Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision Questions in Hindi

(C) चरण $1$: $A$ और $B$ के बीच प्रत्यास्थ टक्कर।
मान लीजिए $v_A = 9 \ m/s$ और $v_B = 0$ है। टक्कर के बाद,वेग $v_A'$ और $v_B'$ हैं।
संवेग संरक्षण के नियम से: $m(9) + 2m(0) = m v_A' + 2m v_B' \Rightarrow 9 = v_A' + 2v_B'$.
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $(e=1)$ से: $v_B' - v_A' = e(v_A - v_B) = 1(9 - 0) = 9 \Rightarrow v_B' - v_A' = 9$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(v_A' + 2v_B') + (v_B' - v_A') = 9 + 9 \Rightarrow 3v_B' = 18 \Rightarrow v_B' = 6 \ m/s$.
चरण $2$: $B$ और $C$ के बीच पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर।
मान लीजिए $v_B' = 6 \ m/s$ और $v_C = 0$ है। टक्कर के बाद,$B$ और $C$ एक साथ $v_f$ वेग से चलते हैं।
संवेग संरक्षण के नियम से: $2m(v_B') + m(0) = (2m + m)v_f \Rightarrow 2m(6) = 3m v_f \Rightarrow 12 = 3v_f \Rightarrow v_f = 4 \ m/s$.
अतः,वस्तु $C$ की अंतिम गति $4 \ m/s$ है।

(C) माना $m_1 = 0.36 \text{ kg}$ और $m_2 = 0.72 \text{ kg}$ है।
$m_2$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए गति का समीकरण: $m_2 g - T = m_2 a$.
$m_1$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए गति का समीकरण: $T - m_1 g = m_1 a$.
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(m_2 - m_1) g = (m_1 + m_2) a$.
$a = \frac{(m_2 - m_1) g}{m_1 + m_2} = \frac{(0.72 - 0.36) \times 10}{0.72 + 0.36} = \frac{0.36 \times 10}{1.08} = \frac{3.6}{1.08} = \frac{10}{3} \text{ m/s}^2$.
तनाव बल $T$: $T = m_1(g + a) = 0.36 \times (10 + \frac{10}{3}) = 0.36 \times \frac{40}{3} = 0.12 \times 40 = 4.8 \text{ N}$.
विरामावस्था से $t = 1 \text{ s}$ में विस्थापन $s$: $s = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times (1)^2 = \frac{5}{3} \text{ m}$.
$m_1$ द्रव्यमान के ब्लॉक पर डोरी द्वारा किया गया कार्य: $W = T \times s = 4.8 \times \frac{5}{3} = 1.6 \times 5 = 8 \text{ J}$.

(A) माना $1 \, kg$ द्रव्यमान का प्रारंभिक वेग $u$ है और $5 \, kg$ द्रव्यमान का अंतिम वेग $v$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $1 \cdot u + 5 \cdot 0 = 1 \cdot (-2) + 5 \cdot v \implies u = 5v - 2$ ... $(i)$
न्यूटन के टक्कर के प्रायोगिक नियम से (प्रत्यास्थ टक्कर के लिए, प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$): $v - (-2) = 1 \cdot (u - 0) \implies u = v + 2$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर: $5v - 2 = v + 2 \implies 4v = 4 \implies v = 1 \, m/s$. अतः $u = 3 \, m/s$.
$(A)$ कुल संवेग $P = 1 \cdot u = 1 \cdot 3 = 3 \, kg \cdot m/s$. (सही)
$(B)$ $5 \, kg$ द्रव्यमान का संवेग $= 5 \cdot v = 5 \cdot 1 = 5 \, kg \cdot m/s$. (गलत)
$(C)$ द्रव्यमान केंद्र का वेग $v_{cm} = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} = \frac{1 \cdot 3 + 5 \cdot 0}{1 + 5} = 0.5 \, m/s$. द्रव्यमान केंद्र की गतिज ऊर्जा $= \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot (0.5)^2 = 3 \cdot 0.25 = 0.75 \, J$. (सही)
$(D)$ कुल गतिज ऊर्जा $= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-2)^2 + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (1)^2 = 2 + 2.5 = 4.5 \, J$. (गलत)
अतः, कथन $(A)$ और $(C)$ सही हैं।

(D) मान लीजिए कि गोली का द्रव्यमान $m = 0.01 \ kg$ और गेंद का द्रव्यमान $M = 0.2 \ kg$ है। गेंद शुरू में $h = 5 \ m$ की ऊँचाई पर स्थिर है।
चूँकि गति क्षैतिज प्रक्षेप्य गति है,जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$,$h = \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दिया जाता है।
$g = 10 \ m/s^2$ लेने पर,$5 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$,जिससे $t = 1 \ s$ प्राप्त होता है।
टक्कर के बाद,गेंद का क्षैतिज वेग $v_b = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{20 \ m}{1 \ s} = 20 \ m/s$ है।
गोली का क्षैतिज वेग $v_u = \frac{100 \ m}{1 \ s} = 100 \ m/s$ है।
क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$m V = m v_u + M v_b$
$0.01 \times V = (0.01 \times 100) + (0.2 \times 20)$
$0.01 \times V = 1 + 4 = 5$
$V = \frac{5}{0.01} = 500 \ m/s$.

(C) मान लीजिए $m_1 = 1.0 \ kg$ और $m_2 = 2.0 \ kg$ है। $m_1$ का प्रारंभिक वेग $u_1 = 2.0 \ m \ s^{-1}$ और $m_2$ का $u_2 = 0$ है। मान लीजिए प्रत्यास्थ टक्कर के बाद उनके वेग $v_1$ और $v_2$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $m_1 u_1 = m_1 v_1 + m_2 v_2 \implies 1(2) = 1(v_1) + 2(v_2) \implies v_1 + 2v_2 = 2$ . . . . . $(1)$
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए प्रत्यावस्थान गुणांक $(e=1)$ का उपयोग करते हुए: $v_2 - v_1 = e(u_1 - u_2) = 1(2 - 0) = 2$ . . . . . $(2)$
समीकरणों $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,हमें $v_2 = 4/3 \ m \ s^{-1}$ और $v_1 = -2/3 \ m \ s^{-1}$ प्राप्त होता है।
स्प्रिंग से जुड़ा $2.0 \ kg$ का ब्लॉक सरल आवर्त गति करता है। इसका आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{m_2/k} = 2\pi \sqrt{2/2} = 2\pi \ s$ है।
स्प्रिंग आधे आवर्तकाल के बाद अपनी अनावृत स्थिति में वापस आ जाती है,अर्थात $\Delta t = T/2 = \pi \ s$।
इस समय के दौरान,$1.0 \ kg$ का ब्लॉक स्थिर वेग $v_1 = -2/3 \ m \ s^{-1}$ से (स्प्रिंग से दूर) चलता है। इसका विस्थापन $\Delta x_1 = v_1 \Delta t = (-2/3) \times \pi = -2\pi/3 \ m$ है।
$2.0 \ kg$ का ब्लॉक $x=0$ से $x_{max}$ तक जाता है और वापस $x=0$ पर आता है। इसका विस्थापन $\Delta x_2 = 0$ है।
दोनों ब्लॉकों के बीच की दूरी $|\Delta x_1 - \Delta x_2| = |-2\pi/3 - 0| = 2\pi/3 \approx 2(3.14)/3 = 6.28/3 \approx 2.09 \ m$ है।

(B) दिया गया है $\frac{dK}{dt} = \gamma t$. चूँकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $\frac{dK}{dt} = mv \frac{dv}{dt} = \gamma t$.
अतः,$v \frac{dv}{dt} = \frac{\gamma t}{m}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int v dv = \int \frac{\gamma}{m} t dt$,जिससे $\frac{v^2}{2} = \frac{\gamma t^2}{2m}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$v = \sqrt{\frac{\gamma}{m}} t$. यह दर्शाता है कि चाल समय के समानुपाती है,अतः $(B)$ सत्य है।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \sqrt{\frac{\gamma}{m}}$,जो कि नियत है। चूँकि $F = ma$,इसलिए बल $F = \sqrt{\gamma m}$ भी नियत है,अतः $(A)$ सत्य है।
चूँकि $v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{\gamma}{m}} t$,समाकलन करने पर $x = \int \sqrt{\frac{\gamma}{m}} t dt = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\gamma}{m}} t^2$ प्राप्त होता है। दूरी समय के साथ वर्ग के रूप में बढ़ती है,रैखिक रूप से नहीं,अतः $(C)$ असत्य है।
चूँकि बल नियत है,यह एक संरक्षी बल है,अतः $(D)$ सत्य है।
अतः,कथन $(A), (B)$ और $(D)$ सत्य हैं।

(A) पथ $P$ के लिए: $\vec{r} = \alpha t \hat{i} + \beta t \hat{j}$। वेग $\vec{v} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j}$ (नियतांक), अतः त्वरण $\vec{a} = 0$ और बल $\vec{F} = 0$। रैखिक संवेग $\overrightarrow{p} = m\vec{v}$ नियत है। कोणीय संवेग $\overrightarrow{L} = \vec{r} \times \overrightarrow{p} = m(\alpha t \hat{i} + \beta t \hat{j}) \times (\alpha \hat{i} + \beta \hat{j}) = m(\alpha\beta t - \beta\alpha t)\hat{k} = 0$ (नियत)। चूँकि $\vec{F}=0$, $K$, $U$ और $E$ नियत हैं। अतः, $P \rightarrow 1, 2, 3, 4, 5$।
पथ $Q$ के लिए: $\vec{r} = \alpha \cos \omega t \hat{i} + \beta \sin \omega t \hat{j}$। यह एक दीर्घवृत्ताकार पथ है। बल केंद्रीय है, इसलिए कोणीय संवेग $\overrightarrow{L}$ संरक्षित है। चूँकि बल संरक्षी है, कुल ऊर्जा $E$ संरक्षित है। अतः, $Q \rightarrow 2, 5$।
पथ $R$ के लिए: $\vec{r} = \alpha(\cos \omega t \hat{i} + \sin \omega t \hat{j})$। यह नियत चाल $v = \alpha\omega$ वाला एक वृत्ताकार पथ है। अतः, $K$ नियत है। चूँकि बल केंद्रीय है, $\overrightarrow{L}$ संरक्षित है। केंद्रीय विभव में वृत्ताकार पथ के लिए, $U$ और $E$ भी नियत हैं। अतः, $R \rightarrow 2, 3, 4, 5$।
पथ $S$ के लिए: $\vec{r} = \alpha t \hat{i} + \frac{\beta}{2} t^2 \hat{j}$। वेग $\vec{v} = \alpha \hat{i} + \beta t \hat{j}$ (समय पर निर्भर), इसलिए $\overrightarrow{p}$ नियत नहीं है। त्वरण $\vec{a} = \beta \hat{j}$ (नियत बल)। $\overrightarrow{L} = m(\alpha t \hat{i} + \frac{\beta}{2} t^2 \hat{j}) \times (\alpha \hat{i} + \beta t \hat{j}) = m(\alpha\beta t^2 - \frac{\alpha\beta}{2} t^2)\hat{k} = \frac{m\alpha\beta t^2}{2}\hat{k}$ (समय पर निर्भर)। केवल कुल ऊर्जा $E$ संरक्षित है। अतः, $S \rightarrow 5$।

(B) निचले बिंदु और बिंदु $y$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$\frac{1}{2} mv_0^2 = mgh + \frac{1}{2} mv_1^2$
$\therefore v_1^2 = v_0^2 - 2gh \quad \dots (i)$
बिंदु $y$ पर,अर्धवृत्ताकार पथ झुके हुए तल पर स्थित है। वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin 30^{\circ}$ है। यह घटक आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$mg \sin 30^{\circ} = \frac{mv_1^2}{R}$
$\frac{1}{2} mg = \frac{mv_1^2}{R} \implies v_1^2 = \frac{gR}{2}$
इसे समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$v_0^2 - 2gh = \frac{gR}{2}$. अतः,कथन $(A)$ सही है।
बिंदुओं $x$ और $z$ पर,स्केटर बिंदु $y$ की तुलना में कम ऊंचाई पर है। ऊर्जा संरक्षण के अनुसार,$x$ और $z$ पर वेग $v$,$y$ पर वेग $v_1$ से अधिक है। चूंकि आवश्यक अभिकेंद्री बल $F_c = \frac{mv^2}{R}$ है,और $v > v_1$ है,इसलिए $x$ और $z$ पर आवश्यक अभिकेंद्री बल $y$ की तुलना में अधिक है। अतः,कथन $(D)$ सही है।

(A) मान लीजिए पहला कण $P_1$ है और दूसरा $P_2$ है। उच्चतम बिंदु पर,$P_1$ का वेग $v_{x1} = u_0 \cos \alpha$ और $v_{y1} = 0$ है।
दूसरे कण $P_2$ को $u_0$ गति के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है। $P_1$ के उच्चतम बिंदु पर (ऊंचाई $H = \frac{u_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$),$P_2$ का वेग $v_{y2} = \sqrt{u_0^2 - 2gH} = \sqrt{u_0^2 - u_0^2 \sin^2 \alpha} = u_0 \cos \alpha$ है।
क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$m(u_0 \cos \alpha) + m(0) = (2m)v_x \implies v_x = \frac{u_0 \cos \alpha}{2}$.
ऊर्ध्वाधर दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$m(0) + m(u_0 \cos \alpha) = (2m)v_y \implies v_y = \frac{u_0 \cos \alpha}{2}$.
क्षैतिज के साथ कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{u_0 \cos \alpha / 2}{u_0 \cos \alpha / 2} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\theta = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$।

(B) एक बॉब के लिए ऊर्ध्वाधर वृत्त पूरा करने के लिए,उच्चतम बिंदु पर न्यूनतम वेग $v_{top} = \sqrt{g \ell}$ होता है।
मान लीजिए कि पहले बॉब का द्रव्यमान $m$ और डोरी की लंबाई $l_1$ है। टक्कर से पहले उच्चतम बिंदु पर इसका वेग $u_1 = \sqrt{g l_1}$ है।
दूसरे बॉब का द्रव्यमान $m$ और डोरी की लंबाई $l_2$ है,और यह शुरू में स्थिर है $(u_2 = 0)$।
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है और द्रव्यमान समान हैं,इसलिए दोनों बॉब अपने वेगों का आदान-प्रदान करते हैं।
इसलिए,टक्कर के बाद दूसरे बॉब का वेग $v_2 = u_1 = \sqrt{g l_1}$ है।
दूसरे बॉब के लिए ऊर्ध्वाधर वृत्त पूरा करने के लिए,इसके निम्नतम बिंदु पर न्यूनतम वेग $\sqrt{5 g l_2}$ होना चाहिए।
टक्कर दूसरे बॉब के पथ के उच्चतम बिंदु पर होती है (जो इसकी संभावित वृत्तीय गति का निम्नतम बिंदु है)। इस प्रकार,टक्कर के बाद दूसरे बॉब द्वारा प्राप्त वेग,वृत्त को पूरा करने के लिए निम्नतम बिंदु पर आवश्यक न्यूनतम वेग के बराबर होना चाहिए।
अतः,$v_2 = \sqrt{5 g l_2}$।
$v_2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\sqrt{g l_1} = \sqrt{5 g l_2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $g l_1 = 5 g l_2$।
इसलिए,$\frac{l_1}{l_2} = 5$।

(A) $1.$ मान लीजिए ब्लॉक को $h = R = 40 \ m$ की ऊँचाई से छोड़ा जाता है। नीचे से बिंदु $Q$ की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h_Q = R - R \sin(30^{\circ}) = R - R/2 = R/2 = 20 \ m$ है।
प्रारंभिक बिंदु और बिंदु $Q$ के बीच कार्य-ऊर्जा प्रमेय लागू करने पर:
$W_{gravity} + W_{friction} = \Delta K$
$Mg(R - h_Q) - 150 = \frac{1}{2} M v^2$
$1 \times 10 \times (40 - 20) - 150 = \frac{1}{2} \times 1 \times v^2$
$200 - 150 = 0.5 v^2 \Rightarrow 50 = 0.5 v^2 \Rightarrow v^2 = 100 \Rightarrow v = 10 \ m s^{-1}$.
अतः,$Q$ पर चाल $10 \ m s^{-1}$ है। (विकल्प $B$)
$2.$ बिंदु $Q$ पर,ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण $(Mg)$ और अभिलंब प्रतिक्रिया $(N)$ हैं। ट्रैक के लंबवत गुरुत्वाकर्षण का घटक $Mg \cos(60^{\circ}) = Mg/2$ है।
अभिकेंद्र बल $N - Mg \cos(60^{\circ}) = \frac{M v^2}{R}$ है।
$N - 1 \times 10 \times 0.5 = \frac{1 \times 100}{40}$
$N - 5 = 2.5 \Rightarrow N = 7.5 \ N$. (विकल्प $A$)
इसलिए,सही युग्म $(B, A)$ है।

(B) टक्कर से पहले,गेंद गुरुत्वाकर्षण के तहत गिरती है। समय $t$ पर इसका वेग $v = gt$ द्वारा दिया जाता है। गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} m(gt)^2 = \frac{1}{2} mg^2 t^2$ है। चूंकि $K \propto t^2$,इसलिए $K$ बनाम $t$ का ग्राफ परवलयाकार (parabolic) होता है।
टक्कर के दौरान,गेंद संकुचित होती है। जैसे-जैसे संपीड़न बढ़ता है,गतिज ऊर्जा प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। अधिकतम संपीड़न पर,गेंद का वेग शून्य हो जाता है,इसलिए गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है। अधिकतम संपीड़न तक पहुँचने के बाद,गेंद फैलना शुरू कर देती है,और प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा वापस गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है जब तक कि गेंद सतह को नहीं छोड़ देती।
इस प्रकार,संपीड़न चरण के दौरान गतिज ऊर्जा घटकर शून्य हो जाती है और विस्तार चरण के दौरान वापस अपने मूल मान तक बढ़ जाती है। यह व्यवहार परवलयाकार वृद्धि और उसके बाद शून्य तक तीव्र गिरावट और उसके बाद की परवलयाकार वृद्धि द्वारा दर्शाया गया है। दिए गए विकल्पों में से,ग्राफ $B$ इस परिवर्तन को सबसे उपयुक्त रूप से दर्शाता है।

(A) बल $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है। संतुलन बिंदु वहां होते हैं जहां $F = 0$, अर्थात $\frac{dU}{dx} = 0$ हो।
$(A)$ के लिए: $U_1(x) = \frac{U_0}{2} [1 - (x/a)^2]^2$. $\frac{dU_1}{dx} = -\frac{2U_0 x}{a^2} [1 - (x/a)^2]$. $x=0, a, -a$ पर $F=0$ है। $|x| < a$ के लिए, $F$, $x=0$ की ओर आकर्षक है। अतः $(A) \rightarrow (P, Q, R, S)$.
$(B)$ के लिए: $U_2(x) = \frac{U_0}{2} (x/a)^2$. $\frac{dU_2}{dx} = \frac{U_0 x}{a^2}$. $x=0$ पर $F=0$ है। ऊर्जा $U_0/4$ के लिए, यह $x=0$ के परितः दोलन करता है। अतः $(B) \rightarrow (Q, T)$.
$(C)$ के लिए: $U_3(x) = \frac{U_0}{2} (x/a)^2 e^{-(x/a)^2}$. $\frac{dU_3}{dx} = \frac{U_0 x}{a^2} e^{-(x/a)^2} [1 - (x/a)^2]$. $x=0, a, -a$ पर $F=0$ है। ऊर्जा $U_0/4$ के लिए, यह $x=a$ या $x=-a$ के परितः दोलन कर सकता है। अतः $(C) \rightarrow (P, Q, R, T)$.
$(D)$ के लिए: $U_4(x) = \frac{U_0}{2} [x/a - 1/3(x/a)^3]$. $\frac{dU_4}{dx} = \frac{U_0}{2a} [1 - (x/a)^2]$. $x=a, -a$ पर $F=0$ है। $|x| < a$ के लिए, यह $x=0$ की ओर आकर्षक है। अतः $(D) \rightarrow (P, R, S)$.

(D) मान लीजिए कि हूप का शीर्ष गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के लिए संदर्भ स्तर $(U_g = 0)$ है।
शीर्ष पर,स्प्रिंग $x_i = 2R - R = R$ खिंची हुई है। प्रारंभिक ऊर्जा $E_i = U_{g,i} + U_{s,i} + K_i = 0 + \frac{1}{2}kR^2 + 0 = \frac{1}{2}kR^2$ है।
जब स्प्रिंग की लंबाई $R$ होती है,तो मनका ऊर्ध्वाधर से $\theta = 60^\circ$ के कोण पर होता है,क्योंकि नीचे से दूरी $R$ है और त्रिज्या $R$ है,जो एक समबाहु त्रिभुज बनाती है।
शीर्ष से मनके की ऊँचाई $h = R + R \cos 60^\circ = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ है।
इस बिंदु पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_{g,f} = -mg(\frac{3R}{2})$ है।
स्प्रिंग अपनी प्राकृतिक लंबाई पर है,इसलिए $U_{s,f} = 0$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}mv^2$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $E_i = E_f \implies \frac{1}{2}kR^2 = -\frac{3mgR}{2} + \frac{1}{2}mv^2$।
$2/m$ से गुणा करने पर: $\frac{kR^2}{m} = -3gR + v^2$।
अतः,$v = \sqrt{3gR + \frac{kR^2}{m}}$।

(A) $1$. गोलक $B$ से टकराने से ठीक पहले गोलक $A$ का वेग:
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, ऊँचाई में परिवर्तन $h = R - R \cos(60^{\circ}) = R - R/2 = R/2$ है।
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2g(R/2)} = \sqrt{gR}$.
$2$. मान लीजिए $u = \sqrt{gR}$ टक्कर से ठीक पहले $A$ का वेग है।
मान लीजिए $v_1$ और $v_2$ प्रत्यास्थ टक्कर के बाद क्रमशः $A$ और $B$ के वेग हैं।
$3$. संवेग संरक्षण के नियम $(COM)$ के अनुसार:
$mu = mv_1 + (m/2)v_2$
$u = v_1 + v_2/2$
$2u = 2v_1 + v_2$ --- $(i)$
$4$. प्रत्यास्थ टक्कर के लिए, प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$:
$e = (v_2 - v_1) / u = 1$
$v_2 - v_1 = u$ --- (ii)
$5$. समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
(ii) से, $v_2 = u + v_1$.
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2u = 2v_1 + (u + v_1)$
$2u = 3v_1 + u$
$u = 3v_1$
$v_1 = u/3 = \frac{1}{3} \sqrt{gR}$.

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,जब ब्लॉक एक साथ चलते हैं तो द्रव्यमान केंद्र का वेग $(v_{cm})$ इस प्रकार दिया जाता है:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_{cm}$
$10 \times 3 + 5 \times 0 = (10 + 5) v_{cm}$
$30 = 15 v_{cm} \Rightarrow v_{cm} = 2 \ m/s$
स्प्रिंग में संचित ऊर्जा टक्कर के दौरान गतिज ऊर्जा में हुई हानि के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} kx^2 = K_i - K_f$
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 - \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{cm}^2$
$\frac{1}{2} (3000) x^2 = \frac{1}{2} (10) (3)^2 - \frac{1}{2} (15) (2)^2$
$1500 x^2 = 45 - 30$
$1500 x^2 = 15$
$x^2 = \frac{15}{1500} = \frac{1}{100}$
$x = 0.1 \ m$

(B) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 5 \ kg$
त्वरण $a = 2 \ m/s^2$
समय $t = 3 \ s$
प्रारंभिक वेग $u = 0$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$
चरण $1$: डोरी में तनाव $T$ की गणना करें।
चूंकि लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरित हो रही है,तनाव $T$ का मान होगा:
$T = m(g + a)$
$T = 5(10 + 2) = 5(12) = 60 \ N$
चरण $2$: $3 \ s$ में ब्लॉक के विस्थापन $S$ की गणना करें।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$S = 0(3) + \frac{1}{2}(2)(3)^2$
$S = 0 + 1(9) = 9 \ m$
चरण $3$: तनाव बल द्वारा किए गए कार्य की गणना करें।
कार्य $W = T \cdot S \cdot \cos(\theta)$
चूंकि तनाव बल विस्थापन की दिशा में कार्य करता है,$\theta = 0^{\circ}$,इसलिए $\cos(0^{\circ}) = 1$ होगा।
$W = (60 \ N)(9 \ m)(1) = 540 \ J$

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \ kg$,अनुप्रयुक्त बल $F = 18 \ N$,गतिज घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.2$,समय $t = 10 \ s$,प्रारंभिक वेग $u = 0 \ m/s$.
$1$. गतिज घर्षण बल $f$ की गणना करें:
$f = \mu_k \cdot N = \mu_k \cdot mg = 0.2 \times 4 \times 10 = 8 \ N$.
$2$. पिंड का कुल त्वरण $a$ ज्ञात करें:
$F_{net} = F - f = 18 - 8 = 10 \ N$.
$a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{10}{4} = 2.5 \ m/s^2$.
$3$. $10 \ s$ में विस्थापन $S$ की गणना करें:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2.5 \times (10)^2 = 0.5 \times 2.5 \times 100 = 125 \ m$.
$4$. अनुप्रयुक्त बल द्वारा किया गया कार्य $W$ ज्ञात करें:
$W = F \cdot S \cdot \cos(0^\circ) = 18 \times 125 \times 1 = 2250 \ J$.

(A) दिया गया वेग नियम $v = k\sqrt{S}$ है।
हम जानते हैं कि त्वरण $a = v \frac{dv}{dS}$ होता है।
$v$ का $S$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dv}{dS} = k \cdot \frac{1}{2\sqrt{S}} = \frac{k^2}{2v}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = v \cdot \frac{k^2}{2v} = \frac{k^2}{2}$।
चूँकि त्वरण नियत है,हम गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग कर सकते हैं। विरामावस्था से शुरू करने पर $(u=0)$,$v = \frac{k^2 t}{2}$ प्राप्त होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K.E. = \frac{1}{2}mv^2 - 0$।
$v$ का मान रखने पर: $W = \frac{1}{2}m \left(\frac{k^2 t}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{k^4 t^2}{4}\right) = \frac{1}{8}mk^4 t^2$।

(B) वृत्तीय गति में,अभिकेंद्री बल वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है,जो हमेशा पिंड के तात्कालिक वेग (विस्थापन सदिश) के लंबवत होता है। चूंकि किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d cos( \theta)$ होता है और यहाँ $ \theta = 90^{\circ}$ है,इसलिए अभिकेंद्री बल द्वारा किया गया कार्य $W_c = 0$ होता है।
स्पर्शरेखीय बल वृत्तीय पथ की स्पर्शरेखा के अनुदिश कार्य करता है,जो तात्कालिक वेग (या विस्थापन) की दिशा में होता है। इसलिए,स्पर्शरेखीय बल और विस्थापन के बीच का कोण $0^{\circ}$ है। चूंकि $cos(0^{\circ}) = 1$ होता है,इसलिए स्पर्शरेखीय बल द्वारा किया गया कार्य $W_t = F_t \cdot d $ होता है।

(C) कथन $A$ गलत है क्योंकि,परिभाषा के अनुसार,एक अप्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा का ह्रास होता है।
कथन $B$ सही है क्योंकि,रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाहरी बल शून्य है,तो निकाय का कुल रैखिक संवेग स्थिर रहता है।
अतः,$A$ गलत है और $B$ सही है।

(D) पूर्व की ओर गति करने वाले कण का संवेग $\vec{p_1} = mv \hat{i}$ है।
उत्तर की ओर गति करने वाले कण का संवेग $\vec{p_2} = mv \hat{j}$ है।
मान लीजिए कि टक्कर के बाद $2m$ द्रव्यमान के संयुक्त कण का वेग $\vec{V'} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$\vec{p_1} + \vec{p_2} = \vec{p_{final}}$।
$mv \hat{i} + mv \hat{j} = (2m) \vec{V'}$।
$2m$ से भाग देने पर,हमें $\vec{V'} = \frac{v}{2} \hat{i} + \frac{v}{2} \hat{j}$ प्राप्त होता है।
परिणामी वेग का परिमाण $V' = \sqrt{(\frac{v}{2})^2 + (\frac{v}{2})^2} = \sqrt{\frac{v^2}{4} + \frac{v^2}{4}} = \sqrt{\frac{v^2}{2}} = \frac{v}{\sqrt{2}}$ होगा।

(B) जमीन से टकराने से ठीक पहले गेंद का वेग $v_1 = \sqrt{2gh_1}$ है।
टकराने के तुरंत बाद गेंद का वेग $v_2 = \sqrt{2gh_2}$ है।
वेग में हुई कमी $\Delta v = v_1 - v_2$ है।
वेग में कमी का अनुपात $\frac{\Delta v}{v_1} = \frac{v_1 - v_2}{v_1} = 1 - \frac{v_2}{v_1}$ द्वारा दिया जाता है।
$v_1$ और $v_2$ के व्यंजक रखने पर,हमें $\frac{\Delta v}{v_1} = 1 - \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $h_1 = 5 \ m$ और $h_2 = 1.8 \ m$ दिया गया है,इसलिए $\frac{\Delta v}{v_1} = 1 - \sqrt{\frac{1.8}{5}} = 1 - \sqrt{0.36} = 1 - 0.6 = 0.4$ होता है।
$0.4$ को भिन्न में बदलने पर,हमें $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।

(B) गेंद द्वारा तय की गई कुल ऊर्ध्वाधर दूरी $(s+h)$ है।
चूंकि गेंद विरामावस्था से शुरू होती है,इसलिए गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी $mg(s+h)$ है।
जब स्प्रिंग $h$ दूरी तक दब जाती है,तो यह ऊर्जा स्प्रिंग में प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाती है।
स्प्रिंग में संचित प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $\frac{1}{2} kh^2$ द्वारा दी जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गेंद की स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है:
$mg(s+h) = \frac{1}{2} kh^2$
स्प्रिंग नियतांक $k$ के लिए हल करने पर:
$k = \frac{2mg(s+h)}{h^2}$

(D) $m$ द्रव्यमान और $p$ संवेग वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $K$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$K = \frac{p^2}{2m}$
संवेग के लिए इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p = \sqrt{2mK}$
चूंकि दोनों पिंडों के लिए गतिज ऊर्जा $K$ समान है,इसलिए संवेग $p$ द्रव्यमान के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है:
$p \propto \sqrt{m}$
चूंकि भारी पिंड का द्रव्यमान $m$ हल्के पिंड की तुलना में अधिक होता है,इसलिए इसका संवेग $p$ भी अधिक होगा।

(B) नियत बल $\vec{F}$ द्वारा किया गया कार्य $W$,बल और विस्थापन के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है: $W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $W = (3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k})$.
$W = (3 \times 2) + (-2 \times -3) + (-1 \times -3) = 6 + 6 + 3 = 15 \text{ J}$.
शक्ति $P$ को कार्य करने की दर के रूप में परिभाषित किया गया है: $P = \frac{W}{t}$.
यहाँ $t = 2 \text{ s}$ दिया गया है,इसलिए $P = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ W}$.
अतः,किया गया कार्य $15 \text{ J}$ और शक्ति $7.5 \text{ W}$ है।

(C) दोनों पिंडों पर लगाया गया आवेग $J = F \cdot t$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि दोनों पिंड विरामावस्था से शुरू होते हैं,इसलिए आवेग प्रत्येक पिंड के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
अतः,$p_{1} = p_{2} = F \cdot t$.
$m$ द्रव्यमान और $p$ संवेग वाले पिंड की गतिज ऊर्जा $E = \frac{p^{2}}{2m}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$E_{1} = \frac{p_{1}^{2}}{2m_{1}}$ और $E_{2} = \frac{p_{2}^{2}}{2m_{2}}$.
अनुपात लेने पर,हमें $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{p_{1}^{2} / 2m_{1}}{p_{2}^{2} / 2m_{2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p_{1} = p_{2}$,इसलिए अनुपात सरल होकर $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$ हो जाता है।

(C) जब ब्लॉक $A$, $u = 0.15 \,ms^{-1}$ के वेग से चलता है, तो यह स्प्रिंग को संकुचित करता है, जो ब्लॉक $B$ को दाईं ओर धकेलता है। स्प्रिंग तब तक संकुचित होती रहती है जब तक कि दोनों ब्लॉकों का वेग समान न हो जाए। मान लीजिए कि यह सामान्य वेग $v$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_A u = (m_A + m_B) v$
$v = \frac{m_A u}{m_A + m_B} = \frac{2 \times 0.15}{2 + 3} = \frac{0.3}{5} = 0.06 \,ms^{-1}$
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, ब्लॉक $A$ की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा निकाय की अंतिम गतिज ऊर्जा और अधिकतम संपीड़न $x$ पर स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2} m_A u^2 = \frac{1}{2} (m_A + m_B) v^2 + \frac{1}{2} k x^2$
$\frac{1}{2} \times 2 \times (0.15)^2 = \frac{1}{2} \times (2 + 3) \times (0.06)^2 + \frac{1}{2} \times 10.8 \times x^2$
$0.0225 = 5 \times 0.0018 + 5.4 x^2$
$0.0225 = 0.009 + 5.4 x^2$
$5.4 x^2 = 0.0135$
$x^2 = \frac{0.0135}{5.4} = 0.0025$
$x = \sqrt{0.0025} = 0.05 \,m$

(B) $\text{दिया गया है: गेंद का द्रव्यमान } m = 0.2 \,kg, \text{ऊँचाई } h = 10 \,m, \text{गुरुत्वीय त्वरण } g = 10 \,ms^{-2} \text{ है।}
\text{फर्श पर टकराने से ठीक पहले कुल ऊर्जा } E_i = \frac{1}{2}mu^2 + mgh \text{ है।}
\text{टकराव के बाद, गेंद अपनी } 50 \%$ $\text{ऊर्जा खो देती है, इसलिए शेष ऊर्जा } E_f = \frac{E_i}{2} \text{ है।}
\text{गेंद वापस उसी ऊँचाई } h \text{ तक ऊपर उठती है, जिसका अर्थ है कि शीर्ष पर इसकी स्थितिज ऊर्जा } mgh \text{ है।}
\text{शेष ऊर्जा को शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर करने पर: } \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mu^2 + mgh) = mgh.
\frac{1}{2}mu^2 + mgh = 2mgh.
\frac{1}{2}mu^2 = mgh.
u^2 = 2gh.
u = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14.14 \,ms^{-1}.
\text{दिए गए विकल्पों के अनुसार, प्रारंभिक वेग } 14 \,ms^{-1} \text{ है।}$

(C) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 7 \text{ m/s}$, प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 0.75$, गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \text{ m/s}^2$.
प्रारंभिक ऊँचाई $H = \frac{u^2}{2g} = \frac{7^2}{2 \times 10} = \frac{49}{20} = 2.45 \text{ m}$.
गेंद $v_1 = eu = 0.75 \times 7 = 5.25 \text{ m/s}$ के वेग से वापस उछलती है।
पहले उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई $H_1 = \frac{v_1^2}{2g} = e^2 H = (0.75)^2 \times 2.45 = 0.5625 \times 2.45 = 1.378125 \text{ m}$.
गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी $S = H + 2H_1 + 2H_2 + \dots = H + 2(e^2H + e^4H + \dots) = H(1 + 2e^2(1 + e^2 + e^4 + \dots))$.
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करने पर, $S = H(1 + 2e^2(\frac{1}{1-e^2})) = H(\frac{1-e^2+2e^2}{1-e^2}) = H(\frac{1+e^2}{1-e^2})$.
मान रखने पर: $S = 2.45 \times \frac{1 + (0.75)^2}{1 - (0.75)^2} = 2.45 \times \frac{1 + 0.5625}{1 - 0.5625} = 2.45 \times \frac{1.5625}{0.4375} = 2.45 \times 3.5714 = 8.75 \text{ m}$.

(B) दिया गया है: गोली का द्रव्यमान $m_b = 0.03 \,kg$, प्रारंभिक वेग $v_b = 700 \,ms^{-1}$। ब्लॉक का द्रव्यमान $m_B = 4 \,kg$, ऊंचाई $h = 0.2 \,m$।
निकाय का प्रारंभिक संवेग $= m_b v_b = 0.03 \times 700 = 21 \,kg \cdot ms^{-1}$।
मान लीजिए टक्कर के बाद गोली का वेग $v_1$ और ब्लॉक का वेग $v_2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $21 = 0.03 v_1 + 4 v_2$ ... $(i)$
ब्लॉक के लिए, ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2} m_B v_2^2 = m_B g h$।
$v_2 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.2} = \sqrt{3.92} \approx 1.98 \,ms^{-1}$।
$v_2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर: $21 = 0.03 v_1 + 4(1.98)$।
$21 = 0.03 v_1 + 7.92$।
$0.03 v_1 = 13.08$।
$v_1 = \frac{13.08}{0.03} = 436 \,ms^{-1}$।
दिए गए विकल्पों के निकटतम मान के अनुसार, गोली का वेग लगभग $433 \,ms^{-1}$ है।

(D) एक प्रत्यास्थ टक्कर में,कुल गतिज ऊर्जा केवल टक्कर से पहले और बाद में संरक्षित रहती है। टक्कर के अल्प समय के दौरान,गेंदों के आकार में विरूपण होता है और गतिज ऊर्जा का एक हिस्सा प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है। अतः,संपर्क समय के दौरान गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।
इसलिए,कथन $(A)$ असत्य है।
ऊर्जा संरक्षण का नियम एक सार्वभौमिक नियम है जो सभी भौतिक प्रक्रियाओं पर लागू होता है,जिसमें घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य भी शामिल है (जहाँ ऊर्जा ऊष्मा में परिवर्तित हो जाती है)। इसलिए,कारण $(R)$ भी असत्य है।
चूंकि दोनों कथन गलत हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(B) दिया गया है:
गोली का द्रव्यमान,$m = 0.01 \,kg$
गोली की प्रारंभिक गति,$u = 500 \,ms^{-1}$
ब्लॉक का द्रव्यमान,$M = 2 \,kg$
ब्लॉक की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई,$h = 0.1 \,m$
मान लीजिए कि ब्लॉक से बाहर निकलने के बाद गोली की गति $v_b$ है और टक्कर के तुरंत बाद ब्लॉक का वेग $V$ है।
टक्कर के बाद ब्लॉक पर ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$\frac{1}{2} M V^2 = Mgh$
$V = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.1} = \sqrt{1.96} = 1.4 \,ms^{-1}$
टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$m u = m v_b + M V$
$0.01 \times 500 = (0.01 \times v_b) + (2 \times 1.4)$
$5 = 0.01 v_b + 2.8$
$0.01 v_b = 5 - 2.8 = 2.2$
$v_b = \frac{2.2}{0.01} = 220 \,ms^{-1}$
अतः,ब्लॉक से बाहर निकलने के बाद गोली की गति $220 \,ms^{-1}$ है।

(B) माना द्रव्यमान $m_P = 3m$,$m_R = 2m$,और $m_Q = 3m$ हैं। कण $R$,$v$ वेग से $Q$ की ओर गति करता है।
$1$. $R$ और $Q$ के बीच पहली टक्कर:
टक्कर के बाद वेग के लिए प्रत्यास्थ टक्कर का सूत्र उपयोग करने पर: $v_1' = \frac{(m_1-m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1+m_2}$ और $v_2' = \frac{(m_2-m_1)v_2 + 2m_1v_1}{m_1+m_2}$.
$R$ और $Q$ के लिए $(m_R=2m, m_Q=3m)$: $v_R' = \frac{(2m-3m)v + 0}{2m+3m} = -v/5$ और $v_Q' = \frac{(3m-2m)0 + 2(2m)v}{2m+3m} = 4v/5$.
$2$. अब $R$,$-v/5$ वेग से $P$ $(m_P=3m)$ की ओर गति करता है:
$R$ और $P$ के लिए $(m_R=2m, m_P=3m)$: $v_R'' = \frac{(2m-3m)(-v/5) + 0}{2m+3m} = v/25$ और $v_P'' = \frac{(3m-2m)0 + 2(2m)(-v/5)}{2m+3m} = -4v/25$.
चूंकि $v_R''$ धनात्मक है और $v_Q'$ भी धनात्मक है $(4v/5 > v/25)$,इसलिए $R$ कभी भी $Q$ को दोबारा नहीं पकड़ पाएगा। साथ ही,$P$ ऋणात्मक दिशा में गति करता है,इसलिए आगे कोई टक्कर नहीं होगी।
कुल टक्कर = $3$।

(C) मान लीजिए कि दोनों वस्तुओं का द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभ में,वस्तु $A$ का संवेग $P$ है,इसलिए इसका वेग $v_A = P/m$ है। वस्तु $B$ स्थिर है,इसलिए $v_B = 0$ है।
टक्कर के दौरान,वस्तु $A$,वस्तु $B$ पर $J$ आवेग लगाती है। न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,वस्तु $B$,वस्तु $A$ पर समान और विपरीत दिशा में $J$ आवेग लगाती है।
कथन $(b)$ सही है क्योंकि $B$ द्वारा $A$ पर लगाया गया आवेग,$A$ द्वारा $B$ पर लगाए गए आवेग के परिमाण में बराबर होता है।
टक्कर के बाद,$B$ का संवेग $P_B = J$ हो जाता है,इसलिए इसका वेग $v_B' = J/m$ है।
$A$ का संवेग $P_A' = P - J$ हो जाता है,इसलिए इसका वेग $v_A' = (P - J)/m$ है।
प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के सापेक्ष वेग और निकट आने के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$e = \frac{v_B' - v_A'}{v_A - v_B} = \frac{\frac{J}{m} - \frac{P-J}{m}}{\frac{P}{m} - 0} = \frac{2J - P}{P} = \frac{2J}{P} - 1$.
अतः,कथन $(c)$ भी सही है।
इसलिए,कथन $(b)$ और $(c)$ सही हैं।

(C) जब एक गेंद को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है, तो जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t_0 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है और टकराने से ठीक पहले की चाल $v_0 = \sqrt{2gh}$ है。
पहली टक्कर के बाद, इसकी चाल $v_1 = ev_0 = e\sqrt{2gh}$ हो जाती है, जहाँ $e$ प्रत्यावस्थान गुणांक है。
गेंद ऊपर जाती है और $t_1 = \frac{v_1}{g}$ समय पर रुकती है। फिर यह वापस जमीन पर आती है, जिसमें समान समय $t_1$ लगता है। इस प्रकार, पहली और दूसरी टक्कर के बीच का समय $2t_1 = \frac{2v_1}{g}$ है。
उछलना बंद करने से पहले कुल समय $T$:
$T = t_0 + 2t_1 + 2t_2 + \dots = \sqrt{\frac{2h}{g}} \left( \frac{1+e}{1-e} \right)$.
दिया है $h = 180 \,m$, $g = 10 \,ms^{-2}$, और $e = 0.5$:
$T = \sqrt{\frac{2 \times 180}{10}} \left( \frac{1+0.5}{1-0.5} \right) = 6 \times 3 = 18 \,s$.
कुल तय की गई दूरी $H$:
$H = h + 2h_1 + 2h_2 + \dots = h \left( \frac{1+e^2}{1-e^2} \right) = 180 \left( \frac{1 + 0.25}{1 - 0.25} \right) = 300 \,m$.
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{300}{18} = \frac{50}{3} \,ms^{-1}$.
औसत वेग $= \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{180}{18} = 10 \,ms^{-1}$.

(C) माना गोली का द्रव्यमान $m = 10 \ g = 0.01 \ kg$,प्लेट $A$ का द्रव्यमान $M_A = 500 \ g = 0.5 \ kg$,और प्लेट $B$ का द्रव्यमान $M_B = 1.49 \ kg$ है।
माना गोली का प्रारंभिक वेग $u$ है और प्लेट $A$ से गुजरने के बाद उसका वेग $v_1$ है।
माना गोली के गुजरने के बाद प्लेट $A$ का वेग $v_A$ है और गोली के प्लेट $B$ में धंसने के बाद प्लेट $B$ का वेग $v_B$ है।
प्रश्न के अनुसार,$v_A = v_B = v$ है।
प्लेट $A$ के लिए,रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$m u = m v_1 + M_A v \Rightarrow m(u - v_1) = M_A v \quad ... (1)$
प्लेट $B$ के लिए,रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से:
$m v_1 = (m + M_B) v \Rightarrow v = \frac{m v_1}{m + M_B} \quad ... (2)$
समीकरण $(2)$ से $v$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$m(u - v_1) = M_A \left( \frac{m v_1}{m + M_B} \right)$
$u - v_1 = v_1 \left( \frac{M_A}{m + M_B} \right)$
$u = v_1 \left( 1 + \frac{M_A}{m + M_B} \right) = v_1 \left( \frac{m + M_B + M_A}{m + M_B} \right)$
$v_1 = u \left( \frac{m + M_B}{m + M_B + M_A} \right) = u \left( \frac{0.01 + 1.49}{0.01 + 1.49 + 0.5} \right) = u \left( \frac{1.5}{2.0} \right) = 0.75 u = \frac{3}{4} u$ है।
गोली की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m u^2$ है।
प्लेट $A$ से गुजरने के बाद गोली की गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m \left( \frac{3}{4} u \right)^2 = \frac{9}{16} K_i$ है।
गतिज ऊर्जा में प्रतिशत हानि:
$\text{प्रतिशत हानि} = \frac{K_i - K_f}{K_i} \times 100 = \left( 1 - \frac{9}{16} \right) \times 100 = \frac{7}{16} \times 100 = 43.75 \%$ है।

(D) माना गेंद का द्रव्यमान $m$ है, ऊँचाई $h = 40 \,m$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$ है।
जमीन से टकराने से ठीक पहले कुल यांत्रिक ऊर्जा $E_i = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$ है।
अपनी ऊर्जा का $\frac{1}{3}$ हिस्सा खोने के बाद, शेष ऊर्जा $E_f = \frac{2}{3}E_i$ है।
यह शेष ऊर्जा उसी ऊँचाई $h$ तक वापस उछलने के लिए उपयोग की जाती है, इसलिए वापस उछलते समय अधिकतम ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $mgh$ है।
ऊर्जा को बराबर करने पर: $\frac{2}{3}(\frac{1}{2}mv^2 + mgh) = mgh$.
$m$ से विभाजित करने पर: $\frac{2}{3}(\frac{1}{2}v^2 + gh) = gh$.
$\frac{1}{3}v^2 + \frac{2}{3}gh = gh$.
$\frac{1}{3}v^2 = gh - \frac{2}{3}gh = \frac{1}{3}gh$.
$v^2 = gh$.
$v = \sqrt{10 \times 40} = \sqrt{400} = 20 \,m/s$.

(D) प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के सापेक्ष वेग और उपगमन के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$e = \frac{v_{\text{sep}}}{v_{\text{app}}}$
पहली टक्कर के लिए,हमें दिया गया है कि उपगमन का सापेक्ष वेग,पृथक्करण के सापेक्ष वेग का दोगुना है:
$v_{\text{app}, 1} = 2 v_{\text{sep}, 1} \implies e_1 = \frac{v_{\text{sep}, 1}}{v_{\text{app}, 1}} = \frac{1}{2}$
हमें प्रत्यावस्थान गुणांकों का अनुपात $e_1 : e_2 = 3 : 1$ दिया गया है,जिसका अर्थ है:
$e_2 = \frac{e_1}{3} = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$
चूंकि $e_2 = \frac{v_{\text{sep}, 2}}{v_{\text{app}, 2}} = \frac{1}{6}$,इसलिए दूसरी टक्कर में उपगमन के सापेक्ष वेग और पृथक्करण के सापेक्ष वेग का अनुपात है:
$\frac{v_{\text{app}, 2}}{v_{\text{sep}, 2}} = \frac{1}{e_2} = 6 = 6: 1$

(B) प्रारंभिक संवेग $p_i = 24 \ kg \ m \ s^{-1}$ है।
द्रव्यमान $m = 8 \ kg$ है।
प्रारंभिक वेग $v_i = \frac{p_i}{m} = \frac{24}{8} = 3 \ m \ s^{-1}$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \times 8 \times (3)^2 = 4 \times 9 = 36 \ J$ है।
आवेग $J = F \times \Delta t = 24 \times 3 = 72 \ N \ s$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p = J = p_f - p_i$ है।
अंतिम संवेग $p_f = p_i + J = 24 + 72 = 96 \ kg \ m \ s^{-1}$ है।
अंतिम वेग $v_f = \frac{p_f}{m} = \frac{96}{8} = 12 \ m \ s^{-1}$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \times 8 \times (12)^2 = 4 \times 144 = 576 \ J$ है।
गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta K = K_f - K_i = 576 - 36 = 540 \ J$ है।

(A) चरण $1$: $m$ द्रव्यमान की गोली $M_1$ से टकराती है और उसमें धंस जाती है। यह एक पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m v = (m + M_1) v_1$
जहाँ $v_1$ पहली टक्कर के बाद $(m + M_1)$ सिस्टम का वेग है।
$v_1 = \frac{m v}{m + M_1}$
चरण $2$: अब $(m + M_1)$ सिस्टम $v_1$ वेग के साथ गति करता है और $M_2$ से प्रत्यास्थ रूप से टकराता है,जो शुरू में स्थिर है $(u_2 = 0)$।
दो द्रव्यमानों $m_A$ और $m_B$ के बीच प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,जहाँ $m_B$ शुरू में स्थिर है,$m_B$ का अंतिम वेग $v_B$ इस प्रकार दिया जाता है:
$v_B = \frac{2 m_A}{m_A + m_B} u_A$
यहाँ,$m_A = (m + M_1)$,$m_B = M_2$,और $u_A = v_1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v_2 = \frac{2(m + M_1)}{(m + M_1) + M_2} v_1$
$v_2 = \frac{2(m + M_1)}{m + M_1 + M_2} \cdot \frac{m v}{m + M_1}$
$v_2 = \frac{2 m v}{m + M_1 + M_2}$
अतः,टक्कर के बाद $M_2$ का वेग $\frac{2 m v}{M_1 + M_2 + m}$ है।

(B) प्रारंभिक द्रव्यमान $M = 8 \ kg$,प्रारंभिक वेग $u = 2 \ m/s$ है। प्रारंभिक संवेग $P_i = M \cdot u = 8 \times 2 = 16 \ kg \cdot m/s$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} M u^2 = \frac{1}{2} \times 8 \times 2^2 = 16 \ J$ है। विस्फोट के बाद,पिंड $m = 4 \ kg$ के दो समान भागों में विभाजित हो जाता है। मान लीजिए उनके वेग $v_1$ और $v_2$ हैं। संवेग संरक्षण के नियम से: $m v_1 + m v_2 = P_i \implies 4(v_1 + v_2) = 16 \implies v_1 + v_2 = 4$। अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = K_i + \Delta E = 16 + 16 = 32 \ J$ है। साथ ही,$K_f = \frac{1}{2} m v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} \times 4 \times (v_1^2 + v_2^2) = 2(v_1^2 + v_2^2) = 32 \implies v_1^2 + v_2^2 = 16$। $v_1 + v_2 = 4$ और $v_1^2 + v_2^2 = 16$ को हल करने पर: $(v_1 + v_2)^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2 v_1 v_2 \implies 16 = 16 + 2 v_1 v_2 \implies v_1 v_2 = 0$। इसका अर्थ है कि या तो $v_1 = 0$ या $v_2 = 0$ है। यदि $v_1 = 0$ है,तो $v_2 = 4 \ m/s$ होगा। अतः,एक भाग स्थिर हो जाता है और दूसरा भाग मूल पिंड की दिशा में गति करता है।

(D) माना द्रव्यमान $m_1 = m$ और $m_2 = 4m$ हैं। दोनों पर समान बल $F$ लगाया जाता है।
पहली वस्तु का त्वरण: $a_1 = F/m$.
दूसरी वस्तु का त्वरण: $a_2 = F/(4m) = a_1/4$.
चूंकि वे विरामावस्था से शुरू होती हैं,$t$ समय बाद उनका वेग $v = at$ होगा।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(at)^2 = \frac{1}{2}ma^2t^2$.
पहली वस्तु के लिए: $K_1 = \frac{1}{2}m(a_1)^2t_1^2$.
दूसरी वस्तु के लिए: $K_2 = \frac{1}{2}(4m)(a_2)^2t_2^2 = \frac{1}{2}(4m)(a_1/4)^2t_2^2 = \frac{1}{2}(4m)(a_1^2/16)t_2^2 = \frac{1}{2}m(a_1^2/4)t_2^2$.
दिया गया है कि $K_1 = K_2$,इसलिए $\frac{1}{2}m a_1^2 t_1^2 = \frac{1}{2}m (a_1^2/4) t_2^2$.
सरल करने पर,$t_1^2 = t_2^2/4$,जिसका अर्थ है $t_1^2/t_2^2 = 1/4$.
अतः,$t_1/t_2 = 1/2$.

(D) पिंड $A$ के लिए:
अधिकतम ऊँचाई $H_{\max} = \frac{u^2}{2g}$.
दिया गया है $m_A = 2m$, $u_A = u$.
विचारणीय ऊँचाई $h = \frac{H_{\max}}{2} = \frac{u^2}{4g}$ है।
ऊँचाई $h$ पर पिंड $A$ के लिए ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$(KE)_A = \text{कुल ऊर्जा} - (PE)_A = \frac{1}{2} m_A u_A^2 - m_A gh = \frac{1}{2}(2m)u^2 - (2m)g\left(\frac{u^2}{4g}\right) = mu^2 - \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mu^2$.
पिंड $B$ के लिए:
दिया गया है $m_B = m$, $u_B = 2u$.
ऊँचाई $h = \frac{u^2}{4g}$ पर पिंड $B$ की स्थितिज ऊर्जा:
$(PE)_B = m_B gh = m g \left(\frac{u^2}{4g}\right) = \frac{1}{4}mu^2$.
$(KE)_A$ और $(PE)_B$ का अनुपात:
$\frac{(KE)_A}{(PE)_B} = \frac{\frac{1}{2}mu^2}{\frac{1}{4}mu^2} = 2:1$.

(A) मान लीजिए कि दोनों वाहनों का संवेग $p$ है। ब्रेकिंग बल $F$ दोनों के लिए समान है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,ब्रेकिंग बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$|W| = |\Delta K|$
$F \cdot S = \frac{p^2}{2m}$
इस प्रकार,रुकने की दूरी $S = \frac{p^2}{2mF}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $p$ और $F$ दोनों वाहनों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $S \propto \frac{1}{m}$ है।
अतः,ट्रक द्वारा तय की गई दूरी $(S_T)$ और कार द्वारा तय की गई दूरी $(S_C)$ का अनुपात है:
$\frac{S_T}{S_C} = \frac{m_C}{m_T} = \frac{M/10}{M} = \frac{1}{10}$.
इसलिए,अनुपात $1: 10$ है।

(C) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रक्षेपण बिंदु पर कुल यांत्रिक ऊर्जा जमीन के स्तर पर कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होती है।
$E_{initial} = E_{final}$
$K_i + U_i = K_f + U_f$
यहाँ,$K_i = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times (4)^2 = \frac{1}{2} \times 25 \times 16 = 200 \,J$.
$U_i = mgh = 25 \times 10 \times 2 = 500 \,J$.
जमीन पर,$U_f = 0$.
अतः,$200 + 500 = K_f + 0$.
$K_f = 700 \,J$.

(B) दिया गया है: पिंड $A$ का द्रव्यमान $(m_A = 20 \ kg)$,पिंड $B$ का द्रव्यमान $(m_B = 5 \ kg)$,बल $(F = 40 \ N)$।
चूंकि दोनों पिंड विराम अवस्था से शुरू होते हैं,उनकी गतिज ऊर्जा $K_A = K_B = K$ है।
गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{p^2}{2m}$ है,जहाँ $p$ संवेग है।
चूंकि $K_A = K_B$,इसलिए $\frac{p_A^2}{2m_A} = \frac{p_B^2}{2m_B} \implies \frac{p_A}{p_B} = \sqrt{\frac{m_A}{m_B}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$.
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,$F \cdot t = \Delta p$। प्रारंभिक संवेग शून्य है,इसलिए $p = F \cdot t$।
अतः,$\frac{p_A}{p_B} = \frac{F \cdot t_A}{F \cdot t_B} = \frac{t_A}{t_B}$।
इसलिए,$\frac{t_A}{t_B} = 2$,जिसका अर्थ है $t_A: t_B = 2: 1$।

(B) कुएं की त्रिज्या $r = 1 \ m$ और गहराई $h = 14 \ m$ है।
पानी का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi \times (1)^2 \times 14 = 14\pi \ m^3$.
पानी का द्रव्यमान $m = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = 1000 \ kg/m^3 \times 14\pi \ m^3 = 14000\pi \ kg$.
कुएं को खाली करने के लिए किया गया कार्य पानी की स्थितिज ऊर्जा के बराबर होता है,जहाँ द्रव्यमान केंद्र $h/2 = 7 \ m$ की गहराई पर है।
$W = mgh_{cm} = (14000\pi) \times 10 \times 7 = 980000\pi \ J$.
शक्ति $P = 1.4 \ kW = 1400 \ W$.
समय $t = W / P = (980000\pi) / 1400 = 700\pi \ s$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$t = 700 \times 3.14 = 2198 \ s \approx 2200 \ s$.

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,मंदक बल द्वारा किया गया कार्य पिंड की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K$
$F \cdot d = \frac{1}{2} m v^2$
चूंकि दोनों पिंडों के लिए मंदक बल $F$ समान है,इसलिए विराम अवस्था में आने से पहले तय की गई दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{m v^2}{2F}$
पिंड $A$ के लिए:
$d_A = \frac{m_A v_A^2}{2F} = \frac{1.5 \times (20)^2}{2F} = \frac{1.5 \times 400}{2F} = \frac{600}{2F}$
पिंड $B$ के लिए:
$d_B = \frac{m_B v_B^2}{2F} = \frac{3 \times (15)^2}{2F} = \frac{3 \times 225}{2F} = \frac{675}{2F}$
दूरियों का अनुपात है:
$\frac{d_A}{d_B} = \frac{600}{675} = \frac{24}{27} = \frac{8}{9}$
अतः,अनुपात $8: 9$ है।