Adjoint and inverse of matrices Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (2)(1) - (1)(1) = 2 - 1 = 1$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ નો વ્યસ્ત $\frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો $a=2, b=1, c=1, d=1$ મૂકતા:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 7\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (1 \times 7) - (3 \times 2) = 7 - 6 = 1$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ ના વ્યસ્ત માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{ad-bc} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ છે.
કિંમતો $a=1, b=3, c=2, d=7$ મૂકતા:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}7 & -3 \\ -2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}7 & -3 \\ -2 & 1\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 5 & 7\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (2 \times 7) - (3 \times 5) = 14 - 15 = -1$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ નો વ્યસ્ત $\frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{cc}7 & -3 \\ -5 & 2\end{array}\right]$
$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}-7 & 3 \\ 5 & -2\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 7 & 4\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (2 \times 4) - (1 \times 7) = 8 - 7 = 1$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ ના વ્યસ્ત માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\ -7 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\ -7 & 2\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 1 & 3\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (2 \times 3) - (5 \times 1) = 6 - 5 = 1$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ ના વ્યસ્ત માટેનું સૂત્ર:
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$.
અહીં $a=2, b=5, c=1, d=3$ અને $|A|=1$ કિંમતો મૂકતા:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}3 & -5 \\ -1 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & -5 \\ -1 & 2\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 5 & 2\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (3 \times 2) - (1 \times 5) = 6 - 5 = 1$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ ના વ્યસ્ત માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ છે.
આ સૂત્રને શ્રેણિક $A$ પર લાગુ પાડતા:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -5 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -5 & 3\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ll}4 & 5 \\ 3 & 4\end{array}\right]$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = (4 \times 4) - (5 \times 3) = 16 - 15 = 1$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ નો વ્યસ્ત $\frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}4 & -5 \\ -3 & 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}4 & -5 \\ -3 & 4\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}3 & 10 \\ 2 & 7\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (3 \times 7) - (10 \times 2) = 21 - 20 = 1$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,$A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ ના વ્યસ્ત માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}7 & -10 \\ -2 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}7 & -10 \\ -2 & 3\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}3 & -1 \\ -4 & 2\end{array}\right]$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = (3)(2) - (-1)(-4) = 6 - 4 = 2$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,$A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ ના વ્યસ્ત માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{ad-bc} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ છે.
આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$A^{-1} = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 4 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 1/2 \\ 2 & 3/2\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ll}2 & -6 \\ 1 & -2\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (2)(-2) - (-6)(1) = -4 + 6 = 2$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ ના વ્યસ્ત માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{rr}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ છે.
અહીં $a=2, b=-6, c=1, d=-2$ છે.
$A^{-1} = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{rr}-2 & 6 \\ -1 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr}-1 & 3 \\ -\frac{1}{2} & 1\end{array}\right]$.

(C) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}6 & -3 \\ -2 & 1\end{array}\right]$.
સૌ પ્રથમ,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $|A|$ શોધો.
$|A| = (6 \times 1) - (-3 \times -2) = 6 - 6 = 0$.
અહીં શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ અસામાન્ય (singular) શ્રેણિક છે.
તેથી,શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ છે.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (2)(2) - (-3)(-1) = 4 - 3 = 1$ ની ગણતરી કરો.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ ના વ્યસ્ત માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{ad-bc} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ છે.
આ સૂત્રને શ્રેણિક $A$ પર લાગુ કરતા:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right]$.

(C) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 4 & 2\end{array}\right]$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ,જેને $|A|$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
$|A| = (2 \times 2) - (1 \times 4) = 4 - 4 = 0$.
અહીં શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ અસામાન્ય (singular) શ્રેણિક છે.
તેથી,શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.

ધારો કે $A = \left[\begin{array}{rrr}2 & -3 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 2\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક $(|A|)$ શોધીએ:
$|A| = 2(4 - (-6)) - (-3)(4 - 9) + 3(-4 - 6)$
$|A| = 2(10) + 3(-5) + 3(-10)$
$|A| = 20 - 15 - 30 = -25$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
હવે,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધીએ:
$C_{11} = 10, C_{12} = 5, C_{13} = -10$
$C_{21} = 0, C_{22} = -5, C_{23} = -5$
$C_{31} = -15, C_{32} = 0, C_{33} = 10$
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $adj(A)$ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$adj(A) = \left[\begin{array}{rrr}10 & 0 & -15 \\ 5 & -5 & 0 \\ -10 & -5 & 10\end{array}\right]$
અંતે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-25} \left[\begin{array}{rrr}10 & 0 & -15 \\ 5 & -5 & 0 \\ -10 & -5 & 10\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}-2/5 & 0 & 3/5 \\ -1/5 & 1/5 & 0 \\ 2/5 & 1/5 & -2/5\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -2 \\ -3 & 0 & -5 \\ 2 & 5 & 0\end{array}\right]$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 1(0 - (-25)) - 3(0 - (-10)) - 2(-15 - 0)$
$|A| = 1(25) - 3(10) - 2(-15) = 25 - 30 + 30 = 25$.
$|A| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરીને:
સહ-અવયવો $C_{ij}$ નો શ્રેણિક શોધો:
$C_{11} = 25, C_{12} = -10, C_{13} = -15$
$C_{21} = -10, C_{22} = 4, C_{23} = 1$
$C_{31} = -15, C_{32} = 11, C_{33} = 9$
$\text{adj}(A) = \left[\begin{array}{ccc}25 & -10 & -15 \\ -10 & 4 & 11 \\ -15 & 1 & 9\end{array}\right]^T = \left[\begin{array}{ccc}25 & -10 & -15 \\ -10 & 4 & 1 \\ -15 & 11 & 9\end{array}\right]$
$A^{-1} = \frac{1}{25} \left[\begin{array}{ccc}25 & -10 & -15 \\ -10 & 4 & 11 \\ -15 & 1 & 9\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & -\frac{2}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{2}{5} & \frac{4}{25} & \frac{11}{25} \\ -\frac{3}{5} & \frac{1}{25} & \frac{9}{25}\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A=IA$.
$\therefore \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$.
$R_{1} \rightarrow \frac{1}{2} R_{1}$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$.
$R_{2} \rightarrow R_{2}-5 R_{1}$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{5}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$.
$R_{3} \rightarrow R_{3}-R_{2}$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{5}{2} & 1 & 0 \\ \frac{5}{2} & -1 & 1\end{array}\right] A$.
$R_{3} \rightarrow 2 R_{3}$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{5}{2} & 1 & 0 \\ 5 & -2 & 2\end{array}\right] A$.
$R_{1} \rightarrow R_{1}+\frac{1}{2} R_{3}$ અને $R_{2} \rightarrow R_{2}-\frac{5}{2} R_{3}$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2\end{array}\right] A$.
$\therefore A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2\end{array}\right]$.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,જો $A$ અને $B$ સમાન કક્ષા $n$ ના ચોરસ શ્રેણિકો હોય અને તેમનો ગુણાકાર એકમ શ્રેણિક $I$ મળે,તો $B$ એ $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક છે અને $A$ એ $B$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક છે.
આ સંબંધને $A B = B A = I$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,શ્રેણિકો $A$ અને $B$ એકબીજાના વ્યસ્ત ત્યારે જ થાય જો $A B = B A = I$ હોય.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & -1\end{array}\right]$.
આપણે $A = IA$ લખીએ,જ્યાં $I = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
$\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A$.
$R_2 \to R_2 - 2R_1$ લાગુ પાડતા:
$\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 0 & -5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -2 & 1\end{array}\right] A$.
$R_2 \to -\frac{1}{5} R_2$ લાગુ પાડતા:
$\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{5}\end{array}\right] A$.
$R_1 \to R_1 - 2R_2$ લાગુ પાડતા:
$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 - 2(\frac{2}{5}) & 0 - 2(-\frac{1}{5}) \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{5}\end{array}\right] A$.
$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{5}\end{array}\right] A$.
આમ,$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{1}{5}\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}7 & 4 \\ 1 & -2\end{array}\right]$.
પ્રાથમિક હાર રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત શોધવા માટે,આપણે $A = IA$ લખીએ છીએ,જ્યાં $I = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
$\left[\begin{array}{cc}7 & 4 \\ 1 & -2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A$.
$R_1 \leftrightarrow R_2$ લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 7 & 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] A$.
$R_2 \to R_2 - 7R_1$ લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 0 & 18\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1 & -7\end{array}\right] A$.
$R_2 \to \frac{1}{18}R_2$ લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ \frac{1}{18} & -\frac{7}{18}\end{array}\right] A$.
$R_1 \to R_1 + 2R_2$ લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{2}{18} & \frac{4}{18} \\ \frac{1}{18} & -\frac{7}{18}\end{array}\right] A$.
આમ,$A^{-1} = \frac{1}{18}\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\ 1 & -7\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$. આપણે $A = IA$ લખીએ છીએ:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A$
$R_2 \to R_2 - 3R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} A$
$R_2 \to R_2 / (-4)$ લાગુ પાડતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3/4 & -1/4 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} A$
$R_1 \to R_1 - 2R_2$ અને $R_3 \to R_3 + R_2$ લાગુ પાડતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/2 & 1/2 & 0 \\ 3/4 & -1/4 & 0 \\ -1/4 & -1/4 & 1 \end{bmatrix} A$
$R_1 \to R_1 - R_3$ લાગુ પાડતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/4 & 3/4 & -1 \\ 3/4 & -1/4 & 0 \\ -1/4 & -1/4 & 1 \end{bmatrix} A$
આમ,$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1/4 & 3/4 & -1 \\ 3/4 & -1/4 & 0 \\ -1/4 & -1/4 & 1 \end{bmatrix}$.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}$. આપણે $A = IA$ લખીએ,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} A$
$R_1 \to -R_1$ લાગુ કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} A$
$R_2 \to R_2 + 3R_1$ લાગુ કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} A$
$R_2 \to -R_2$ લાગુ કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} A$
$R_1 \to R_1 + 2R_2$ લાગુ કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} A$
આમ,$A^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$.

(N/A) પ્રાથમિક હાર પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત શોધવા માટે,આપણે $A = IA$ લખીએ છીએ,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે: $\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A$.
$R_1 \leftrightarrow R_2$ લાગુ પાડતા: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] A$.
$R_3 \to R_3 - 3R_1$ લાગુ પાડતા: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & -8 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{array}\right] A$.
$R_3 \to R_3 + 5R_2$ લાગુ પાડતા: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 5 & -3 & 1 \end{array}\right] A$.
$R_3 \to \frac{1}{2}R_3$ લાગુ પાડતા: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A$.
$R_2 \to R_2 - 2R_3$ અને $R_1 \to R_1 - 3R_3$ લાગુ પાડતા: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} -\frac{15}{2} & \frac{11}{2} & -\frac{3}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A$.
$R_1 \to R_1 - 2R_2$ લાગુ પાડતા: $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] A$.
આમ,$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right]$.

(D) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ -5 & 7\end{array}\right]$.
પ્રાથમિક હાર પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત શ્રેણિક શોધવા માટે,આપણે $A = IA$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ -5 & 7\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_2 \rightarrow R_2 + 5R_1$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 0 & 22\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 5 & 1\end{array}\right] A$
$R_2 \rightarrow \frac{1}{22} R_2$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ \frac{5}{22} & \frac{1}{22}\end{array}\right] A$
$R_1 \rightarrow R_1 - 3R_2$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 - 3(\frac{5}{22}) & 0 - 3(\frac{1}{22}) \\ \frac{5}{22} & \frac{1}{22}\end{array}\right] A$
$\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{7}{22} & -\frac{3}{22} \\ \frac{5}{22} & \frac{1}{22}\end{array}\right] A$
આમ,$A^{-1} = \frac{1}{22} \left[\begin{array}{cc}7 & -3 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.

(C) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ -2 & 6\end{array}\right]$.
પ્રાથમિક હાર પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત શ્રેણિક શોધવા માટે,આપણે $A = IA$ લખીએ છીએ,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
$\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ -2 & 6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A$
હાર પ્રક્રિયા $R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$ લાગુ પાડતા:
$\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ -2 + 2(1) & 6 + 2(-3)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 + 2(1) & 1 + 2(0)\end{array}\right] A$
$\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 0 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right] A$
ડાબી બાજુના શ્રેણિકની બીજી હારના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ અસામાન્ય (non-invertible) છે.
તેથી,$A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ નથી.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 3\end{array}\right]$. પ્રાથમિક હાર રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને $A^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે $A = IA$ લખીએ છીએ.
$\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 + R_1$ લાગુ પાડતા:
$\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 7 \\ -1 & 1 & 6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right] A$
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2$ લાગુ પાડતા:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 10 \\ -1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right] A$
$R_2 \rightarrow R_2 + R_1$ લાગુ પાડતા:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 10 \\ 0 & 1 & 17 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right] A$
$R_1 \rightarrow R_1 + 10R_3$,$R_2 \rightarrow R_2 + 17R_3$,અને $R_3 \rightarrow -R_3$ લાગુ પાડતા:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-7 & -9 & 10 \\ -12 & -15 & 17 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right] A$
આમ,$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}-7 & -9 & 10 \\ -12 & -15 & 17 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]$.

(A) શ્રેણિક $A = \left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -3 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક પ્રાથમિક હાર રૂપાંતરણો દ્વારા શોધવા માટે,આપણે $A = IA$ લખીએ છીએ:
$\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & -3 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_1 \rightarrow R_1 + 2R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_1 \rightarrow R_1 + R_2$ અને $R_3 \rightarrow R_3 + R_2$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\left[\begin{array}{ccc}-1 & -3 & 3 \\ -1 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] A$
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરી શકીએ છીએ:
$|A| = 2(-2 - 2) - 3(-1 - 2) - 3(-1 + 2) = 2(-4) - 3(-3) - 3(1) = -8 + 9 - 3 = -2$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે. શ્રેણિકના વ્યસ્તની કિંમત $A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}4 & 6 & 0 \\ -3 & -5 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right]$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]$. પ્રારંભિક હાર રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને $A^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે $A = IA$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_1 \rightarrow \frac{1}{2}R_1$ લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_2 \rightarrow R_2 - 5R_1$ લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{5}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{5}{2} & 1 & 0 \\ \frac{5}{2} & -1 & 1\end{array}\right] A$
$R_3 \rightarrow 2R_3$ લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{5}{2} & 1 & 0 \\ 5 & -2 & 2\end{array}\right] A$
$R_1 \rightarrow R_1 + \frac{1}{2}R_3$ અને $R_2 \rightarrow R_2 - \frac{5}{2}R_3$ લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2\end{array}\right] A$
આમ,$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2\end{array}\right]$.

(C) આપેલ છે કે $C = \operatorname{adj} A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|C| = |\operatorname{adj} A| = 2(0 - (-4)) - (-1)(1 - 2) + 1(2 - 0) = 2(4) + 1(-1) + 1(2) = 8 - 1 + 2 = 9$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n=3$. તેથી,$|A|^2 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $|A| = \pm 3$. આમ,$\lambda = \pm 3$ અને $|\lambda| = 3$.
આપેલ છે કે $B = \operatorname{adj} C = \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)$.
ગુણધર્મ $|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $|B| = |\operatorname{adj} C| = |C|^{n-1} = |C|^2 = 9^2 = 81$.
આપણે $\mu = |(B^{-1})^T|$ શોધવાનું છે. કારણ કે $|(B^{-1})^T| = |B^{-1}| = \frac{1}{|B|}$,તેથી $\mu = \frac{1}{81}$.
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(|\lambda|, \mu) = (3, 1/81)$ છે.

(A) આપેલ છે $PQ = kI_3$. બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$|P||Q| = |kI_3| = k^3|I_3| = k^3$.
આપેલ છે $|Q| = \frac{k^2}{2}$,તેથી $|P| \cdot \frac{k^2}{2} = k^3$. $k \neq 0$ હોવાથી,$|P| = 2k$.
$|P|$ ની ગણતરી કરતા: $|P| = 3(0 - (-5\alpha)) - (-1)(0 - 3\alpha) + (-2)(-10 - 0) = 3(5\alpha) + (-3\alpha) + 20 = 12\alpha + 20$.
તેથી,$12\alpha + 20 = 2k$,અથવા $k = 6\alpha + 10$.
$PQ = kI_3$ હોવાથી,$Q = kP^{-1} = k \cdot \frac{\text{adj}(P)}{|P|} = k \cdot \frac{\text{adj}(P)}{2k} = \frac{1}{2} \text{adj}(P)$.
ઘટક $q_{23}$ એ $\frac{1}{2} \text{adj}(P)$ નો $(2,3)$ મો ઘટક છે.
$\text{adj}(P)$ નો $(2,3)$ મો ઘટક એ સહઅવયવ $C_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & \alpha \end{vmatrix} = -(3\alpha - (-4)) = -(3\alpha + 4)$ છે.
તેથી,$q_{23} = \frac{-(3\alpha + 4)}{2} = -\frac{k}{8}$.
આ સૂચવે છે કે $4(3\alpha + 4) = k$.
$k = 6\alpha + 10$ મૂકતા: $12\alpha + 16 = 6\alpha + 10 \Rightarrow 6\alpha = -6 \Rightarrow \alpha = -1$.
તેથી $k = 6(-1) + 10 = 4$.
અંતે,$\alpha^2 + k^2 = (-1)^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$.

(B) સૌ પ્રથમ,નોંધો કે $A$ એક ઓર્થોગોનલ શ્રેણિક છે કારણ કે $AA^{T} = I$.
$AA^{T} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{-2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{-2}{\sqrt{5}} \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
આપેલ છે કે $Q = A^{T}BA$,તેથી $Q^{n} = A^{T}B^{n}A$.
આમ,$Q^{2021} = A^{T}B^{2021}A$.
હવે,$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ i & 1 \end{bmatrix}$ ની ઘાતની ગણતરી કરીએ.
$B^{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2i & 1 \end{bmatrix}$.
ઇન્ડક્શન દ્વારા,$B^{n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ ni & 1 \end{bmatrix}$,તેથી $B^{2021} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2021i & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$AQ^{2021}A^{T} = A(A^{T}B^{2021}A)A^{T} = (AA^{T})B^{2021}(AA^{T}) = I B^{2021} I = B^{2021}$.
તેથી,$AQ^{2021}A^{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2021i & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -k & 1 \end{bmatrix}$ થાય.
આમ,$(AQ^{2021}A^{T})^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2021i & 1 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $|A| = \Delta$.
ગુણધર્મ $\operatorname{adj}(kA) = k^{n-1} \operatorname{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$,આપણને મળે $\operatorname{adj}(2A) = 2^{2} \operatorname{adj}(A) = 4 \operatorname{adj}(A)$.
આગળ,$\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A)) = \operatorname{adj}(4 \operatorname{adj}(A)) = 4^{3-1} \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A)) = 16 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A))$.
$\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A)) = |A|^{n-2} A = |A| A$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $16 |A| A$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $\det(2 \operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A)))) = \det(2 \operatorname{adj}(2(16 |A| A))) = \det(2 \operatorname{adj}(32 |A| A))$ છે.
$\operatorname{adj}(kA) = k^{n-1} \operatorname{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\operatorname{adj}(32 |A| A) = (32 |A|)^{2} \operatorname{adj}(A)$.
તેથી,$\det(2 \cdot (32 |A|)^{2} \operatorname{adj}(A)) = \det(2^{1} \cdot 2^{10} |A|^{2} \operatorname{adj}(A)) = \det(2^{11} |A|^{2} \operatorname{adj}(A))$.
$\det(kM) = k^{n} \det(M)$ હોવાથી,$(2^{11} |A|^{2})^{3} \det(\operatorname{adj}(A)) = 2^{33} |A|^{6} |A|^{2} = 2^{33} |A|^{8}$.
આપેલ છે કે $2^{33} |A|^{8} = 2^{41}$,તેથી $|A|^{8} = 2^{8}$,જેનો અર્થ છે કે $|A| = \pm 2$.
આમ,$\det(A^{2}) = |A|^{2} = (\pm 2)^{2} = 4$.

(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ: $|A| = (1)(4) - (2)(-1) = 4 + 2 = 6$.
ત્યારબાદ,$A$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક શોધીએ: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$.
આપણને આપેલ છે કે $A^{-1} = \alpha I + \beta A$,તેથી:
$\begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta & 2\beta \\ -\beta & \alpha + 4\beta \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2\beta = -\frac{1}{3} \implies \beta = -\frac{1}{6}$.
$\alpha + \beta = \frac{2}{3} \implies \alpha - \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \implies \alpha = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
અંતે,$4(\alpha - \beta) = 4(\frac{5}{6} - (-\frac{1}{6})) = 4(\frac{5}{6} + \frac{1}{6}) = 4(1) = 4$.

(A) આપેલ છે કે $X = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,તેથી $X^{2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $X^{3} = O$.
તેથી $Y = \alpha I + \beta X + \gamma X^{2} = \begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & 0 & \alpha \end{bmatrix}$.
$Y \cdot Y^{-1} = I$ હોવાથી:
$\begin{bmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ 0 & \alpha & \beta \\ 0 & 0 & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{5} & \frac{-2}{5} & \frac{1}{5} \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{-2}{5} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1$. $\frac{\alpha}{5} = 1 \Rightarrow \alpha = 5$.
$2$. $-\frac{2\alpha}{5} + \frac{\beta}{5} = 0 \Rightarrow -2(5) + \beta = 0 \Rightarrow \beta = 10$.
$3$. $\frac{\alpha}{5} - \frac{2\beta}{5} + \frac{\gamma}{5} = 0 \Rightarrow 5 - 2(10) + \gamma = 0 \Rightarrow 5 - 20 + \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = 15$.
અંતે,$(\alpha - \beta + \gamma)^{2} = (5 - 10 + 15)^{2} = (10)^{2} = 100$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A)) = |A|^{n-2} A$ થાય છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$|\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A))| = (|A|^{n-2})^n = |A|^{(n-1)^2}$ મળે.
અહીં,શ્રેણિકની કક્ષા $n=3$ છે,તેથી $|\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A))| = |A|^{(3-1)^2} = |A|^4$ થાય.
હવે,આપેલ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક ગણીએ:
$|\operatorname{Adj}(\operatorname{Adj}(A))| = \begin{vmatrix} 14 & 28 & -14 \\ -14 & 14 & 28 \\ 28 & -14 & 14 \end{vmatrix} = 14^3 \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= 14^3 [1(1 - (-2)) - 2(-1 - 4) - 1(1 - 2)] = 14^3 [1(3) - 2(-5) - 1(-1)] = 14^3 [3 + 10 + 1] = 14^3 \times 14 = 14^4$.
આમ,$|A|^4 = 14^4$.
આપણને ધન મૂલ્ય જોઈએ છે,તેથી $|A| = 14$ મળે.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n = 3$. $\det(A) = 2$ છે.
આપણે $\det(\det(A) \cdot \operatorname{adj}(5 \operatorname{adj}(A^3)))$ શોધવાનું છે.
$\det(A) = 2$ હોવાથી,પદ $\det(2 \cdot \operatorname{adj}(5 \operatorname{adj}(A^3)))$ બને છે.
ગુણધર્મ $\det(kA) = k^n \det(A)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2^3 \det(\operatorname{adj}(5 \operatorname{adj}(A^3)))$ મળે છે.
$\det(\operatorname{adj}(M)) = (\det(M))^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$,આપણને $8 \cdot (\det(5 \operatorname{adj}(A^3)))^2$ મળે છે.
$\det(kM) = k^n \det(M)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $8 \cdot (5^3 \det(\operatorname{adj}(A^3)))^2 = 8 \cdot 5^6 \cdot (\det(\operatorname{adj}(A^3)))^2$ મળે છે.
$\det(\operatorname{adj}(M)) = (\det(M))^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $8 \cdot 5^6 \cdot ((\det(A^3))^2)^2 = 8 \cdot 5^6 \cdot (\det(A)^3)^4$ મળે છે.
$\det(A) = 2$ મૂકતા,આપણને $2^3 \cdot 5^6 \cdot (2^3)^4 = 2^3 \cdot 5^6 \cdot 2^{12} = 2^{15} \cdot 5^6$ મળે છે.
$2^{15} \cdot 5^6 = 2^9 \cdot 2^6 \cdot 5^6 = 512 \cdot 10^6$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ અને $A^3 = I$.
$49 = 3 \times 16 + 1$ હોવાથી,$A^{49} = A^1 = A$.
$98 = 3 \times 32 + 2$ હોવાથી,$A^{98} = A^2$.
તેથી,$B_{0} = A + 2A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$.
$\det(B_{0}) = 0(0-2) - 1(0-1) + 2(4-0) = 0 + 1 + 8 = 9$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\det(\text{Adj}(M)) = (\det(M))^{k-1}$,જ્યાં $k$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે. અહીં $k=3$,તેથી $\det(\text{Adj}(M)) = (\det(M))^2$.
$B_{n} = \text{Adj}(B_{n-1})$ માટે,$\det(B_{n}) = (\det(B_{n-1}))^2$.
તેથી,$\det(B_{4}) = (\det(B_{0}))^{2^4} = (\det(B_{0}))^{16}$.
$\det(B_{4}) = 9^{16} = (3^2)^{16} = 3^{32}$.

(C) શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
$A^{-1}$ ના અસ્તિત્વ માટે નિશ્ચાયક $|A| = a - b \neq 0$ હોવો જોઈએ,એટલે કે $a \neq b$.
$A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{a-b} \begin{bmatrix} 1 & -b \\ -1 & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a-b} & -\frac{b}{a-b} \\ -\frac{1}{a-b} & \frac{a}{a-b} \end{bmatrix}$ છે.
$A^{-1}$ ના તમામ ઘટકો પૂર્ણાંક હોવા માટે,દરેક ઘટક પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
આ માટે $(a-b)$ એ $1$,$-b$,$-1$,અને $a$ નો ભાજક હોવો જોઈએ.
ખાસ કરીને,$(a-b)$ એ $1$ નો ભાજક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a-b = 1$ અથવા $a-b = -1$.
કિસ્સો $1$: $a-b = 1 \implies a = b+1$.
$-50 \leq b \leq 50$ હોવાથી,$b$ માટે $101$ શક્ય કિંમતો છે,અને દરેક $b$ માટે $a$ ની કિંમત નિશ્ચિત છે.
કિસ્સો $2$: $a-b = -1 \implies a = b-1$.
તે જ રીતે,$-50 \leq b \leq 50$ માટે,$b$ ની $101$ શક્ય કિંમતો છે,અને દરેક $b$ માટે $a$ ની કિંમત નિશ્ચિત છે.
આમ,આવા કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $101 + 101 = 202$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે જેથી દરેક હારના ઘટકોનો સરવાળો $1$ થાય છે. આને $A \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u}$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $\mathbf{u} = [1, 1, 1]^T$ એ એકમ ઘટકો ધરાવતો સ્તંભ સદિશ છે.
કારણ કે $A$ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે,આપણે બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણી શકીએ:
$A^{-1} (A \cdot \mathbf{u}) = A^{-1} \cdot \mathbf{u}$
$(A^{-1} A) \cdot \mathbf{u} = A^{-1} \cdot \mathbf{u}$
$I \cdot \mathbf{u} = A^{-1} \cdot \mathbf{u}$
$\mathbf{u} = A^{-1} \cdot \mathbf{u}$
આ સમીકરણ સૂચવે છે કે $A^{-1}$ ની દરેક હારના ઘટકોનો સરવાળો સદિશ $\mathbf{u}$ ના અનુરૂપ ઘટક જેટલો છે,જે $1$ છે.
તેથી,$A^{-1}$ ની દરેક હારનો સરવાળો $1$ છે.

(A) આપેલ છે કે $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A))| = 12^4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના શ્રેણિક $A$ માટે,$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\dots \operatorname{adj} A))|$ ($k$ વખત) એ $|A|^{(n-1)^k}$ થાય છે.
અહીં $n = 3$ અને $k = 3$ છે,તેથી $|A|^{(3-1)^3} = 12^4$.
$|A|^{2^3} = 12^4 \Rightarrow |A|^8 = 12^4$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$|A|^4 = 12^2 = 144$.
$|A|^2 = 12 \Rightarrow |A| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
આપણે $|A^{-1} \operatorname{adj} A|$ શોધવાનું છે.
ગુણધર્મ $|XY| = |X||Y|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|A^{-1}| |\operatorname{adj} A|$ મળે છે.
કારણ કે $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ અને $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1} = |A|^{3-1} = |A|^2$.
તેથી,$|A^{-1} \operatorname{adj} A| = \frac{1}{|A|} \cdot |A|^2 = |A|$.
આમ,$|A^{-1} \operatorname{adj} A| = 2\sqrt{3}$.

(D) સૌ પ્રથમ,નોંધો કે $A$ એ ઓર્થોગોનલ શ્રેણિક છે,જેનો અર્થ છે કે $AA^{T} = A^{T}A = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
આગળ,$B$ ની ઘાતની ગણતરી કરો:
$B^2 = \begin{bmatrix} 1 & -i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$B^3 = \begin{bmatrix} 1 & -2i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$B^{n} = \begin{bmatrix} 1 & -ni \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,તેથી $B^{2023} = \begin{bmatrix} 1 & -2023i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $M = A^{T}BA$,તેથી $M^{n} = (A^{T}BA)(A^{T}BA)...(A^{T}BA) = A^{T}B^{n}A$.
આમ,$M^{2023} = A^{T}B^{2023}A$.
હવે,$AM^{2023}A^{T}$ ની ગણતરી કરો:
$AM^{2023}A^{T} = A(A^{T}B^{2023}A)A^{T} = (AA^{T})B^{2023}(AA^{T}) = I \cdot B^{2023} \cdot I = B^{2023} = \begin{bmatrix} 1 & -2023i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત $\begin{bmatrix} 1 & -k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી,$B^{2023}$ નો વ્યસ્ત $\begin{bmatrix} 1 & 2023i \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.

(D) આપેલ છે $P^{T} = aP + (a - 1)I$.
બંને બાજુ પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,$(P^{T})^{T} = (aP + (a - 1)I)^{T}$.
$P = aP^{T} + (a - 1)I$.
સમીકરણમાં $P^{T} = aP + (a - 1)I$ મૂકતા:
$P = a(aP + (a - 1)I) + (a - 1)I$.
$P = a^{2}P + a(a - 1)I + (a - 1)I$.
$P = a^{2}P + (a^{2} - a + a - 1)I$.
$P = a^{2}P + (a^{2} - 1)I$.
$(1 - a^{2})P = (a^{2} - 1)I$.
કારણ કે $a > 1$,$a^{2} - 1 \neq 0$,તેથી $-(a^{2} - 1)P = (a^{2} - 1)I$.
$P = -I$.
હવે,$|P| = |-I| = (-1)^{3} |I| = -1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{Adj} P| = |P|^{n-1}$,જ્યાં $n = 3$.
$|\operatorname{Adj} P| = (-1)^{3-1} = (-1)^{2} = 1$.

(D) આપેલ છે કે $|A|=2$ અને $|\operatorname{Adj}(2 \cdot \operatorname{Adj}(2A^{-1}))| = 2^{84}$.
ગુણધર્મ $|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\operatorname{Adj}(2 \cdot \operatorname{Adj}(2A^{-1}))| = |2 \cdot \operatorname{Adj}(2A^{-1})|^{n-1} = (2^n |\operatorname{Adj}(2A^{-1})|)^{n-1}$.
અહીં $|\operatorname{Adj}(2A^{-1})| = |2A^{-1}|^{n-1} = (2^n |A|^{-1})^{n-1} = (2^n \cdot 2^{-1})^{n-1} = (2^{n-1})^{n-1} = 2^{(n-1)^2}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$|\operatorname{Adj}(2 \cdot \operatorname{Adj}(2A^{-1}))| = (2^n \cdot 2^{(n-1)^2})^{n-1} = (2^{n + n^2 - 2n + 1})^{n-1} = (2^{n^2 - n + 1})^{n-1} = 2^{(n-1)(n^2 - n + 1)}$.
આપેલ છે કે $2^{(n-1)(n^2 - n + 1)} = 2^{84}$,તેથી $(n-1)(n^2 - n + 1) = 84$.
જો $n=5$ લઈએ,તો $(5-1)(25-5+1) = 4 \times 21 = 84$.
આમ,$n=5$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 2(4 - 1) - 1(2 - 0) + 0 = 2(3) - 2 = 4$.
$A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,કોઈપણ શ્રેણિક $M$ માટે,$|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{3-1} = |M|^2$ થાય.
તેથી,$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A)))| = |2A|^{(3-1)^3} = |2A|^{2^3} = |2A|^8$.
$n \times n$ શ્રેણિક માટે $|kA| = k^n|A|$ હોવાથી,$|2A| = 2^3|A| = 8 \times 4 = 32 = 2^5$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$|2A|^8 = (2^5)^8 = 2^{40}$.
આપણને આપેલ છે કે આ $(16)^n = (2^4)^n = 2^{4n}$ ની બરાબર છે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $4n = 40 \Rightarrow n = 10$.

(D) કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક ચોરસ શ્રેણિક તેના લાક્ષણિક સમીકરણ $|A - xI| = 0$ નું પાલન કરે છે.
$|A - xI| = \begin{vmatrix} 1 - x & 5 \\ \lambda & 10 - x \end{vmatrix} = (1 - x)(10 - x) - 5\lambda = x^2 - 11x + 10 - 5\lambda = 0$.
આમ,$A^2 - 11A + (10 - 5\lambda)I = 0$.
$A^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $A - 11I + (10 - 5\lambda)A^{-1} = 0$.
$(10 - 5\lambda)A^{-1} = -A + 11I$.
$A^{-1} = \frac{-1}{10 - 5\lambda}A + \frac{11}{10 - 5\lambda}I$.
આને $A^{-1} = \alpha A + \beta I$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{-1}{10 - 5\lambda}$ અને $\beta = \frac{11}{10 - 5\lambda}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = -2$,તેથી $\frac{-1 + 11}{10 - 5\lambda} = -2 \Rightarrow \frac{10}{10 - 5\lambda} = -2$.
$10 = -20 + 10\lambda \Rightarrow 10\lambda = 30 \Rightarrow \lambda = 3$.
તેથી $\alpha = \frac{-1}{10 - 15} = \frac{1}{5}$ અને $\beta = \frac{11}{10 - 15} = -\frac{11}{5}$.
અંતે,$4\alpha^2 + \beta^2 + \lambda^2 = 4(\frac{1}{25}) + (\frac{121}{25}) + 3^2 = \frac{125}{25} + 9 = 5 + 9 = 14$.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n=3$ અને $|A|=2$.
પ્રથમ,$|3A|$ ની ગણતરી કરો. $A$ એ $3 \times 3$ હોવાથી,$|3A| = 3^3 |A| = 27 \times 2 = 54$.
હવે,આપણે $|3 \operatorname{adj}(|3A|A^2)| = |3 \operatorname{adj}(54A^2)|$ શોધવાનું છે.
$n \times n$ શ્રેણિક $M$ માટે $|kM| = k^n |M|$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $|3 \operatorname{adj}(54A^2)| = 3^3 |\operatorname{adj}(54A^2)| = 27 |\operatorname{adj}(54A^2)|$.
$|\operatorname{adj}(M)| = |M|^{n-1}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $27 |54A^2|^{3-1} = 27 |54A^2|^2$.
કારણ કે $|54A^2| = 54^3 |A^2| = 54^3 |A|^2 = 54^3 \times 2^2 = 54^3 \times 4$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા: $27 \times (54^3 \times 4)^2 = 27 \times 54^6 \times 16 = (3^3) \times (2 \times 3^3)^6 \times 2^4 = 3^3 \times 2^6 \times 3^{18} \times 2^4 = 3^{21} \times 2^{10} = 3^{11} \times 3^{10} \times 2^{10} = 3^{11} \times (3 \times 2)^{10} = 3^{11} \times 6^{10}$.

(D) આપેલ છે $A = \frac{1}{5! 6! 7!} \begin{bmatrix} 5! & 6! & 7! \\ 6! & 7! & 8! \\ 7! & 8! & 9! \end{bmatrix}$.
દરેક હારમાંથી $5!, 6!, 7!$ સામાન્ય લેતા:
$A = \frac{5! 6! 7!}{5! 6! 7!} \begin{bmatrix} 1 & 6 & 6 \times 7 \\ 1 & 7 & 7 \times 8 \\ 1 & 8 & 8 \times 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 42 \\ 1 & 7 & 56 \\ 1 & 8 & 72 \end{bmatrix}$.
$|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 1(7 \times 72 - 8 \times 56) - 6(1 \times 72 - 1 \times 56) + 42(1 \times 8 - 1 \times 7)$
$|A| = 1(504 - 448) - 6(16) + 42(1) = 56 - 96 + 42 = 2$.
આપણે $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A))|$ શોધવાનું છે.
ગુણધર્મ $|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(M))| = |M|^{(n-1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$ શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા છે:
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A))| = |2A|^{(3-1)^2} = |2A|^4$.
કારણ કે $|2A| = 2^3 |A| = 8 \times 2 = 16 = 2^4$:
$|\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(2A))| = (2^4)^4 = 2^{16}$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$4m + n = 22$ $(1)$
$17m + 4n = 93$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $4$ વડે ગુણતા,$16m + 4n = 88$ મળે.
આને $(2)$ માંથી બાદ કરતા,$m = 5$ મળે.
$m = 5$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$20 + n = 22$,તેથી $n = 2$.
આમ,શ્રેણિક $A$ નો ક્રમ $m = 5$ છે,અને $|A| = m - n = 5 - 2 = 3$.
આપણે $\operatorname{det}(n \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(mA)))$ શોધવાનું છે.
$n = 2$ અને $m = 5$ હોવાથી,આ $\operatorname{det}(2 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A)))$ છે.
$m$ ક્રમના શ્રેણિક માટે $\operatorname{det}(kA) = k^m \operatorname{det}(A)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\operatorname{det}(2 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A))) = 2^5 \operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A)))$.
$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(B)) = |B|^{m-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A))) = |\operatorname{adj}(5A)|^{5-1} = |\operatorname{adj}(5A)|^4$.
$|\operatorname{adj}(5A)| = |5A|^{5-1} = |5A|^4 = (5^5 |A|)^4 = 5^{20} |A|^4$ હોવાથી.
તેથી,$\operatorname{det}(\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A))) = (5^{20} |A|^4)^4 = 5^{80} |A|^{16}$.
આમ,$\operatorname{det}(2 \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(5A))) = 2^5 \cdot 5^{80} \cdot 3^{16}$.
$6^5 = 2^5 \cdot 3^5$ હોવાથી,આપણે પદને ફરીથી લખીએ:
$2^5 \cdot 5^{80} \cdot 3^{16} = 3^{11} \cdot 5^{80} \cdot (2^5 \cdot 3^5) = 3^{11} \cdot 5^{80} \cdot 6^5$.
$3^a 5^b 6^c$ સાથે સરખાવતા,$a = 11, b = 80, c = 5$ મળે.
તેથી,$a + b + c = 11 + 80 + 5 = 96$.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $|A| = 2$.
શ્રેણિક $A$ ના $k$-મી વાર એડજોઈન્ટના નિશ્ચાયકનું સૂત્ર $\det(\operatorname{adj}^k(A)) = |A|^{(n-1)^k}$ છે,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં,$n=3$ અને $k=2024$ છે.
તેથી,$n = |A|^{(3-1)^{2024}} = 2^{2^{2024}}$.
આપણે $2^{2^{2024}} \pmod{9}$ શોધવાની જરૂર છે.
ઓઈલરના ટોશિયન્ટ પ્રમેય મુજબ,$\phi(9) = 6$.
આપણે $2^{2024} \pmod{6}$ શોધીએ.
$2^{2024} \equiv 0 \pmod{2}$ અને $2^{2024} = 4^{1012} \equiv 1^{1012} \equiv 1 \pmod{3}$.
ચાઈનીઝ રિમેન્ડર થિયરમ દ્વારા,$2^{2024} \equiv 4 \pmod{6}$.
તેથી,$2^{2024} = 6k + 4$.
આમ,$n = 2^{6k+4} = (2^6)^k \cdot 2^4 = 64^k \cdot 16$.
$64 \equiv 1 \pmod{9}$ હોવાથી,$n \equiv 1^k \cdot 16 \equiv 16 \equiv 7 \pmod{9}$.
તેથી,શેષ $7$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ શોધો.
ધારો કે $M = \operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી $M^2 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$M^k = \begin{bmatrix} 1 & -2k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$B = I + M + M^2 + \dots + M^{10} = \sum_{k=0}^{10} M^k$.
વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{10} 1 + \sum_{k=0}^{10} 1 = 11 + 11 = 22$ છે.
અન્ય ઘટકોનો સરવાળો $\sum_{k=0}^{10} (-2k) + 0 = -2 \times \frac{10 \times 11}{2} = -110$ છે.
આમ,$B = \begin{bmatrix} 11 & -110 \\ 0 & 11 \end{bmatrix}$.
$B$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $11 - 110 + 0 + 11 = -88$ થાય છે.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & d \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \end{bmatrix}$,તેથી $a + b = 3$ અને $b + d = 7$.
આમ,$a = 3 - b$ અને $d = 7 - b$.
નિશ્ચાયક $|A| = ad - b^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$(3 - b)(7 - b) - b^2 = 1$.
$21 - 3b - 7b + b^2 - b^2 = 1 \implies 21 - 10b = 1 \implies 10b = 20 \implies b = 2$.
તેથી $a = 3 - 2 = 1$ અને $d = 7 - 2 = 5$.
આમ,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A^{-1} = \alpha A + \beta I$,તેથી $\begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta & 2\alpha \\ 2\alpha & 5\alpha + \beta \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$2\alpha = -2 \implies \alpha = -1$.
$\alpha = -1$ ને $\alpha + \beta = 5$ માં મૂકતા,$-1 + \beta = 5 \implies \beta = 6$.
તેથી,$\alpha + \beta = -1 + 6 = 5$.