Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision Questions in Hindi

(A-D) गेंद $1$ के लिए,लुढ़कना बिना फिसले होता है। स्थैतिक घर्षण बल गेंद पर कोई कार्य नहीं करता है,इसलिए ऊर्जा का कोई क्षय नहीं होता है। अतः,कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
गेंद $3$ के लिए,घर्षण नगण्य है,इसलिए घर्षण द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता है। अतः,कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।
गेंद $2$ के लिए,गतिज घर्षण है जो ऊर्जा को ऊष्मा के रूप में नष्ट करता है। अतः,यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।
$(b)$ गेंद $3$ में ऊर्जा की कोई हानि नहीं होती है,इसलिए यह $D$ तक पहुँच सकती है क्योंकि $A$,$C$ से ऊँचे स्तर पर है। गेंद $1$ कुछ स्थितिज ऊर्जा को घूर्णी गतिज ऊर्जा में बदल देती है,और गेंद $2$ घर्षण के कारण ऊर्जा खो देती है। न तो गेंद $1$ और न ही गेंद $2$ के पास शिखर $C$ तक पहुँचने और $D$ तक जाने के लिए पर्याप्त ऊर्जा है।
$(c)$ चूंकि गेंद $1$ और $2$ ऊर्जा खो देती हैं (गेंद $1$ घूर्णन के लिए,गेंद $2$ ऊष्मा के लिए),इसलिए वे $B$ को पार करने के बाद $A$ जितनी ऊँचाई तक नहीं पहुँच सकती हैं। इसलिए,वे वापस $A$ तक नहीं पहुँच सकती हैं।

(N/A) धनात्मक। जब किसी वस्तु को गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध ऊपर उठाया जाता है,तो लगाया गया बल और विस्थापन एक ही दिशा में होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक होता है।
$(b)$ नियत। कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,यदि किसी वस्तु पर किया गया कुल कार्य शून्य है,तो उसकी गतिज ऊर्जा नियत रहती है,जिसका अर्थ है कि चाल नियत रहती है।
$(c)$ पूर्णतः प्रत्यास्थ। परिभाषा के अनुसार,पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $(e)$ का मान $1$ होता है।

(A) गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है। चूँकि $K \propto p^2$,यदि संवेग को दोगुना $(p_2 = 2p_1)$ किया जाता है,तो नई गतिज ऊर्जा $K_2 = (2)^2 K_1 = 4K_1$ होगी। अतः,यह चार गुना हो जाती है।
$(b)$ परिभाषा के अनुसार,पूर्णतः अप्रत्यास्थ संघट्ट में वस्तुएं टकराने के बाद एक साथ जुड़ जाती हैं,जिसके परिणामस्वरूप प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0$ होता है।
$(c)$ ऊर्जा $E = P \times t$। यहाँ $E = 1\,kWh$ और $P = 1\,kW$ दिया गया है,इसलिए समय $t = \frac{E}{P} = \frac{1\,kWh}{1\,kW} = 1$ घंटा।

(N/A) $1 \text{ यूनिट} = 1 \text{ kWh} = 1000 \text{ W} \times 3600 \text{ s} = 3.6 \times 10^6 \text{ J}$.
$(b)$ चूंकि पिंड $20 \%$ ऊर्जा खो देता है,इसलिए वह अपनी प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा का $80 \%$ बनाए रखता है।
$mgh_2 = 0.8 \times mgh_1 \Rightarrow h_2 = 0.8 \times 10 \ m = 8 \ m$.
$(c)$ वृत्ताकार कक्षा के लिए,अभिकेंद्र बल $F = \frac{mv^2}{r} = -\frac{dU}{dr}$.
दिया है $U = -\frac{k}{2r^2}$,अतः $F = -\frac{d}{dr}(-\frac{k}{2r^2}) = -\frac{k}{r^3}$.
अभिकेंद्र बल का परिमाण $\frac{mv^2}{r} = \frac{k}{r^3} \Rightarrow \frac{1}{2}mv^2 = \frac{k}{2r^2}$.
अतः,गतिज ऊर्जा $K = \frac{k}{2r^2}$.
कुल ऊर्जा $E = K + U = \frac{k}{2r^2} - \frac{k}{2r^2} = 0$.
$(d)$ $E = mc^2$ सूत्र का उपयोग करते हुए,जहाँ $m = 1 \ \mu g = 10^{-9} \ kg$ और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$.
$E = 10^{-9} \times (3 \times 10^8)^2 = 10^{-9} \times 9 \times 10^{16} = 9 \times 10^7 \ J$.

(A-D) असत्य। यदि $\overrightarrow P \cdot \overrightarrow Q = 0$ है,तो सदिश परस्पर लंबवत होते हैं,जिसका अर्थ है कि उनके बीच का कोण $90^o$ है,$0^o$ नहीं।
$(b)$ असत्य। यदि टक्कर के बाद दो वस्तुएं आपस में चिपक जाती हैं,तो इसे पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर कहा जाता है,न कि प्रत्यास्थ टक्कर।
$(c)$ असत्य। कार्य को $W = F \cdot d$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि समान बल $F$ लगाया जाता है,तो कम द्रव्यमान वाली वस्तु अधिक त्वरण $(a = F/m)$ का अनुभव करेगी और समान समय अंतराल में अधिक दूरी $d$ तय करेगी। इसलिए,हल्की वस्तु पर अधिक कार्य होता है।

(A) सत्य: चूंकि कार्य (ऊर्जा) $W = F \cdot d$ है,यदि $F$ और $d$ दोनों को $4$ गुना बढ़ा दिया जाए,तो नया कार्य $W' = (4F) \cdot (4d) = 16(F \cdot d) = 16W$ होगा। अतः,ऊर्जा $16$ गुना बढ़ जाती है।
$(b)$ असत्य: अप्रत्यास्थ टक्कर में केवल रैखिक संवेग का संरक्षण होता है। कुल यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण नहीं होता है क्योंकि कुछ ऊर्जा ऊष्मा,ध्वनि आदि के रूप में नष्ट हो जाती है।
$(c)$ असत्य: असंरक्षी बलों (जैसे घर्षण) द्वारा किया गया कार्य आमतौर पर यांत्रिक ऊर्जा को ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित कर देता है,न कि स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि करता है।

(A) असत्य। शक्ति,बल और वेग का अदिश (डॉट) गुणनफल है,अर्थात $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$।
$(b)$ सत्य। यह $1\,kg$ द्रव्यमान पर $1\,m$ की ऊँचाई से गुरुत्वाकर्षण द्वारा किए गए कार्य को दर्शाता है,जहाँ $W = mgh = 1 \times 9.8 \times 1 = 9.8\,J$।
$(c)$ असत्य। शिक्षक डस्टर को घर्षण के विरुद्ध चलाने के लिए बल लगाता है,इसलिए वह कार्य करता है।
$(d)$ असत्य। गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होती है क्योंकि द्रव्यमान $m > 0$ और $v^2 \geq 0$ होता है।

(C) किसी बल द्वारा किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
$(1)$ अभिकेंद्री बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है क्योंकि बल हमेशा विस्थापन के लंबवत होता है ($\theta = 90^\circ$,$\cos 90^\circ = 0$)। अतः,$(1-c)$।
$(2)$ गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य धनात्मक होता है जब वस्तु बल की दिशा में गति करती है (नीचे की ओर गति,$\theta = 0^\circ$,$\cos 0^\circ = 1$)। अतः,$(2-a)$।
$(3)$ गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध किया गया कार्य ऋणात्मक होता है जब वस्तु ऊपर की ओर गति करती है (विस्थापन बल की विपरीत दिशा में होता है,$\theta = 180^\circ$,$\cos 180^\circ = -1$)। अतः,$(3-b)$।
अतः,सही मिलान $(1-c, 2-a, 3-b)$ है।

(D) व्यक्ति का द्रव्यमान $m = 60 \, kg$ है। सीढ़ियों की ऊँचाई $h = 10 \, m$ है। $1 \, kg$ वसा जलाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $= 7000 \, kcal = 7 \times 10^6 \, cal$ है। $5 \, kg$ वसा जलाने के लिए आवश्यक कुल ऊर्जा $= 5 \times 7 \times 10^6 = 35 \times 10^6 \, cal$ है।
ऊपर जाने में किया गया कार्य $= mgh = 60 \times 9.8 \times 10 = 5880 \, J$ है।
नीचे आने में किया गया कार्य ऊपर जाने के कार्य का आधा है (क्योंकि वसा जलने की दर ऊपर जाते समय दोगुनी है),इसलिए नीचे आने में किया गया कार्य $= 2940 \, J$ है।
एक राउंड ट्रिप में किया गया कुल कार्य $= 5880 + 2940 = 8820 \, J$ है।
कैलोरी में परिवर्तित करने पर $(1 \, cal = 4.2 \, J)$: प्रति ट्रिप कुल ऊर्जा $= 8820 / 4.2 = 2100 \, cal$ है।
ट्रिप की संख्या $n = \frac{\text{आवश्यक कुल ऊर्जा}}{\text{प्रति ट्रिप ऊर्जा}} = \frac{35 \times 10^6}{2100} = 16666.67$ है।
निकटतम पूर्णांक में,व्यक्ति को $16667$ बार ऊपर-नीचे जाना होगा।

(C) माना टक्कर के बाद $m$ द्रव्यमान के कण का वेग $v_1$ है और $10m$ द्रव्यमान के कण का वेग $v_2$ है।
$1$. $y$-अक्ष के अनुदिश संवेग संरक्षण:
चूंकि $y$-अक्ष के अनुदिश प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए $y$-अक्ष के अनुदिश अंतिम संवेग के घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देंगे:
$m v_1 \sin \theta_1 = 10m v_2 \sin \theta_2$
$v_1 \sin \theta_1 = 10 v_2 \sin \theta_2$ --- $(i)$
$2$. गतिज ऊर्जा की शर्त:
$m$ द्रव्यमान के कण की अंतिम गतिज ऊर्जा उसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा की आधी है:
$\frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m u^2)$
$v_1^2 = \frac{u^2}{2} \Rightarrow v_1 = \frac{u}{\sqrt{2}}$ --- (ii)
$3$. प्रत्यास्थ टक्कर के लिए ऊर्जा संरक्षण:
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = अंतिम गतिज ऊर्जा
$\frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} (10m) v_2^2$
$u^2 = v_1^2 + 10 v_2^2$
$v_1^2 = \frac{u^2}{2}$ रखने पर:
$u^2 = \frac{u^2}{2} + 10 v_2^2$
$\frac{u^2}{2} = 10 v_2^2 \Rightarrow v_2^2 = \frac{u^2}{20} \Rightarrow v_2 = \frac{u}{\sqrt{20}}$ --- (iii)
$4$. (ii) और (iii) को $(i)$ में रखने पर:
$(\frac{u}{\sqrt{2}}) \sin \theta_1 = 10 (\frac{u}{\sqrt{20}}) \sin \theta_2$
$\sin \theta_1 = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{20}} \sin \theta_2$
$\sin \theta_1 = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \sin \theta_2$
$\sin \theta_1 = \sqrt{10} \sin \theta_2$
$\sin \theta_1 = \sqrt{n} \sin \theta_2$ से तुलना करने पर,$n = 10$ प्राप्त होता है।

(A) $1$. पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर के दौरान रैखिक संवेग का संरक्षण:
$m_b u = (m_b + m_B) v$
$0.1 \times 20 = (0.1 + 1.9) v$
$2 = 2v \Rightarrow v = 1\, m/s$
$2$. $h = 1\, m$ की ऊँचाई से गिरते हुए संयुक्त निकाय के लिए यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण:
$KE_f = PE_i + KE_i$
$KE_f = mgh + \frac{1}{2} m v^2$
$KE_f = (2)(10)(1) + \frac{1}{2}(2)(1)^2$
$KE_f = 20 + 1 = 21\, J$

(D) चूंकि सभी टक्करें पूर्णतः अप्रत्यास्थ हैं,अंतिम टक्कर के बाद,सभी ब्लॉक एक साथ सामान्य वेग $v^{\prime}$ से गति करेंगे।
संपूर्ण निकाय के लिए रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
प्रारंभिक संवेग = अंतिम संवेग
$mv = (m + m + 2m + 4m + 8m)v^{\prime}$
$mv = 16mv^{\prime}$
$v^{\prime} = \frac{v}{16}$
निकाय की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा:
$E_{i} = \frac{1}{2}mv^{2}$
निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा:
$E_{f} = \frac{1}{2}(16m)(v^{\prime})^{2} = \frac{1}{2}(16m)\left(\frac{v}{16}\right)^{2} = \frac{1}{2}m\frac{v^{2}}{16}$
ऊर्जा हानि $\Delta E = E_{i} - E_{f} = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2}m\frac{v^{2}}{16} = \frac{1}{2}mv^{2}\left(1 - \frac{1}{16}\right) = \frac{1}{2}mv^{2}\left(\frac{15}{16}\right)$
ऊर्जा हानि का प्रतिशत $p = \frac{\Delta E}{E_{i}} \times 100$
$p = \frac{\frac{1}{2}mv^{2}(\frac{15}{16})}{\frac{1}{2}mv^{2}} \times 100 = \frac{15}{16} \times 100 = 93.75\%$
निकटतम पूर्णांक में,$p$ का मान $94$ के निकट है।

(D) कण $A$ का प्रारंभिक वेग: $\vec{u}_{1} = (\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}) \, m/s$.
कण $B$ का प्रारंभिक वेग: $\vec{u}_{2} = 0$.
दिया गया है $m_{1} = 2m_{2}$.
टक्कर के बाद कण $A$ का वेग: $\vec{V}_{1} = (\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}) \, m/s$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_{1} \vec{u}_{1} + m_{2} \vec{u}_{2} = m_{1} \vec{V}_{1} + m_{2} \vec{V}_{2}$
$2m_{2}(\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}) + 0 = 2m_{2}(\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}) + m_{2} \vec{V}_{2}$
$m_{2}$ से विभाजित करने पर:
$2(\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}) = 2(\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}) + \vec{V}_{2}$
$\vec{V}_{2} = 2(\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j} - \hat{i} - \sqrt{3} \hat{j}) = 2[(\sqrt{3}-1) \hat{i} + (1-\sqrt{3}) \hat{j}] = 2(\sqrt{3}-1) (\hat{i} - \hat{j})$.
अब,$\vec{V}_{1}$ और $\vec{V}_{2}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{V}_{1} \cdot \vec{V}_{2}}{|\vec{V}_{1}| |\vec{V}_{2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{V}_{1} \cdot \vec{V}_{2} = (\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}) \cdot [2(\sqrt{3}-1) (\hat{i} - \hat{j})] = 2(\sqrt{3}-1) (1 - \sqrt{3}) = -2(\sqrt{3}-1)^{2}$.
$|\vec{V}_{1}| = \sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = 2$.
$|\vec{V}_{2}| = 2(\sqrt{3}-1) \sqrt{1^{2} + (-1)^{2}} = 2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$.
$\cos \theta = \frac{-2(\sqrt{3}-1)^{2}}{2 \cdot 2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)} = \frac{-(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.
चूंकि $\cos 105^{\circ} = \cos(60^{\circ} + 45^{\circ}) = \cos 60^{\circ} \cos 45^{\circ} - \sin 60^{\circ} \sin 45^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$,इसलिए $\theta = 105^{\circ}$.

(C) माना कि पहली गेंद का द्रव्यमान $m_1 = 10 \, kg$ है और इसका प्रारंभिक वेग $\vec{u}_1 = 10 \sqrt{3} \hat{i} \, m/s$ है। दूसरी गेंद का द्रव्यमान $m_2 = 20 \, kg$ है और यह विराम अवस्था में है $(\vec{u}_2 = 0)$.
टक्कर के बाद,पहली गेंद विराम अवस्था में आ जाती है। दूसरी गेंद $10 \, kg$ के दो समान टुकड़ों में टूट जाती है।
माना कि पहले टुकड़े का वेग $\vec{v}_1 = 10 \hat{j} \, m/s$ है।
माना कि दूसरे टुकड़े का वेग $\vec{v}_2 = v_x \hat{i} - v_y \hat{j}$ है (चित्र के अनुसार,यह $x$-अक्ष के नीचे $30^{\circ}$ के कोण पर गति करता है)।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_1 \vec{u}_1 + m_2 \vec{u}_2 = m_1 \vec{v}_{1,final} + m_p \vec{v}_1 + m_p \vec{v}_2$
$10(10 \sqrt{3} \hat{i}) + 0 = 0 + 10(10 \hat{j}) + 10 \vec{v}_2$
$100 \sqrt{3} \hat{i} = 100 \hat{j} + 10 \vec{v}_2$
$10 \vec{v}_2 = 100 \sqrt{3} \hat{i} - 100 \hat{j}$
$\vec{v}_2 = 10 \sqrt{3} \hat{i} - 10 \hat{j}$
वेग $\vec{v}_2$ का परिमाण $x = |\vec{v}_2| = \sqrt{(10 \sqrt{3})^2 + (-10)^2} = \sqrt{300 + 100} = \sqrt{400} = 20 \, m/s$ है।

(C) दिया गया है:
ब्लॉक का द्रव्यमान $M = 5.99 \, kg$
गोली का द्रव्यमान $m = 10 \, g = 0.01 \, kg$
कुल द्रव्यमान $M + m = 5.99 + 0.01 = 6.00 \, kg$
ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h = 9.8 \, cm = 0.098 \, m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, ms^{-2}$
चरण $1$: टक्कर के बाद (ब्लॉक $+$ गोली) निकाय के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर।
$(M + m)gh = \frac{1}{2}(M + m)v_1^2$
$v_1 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.098} = \sqrt{19.6 \times 0.098} = \sqrt{1.9208} \approx 1.3856 \, m/s$
चरण $2$: टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर।
$mv = (M + m)v_1$
$v = \frac{(M + m)v_1}{m} = \frac{6.00 \times 1.3856}{0.01} = 600 \times 1.3856 = 831.36 \, m/s$
निकटतम विकल्प के अनुसार,गति $831.5 \, m/s$ है।

(A) $1$. जब ब्लॉक $C$,ब्लॉक $A$ से टकराता है,तो यह उससे चिपक जाता है (यह मानते हुए कि टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ है)। निकाय $(C+A)$ के लिए रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $mv = (m+m)V_A \Rightarrow V_A = v/2$.
$2$. अब,हमारे पास एक निकाय है जिसमें ब्लॉक $A$ ($C$ के साथ) $v/2$ वेग से ब्लॉक $B$ की ओर बढ़ता है,जो प्रारंभ में स्थिर है।
$3$. स्प्रिंग में अधिकतम संपीड़न तब होता है जब दोनों ब्लॉक $(A+C)$ और $B$ समान वेग $V_{cm}$ से गति करते हैं।
$4$. पूरे निकाय $(C+A+B)$ के लिए रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $mv = (m+m+m)V_{cm} \Rightarrow V_{cm} = v/3$.
$5$. यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2}(2m)(v/2)^2 = \frac{1}{2}(3m)(v/3)^2 + \frac{1}{2}Kx_{max}^2$.
$6$. $\frac{1}{2}(2m)(v^2/4) = \frac{1}{2}(3m)(v^2/9) + \frac{1}{2}Kx_{max}^2 \Rightarrow \frac{mv^2}{4} = \frac{mv^2}{6} + \frac{1}{2}Kx_{max}^2$.
$7$. $\frac{1}{2}Kx_{max}^2 = \frac{mv^2}{4} - \frac{mv^2}{6} = \frac{3mv^2 - 2mv^2}{12} = \frac{mv^2}{12}$.
$8$. $x_{max}^2 = \frac{mv^2}{6K} \Rightarrow x_{max} = v\sqrt{\frac{m}{6K}}$.
*नोट: यदि टक्कर प्रत्यास्थ है,तो $C$ स्थिर हो जाता है और $A$,$v$ वेग से गति करता है। तब $mv = (m+m)V_{cm} \Rightarrow V_{cm} = v/2$. ऊर्जा: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(2m)(v/2)^2 + \frac{1}{2}Kx_{max}^2 \Rightarrow \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{2}Kx_{max}^2 \Rightarrow \frac{1}{2}Kx_{max}^2 = \frac{1}{4}mv^2 \Rightarrow x_{max} = v\sqrt{\frac{m}{2K}}$. यह विकल्प $A$ से मेल खाता है।*

(B) ऊर्ध्वाधर वृत्त पूरा करने के लिए, निम्नतम बिंदु पर गोलक के लिए आवश्यक न्यूनतम वेग $V' = \sqrt{5gR}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $V' = \sqrt{5 \times 10 \times 0.5} = \sqrt{25} = 5\, \text{m/s}$.
अब, टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$m_1 v = m_2 V' - m_1 v_{recoil}$
यहाँ, $m_1 = 10\, \text{g} = 0.01\, \text{kg}$, $m_2 = 1\, \text{kg}$, $V' = 5\, \text{m/s}$, और $v_{recoil} = 100\, \text{m/s}$.
$0.01 \times v = 1 \times 5 - 0.01 \times 100$
$0.01 \times v = 5 - 1$
$0.01 \times v = 4$
$v = \frac{4}{0.01} = 400\, \text{m/s}$.

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग अंतिम संवेग के बराबर होता है: $P_i = P_f$।
मान लीजिए ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है। तब,$m \times 40 = (m/2) \times v + (m/2) \times 60$।
$m/2$ से विभाजित करने पर,हमें $80 = v + 60$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = 20 \, m/s$।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा: $(K.E.)_i = \frac{1}{2} m (40)^2 = 800m$।
अंतिम गतिज ऊर्जा: $(K.E.)_f = \frac{1}{2} (m/2) (20)^2 + \frac{1}{2} (m/2) (60)^2 = \frac{1}{4} m (400 + 3600) = 1000m$।
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K.E. = (K.E.)_f - (K.E.)_i = 1000m - 800m = 200m$ है।
आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta K.E.}{(K.E.)_i} = \frac{200m}{800m} = \frac{1}{4}$ है।
दिया गया है कि आंशिक परिवर्तन $x:4$ है,इसलिए $x/4 = 1/4$,जिसका अर्थ है $x = 1$।

(C) माना कुल द्रव्यमान $3M$ है। प्रारंभिक वेग $V_0 = 40\, m/s$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$P_{initial} = P_{final}$
$3M \cdot V_0 = M \cdot V_1 + 2M \cdot V_2$
$3 \cdot 40 = 60 + 2 \cdot V_2$
$120 = 60 + 2 \cdot V_2 \Rightarrow 2 \cdot V_2 = 60 \Rightarrow V_2 = 30\, m/s$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} \cdot (3M) \cdot V_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 3M \cdot (40)^2 = 2400M$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} \cdot M \cdot V_1^2 + \frac{1}{2} \cdot (2M) \cdot V_2^2 = \frac{1}{2} \cdot M \cdot (60)^2 + M \cdot (30)^2 = 1800M + 900M = 2700M$.
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = K_f - K_i = 2700M - 2400M = 300M$.
गतिज ऊर्जा में भिन्नात्मक परिवर्तन = $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{300M}{2400M} = \frac{1}{8}$.

(A) प्रणाली की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ है,जहाँ $m = 40,000\, \text{kg}$ और $v = 72\, \text{km/h} = 20\, \text{m/s}$ है।
$K_i = \frac{1}{2} \times 40,000 \times (20)^2 = 80,00,000\, \text{J} = 80 \times 10^5\, \text{J}$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{\text{friction}} + W_{\text{spring}} = K_f - K_i$।
यह दिया गया है कि घर्षण के कारण $90\%$ ऊर्जा नष्ट हो जाती है,इसलिए $W_{\text{friction}} = -0.9 K_i$।
चूंकि प्रणाली स्थिर हो जाती है,$K_f = 0$। अतः,$-0.9 K_i + W_{\text{spring}} = -K_i$।
$W_{\text{spring}} = -0.1 K_i$।
स्प्रिंग द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{spring}} = -\frac{1}{2}kx^2$ है,जहाँ $x = 1.0\, \text{m}$ है।
$-\frac{1}{2}k(1)^2 = -0.1 \times (80 \times 10^5)$।
$\frac{1}{2}k = 8 \times 10^5$।
$k = 16 \times 10^5\, \text{N/m}$।
अतः,स्प्रिंग नियतांक $16 \times 10^5\, \text{N/m}$ है।

(B) इनपुट शक्ति $P_{\text{input}}$ स्थितिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर द्वारा दी जाती है: $P_{\text{input}} = \frac{mgh}{t} = \left(\frac{m}{t}\right)gh$.
दिया गया है $\frac{m}{t} = 15 \, kg/s$,$g = 10 \, m/s^2$,और $h = 60 \, m$.
$P_{\text{input}} = 15 \times 10 \times 60 = 9000 \, W = 9 \, kW$.
घर्षण के कारण शक्ति की हानि इनपुट शक्ति का $10 \%$ है।
$\text{Loss} = 10 \% \text{ of } 9 \, kW = 0.1 \times 9 \, kW = 0.9 \, kW$.
टर्बाइन द्वारा उत्पन्न शक्ति आउटपुट शक्ति है: $P_{\text{output}} = P_{\text{input}} - \text{Loss} = 9 \, kW - 0.9 \, kW = 8.1 \, kW$.

(C) माना पहले पिंड का द्रव्यमान $m_1 = 2 \, \text{kg}$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u_1 = 4 \, \text{m/s}$ है।
माना दूसरे पिंड का द्रव्यमान $m_2$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u_2 = 0 \, \text{m/s}$ है।
टक्कर के बाद,पहला पिंड $v_1 = \frac{1}{4} \times 4 = 1 \, \text{m/s}$ के वेग से चलता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
$2 \times 4 + m_2 \times 0 = 2 \times 1 + m_2 v_2 \implies 8 = 2 + m_2 v_2 \implies m_2 v_2 = 6$.
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1 = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$ होता है।
$1 = \frac{v_2 - 1}{4 - 0} \implies v_2 - 1 = 4 \implies v_2 = 5 \, \text{m/s}$.
$v_2$ का मान संवेग समीकरण में रखने पर: $m_2 \times 5 = 6 \implies m_2 = 1.2 \, \text{kg}$.
द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$ होता है।
$v_{cm} = \frac{2 \times 1 + 1.2 \times 5}{2 + 1.2} = \frac{2 + 6}{3.2} = \frac{8}{3.2} = \frac{80}{32} = 2.5 \, \text{m/s}$.
दिया गया है कि $v_{cm} = \frac{x}{10} \, \text{m/s}$,अतः $\frac{x}{10} = 2.5 \implies x = 25$.

(A) मान लीजिए $A$ का प्रारंभिक वेग $u_A = 9 \ m/s$ है और $B$ का $u_B = 0$ है। $A$ और $B$ के बीच प्रत्यास्थ टक्कर के बाद,मान लीजिए उनके वेग $v_A$ और $v_B$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण का उपयोग करते हुए: $m(9) + 2m(0) = m v_A + 2m v_B \Rightarrow 9 = v_A + 2v_B$ (समीकरण $1$)।
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $(e=1)$ का उपयोग करते हुए: $v_B - v_A = e(u_A - u_B) = 1(9 - 0) = 9 \Rightarrow v_B - v_A = 9$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $3v_B = 18 \Rightarrow v_B = 6 \ m/s$।
अब,$B, C$ (जो शुरू में स्थिर है) के साथ एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर करता है। मान लीजिए संयुक्त द्रव्यमान $(B+C)$ का अंतिम वेग $v_C$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण का उपयोग करते हुए: $2m(v_B) + 2m(0) = (2m + 2m)v_C$।
$2m(6) = 4m v_C \Rightarrow 12m = 4m v_C \Rightarrow v_C = 3 \ m/s$।

(D) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक कुल ऊर्जा अंतिम कुल ऊर्जा के बराबर होती है: $U_i + K_i = U_f + K_f$.
यहाँ,$U_i = 0$ (स्प्रिंग की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा),$K_i = \frac{1}{2} m v_i^2$,$U_f = \frac{1}{2} k x^2$,और $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2$.
दिया गया है: $m = 0.5 \, kg$,$v_i = 12 \, ms^{-1}$,$v_f = 6 \, ms^{-1}$,और $x = 30 \, cm = 0.3 \, m$.
मान रखने पर: $0 + \frac{1}{2} \times 0.5 \times (12)^2 = \frac{1}{2} \times k \times (0.3)^2 + \frac{1}{2} \times 0.5 \times (6)^2$.
$2$ से गुणा करने पर: $0.5 \times (144) = k \times (0.09) + 0.5 \times (36)$.
$72 = 0.09k + 18$.
$0.09k = 72 - 18 = 54$.
$k = \frac{54}{0.09} = 600 \, Nm^{-1}$.

(C) माना बॉब का द्रव्यमान $m_b = 50 \; g = 0.05 \; kg$ है और गोली का द्रव्यमान $m_u = 75 \; g = 0.075 \; kg$ है। पेंडुलम की लंबाई $R = 2 \; m$ है।
बॉब के लिए ऊर्ध्वाधर वृत्त को पूरा करने हेतु,निम्नतम बिंदु पर न्यूनतम वेग $u = \sqrt{5gR}$ होना चाहिए।
मान रखने पर: $u = \sqrt{5 \times 10 \times 2} = \sqrt{100} = 10 \; m/s$.
टक्कर के दौरान क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$m_u v = m_u (v/3) + m_b u$
$0.075 v = 0.075 (v/3) + 0.05 (10)$
$0.075 v - 0.025 v = 0.5$
$0.05 v = 0.5$
$v = 10 \; m/s$.

(B) माना गोली का द्रव्यमान $m$ है और इसका प्रारंभिक वेग $v$ है।
गोली की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,इस ऊर्जा के $40 \%$ भाग का उपयोग गोली को उसके गलनांक तक गर्म करने और फिर उसे पिघलाने के लिए किया जाता है।
तापमान को $127^{\circ} C$ से $327^{\circ} C$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q_1 = m c \Delta T = m \times 125 \times (327 - 127) = m \times 125 \times 200 = 25000 m \, J$ है।
गोली को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q_2 = m L = m \times 2.5 \times 10^{4} = 25000 m \, J$ है।
कुल आवश्यक ऊष्मा $Q = Q_1 + Q_2 = 25000 m + 25000 m = 50000 m \, J$ है।
गतिज ऊर्जा के $40 \%$ को कुल ऊष्मा के बराबर करने पर: $0.40 \times (\frac{1}{2} m v^2) = 50000 m$.
$0.2 v^2 = 50000$.
$v^2 = 250000$.
$v = 500 \, m \, s^{-1}$.

(B) द्रव्यमान प्रवाह की दर $m = 9 \times 10^{4}\,kg$ प्रति घंटा है। इसे सेकंड में बदलने पर, $m = \frac{9 \times 10^{4}}{3600}\,kg/s = 25\,kg/s$ प्राप्त होता है।
प्रति सेकंड गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा (शक्ति) $P_{in} = mgh = 25 \times 10 \times 40 = 10000\,W$ है।
यह दिया गया है कि इस ऊर्जा का $50\%$ भाग विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित होता है, इसलिए उपलब्ध विद्युत शक्ति $P_{elec} = 0.5 \times P_{in} = 0.5 \times 10000 = 5000\,W$ है।
यदि प्रत्येक लैंप $100\,W$ की खपत करता है, तो जलाए जा सकने वाले लैंपों की संख्या $n = \frac{P_{elec}}{100} = \frac{5000}{100} = 50$ है।

(C) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $V$ है और निरंतर मंदन $a$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करते हुए:
पहले $4 \ cm$ के लिए,वेग $V/3$ हो जाता है:
$(V/3)^2 = V^2 - 2a(4) \Rightarrow V^2/9 = V^2 - 8a \Rightarrow 8a = 8V^2/9 \Rightarrow a = V^2/9$.
अब,गोली के पूरी तरह रुकने के लिए,अंतिम वेग $0$ है जब दूरी $s = 4+x$ है:
$0^2 = V^2 - 2a(4+x) \Rightarrow V^2 = 2(V^2/9)(4+x)$.
दोनों पक्षों को $V^2$ से विभाजित करने पर:
$1 = (2/9)(4+x) \Rightarrow 9/2 = 4+x \Rightarrow 4.5 = 4+x \Rightarrow x = 0.5 \ cm$.

(A) ब्लॉक $H$ ऊँचाई पर विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए इसकी प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा $E_i = mgH$ है।
जैसे-जैसे ब्लॉक गति करता है,यह $d$ लंबाई की एक खुरदरी क्षैतिज सतह का सामना करता है और फिर स्प्रिंग को $x$ दूरी तक दबाता है। आगे की यात्रा के दौरान घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_{f1} = \mu mgd$ है।
स्प्रिंग के संपीड़न के दौरान,ब्लॉक खुरदरी सतह पर अतिरिक्त $x$ दूरी तय करता है,इसलिए इस भाग के दौरान घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_{f2} = \mu mgx$ है।
आगे की यात्रा के दौरान घर्षण के विरुद्ध किया गया कुल कार्य $W_{f,total} = \mu mg(d+x)$ है।
जब ब्लॉक वापस लौटता है,तो यह खुरदरी सतह पर समान दूरी $x$ (स्प्रिंग का विस्तार) और $d$ तय करता है,इसलिए वापसी की यात्रा के दौरान घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य भी $W_{f,return} = \mu mg(d+x)$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा घर्षण के विरुद्ध किए गए कुल कार्य और $h$ ऊँचाई पर अंतिम स्थितिज ऊर्जा $mgh$ के योग के बराबर होती है:
$mgH = W_{f,total} + W_{f,return} + mgh$
$mgH = \mu mg(d+x) + \mu mg(d+x) + mgh$
$mgH = 2\mu mg(d+x) + mgh$
$mg$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$H = 2\mu(d+x) + h$
$h = H - 2\mu(d+x)$

(D) जब गेंद $h = l \sin \theta$ की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई से नीचे गिरती है और डोरी क्षैतिज से $\theta$ कोण पर घूमती है,तो गेंद का वेग $v$ यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\frac{1}{2} m v^2 = m g h = m g l \sin \theta$
$\Rightarrow v^2 = 2 g l \sin \theta$
त्रिज्यीय त्वरण $a_r$ इस प्रकार है:
$a_r = \frac{v^2}{l} = \frac{2 g l \sin \theta}{l} = 2 g \sin \theta$
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t$ वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक द्वारा उत्पन्न होता है। क्षैतिज से $\theta$ कोण पर,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $(90^\circ - \theta)$ होता है। अतः,स्पर्शरेखा पर भार का घटक $m g \cos \theta$ है:
$a_t = \frac{F_t}{m} = g \cos \theta$
कुल त्वरण $a$ का परिमाण:
$a = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}$
$a = \sqrt{(2 g \sin \theta)^2 + (g \cos \theta)^2}$
$a = \sqrt{4 g^2 \sin^2 \theta + g^2 \cos^2 \theta}$
$a = g \sqrt{4 \sin^2 \theta + (1 - \sin^2 \theta)}$
$a = g \sqrt{3 \sin^2 \theta + 1}$

(A) सही उत्तर $A$ है।
प्रत्यास्थ टक्कर में,गतिज ऊर्जा $(KE)$ पूरी प्रक्रिया के दौरान संरक्षित रहती है,जिसमें टक्कर का चरण भी शामिल है। इसलिए,यह कथन कि टक्कर के दौरान $KE$ संरक्षित नहीं रहता है,गलत है।
विकल्प $D$ के संबंध में,गेंद का संवेग संरक्षित नहीं रहता है क्योंकि टक्कर के दौरान गेंद पर एक बाहरी आवेगी बल (फर्श से अभिलंब बल) कार्य करता है। हालाँकि,बहुविकल्पीय प्रश्नों के संदर्भ में जहाँ परिभाषा के आधार पर सबसे गलत कथन की पहचान करनी होती है,विकल्प $A$ प्रत्यास्थ टक्कर की परिभाषा के अनुसार स्पष्ट रूप से गलत है।

(C) $10 \, m$ की ऊँचाई पर गेंद की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $E_i = mgh_1 = mg(10)$ है।
जब गेंद जमीन से टकराती है,तो प्रभाव से ठीक पहले उसकी गतिज ऊर्जा $K_i = mgh_1 = 10mg$ होती है।
प्रभाव के कारण $40 \%$ ऊर्जा का ह्रास होता है। इसलिए,प्रभाव के बाद शेष ऊर्जा प्रारंभिक ऊर्जा का $60 \%$ है।
शेष ऊर्जा $E_f = (1 - 0.40) E_i = 0.60 \times 10mg = 6mg$.
प्रभाव के बाद,गेंद एक नई ऊँचाई $h_2$ तक ऊपर जाती है। अधिकतम ऊँचाई पर,गतिज ऊर्जा वापस स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$mgh_2 = 6mg$.
$h_2$ के लिए हल करने पर,हमें $h_2 = 6 \, m$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया वेग $v = k \sqrt{x}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v^2 = k^2 x$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2ax$ से करने पर,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,हमें $2a = k^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि त्वरण $a = \frac{k^2}{2}$ है।
चूंकि त्वरण स्थिर है,$t$ समय में विस्थापन $x = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{k^2}{2} \right) t^2 = \frac{k^2 t^2}{4}$ होगा।
कण पर कार्य करने वाला बल $F = ma = m \left( \frac{k^2}{2} \right) = \frac{m k^2}{2}$ है।
किया गया कार्य $W = F \cdot x = \left( \frac{m k^2}{2} \right) \left( \frac{k^2 t^2}{4} \right) = \frac{m k^4 t^2}{8}$ होगा।

(C) प्रारंभ में,शेल विरामावस्था में है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है। रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए।
मान लीजिए $m_2$ द्रव्यमान की चाल $v$ है। तब $m_1 u = m_2 v$,जिससे हमें $v = \frac{m_1 u}{m_2}$ प्राप्त होता है।
आंतरिक बलों द्वारा किया गया कार्य निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = K_f - K_i = \left(\frac{1}{2} m_1 u^2 + \frac{1}{2} m_2 v^2\right) - 0$.
$v = \frac{m_1 u}{m_2}$ का मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} m_1 u^2 + \frac{1}{2} m_2 \left(\frac{m_1 u}{m_2}\right)^2 = \frac{1}{2} m_1 u^2 + \frac{1}{2} \frac{m_1^2 u^2}{m_2}$.
$W = \frac{1}{2} m_1 u^2 \left(1 + \frac{m_1}{m_2}\right)$.

(A) मान लीजिए गोली का प्रारंभिक वेग $v$ है। एक तख्ते से गुजरने के बाद, वेग $v' = v - \frac{1}{20}v = \frac{19}{20}v$ हो जाता है।
$x$ मोटाई के एक तख्ते और मंदक बल $F$ के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करने पर:
$-Fx = \frac{1}{2}m(v')^2 - \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \left[ \left( \frac{19}{20}v \right)^2 - v^2 \right] = \frac{1}{2}mv^2 \left( \frac{361}{400} - 1 \right) = -\frac{1}{2}mv^2 \left( \frac{39}{400} \right)$.
अतः, $Fx = \frac{39}{800}mv^2$.
मान लीजिए गोली को रोकने के लिए आवश्यक तख्तों की संख्या $n$ है। $nx$ दूरी के बाद अंतिम वेग $0$ हो जाएगा:
$-F(nx) = \frac{1}{2}m(0)^2 - \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{1}{2}mv^2$.
$Fx$ का मान रखने पर:
$n \left( \frac{39}{800}mv^2 \right) = \frac{1}{2}mv^2$.
$n = \frac{800}{2 \times 39} = \frac{400}{39} \approx 10.25$.
चूंकि तख्तों की संख्या एक पूर्णांक होनी चाहिए, इसलिए गोली को पूरी तरह रोकने के लिए $11$ तख्तों की आवश्यकता होगी।

(A) दिया गया समीकरण: $t = \sqrt{x} + 2$.
$x$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{x} = t - 2$,जिसका अर्थ है $x = (t - 2)^2$.
वेग $v$,समय के सापेक्ष स्थिति का अवकलन है: $v = \frac{dx}{dt} = 2(t - 2)$.
$t = 0 \ s$ पर,प्रारंभिक वेग $u = v(0) = 2(0 - 2) = -4 \ m/s$.
$t = 4 \ s$ पर,अंतिम वेग $v_f = v(4) = 2(4 - 2) = 4 \ m/s$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य $W$,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m u^2$.
मान रखने पर: $W = \frac{1}{2} m (4)^2 - \frac{1}{2} m (-4)^2 = \frac{1}{2} m (16) - \frac{1}{2} m (16) = 0 \ J$.

(A) कार्य करने की दर शक्ति है,$P = Fv$. दिया गया है $P = 2x$.
चूंकि $F = ma = m \frac{dv}{dt} = m \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = mv \frac{dv}{dx}$,इसलिए:
$P = (mv \frac{dv}{dx}) v = mv^2 \frac{dv}{dx} = 2x$.
समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$mv^2 dv = 2x dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int mv^2 dv = \int 2x dx$.
$\frac{mv^3}{3} = x^2 + C$.
यह मानते हुए कि कण मूल बिंदु पर विरामावस्था से शुरू होता है ($x=0$ पर $v=0$),स्थिरांक $C = 0$ है।
अतः,$\frac{mv^3}{3} = x^2$.
$v^3 = \frac{3x^2}{m}$.
$v = \left[\frac{3x^2}{m}\right]^{1/3}$.

(B) दिया गया है: ऊर्जा $Q = 5000 \,cal$,द्रव्यमान $m = 60 \,kg$,दक्षता $\eta = 30 \% = 0.3$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$,ऊष्मा का यांत्रिक तुल्यांक $J = 4.2 \,J/cal$.
किया गया उपयोगी यांत्रिक कार्य $W = \eta \times Q \times J$ है।
$h$ ऊँचाई तक चढ़ने में किया गया कार्य $W = mgh$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $mgh = \eta J Q$.
$h$ के लिए हल करने पर: $h = \frac{\eta J Q}{mg} = \frac{0.3 \times 4.2 \times 5000}{60 \times 10}$.
$h = \frac{6300}{600} = 10.5 \,m$.

(A) कथनों का विश्लेषण:
$(A)$ जब कोई व्यक्ति बाल्टी उठाता है,तो उसके द्वारा लगाया गया बल विस्थापन की दिशा (ऊपर की ओर) में होता है। अतः,किया गया कार्य धनात्मक है। कथन $(A)$ गलत है।
$(B)$ गुरुत्वाकर्षण बल नीचे की ओर कार्य करता है जबकि विस्थापन ऊपर की ओर होता है। चूंकि बल और विस्थापन के बीच का कोण $180^{\circ}$ है,इसलिए किया गया कार्य ऋणात्मक है। कथन $(B)$ सही है।
$(C)$ घर्षण हमेशा गति की दिशा के विपरीत कार्य करता है। नीचे फिसलती वस्तु के लिए,घर्षण समतल के अनुदिश ऊपर की ओर कार्य करता है,जबकि विस्थापन नीचे की ओर होता है। अतः,किया गया कार्य ऋणात्मक है। कथन $(C)$ गलत है।
$(D)$ खुरदरे क्षैतिज समतल पर एकसमान वेग से गतिमान वस्तु के लिए,लगाया गया बल गतिज घर्षण को संतुलित करता है। चूंकि बल विस्थापन की दिशा में है,इसलिए किया गया कार्य धनात्मक है। कथन $(D)$ गलत है।
$(E)$ वायु प्रतिरोध हमेशा लोलक के गोलक की गति की दिशा के विपरीत कार्य करता है। अतः,किया गया कार्य ऋणात्मक है। कथन $(E)$ सही है।
इसलिए,कथन $(B)$ और $(E)$ सही हैं।

(A) दिया गया है:
द्रव्यमान $M = 5\,kg$
प्रारंभिक संवेग $P_i = 10\,kg\,m/s$
बल $F = 2\,N$
समय अंतराल $\Delta t = 5\,s$
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,संवेग में परिवर्तन लगाए गए आवेग के बराबर होता है:
$\Delta P = F \times \Delta t = P_f - P_i$
$2\,N \times 5\,s = P_f - 10\,kg\,m/s$
$10 = P_f - 10$
अंतिम संवेग $P_f = 20\,kg\,m/s$
गतिज ऊर्जा $KE$ और संवेग $P$ के बीच संबंध $KE = \frac{P^2}{2M}$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{P_i^2}{2M} = \frac{10^2}{2 \times 5} = \frac{100}{10} = 10\,J$
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = \frac{P_f^2}{2M} = \frac{20^2}{2 \times 5} = \frac{400}{10} = 40\,J$
गतिज ऊर्जा में वृद्धि = $KE_f - KE_i = 40\,J - 10\,J = 30\,J$.

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, मंदक बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta KE$
चूंकि अंतिम गतिज ऊर्जा $0$ है और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K$ है, इसलिए किया गया कार्य $W = -F \cdot S = 0 - K$ है, जहां $F$ मंदक बल है और $S$ रुकने की दूरी है।
अतः, $S = \frac{K}{F}$।
चूंकि ट्रक और कार दोनों की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K$ समान है और दोनों पर समान मंदक बल $F$ लगाया जाता है, इसलिए वे समान दूरी $S$ तय करके रुक जाएंगे। अतः, कथन $I$ सही है।
कथन $II$ के लिए, यद्यपि चाल (वेग का परिमाण) अपरिवर्तित रहती है, लेकिन जैसे ही कार पूर्व से उत्तर की ओर मुड़ती है, वेग की दिशा बदल जाती है।
त्वरण को वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है $(\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt})$। चूंकि वेग की दिशा बदल रही है, इसलिए वेग सदिश बदलता है, जिसका अर्थ है कि त्वरण शून्य नहीं हो सकता।
अतः, कथन $II$ गलत है।

(D) चूंकि बस एक समान गति से चल रही है,कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार बस पर किया गया कुल कार्य शून्य है।
$W_{\text{net}} = W_{\text{engine}} + W_{\text{friction}} = 0$
इसलिए,$W_{\text{engine}} = -W_{\text{friction}}$.
घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_{\text{friction}} = -f_k \cdot d = -(\mu mg) \cdot d$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\mu = 0.04$,$m = 500\,kg$,$g = 9.8\,m/s^2$,और $d = 4\,km = 4000\,m$.
$W_{\text{engine}} = \mu mgd = 0.04 \times 500 \times 9.8 \times 4000$.
$W_{\text{engine}} = 20 \times 9.8 \times 4000 = 196 \times 4000 = 784000\,J$.
$kJ$ में बदलने पर,$W_{\text{engine}} = 784\,kJ$.

(D) $m$ द्रव्यमान और $p$ रैखिक संवेग वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ दिया गया है कि रैखिक संवेग समान हैं,अर्थात $p_1 = p_2 = p$ है।
इसलिए,गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{p^2 / 2m_1}{p^2 / 2m_2} = \frac{m_2}{m_1}$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{K_1}{K_2} = \frac{16}{9}$,इसलिए $\frac{m_2}{m_1} = \frac{16}{9}$ है।
अतः,उनके द्रव्यमानों का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{9}{16}$ होगा।

(B) $1$. टक्कर के दौरान रैखिक संवेग का संरक्षण:
$m u = (M + m) V$
दिया गया है $m = 10^{-2} \,kg$,$u = 200 \,m/s$,$M = 1 \,kg$.
$10^{-2} \times 200 = (1 + 0.01) V$
$2 = 1.01 V$
$V = \frac{2}{1.01} \approx 1.98 \,m/s \approx 2 \,m/s$.
$2$. टक्कर के बाद गोलक-गोली प्रणाली के लिए यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण:
$\frac{1}{2} (M + m) V^2 = (M + m) g h$
$h = \frac{V^2}{2g}$
$h = \frac{2^2}{2 \times 10} = \frac{4}{20} = 0.2 \,m$.

(D) जमीन से टकराने से ठीक पहले गेंद का वेग गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि यह विरामावस्था से शुरू होती है $(u=0)$,इसलिए $v = \sqrt{2gh}$ होगा।
$h$ ऊँचाई पर गेंद की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $PE_i = mgh$ है। प्रभाव से ठीक पहले गतिज ऊर्जा $KE_i = mgh$ है।
गेंद $h' = h/2$ ऊँचाई तक उछलती है। इस अधिकतम ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $PE_f = mg(h/2) = \frac{1}{2}mgh$ है।
ऊर्जा में हानि $\Delta E = PE_i - PE_f = mgh - \frac{1}{2}mgh = \frac{1}{2}mgh$ है।
ऊर्जा में प्रतिशत हानि $\frac{\Delta E}{PE_i} \times 100 = \frac{\frac{1}{2}mgh}{mgh} \times 100 = 50 \%$ है।
अतः,प्रतिशत हानि $50 \%$ है और प्रभाव से पहले वेग $\sqrt{2gh}$ है। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना ब्लॉक को $h = L \sin(30^{\circ}) = 10 \times 0.5 = 5 \text{ m}$ की ऊँचाई से मुक्त किया जाता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए: $W_{\text{gravity}} + W_{\text{friction}} + W_{\text{spring}} = \Delta KE = 0$.
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य: $W_g = mgh = 5 \times 10 \times 5 = 250 \text{ J}$.
क्षैतिज सतह पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य: $W_f = -\mu mg(d + x) = -0.5 \times 5 \times 10 \times (2 + x) = -25(2 + x) = -50 - 25x$.
स्प्रिंग द्वारा किया गया कार्य: $W_s = -\frac{1}{2} kx^2 = -\frac{1}{2} \times 100 \times x^2 = -50x^2$.
कुल कार्य को शून्य के बराबर रखने पर: $250 - 50 - 25x - 50x^2 = 0$.
$200 - 25x - 50x^2 = 0$.
$25$ से विभाजित करने पर: $8 - x - 2x^2 = 0$,या $2x^2 + x - 8 = 0$.
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-8)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{65}}{4}$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $x > 0$,$x = \frac{-1 + 8.06}{4} \approx 1.76 \text{ m}$।

(A) कुल प्रारंभिक संवेग $\vec{P}_{total} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = p \hat{i} - p \hat{i} = 0$ है।
चूंकि कोई बाहरी बल नहीं है,इसलिए कुल अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए: $\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = 0$,जिसका अर्थ है $\vec{p}_2^{\prime} = -\vec{p}_1^{\prime}$।
विकल्प $(A)$ में,$\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = (a_1+a_2)\hat{i} + (b_1+b_2)\hat{j} + c_1\hat{k} \neq 0$।
विकल्प $(B)$ में,$\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = (c_1+c_2)\hat{k} \neq 0$।
विकल्प $(C)$ में,$\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = (a_1+a_2)\hat{i} + (b_1+b_2)\hat{j} + (c_1-c_1)\hat{k} = (a_1+a_2)\hat{i} + (b_1+b_2)\hat{j} \neq 0$।
विकल्प $(D)$ में,$\vec{p}_1^{\prime} + \vec{p}_2^{\prime} = (a_1+a_2)\hat{i} + 2b_1\hat{j} \neq 0$।
अतः,रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार ये सभी विकल्प मान्य नहीं हैं।

(B,B,C) $1.$ $A$ की $B$ से ऊँचाई $h_1 = \sqrt{3} \tan 60^{\circ} = 3 \ m$ है। $B$ पर पहुँचने से ठीक पहले ब्लॉक का वेग $v = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{60} \ m/s$ है। चूंकि टक्कर पूरी तरह से अप्रत्यास्थ है,इसलिए दूसरे नत समतल के लंबवत वेग का घटक नष्ट हो जाता है। दूसरे नत समतल के अनुदिश वेग $v_B = v \cos(60^{\circ}-30^{\circ}) = v \cos 30^{\circ} = \sqrt{60} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{45} \ m/s$ है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
$2.$ $B$ की $C$ से ऊँचाई $h_2 = 3\sqrt{3} \tan 30^{\circ} = 3 \ m$ है। $B$ से $C$ तक कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करने पर: $\frac{1}{2}Mv_C^2 - \frac{1}{2}Mv_B^2 = Mgh_2$। $v_B^2 = 45$ और $h_2 = 3$ रखने पर: $v_C^2 = 45 + 2 \cdot 10 \cdot 3 = 105$। इसलिए,$v_C = \sqrt{105} \ m/s$। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
$3.$ प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,नत समतल के समानांतर वेग का घटक अपरिवर्तित रहता है,जबकि नत समतल के लंबवत घटक की दिशा बदल जाती है। टक्कर से ठीक पहले वेग $v = \sqrt{60} \ m/s$ है जो क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर है। दूसरा नत समतल क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ पर है। वेग सदिश और दूसरे नत समतल के बीच का कोण $30^{\circ}$ है। वेग के घटक $v_{\parallel} = v \cos 30^{\circ}$ और $v_{\perp} = v \sin 30^{\circ}$ हैं। प्रत्यास्थ टक्कर के बाद,$v'_{\parallel} = v \cos 30^{\circ}$ और $v'_{\perp} = v \sin 30^{\circ}$ (नत समतल से दूर)। ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = v'_{\parallel} \sin 30^{\circ} - v'_{\perp} \cos 30^{\circ} = (v \cos 30^{\circ}) \sin 30^{\circ} - (v \sin 30^{\circ}) \cos 30^{\circ} = 0$ है। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(A-D) $1$. स्लाइड के निचले सिरे पर वेग: ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{2} m u_0^2 = mgh$,इसलिए $u_0 = \sqrt{2gh}$। अतः,$\vec{u}_0 = \sqrt{2gh} \hat{x}$। कथन $(A)$ सही है।
$2$. गेंद की गति: गेंद $H = 3h$ ऊंचाई से प्रक्षेप्य गति करती है। उड़ान का समय $T = \sqrt{2H/g} = \sqrt{6h/g}$ है।
क्षैतिज वेग $v_x = u_0 = \sqrt{2gh}$ है। टकराने से ठीक पहले ऊर्ध्वाधर वेग $v_{1y} = \sqrt{2gH} = \sqrt{2g(3h)} = \sqrt{6gh}$ है।
$3$. जमीन के साथ टक्कर: क्षैतिज के साथ कोण $\theta$ को $\tan \theta = \frac{v_{1y}}{v_x} = \frac{\sqrt{6gh}}{\sqrt{2gh}} = \sqrt{3}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$\theta = 60^{\circ}$। कथन $(C)$ सही है।
$4$. उछलने के बाद वेग: क्षैतिज घटक $v_x = \sqrt{2gh}$ रहता है। उछलने के बाद ऊर्ध्वाधर घटक $v_{2y} = e v_{1y} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{6gh} = \sqrt{2gh}$ है। अतः,$\vec{v} = \sqrt{2gh} \hat{x} + \sqrt{2gh} \hat{z}$। कथन $(B)$ सही है।
$5$. अधिकतम ऊंचाई $h_1$: $h_1 = \frac{v_{2y}^2}{2g} = \frac{2gh}{2g} = h$ है।
$6$. दूरी $d$: $d = v_x T = \sqrt{2gh} \cdot \sqrt{6h/g} = \sqrt{12h^2} = 2\sqrt{3}h$ है।
$7$. अनुपात $d/h_1 = \frac{2\sqrt{3}h}{h} = 2\sqrt{3}$ है। कथन $(D)$ सही है।

(C) मान लीजिए $m_1 = 1.0 \,kg$ और $m_2 = 2.0 \,kg$ है। $m_1$ का प्रारंभिक वेग $u_1 = 2.0 \,m \,s^{-1}$ और $m_2$ का $u_2 = 0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $m_1 u_1 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \implies 1(2) = 1(v_1) + 2(v_2) \implies v_1 + 2v_2 = 2$ $(i)$
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए, प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$: $v_2 - v_1 = e(u_1 - u_2) = 1(2 - 0) = 2$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर: दोनों को जोड़ने पर $3v_2 = 4 \implies v_2 = \frac{4}{3} \,m \,s^{-1}$ प्राप्त होता है। $(ii)$ में मान रखने पर, $v_1 = v_2 - 2 = \frac{4}{3} - 2 = -\frac{2}{3} \,m \,s^{-1}$ प्राप्त होता है।
स्प्रिंग से जुड़ा $2.0 \,kg$ का ब्लॉक सरल आवर्त गति करता है। स्प्रिंग को अपनी मूल स्थिति में वापस आने में लगा समय आवर्तकाल का आधा होता है: $\Delta t = \frac{T}{2} = \pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} = \pi \sqrt{\frac{2}{2}} = \pi \,s$.
इस समय के दौरान, $1.0 \,kg$ का ब्लॉक $v_1 = -\frac{2}{3} \,m \,s^{-1}$ के स्थिर वेग से (बाईं ओर) चलता है। $2.0 \,kg$ का ब्लॉक दाईं ओर चलता है, स्प्रिंग को संकुचित करता है और संतुलन स्थिति में वापस आ जाता है।
$1.0 \,kg$ ब्लॉक का विस्थापन: $s_1 = v_1 \Delta t = -\frac{2}{3} \pi \,m$.
$2.0 \,kg$ ब्लॉक का विस्थापन: $s_2 = 0$ (क्योंकि यह प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाता है)।
ब्लॉकों के बीच की दूरी $|s_2 - s_1| = |0 - (- \frac{2}{3} \pi)| = \frac{2}{3} \pi = \frac{2 \times 3.14159}{3} \approx 2.094 \,m$ है। दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, दूरी $2.09 \,m$ है।