Adjoint and inverse of matrices Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $|A| = 2$ અને શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $n = 4$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $M$ માટે $|Adj(Adj(M))| = |M|^{(n-1)^2}$ થાય.
અહીં,$M = 2A$ છે. કારણ કે $A$ એ $4$ કક્ષાનો શ્રેણિક છે,તેથી $|2A| = 2^n |A| = 2^4 \cdot 2 = 2^5 = 32$ થાય.
હવે,$|Adj(Adj(2A))| = |2A|^{(4-1)^2} = |2A|^9$ થાય.
$|2A| = 2^5$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$|Adj(Adj(2A))| = (2^5)^9 = 2^{45}$.

(D) આપણને આપેલ છે કે $A$ અને $C$ એ ઇન્વોલ્યુટરી શ્રેણિકો છે,જેનો અર્થ છે કે $A^2 = I$ અને $C^2 = I$. આ સૂચવે છે કે $A^{-1} = A$ અને $C^{-1} = C$.
શ્રેણિકના વ્યસ્તના ગુણધર્મ $(XYZ)^{-1} = Z^{-1}Y^{-1}X^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(AB^{-1}C)^{-1} = C^{-1}(B^{-1})^{-1}A^{-1}$.
કારણ કે $(B^{-1})^{-1} = B$,તેથી:
$(AB^{-1}C)^{-1} = C^{-1}BA^{-1}$.
$C^{-1} = C$ અને $A^{-1} = A$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(AB^{-1}C)^{-1} = CBA$.

(A) આપેલ છે કે $A = f(x) = \begin{bmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = \cos x(\cos x - 0) - \sin x(-\sin x - 0) + 0 = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
કારણ કે $|A| = 1$,તેથી $A^{-1} = \text{adj}(A)$.
આ પ્રકારના શ્રેણિક (ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ) માટે,વ્યસ્ત શ્રેણિક તેના પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) જેટલો હોય છે:
$A^{-1} = A^T = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$f(-x)$ ની કિંમત શોધો:
$f(-x) = \begin{bmatrix} \cos(-x) & \sin(-x) & 0 \\ -\sin(-x) & \cos(-x) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{-1} = f(-x)$.

(B) આપેલ છે કે $P(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & \cot \theta \\ -\cot \theta & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $P(\theta)$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|P(\theta)| = (1)(1) - (\cot \theta)(-\cot \theta) = 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$.
કારણ કે $PQ = I$,$Q$ એ $P$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક છે,એટલે કે $Q = P^{-1} = \frac{1}{|P(\theta)|} \text{adj}(P(\theta))$.
$P(\theta)$ નો એડજોઈન્ટ $\begin{bmatrix} 1 & -\cot \theta \\ \cot \theta & 1 \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$Q = \frac{1}{\csc^2 \theta} \begin{bmatrix} 1 & -\cot \theta \\ \cot \theta & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે $(\csc^2 \theta)Q$ શોધવાનું છે:
$(\csc^2 \theta)Q = \csc^2 \theta \cdot \frac{1}{\csc^2 \theta} \begin{bmatrix} 1 & -\cot \theta \\ \cot \theta & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\cot \theta \\ \cot \theta & 1 \end{bmatrix}$.
હવે,$P(-\theta) = \begin{bmatrix} 1 & \cot(-\theta) \\ -\cot(-\theta) & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\cot \theta \\ \cot \theta & 1 \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી,$(\csc^2 \theta)Q = P(-\theta)$.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $n = 4$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\text{Adj}(A)| = |A|^{n-1} = |A|^{4-1} = |A|^3$.
આપેલ છે કે $|B| = 27$,તેથી $|A|^3 = 27$,જેનો અર્થ છે કે $|A| = 3$.
આપણે $|A^{-1} \text{Adj}(3AB)|$ શોધવાનું છે.
ગુણધર્મ $|XY| = |X||Y|$ નો ઉપયોગ કરતા,$|A^{-1} \text{Adj}(3AB)| = |A^{-1}| |\text{Adj}(3AB)| = \frac{1}{|A|} |\text{Adj}(3AB)|$.
કારણ કે $3AB$ એ $4$ કક્ષાનો શ્રેણિક છે,$|\text{Adj}(3AB)| = |3AB|^{4-1} = |3AB|^3$.
$|3AB| = 3^4 |A| |B| = 81 \times 3 \times 27 = 3^4 \times 3^1 \times 3^3 = 3^8$.
તેથી,$|\text{Adj}(3AB)| = (3^8)^3 = 3^{24}$.
અંતે,$|A^{-1} \text{Adj}(3AB)| = \frac{1}{3} \times 3^{24} = 3^{23}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $A^T + 2A = I$ છે.
બંને બાજુ પરિવર્તિત (transpose) લેતા,$(A^T)^T + 2A^T = I^T$,જે $A + 2A^T = I$ માં પરિણમે છે.
હવે આપણી પાસે બે સમીકરણો છે:
$1) A^T + 2A = I$
$2) 2A^T + A = I$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $2A^T + 4A = 2I$.
આમાંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા: $(2A^T + 4A) - (2A^T + A) = 2I - I$,જે $3A = I$ આપે છે,તેથી $A = \frac{1}{3}I$.
તેથી $A^{-1} = (\frac{1}{3}I)^{-1} = 3I$.
$A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવાથી,$A^{-1} = \text{diag}(3, 3, 3)$.
તેથી,$\det(A^{-1}) = 3 \times 3 \times 3 = 27$.

(D) આપેલ છે કે $P$ એ $4 \times 4$ શ્રેણિક છે,તેથી $n = 4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $n \times n$ શ્રેણિક $A$ માટે,$|adj(A)| = |A|^{n-1}$ થાય.
અહીં,$A = 3P$ છે,તેથી $|adj(3P)| = |3P|^{4-1} = |3P|^3$.
$P$ એ $4 \times 4$ શ્રેણિક હોવાથી,$|3P| = 3^4 |P|$ થાય.
$|P| = -2$ ની કિંમત મૂકતા,$|3P| = 3^4 \times (-2) = -2 \cdot 3^4$ મળે.
હવે,$|adj(3P)| = (-2 \cdot 3^4)^3 = (-2)^3 \cdot (3^4)^3 = -8 \cdot 3^{12} = -3^{12} \cdot 2^3$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ $-3^{12} \cdot 2^3$ સાથે મેળ ખાતો નથી.

(A) વ્યસ્ત શ્રેણિક છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે ચકાસીએ છીએ કે નિશ્ચાયક $|A| \neq 0$ છે કે નહીં. આપણે શ્રેણિકના ઘટકોની બેકી-એકી સંખ્યા (parity) ચકાસવા માટે $2$ વડે મોડ્યુલો લઈએ છીએ.
$2$ વડે મોડ્યુલો લેતા,શ્રેણિક $A$ નીચે મુજબ બને છે:
$A \equiv \begin{bmatrix} 0+1 & 0+0 & 0+0 \\ 0+0 & 0+1 & 0+0 \\ 0+0 & 0+0 & 0+1 \end{bmatrix} \pmod{2}$
$A \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \pmod{2}$
નિશ્ચાયક $|A| \pmod{2}$ એ એકમ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક છે,જે $1$ છે.
કારણ કે $|A| \equiv 1 \pmod{2}$,તેથી નિશ્ચાયક $|A|$ એક એકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
એકી સંખ્યા ક્યારેય $0$ હોઈ શકે નહીં.
તેથી,તમામ $n \in N$ માટે $|A| \neq 0$ છે.
આમ,શ્રેણિક $A$ તમામ $n \in N$ માટે વ્યસ્ત શ્રેણિક છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix} = aI$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
નિશ્ચાયક $|A| = a^3$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|adj A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં $n = 3$ છે,તેથી $|adj A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
તેથી,$|A| |adj A| = |A| \cdot |A|^2 = |A|^3$.
$|A| = a^3$ મૂકતા,આપણને $|A|^3 = (a^3)^3 = a^9$ મળે છે.

(C) આપણને $(B^{-1}AB)^5$ પદ આપેલું છે.
આને $5$ પદોના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય:
$(B^{-1}AB)^5 = (B^{-1}AB)(B^{-1}AB)(B^{-1}AB)(B^{-1}AB)(B^{-1}AB)$.
શ્રેણિક ગુણાકાર જૂથના નિયમનું પાલન કરતું હોવાથી,આપણે પદોને આ રીતે જૂથબદ્ધ કરી શકીએ:
$= B^{-1}A(BB^{-1})A(BB^{-1})A(BB^{-1})A(BB^{-1})AB$.
કારણ કે $BB^{-1} = I$ (એકમ શ્રેણિક),તેથી પદનું સાદું રૂપ આ મુજબ થશે:
$= B^{-1}A(I)A(I)A(I)A(I)AB$.
$= B^{-1}AAAAAB$.
$= B^{-1}A^5B$.

(D) $3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ માટે,આપણી પાસે નીચેના ગુણધર્મો છે:
$1$. $adj(adj(A)) = |A|^{n-2} A$. અહીં $n=3$ હોવાથી,$adj(adj(A)) = |A|^{3-2} A = |A| A$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$2$. આપણે જાણીએ છીએ કે $adj(A) = |A| A^{-1}$. $A$ ને $adj(A)$ સાથે બદલતા,આપણને $adj(adj(A)) = |adj(A)| (adj(A))^{-1}$ મળે છે.
$3$. કારણ કે $|adj(A)| = |A|^{n-1} = |A|^{3-1} = |A|^2$,તેથી $adj(adj(A)) = |A|^2 (adj(A))^{-1}$. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$4$. પરિણામોની સરખામણી કરતા,$adj(adj(A)) = |A| A$ અને $adj(adj(A)) = |A|^2 (adj(A))^{-1}$.
$5$. વિકલ્પ $D$ જણાવે છે કે $adj(adj(A)) = |A| (adj(A))^{-1}$,જે સામાન્ય રીતે ખોટું છે.
$6$. વિકલ્પ $A$ જણાવે છે કે $adj(A) = |A| (adj(A))^{-1}$. કારણ કે $adj(A) = |A| A^{-1}$,આ સૂચવે છે કે $A^{-1} = (adj(A))^{-1}$,જે સાચું છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ એ છે જે હંમેશા સાચું નથી.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,તેથી $n = 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|k \cdot M| = k^n |M|$,જ્યાં $M$ એ $n \times n$ શ્રેણિક છે.
આપેલ સમીકરણમાં આ ગુણધર્મ લાગુ પાડતા: $|5 \cdot \text{adj } A| = 5^3 |\text{adj } A| = 125 |\text{adj } A|$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$.
$n = 3$ મૂકતા,આપણને $|\text{adj } A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ મળે છે.
તેથી,સમીકરણ $125 |A|^2 = 5$ બને છે.
$|A|^2 = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$|A| = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} = \pm \frac{1}{5}$.

(A) આપેલ છે કે $A \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
ધારો કે $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ અને $C = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$. તેથી,$AB = C$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1} = B C^{-1}$.
પ્રથમ,$C^{-1}$ શોધો. $C$ એ પરમ્યુટેશન મેટ્રિક્સ હોવાથી,$C^{-1} = C^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} (1)(0)+(2)(0)+(3)(1) & (1)(1)+(2)(0)+(3)(0) & (1)(0)+(2)(1)+(3)(0) \\ (0)(0)+(2)(0)+(3)(1) & (0)(1)+(2)(0)+(3)(0) & (0)(0)+(2)(1)+(3)(0) \\ (0)(0)+(1)(0)+(1)(1) & (0)(1)+(1)(0)+(1)(0) & (0)(0)+(1)(1)+(1)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|A| = -abd$.
$A^{-1} = A^T$ હોવાથી,$A A^T = I$ થાય.
$A A^T = \begin{bmatrix} a^2 & ac & af \\ ac & b^2+c^2 & be+cf \\ ad & ae+cf & d^2+e^2+f^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
સરખાવતા: $a^2=1 \implies a=\pm 1$,$c=0$,$f=0$,$b^2=1 \implies b=\pm 1$,$e=0$,$d^2=1 \implies d=\pm 1$.
આમ,$a, b, d$ માટે $2$ વિકલ્પો છે. કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
રોટેશન મેટ્રિક્સના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $A^n = \begin{bmatrix} \cos(n\theta) & -\sin(n\theta) \\ \sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી,$A^{-50} = \begin{bmatrix} \cos(-50\theta) & -\sin(-50\theta) \\ \sin(-50\theta) & \cos(-50\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(50\theta) & \sin(50\theta) \\ -\sin(50\theta) & \cos(50\theta) \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $\theta = \frac{\pi}{12}$,તેથી $50\theta = 50 \times \frac{\pi}{12} = \frac{25\pi}{6} = 4\pi + \frac{\pi}{6}$.
કારણ કે $\cos(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,
તેથી $A^{-50} = \begin{bmatrix} \cos(\frac{\pi}{6}) & \sin(\frac{\pi}{6}) \\ -\sin(\frac{\pi}{6}) & \cos(\frac{\pi}{6}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$.

(C) વ્યસ્ત કરી શકાય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે તેનો નિશ્ચાયક $|A|$ શોધીએ.
$|A| = e^t \cdot e^{-t} \cdot e^{-t} \begin{vmatrix} 1 & \cos t & \sin t \\ 1 & -(\cos t + \sin t) & \cos t - \sin t \\ 1 & 2 \sin t & -2 \cos t \end{vmatrix} = e^{-t} \begin{vmatrix} 1 & \cos t & \sin t \\ 1 & -\cos t - \sin t & \cos t - \sin t \\ 1 & 2 \sin t & -2 \cos t \end{vmatrix}$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$|A| = e^{-t} \begin{vmatrix} 1 & \cos t & \sin t \\ 0 & -2 \cos t - \sin t & \cos t - 2 \sin t \\ 0 & 2 \sin t - \cos t & -2 \cos t - \sin t \end{vmatrix}$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = e^{-t} [(-2 \cos t - \sin t)^2 - (\cos t - 2 \sin t)(2 \sin t - \cos t)]$.
$|A| = e^{-t} [4 \cos^2 t + \sin^2 t + 4 \sin t \cos t - (2 \sin t \cos t - \cos^2 t - 4 \sin^2 t + 2 \sin t \cos t)]$.
$|A| = e^{-t} [4 \cos^2 t + \sin^2 t + 4 \sin t \cos t + \cos^2 t + 4 \sin^2 t - 4 \sin t \cos t] = e^{-t} [5 \cos^2 t + 5 \sin^2 t] = 5e^{-t}$.
કારણ કે $5e^{-t} \neq 0$ બધા $t \in \mathbb{R}$ માટે,તેથી શ્રેણિક $A$ બધા $t \in \mathbb{R}$ માટે વ્યસ્ત કરી શકાય છે.

(C) આપેલ છે કે $AA^T = I_3$,તેથી $A$ એ લંબ શ્રેણિક (orthogonal matrix) છે.
શ્રેણિક ગુણાકાર $AA^T$ કરતા:
$\begin{bmatrix} 0 & 2q & r \\ p & q & -r \\ p & -q & r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & p & p \\ 2q & q & -q \\ r & -r & r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
ગુણાકારના ઘટકો સરખાવતા:
હાર $1$ $\cdot$ સ્તંભ $1$: $4q^2 + r^2 = 1$ (સમી. $1$)
હાર $2$ $\cdot$ સ્તંભ $2$: $p^2 + q^2 + r^2 = 1$ (સમી. $2$)
હાર $2$ $\cdot$ સ્તંભ $3$: $p^2 - q^2 - r^2 = 0$ (સમી. $3$)
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$2p^2 = 1 \implies p^2 = \frac{1}{2} \implies |p| = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a+b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ થાય છે.
આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\begin{bmatrix} 1 & 1+2+3+\dots+(n-1) \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 78 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ $(n-1)$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{(n-1)n}{2}$ થાય છે.
તેથી,$\frac{n(n-1)}{2} = 78 \Rightarrow n^2 - n - 156 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(n-13)(n+12) = 0$. $n$ ધન હોવાથી,$n = 13$ મળે.
આપણે $A = \begin{bmatrix} 1 & 13 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શોધવાનો છે.
શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ માટે,તેનો વ્યસ્ત $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & -13 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $B = A^{-1}$,તેથી આપણે જાણીએ છીએ કે $\det(B) = \frac{1}{\det(A)}$.
પ્રથમ,શ્રેણિક $B$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$\det(B) = 5(2(-1) - 3(1)) - 2\alpha(0(-1) - \alpha(1)) + 1(0(3) - \alpha(2))$
$\det(B) = 5(-5) + 2\alpha^2 - 2\alpha = 2\alpha^2 - 2\alpha - 25$.
શરત $\det(A) + 1 = 0$ મુજબ,$\det(A) = -1$ થાય.
તેથી,$\det(B) = \frac{1}{-1} = -1$.
$\det(B)$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$2\alpha^2 - 2\alpha - 25 = -1$
$2\alpha^2 - 2\alpha - 24 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$\alpha^2 - \alpha - 12 = 0$
$(\alpha - 4)(\alpha + 3) = 0$.
$\alpha$ ના મૂલ્યો $4$ અને $-3$ મળે છે.
આ મૂલ્યોનો સરવાળો $4 + (-3) = 1$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 9 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (2 \times 4) - (2 \times 9) = 8 - 18 = -10$ શોધો.
ત્યારબાદ,$A$ નો એડજોઈન્ટ (adj) શોધો: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -9 & 2 \end{bmatrix}$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -9 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી,$10 A^{-1} = 10 \times \left( \frac{1}{-10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -9 & 2 \end{bmatrix} \right) = -1 \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -9 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 9 & -2 \end{bmatrix}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
$A - 6I = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 9 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 9 & -2 \end{bmatrix}$.
આમ,$10 A^{-1} = A - 6I$ થાય છે.

(C) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = 1(9 + 4) - 1(3 - 4) + 2(-1 - 3) = 13 + 1 - 8 = 6$.
આપણને $B = \operatorname{adj} A$ અને $C = 3A$ આપેલ છે. આપણે $\frac{|\operatorname{adj} B|}{|C|}$ શોધવાનું છે.
$B = \operatorname{adj} A$ હોવાથી,$\operatorname{adj} B = \operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)$ થાય.
ગુણધર્મ $|\operatorname{adj} M| = |M|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે:
$|\operatorname{adj} B| = |\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)| = |A|^{(n-1)^2} = |A|^{(3-1)^2} = |A|^4$.
છેદ માટે,$|C| = |3A| = 3^n |A| = 3^3 |A| = 27 |A|$.
તેથી,$\frac{|\operatorname{adj} B|}{|C|} = \frac{|A|^4}{27 |A|} = \frac{|A|^3}{27}$.
$|A| = 6$ મૂકતા:
$\frac{6^3}{27} = \frac{216}{27} = 8$.

(C) $2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ (સહઅવયજ શ્રેણિક) $adj$ $A = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ આપેલ છે,તેથી $a=2, b=3, c=1, d=4$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$adj$ $A = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.

(D) પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 1(16 - 9) - 3(4 - 3) + 3(3 - 4) = 1(7) - 3(1) + 3(-1) = 7 - 3 - 3 = 1 \neq 0$.
ત્યારબાદ,સહઅવયવ શ્રેણિક અને તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક શોધીને $\text{adj } A$ મેળવો:
$A_{11} = 7, A_{12} = -1, A_{13} = -1$
$A_{21} = -3, A_{22} = 1, A_{23} = 0$
$A_{31} = -3, A_{32} = 0, A_{33} = 1$
આમ,$\text{adj } A = \begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A(\text{adj } A) = |A|I$ ચકાસો:
$A(\text{adj } A) = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 1 \cdot I = |A|I$.
અંતે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે $AB$ નો ગુણાકાર શોધીએ:
$AB = \left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ 1 & -4\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -1 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2(1)+3(-1) & 2(-2)+3(3) \\ 1(1)+(-4)(-1) & 1(-2)+(-4)(3)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 5 \\ 5 & -14\end{array}\right]$.
ત્યારબાદ,આપણે નિશ્ચાયક $|AB| = (-1)(-14) - (5)(5) = 14 - 25 = -11$ શોધીએ.
કારણ કે $|AB| \neq 0$,તેથી $(AB)^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} \text{adj}(AB) = \frac{1}{-11} \left[\begin{array}{cc}-14 & -5 \\ -5 & -1\end{array}\right] = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}14 & 5 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
હવે,આપણે $A^{-1}$ અને $B^{-1}$ શોધીએ:
$|A| = 2(-4) - 3(1) = -8 - 3 = -11$.
$A^{-1} = \frac{1}{-11} \left[\begin{array}{cc}-4 & -3 \\ -1 & 2\end{array}\right] = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}4 & 3 \\ 1 & -2\end{array}\right]$.
$|B| = 1(3) - (-2)(-1) = 3 - 2 = 1$.
$B^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right]$.
છેલ્લે,$B^{-1} A^{-1}$ ની ગણતરી કરીએ:
$B^{-1} A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ 1 & 1\end{array}\right] \left( \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}4 & 3 \\ 1 & -2\end{array}\right] \right) = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}3(4)+2(1) & 3(3)+2(-2) \\ 1(4)+1(1) & 1(3)+1(-2)\end{array}\right] = \frac{1}{11} \left[\begin{array}{cc}14 & 5 \\ 5 & 1\end{array}\right]$.
આમ,$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ સાબિત થાય છે.

(B) પ્રથમ,આપણે $A^{2} = A \cdot A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+3 & 6+6 \\ 2+2 & 3+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 4 & 7 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
હવે,સમીકરણ $A^{2} - 4A + I$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 12 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 12 \\ 4 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7-8+1 & 12-12+0 \\ 4-4+0 & 7-8+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
$A^{-1}$ શોધવા માટે,$A^{2} - 4A + I = O$ થી શરૂઆત કરો.
બંને બાજુથી $I$ બાદ કરતા: $A^{2} - 4A = -I$.
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણતા: $A^{-1}(A^{2} - 4A) = A^{-1}(-I)$.
$(A^{-1}A)A - 4(A^{-1}A) = -A^{-1}$.
$IA - 4I = -A^{-1}$.
$A - 4I = -A^{-1}$,જેનો અર્થ છે કે $A^{-1} = 4I - A$.
$A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 1, b = 2, c = 3, d = 4$ છે.
તેથી,$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ થાય.

(D) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right]$.
શ્રેણિકનો એડજોઈન્ટ એ કોફેક્ટર શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે. ધારો કે $C_{ij}$ એ ઘટક $a_{ij}$ નો કોફેક્ટર છે.
$C_{11} = +\left|\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 3 - 0 = 3$
$C_{12} = -\left|\begin{array}{cc}2 & 5 \\ -2 & 1\end{array}\right| = -(2 + 10) = -12$
$C_{13} = +\left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -2 & 0\end{array}\right| = 0 - (-6) = 6$
$C_{21} = -\left|\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right| = -(-1 - 0) = 1$
$C_{22} = +\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & 1\end{array}\right| = 1 - (-4) = 5$
$C_{23} = -\left|\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -2 & 0\end{array}\right| = -(0 - 2) = 2$
$C_{31} = +\left|\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\right| = -5 - 6 = -11$
$C_{32} = -\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & 5\end{array}\right| = -(5 - 4) = -1$
$C_{33} = +\left|\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right| = 3 - (-2) = 5$
કોફેક્ટર શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ccc}3 & -12 & 6 \\ 1 & 5 & -1 \\ -11 & -1 & 5\end{array}\right]$ છે.
તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,$\text{adj}(A) = \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & -11 \\ -12 & 5 & -1 \\ 6 & 2 & 5\end{array}\right]$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = (2)(-6) - (3)(-4) = -12 + 12 = 0$.
તેથી,$|A| I = 0 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આગળ,$A$ નો એડજોઈન્ટ $(\text{adj } A)$ શોધો:
સહઅવયવો $C_{11} = -6, C_{12} = 4, C_{21} = -3, C_{22} = 2$ છે.
તેથી,$\text{adj } A = \begin{bmatrix} -6 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$.
હવે,$A(\text{adj } A)$ ની ગણતરી કરો:
$A(\text{adj } A) = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -6 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -12+12 & -6+6 \\ 24-24 & 12-12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
છેલ્લે,$(\text{adj } A) A$ ની ગણતરી કરો:
$(\text{adj } A) A = \begin{bmatrix} -6 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -12+12 & -18+18 \\ 8-8 & 12-12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આમ,$A(\text{adj } A) = (\text{adj } A) A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = |A| I$ હોવાથી,આ સંબંધ ચકાસાય છે.

(A) $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$
$|A| = 1(0 - 0) - (-1)(9 - (-2)) + 2(0 - 0) = 1(0) + 1(11) + 2(0) = 11$
$\therefore |A| I = 11 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix}$
હવે,સહઅવયવો $A_{ij}$ ની ગણતરી કરતા:
$A_{11} = (0 - 0) = 0, A_{12} = -(9 - (-2)) = -11, A_{13} = (0 - 0) = 0$
$A_{21} = -(-3 - 0) = 3, A_{22} = (3 - 2) = 1, A_{23} = -(0 - (-1)) = -1$
$A_{31} = (2 - 0) = 2, A_{32} = -(-2 - 6) = 8, A_{33} = (0 - (-3)) = 3$
$\therefore \text{adj } A = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -11 & 1 & 8 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix}$
હવે,$A(\text{adj } A) = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -11 & 1 & 8 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix}$
તે જ રીતે,$(\text{adj } A) A = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -11 & 1 & 8 \\ 0 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 0 & 0 \\ 0 & 11 & 0 \\ 0 & 0 & 11 \end{bmatrix}$
આમ,$A(\text{adj } A) = (\text{adj } A) A = |A| I$ ચકાસાય છે.

ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 4 & 3\end{array}\right]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ દ્વારા મળે છે,જેનું અસ્તિત્વ ત્યારે જ હોય જો $|A| \neq 0$ હોય.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = \left|\begin{array}{cc}2 & -2 \\ 4 & 3\end{array}\right| = (2 \times 3) - (4 \times -2) = 6 + 8 = 14$.
અહીં $|A| = 14 \neq 0$ હોવાથી,$A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે.
હવે,$A$ નો એડજોઈન્ટ (adj $A$) શોધો:
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ માટે,એડજોઈન્ટ $\left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ થાય.
તેથી,$\text{adj}(A) = \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ -4 & 2\end{array}\right]$.
અંતે,$A^{-1}$ ની ગણતરી કરો:
$A^{-1} = \frac{1}{14} \left[\begin{array}{cc}3 & 2 \\ -4 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{14} & \frac{2}{14} \\ -\frac{4}{14} & \frac{2}{14}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{14} & \frac{1}{7} \\ -\frac{2}{7} & \frac{1}{7}\end{array}\right]$.

(D) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}-1 & 5 \\ -3 & 2\end{array}\right]$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = (-1)(2) - (5)(-3) = -2 + 15 = 13$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ નો એડજોઈન્ટ (સહ-શ્રેણિક) $\left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ થાય છે.
આથી,$A$ માટે:
$adj(A) = \left[\begin{array}{cc}2 & -5 \\ 3 & -1\end{array}\right]$.
વ્યસ્ત શ્રેણિકનું સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$ છે:
$A^{-1} = \frac{1}{13} \left[\begin{array}{cc}2 & -5 \\ 3 & -1\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ શોધીએ:
$|A| = 1(2 \times 5 - 4 \times 0) - 2(0 \times 5 - 4 \times 0) + 3(0 \times 0 - 2 \times 0) = 1(10) - 2(0) + 3(0) = 10$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
હવે,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C = [C_{ij}]$ શોધીએ:
$C_{11} = +(10-0) = 10, C_{12} = -(0-0) = 0, C_{13} = +(0-0) = 0$
$C_{21} = -(10-0) = -10, C_{22} = +(5-0) = 5, C_{23} = -(0-0) = 0$
$C_{31} = +(8-6) = 2, C_{32} = -(4-0) = -4, C_{33} = +(2-0) = 2$
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $adj(A)$ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$adj(A) = \left[\begin{array}{ccc}10 & -10 & 2 \\ 0 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$.
અંતે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{10} \left[\begin{array}{ccc}10 & -10 & 2 \\ 0 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$.

(B) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ શોધીએ:
$|A| = 1((-3)(1) - (0)(2)) - 0 + 0 = -3$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આગળ,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધીએ:
$C_{11} = +((-3) - 0) = -3$
$C_{12} = -((-3) - 0) = 3$
$C_{13} = +((6) - (15)) = -9$
$C_{21} = -(0 - 0) = 0$
$C_{22} = +((-1) - 0) = -1$
$C_{23} = -(2 - 0) = -2$
$C_{31} = +(0 - 0) = 0$
$C_{32} = -(0 - 0) = 0$
$C_{33} = +(3 - 0) = 3$
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $adj(A)$ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$adj(A) = \left[\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3\end{array}\right]$.
અંતે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-3} \left[\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3\end{array}\right] = -\frac{1}{3} \left[\begin{array}{ccc}-3 & 0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ -9 & -2 & 3\end{array}\right]$.

(C) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 2((-1)(1) - (0)(2)) - 1((4)(1) - (0)(-7)) + 3((4)(2) - (-1)(-7))$
$|A| = 2(-1 - 0) - 1(4 - 0) + 3(8 - 7)$
$|A| = 2(-1) - 1(4) + 3(1) = -2 - 4 + 3 = -3$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
હવે,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધીએ:
$C_{11} = -1, C_{12} = -4, C_{13} = 1$
$C_{21} = 5, C_{22} = 23, C_{23} = -11$
$C_{31} = 3, C_{32} = 12, C_{33} = -6$
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $adj(A)$ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$adj(A) = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 5 & 3 \\ -4 & 23 & 12 \\ 1 & -11 & -6\end{array}\right]$.
અંતે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-3} \left[\begin{array}{ccc}-1 & 5 & 3 \\ -4 & 23 & 12 \\ 1 & -11 & -6\end{array}\right] = -\frac{1}{3} \left[\begin{array}{ccc}-1 & 5 & 3 \\ -4 & 23 & 12 \\ 1 & -11 & -6\end{array}\right]$.

(D) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4\end{array}\right]$.
પ્રથમ,પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 1(8 - 6) - 0( -4 + 4) + 3(3 - 4) = 1(2) - 0 + 3(-1) = 2 - 3 = -1$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
હવે,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધો:
$C_{11} = +(8-6) = 2, C_{12} = -(0+9) = -9, C_{13} = +(0-6) = -6$
$C_{21} = -(-4+4) = 0, C_{22} = +(4-6) = -2, C_{23} = -(-2+3) = -1$
$C_{31} = +(3-4) = -1, C_{32} = -(-3-0) = 3, C_{33} = +(2-0) = 2$
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $\text{adj } A$ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$\text{adj } A = \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ -9 & -2 & 3 \\ -6 & -1 & 2\end{array}\right]$.
અંતે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj } A = \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ -9 & -2 & 3 \\ -6 & -1 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & -3 \\ 6 & 1 & -2\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos a & \sin a \\ 0 & \sin a & -\cos a\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1(\cos a(-\cos a) - \sin a(\sin a)) = -\cos^2 a - \sin^2 a = -(\cos^2 a + \sin^2 a) = -1$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આગળ,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C$ શોધીએ:
$C_{11} = -1$,$C_{12} = 0$,$C_{13} = 0$.
$C_{21} = 0$,$C_{22} = -\cos a$,$C_{23} = -\sin a$.
$C_{31} = 0$,$C_{32} = -\sin a$,$C_{33} = \cos a$.
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $\operatorname{adj} A$ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$\operatorname{adj} A = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -\cos a & -\sin a \\ 0 & -\sin a & \cos a\end{array}\right]$.
અંતે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A = \frac{1}{-1} \left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -\cos a & -\sin a \\ 0 & -\sin a & \cos a\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos a & \sin a \\ 0 & \sin a & -\cos a\end{array}\right]$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$.
$|A| = (3 \times 5) - (7 \times 2) = 15 - 14 = 1$.
$adj(A) = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$.
આપેલ છે $B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 7 & 9 \end{bmatrix}$.
$|B| = (6 \times 9) - (8 \times 7) = 54 - 56 = -2$.
$adj(B) = \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ -7 & 6 \end{bmatrix}$.
$B^{-1} = \frac{1}{|B|} adj(B) = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 9 & -8 \\ -7 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{9}{2} & 4 \\ \frac{7}{2} & -3 \end{bmatrix}$.
હવે,$B^{-1} A^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{9}{2} & 4 \\ \frac{7}{2} & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{45}{2} - 8 & \frac{63}{2} + 12 \\ \frac{35}{2} + 6 & -\frac{49}{2} - 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{61}{2} & \frac{87}{2} \\ \frac{47}{2} & -\frac{67}{2} \end{bmatrix} \dots (1)$.
હવે,$AB = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18+49 & 24+63 \\ 12+35 & 16+45 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 67 & 87 \\ 47 & 61 \end{bmatrix}$.
$|AB| = (67 \times 61) - (87 \times 47) = 4087 - 4089 = -2$.
$adj(AB) = \begin{bmatrix} 61 & -87 \\ -47 & 67 \end{bmatrix}$.
$(AB)^{-1} = \frac{1}{|AB|} adj(AB) = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 61 & -87 \\ -47 & 67 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{61}{2} & \frac{87}{2} \\ \frac{47}{2} & -\frac{67}{2} \end{bmatrix} \dots (2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ ચકાસાય છે.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^{2} = A \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
હવે,$A^{2} - 5A + 7I = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - 5 \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ શોધો.
$= \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$.
$A^{-1}$ શોધવા માટે,સમીકરણ $A^{2} - 5A + 7I = 0$ ને $A^{-1}$ વડે ગુણો:
$A - 5I + 7A^{-1} = 0$.
$7A^{-1} = 5I - A$.
$7A^{-1} = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^{2} = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$A^{3} = A^{2} \cdot A = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 7 & 1 \\ -23 & 27 & -69 \\ 32 & -13 & 58 \end{bmatrix}$ શોધો.
હવે,$A^{3} - 6A^{2} + 5A + 11I$ માં કિંમતો મૂકતા:
$= \begin{bmatrix} 8 & 7 & 1 \\ -23 & 27 & -69 \\ 32 & -13 & 58 \end{bmatrix} - 6 \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix} + 5 \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} + 11 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0$.
$A^{-1}$ શોધવા માટે,$A^{3} - 6A^{2} + 5A + 11I = 0$ ને $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^{2} - 6A + 5I + 11A^{-1} = 0 \Rightarrow 11A^{-1} = -(A^{2} - 6A + 5I)$.
$A^{2} - 6A + 5I = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 \\ -3 & 8 & -14 \\ 7 & -3 & 14 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 6 & 6 \\ 6 & 12 & -18 \\ 12 & -6 & 18 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4 & -5 \\ -9 & 1 & 4 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^{-1} = -\frac{1}{11} \begin{bmatrix} 3 & -4 & -5 \\ -9 & 1 & 4 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -3 & 4 & 5 \\ 9 & -1 & -4 \\ 5 & -3 & -1 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે $A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]$.
પ્રથમ,$A^{2} = A \times A = \left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6\end{array}\right]$ શોધો.
ત્યારબાદ,$A^{3} = A^{2} \times A = \left[\begin{array}{ccc}6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}22 & -21 & 21 \\ -21 & 22 & -21 \\ 21 & -21 & 22\end{array}\right]$ શોધો.
હવે,$A^{3}-6 A^{2}+9 A-4 I = \left[\begin{array}{ccc}22 & -21 & 21 \\ -21 & 22 & -21 \\ 21 & -21 & 22\end{array}\right] - 6\left[\begin{array}{ccc}6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6\end{array}\right] + 9\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right] - 4\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] = 0$ ચકાસો.
$A^{-1}$ શોધવા માટે,સમીકરણ $A^{3}-6 A^{2}+9 A-4 I=0$ ને $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^{2}-6 A+9 I-4 A^{-1}=0 \Rightarrow 4 A^{-1} = A^{2}-6 A+9 I$.
$4 A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}6 & -5 & 5 \\ -5 & 6 & -5 \\ 5 & -5 & 6\end{array}\right] - 6\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right] + 9\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3\end{array}\right]$.
આમ,$A^{-1} = \frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 3\end{array}\right]$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ ક્રમના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો ગુણધર્મ નીચે મુજબ છે:
$A(adj\, A) = (adj\, A)A = |A|I_n$
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા:
$|A(adj\, A)| = ||A|I_n|$
$|A| \cdot |adj\, A| = |A|^n \cdot |I_n|$
કારણ કે $|I_n| = 1$,તેથી:
$|A| \cdot |adj\, A| = |A|^n$
$|adj\, A| = |A|^{n-1}$
અહીં શ્રેણિક $A$ નો ક્રમ $3 \times 3$ છે,તેથી $n = 3$.
તેથી,$|adj\, A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
આમ,સાચો જવાબ $C$ છે.

(D) કારણ કે $A$ એક વ્યસ્ત શ્રેણિક છે,$A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$.
શ્રેણિક $A$ એ $2$ કક્ષાનો હોવાથી,ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
તેથી,$|A| = ad - bc$ અને $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$.
હવે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} \frac{d}{|A|} & \frac{-b}{|A|} \\ \frac{-c}{|A|} & \frac{a}{|A|} \end{bmatrix}$.
તેથી,$\det(A^{-1}) = \begin{vmatrix} \frac{d}{|A|} & \frac{-b}{|A|} \\ \frac{-c}{|A|} & \frac{a}{|A|} \end{vmatrix}$.
$= \frac{1}{|A|^2} \begin{vmatrix} d & -b \\ -c & a \end{vmatrix}$.
$= \frac{1}{|A|^2} (ad - bc)$.
$= \frac{1}{|A|^2} \cdot |A| = \frac{1}{|A|}$.
તેથી,$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$.
આમ,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
પ્રથમ,આપણે $B^{-1}$ ની ગણતરી કરીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{adj}(B)$,જે ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જો $|B| \neq 0$ હોય.
$|B|$ ની ગણતરી:
$|B| = \left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right| = 1(3-0) - 2(-1-0) - 2(2-0) = 3 + 2 - 4 = 1$.
કારણ કે $|B| = 1 \neq 0$,તેથી $B^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$\text{adj}(B)$ ની ગણતરી:
દરેક ઘટક માટે સહઅવયવ $A_{ij}$ શોધીને સહઅવયવ શ્રેણિક મેળવવામાં આવે છે.
$A_{11} = 3, A_{12} = 1, A_{13} = 2$
$A_{21} = 2, A_{22} = 1, A_{23} = 2$
$A_{31} = 6, A_{32} = 2, A_{33} = 5$
આમ,$\text{adj}(B) = \left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5\end{array}\right]$.
$|B| = 1$ હોવાથી,$B^{-1} = \text{adj}(B) = \left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5\end{array}\right]$.
હવે,$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 5\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2\end{array}\right]$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$(AB)^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}9-30+30 & -3+12-12 & 3-10+12 \\ 3-15+10 & -1+6-4 & 1-5+4 \\ 6-30+25 & -2+12-10 & 2-10+10\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}9 & -3 & 5 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]$.

(N/A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = 1(15 - 1) + 2(-10 - 1) + 1(-2 - 3) = 14 - 22 - 5 = -13$ શોધો.
સહ-અવયવોનો શ્રેણિક નીચે મુજબ છે:
$C_{11} = 14, C_{12} = 11, C_{13} = -5$
$C_{21} = 11, C_{22} = 4, C_{23} = -3$
$C_{31} = -5, C_{32} = -3, C_{33} = -1$
તેથી,$adj A = \begin{bmatrix} 14 & 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 & -3 & -1 \end{bmatrix}$.
હવે,$[adj A]^{-1} = \frac{1}{|adj A|} adj(adj A)$.
$|adj A| = 14(-4 - 9) - 11(-11 - 15) - 5(-33 + 20) = 14(-13) - 11(-26) - 5(-13) = -182 + 286 + 65 = 169$.
$adj A$ નો એડજોઈન્ટ $\begin{bmatrix} -13 & 26 & -13 \\ 26 & -39 & -13 \\ -13 & -13 & -65 \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$[adj A]^{-1} = \frac{1}{169} \begin{bmatrix} -13 & 26 & -13 \\ 26 & -39 & -13 \\ -13 & -13 & -65 \end{bmatrix} = \frac{1}{13} \begin{bmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & -1 \\ -1 & -1 & -5 \end{bmatrix}$.
આગળ,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj A = -\frac{1}{13} \begin{bmatrix} 14 & 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 & -3 & -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{13} \begin{bmatrix} -14 & -11 & 5 \\ -11 & -4 & 3 \\ 5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^{-1}$ ના સહ-અવયવો શોધતા $adj(A^{-1}) = \frac{1}{13} \begin{bmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 2 & -3 & -1 \\ -1 & -1 & -5 \end{bmatrix}$ મળે છે.
આમ,$[adj A]^{-1} = adj(A^{-1})$ ચકાસાય છે.

(N/A) આપેલ છે $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5\end{array}\right]$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ શોધો:
$|A| = 1(15-1) - (-2)(-10-1) + 1(-2-3) = 1(14) + 2(-11) + 1(-5) = 14 - 22 - 5 = -13$.
ત્યારબાદ,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધો:
$C_{11} = +(15-1) = 14, C_{12} = -( -10-1) = 11, C_{13} = +(-2-3) = -5$.
$C_{21} = -(-10-1) = 11, C_{22} = +(5-1) = 4, C_{23} = -(1+2) = -3$.
$C_{31} = +(-2-3) = -5, C_{32} = -(1+2) = -3, C_{33} = +(3-4) = -1$.
આમ,$adj(A) = \left[\begin{array}{ccc}14 & 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 & -3 & -1\end{array}\right]$.
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = -\frac{1}{13} \left[\begin{array}{ccc}14 & 11 & -5 \\ 11 & 4 & -3 \\ -5 & -3 & -1\end{array}\right] = \frac{1}{13} \left[\begin{array}{ccc}-14 & -11 & 5 \\ -11 & -4 & 3 \\ 5 & 3 & 1\end{array}\right]$.
હવે,$(A^{-1})^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે $A^{-1}$ નો નિશ્ચાયક અને એડજોઈન્ટ શોધીશું.
$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = -\frac{1}{13}$.
$A^{-1}$ નો એડજોઈન્ટ $adj(A^{-1}) = \frac{1}{|A|^{n-1}} A = \frac{1}{(-13)^2} A = \frac{1}{169} \left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 5\end{array}\right]$.
અંતે,$(A^{-1})^{-1} = \frac{adj(A^{-1})}{|A^{-1}|} = \frac{\frac{1}{169} A}{-\frac{1}{13}} = -\frac{13}{169} A = -\frac{1}{13} A = A$.
આમ,$\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$ ચકાસાય છે.

(A) આપેલ વિકર્ણ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$ છે.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = x(yz - 0) - 0 + 0 = xyz$ છે.
$x, y, z \neq 0$ હોવાથી,$|A| = xyz \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
વિકર્ણ શ્રેણિક $A = \text{diag}(x, y, z)$ નો વ્યસ્ત $A^{-1} = \text{diag}(x^{-1}, y^{-1}, z^{-1})$ દ્વારા મળે છે.
એડજોઈન્ટ શ્રેણિકની ગણતરી કરતા:
$adj(A) = \begin{bmatrix} yz & 0 & 0 \\ 0 & xz & 0 \\ 0 & 0 & xy \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{xyz} \begin{bmatrix} yz & 0 & 0 \\ 0 & xz & 0 \\ 0 & 0 & xy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{yz}{xyz} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{xz}{xyz} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{xy}{xyz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix}$.

(A) પ્રાથમિક હાર પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત શોધવા માટે,આપણે $A=IA$ લખીએ છીએ.
$\left[\begin{array}{rr}1 & 2 \\ 2 & -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_{2} \rightarrow R_{2}-2 R_{1}$ લાગુ પાડતા:
$\left[\begin{array}{rr}1 & 2 \\ 0 & -5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\ -2 & 1\end{array}\right] A$
$R_{2} \rightarrow -\frac{1}{5} R_{2}$ લાગુ પાડતા:
$\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ \frac{2}{5} & \frac{-1}{5}\end{array}\right] A$
$R_{1} \rightarrow R_{1}-2 R_{2}$ લાગુ પાડતા:
$\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{-1}{5}\end{array}\right] A$
આમ,$A^{-1}=\left[\begin{array}{ll}\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{-1}{5}\end{array}\right]$.

(A) પ્રાથમિક હાર પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરીને શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત શોધવા માટે,આપણે $A = IA$ લખીએ છીએ:
$\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_1 \leftrightarrow R_2$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] A$
$R_3 \to R_3 - 3R_1$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & -8\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1\end{array}\right] A$
$R_1 \to R_1 - 2R_2$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & -8\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}-2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1\end{array}\right] A$
$R_3 \to R_3 + 5R_2$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 5 & -3 & 1\end{array}\right] A$
$R_3 \to \frac{1}{2}R_3$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] A$
$R_1 \to R_1 + R_3$ અને $R_2 \to R_2 - 2R_3$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right] A$
આમ,$A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & \frac{-3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$.

(C) શ્રેણિક $P$ નો વ્યસ્ત શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ તેનો નિશ્ચાયક $|P|$ ગણીએ.
$|P| = (10 \times 1) - (-2 \times -5) = 10 - 10 = 0$.
શ્રેણિક $P$ નો નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,આ શ્રેણિક અસામાન્ય (singular) છે.
શ્રેણિકનો વ્યસ્ત ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય.
તેથી,$P^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (1)(3) - (-1)(2) = 3 + 2 = 5$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આપણે સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સહ-અવયવોનો શ્રેણિક:
$C_{11} = 3, C_{12} = -2, C_{21} = 1, C_{22} = 1$.
તેથી,$\text{adj}(A) = \left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ -2 & 1\end{array}\right]$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{5} \left[\begin{array}{cc}3 & 1 \\ -2 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5} & \frac{1}{5} \\ -\frac{2}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$.