Adjoint and inverse of matrices Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ શોધીએ:
$|A| = 0(2-3) - 1(1-9) + 2(1-6) = 0 - 1(-8) + 2(-5) = 8 - 10 = -2$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આગળ,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધીએ:
$C_{11} = +(2-3) = -1, C_{12} = -(1-9) = 8, C_{13} = +(1-6) = -5$
$C_{21} = -(1-2) = 1, C_{22} = +(0-6) = -6, C_{23} = -(0-3) = 3$
$C_{31} = +(3-4) = -1, C_{32} = -(0-2) = 2, C_{33} = +(0-1) = -1$
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $adj(A)$ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$adj(A) = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix}$.
અંતે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (2 \times 4) - (1 \times 7) = 8 - 7 = 1$ ગણો.
ત્યારબાદ,વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને $A$ નો એડજોઈન્ટ (સહ-શ્રેણિક) શોધો:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -7 & 2 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -7 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -7 & 2 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,$A$ નો એડજોઈન્ટ (સહ-શ્રેણિક) $adj(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} -2 & 6 \\ -5 & 7 \end{bmatrix}$,તેથી $a = -2, b = 6, c = -5, d = 7$ છે.
તેથી,$adj(A) = \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ -(-5) & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ 5 & -2 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ સમીકરણ $A^{-1} = \frac{1}{K} \text{adj}(A)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = |A|$ મળે છે.
હવે,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 3(2(1) - (-1)(1)) - 1(2(1) - 4(1)) + 0(2(-1) - 4(2))$
$|A| = 3(2 + 1) - 1(2 - 4) + 0$
$|A| = 3(3) - 1(-2)$
$|A| = 9 + 2 = 11$.
તેથી,$K = 11$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,ગુણધર્મ $A(adj A) = (adj A)A = |A|I$ સાચો છે,જ્યાં $I$ એ સમાન કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો: $|A| = (3 \times 7) - (4 \times 5) = 21 - 20 = 1$.
$A$ નો એડજોઈન્ટ (સહ-શ્રેણિક) વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોના ચિહ્નો બદલીને મેળવવામાં આવે છે:
$adj A = \begin{bmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$.
હવે,$A(adj A)$ ની ગણતરી કરો:
$A(adj A) = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (21 - 20) & (-12 + 12) \\ (35 - 35) & (-20 + 21) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
કારણ કે $|A| = 1$,તેથી $I = |A|I$.
તેથી,$A(adj A) = |A|I$.

(A) આપેલ છે કે ${A^3} = I$.
બંને બાજુ ${A^{-1}}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
${A^{-1}} \times {A^3} = {A^{-1}} \times I$
${A^{-1}} \times (A \times {A^2}) = {A^{-1}}$
$({A^{-1}} \times A) \times {A^2} = {A^{-1}}$
$I \times {A^2} = {A^{-1}}$
${A^2} = {A^{-1}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
કારણ કે $A^2 = I$,આપણે બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે ગુણી શકીએ છીએ:
$A^2 \cdot A^{-1} = I \cdot A^{-1}$
$A \cdot (A \cdot A^{-1}) = A^{-1}$
$A \cdot I = A^{-1}$
તેથી,$A^{-1} = A$.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = (1)(4) - (-2)(3) = 4 + 6 = 10$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$A$ નો સહ-અવયજ શ્રેણિક (adjoint),$adj(A)$,મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને મેળવવામાં આવે છે:
$adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
વ્યસ્ત શ્રેણિકનું સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$ છે:
$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = (\cos 2\theta)(\cos 2\theta) - (-\sin 2\theta)(\sin 2\theta) = \cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta = 1$.
ત્યારબાદ,$A$ નો એડજોઈન્ટ (સહ-શ્રેણિક) શોધો,જેમાં મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકોની અદલાબદલી કરો અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલો:
$adj(A) = \begin{bmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ -\sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકનો વ્યસ્ત $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$ દ્વારા મળે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ -\sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ -\sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $B = A^{-1}$,તેથી $10B = 10A^{-1}$.
તેથી,$10A^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$.
બંને બાજુ જમણી બાજુથી $A$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $10I = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
આના પરિણામે $10I = \begin{bmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$ મળે છે.
$\alpha$ શોધવા માટે,ગુણાકાર શ્રેણિકની $2^{nd}$ હાર અને $1^{st}$ સ્તંભના ઘટકને $10I$ ના અનુરૂપ ઘટક (જે $0$ છે) સાથે સરખાવતા:
$(-5 \times 1) + (0 \times 2) + (\alpha \times 1) = 0$.
$-5 + 0 + \alpha = 0$.
$\alpha = 5$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,ગુણધર્મ $A(\text{adj } A) = |A|I$ સાચો છે,જ્યાં $I$ એ તે જ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A(\text{adj } A) = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}$.
આને $A(\text{adj } A) = 10 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 10I$ તરીકે લખી શકાય છે.
$A(\text{adj } A) = |A|I$ ની સરખામણી $A(\text{adj } A) = 10I$ સાથે કરતા,આપણને $|A| = 10$ મળે છે.

(C) શ્રેણિકના એડજોઈન્ટ (adj) ના મૂળભૂત ગુણધર્મ મુજબ,$n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $X$ અને અદિશ $\lambda$ માટે,સંબંધ $adj(\lambda X) = \lambda^{n-1} adj(X)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પ્રશ્નમાં,શ્રેણિક $X$ ની કક્ષા $n = 3$ છે.
સૂત્રમાં $n = 3$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$adj(\lambda X) = \lambda^{3-1} adj(X)$
તેથી,$adj(\lambda X) = \lambda^2 adj(X)$.

(C) આપેલ છે કે $X = \begin{bmatrix} -x & -y \\ z & t \end{bmatrix}$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ (adj) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા મળે છે.
આ નિયમ $X$ પર લાગુ પાડતા,$\text{adj } X = \begin{bmatrix} t & -(-y) \\ -z & -x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t & y \\ -z & -x \end{bmatrix}$ મળે છે.
હવે,$\text{adj } X$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) મેળવવા માટે હાર અને સ્તંભની અદલાબદલી કરતા:
$(\text{adj } X)^T = \begin{bmatrix} t & -z \\ y & -x \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (5)(1) - (-2)(3) = 5 + 6 = 11$.
ત્યારબાદ,આપણે $A$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક $(adj(A))$ શોધીએ. $2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,સહઅવયજ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય.
$adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકનો વ્યસ્ત $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$ દ્વારા મળે છે.
$A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 4 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ શોધીએ. લાક્ષણિક બહુપદી $|A - \lambda I| = 0$ છે.
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 1 \\ 0 & -2 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda) [(1-\lambda)(4-\lambda) + 2] = (1-\lambda) [\lambda^2 - 5\lambda + 6] = 0$.
તેથી,$\lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A^3 - 6A^2 + 11A - 6I = 0$.
$A^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $A^2 - 6A + 11I - 6A^{-1} = 0$.
$6A^{-1} = A^2 - 6A + 11I$.
$A^{-1} = \frac{1}{6}[A^2 - 6A + 11I]$.
આને $A^{-1} = \frac{1}{6}[A^2 + cA + dI]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $c = -6$ અને $d = 11$ મળે છે.
આમ,જોડી $(c, d) = (-6, 11)$ છે.

(D) પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = 1(0 - (-3)) - (-1)(0 - (-6)) + 1(0 - 4) = 1(3) + 1(-6) + 1(-4) = 3 - 6 - 4 = -7$ નથી,પણ $3+6-4 = 5$ છે.
ગુણધર્મ $|\text{adj}(A)| = |A|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$ છે,તેથી $|\text{adj}(A)| = |A|^2$.
આપેલ છે કે $B = \text{adj}(A)$,તેથી $|B| = |A|^2$.
આપણે $\frac{|\text{adj}(B)|}{|C|}$ શોધવાનું છે.
$|\text{adj}(B)| = |B|^{n-1} = |B|^2 = (|A|^2)^2 = |A|^4$.
આપેલ છે કે $C = 5A$,તેથી $|C| = |5A| = 5^3 |A| = 125 |A|$.
તેથી,$\frac{|\text{adj}(B)|}{|C|} = \frac{|A|^4}{125 |A|} = \frac{|A|^3}{125}$.
$|A| = 5$ હોવાથી,$\frac{5^3}{125} = \frac{125}{125} = 1$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,ગુણધર્મ $A(adj\,A) = (adj\,A)A = |A|I$ સાચો છે,જ્યાં $I$ એ $n$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
જો શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,એટલે કે $|A| = 0$ હોય,તો તેને શૂન્યતર (singular) શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે.
આ ગુણધર્મમાં $|A| = 0$ મૂકતા,આપણને $A(adj\,A) = 0 \times I = O$ મળે છે,જ્યાં $O$ એ $n$ કક્ષાનો શૂન્ય શ્રેણિક છે.
તેથી,$A(adj\,A)$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \\ 1 & 8 & 27 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક $|A|$ શોધીએ.
$|A| = 1(4 \times 27 - 9 \times 8) - 2(1 \times 27 - 9 \times 1) + 3(1 \times 8 - 4 \times 1)$
$|A| = 1(108 - 72) - 2(27 - 9) + 3(8 - 4)$
$|A| = 1(36) - 2(18) + 3(4)$
$|A| = 36 - 36 + 12 = 12$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$|adj\, A| = |A|^{n-1}$ થાય.
અહીં,શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $n = 3$ છે.
તેથી,$|adj\, A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|adj\, A| = (12)^2 = 144$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો ગુણધર્મ $|adj(A)| = |A|^{n-1}$ છે.
આપેલ છે કે $|A| = D$ અને $|adj(A)| = D'$,તેથી $D' = D^{n-1}$ થાય.
હવે,આપણે $DD'$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$DD' = D \times D^{n-1} = D^{1 + n - 1} = D^n$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપણે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટ (adj) નો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: $|adj(A)| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા છે.
અહીં આપેલ છે કે $A$ એ $n = 3$ કક્ષાનો શ્રેણિક છે અને $|A| = 8$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$|adj(A)| = |A|^{3-1}$
$|adj(A)| = |A|^2$
$|adj(A)| = (8)^2$
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી:
$|adj(A)| = (2^3)^2 = 2^6 = 64$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & \tan(\theta/2) \\ -\tan(\theta/2) & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = (1)(1) - (\tan(\theta/2))(-\tan(\theta/2)) = 1 + \tan^2(\theta/2) = \sec^2(\theta/2)$.
કારણ કે $AB = I$,$B$ એ $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક છે,એટલે કે $B = A^{-1}$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત $\frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી,$B = \frac{1}{\sec^2(\theta/2)} \begin{bmatrix} 1 & -\tan(\theta/2) \\ \tan(\theta/2) & 1 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $\frac{1}{\sec^2(\theta/2)} = \cos^2(\theta/2)$ અને પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T = \begin{bmatrix} 1 & -\tan(\theta/2) \\ \tan(\theta/2) & 1 \end{bmatrix}$ છે,તેથી આપણને મળે છે:
$B = \cos^2(\theta/2) \cdot A^T$.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 7 \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 3((-3)(2) - (1)(1)) - 5((2)(2) - (1)(1)) + 7((2)(1) - (-3)(1))$
$|A| = 3(-7) - 5(3) + 7(5) = -21 - 15 + 35 = -1$.
હવે,સહઅવયવ શ્રેણિક શોધો:
$C_{11} = -7, C_{12} = -3, C_{13} = 5$
$C_{21} = -3, C_{22} = -1, C_{23} = 2$
$C_{31} = 26, C_{32} = 11, C_{33} = -19$
$Adj(A) = \begin{bmatrix} -7 & -3 & 5 \\ -3 & -1 & 2 \\ 26 & 11 & -19 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A) = \begin{bmatrix} 7 & 3 & -5 \\ 3 & 1 & -2 \\ -26 & -11 & 19 \end{bmatrix}$.
આ પરિણામ આપેલા વિકલ્પો સાથે મળતું નથી,તેથી સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(C) વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ ના ઘટક $a_{23}$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $a_{ij} = \frac{C_{ji}}{|A|}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $C_{ji}$ એ શ્રેણિક $A$ ના $j$-મી હાર અને $i$-મી સ્તંભના ઘટકનો સહ-અવયવ (cofactor) છે.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = 1(4 \times 7 - 5 \times 6) - 0(3 \times 7 - 5 \times 0) + (-1)(3 \times 6 - 4 \times 0)$
$|A| = 1(28 - 30) - 0 + (-1)(18 - 0)$
$|A| = -2 - 18 = -20$
હવે,$3$-જી હાર અને $2$-જા સ્તંભના ઘટક (જે $6$ છે) નો સહ-અવયવ $C_{32}$ શોધો:
$C_{32} = (-1)^{3+2} \times \text{minor of } 6 = -1 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 5 \end{vmatrix}$
$C_{32} = -1 \times (1 \times 5 - (-1) \times 3) = -1 \times (5 + 3) = -8$
અંતે,$a_{23} = \frac{C_{32}}{|A|} = \frac{-8}{-20} = \frac{2}{5}$.

(A) આપણને શ્રેણિક $F(\alpha ) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ આપેલ છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $[F(\alpha )]^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે ગુણાકાર $F(\alpha ) \cdot F(-\alpha )$ ચકાસીએ:
$F(\alpha ) \cdot F(-\alpha ) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(-\alpha ) & -\sin(-\alpha ) & 0 \\ \sin(-\alpha ) & \cos(-\alpha ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
કારણ કે $\cos(-\alpha ) = \cos \alpha$ અને $\sin(-\alpha ) = -\sin \alpha$,તેથી:
$F(\alpha ) \cdot F(-\alpha ) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા:
$= \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha & 0 \\ \sin \alpha \cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$
જેથી $F(\alpha ) \cdot F(-\alpha ) = I$,તેથી $[F(\alpha )]^{-1} = F(-\alpha )$ થાય.

(D) કોઈપણ જૂથ $(G, \cdot)$ માટે ચાર નિયમો સંતોષાવા જરૂરી છે: સંવૃતતા,જૂથનો નિયમ,તદર્થ ઘટક અને વ્યસ્ત ઘટક.
શ્રેણિક ગુણાકાર માટે,તદર્થ ઘટક $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
પરંતુ,કોઈપણ શ્રેણિકનો વ્યસ્ત ત્યારે જ મળે જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય.
ઘણા $2 \times 2$ શ્રેણિકો એવા છે જેમનો નિશ્ચાયક $0$ હોય છે (અસામાન્ય શ્રેણિકો),તેથી આવા શ્રેણિકોનો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.
આથી,વ્યસ્ત ઘટકનો નિયમ દરેક ઘટક માટે સંતોષાતો ન હોવાથી,આ સમૂહ જૂથ નથી.

(B) આપેલ શરત $AB = AC \Rightarrow B = C$ છે.
જો $A$ એક સામાન્ય શ્રેણિક (non-singular matrix) હોય,તો તેનો વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
સમીકરણ $AB = AC$ ની બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}(AC)$
$(A^{-1}A)B = (A^{-1}A)C$
$IB = IC$
$B = C$
આમ,શરત $AB = AC \Rightarrow B = C$ ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જો $A$ એક સામાન્ય શ્રેણિક હોય (એટલે કે $|A| \neq 0$).

(C) ચોરસ શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$.
કારણ કે $A$ એ પૂર્ણાંક ઘટકો ધરાવતો ચોરસ શ્રેણિક છે,તેથી સહ-અવયજ શ્રેણિક $\text{adj}(A)$ પણ સંપૂર્ણપણે પૂર્ણાંક ઘટકો ધરાવે છે (કારણ કે તે કોફેક્ટર શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે).
જો $\det(A) = \pm 1$ હોય,તો $A^{-1} = \frac{1}{\pm 1} \text{adj}(A) = \pm \text{adj}(A)$.
જેમ કે $\text{adj}(A)$ માં માત્ર પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે,તેથી $\pm \text{adj}(A)$ માં પણ માત્ર પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ જ હશે.
તેથી,જો $\det(A) = \pm 1$ હોય,તો $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તેના તમામ ઘટકો પૂર્ણાંક છે.

(C) કોઈપણ $n \times n$ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટનો ગુણધર્મ $adj(adj A) = |A|^{n-2} A$ છે.
અહીં $n = 2$ આપેલ છે,તેથી $adj(adj A) = |A|^{2-2} A = |A|^0 A = I \cdot A = A$. આમ,$\text{વિધાન}-1$ સાચું છે.
$\text{વિધાન}-2$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $|adj A| = |A|^{n-1}$.
અહીં $n = 2$ હોવાથી,$|adj A| = |A|^{2-1} = |A|^1 = |A|$. આમ,$\text{વિધાન}-2$ સાચું છે.
કારણ કે $adj(adj A) = |A|^{n-2} A$ છે,તેથી $adj(adj A) = A$ પરિણામ એ $n=2$ માટેના સામાન્ય ગુણધર્મ પર આધારિત છે. તેથી,$\text{વિધાન}-2$ એ $\text{વિધાન}-1$ માં આપેલ ઓળખ માટે જરૂરી સંદર્ભ પૂરો પાડે છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{array}} \right]$,$A{u_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\end{array}} \right]$,અને $A{u_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\0\end{array}} \right]$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$A{u_1} + A{u_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\\0\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\1\\0\end{array}} \right]$
$A(u_1 + u_2) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\\0\end{array}} \right]$
તેથી,$u_1 + u_2 = A^{-1} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\\0\end{array}} \right]$.
પ્રથમ,$|A| = 1(1-0) - 0 + 0 = 1$ શોધો.
ત્યારબાદ,$adj(A)$ શોધો. સહ-અવયવો નીચે મુજબ છે:
$C_{11} = 1, C_{12} = -2, C_{13} = 1$
$C_{21} = 0, C_{22} = 1, C_{23} = -2$
$C_{31} = 0, C_{32} = 0, C_{33} = 1$
તેથી,$adj(A) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\-2&1&0\\1&-2&1\end{array}} \right]$.
કારણ કે $|A| = 1$,તેથી $A^{-1} = adj(A)$.
$u_1 + u_2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\-2&1&0\\1&-2&1\end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\1\\0\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1(1)+0(1)+0(0)\\-2(1)+1(1)+0(0)\\1(1)-2(1)+1(0)\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1\\-1\\-1\end{array}} \right]$.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ નો અસામાન્ય શ્રેણિક છે જ્યાં $AA' = A'A$ અને $B = A^{-1}A'$.
આપણે $BB'$ શોધવાનું છે.
$B' = (A^{-1}A')' = (A')'(A^{-1})' = A(A')^{-1} = A(A^{-1})'$.
હવે,$BB' = (A^{-1}A')(A(A^{-1})') = A^{-1}(A'A)(A^{-1})'$.
કારણ કે $A'A = AA'$,તેથી $BB' = A^{-1}(AA')(A^{-1})'$.
જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$BB' = (A^{-1}A)(A')(A^{-1})' = I(A')(A^{-1})' = A'(A^{-1})'$.
કારણ કે $A'(A^{-1})' = (A^{-1}A)' = I' = I$,તેથી આપણને $BB' = I$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.
$A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T = \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix}$ છે.
$A \cdot A^T$ ની ગણતરી કરતા:
$A \cdot A^T = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 13 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot \text{adj}(A) = |A| I$,જ્યાં $|A| = (5a)(2) - (-b)(3) = 10a + 3b$.
તેથી,$A \cdot \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 10a + 3b & 0 \\ 0 & 10a + 3b \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A \cdot \text{adj}(A) = A \cdot A^T$,તેથી અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા:
$1$) $15a - 2b = 0 \implies 15a = 2b \implies b = \frac{15a}{2}$.
$2$) $10a + 3b = 13$.
બીજા સમીકરણમાં $b = \frac{15a}{2}$ મૂકતા:
$10a + 3(\frac{15a}{2}) = 13$
$10a + \frac{45a}{2} = 13$
$\frac{20a + 45a}{2} = 13$
$65a = 26 \implies a = \frac{26}{65} = \frac{2}{5}$.
હવે $b$ શોધીએ:
$b = \frac{15}{2} \times \frac{2}{5} = 3$.
તેથી,$5a + b = 5(\frac{2}{5}) + 3 = 2 + 3 = 5$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+12 & -6-3 \\ -8-4 & 12+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & -9 \\ -12 & 13 \end{bmatrix}$ શોધો.
હવે,$3A^2 = 3 \begin{bmatrix} 16 & -9 \\ -12 & 13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 48 & -27 \\ -36 & 39 \end{bmatrix}$.
અને $12A = 12 \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 24 & -36 \\ -48 & 12 \end{bmatrix}$.
ધારો કે $M = 3A^2 + 12A = \begin{bmatrix} 48+24 & -27-36 \\ -36-48 & 39+12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 72 & -63 \\ -84 & 51 \end{bmatrix}$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ (adj) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી,$\text{adj}(M) = \begin{bmatrix} 51 & 63 \\ 84 & 72 \end{bmatrix}$.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$.
કોઈપણ શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત શોધવા માટે,તેનો નિશ્ચાયક $|A|$ શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
અહીં,$|A| = (2 \times 2) - (2 \times 2) = 4 - 4 = 0$.
જેથી નિશ્ચાયક $|A| = 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ અસામાન્ય (singular) શ્રેણિક છે.
તેથી,શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.

(B) આપેલ સમીકરણ: $4A^3 + 2A^2 + 7A + I = O$
બંને બાજુ $A^{-1}$ વડે પૂર્વ-ગુણાકાર કરતા:
$A^{-1}(4A^3 + 2A^2 + 7A + I) = A^{-1}O$
$4A^{-1}A^3 + 2A^{-1}A^2 + 7A^{-1}A + A^{-1}I = O$
કારણ કે $A^{-1}A = I$ અને $A^{-1}I = A^{-1}$,તેથી સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$4(A^{-1}A)A^2 + 2(A^{-1}A)A + 7I + A^{-1} = O$
$4IA^2 + 2IA + 7I + A^{-1} = O$
$4A^2 + 2A + 7I + A^{-1} = O$
તેથી,$A^{-1} = -(4A^2 + 2A + 7I)$.

(D) અહીં આપણને બે શ્રેણિકો $F(\alpha )$ અને $G(\beta )$ આપેલા છે.
આપણે ગુણાકાર $[F(\alpha ) G(\beta )]^{-1}$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક શોધવાનો છે.
શ્રેણિકના વ્યસ્તના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ બે વ્યસ્ત કરી શકાય તેવા શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,તેમના ગુણાકારનો વ્યસ્ત $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ દ્વારા મળે છે.
આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $[F(\alpha ) G(\beta )]^{-1} = [G(\beta )]^{-1} [F(\alpha )]^{-1}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) આપેલ છે કે શ્રેણિક $A$ ના આઈગન મૂલ્યો $\lambda_1 = 3$ અને $\lambda_2 = -2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે નોન-સિંગ્યુલર શ્રેણિક $A$ માટે,$adj(A) = |A| A^{-1}$ થાય.
જો $\lambda$ એ $A$ નું આઈગન મૂલ્ય હોય,તો $A^{-1}$ નું આઈગન મૂલ્ય $\frac{1}{\lambda}$ થાય.
તેથી,$adj(A)$ ના આઈગન મૂલ્યો $|A| \times \frac{1}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $|A| = 4$ આપેલ છે:
$\lambda_1 = 3$ માટે,$adj(A)$ નું આઈગન મૂલ્ય $4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ થાય.
$\lambda_2 = -2$ માટે,$adj(A)$ નું આઈગન મૂલ્ય $4 \times \frac{1}{-2} = -2$ થાય.
આમ,$adj(A)$ ના આઈગન મૂલ્યો $\frac{4}{3}$ અને $-2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ એક ઇન્વોલ્યુટરી શ્રેણિક છે,વ્યાખ્યા મુજબ $A^2 = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
આનો અર્થ એ છે કે $A = A^{-1}$.
આપણે $\frac{A}{2}$ નો વ્યસ્ત શોધવાનો છે,જેને $(\frac{1}{2}A)^{-1}$ તરીકે લખી શકાય.
શ્રેણિકના વ્યસ્તના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,કોઈપણ શૂન્યતર અદિશ $k$ માટે $(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}$ થાય.
અહીં,$k = \frac{1}{2}$ છે,તેથી $(\frac{1}{2}A)^{-1} = \frac{1}{1/2} A^{-1} = 2A^{-1}$.
કારણ કે $A = A^{-1}$,આપણે $A^{-1}$ ની જગ્યાએ $A$ મૂકતા $2A$ મળે છે.
તેથી,$\frac{A}{2}$ નો વ્યસ્ત $2A$ છે.

(B) શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (\cos \theta)(\cos \theta) - (-\sin \theta)(\sin \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$A$ નો એડજોઈન્ટ (સહઅવયવજ) વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને મેળવવામાં આવે છે: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
કારણ કે $|A| = 1$ છે,તેથી $A^{-1} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
આને $A$ ના પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $A^{-1} = A^T$ થાય છે.

(C) કોઈપણ વ્યસ્ત શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટનું સૂત્ર $\text{Adj}(A) = |A|A^{-1}$ છે,તેથી વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિકના નિશ્ચાયક માટે,$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = (\det(A))^{-1}$,તેથી વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
ગુણાકારના વ્યસ્તનો ગુણધર્મ $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ છે,તેથી વિકલ્પ $D$ સાચો છે.
જોકે,સરવાળાનો વ્યસ્ત એ વ્યસ્તોના સરવાળા બરાબર હોતો નથી,એટલે કે સામાન્ય રીતે $(A + B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1}$. તેથી,વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $M$ માટે,$M \cdot \text{adj}(M) = |M|I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
ગુણાકાર શ્રેણિક $AB$ માટે,આપણી પાસે $(AB) \cdot \text{adj}(AB) = |AB|I = |A||B|I$ છે.
હવે,$(Adj. B)(Adj. A)$ પદને ધ્યાનમાં લો:
$(AB) \cdot (Adj. B \cdot Adj. A) = A(B \cdot Adj. B) \cdot Adj. A$
$= A(|B|I) \cdot Adj. A$
$= |B|(A \cdot Adj. A)$
$= |B|(|A|I)$
$= |A||B|I = |AB|I$.
કારણ કે $(AB) \cdot \text{adj}(AB) = |AB|I$ અને $(AB) \cdot (Adj. B \cdot Adj. A) = |AB|I$ છે,અને $A, B$ નોન-સિંગ્યુલર છે (તેથી $AB$ વ્યસ્ત શ્રેણિક ધરાવે છે),આપણે ડાબી બાજુ $(AB)^{-1}$ વડે ગુણી શકીએ છીએ:
$\text{adj}(AB) = \text{adj}(B) \cdot \text{adj}(A)$.

(C) વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે જો નિશ્ચાયક $|A| \ne 0$ હોય.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$|A| = \begin{vmatrix} x + \lambda & x & x \\ x & x + \lambda & x \\ x & x & x + \lambda \end{vmatrix}$
પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$|A| = \begin{vmatrix} 3x + \lambda & x & x \\ 3x + \lambda & x + \lambda & x \\ 3x + \lambda & x & x + \lambda \end{vmatrix} = (3x + \lambda) \begin{vmatrix} 1 & x & x \\ 1 & x + \lambda & x \\ 1 & x & x + \lambda \end{vmatrix}$
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$|A| = (3x + \lambda) \begin{vmatrix} 1 & x & x \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{vmatrix} = (3x + \lambda)(\lambda^2)$
$A^{-1}$ ના અસ્તિત્વ માટે,$|A| \ne 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\lambda^2(3x + \lambda) \ne 0$.
તેથી,$\lambda \ne 0$ અને $3x + \lambda \ne 0$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$A(adj(A)) = |A|I_n$ થાય છે.
ધારો કે $A = KI_n$,જ્યાં $I_n$ એ $n$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
નિશ્ચાયક $|A| = |KI_n| = K^n |I_n| = K^n(1) = K^n$ થાય.
ગુણધર્મ $adj(kA) = k^{n-1} adj(A)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$adj(KI_n) = K^{n-1} adj(I_n)$ મળે.
કારણ કે $adj(I_n) = I_n$,તેથી $adj(KI_n) = K^{n-1} I_n$ થાય.
હવે,નિશ્ચાયક શોધતા:
$|adj(KI_n)| = |K^{n-1} I_n| = (K^{n-1})^n |I_n| = K^{n(n-1)} \times 1 = K^{n(n-1)}$.

(C) જો $A^2 = I$ હોય,તો શ્રેણિક $A$ ને ઇનવોલ્યુટરી શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $A = A^{-1}$.
જો $A^2 = A$ હોય,તો શ્રેણિક $A$ ને આઈડેમપોટન્ટ શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે.
આપેલ શરત $A^{-1} = A$ મુજબ,બંને બાજુ $A$ વડે ગુણતા $A \cdot A^{-1} = A \cdot A$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $I = A^2$ થાય છે.
આમ,$A^2 = I$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ ઇનવોલ્યુટરી શ્રેણિક છે,આઈડેમપોટન્ટ શ્રેણિક નથી.
તેથી,વિકલ્પ $C$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$A (adj A) = |A| I$ ગુણધર્મ સાચો છે,જ્યાં $I$ એ સમાન કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} x & 3 & 2 \\ 1 & y & 4 \\ 2 & 2 & z \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક $|A|$ શોધીએ.
$|A| = x(yz - 8) - 3(z - 8) + 2(2 - 2y)$
$|A| = xyz - 8x - 3z + 24 + 4 - 4y$
$|A| = xyz - (8x + 4y + 3z) + 28$
આપેલ છે કે $xyz = 60$ અને $8x + 4y + 3z = 20$,આ કિંમતોને $|A|$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$|A| = 60 - 20 + 28 = 68$.
તેથી,$A (adj A) = |A| I = 68 I = \begin{bmatrix} 68 & 0 & 0 \\ 0 & 68 & 0 \\ 0 & 0 & 68 \end{bmatrix}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $A A^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા:
$|A| = 0(2 - 3a) - 1(1 - 9) + 2(a - 6) = 0 + 8 + 2a - 12 = 2a - 4 = 2(a - 2)$.
$A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી $|A| \neq 0$,એટલે કે $a \neq 2$.
$A^{-1}$ ના $(1, 1)$ સ્થાન પરનો ઘટક $\frac{C_{11}}{|A|}$ છે,જ્યાં $C_{11}$ એ $A_{11}$ નો સહઅવયવ છે.
$C_{11} = (2 \times 1 - 3 \times a) = 2 - 3a$.
આપેલ છે કે $A^{-1}_{11} = 1/2$,તેથી $\frac{2 - 3a}{2(a - 2)} = 1/2$.
$2 - 3a = a - 2 \implies 4a = 4 \implies a = 1$.
હવે,$c$ શોધવા માટે,આપણે $A^{-1}_{23}$ જોઈએ. આ $\frac{C_{32}}{|A|}$ છે.
$C_{32} = - \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(0 - 2) = 2$.
તેથી,$c = \frac{2}{2(a - 2)} = \frac{1}{a - 2}$.
$a = 1$ મૂકતા,$c = \frac{1}{1 - 2} = -1$.
આમ,$a = 1$ અને $c = -1$.

(C) આપેલ છે કે $B = kA$.
કારણ કે $A$ એ $n$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે,તેથી $B$ નો નિશ્ચાયક $|B| = |kA| = k^n|A|$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ અસામાન્ય શ્રેણિક $M$ માટે,$|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$ થાય.
તેથી,$|B^{-1}| = \frac{1}{|B|} = \frac{1}{k^n|A|}$.
કારણ કે $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$,આપણે આ કિંમતને $|B^{-1}|$ ના સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$|B^{-1}| = \frac{1}{k^n} \cdot \frac{1}{|A|} = k^{-n} |A^{-1}|$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $|A^{-1}| = k^n |B^{-1}|$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$A \cdot (\text{Adj } A) = |A| I$,જ્યાં $I$ એ સમાન ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = \begin{vmatrix} x & 3 & 2 \\ 1 & y & 4 \\ 2 & 2 & z \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = x(yz - 8) - 3(z - 8) + 2(2 - 2y)$
$|A| = xyz - 8x - 3z + 24 + 4 - 4y$
$|A| = xyz - (8x + 4y + 3z) + 28$
આપેલ છે કે $xyz = 60$ અને $8x + 4y + 3z = 20$,આ કિંમતો મૂકતા:
$|A| = 60 - 20 + 28 = 68$
તેથી,$A \cdot (\text{Adj } A) = 68 I = 68 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 68 & 0 & 0 \\ 0 & 68 & 0 \\ 0 & 0 & 68 \end{bmatrix}$.

(A) ધારો કે $P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ અને $Q = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{bmatrix}$. સમીકરણ $PAQ = I$ છે.
ડાબી બાજુ $P^{-1}$ અને જમણી બાજુ $Q^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને $A = P^{-1} Q^{-1}$ મળે છે.
પ્રથમ,$P^{-1}$ શોધો: $|P| = (2)(2) - (1)(1) = 3$. તેથી,$P^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
પછી,$Q^{-1}$ શોધો: $|Q| = (-3)(-3) - (2)(5) = -1$. તેથી,$Q^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$.
હવે,$A = P^{-1} Q^{-1} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}$.
આપેલ ઉકેલ મુજબ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot (\text{adj } A) = |A| I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ પદાવલિ $(A \cdot (\text{adj } A) \cdot A^{-1}) A$ છે.
શ્રેણિક ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આ પદાવલિ $(|A| I \cdot A^{-1}) A = |A| (I \cdot A^{-1} \cdot A) = |A| (I \cdot I) = |A| I$ માં પરિણમે છે.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 0(1-6) - 1(2-9) - 1(4-3) = 0 - 1(-7) - 1(1) = 7 - 1 = 6$.
આમ,પદાવલિ $6I = 6 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$ થાય છે.
આ વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,ગુણધર્મ $A \text{ adj } A = |A| I$ સાચો છે,જ્યાં $I$ એ $n$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (\cos \alpha)(\cos \alpha) - (\sin \alpha)(-\sin \alpha) = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ થાય.
તેથી,$A \text{ adj } A = |A| I = 1 \times \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આ શ્રેણિકને આપેલ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 1$ મળે છે.