^3 = (aA - I)(bA - I) = abA^2 - (a + b)A + I$ दिया गया है।
$A^2$ और $A$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$ab = 5$ और $a + b = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a + b)$ का मान $6$ है।

(B) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \sin 2A & \sin C & \sin B \\ \sin C & \sin 2B & \sin A \\ \sin B & \sin A & \sin 2C \end{array} \right|$.
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $C = \pi - (A+B)$,जिसका अर्थ है $\sin C = \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.
इसी प्रकार,$\sin B = \sin(A+C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C$ और $\sin A = \sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$.
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ सर्वसमिका का उपयोग करके,इस सारणिक को दो आव्यूहों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है या पंक्ति/स्तंभ संक्रियाओं द्वारा सरल किया जा सकता है।
मानों को प्रतिस्थापित करने और पंक्ति संक्रियाओं को करने पर,हम देखते हैं कि पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित हैं क्योंकि $A+B+C = \pi$.
विशेष रूप से,किसी भी त्रिभुज के लिए,इस सारणिक का मान $0$ होता है।

(B) दिया गया है कि $C^T = -C$ और $AA^T = I$ है।
मान लीजिए $X = A^T CA$ है।
हमें $(X^{50})^T$ ज्ञात करना है।
सबसे पहले,ध्यान दें कि $X^2 = (A^T CA)(A^T CA) = A^T C(AA^T)CA = A^T C(I)CA = A^T C^2 A$ है।
गणितीय आगमन द्वारा,$X^n = A^T C^n A$ है।
इसलिए,$X^{50} = A^T C^{50} A$ है।
अब,$(X^{50})^T = (A^T C^{50} A)^T = A^T (C^{50})^T (A^T)^T = A^T (C^T)^{50} A$ है।
चूंकि $C^T = -C$ है,इसलिए $(C^T)^{50} = (-C)^{50} = (-1)^{50} C^{50} = C^{50}$ है।
अतः,$(X^{50})^T = A^T C^{50} A$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A| = (3 \times 2) - (7 \times 1) = 6 - 7 = -1$ ज्ञात करते हैं।
हमें $|A^{2011} - 5A^{2010}|$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक से $A^{2010}$ को कॉमन लेने पर: $|A^{2010}(A - 5I)|$।
गुणधर्म $|XY| = |X||Y|$ का उपयोग करने पर,हमें $|A^{2010}||A - 5I| = |A|^{2010}|A - 5I|$ प्राप्त होता है।
अब,$A - 5I = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 7 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}$ की गणना करते हैं।
सारणिक $|A - 5I| = (-2 \times -3) - (7 \times 1) = 6 - 7 = -1$।
मान रखने पर: $|A|^{2010}|A - 5I| = (-1)^{2010} \times (-1) = 1 \times (-1) = -1$।

(C) दिया गया है कि $P^2 = I - P$ है।
हम $P$ की उच्च घातों की गणना करते हैं:
$P^3 = P(P^2) = P(I - P) = P - P^2 = P - (I - P) = 2P - I$.
$P^4 = P(P^3) = P(2P - I) = 2P^2 - P = 2(I - P) - P = 2I - 3P$.
$P^5 = P(P^4) = P(2I - 3P) = 2P - 3P^2 = 2P - 3(I - P) = 2P - 3I + 3P = 5P - 3I$.
$P^6 = P(P^5) = P(5P - 3I) = 5P^2 - 3P = 5(I - P) - 3P = 5I - 5P - 3P = 5I - 8P$.
इसकी तुलना $P^n = 5I - 8P$ से करने पर,हमें $n = 6$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $A^2B = BA$ है।
$(AB)$ की घातों के लिए हम पैटर्न देखते हैं:
$(AB)^2 = (AB)(AB) = A(BA)B = A(A^2B)B = A^3B^2$.
$(AB)^3 = (AB)^2(AB) = (A^3B^2)(AB) = A^3(B^2A)B$.
$A^2B = BA$ का उपयोग करके,हम सिद्ध कर सकते हैं कि $B^2A = A^4B^2$ है।
सामान्य रूप से,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $(AB)^n = A^{2^n-1}B^n$ है।
$n = 10$ के लिए,$(AB)^{10} = A^{2^{10}-1}B^{10}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $(AB)^{10} = A^k B^{10}$ से करने पर,हमें $k = 2^{10} - 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 1024 - 1 = 1023$।

(A) दिया गया है कि $a_{ij} + a_{ji} = 0 \Rightarrow a_{ij} = -a_{ji}$,जो दर्शाता है कि $A$ एक विषम सममित आव्यूह है।
चूँकि $A$ एक $3 \times 3$ विषम सममित आव्यूह है,इसलिए इसका सारणिक $|A| = 0$ होगा।
दिया गया है कि $b_{ij} - b_{ji} = 0 \Rightarrow b_{ij} = b_{ji}$,जो दर्शाता है कि $B$ एक सममित आव्यूह है।
हमें $A^4B^3$ की प्रकृति ज्ञात करनी है।
चूँकि $|A| = 0$,गुणनफल का सारणिक $|A^4B^3| = |A|^4 |B|^3 = (0)^4 |B|^3 = 0$ होगा।
चूँकि आव्यूह $A^4B^3$ का सारणिक $0$ है,इसलिए $A^4B^3$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है।

(A) दिया गया समीकरण $AB + A + B = 0$ है।
दोनों पक्षों में तत्समक आव्यूह $I$ जोड़ने पर,हमें $AB + A + B + I = I$ प्राप्त होता है।
इसे गुणनखंडित करने पर $A(B + I) + I(B + I) = I$ मिलता है,जो सरल होकर $(A + I)(B + I) = I$ हो जाता है।
चूंकि दो आव्यूहों का गुणनफल तत्समक आव्यूह है,इसलिए वे क्रमविनिमेय हैं,अर्थात $(A + I)(B + I) = (B + I)(A + I) = I$।
इसका विस्तार करने पर,हमें $AB + A + B + I = BA + B + A + I$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $A + B + I$ घटाने पर,हमें $AB = BA$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A$ और $B$ क्रमविनिमेय हैं,इसलिए द्विपद विस्तार मान्य है: $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + 2AB + B^2$।

(B) माना सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ है।
प्रत्येक तत्व $a, b, c, d$ या तो $0$ या $1$ हो सकता है।
चूंकि $4$ स्थान हैं और प्रत्येक के लिए $2$ विकल्प हैं,कुल संभावित सारणिकों की संख्या $2^4 = 16$ है।
सारणिक के शून्य न होने के लिए $\Delta \neq 0$,जिसका अर्थ है $ad - bc \neq 0$,या $ad \neq bc$।
चूंकि $a, b, c, d \in \{0, 1\}$ है,$ad$ और $bc$ के संभावित मान $0$ या $1$ हैं।
स्थिति $1$: $ad = 1$ और $bc = 0$।
$ad = 1 \implies a = 1, d = 1$।
$bc = 0 \implies (b=0, c=0), (b=0, c=1), (b=1, c=0)$।
इससे $3$ संभावित सारणिक मिलते हैं: $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$।
स्थिति $2$: $ad = 0$ और $bc = 1$।
$bc = 1 \implies b = 1, c = 1$।
$ad = 0 \implies (a=0, d=0), (a=0, d=1), (a=1, d=0)$।
इससे $3$ संभावित सारणिक मिलते हैं: $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}$।
कुल अनुकूल परिणाम = $3 + 3 = 6$।
प्रायिकता $P = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$।

(C) दिया गया है $a = \min \{x^2 + 2x + 3 : x \in R\}$।
चूंकि $x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2$,इसलिए न्यूनतम मान $a = 2$ है।
दिया गया है $b = \lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2}$।
सीमा सूत्र $\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $b = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,योग $\sum_{r=0}^{n} a^r \cdot b^{n-r} = \sum_{r=0}^{n} 2^r \cdot (\frac{1}{2})^{n-r}$ का मूल्यांकन करते हैं।
$= \sum_{r=0}^{n} 2^r \cdot 2^{r-n} = \sum_{r=0}^{n} 2^{2r-n} = 2^{-n} \sum_{r=0}^{n} 4^r$।
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $n+1$ पद हैं,प्रथम पद $1$ है और सार्व अनुपात $4$ है।
योग $= 2^{-n} \cdot \frac{4^{n+1} - 1}{4 - 1} = \frac{4^{n+1} - 1}{3 \cdot 2^n}$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = 2A$ की गणना करें।
इसी प्रकार,$A^3 = A^2 \cdot A = (2A) \cdot A = 2A^2 = 2(2A) = 2^2 A$.
गणितीय आगमन द्वारा,$A^n = 2^{n-1} A = \begin{bmatrix} 2^{n-1} & 2^{n-1} \\ 2^{n-1} & 2^{n-1} \end{bmatrix}$.
अतः $A^n - I = \begin{bmatrix} 2^{n-1} - 1 & 2^{n-1} \\ 2^{n-1} & 2^{n-1} - 1 \end{bmatrix}$.
सारणिक लेने पर: $\det(A^n - I) = (2^{n-1} - 1)^2 - (2^{n-1})^2$.
$= (2^{n-1})^2 - 2 \cdot 2^{n-1} + 1 - (2^{n-1})^2 = 1 - 2 \cdot 2^{n-1} = 1 - 2^n$.
इसे $1 - \lambda^n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\lambda^n = 2^n$ प्राप्त होता है,इसलिए $\lambda = 2$।

(D) दिया गया है कि $A \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ एक अदिश आव्यूह है। मान लीजिए यह अदिश आव्यूह $K = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$ है।
तब $A = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}^{-1}$ होगा।
$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2/3 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix}$ है।
अतः,$A = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2/3 \\ 0 & 1/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & -2k/3 \\ 0 & k/3 \end{bmatrix}$ है।
दिया गया है कि $|3A| = 108$ है। चूंकि $A$ एक $2 \times 2$ आव्यूह है,इसलिए $|3A| = 3^2 |A| = 9|A|$ होगा।
अतः,$9|A| = 108 \Rightarrow |A| = 12$ होगा।
हमारे व्यंजक से $|A|$ की गणना करने पर: $|A| = (k)(k/3) - 0 = k^2/3$ प्राप्त होता है।
दोनों की तुलना करने पर: $k^2/3 = 12 \Rightarrow k^2 = 36 \Rightarrow k = \pm 6$ प्राप्त होता है।
$k = 6$ के लिए,$A = \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$,इसलिए $A^2 = \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 36 & -32 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ होगा।
$k = -6$ के लिए,$A = \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$,इसलिए $A^2 = \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 36 & -32 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ होगा।
दोनों स्थितियों में,$A^2 = \begin{bmatrix} 36 & -32 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $(A - 3I)(A - 5I) = O$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $A^2 - 8A + 15I = O$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A$ नॉन-सिंगुलर है,हम दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा कर सकते हैं:
$A^{-1}(A^2 - 8A + 15I) = A^{-1}O$
$A - 8I + 15A^{-1} = O$
$A + 15A^{-1} = 8I$
$\alpha A + \beta A^{-1} = 4I$ के रूप में लाने के लिए,हम पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करते हैं:
$\frac{1}{2}A + \frac{15}{2}A^{-1} = 4I$
$\alpha A + \beta A^{-1} = 4I$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{2}$ और $\beta = \frac{15}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{15}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

(D) दिया गया सारणिक है:
$D = 0(0 - \sin^2 x) - \cos x(0 - \cos^2 x) - \sin x(\sin^2 x - 0) = 0$
$\Rightarrow \cos^3 x - \sin^3 x = 0$
$\Rightarrow \cos^3 x = \sin^3 x$
$\Rightarrow \tan^3 x = 1$
$x \in [0, 2\pi]$ के लिए,$\tan x = 1$ के हल $x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{5\pi}{4}$ हैं।
अतः,$S = \{ \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \}$।
हमें $\sum_{x \in S} \tan \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = \tan \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \right) + \tan \left( \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} \right)$ की गणना करनी है।
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए:
$x = \frac{\pi}{4}$ के लिए,$\tan \left( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} = -2 - \sqrt{3}$।
$x = \frac{5\pi}{4}$ के लिए,$\tan \left( \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} \right) = -2 - \sqrt{3}$।
योग $= (-2 - \sqrt{3}) + (-2 - \sqrt{3}) = -4 - 2\sqrt{3}$।

(A) दिया गया है $A^2 - 5A + 7I = 0$.
कथन-$I$ के लिए:
$A^2 - 5A = -7I$
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A(A A^{-1}) - 5(A A^{-1}) = -7(I A^{-1})$
$A(I) - 5(I) = -7 A^{-1}$
$A - 5I = -7 A^{-1}$
$A^{-1} = \frac{1}{7}(5I - A)$.
अतः,कथन-$I$ सत्य है।
कथन-$II$ के लिए:
हमारे पास $A^2 = 5A - 7I$ है।
तब $A^3 = A(5A - 7I) = 5A^2 - 7A = 5(5A - 7I) - 7A = 25A - 35I - 7A = 18A - 35I$.
अब,इन मानों को $A^3 - 2A^2 - 3A + I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(18A - 35I) - 2(5A - 7I) - 3A + I$
$= 18A - 35I - 10A + 14I - 3A + I$
$= (18 - 10 - 3)A + (-35 + 14 + 1)I$
$= 5A - 20I$
$= 5(A - 4I)$.
अतः,कथन-$II$ सत्य है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण ज्ञात करते हैं। अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -4-\lambda & -1 \\ 3 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (-4-\lambda)(1-\lambda) + 3 = -4 + 4\lambda - \lambda + \lambda^2 + 3 = \lambda^2 + 3\lambda - 1 = 0$.
अतः,$A^2 + 3A - I = 0$.
अब,हम व्यंजक $E = A^{2014}(A^2 - 2A - I)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$A^2 = \begin{bmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 3 \\ -9 & -2 \end{bmatrix}$.
अब,$A^2 - 2A - I = \begin{bmatrix} 13 & 3 \\ -9 & -2 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & 5 \\ -15 & -5 \end{bmatrix}$.
इस आव्यूह का सारणिक $(20 \times -5) - (5 \times -15) = -100 + 75 = -25$ है।
यहाँ $|A| = (-4)(1) - (-1)(3) = -1$ है,इसलिए $|A^{2014}| = |A|^{2014} = (-1)^{2014} = 1$.
अतः,$|A^{2016} - 2A^{2015} - A^{2014}| = |A^{2014}| \times |A^2 - 2A - I| = 1 \times (-25) = -25$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$.
अब,उच्च घातों की गणना करें:
$A^3 = A^2 \cdot A = -I \cdot A = -A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$.
$A^4 = (A^2)^2 = (-I)^2 = I$.
विकल्पों की जाँच करें:
$A$. $A^2 + I = -I + I = 0$. $A(A^2 - I) = A(-I - I) = A(-2I) = -2A$. चूंकि $0 \neq -2A$,यह गलत है।
$B$. $A^4 - I = I - I = 0$. $A^2 + I = -I + I = 0$. अतः $0 = 0$ (सही)।
$C$. $A^3 + I = -A + I$. $A(A^3 - I) = A(-A - I) = -A^2 - A = I - A$. चूंकि $-A + I = I - A$,यह सही है।
$D$. $A^3 - I = -A - I$. $A(A - I) = A^2 - A = -I - A$. चूंकि $-A - I = -I - A$,यह सही है।
इसलिए,विकल्प $A$ में दिया गया कथन सही नहीं है।

(A) दिया गया है कि $B$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है और $B^2 = 0$ है।
$(I + B)^{50}$ के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर:
$(I + B)^{50} = {^{50}C_0}I^{50} + {^{50}C_1}I^{49}B + {^{50}C_2}I^{48}B^2 + {^{50}C_3}I^{47}B^3 + \dots + {^{50}C_{50}}B^{50}$.
चूंकि $B^2 = 0$,इसलिए सभी $n \ge 2$ के लिए $B^n = 0$ होगा।
अतः,विस्तार का सरलीकृत रूप होगा:
$(I + B)^{50} = I + 50B + 0 + 0 + \dots + 0 = I + 50B$.
अब,इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\det[(I + B)^{50} - 50B] = \det[I + 50B - 50B] = \det[I]$.
चूंकि $I$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह है,इसलिए $\det[I] = 1$ होगा।

(C) दिया गया है $f(\theta ) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \cos \theta & 1 \\ - \sin \theta & 1 & - \cos \theta \\ - 1 & \sin \theta & 1 \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(\theta ) = 1(1 - (-\sin \theta \cos \theta )) - \cos \theta (-\sin \theta - \cos \theta ) + 1(-\sin^2 \theta + 1)$
$f(\theta ) = 1 + \sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta - \sin^2 \theta + 1$
$f(\theta ) = 2 + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos 2\theta$
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta ) = 2 + \sin 2\theta + \cos 2\theta$.
व्यंजक $a \sin x + b \cos x$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ और न्यूनतम मान $-\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ,$a = 1$ और $b = 1$ है,इसलिए $\sin 2\theta + \cos 2\theta$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है।
अतः,अधिकतम मान $A = 2 + \sqrt{2}$ और न्यूनतम मान $B = 2 - \sqrt{2}$ है।
इस प्रकार,$(A, B) = (2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2})$.

(D) हमें सारणिक ${\Delta _r} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} r&{2r - 1}&{3r - 2} \\ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \\ {\frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right)}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{1}{2}\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)} \end{array}} \right|$ दिया गया है।
हमें $\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} $ की गणना करनी है। चूंकि योग ऑपरेटर सारणिक की पंक्तियों के संबंध में रैखिक है,हम लिख सकते हैं:
$\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} r }&{\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {2r - 1} \right)} }&{\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {3r - 2} \right)} } \\ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \\ {\frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right)}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{1}{2}\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)} \end{array}} \right|$.
योग की गणना करने पर:
$1. \sum\limits_{r = 1}^{n - 1} r = \frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}$
$2. \sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {2r - 1} \right)} = 2\frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2} - \left( {n - 1} \right) = n(n-1) - (n-1) = {(n-1)^2}$
$3. \sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {\left( {3r - 2} \right)} = 3\frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2} - 2(n-1) = \frac{{3n(n-1) - 4(n-1)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}$
इन मानों को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}} \\ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \\ {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}} \end{array}} \right|$.
चूंकि पहली पंक्ति $(R_1)$ और तीसरी पंक्ति $(R_3)$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,यह मान $a$ और $n$ दोनों से स्वतंत्र है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix}$।
$AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \alpha \gamma \\ \beta \delta & 0 \end{bmatrix}$।
$BA$ की गणना करने पर:
$BA = \begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \gamma \beta \\ \delta \alpha & 0 \end{bmatrix}$।
अब,$AB - BA = \begin{bmatrix} 0 & \alpha \gamma - \beta \gamma \\ \beta \delta - \alpha \delta & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \gamma(\alpha - \beta) \\ \delta(\beta - \alpha) & 0 \end{bmatrix}$।
सारणिक $|AB - BA| = 0 - (\gamma(\alpha - \beta) \cdot \delta(\beta - \alpha)) = \gamma \delta (\alpha - \beta)^2$।
$AB - BA$ के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,सारणिक का मान शून्य नहीं होना चाहिए। यह $\alpha \neq \beta$ और $\gamma \delta \neq 0$ पर निर्भर करता है। यदि ये शर्तें पूरी नहीं होती हैं,तो यह हमेशा व्युत्क्रमणीय नहीं हो सकता। हालाँकि,ऐसे प्रश्नों के मानक संदर्भ में जहाँ $\alpha \neq \beta$ और $\gamma, \delta \neq 0$ हो,कथन $1$ को सत्य माना जाता है।
कथन $2$ के लिए: $AB - BA = \begin{bmatrix} 0 & \gamma(\alpha - \beta) \\ -\delta(\alpha - \beta) & 0 \end{bmatrix}$। इसके तत्समक आव्यूह $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ होने के लिए,विकर्ण अवयव $1$ होने चाहिए। चूँकि विकर्ण अवयव $0$ हैं,इसलिए यह कभी भी तत्समक आव्यूह नहीं हो सकता। अतः,कथन $2$ सत्य है।

(C) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} b^2 + c^2 & ab & ac \\ ab & c^2 + a^2 & bc \\ ac & bc & a^2 + b^2 \end{array} \right|$.
$C_1$ को $a$ से,$C_2$ को $b$ से और $C_3$ को $c$ से गुणा करने पर और सारणिक को $abc$ से विभाजित करने पर:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} a(b^2 + c^2) & ab^2 & ac^2 \\ a^2b & b(c^2 + a^2) & bc^2 \\ a^2c & b^2c & c(a^2 + b^2) \end{array} \right|$.
$R_1, R_2, R_3$ से क्रमशः $a, b, c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = \frac{abc}{abc} \left| \begin{array}{ccc} b^2 + c^2 & b^2 & c^2 \\ a^2 & c^2 + a^2 & c^2 \\ a^2 & b^2 & a^2 + b^2 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} b^2 + c^2 & b^2 & c^2 \\ a^2 & c^2 + a^2 & c^2 \\ a^2 & b^2 & a^2 + b^2 \end{array} \right|$.
$C_1 \to C_1 - C_2 - C_3$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & b^2 & c^2 \\ -2c^2 & c^2 + a^2 & c^2 \\ -2b^2 & b^2 & a^2 + b^2 \end{array} \right| = -2 \left| \begin{array}{ccc} 0 & b^2 & c^2 \\ c^2 & c^2 + a^2 & c^2 \\ b^2 & b^2 & a^2 + b^2 \end{array} \right|$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = -2 \left| \begin{array}{ccc} 0 & b^2 & c^2 \\ c^2 & a^2 & 0 \\ b^2 & 0 & a^2 \end{array} \right| = -2 [ -b^2(c^2 a^2) + c^2(-a^2 b^2) ] = -2 [-a^2 b^2 c^2 - a^2 b^2 c^2] = 4a^2 b^2 c^2$.
चूंकि $\Delta = k a^2 b^2 c^2$,इसलिए $k = 4$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया सारणिक $A = \begin{vmatrix} -2 & 4+d & \sin \theta - 2 \\ 1 & \sin \theta + 2 & d \\ 5 & 2\sin \theta - d & -\sin \theta + 2 + 2d \end{vmatrix}$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर,हमें $\det(A) = (d+2)^2 - \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
$\det(A)$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta \in [0, 1]$ होता है।
अतः,$\min(\det(A)) = (d+2)^2 - 1$ होगा।
दिया गया है कि $\min(\det(A)) = 8$,इसलिए $(d+2)^2 - 1 = 8 \implies (d+2)^2 = 9$ प्राप्त होता है।
अतः $d+2 = 3$ या $d+2 = -3$ होगा।
इसलिए $d = 1$ या $d = -5$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & b & 1 \\ b & b^2+1 & b \\ 1 & b & 2 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$\det(A) = 2((b^2+1)(2) - b^2) - b(b(2) - b) + 1(b^2 - (b^2+1))$
$\det(A) = 2(2b^2 + 2 - b^2) - b(2b - b) + 1(b^2 - b^2 - 1)$
$\det(A) = 2(b^2 + 2) - b(b) - 1$
$\det(A) = 2b^2 + 4 - b^2 - 1 = b^2 + 3$.
अब,$b > 0$ के लिए $\frac{\det(A)}{b}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं:
$\frac{\det(A)}{b} = \frac{b^2 + 3}{b} = b + \frac{3}{b}$.
$b > 0$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \ge GM)$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{b + \frac{3}{b}}{2} \ge \sqrt{b \cdot \frac{3}{b}}$
$b + \frac{3}{b} \ge 2\sqrt{3}$.
अतः,न्यूनतम मान $2\sqrt{3}$ है।

(B) मान लीजिए $G.P.$ $a_n = a \cdot x^{n-1}$ है,जहाँ $a > 0$ और $x > 0$ है।
तब $\log_e(a_n^r a_{n+1}^k) = r \log_e(a_n) + k \log_e(a_{n+1}) = r \log_e(a \cdot x^{n-1}) + k \log_e(a \cdot x^n) = r(\log_e a + (n-1)\log_e x) + k(\log_e a + n \log_e x) = (r+k)\log_e a + (r(n-1) + kn)\log_e x$ है।
मान लीजिए $A = \log_e a$ और $B = \log_e x$ है। तो पद $(r+k)A + (r(n-1) + kn)B$ है।
ध्यान दें कि सारणिक के पद $n$ में रैखिक व्यंजक हैं। विशेष रूप से,मान लीजिए $f(n) = c_1 n + c_2$ है।
चूंकि सारणिक की प्रत्येक पंक्ति समांतर श्रेणी में है (जैसे $n$ में $1$ की वृद्धि होती है,मान $rB + kB$ से बदलता है),पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित हैं।
विशेष रूप से,$R_2 - R_1 = R_3 - R_2$,जिसका अर्थ है $R_1 - 2R_2 + R_3 = 0$ है।
चूंकि पंक्तियाँ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए किसी भी $r, k \in N$ के लिए सारणिक हमेशा $0$ होता है।
अतः,समुच्चय $S$ में सभी युग्म $(r, k)$ शामिल हैं जहाँ $r, k \in N$ है,जिसका अर्थ है कि $S$ में अनंत अवयव हैं।

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ क्रम $3 \times 3$ के आव्यूह हैं।
हम जानते हैं कि $\det(ABA^T) = \det(A) \det(B) \det(A^T) = \det(A)^2 \det(B) = 8$.
साथ ही,$\det(AB^{-1}) = \det(A) \det(B)^{-1} = \frac{\det(A)}{\det(B)} = 8$,जिसका अर्थ है कि $\det(A) = 8 \det(B)$.
प्रथम समीकरण में $\det(A) = 8 \det(B)$ रखने पर: $(8 \det(B))^2 \det(B) = 8 \Rightarrow 64 \det(B)^3 = 8 \Rightarrow \det(B)^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow \det(B) = \frac{1}{2}$.
अतः $\det(A) = 8 \times \frac{1}{2} = 4$.
हमें $\det(BA^{-1}B^T) = \det(B) \det(A)^{-1} \det(B^T) = \frac{\det(B)^2}{\det(A)}$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $\frac{(1/2)^2}{4} = \frac{1/4}{4} = \frac{1}{16}$.

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$।
रोटेशन मैट्रिक्स के गुणधर्म के अनुसार,$A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\alpha) & -\sin(n\alpha) \\ \sin(n\alpha) & \cos(n\alpha) \end{bmatrix}$।
अतः,$A^{32} = \begin{bmatrix} \cos(32\alpha) & -\sin(32\alpha) \\ \sin(32\alpha) & \cos(32\alpha) \end{bmatrix}$।
हमें दिया गया है $A^{32} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $\cos(32\alpha) = 0$ और $\sin(32\alpha) = 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $32\alpha = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
$n=0$ के लिए,$32\alpha = \frac{\pi}{2}$,जिससे $\alpha = \frac{\pi}{64}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $2, b, c$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए हम $b = 2 + d$ और $c = 2 + 2d$ लिख सकते हैं,जहाँ $d$ सार्व अंतर है।
सारणिक इस प्रकार है:
$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & b & c \\ 4 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}$
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ को लागू करने पर:
$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & b-2 & c-2 \\ 4 & b^2-4 & c^2-4 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\det(A) = (b-2)(c^2-4) - (c-2)(b^2-4)$
$= (b-2)(c-2)(c+2) - (c-2)(b-2)(b+2)$
$= (b-2)(c-2)(c+2 - b - 2) = (b-2)(c-2)(c-b)$
$b = 2+d$ और $c = 2+2d$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\det(A) = (d)(2d)(2d - d) = (d)(2d)(d) = 2d^3$
दिया गया है कि $\det(A) \in [2, 16]$,इसलिए $2 \le 2d^3 \le 16$,जिसका अर्थ है $1 \le d^3 \le 8$,अतः $1 \le d \le 2$.
चूँकि $c = 2 + 2d$,इसलिए $2(1) + 2 \le c \le 2(2) + 2$,जो $4 \le c \le 6$ देता है।
अतः,$c \in [4, 6]$.

(D) दिया गया है $A^T A = 3I_3$.
$A^T A$ की गणना करने पर:
$A^T A = \begin{bmatrix} 0 & 2y & 1 \\ 2x & y & -1 \\ 2x & -y & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2x & 2x \\ 2y & y & -y \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4y^2+1 & 2y^2-1 & -2y^2+1 \\ 2y^2-1 & 4x^2+y^2+1 & 4x^2-y^2-1 \\ -2y^2+1 & 4x^2-y^2-1 & 4x^2+y^2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.
तत्वों की तुलना करने पर:
$1$) $4y^2 + 1 = 3 \Rightarrow 4y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$2$) $4x^2 + y^2 + 1 = 3 \Rightarrow 4x^2 + \frac{1}{2} + 1 = 3 \Rightarrow 4x^2 = \frac{3}{2} \Rightarrow x^2 = \frac{3}{8} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3}{8}}$.
$3$) $4x^2 - y^2 - 1 = 0 \Rightarrow 4(\frac{3}{8}) - \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - 1 = 0$ (संतुष्ट है).
$4$) $2y^2 - 1 = 0 \Rightarrow 2(\frac{1}{2}) - 1 = 0$ (संतुष्ट है).
चूंकि $x = \pm \sqrt{\frac{3}{8}}$ और $y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$,$(x, y)$ के $2 \times 2 = 4$ संभावित जोड़े हैं.
शर्त $x \neq y$ की जाँच करने पर: $\sqrt{\frac{3}{8}} \approx 0.612$ और $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ है,इसलिए सभी $4$ जोड़े $x \neq y$ शर्त को पूरा करते हैं.
अतः,ऐसे $4$ मैट्रिसेस संभव हैं.

(D) प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक ${\Delta _1}$ का विस्तार करने पर:
${\Delta _1} = x(-x^2 - 1) - \sin \theta (x \sin \theta - \cos \theta ) + \cos \theta (\sin \theta + x \cos \theta )$
$= -x^3 - x - x \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta + x \cos^2 \theta$
$= -x^3 - x + x(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta ) + 2 \sin \theta \cos \theta$
$= -x^3 - x + x \cos 2\theta + \sin 2\theta$
इसी प्रकार,${\Delta _2}$ के लिए,हम ${\Delta _1}$ के व्यंजक में $\theta$ को $2\theta$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
${\Delta _2} = -x^3 - x + x \cos 4\theta + \sin 4\theta$
अतः,योग ${\Delta _1} + {\Delta _2} = -2x^3 - 2x + x(\cos 2\theta + \cos 4\theta ) + (\sin 2\theta + \sin 4\theta )$ है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिए गए समीकरण $x^{2}+x+1=0$ के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^{2}$ हैं। मान लीजिए $\alpha = \omega$ है। तब $\alpha^{2} = \omega^{2}$ और $\alpha^{4} = \omega^{4} = \omega$ होगा।
आव्यूह $A$ का मान $A = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{bmatrix}$ है।
$A^{2} = A \cdot A = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^{2} \\ 1 & \omega^{2} & \omega \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अब,$A^{4} = A^{2} \cdot A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I_{3}$ होता है।
चूंकि $A^{4} = I_{3}$ है,इसलिए $A^{31} = A^{28} \cdot A^{3} = (A^{4})^{7} \cdot A^{3} = I_{3}^{7} \cdot A^{3} = A^{3}$ होगा।

(N/A) सबसे पहले,हम $A^{2} = A \cdot A$ की गणना करते हैं:
$A^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15 \end{bmatrix}$
इसके बाद,हम $A^{3} = A \cdot A^{2}$ की गणना करते हैं:
$A^{3} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 19 & 4 & 8 \\ 1 & 12 & 8 \\ 14 & 6 & 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix}$
अब,इन मानों को व्यंजक $A^{3} - 23A - 40I$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$A^{3} - 23A - 40I = \begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix} - 23 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} - 40 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 63 & 46 & 69 \\ 69 & -6 & 23 \\ 92 & 46 & 63 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -23 & -46 & -69 \\ -69 & 46 & -23 \\ -92 & -46 & -23 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -40 & 0 & 0 \\ 0 & -40 & 0 \\ 0 & 0 & -40 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 63-23-40 & 46-46+0 & 69-69+0 \\ 69-69+0 & -6+46-40 & 23-23+0 \\ 92-92+0 & 46-46+0 & 63-23-40 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$.

सबसे पहले,$A^{2} = AA = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0+4 & 0+0+0 & 2+0+6 \\ 0+0+2 & 0+4+0 & 0+2+3 \\ 2+0+6 & 0+0+0 & 4+0+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 8 \\ 2 & 4 & 5 \\ 8 & 0 & 13 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$A^{3} = A^{2}A = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 8 \\ 2 & 4 & 5 \\ 8 & 0 & 13 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5+0+16 & 0+0+0 & 10+0+24 \\ 2+0+10 & 0+8+0 & 4+4+15 \\ 8+0+26 & 0+0+0 & 16+0+39 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 21 & 0 & 34 \\ 12 & 8 & 23 \\ 34 & 0 & 55 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
अब,इन मानों को समीकरण $A^{3} - 6A^{2} + 7A + 2I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \begin{bmatrix} 21 & 0 & 34 \\ 12 & 8 & 23 \\ 34 & 0 & 55 \end{bmatrix} - 6 \begin{bmatrix} 5 & 0 & 8 \\ 2 & 4 & 5 \\ 8 & 0 & 13 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 21 & 0 & 34 \\ 12 & 8 & 23 \\ 34 & 0 & 55 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 30 & 0 & 48 \\ 12 & 24 & 30 \\ 48 & 0 & 78 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 & 14 \\ 0 & 14 & 7 \\ 14 & 0 & 21 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 21-30+7+2 & 0-0+0+0 & 34-48+14+0 \\ 12-12+0+0 & 8-24+14+2 & 23-30+7+0 \\ 34-48+14+0 & 0-0+0+0 & 55-78+21+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$.

$L.H.S. = I+A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix} \quad \dots (1)$
$R.H.S. = (I-A) \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$
$= \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 0 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1 & \tan \frac{\alpha}{2} \\ -\tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \cos \alpha + \sin \alpha \tan \frac{\alpha}{2} & -\sin \alpha + \cos \alpha \tan \frac{\alpha}{2} \\ -\cos \alpha \tan \frac{\alpha}{2} + \sin \alpha & \sin \alpha \tan \frac{\alpha}{2} + \cos \alpha \end{bmatrix}$
सर्वसमिकाओं $\cos \alpha = \frac{1-\tan^2 \frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2 \frac{\alpha}{2}}$ और $\sin \alpha = \frac{2\tan \frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2 \frac{\alpha}{2}}$ का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $t = \tan \frac{\alpha}{2}$.
आव्यूह $\begin{bmatrix} \frac{1-t^2}{1+t^2} + \frac{2t^2}{1+t^2} & \frac{-2t}{1+t^2} + \frac{t(1-t^2)}{1+t^2} \\ \frac{-t(1-t^2)}{1+t^2} + \frac{2t}{1+t^2} & \frac{2t^2}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -t \\ t & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 1 \end{bmatrix} \quad \dots (2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$L.H.S. = R.H.S.$

It is given that $A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]$

To show:  $\mathrm{P}(n)$ $:(a I+b A)^{n}=a^{n} I+n a^{n-1} b A, n \in N$

We shall prove the result by using the principal of mathematical induction. For $n=1,$ we have:

$P(1):(a I+b A)=a I+b a^{\circ} A=a I+b A$

Therefore, the result is true for $n=1$

Let the result be true for $n=k$

That is,

$P(k):(a I+{b} A)^{k}=a^{k} I+k a^{k \cdot \cdot} {b} A$

Now, we prove that the result is true for $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{k}+1$ Consider

$(a I+b A)^{k-1} =(a I+b A)^{k}(a I+b A)$

$=\left(a^{k} I+k a^{k-1} b A\right)(a I+b A)$

$=a^{k-1}+k a^{k} b A I+a^{k} b I A+k a^{k-1} b^{2} A^{2}$

$=a^{k-1} I+(k+1) a^{k} b A+k a^{k-1} b^{2} A^{2} $        .......... $(1)$

Now,      $A^{2}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]=0$

From $(1)$, we have :

$(a I+b A)^{k+1}=a^{k+1}+(k+1) a^{k} b A+0$

$=a^{k+1}+(k+1) a^{k} b A$

Therefore, the result is true for $n=k+1$.

Thus, by the principal of mathematical induction, we have:

$(a I+b A)^{n}=a^{n} I+n a^{n-1} b A$ where $A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right], n \in \mathrm{N}$

(N/A) दिया गया है $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$।
हमें गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध करना है कि $P(n): A^{n}=\begin{bmatrix} 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\ 3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \end{bmatrix}$ सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।
चरण $1$: $n=1$ के लिए,$A^{1} = \begin{bmatrix} 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \\ 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \\ 3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \\ 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \\ 3^{0} & 3^{0} & 3^{0} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} = A$। अतः,$P(1)$ सत्य है।
चरण $2$: मान लीजिए कि $P(k)$ किसी $k \in N$ के लिए सत्य है,अर्थात $A^{k} = \begin{bmatrix} 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \end{bmatrix}$।
चरण $3$: हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$A^{k+1} = A \cdot A^{k} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \\ 3^{k-1} & 3^{k-1} & 3^{k-1} \end{bmatrix}$।
आव्यूह गुणन करने पर,परिणामी आव्यूह का प्रत्येक अवयव $(1 \cdot 3^{k-1} + 1 \cdot 3^{k-1} + 1 \cdot 3^{k-1}) = 3 \cdot 3^{k-1} = 3^{k} = 3^{(k+1)-1}$ होगा।
अतः,$A^{k+1} = \begin{bmatrix} 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} \\ 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} \\ 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} & 3^{(k+1)-1} \end{bmatrix}$।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,यह परिणाम सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(C) दिया गया आव्यूह समीकरण: $[x \ -5 \ -1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} = 0$
सबसे पहले,पहले दो आव्यूहों का गुणा करें:
$[x(1) + (-5)(0) + (-1)(2) \quad x(0) + (-5)(2) + (-1)(0) \quad x(2) + (-5)(1) + (-1)(3)]$
$= [x - 2 \quad -10 \quad 2x - 8]$
अब,इस परिणाम का तीसरे आव्यूह के साथ गुणा करें:
$[x - 2 \quad -10 \quad 2x - 8]\begin{bmatrix} x \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} = 0$
$(x - 2)(x) + (-10)(4) + (2x - 8)(1) = 0$
$x^2 - 2x - 40 + 2x - 8 = 0$
$x^2 - 48 = 0$
$x^2 = 48$
$x = \pm \sqrt{48} = \pm 4 \sqrt{3}$

(D) दिया गया है कि $A^{2} = A$ है।
$(I + A)^{3} - 7A$ व्यंजक का द्विपद प्रसार $(I + A)^{3} = I^{3} + 3I^{2}A + 3IA^{2} + A^{3}$ का उपयोग करते हुए:
$(I + A)^{3} - 7A = I + 3A + 3A^{2} + A^{3} - 7A$
चूंकि $A^{2} = A$,इसलिए $A^{3} = A^{2} \cdot A = A \cdot A = A^{2} = A$ होता है।
$A^{2} = A$ और $A^{3} = A$ का मान व्यंजक में रखने पर:
$= I + 3A + 3(A) + A - 7A$
$= I + 3A + 3A + A - 7A$
$= I + 7A - 7A$
$= I$
अतः,$(I + A)^{3} - 7A = I$।

(A) द्वितीय क्रम का सारणिक $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ द्वारा दिया जाता है।
प्रत्येक अवयव $a, b, c, d \in \{0, 1\}$ है।
संभावित सारणिकों की कुल संख्या $2^4 = 16$ है।
सारणिक का मान $ad - bc$ है।
हमें $ad - bc > 0$ चाहिए,जिसका अर्थ है $ad > bc$।
चूंकि $a, b, c, d \in \{0, 1\}$ है,दो अवयवों का गुणनफल केवल $0$ या $1$ हो सकता है।
$ad > bc$ केवल तभी संभव है जब $ad = 1$ और $bc = 0$ हो।
$ad = 1$ का अर्थ है $a = 1$ और $d = 1$।
$bc = 0$ का अर्थ है कि $b$ या $c$ में से कम से कम एक $0$ होना चाहिए।
$(b, c)$ के संभावित जोड़े जो $bc = 0$ बनाते हैं,वे $(0, 0), (0, 1), (1, 0)$ हैं।
अतः,अनुकूल स्थितियाँ हैं:
$1$. $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - 0(0) = 1 > 0$
$2$. $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - 0(1) = 1 > 0$
$3$. $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - 1(0) = 1 > 0$
कुल $3$ अनुकूल परिणाम हैं।
इसलिए,आवश्यक प्रायिकता $\frac{3}{16}$ है।

(D) माना $A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$ है।
$AA^{T}$ के विकर्ण अवयव $A$ की प्रत्येक पंक्ति के अवयवों के वर्गों का योग हैं।
अतः,सभी विकर्ण अवयवों का योग $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}+i^{2} = 9$ है,जहाँ $a, b, c, d, e, f, g, h, i \in \{0, 1, 2, 3\}$ है।
हमें उन अवयवों की संख्या ज्ञात करनी है जिनके वर्गों का योग $9$ हो।
$1$. नौ $1$s: $\frac{9!}{9!} = 1$
$2$. एक $3$ $(3^2=9)$: $\frac{9!}{1!8!} = 9$
$3$. एक $2$ $(2^2=4)$ और पाँच $1$s $(1^2=1)$: $\frac{9!}{1!5!3!} = 504$
$4$. दो $2$s $(2^2=4)$ और एक $1$ $(1^2=1)$: $\frac{9!}{2!1!6!} = 252$
कुल संख्या $= 1 + 9 + 504 + 252 = 766$.

(C) मान लीजिए $M = (P^{-1}AP - I)^{2}$ है।
हम जानते हैं कि $\det(P^{-1}AP - I) = \det(P^{-1}(A - I)P) = \det(P^{-1}) \det(A - I) \det(P) = \det(A - I)$ होता है।
इसलिए,$\det(M) = (\det(A - I))^{2}$ होगा।
अब,$A - I$ की गणना करते हैं:
$A - I = \begin{bmatrix} 1 & 7 & \omega^{2} \\ -1 & -\omega-1 & 1 \\ 0 & -\omega & -\omega \end{bmatrix}$।
गुणधर्म $1 + \omega + \omega^{2} = 0$ का उपयोग करते हुए,$-\omega - 1 = \omega^{2}$ प्राप्त होता है।
$A - I = \begin{bmatrix} 1 & 7 & \omega^{2} \\ -1 & \omega^{2} & 1 \\ 0 & -\omega & -\omega \end{bmatrix}$।
सारणिक की गणना करने पर:
$\det(A - I) = 1(\omega^{2}(-\omega) - (1)(-\omega)) - 7((-1)(-\omega) - 0) + \omega^{2}((-1)(-\omega) - 0)$
$= 1(-\omega^{3} + \omega) - 7\omega + \omega^{3} = -1 + \omega - 7\omega + 1 = -6\omega$।
अतः,$\det(M) = (-6\omega)^{2} = 36\omega^{2}$।
दिया गया है कि $\det(M) = \alpha \omega^{2}$,इसलिए $\alpha = 36$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & \sin \alpha \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^{2}$ की गणना करें:
$A^{2} = \begin{bmatrix} 0 & \sin \alpha \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \sin \alpha \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin^{2} \alpha & 0 \\ 0 & \sin^{2} \alpha \end{bmatrix} = \sin^{2} \alpha I$.
अब,इसे सारणिक समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$\det\left(A^{2} - \frac{1}{2} I\right) = \det\left(\sin^{2} \alpha I - \frac{1}{2} I\right) = \det\left(\left(\sin^{2} \alpha - \frac{1}{2}\right) I\right) = 0$.
चूंकि $I$ एक $2 \times 2$ तत्समक आव्यूह है,इसलिए $\det(kI) = k^{2} \det(I) = k^{2}$ होता है।
अतः,$\left(\sin^{2} \alpha - \frac{1}{2}\right)^{2} = 0$.
इसका अर्थ है $\sin^{2} \alpha = \frac{1}{2}$,इसलिए $\sin \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए,$\alpha$ का एक संभावित मान $\frac{\pi}{4}$ है।

(D) दिया गया है कि $A^{T} A = I$,अतः आव्यूह $A$ एक लांबिक (orthogonal) आव्यूह है।
आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{bmatrix}$ के लिए,$A^{T} A = I$ की शर्त का अर्थ है:
$a^2 + b^2 + c^2 = 1$
$ab + bc + ca = 0$
हम जानते हैं कि: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 1 + 2(0) = 1$.
अतः,$a+b+c = \pm 1$.
बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca))$.
ज्ञात मान रखने पर: $2 - 3abc = (\pm 1)(1 - 0) = \pm 1$.
स्थिति $1$: $2 - 3abc = 1 \Rightarrow 3abc = 1 \Rightarrow abc = \frac{1}{3}$.
स्थिति $2$: $2 - 3abc = -1 \Rightarrow 3abc = 3 \Rightarrow abc = 1$.
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,संभावित मान $\frac{1}{3}$ है।

(D) दिया गया है कि $Ax_{1} = b_{1}$,$Ax_{2} = b_{2}$,और $Ax_{3} = b_{3}$ है।
हम इन समीकरणों को एक एकल मैट्रिक्स समीकरण में जोड़ सकते हैं: $A[x_{1} \ x_{2} \ x_{3}] = [b_{1} \ b_{2} \ b_{3}]$।
मान लीजिए $X = [x_{1} \ x_{2} \ x_{3}] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = [b_{1} \ b_{2} \ b_{3}] = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ है।
तब $AX = B$,जिसका अर्थ है $|A||X| = |B|$।
$X$ का सारणिक ज्ञात करने पर: $|X| = 1(2 \times 1 - 0 \times 1) = 2$।
$B$ का सारणिक ज्ञात करने पर: $|B| = 1(2 \times 2 - 0 \times 0) = 4$।
अतः,$|A| \times 2 = 4$,जिससे हमें $|A| = 4/2 = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & i \sin \theta \\ i \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
इस विशिष्ट आव्यूह रूप के गुण का उपयोग करते हुए,$A^{n} = \begin{bmatrix} \cos n\theta & i \sin n\theta \\ i \sin n\theta & \cos n\theta \end{bmatrix}$ होता है।
$n = 5$ के लिए,$A^{5} = \begin{bmatrix} \cos 5\theta & i \sin 5\theta \\ i \sin 5\theta & \cos 5\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
अतः,$a = \cos 5\theta$,$b = i \sin 5\theta$,$c = i \sin 5\theta$,$d = \cos 5\theta$.
अब,विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:
$a^{2} + b^{2} = \cos^{2} 5\theta + (i \sin 5\theta)^{2} = \cos^{2} 5\theta - \sin^{2} 5\theta = \cos 10\theta = \cos(10 \times \frac{\pi}{24}) = \cos(\frac{5\pi}{12}) = \cos 75^{\circ}$. चूँकि $0 \leq \cos 75^{\circ} \leq 1$,विकल्प $A$ सत्य है।
$a^{2} - d^{2} = \cos^{2} 5\theta - \cos^{2} 5\theta = 0$. विकल्प $B$ सत्य है।
$a^{2} - b^{2} = \cos^{2} 5\theta - (i \sin 5\theta)^{2} = \cos^{2} 5\theta + \sin^{2} 5\theta = 1$. विकल्प $C$ कहता है कि $a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}$,जो कि असत्य है।
$a^{2} - c^{2} = \cos^{2} 5\theta - (i \sin 5\theta)^{2} = \cos^{2} 5\theta + \sin^{2} 5\theta = 1$. विकल्प $D$ सत्य है।
अतः,जो कथन सत्य नहीं है वह $a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}$ है।

(D) दिया गया है $f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} -\sin^2 \theta & -1-\sin^2 \theta & 1 \\ -\cos^2 \theta & -1-\cos^2 \theta & 1 \\ 12 & 10 & -2 \end{array}\right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ लागू करने पर:
$f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} -\sin^2 \theta & -1 & 1 \\ -\cos^2 \theta & -1 & 1 \\ 12 & -2 & -2 \end{array}\right|$.
अब $C_3 \rightarrow C_3 + C_2$ लागू करने पर:
$f(\theta) = \left|\begin{array}{ccc} -\sin^2 \theta & -1 & 0 \\ -\cos^2 \theta & -1 & 0 \\ 12 & -2 & -4 \end{array}\right|$.
$C_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(\theta) = -4 [(-\sin^2 \theta)(-1) - (-1)(-\cos^2 \theta)] = -4 [\sin^2 \theta - \cos^2 \theta] = -4 [-\cos 2\theta] = 4 \cos 2\theta$.
दिया है $\theta \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]$,अतः $2\theta \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$.
जब $2\theta \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ हो,तो $\cos 2\theta$ का मान $-1$ से $0$ के बीच होता है।
अतः,$f(\theta) = 4 \cos 2\theta$ का मान $4(-1) = -4$ से $4(0) = 0$ तक प्राप्त होता है।
इसलिए,$m = -4$ और $M = 0$,अतः क्रमित युग्म $(m, M) = (-4, 0)$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
रोटेशन मैट्रिक्स के गुणधर्म के अनुसार,$A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & \sin(n\theta) \\ -\sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$.
अतः,$A^4 = \begin{bmatrix} \cos 4\theta & \sin 4\theta \\ -\sin 4\theta & \cos 4\theta \end{bmatrix}$.
$B = A + A^4 = \begin{bmatrix} \cos \theta + \cos 4\theta & \sin \theta + \sin 4\theta \\ -(\sin \theta + \sin 4\theta) & \cos \theta + \cos 4\theta \end{bmatrix}$.
माना $x = \cos \theta + \cos 4\theta$ और $y = \sin \theta + \sin 4\theta$. तब $B = \begin{bmatrix} x & y \\ -y & x \end{bmatrix}$.
$\det(B) = x^2 + y^2 = (\cos \theta + \cos 4\theta)^2 + (\sin \theta + \sin 4\theta)^2$.
$\det(B) = \cos^2 \theta + \cos^2 4\theta + 2\cos \theta \cos 4\theta + \sin^2 \theta + \sin^2 4\theta + 2\sin \theta \sin 4\theta$.
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ और $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\det(B) = 1 + 1 + 2\cos(4\theta - \theta) = 2 + 2\cos 3\theta$.
चूंकि $\theta = \frac{\pi}{5}$ दिया गया है,$\det(B) = 2 + 2\cos\left(\frac{3\pi}{5}\right)$.
चूंकि $\cos\left(\frac{3\pi}{5}\right) = \cos(108^\circ) = -\sin(18^\circ) = -\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)$.
$\det(B) = 2 + 2\left(-\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right) = 2 - \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{4 - \sqrt{5} + 1}{2} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$.
चूंकि $\sqrt{5} \approx 2.236$,$\det(B) = \frac{5 - 2.236}{2} = \frac{2.764}{2} = 1.382$.
यह मान $(1, 2)$ अंतराल में स्थित है।

(A) मान लीजिए कि सारणिक $\Delta$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_{1} \rightarrow R_{1} - R_{2}$ और $R_{2} \rightarrow R_{2} - R_{3}$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ \cos ^{2} x & \sin ^{2} x & 1+\sin 2 x \end{array}\right|$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = -1(0 - (-\sin ^{2} x)) - 1(1 + \sin 2 x + \cos ^{2} x) + 0$
$\Delta = -\sin ^{2} x - 1 - \sin 2 x - \cos ^{2} x$
हम जानते हैं कि $\sin ^{2} x + \cos ^{2} x = 1$,इसलिए:
$\Delta = -1 - 1 - \sin 2 x = -2 - \sin 2 x$
हम जानते हैं कि $-1 \leq \sin 2 x \leq 1$.
न्यूनतम मान $m$ के लिए,$\sin 2 x = 1$,इसलिए $m = -2 - 1 = -3$.
अधिकतम मान $M$ के लिए,$\sin 2 x = -1$,इसलिए $M = -2 - (-1) = -1$.
अतः,$(m, M) = (-3, -1)$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$। सारणिक $|A| = (2)(-1) - (3)(0) = -2$ है।
सबसे पहले,हम $\det(A^4) = |A|^4 = (-2)^4 = 16$ की गणना करते हैं।
इसके बाद,$\operatorname{adj}(2A)$ पर विचार करें। चूंकि $2A = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$,इसका सारणिक $|2A| = 2^2 |A| = 4(-2) = -8$ है।
$2 \times 2$ आव्यूह $M = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का सहखंडज (adjoint) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ होता है।
अतः,$\operatorname{adj}(2A) = \begin{bmatrix} -2 & -6 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ है।
ध्यान दें कि $\operatorname{adj}(2A) = -2 \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$ है।
वैकल्पिक रूप से,गुणधर्म $\operatorname{adj}(kA) = k^{n-1} \operatorname{adj}(A)$ का उपयोग करते हुए,$n=2$ के लिए,$\operatorname{adj}(2A) = 2 \operatorname{adj}(A) = 2 \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -6 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ है।
$A$ के आइगेन मान $\lambda_1 = 2$ और $\lambda_2 = -1$ हैं। $A^{10}$ के आइगेन मान $2^{10}$ और $(-1)^{10} = 1$ हैं।
$\operatorname{adj}(2A)$ के आइगेन मान $2 \times (-1) = -2$ और $2 \times 2 = 4$ हैं। अतः,$(\operatorname{adj}(2A))^{10}$ के आइगेन मान $(-2)^{10} = 2^{10}$ और $4^{10} = 2^{20}$ हैं।
चूंकि $A^{10}$ और $(\operatorname{adj}(2A))^{10}$ दोनों में $2^{10}$ आइगेन मान समान है,आव्यूह $A^{10} - (\operatorname{adj}(2A))^{10}$ का कम से कम एक आइगेन मान $2^{10} - 2^{10} = 0$ है।
इसलिए,$\det(A^{10} - (\operatorname{adj}(2A))^{10}) = 0$ है।
अंत में,अभीष्ट मान $16 + 0 = 16$ है।

(D) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^{2} x & \sin ^{2} x & \sin ^{2} x \\ \cos ^{2} x & 1+\cos ^{2} x & \cos ^{2} x \\ 4 \sin 2 x & 4 \sin 2 x & 1+4 \sin 2 x\end{array}\right|=0$.
पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ लागू करने पर:
चूंकि $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$,पहली पंक्ति के प्रत्येक स्तंभ का योग $1 + \sin^{2} x + \cos^{2} x + 4 \sin 2x = 2 + 4 \sin 2x$ हो जाता है।
$(2 + 4 \sin 2x)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(2 + 4 \sin 2x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ \cos ^{2} x & 1+\cos ^{2} x & \cos ^{2} x \\ 4 \sin 2 x & 4 \sin 2 x & 1+4 \sin 2 x \end{array}\right| = 0$.
$C_{2} \rightarrow C_{2} - C_{1}$ और $C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1}$ लागू करने पर:
$(2 + 4 \sin 2x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ \cos ^{2} x & 1 & 0 \\ 4 \sin 2 x & 0 & 1 \end{array}\right| = 0$.
यह $(2 + 4 \sin 2x)(1) = 0$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $\sin 2x = -\frac{1}{2}$.
$0 < x < \pi$ के लिए,$0 < 2x < 2\pi$ है।
अंतराल $(0, 2\pi)$ में $\sin 2x = -\frac{1}{2}$ के लिए $2x$ के मान $2x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ और $2x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ हैं।
अतः,$x = \frac{7\pi}{12}$ और $x = \frac{11\pi}{12}$।