Adjoint and inverse of matrices Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે $|A|=3$ અને કક્ષા $n=3$.
આપણે ગુણધર્મ $|\operatorname{adj}(B)| = |B|^{n-1} = |B|^2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $X = (2A)^{-1}$. તો $|X| = |(2A)^{-1}| = \frac{1}{|2A|} = \frac{1}{2^3 |A|} = \frac{1}{8 \times 3} = \frac{1}{24}$.
પગલું $1$: $|\operatorname{adj}(3X)| = |3X|^2 = (3^3 |X|)^2 = (27 \times \frac{1}{24})^2 = (\frac{9}{8})^2 = \frac{81}{64}$.
પગલું $2$: $|\operatorname{adj}(-3 \operatorname{adj}(3X))| = | -3 \operatorname{adj}(3X) |^2 = ((-3)^3 |\operatorname{adj}(3X)|)^2 = (-27 \times \frac{81}{64})^2 = (\frac{2187}{64})^2$.
પગલું $3$: $|\operatorname{adj}(-4 \operatorname{adj}(-3 \operatorname{adj}(3X)))| = | -4 \operatorname{adj}(-3 \operatorname{adj}(3X)) |^2 = ((-4)^3 |\operatorname{adj}(-3 \operatorname{adj}(3X))|)^2 = (-64 \times (\frac{2187}{64})^2)^2 = (-\frac{2187^2}{64})^2 = \frac{2187^4}{64^2} = \frac{3^{28}}{2^{12}} = 2^{-12} \cdot 3^{28}$.
$2^m 3^n$ સાથે સરખાવતા,$m = -12$ અને $n = 28$ મળે છે.
આમ,$m+2n = -12 + 2(28) = 44$.

(A) આપેલ છે $PQ = kI$,તેથી $Q = kP^{-1}$.
$P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \text{adj}(P)$ હોવાથી,$Q = \frac{k}{\det(P)} \text{adj}(P)$.
પ્રથમ,$\det(P) = 3(0 - (-5\alpha)) - (-1)(0 - 3\alpha) + (-2)(-10 - 0) = 15\alpha - 3\alpha + 20 = 12\alpha + 20$.
ઘટક $q_{23}$ એ $Q$ નો $(2,3)$-મો ઘટક છે.
$q_{23} = \frac{k}{\det(P)} \times (\text{adj}(P))_{23} = \frac{k}{12\alpha + 20} \times (-1)^{2+3} M_{32} = \frac{-k(3\alpha + 4)}{4(3\alpha + 5)}$.
$q_{23} = -\frac{k}{8}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{3\alpha + 4}{4(3\alpha + 5)} = \frac{1}{8} \implies 6\alpha + 8 = 3\alpha + 5 \implies 3\alpha = -3 \implies \alpha = -1$.
તેથી $\det(P) = 8$.
$Q = kP^{-1}$ હોવાથી,$\det(Q) = \frac{k^3}{\det(P)} = \frac{k^3}{8}$.
$\det(Q) = \frac{k^2}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{k^3}{8} = \frac{k^2}{2} \implies k = 4$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(B)$ $4\alpha - k + 8 = 4(-1) - 4 + 8 = 0$. (સાચું)
$(C)$ $\det(P \text{adj}(Q)) = \det(P) (\det(Q))^2 = 8 \times (8)^2 = 512 = 2^9$. (સાચું)

(A) પ્રથમ,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધો. હાર અને સ્તંભની પ્રક્રિયાઓ દ્વારા,આપણને $|A| = (2k+1)^3$ મળે છે.
શ્રેણિક $B$ એ $3$ કક્ષાનો વિસંમિત શ્રેણિક હોવાથી,તેનો નિશ્ચાયક $|B| = 0$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\det(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકની કક્ષા છે. અહીં $n=3$ છે,તેથી $\det(\operatorname{adj} A) = |A|^2 = ((2k+1)^3)^2 = (2k+1)^6$.
તે જ રીતે,$\det(\operatorname{adj} B) = |B|^2 = 0^2 = 0$.
આપેલ છે કે $\det(\operatorname{adj} A) + \det(\operatorname{adj} B) = 10^6$,તેથી $(2k+1)^6 = 10^6$.
બંને બાજુ છઠ્ઠું મૂળ લેતા,$2k+1 = 10$.
$2k = 9$,જેનો અર્થ છે કે $k = 4.5$.
તેથી,$[k] = [4.5] = 4$.

(A, D) ધારો કે $P$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે. આપણને આપેલ છે કે $\operatorname{adj}(P) = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 2 & 1 & 7 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj}(P)| = |P|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|\operatorname{adj}(P)| = |P|^{3-1} = |P|^2$.
પ્રથમ,$\operatorname{adj}(P)$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|\operatorname{adj}(P)| = 1(1 \times 3 - 7 \times 1) - 4(2 \times 3 - 7 \times 1) + 4(2 \times 1 - 1 \times 1)$
$|\operatorname{adj}(P)| = 1(3 - 7) - 4(6 - 7) + 4(2 - 1)$
$|\operatorname{adj}(P)| = 1(-4) - 4(-1) + 4(1)$
$|\operatorname{adj}(P)| = -4 + 4 + 4 = 4$.
હવે,આને $|P|^2$ સાથે સરખાવો:
$|P|^2 = 4$
$|P| = \pm 2$.
આમ,$P$ ના નિશ્ચાયકના શક્ય મૂલ્યો $2$ અને $-2$ છે,જે વિકલ્પ $(A)$ અને $(D)$ ને અનુરૂપ છે.

(C) આપેલ છે $|A| = -2$ અને શ્રેણિકનો ક્રમ $n = 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{det}(k A) = k^n \operatorname{det}(A)$ અને $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(B)) = (\operatorname{det}(B))^{n-1}$.
પ્રથમ,$\operatorname{det}(3A) = 3^3 \operatorname{det}(A) = 27(-2) = -54$.
ત્યારબાદ,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(3A)) = (-54)^{3-1} = (-54)^2 = 54^2 = (2 \cdot 3^3)^2 = 2^2 \cdot 3^6$.
હવે,$\operatorname{det}(-6 \operatorname{adj}(3A)) = (-6)^3 \operatorname{det}(\operatorname{adj}(3A)) = (-2^3 \cdot 3^3) \cdot (2^2 \cdot 3^6) = -2^5 \cdot 3^9$.
તેથી,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(-6 \operatorname{adj}(3A))) = (-2^5 \cdot 3^9)^{3-1} = (-2^5 \cdot 3^9)^2 = 2^{10} \cdot 3^{18}$.
અંતે,$\operatorname{det}(3 \operatorname{adj}(-6 \operatorname{adj}(3A))) = 3^3 \cdot \operatorname{det}(\operatorname{adj}(-6 \operatorname{adj}(3A))) = 3^3 \cdot 2^{10} \cdot 3^{18} = 2^{10} \cdot 3^{21}$.
$2^{m+n} \cdot 3^{mn}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m+n = 10$ અને $mn = 21$ મળે છે.
$m > n$ હોવાથી,$m = 7$ અને $n = 3$ મળે.
આમ,$4m + 2n = 4(7) + 2(3) = 28 + 6 = 34$.

(C) આપણે $X = A(\operatorname{adj}(A^{-1})+\operatorname{adj}(B^{-1}))^{-1}B$ નો વ્યસ્ત શોધવાનો છે.
ગુણધર્મ $(XYZ)^{-1} = Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$X^{-1} = B^{-1}(\operatorname{adj}(A^{-1})+\operatorname{adj}(B^{-1}))A^{-1}$
$X^{-1} = B^{-1}\operatorname{adj}(A^{-1})A^{-1} + B^{-1}\operatorname{adj}(B^{-1})A^{-1}$
ગુણધર્મ $\operatorname{adj}(M^{-1}) = |M^{-1}|M = \frac{1}{|M|}M$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\operatorname{adj}(A^{-1}) = |A^{-1}|A = \frac{1}{|A|}A$ અને $\operatorname{adj}(B^{-1}) = |B^{-1}|B = \frac{1}{|B|}B$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$X^{-1} = B^{-1}(\frac{1}{|A|}A)A^{-1} + B^{-1}(\frac{1}{|B|}B)A^{-1}$
$X^{-1} = \frac{1}{|A|}B^{-1}(AA^{-1}) + \frac{1}{|B|}(B^{-1}B)A^{-1}$
$X^{-1} = \frac{1}{|A|}B^{-1}I + \frac{1}{|B|}IA^{-1}$
$X^{-1} = \frac{B^{-1}}{|A|} + \frac{A^{-1}}{|B|}$
કારણ કે $B^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(B)}{|B|}$ અને $A^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(A)}{|A|}$,તેથી:
$X^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(B)}{|B||A|} + \frac{\operatorname{adj}(A)}{|A||B|} = \frac{1}{|AB|}(\operatorname{adj}(B) + \operatorname{adj}(A))$.

(D) આપેલ છે $A+I = \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ a & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી $A = \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ a & 1 & 2 \end{bmatrix} - I = \begin{bmatrix} 0 & a & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ a & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ નો નિશ્ચાયક ગણતા: $\det(A) = 0(0) - a(2) + 1(2-0) = -2a + 2$.
આપેલ છે $\det(A) = -4$,તેથી $-2a + 2 = -4 \Rightarrow -2a = -6 \Rightarrow a = 3$.
હવે,આપણે $\det((a+1) \operatorname{adj}((a-1)A))$ શોધવાનું છે.
$a=3$ મૂકતા: $\det((3+1) \operatorname{adj}((3-1)A)) = \det(4 \operatorname{adj}(2A))$.
$A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,$\det(kM) = k^3 \det(M)$.
તેથી,$\det(4 \operatorname{adj}(2A)) = 4^3 \det(\operatorname{adj}(2A)) = 64 \det(\operatorname{adj}(2A))$.
ગુણધર્મ $\det(\operatorname{adj}(M)) = (\det(M))^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$:
$\det(\operatorname{adj}(2A)) = (\det(2A))^{3-1} = (\det(2A))^2$.
$\det(2A) = 2^3 \det(A) = 8 \times (-4) = -32$ હોવાથી,$(\det(2A))^2 = (-32)^2 = 1024 = 2^{10}$.
તેથી,$\det(4 \operatorname{adj}(2A)) = 64 \times 1024 = 2^6 \times 2^{10} = 2^{16} = 2^{16} \times 3^0$.
$2^m 3^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=16$ અને $n=0$ મળે છે.
તેથી,$m+n = 16+0 = 16$.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $|A|=5$. અહીં $|k A| = k^n |A|$ જ્યાં $n=3$ અને $|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{n-1} = |M|^2$ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે.
$|2 \operatorname{adj}(3 A \operatorname{adj}(2 A))| = 2^3 |\operatorname{adj}(3 A \operatorname{adj}(2 A))|$
$= 2^3 |3 A \operatorname{adj}(2 A)|^2$
$= 2^3 \cdot (3^3 |A \operatorname{adj}(2 A)|)^2 = 2^3 \cdot 3^6 \cdot |A|^2 \cdot |\operatorname{adj}(2 A)|^2$
$= 2^3 \cdot 3^6 \cdot |A|^2 \cdot (|2 A|^2)^2 = 2^3 \cdot 3^6 \cdot |A|^2 \cdot (2^3 |A|)^4$
$= 2^3 \cdot 3^6 \cdot |A|^2 \cdot 2^{12} \cdot |A|^4 = 2^{15} \cdot 3^6 \cdot |A|^6$
$|A|=5$ મૂકતા,આપણને $2^{15} \cdot 3^6 \cdot 5^6 = 2^\alpha \cdot 3^\beta \cdot 5^\gamma$ મળે છે.
આમ,$\alpha=15, \beta=6, \gamma=6$.
તેથી,$\alpha+\beta+\gamma = 15+6+6 = 27$.

(A) આપેલ છે કે $|A| = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -1$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $\lambda(10 - (-6)) - 2(8 - 42) + 3(-4 - 35) = -1$.
$16\lambda - 2(-34) + 3(-39) = -1 \Rightarrow 16\lambda + 68 - 117 = -1 \Rightarrow 16\lambda = 48 \Rightarrow \lambda = 3$.
આપણને $B^{-1} = \operatorname{adj}(A \cdot \operatorname{adj}(A^2))$ આપેલ છે.
ધારો કે $C = A \cdot \operatorname{adj}(A^2)$.
$A \cdot \operatorname{adj}(A) = |A|I$ હોવાથી,$A^2 \cdot \operatorname{adj}(A^2) = |A^2|I = |A|^2 I = (-1)^2 I = I$.
તેથી,$C = A^{-1}$.
પછી $B^{-1} = \operatorname{adj}(A^{-1})$.
ગુણધર્મ $\operatorname{adj}(A^{-1}) = (A^{-1})^{-1} / |A^{-1}| = A / (1/|A|) = |A|A$ નો ઉપયોગ કરતા.
$|A| = -1$ હોવાથી,$B^{-1} = -A$,તેથી $B = -A^{-1}$.
આપણે $|\lambda B + I| = |3B + I| = |-3A^{-1} + I|$ શોધવાનું છે.
$|-3A^{-1} + I| = |A^{-1}(-3I + A)| = |A^{-1}| \cdot |A - 3I| = \frac{1}{|A|} |A - 3I| = -|A - 3I|$.
$A - 3I = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & -1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ 7 & -1 & -1 \end{bmatrix}$.
$|A - 3I| = 0(2 + 6) - 2(-4 - 42) + 3(-4 - 14) = 0 - 2(-46) + 3(-18) = 92 - 54 = 38$.
તેથી,$|3B + I| = -38$.
વિકલ્પોના સંદર્ભમાં માનાંક લેતા,જવાબ $38$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A ))|=81$.
$n \times n$ શ્રેણિક માટે $|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ હોવાથી,અહીં $n=3$ છે,તેથી $|\operatorname{adj} M| = |M|^2$.
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A ))| = (|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)|)^2 = ((|\operatorname{adj} A|)^2)^2 = (|\operatorname{adj} A|)^4 = (|A|^2)^4 = |A|^8$.
આમ,$|A|^8 = 81 = 3^4$,જેનો અર્થ છે કે $|A| = 3^{4/8} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$|A|^2 = 3$.
હવે,$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| = (|\operatorname{adj} A|)^2 = (|A|^2)^2 = |A|^4$.
આપેલ સમીકરણ $(|A|^4)^{\frac{(n-1)^2}{2}} = |A|^{(3n^2-5n-4)}$ છે.
$|A|^{2(n-1)^2} = |A|^{(3n^2-5n-4)}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $2(n^2-2n+1) = 3n^2-5n-4$.
$2n^2-4n+2 = 3n^2-5n-4$.
$n^2-n-6 = 0$.
$(n-3)(n+2) = 0$,તેથી $n=3$ અથવા $n=-2$.
આપણે $\sum_{n \in S} |A|^{n^2+n}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$n=3$ માટે,$|A|^{3^2+3} = |A|^{12} = (|A|^2)^6 = 3^6 = 729$.
$n=-2$ માટે,$|A|^{(-2)^2+(-2)} = |A|^{4-2} = |A|^2 = 3$.
સરવાળો $= 729 + 3 = 732$.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ એ $n=3$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો છે.
આપણને $|A|=2$ અને $|B|=4$ આપેલ છે.
આપણે $|A(\operatorname{adj} B)|$ શોધવાનું છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ $|AB| = |A||B|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|A(\operatorname{adj} B)| = |A| |\operatorname{adj} B|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $B$ માટે,$|\operatorname{adj} B| = |B|^{n-1}$ થાય.
અહીં $n=3$ હોવાથી,$|\operatorname{adj} B| = |B|^{3-1} = |B|^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$|A(\operatorname{adj} B)| = |A| \times |B|^2 = 2 \times (4)^2$.
$|A(\operatorname{adj} B)| = 2 \times 16 = 32$.

(C) ધારો કે $P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ અને $Q = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$. સમીકરણ $PAQ = I$ છે,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
તેથી $A = P^{-1} I Q^{-1} = P^{-1} Q^{-1} = (QP)^{-1}$.
પ્રથમ,$QP$ ની ગણતરી કરો:
$QP = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-3)(2) + (2)(3) & (-3)(1) + (2)(2) \\ (5)(2) + (-3)(3) & (5)(1) + (-3)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.
હવે,$A = (QP)^{-1}$ શોધો. નિશ્ચાયક $|QP| = (0)(-1) - (1)(1) = -1$.
$A = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.

(A) શોધવા માટે,આપણે $(A^{-1})^{-1} = A$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આપણે આપેલ શ્રેણિક $A^{-1}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક એડજોઈન્ટ પદ્ધતિ દ્વારા શોધીએ છીએ. ધારો કે $M = A^{-1} = \left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 5\end{array}\right]$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|M| = 3(5-10) - 2(5-4) + 6(5-2) = 3(-5) - 2(1) + 6(3) = -15 - 2 + 18 = 1$ શોધો.
ત્યારબાદ,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધો:
$C_{11} = +(5-10) = -5, C_{12} = -(5-4) = -1, C_{13} = +(5-2) = 3$
$C_{21} = -(10-30) = 20, C_{22} = +(15-12) = 3, C_{23} = -(15-4) = -11$
$C_{31} = +(4-6) = -2, C_{32} = -(6-6) = 0, C_{33} = +(3-2) = 1$
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $adj(M) = \left[\begin{array}{ccc}-5 & 20 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 3 & -11 & 1\end{array}\right]$.
કારણ કે $A = M^{-1} = \frac{1}{|M|} adj(M) = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{ccc}-5 & 20 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 3 & -11 & 1\end{array}\right]$.
આમ,$A = \left[\begin{array}{ccc}-5 & 20 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 3 & -11 & 1\end{array}\right]$.

(D) આપેલ છે કે $(A-3 I)(A-5 I)=O$.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$A^2 - 5A - 3A + 15I = O$
$A^2 - 8A + 15I = O$
$A^2 + 15I = 8A$
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$A + 15A^{-1} = 8I$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{2}A + \frac{15}{2}A^{-1} = 4I$
આને આપેલ સમીકરણ $\alpha A + \beta A^{-1} = 4I$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\alpha = \frac{1}{2}$ અને $\beta = \frac{15}{2}$
તેથી,$\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{15}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

(D) આપેલ છે $A=\left[\begin{array}{ll}x & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$.
પ્રથમ,$A^2$ શોધો:
$A^2 = \left[\begin{array}{ll}x & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}x & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}x^2+1 & x \\ x & 1\end{array}\right]$.
હવે,$A^4 = A^2 \cdot A^2$ શોધો:
$A^4 = \left[\begin{array}{cc}x^2+1 & x \\ x & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x^2+1 & x \\ x & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}(x^2+1)^2+x^2 & x(x^2+1+1) \\ x(x^2+1+1) & x^2+1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}(x^2+1)^2+x^2 & x(x^2+2) \\ x(x^2+2) & x^2+1\end{array}\right]$.
આપેલ છે કે $a_{11} = 109$,તેથી $(x^2+1)^2 + x^2 = 109$.
ધારો કે $t = x^2$. તો $(t+1)^2 + t = 109 \Rightarrow t^2 + 2t + 1 + t = 109 \Rightarrow t^2 + 3t - 108 = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $(t+12)(t-9) = 0$. કારણ કે $x \in R^{+}$,તેથી $t = x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$.
$x=3$ ને શ્રેણિક $A^4$ માં મૂકતા:
$a_{11} = (9+1)^2 + 9 = 109$,$a_{12} = a_{21} = 3(9+2) = 33$,$a_{22} = 9+1 = 10$.
તેથી,$A^4 = \left[\begin{array}{cc}109 & 33 \\ 33 & 10\end{array}\right]$.
નિશ્ચાયક $|A^4| = (109)(10) - (33)(33) = 1090 - 1089 = 1$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $\frac{1}{|A^4|} \text{adj}(A^4) = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}10 & -33 \\ -33 & 109\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}10 & -33 \\ -33 & 109\end{array}\right]$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2a & -3b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot \operatorname{adj} A = |A| I = \begin{bmatrix} |A| & 0 \\ 0 & |A| \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|A| = (2a)(2) - (-3b)(3) = 4a + 9b$.
તેથી,$A \cdot \operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 4a + 9b & 0 \\ 0 & 4a + 9b \end{bmatrix}$.
હવે,$A A^{T}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A A^{T} = \begin{bmatrix} 2a & -3b \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2a & 3 \\ -3b & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4a^2 + 9b^2 & 6a - 6b \\ 6a - 6b & 9 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4a^2 + 9b^2 & 6a - 6b \\ 6a - 6b & 13 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A \cdot \operatorname{adj} A = A A^{T}$,તેથી શ્રેણિકોને સરખાવતા:
$\begin{bmatrix} 4a + 9b & 0 \\ 0 & 4a + 9b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4a^2 + 9b^2 & 6a - 6b \\ 6a - 6b & 13 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$6a - 6b = 0 \implies a = b$.
$4a + 9b = 13$.
બીજા સમીકરણમાં $a = b$ મૂકતા: $4a + 9a = 13 \implies 13a = 13 \implies a = 1$.
તેથી $a = 1$ અને $b = 1$.
આમ,$2a + 3b = 2(1) + 3(1) = 5$.

(B) આપેલ છે કે $AX=I$,તેથી $X=A^{-1}$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}=\frac{1}{|A|}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $|A|=ad-bc$.
અહીં,$|A|=(1)(3)-(2)(4)=3-8=-5$.
તેથી,$X=A^{-1}=\frac{1}{-5}\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $X=\frac{1}{5}\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,$A=\left[\begin{array}{rr}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$.
$AB=BA=I$ હોવાથી,$B$ એ $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક છે,એટલે કે $B=A^{-1}$.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = \cos^2 \theta - (-\sin^2 \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ થાય.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{rr}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ નો વ્યસ્ત $\frac{1}{ad-bc} \left[\begin{array}{rr}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ છે.
આ સૂત્રનો ઉપયોગ $A$ માટે કરતા,આપણને $B = A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{rr}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$ મળે.
આમ,$B = \left[\begin{array}{rr}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$ થાય.

(C) આપેલ શ્રેણિક $A = [a_{ij}]_{3 \times 3}$ જ્યાં $a_{ij} = 2i + j$ છે.
$A$ ના ઘટકોની ગણતરી કરતા:
$a_{11} = 2(1) + 1 = 3$,$a_{12} = 2(1) + 2 = 4$,$a_{13} = 2(1) + 3 = 5$
$a_{21} = 2(2) + 1 = 5$,$a_{22} = 2(2) + 2 = 6$,$a_{23} = 2(2) + 3 = 7$
$a_{31} = 2(3) + 1 = 7$,$a_{32} = 2(3) + 2 = 8$,$a_{33} = 2(3) + 3 = 9$
તેથી,$A = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 7 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો એડજોઈન્ટ,$adj(A)$,એ કોફેક્ટર શ્રેણિક $C = [C_{ij}]_{3 \times 3}$ નો ટ્રાન્સપોઝ છે.
$adj(A)$ ની બીજી હારનો ત્રીજો ઘટક એ શ્રેણિક $A$ ના ઘટક $a_{32}$ નો કોફેક્ટર $C_{32}$ છે.
$C_{32} = (-1)^{3+2} \times M_{32}$,જ્યાં $M_{32}$ એ $a_{32}$ નો માઈનર છે.
$M_{32} = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 7 \end{vmatrix} = (3 \times 7) - (5 \times 5) = 21 - 25 = -4$.
$C_{32} = (-1)^5 \times (-4) = -1 \times (-4) = 4$.
આમ,માંગેલ ઘટક $4$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના અસામાન્ય શ્રેણિક $A$ માટે, $(\operatorname{adj} A)^{-1} = \frac{A}{|A|}$ થાય છે।
અહીં આપેલ છે કે $|A| = k$।
તેથી, સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા, $(\operatorname{adj} A)^{-1} = \frac{A}{k}$ મળે છે।
આમ, સાચો વિકલ્પ $A$ છે।

(C) સૌ પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = 1(0 - (-3)) - (-1)(0 - (-6)) + 1(0 - 4) = 1(3) + 1(-6) + 1(-4) = 3 - 6 - 4 = -7$.
$B = \operatorname{adj} A$ હોવાથી,$|B| = |A|^{n-1} = (-7)^{3-1} = (-7)^2 = 49$.
આપણે $|\operatorname{adj} B|$ શોધવાની જરૂર છે. ગુણધર્મ $|\operatorname{adj} B| = |B|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|\operatorname{adj} B| = (49)^{3-1} = 49^2 = 2401$ મળે છે.
આગળ,$|C| = |5A|$ શોધો. $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,$|5A| = 5^3 |A| = 125 \times (-7) = -875$.
પ્રશ્નમાં $\frac{|\operatorname{adj} B|}{|C|}$ નો ગુણોત્તર પૂછવામાં આવ્યો છે.
ગુણધર્મનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરતા: $|\operatorname{adj} B| = |B|^{n-1} = (|A|^{n-1})^{n-1} = |A|^{(n-1)^2}$.
$n=3$ માટે,$|\operatorname{adj} B| = |A|^{(3-1)^2} = |A|^4 = (-7)^4 = 2401$.
$|C| = 5^3 |A| = 125 \times (-7) = -875$.
પ્રશ્નના વિકલ્પોમાં ભૂલ હોઈ શકે છે. પ્રમાણિત ગુણધર્મો મુજબ,પરિણામ $\frac{2401}{-875} = -2.744$ છે. જો પ્રશ્નનો હેતુ $|\operatorname{adj} B| / |A|^4$ હોય,તો જવાબ $1$ આવશે. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$1$ એ સૌથી તાર્કિક પસંદગી છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot \text{adj}(A) = |A|I$,જ્યાં $I$ એ $2 \times 2$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$,તેથી નિશ્ચાયક $|A| = (5a)(2) - (-b)(3) = 10a + 3b$.
તેથી,$A \cdot \text{adj}(A) = (10a + 3b) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10a + 3b & 0 \\ 0 & 10a + 3b \end{bmatrix}$.
વળી,$A^T = \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી $AA^T = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 9 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 13 \end{bmatrix}$.
$A \cdot \text{adj}(A) = AA^T$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$10a + 3b = 13$ (નીચેના જમણા ઘટક પરથી).
વળી,$15a - 2b = 0$,જેનો અર્થ છે કે $b = \frac{15a}{2}$.
$b$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $10a + 3(\frac{15a}{2}) = 13 \implies 20a + 45a = 26 \implies 65a = 26 \implies a = \frac{26}{65} = \frac{2}{5}$.
તેથી $b = \frac{15}{2} \times \frac{2}{5} = 3$.
અંતે,$5a + b = 5(\frac{2}{5}) + 3 = 2 + 3 = 5$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = 1(8 - 6) - (-2)(0 - (-9)) + 2(0 - 6) = 1(2) + 2(9) + 2(-6) = 2 + 18 - 12 = 8$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\operatorname{adj} A$ શોધો. સહઅવયવ શ્રેણિક:
$C_{11} = 2, C_{12} = -9, C_{13} = -6$
$C_{21} = 4, C_{22} = -2, C_{23} = -4$
$C_{31} = 2, C_{32} = 3, C_{33} = 2$
તેથી,$\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 2 \\ -9 & -2 & 3 \\ -6 & -4 & 2 \end{bmatrix}$.
હવે $A(I + \operatorname{adj} A) = A + A(\operatorname{adj} A) = A + |A|I$.
$A + 8I = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -2 & 2 \\ 0 & 10 & -3 \\ 3 & -2 & 12 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot \operatorname{adj} A = |A| I$. આપેલ છે કે $A \cdot \operatorname{adj} A = A^T$,તેથી $|A| I = A^T$.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (5a)(2) - (-b)(3) = 10a + 3b$ છે.
તેથી,$|A| I = \begin{bmatrix} 10a + 3b & 0 \\ 0 & 10a + 3b \end{bmatrix}$.
$A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T = \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix}$ છે.
સમીકરણ $15a - 2b = 0$ અને $3b + 10a = 13$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b = \frac{15a}{2}$. બીજા સમીકરણમાં કિંમત મુકતા: $3(\frac{15a}{2}) + 10a = 13 \Rightarrow \frac{45a + 20a}{2} = 13 \Rightarrow 65a = 26 \Rightarrow a = \frac{2}{5}$.
તેથી $b = \frac{15}{2} \times \frac{2}{5} = 3$.
આમ,$5a + b = 5(\frac{2}{5}) + 3 = 2 + 3 = 5$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$|\operatorname{Adj} A| = |A|^{n-1}$ થાય.
અહીં આપેલ છે કે $B = \operatorname{Adj}(A)$ અને $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n = 3$.
તેથી,$|B| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
આપેલ છે કે $|A| = 5$,તેથી $|B| = 5^2 = 25$.
હવે,$B$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|B| = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \end{vmatrix} = 1(2 \times 3 - 2 \times 3) - \alpha(1 \times 3 - 2 \times 2) + 2(1 \times 3 - 2 \times 2)$.
$|B| = 1(6 - 6) - \alpha(3 - 4) + 2(3 - 4)$.
$|B| = 0 - \alpha(-1) + 2(-1) = \alpha - 2$.
$|B|$ ની બંને કિંમતોને સરખાવતા:
$\alpha - 2 = 25$.
$\alpha = 27$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ થાય.
અહીં $B = \operatorname{adj} A$ અને $n = 3$ આપેલ છે,તેથી $|B| = |A|^{3-1} = |A|^2$ થાય.
$|A| = 4$ આપેલ હોવાથી,$|B| = 4^2 = 16$ થાય.
હવે,$B$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|B| = \begin{vmatrix} 3 & \alpha & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 3(9-1) - \alpha(3+1) - 1(1+3) = 3(8) - 4\alpha - 4 = 24 - 4\alpha - 4 = 20 - 4\alpha$.
$|B|$ ની બંને કિંમતોને સરખાવતા:
$20 - 4\alpha = 16$
$4\alpha = 4$
$\alpha = 1$.

(B) આપણને આપેલ છે કે $P = \text{adj}(A)$ અને $|A| = 4$.
આપણે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: $|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|P| = |\text{adj}(A)| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|A| = 4$ આપેલ હોવાથી,$|P| = 4^2 = 16$ થાય.
હવે,$P$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|P| = \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \end{vmatrix}$
$= 1(3 \times 4 - 3 \times 4) - \alpha(1 \times 4 - 3 \times 2) + 3(1 \times 4 - 3 \times 2)$
$= 1(12 - 12) - \alpha(4 - 6) + 3(4 - 6)$
$= 0 - \alpha(-2) + 3(-2)$
$= 2\alpha - 6$.
$|P|$ ની બંને કિંમતોને સરખાવતા:
$2\alpha - 6 = 16$
$2\alpha = 22$
$\alpha = 11$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,ગુણધર્મ $A(\operatorname{adj} A) = |A| I$ સાચો છે.
આપેલ છે કે $A(\operatorname{adj} A) = K I$,તેથી બંને પદોની સરખામણી કરતા આપણને $K = |A|$ મળે છે.
હવે,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 1(0 - (-25)) - 3(0 - (-10)) - 2(-15 - 0)$
$|A| = 1(25) - 3(10) - 2(-15)$
$|A| = 25 - 30 + 30 = 25$.
આમ,$K$ ની કિંમત $25$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+12 & -6-3 \\ -8-4 & 12+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & -9 \\ -12 & 13 \end{bmatrix}$ શોધો.
હવે,$3A^2 + 12A = 3 \begin{bmatrix} 16 & -9 \\ -12 & 13 \end{bmatrix} + 12 \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 48 & -27 \\ -36 & 39 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 24 & -36 \\ -48 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 72 & -63 \\ -84 & 51 \end{bmatrix}$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ (adj) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી,$\text{adj}\begin{bmatrix} 72 & -63 \\ -84 & 51 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 51 & 63 \\ 84 & 72 \end{bmatrix}$.

(C) શ્રેણિકના ગુણધર્મ મુજબ $A \cdot (\text{adj } A) = |A| I$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = x(yz - 8) - 3(z - 8) + 2(2 - 2y)$
$|A| = xyz - 8x - 3z + 24 + 4 - 4y$
$|A| = xyz - (8x + 4y + 3z) + 28$
આપેલ કિંમતો $xyz = 60$ અને $8x + 4y + 3z = 20$ મૂકતા:
$|A| = 60 - 20 + 28 = 68$
તેથી,$A \cdot (\text{adj } A) = 68 I = \begin{bmatrix} 68 & 0 & 0 \\ 0 & 68 & 0 \\ 0 & 0 & 68 \end{bmatrix}$.

(B) શ્રેણિક $A$ નો એડજોઈન્ટ (adj) એ કોફેક્ટર શ્રેણિકનો ટ્રાન્સપોઝ છે. કોફેક્ટર $C_{ij}$ એ $(-1)^{i+j} M_{ij}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શ્રેણિક $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & -4\end{array}\right]$ માટે,આપણે એડજોઈન્ટ શ્રેણિકની બીજી અને ત્રીજી હાર માટે કોફેક્ટરની ગણતરી કરીએ છીએ.
ખાસ કરીને,$\operatorname{adj} A$ માં સ્થાન $(2, 3)$ પરના ઘટક માટે,આપણને કોફેક્ટર $C_{32}$ ની જરૂર છે:
$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -1(0 - 2) = 2$. તેથી,$a = 2$.
$\operatorname{adj} A$ માં સ્થાન $(3, 3)$ પરના ઘટક માટે,આપણને કોફેક્ટર $C_{33}$ ની જરૂર છે:
$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(-1 - (-2)) = 1$. તેથી,$b = 1$.
આમ,$a = 2$ અને $b = 1$ મળે છે.

(D) પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = 1(2 \times 3 - (-3) \times 1) - (-1)(0 \times 3 - (-3) \times 2) + 1(0 \times 1 - 2 \times 2)$
$|A| = 1(6 + 3) + 1(0 + 6) + 1(0 - 4) = 9 + 6 - 4 = 11$.
આપેલ છે કે $B = \operatorname{adj} A$,આપણે જાણીએ છીએ કે $|B| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n=3$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
$|B| = |A|^{3-1} = |A|^2 = 11^2 = 121$.
હવે,$|\operatorname{adj} B| = |B|^{n-1} = |B|^2 = 121^2 = 14641$.
આપેલ છે કે $C = 5A$,તેથી $|C| = |5A| = 5^3 |A| = 125 \times 11 = 1375$.
અંતે,$\frac{|\operatorname{adj} B|}{|C|} = \frac{14641}{1375} = 10.647$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-12 & 6+3 \\ -8-4 & -12+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 & 9 \\ -12 & -11 \end{bmatrix}$ ગણો.
હવે,$3A^2 + 12A = 3 \begin{bmatrix} -8 & 9 \\ -12 & -11 \end{bmatrix} + 12 \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$ ગણો.
$= \begin{bmatrix} -24 & 27 \\ -36 & -33 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 24 & 36 \\ -48 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 63 \\ -84 & -21 \end{bmatrix}$.
ધારો કે $M = \begin{bmatrix} 0 & 63 \\ -84 & -21 \end{bmatrix}$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ (adj) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી,$\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} -21 & -63 \\ 84 & 0 \end{bmatrix}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{\operatorname{adj}(A)}{|A|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આના પરથી,આપણે $A$ નો એડજોઈન્ટ $\operatorname{adj}(A) = |A| \cdot A^{-1}$ તરીકે લખી શકીએ.
આપેલ છે કે $|A| = -3$ અને $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 3 & \frac{2}{3} & -1 \end{bmatrix}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{adj}(A) = -3 \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 3 & \frac{2}{3} & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \times 1 & -3 \times 0 & -3 \times 0 \\ -3 \times (-1) & -3 \times \frac{1}{3} & -3 \times 0 \\ -3 \times 3 & -3 \times \frac{2}{3} & -3 \times (-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ (adj) શોધવા માટે,આપણે વિકર્ણના ઘટકો $a$ અને $d$ ની અદલાબદલી કરીએ છીએ અને બાકીના ઘટકો $b$ અને $c$ ના ચિહ્નો બદલીએ છીએ.
તેથી,$\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
હવે,$A + \operatorname{adj}(A)$ ની ગણતરી કરીએ:
$A + \operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+1 & -3+3 \\ 4-4 & 1+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ છે કે $A(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2(\alpha) = A(\alpha) \cdot A(\alpha)$ ની ગણતરી કરો:
$A^2(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \\ -\sin \alpha \cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha & -\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \end{bmatrix}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ અને $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A^2(\alpha) = \begin{bmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ -\sin 2\alpha & \cos 2\alpha \end{bmatrix} = A(2\alpha)$.
હવે,વ્યસ્ત શ્રેણિક $[A^2(\alpha)]^{-1} = [A(2\alpha)]^{-1}$ શોધો.
કારણ કે $|A(2\alpha)| = \cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha = 1$,તેથી વ્યસ્ત શ્રેણિક એડજોઈન્ટ દ્વારા મળે છે:
$[A(2\alpha)]^{-1} = \begin{bmatrix} \cos 2\alpha & -\sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & \cos 2\alpha \end{bmatrix}$.
$\cos(-x) = \cos x$ અને $\sin(-x) = -\sin x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$[A^2(\alpha)]^{-1} = \begin{bmatrix} \cos(-2\alpha) & \sin(-2\alpha) \\ -\sin(-2\alpha) & \cos(-2\alpha) \end{bmatrix} = A(-2\alpha)$.

(D) શ્રેણિક $A$ નો એડજોઈન્ટ (adj $A$),એ સહઅવયવ શ્રેણિક $C$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે,જ્યાં $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ છે.
આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
$x$ શોધવા માટે,જે $\text{adj } A$ ના $(1, 2)$ સ્થાન પર છે,આપણે શ્રેણિક $A$ ના $(2, 1)$ સ્થાનના ઘટકનો સહઅવયવ શોધીશું:
$x = C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -1(0 - 4) = 4$.
$y$ શોધવા માટે,જે $\text{adj } A$ ના $(3, 3)$ સ્થાન પર છે,આપણે શ્રેણિક $A$ ના $(3, 3)$ સ્થાનના ઘટકનો સહઅવયવ શોધીશું:
$y = C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) = 1$.
તેથી,$x + y = 4 + 1 = 5$.

(C) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો એડજોઈન્ટ (સહઅવયવજ શ્રેણિક),જેને $\operatorname{adj} A$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે સહઅવયવ શ્રેણિક $C = [C_{ij}]$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે.
સહઅવયવોની ગણતરી કરતા:
$C_{11} = (\cos \theta)(1) - 0 = \cos \theta$,$C_{12} = -(\sin \theta(1) - 0) = -\sin \theta$,$C_{13} = 0$.
$C_{21} = -(-\sin \theta(1) - 0) = \sin \theta$,$C_{22} = (\cos \theta)(1) - 0 = \cos \theta$,$C_{23} = 0$.
$C_{31} = 0$,$C_{32} = 0$,$C_{33} = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
આમ,સહઅવયવ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,$\operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,ગુણધર્મ $A(\operatorname{adj} A) = |A| I_n$ સાચો છે,જ્યાં $I_n$ એ $n$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A(\operatorname{adj} A) = \left[\begin{array}{cc}20 & 0 \\ 0 & 20\end{array}\right]$.
આને $A(\operatorname{adj} A) = 20 \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = 20 I_2$ તરીકે લખી શકાય છે.
આને $A(\operatorname{adj} A) = |A| I_2$ ગુણધર્મ સાથે સરખાવતા,આપણને $|A| = 20$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \operatorname{adj} A = |A| I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A \operatorname{adj} A = AA^{T}$,તેથી $|A| I = AA^{T}$.
$|A| = (5a)(2) - (-b)(3) = 10a + 3b$.
આમ,$|A| I = \begin{bmatrix} 10a + 3b & 0 \\ 0 & 10a + 3b \end{bmatrix}$.
હવે,$AA^{T} = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 9 + 4 \end{bmatrix}$.
બંને શ્રેણિકોને સરખાવતા:
$10a + 3b = 25a^2 + b^2$ (વિકર્ણ ઘટકો માટે) અને $15a - 2b = 0$ (અન્ય ઘટકો માટે).
$15a - 2b = 0$ પરથી,આપણને $b = \frac{15a}{2}$ મળે છે.
વળી,$|A| I = AA^{T}$ સૂચવે છે કે $|A| = 13$,તેથી $10a + 3b = 13$.
$b = \frac{15a}{2}$ ને $10a + 3b = 13$ માં મૂકતા:
$10a + 3(\frac{15a}{2}) = 13 \implies 20a + 45a = 26 \implies 65a = 26 \implies a = \frac{26}{65} = \frac{2}{5}$.
તેથી $b = \frac{15}{2} \times \frac{2}{5} = 3$.
આમ,$5a + b = 5(\frac{2}{5}) + 3 = 2 + 3 = 5$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિકના ગુણધર્મ મુજબ $A(\operatorname{adj} A) = |A| I$,જ્યાં $|A|$ એ શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક છે અને $I$ એ તે જ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
સૌ પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = 1(1 \times 4 - 2 \times 2) - 2(-1 \times 4 - 2 \times 1) + 3(-1 \times 2 - 1 \times 1)$
$|A| = 1(4 - 4) - 2(-4 - 2) + 3(-2 - 1)$
$|A| = 1(0) - 2(-6) + 3(-3)$
$|A| = 0 + 12 - 9 = 3$
હવે,સૂત્રમાં $|A|$ ની કિંમત મૂકો:
$A(\operatorname{adj} A) = 3 \times \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$A(\operatorname{adj} A) = |A|I$ થાય છે.
સૌ પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 1(4-4) - 2(-4-2) + 3(-2-1) = 1(0) - 2(-6) + 3(-3) = 0 + 12 - 9 = 3$.
આપેલ છે કે $A(\operatorname{adj} A) = kI$,તેને $A(\operatorname{adj} A) = |A|I$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = |A| = 3$ મળે છે.
હવે,$(k+1)^4$ ની કિંમત શોધીએ:
$(3+1)^4 = 4^4 = 256$.

(C) $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટના એડજોઈન્ટનો ગુણધર્મ $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-2} A$ છે.
અહીં,શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $n = 3$ છે.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & i \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1(0 - 1) - 2(0 - 1) + i(1 - 1) = -1 + 2 + 0 = 1$.
હવે,સૂત્રમાં $n = 3$ અને $|A| = 1$ મૂકતા:
$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = (1)^{3-2} A = (1)^1 A = A$.
તેથી,$[\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)]^{-1} = (A)^{-1} = A^{-1}$.

(A) $2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,એડજોઈન્ટ $\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$,તેથી $a = 2, b = -3, c = 3, d = 5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 5 & -(-3) \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \left[ \begin{array}{cc} 1+2i & i \\ -i & 1-2i \end{array} \right]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$A(\text{adj } A) = |A|I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = (1+2i)(1-2i) - (i)(-i)$
$|A| = (1^2 - (2i)^2) - (-i^2)$
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી:
$|A| = (1 - 4(-1)) - (-(-1))$
$|A| = (1 + 4) - 1$
$|A| = 5 - 1 = 4$.
તેથી,$A(\text{adj } A) = |A|I = 4I$.

(C) આપણને આપેલ છે કે $A(\operatorname{adj} A) = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}$.
આને $A(\operatorname{adj} A) = 10 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 10I$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $I$ એ $2 \times 2$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટનો મૂળભૂત ગુણધર્મ $A(\operatorname{adj} A) = |A|I$ છે.
બંને પદોની સરખામણી કરતા,આપણને $|A|I = 10I$ મળે છે.
તેથી,$|A| = 10$.

(A) કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $B$ માટે,આપણી પાસે $B(\operatorname{adj} B) = |B| I_{n}$ છે.
$B = \operatorname{adj} A$ લેતા,આપણને $(\operatorname{adj} A)[\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)] = |\operatorname{adj} A| I_{n}$ મળે છે.
કારણ કે $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,તેથી $(\operatorname{adj} A)[\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)] = |A|^{n-1} I_{n}$ થાય.
બંને બાજુ ડાબી બાજુએ $A$ વડે ગુણતા,આપણને $A(\operatorname{adj} A)[\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)] = |A|^{n-1} A$ મળે છે.
કારણ કે $A(\operatorname{adj} A) = |A| I_{n}$,તેથી $(|A| I_{n})[\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)] = |A|^{n-1} A$ થાય.
બંને બાજુ $|A|$ વડે ભાગતા (ધારો કે $|A| \neq 0$),આપણને $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-2} A$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $|A - \lambda I| = 0$ નો ઉપયોગ કરીને $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ શોધીએ.
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ -1 & 4 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(4 - \lambda) - (-2) = \lambda^2 - 5\lambda + 4 + 2 = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A^2 - 5A + 6I = 0$.
$A^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $A - 5I + 6A^{-1} = 0$.
$6A^{-1} = 5I - A$.
$A^{-1} = \frac{5}{6}I - \frac{1}{6}A$.
આને $A^{-1} = \alpha I + \beta A$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{5}{6}$ અને $\beta = -\frac{1}{6}$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
આમ,$4(\alpha + \beta) = 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & \tan x \\ -\tan x & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$ શોધો.
ત્યારબાદ,નિશ્ચાયક $|A| = (1)(1) - (\tan x)(-\tan x) = 1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ શોધો.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{\sec^2 x} \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix} = \cos^2 x \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^{T} A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix} \cdot \cos^2 x \begin{bmatrix} 1 & -\tan x \\ \tan x & 1 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
$= \cos^2 x \begin{bmatrix} 1 - \tan^2 x & -2\tan x \\ 2\tan x & 1 - \tan^2 x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 x - \sin^2 x & -2\sin x \cos x \\ 2\sin x \cos x & \cos^2 x - \sin^2 x \end{bmatrix}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ અને $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A^{T} A^{-1} = \begin{bmatrix} \cos 2x & -\sin 2x \\ \sin 2x & \cos 2x \end{bmatrix}$.