$3 \times 3$ के कितने व्युत्क्रमणीय (non-singular) आव्यूह हैं,जिनमें चार प्रविष्टियाँ $1$ हैं और बाकी सभी प्रविष्टियाँ $0$ हैं?

माना $A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ \alpha & \beta \end{bmatrix}$ है। यदि $A^2 + \gamma A + 18I = O$ है,तो $\operatorname{det}(A)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A$ और $B$ क्रम $3$ के दो वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि $AB = A$ और $BA = B$,और आव्यूह $X$ और $Y$ को $X = A^4 + B^4$ और $Y = A^{10} + B^{10}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,तो आव्यूह $X - Y$ है:

यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही नहीं है?

निम्नलिखित कथनों के लिए $T$ या $F$ का सही क्रम दें। यदि कथन सत्य है तो $T$ और यदि असत्य है तो $F$ का उपयोग करें।
कथन $-1$ : यदि $A$ एक व्युत्क्रमणीय $3 \times 3$ आव्यूह है और $B$ एक $3 \times 4$ आव्यूह है,तो $A^{-1}B$ परिभाषित है।
कथन $-2$ : यह कभी सत्य नहीं होता कि $A + B, A - B$,और $AB$ सभी परिभाषित हों।
कथन $-3$ : प्रत्येक आव्यूह जिसके कोई भी अवयव शून्य नहीं हैं,वह व्युत्क्रमणीय होता है।
कथन $-4$ : प्रत्येक व्युत्क्रमणीय आव्यूह वर्ग आव्यूह होता है और इसकी कोई भी दो पंक्तियाँ समान नहीं होती हैं।

मैट्रिक्स समीकरण $X^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ के हलों की संख्या क्या है?