Mix Examples-Work, Energy, Power and Collision Questions in Hindi

(C) मशीन द्वारा किया गया उपयोगी कार्य (ब्लॉक द्वारा प्राप्त स्थितिज ऊर्जा) दक्षता और इनपुट ऊर्जा के गुणनफल के बराबर होता है:
$U = \eta \times E_{\text{in}} = \frac{2}{3} \times 12 \text{ J} = 8 \text{ J}$.
चूँकि $U = mgh$,इसलिए $8 = 2 \times 10 \times h$,जिससे $h = \frac{8}{20} = 0.4 \text{ m}$ प्राप्त होता है।
जब ब्लॉक स्वतंत्र रूप से गिरता है,तो ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में हुई हानि गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$.
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 0.4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ m/s}$.

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,चित्र में दिखाए गए बिंदु $B$ पर:
स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ में हानि = गतिज ऊर्जा $(KE)$ में वृद्धि
$mg(H - h) = \frac{1}{2} mv^2$
$v = \sqrt{2g(H - h)}$
बिंदु $C$ छोड़ने के बाद,डिस्क $h$ ऊँचाई से प्रक्षेप्य गति करती है। जमीन तक पहुँचने में लगा समय:
$h = \frac{1}{2} gt^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
बिंदु $D$ से डिस्क द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $s$ है:
$s = v \times t = \sqrt{2g(H - h)} \times \sqrt{\frac{2h}{g}}$
$s = \sqrt{4h(H - h)} = 2\sqrt{hH - h^2}$
अधिकतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{ds}{dh} = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{hH - h^2}} \cdot (H - 2h) = 0$
$H - 2h = 0 \Rightarrow h = \frac{H}{2}$
$s$ के व्यंजक में $h = \frac{H}{2}$ का मान रखने पर:
$s_{max} = \sqrt{4 \cdot \frac{H}{2} \cdot (H - \frac{H}{2})} = \sqrt{2H \cdot \frac{H}{2}} = \sqrt{H^2} = H$

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K$.
दिया गया है,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = -25 \ J$ (क्योंकि इसमें कमी आई है)।
विस्थापन सदिश $\vec{r} = (3 \hat{i} - 4 \hat{\jmath}) \ m$ है।
विस्थापन का परिमाण $r = |\vec{r}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \ m$ है।
बल का परिमाण $F = 10 \ N$ है।
किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{r} = F r \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $-25 = 10 \times 5 \times \cos \theta$.
$-25 = 50 \cos \theta$.
$\cos \theta = -25 / 50 = -1/2$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(-1/2) = 120^{\circ}$।

(B) दिया गया है,वस्तु का द्रव्यमान $= M$.
रेत के फर्श से ऊँचाई $= h$.
रेत में तय की गई दूरी $= x$.
मान लीजिए कि वस्तु $v$ वेग से सतह से टकराती है।
गति के समीकरण के अनुसार,$v^2 = u^2 + 2gh$. चूँकि प्रारंभिक वेग $u = 0$ है,इसलिए $v^2 = 2gh$ ... $(i)$.
जब वस्तु रेत से होकर गुजरती है,तो $x$ दूरी तय करने के बाद वह स्थिर हो जाती है। मान लीजिए कि $F$ औसत प्रतिरोध बल है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,कुल बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
रेत के अंदर वस्तु पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($Mg$ नीचे की ओर) और प्रतिरोध ($F$ ऊपर की ओर) हैं।
कुल बल $= Mg - F$.
किया गया कार्य $= (Mg - F)x$.
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $= K_f - K_i = 0 - \frac{1}{2}Mv^2$.
दोनों को बराबर करने पर: $(Mg - F)x = -\frac{1}{2}Mv^2$.
$v^2 = 2gh$ का मान रखने पर: $(Mg - F)x = -\frac{1}{2}M(2gh) = -Mgh$.
$Mgx - Fx = -Mgh$.
$Fx = Mgx + Mgh$.
$F = Mg\left(\frac{x+h}{x}\right)$.

(B) मशीन द्वारा खर्च की गई कुल ऊर्जा $E = 100 \,J$ है।
चूंकि मशीन $70 \%$ कुशल है, इसलिए पिंड को ऊपर उठाने में किया गया उपयोगी कार्य (जो ऊंचाई पर स्थितिज ऊर्जा के रूप में संग्रहीत होता है) है:
$E^{\prime} = 100 \,J$ का $70 \% = \frac{70}{100} \times 100 = 70 \,J$।
जब पिंड को इस ऊंचाई से मुक्त किया जाता है, तो पिंड में संग्रहीत स्थितिज ऊर्जा नीचे गिरते समय गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
हवा के प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए, जमीन पर पहुँचने पर पिंड की गतिज ऊर्जा प्राप्त स्थितिज ऊर्जा के बराबर यानी $70 \,J$ होगी।

(A) जमीन पर वस्तु की प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा उसकी गतिज ऊर्जा है:
$E_i = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 2 \,kg \times (8 \,ms^{-1})^2 = 64 \,J$
अधिकतम ऊँचाई पर वस्तु की अंतिम यांत्रिक ऊर्जा उसकी स्थितिज ऊर्जा है:
$E_f = m g h = 2 \,kg \times 10 \,ms^{-2} \times 3 \,m = 60 \,J$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,वायु प्रतिरोध जैसे असंरक्षी बलों द्वारा किया गया कार्य यांत्रिक ऊर्जा में हुई हानि के बराबर होता है:
$W_{\text{air}} = E_i - E_f = 64 \,J - 60 \,J = 4 \,J$
अतः,वायु प्रतिरोध द्वारा किया गया कार्य $4 \,J$ है।

(A) $1$. प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु पर,गोली का ऊर्ध्वाधर वेग $0$ होता है। क्षैतिज वेग $v_x = u \cos \theta = 50 \cos \theta$ है।
$2$. टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम से: $m v_x = (m + 3m) V$,जहाँ $V$ टक्कर के तुरंत बाद संयुक्त द्रव्यमान का वेग है। अतः,$V = \frac{50 \cos \theta}{4} = 12.5 \cos \theta$ है।
$3$. टक्कर के बाद लोलक के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2} (4m) V^2 = (4m) g h$,जहाँ $h$ प्राप्त की गई ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है। ऊर्ध्वाधर के साथ $120^{\circ}$ के कोण के लिए,$h = L(1 - \cos 120^{\circ}) = L(1 - (-0.5)) = 1.5 L$ है।
$4$. $L = \frac{10}{3} \text{ m}$ रखने पर,$h = 1.5 \times \frac{10}{3} = 5 \text{ m}$ प्राप्त होता है।
$5$. $\frac{1}{2} V^2 = g h$ का उपयोग करने पर,$V^2 = 2 \times 10 \times 5 = 100$,इसलिए $V = 10 \text{ ms}^{-1}$ है।
$6$. $12.5 \cos \theta = 10$ को बराबर करने पर,$\cos \theta = \frac{10}{12.5} = 0.8$ प्राप्त होता है। अतः,$\theta = \cos^{-1}(0.8)$।

(A) चरण $1$: कार का अंतिम वेग $m/s$ में ज्ञात करें। $v = 43.2 \ km/h = 43.2 \times (5/18) \ m/s = 12 \ m/s$.
चरण $2$: कार की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन की गणना करें। $\Delta K = (1/2)mv^2 = 0.5 \times 1000 \ kg \times (12 \ m/s)^2 = 500 \times 144 = 72,000 \ J$.
चरण $3$: $20 \%$ दक्षता को ध्यान में रखते हुए पेट्रोल से आवश्यक कुल ऊर्जा की गणना करें। $\text{आवश्यक ऊर्जा} = \Delta K / \text{दक्षता} = 72,000 \ J / 0.20 = 360,000 \ J$.
चरण $4$: उपयोग किए गए पेट्रोल के आयतन की गणना करें। दिया गया है कि $1 \ litre = 1000 \ cm^3$ (या $cc$),$6 \times 10^7 \ J$ ऊर्जा प्रदान करता है। अतः,$1 \ cc$ ऊर्जा $(6 \times 10^7 \ J) / 1000 = 6 \times 10^4 \ J$ प्रदान करता है।
चरण $5$: पेट्रोल का आयतन = $(\text{आवश्यक ऊर्जा}) / (\text{प्रति } cc \text{ ऊर्जा}) = 360,000 \ J / (6 \times 10^4 \ J/cc) = 6 \ cc$.

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \ kg$,प्रारंभिक संवेग $p_1 = 8 \ kg \ m/s$,बल $F = 0.2 \ N$,समय $t = 10 \ s$.
आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $F \cdot t = \Delta p = p_2 - p_1$.
$0.2 \times 10 = p_2 - 8$.
$2 = p_2 - 8 \Rightarrow p_2 = 10 \ kg \ m/s$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{p_1^2}{2m} = \frac{8^2}{2 \times 4} = \frac{64}{8} = 8 \ J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{p_2^2}{2m} = \frac{10^2}{2 \times 4} = \frac{100}{8} = 12.5 \ J$.
गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta K = K_2 - K_1 = 12.5 - 8 = 4.5 \ J$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,अंतिम वेग $\vec{v} = (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) \,m/s$,समय $t = 2 \,s$ है।
अंतिम वेग का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \,m/s$ है।
खिलौने द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 0.02 \times 13 = 0.13 \,J$ है।
खिलौने को दी गई औसत शक्ति $P = \frac{W}{t} = \frac{\Delta K}{t} = \frac{0.13 \,J}{2 \,s} = 0.065 \,W$ है।

(C) दिया गया है:
कुएं की गहराई,$d = 30 \,m$
प्रति मिनट पानी का आयतन,$V = 1800 \,L = 1800 \times 10^{-3} \,m^3 = 1.8 \,m^3$
प्रति मिनट पानी का द्रव्यमान,$m = \rho \times V = 1000 \,kg/m^3 \times 1.8 \,m^3 = 1800 \,kg$
पाइप का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल,$A = 30 \,cm^2 = 30 \times 10^{-4} \,m^2$
समय,$t = 60 \,s$
पानी के जेट का वेग,$v = \frac{V}{A \times t} = \frac{1.8}{30 \times 10^{-4} \times 60} = \frac{1.8}{0.18} = 10 \,m/s$
इंजन द्वारा किया गया कुल कार्य स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग है:
$W = mgd + \frac{1}{2}mv^2$
$W = (1800 \times 10 \times 30) + (\frac{1}{2} \times 1800 \times 10^2)$
$W = 540000 + 90000 = 630000 \,J$
इंजन की शक्ति,$P = \frac{W}{t} = \frac{630000}{60} = 10500 \,W$
$P = 10.5 \,kW$

(D) दिया गया है: शक्ति $P = 7 \,W$, द्रव्यमान $m = 15 \,kg$, प्रारंभिक वेग $v_i = 3 \,ms^{-1}$, और अंतिम वेग $v_f = 5 \,ms^{-1}$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m (v_f^2 - v_i^2)$
$W = \frac{1}{2} \times 15 \times (5^2 - 3^2) = \frac{1}{2} \times 15 \times (25 - 9) = \frac{1}{2} \times 15 \times 16 = 120 \,J$.
चूंकि शक्ति स्थिर है, $P = \frac{W}{t}$, इसलिए लिया गया समय $t = \frac{W}{P} = \frac{120}{7} \,s$ है।
गति के समीकरण $v_f = v_i + at$ का उपयोग करके, हम त्वरण $a$ ज्ञात करते हैं:
$a = \frac{v_f - v_i}{t} = \frac{5 - 3}{120/7} = \frac{2 \times 7}{120} = \frac{14}{120} = \frac{7}{60} \,ms^{-2}$।
अब, गति के समीकरण $v_f^2 - v_i^2 = 2as$ का उपयोग करके, दूरी $s$ है:
$s = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2a} = \frac{25 - 9}{2 \times (7/60)} = \frac{16 \times 60}{14} = \frac{8 \times 60}{7} = \frac{480}{7} \approx 68.57 \,m$।
विकल्पों में दिए गए निकटतम पूर्णांक के अनुसार, दूरी $70 \,m$ है।

(A) $\text{किसी पिंड पर कार्य करने वाले सभी बलों द्वारा वितरित शक्ति उसकी गतिज ऊर्जा के परिवर्तन की दर के बराबर होती है,जो शुद्ध बल और वेग का डॉट गुणनफल } P = \vec{F}_{net} \cdot \vec{v} \text{ है।}
\text{चूंकि तनाव बल हमेशा लोलक के वेग के लंबवत होता है,इसलिए यह कोई कार्य नहीं करता है और शून्य शक्ति प्रदान करता है।}
\text{केवल गुरुत्वाकर्षण बल ही कार्य करता है। वेग की दिशा में गुरुत्वाकर्षण का घटक } mg \sin \theta \text{ है।}
\text{अतः,} P = (mg \sin \theta) v.
\text{ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए,} \theta_0 = 60^{\circ} \text{ से छोड़े जाने पर } \theta \text{ कोण पर वेग } v = \sqrt{2gl(\cos \theta - \cos \theta_0)} \text{ होता है।}
\text{यहाँ } l = 1 \,m, m = 10^{-3} \,kg, g = 10 \,ms^{-2}, \theta = 30^{\circ}, \text{और } \theta_0 = 60^{\circ} \text{ है।}
v = \sqrt{2 \times 10 \times 1 \times (\cos 30^{\circ} - \cos 60^{\circ})} = \sqrt{20 \times (0.866 - 0.5)} = \sqrt{7.32} \approx 2.705 \,ms^{-1}.
\text{अब,} P = mg \sin 30^{\circ} \times v = 10^{-3} \times 10 \times 0.5 \times 2.705 = 0.013525 \,W = 13.525 \,mW.
\text{अतः,सही उत्तर } 13.5 \,mW \text{ है।}$

(B) दिया गया है:
पिंड का द्रव्यमान, $m = 2 \,kg$
त्वरण, $\vec{a} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}) \,ms^{-2}$
विस्थापन, $\vec{s} = (3 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) \,m$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, पिंड पर कार्य करने वाला बल है:
$\vec{F} = m \vec{a} = 2(2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}) = (4 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}) \,N$
किया गया कार्य $(W)$, बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{s}$
$W = (4 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$
$W = (4 \times 3) + (6 \times -1) + (-2 \times 2)$
$W = 12 - 6 - 4$
$W = 2 \,J$

(D) जब कोई वस्तु वृत्ताकार पथ पर गति करती है,तो अभिकेंद्री बल हमेशा वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
चूंकि किसी भी क्षण वस्तु का विस्थापन वृत्ताकार पथ की स्पर्शरेखा की दिशा में होता है,इसलिए अभिकेंद्री बल और विस्थापन के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।
अतः,कार्य $W$ को सूत्र $W = F s \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 90^{\circ}$ रखने पर,हमें $W = F s \cos 90^{\circ} = F s (0) = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,अभिकेंद्री बल द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता है।

(D) प्रत्यावस्थान गुणांक $e$ को पृथक्करण के सापेक्ष वेग और उपगमन के सापेक्ष वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$e = \frac{v_{sep}}{v_{app}}$
पहली टक्कर के लिए,हमें दिया गया है कि उपगमन का सापेक्ष वेग,पृथक्करण के सापेक्ष वेग का दोगुना है:
$v_{app,1} = 2 v_{sep,1} \implies e_1 = \frac{v_{sep,1}}{v_{app,1}} = \frac{1}{2}$
हमें प्रत्यावस्थान गुणांकों का अनुपात $e_1 : e_2 = 3 : 1$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $e_2 = \frac{e_1}{3}$।
$e_1$ का मान रखने पर:
$e_2 = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$
चूंकि $e_2 = \frac{v_{sep,2}}{v_{app,2}} = \frac{1}{6}$,इसलिए दूसरी टक्कर में उपगमन के सापेक्ष वेग और पृथक्करण के सापेक्ष वेग का अनुपात है:
$\frac{v_{app,2}}{v_{sep,2}} = \frac{1}{e_2} = \frac{6}{1}$

(A) दी गई स्थिति में एक टक्कर शामिल है जहाँ रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
मान लीजिए कि गोली के गुजरने के तुरंत बाद रेत के थैले का वेग $v_2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$p_i = p_f$
$m_1 v_0 = m_2 v_2 + m_1 \left(\frac{v_0}{3}\right)$
$m_2 v_2 = m_1 v_0 - \frac{m_1 v_0}{3} = \frac{2 m_1 v_0}{3}$
$v_2 = \frac{2 m_1 v_0}{3 m_2}$
अब,रेत का थैला $h$ ऊँचाई तक ऊपर उठता है। यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,नीचे थैले की गतिज ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$KE = PE$
$\frac{1}{2} m_2 v_2^2 = m_2 g h$
$h = \frac{v_2^2}{2 g}$
$v_2$ का मान रखने पर:
$h = \frac{1}{2 g} \left(\frac{2 m_1 v_0}{3 m_2}\right)^2$

(D) मान लीजिए $m = 25 \,g = 0.025 \,kg$ गोली का द्रव्यमान है और $u = 250 \,m/s$ इसका प्रारंभिक वेग है।
मान लीजिए $M = 1 \,kg$ लकड़ी के गुटके का द्रव्यमान है।
मान लीजिए $v_1$ गोली का अंतिम वेग है और $v_2$ गोली के बाहर निकलने के तुरंत बाद गुटके का वेग है।
सबसे पहले, हम गुटके के लिए यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हैं क्योंकि यह $h = 20 \,cm = 0.2 \,m$ की ऊँचाई तक ऊपर उठता है:
$\frac{1}{2} M v_2^2 = M g h$
$v_2 = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \times 10 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2 \,m/s$
इसके बाद, हम टक्कर के दौरान निकाय (गोली + गुटका) के लिए रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हैं:
$m u = m v_1 + M v_2$
$0.025 \times 250 = 0.025 \times v_1 + 1 \times 2$
$6.25 = 0.025 v_1 + 2$
$0.025 v_1 = 4.25$
$v_1 = \frac{4.25}{0.025} = 170 \,m/s$
अतः, गुटके से बाहर निकलते समय गोली की गति $170 \,m/s$ है।

(B) चरण $1$: हथौड़े और कील के बीच टक्कर के दौरान रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करें।
$M \times 20 + m \times 0 = (M + m) \times v'$
$v' = \frac{20M}{M+m}$
चरण $2$: दीवार के औसत प्रतिरोध बल $F$ को खोजने के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करें।
प्रतिरोध बल द्वारा किया गया कार्य निकाय $(M+m)$ की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$F \times d = \frac{1}{2} (M+m) (v')^2$
यहाँ,$d = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$ है।
चरण $3$: समीकरण में मान रखें।
$F = \frac{(M+m) \times (v')^2}{2d}$
$F = \frac{(M+m)}{2 \times 10^{-2}} \times \left( \frac{20M}{M+m} \right)^2$
$F = \frac{(M+m)}{2 \times 10^{-2}} \times \frac{400M^2}{(M+m)^2}$
$F = \frac{200M^2}{(M+m) \times 10^{-2}} = \frac{2M^2}{M+m} \times 10^4$
अतः,औसत प्रतिरोध $\frac{2M^2}{M+m} \times 10^4$ है।

(B) माना $M = 2.9 \ kg$ और $m = 0.1 \ kg$ है। टक्कर के बाद संयुक्त द्रव्यमान का प्रारंभिक वेग $V$,रैखिक संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:
$M(0) + m(150) = (M + m)V$
$0.1 \times 150 = (2.9 + 0.1)V$
$15 = 3V \Rightarrow V = 5 \ m/s$.
अब,माना $\theta = 60^{\circ}$ के कोण पर संयुक्त द्रव्यमान का वेग $v$ है। यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के अनुसार:
$\frac{1}{2}(M+m)V^2 = \frac{1}{2}(M+m)v^2 + (M+m)gL(1 - \cos \theta)$
$\frac{1}{2}(5)^2 = \frac{1}{2}v^2 + 10 \times 0.5 \times (1 - \cos 60^{\circ})$
$12.5 = 0.5v^2 + 5 \times (1 - 0.5) = 0.5v^2 + 2.5$
$0.5v^2 = 10 \Rightarrow v^2 = 20 \ m^2/s^2$.
कोण $\theta$ पर डोरी में तनाव $T$ इस प्रकार दिया जाता है:
$T - (M+m)g \cos \theta = \frac{(M+m)v^2}{L}$
$T = (M+m) \left( g \cos \theta + \frac{v^2}{L} \right)$
$T = 3 \left( 10 \times \cos 60^{\circ} + \frac{20}{0.5} \right)$
$T = 3 \left( 10 \times 0.5 + 40 \right) = 3 \times 45 = 135 \ N$.

(C) मान लीजिए गोली का द्रव्यमान $m_1 = 0.02 \ kg$ है और इसका प्रारंभिक वेग $u_1 = 250 \ ms^{-1}$ है।
ब्लॉक का द्रव्यमान $m_2 = 0.23 \ kg$ है और इसका प्रारंभिक वेग $u_2 = 0 \ ms^{-1}$ है।
प्रभाव के बाद,गोली और ब्लॉक एक सामान्य वेग $v$ के साथ एक साथ चलते हैं। रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$
$0.02 \times 250 + 0.23 \times 0 = (0.02 + 0.23) v$
$5 = 0.25 v$
$v = \frac{5}{0.25} = 20 \ ms^{-1}$
अब,संयुक्त द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = 0.25 \ kg$ एक खुरदरी सतह पर चलता है और $d = 40 \ m$ की दूरी तय करने के बाद रुक जाता है। घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K$
$-f_k \cdot d = 0 - \frac{1}{2} M v^2$
$\mu M g d = \frac{1}{2} M v^2$
$\mu = \frac{v^2}{2 g d}$
मान रखने पर:
$\mu = \frac{(20)^2}{2 \times 9.8 \times 40} = \frac{400}{784} \approx 0.51$

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,ढलान के शीर्ष पर वस्तु की स्थितिज ऊर्जा ढलान के निचले हिस्से पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊंचाई $h$ पर स्थितिज ऊर्जा = $mgh$ है।
जब वस्तु समतल ट्रैक पर चलती है,तो घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$ द्वारा किया गया कार्य वस्तु को $d$ दूरी पर रोक देता है।
घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W = f \times d = \mu mgd$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा को घर्षण द्वारा किए गए कार्य के बराबर रखने पर:
$mgh = \mu mgd$
दोनों पक्षों को $mg$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$d = \frac{h}{\mu}$

(A) $1$. जब ब्लॉक $C$,ब्लॉक $A$ से टकराता है,तो यह $A$ के साथ जुड़ जाता है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टक्कर के तुरंत बाद संयुक्त निकाय $(A+C)$ का वेग $v' = \frac{mv}{m+m} = \frac{v}{2}$ होता है।
$2$. अब निकाय में $2m$ द्रव्यमान का एक पिंड स्प्रिंग से जुड़ा है,जो ब्लॉक $B$ (द्रव्यमान $m$) से जुड़ा है।
$3$. अधिकतम संपीड़न $x$ तब होता है जब दोनों द्रव्यमानों के बीच सापेक्ष वेग शून्य हो जाता है। रिड्यूस्ड मास $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $m_1 = 2m$ और $m_2 = m$,हमें $\mu = \frac{2m}{3}$ प्राप्त होता है।
$4$. सेंटर ऑफ मास फ्रेम में गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $\frac{1}{2} \mu v_{rel}^2 = \frac{1}{2} k x^2$.
$5$. यहाँ $v_{rel} = \frac{v}{2}$ है। अतः,$\frac{1}{2} (\frac{2m}{3}) (\frac{v}{2})^2 = \frac{1}{2} k x^2$.
$6$. $x$ के लिए हल करने पर: $x^2 = \frac{mv^2}{6k}$. इसलिए,$x \propto v \sqrt{\frac{m}{k}}$.
$7$. दिए गए विकल्पों के अनुसार,$x \propto v \sqrt{\frac{m}{2k}}$ सही उत्तर है।

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,ब्रेकिंग बल $F$ द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K$।
चूंकि अंतिम वेग $0$ है,ब्रेकिंग बल द्वारा किया गया कार्य $F \cdot S = \frac{1}{2} m v^2$ है।
अतः,रुकने की दूरी $S = \frac{m v^2}{2 F}$ है।
चूंकि $v$ और $F$ स्थिर हैं,इसलिए $S \propto m$ है।
पहले मामले में,कुल द्रव्यमान $m_1 = 80 \ kg + 100 \ kg = 180 \ kg$ है। इसलिए,$S_1 = \frac{180 v^2}{2 F}$।
दूसरे मामले में,कुल द्रव्यमान $m_2 = 80 \ kg + 100 \ kg + 60 \ kg = 240 \ kg$ है। इसलिए,$S_2 = \frac{240 v^2}{2 F}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{180}{240} = \frac{3}{4}$।
अतः,$4 S_1 = 3 S_2$।

(A) दिए गए मान: $m = 0.2 \ kg$,$h = 2 \ m$,$x = 0.1 \ m$,$k = 50 \ N \ m^{-1}$,और $g = 10 \ m \ s^{-2}$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा ब्लॉक की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$v = x \sqrt{\frac{k}{m}} = 0.1 \times \sqrt{\frac{50}{0.2}} = 0.1 \times \sqrt{250} = 0.1 \times 15.81 = 1.581 \ m \ s^{-1}$।
अब,स्लैब छोड़ने के बाद ब्लॉक प्रक्षेप्य गति करता है। जमीन से टकराने में लगा समय ऊर्ध्वाधर ऊँचाई द्वारा निर्धारित होता है:
$h = \frac{1}{2} g t^2 \Rightarrow 2 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 \Rightarrow t^2 = 0.4 \Rightarrow t = \sqrt{0.4} \approx 0.632 \ s$।
तय की गई क्षैतिज दूरी:
$s = v \times t = 1.581 \times 0.632 \approx 0.999 \ m \approx 1.0 \ m$ (या दिए गए विकल्पों के अनुसार $0.99 \ m$)।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 500 \ g = 0.5 \ kg$, ऊँचाई $h = 3.2 \ m$, प्रारंभिक वेग $u = 0 \ ms^{-1}$, अंतिम वेग $v = 6 \ ms^{-1}$, गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$।
$h$ ऊँचाई पर पिंड की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $PE_i = mgh = 0.5 \times 10 \times 3.2 = 16 \ J$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE_i = \frac{1}{2}mu^2 = 0 \ J$ है।
कुल प्रारंभिक यांत्रिक ऊर्जा $E_i = PE_i + KE_i = 16 \ J$ है।
जमीन पर अंतिम स्थितिज ऊर्जा $PE_f = 0 \ J$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $KE_f = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (6)^2 = 0.25 \times 36 = 9 \ J$ है।
कुल अंतिम यांत्रिक ऊर्जा $E_f = PE_f + KE_f = 9 \ J$ है।
वायु प्रतिरोध के कारण खोई गई ऊर्जा प्रारंभिक और अंतिम यांत्रिक ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$Loss = E_i - E_f = 16 \ J - 9 \ J = 7 \ J$।

(A) पिंड को दी गई शक्ति $P = \frac{dK}{dt} = 3t^2 + 3$ है,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
समय $t$ के सापेक्ष $0$ से $3 \ s$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{K} dK = \int_{0}^{3} (3t^2 + 3) dt$
$K = [t^3 + 3t]_{0}^{3} = (3^3 + 3(3)) - 0 = 27 + 9 = 36 \ J$.
चूँकि प्रारंभिक वेग शून्य है,इसलिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा शून्य है।
गतिज ऊर्जा के सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करने पर:
$36 = \frac{1}{2} \times 0.5 \times v^2$
$36 = 0.25 \times v^2$
$v^2 = \frac{36}{0.25} = 144$
$v = \sqrt{144} = 12 \ ms^{-1}$.

(D) मान लीजिए कि पिंड विराम अवस्था में आने से पहले '$s$' दूरी तक ऊपर की ओर फिसलता है।
प्राप्त ऊँचाई $h = s \sin \theta$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W_{friction} + W_{gravity} = K_f - K_i$
$-\mu mg \cos \theta \cdot s - mg \sin \theta \cdot s = 0 - E$
$\mu mgs \cos \theta + mgs \sin \theta = E$
$s(mg(\mu \cos \theta + \sin \theta)) = E$
$s = \frac{E}{mg(\mu \cos \theta + \sin \theta)}$
घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_{against\ friction} = |W_{friction}| = \mu mg \cos \theta \cdot s$ है।
'$s$' का मान रखने पर:
$W_{against\ friction} = \mu mg \cos \theta \cdot \left( \frac{E}{mg(\mu \cos \theta + \sin \theta)} \right)$
$W_{against\ friction} = \frac{\mu E \cos \theta}{\sin \theta + \mu \cos \theta}$

(C) कथन $(I)$ का विश्लेषण: गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है। $K-x$ वक्र का ढाल $\frac{dK}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}mv^2) = mv \frac{dv}{dx} = m \cdot a$ है। चूंकि $m$ स्थिर है,ढाल त्वरण $a$ के सीधे आनुपातिक है। अतः,कथन $(I)$ सत्य है।
कथन $(II)$ का विश्लेषण: प्रारंभिक वेग $u = 30 \ m/s$,ऊँचाई $h = 15 \ m$,$g = 10 \ m/s^2$ है। जमीन से टकराने से ठीक पहले का वेग $v^2 = u^2 + 2gh = 30^2 + 2(10)(15) = 900 + 300 = 1200 \ (m/s)^2$ है। टक्कर से पहले गतिज ऊर्जा $E_i = \frac{1}{2}m(1200)$ है। टक्कर के बाद,यह $15 \ m$ तक ऊपर जाती है,इसलिए टक्कर के बाद का वेग $v' = \sqrt{2gh} = \sqrt{2(10)(15)} = \sqrt{300} \ m/s$ है। टक्कर के बाद गतिज ऊर्जा $E_f = \frac{1}{2}m(300)$ है। ऊर्जा में हानि $\Delta E = E_i - E_f = \frac{1}{2}m(1200 - 300) = \frac{1}{2}m(900)$ है। प्रतिशत हानि $= (\frac{\Delta E}{E_i}) \times 100 = (\frac{900}{1200}) \times 100 = 75 \%$ है। अतः,कथन $(II)$ असत्य है।
कथन $(III)$ का विश्लेषण: $v^2 = u^2 + 2as$ से,जहाँ $u=0$ और $a = F/m$ है,हमें $v^2 = 2(F/m)s$ प्राप्त होता है। अतः $v = \sqrt{2Fs/m}$ है। वेग $\sqrt{m}$ के व्युत्क्रमानुपाती है,$m$ के सीधे आनुपातिक नहीं है। अतः,कथन $(III)$ असत्य है।

(A) सबसे पहले, नाव का त्वरण ज्ञात करें: $a = \frac{v-u}{t} = \frac{20-0}{5} = 4 \,m/s^2$.
इसके बाद, नाव द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात करें: $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 4 \times 5^2 = 50 \,m$.
औसत शक्ति का सूत्र $P_{av} = \frac{W}{t} = \frac{F_{boat} \times S}{t}$ है।
मान रखने पर: $45000 = \frac{F_{boat} \times 50}{5} = F_{boat} \times 10$.
अतः, नाव के इंजन द्वारा लगाया गया बल $F_{boat} = 4500 \,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, कुल बल $F_{net} = F_{boat} - F_{drag} = ma$ होता है।
मान रखने पर: $4500 - F_{drag} = 1000 \times 4 = 4000 \,N$.
इसलिए, ड्रैग बल $F_{drag} = 4500 - 4000 = 500 \,N$ है।

(B) दिया गया है: बल $F = 5 N$,द्रव्यमान $m = 500 g = 0.5 kg$,विस्थापन $s = 5 m$,प्रारंभिक वेग $u = 0$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = ma$,त्वरण $a = F/m = 5 / 0.5 = 10 m/s^2$ है।
गति के समीकरण $s = ut + (1/2)at^2$ का उपयोग करने पर,$5 = 0 + (1/2) \times 10 \times t^2$ प्राप्त होता है।
$5 = 5t^2 \Rightarrow t^2 = 1 \Rightarrow t = 1 s$.
किया गया कार्य $W = F \times s = 5 N \times 5 m = 25 J$ है।
औसत शक्ति $P_{avg} = W / t = 25 J / 1 s = 25 W$ होगी।

(C) $1$. सबसे पहले, यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करके ढलान के निचले हिस्से पर डिस्क का वेग $v$ ज्ञात करते हैं:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2 \implies v = \sqrt{2gh}$
यहाँ $h = 10 \,cm = 0.1 \,m$ और $g = 10 \,m/s^2$ दिया गया है, इसलिए $v = \sqrt{2 \times 10 \times 0.1} = \sqrt{2} \,m/s$.
$2$. जब डिस्क तख्ते पर आती है, तो वे एक सामान्य वेग $v'$ के साथ गति करते हैं। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mv = (m + M)v' \implies v' = \frac{mv}{m+M}$
$3$. घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $(W_f)$ निकाय की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W_f = K_{final} - K_{initial} = \frac{1}{2}(m+M)v'^2 - \frac{1}{2}mv^2$
$v' = \frac{mv}{m+M}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$W_f = -\frac{1}{2}mv^2 \left(\frac{M}{m+M}\right)$
$4$. घर्षण द्वारा किए गए कार्य का परिमाण:
$|W_f| = mgh \left(\frac{M}{m+M}\right)$
मान रखने पर $m = 10^{-3} \,kg$, $M = 100 \times 10^{-3} \,kg$, $g = 10 \,m/s^2$, $h = 0.1 \,m$:
$|W_f| = (10^{-3}) \times 10 \times 0.1 \times \left(\frac{100}{101}\right) \approx 0.001 \,J$.
नोट: यदि ऊँचाई $10 \,m$ ली जाए, तो उत्तर $0.1 \,J$ प्राप्त होता है।

(A)
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \,kg$, प्रारंभिक वेग $\vec{u} = (20 \hat{i} + 24 \hat{j}) \,m/s$.
$t$ समय पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक:
$v_y = u_y - gt$
$t = 8 \,s$ पर,
$v_y = 24 - (10 \times 8) = 24 - 80 = -56 \,m/s$
क्षैतिज घटक स्थिर रहता है:
$v_x = 20 \,m/s$
अतः, अंतिम वेग:
$\vec{v} = (20 \hat{i} - 56 \hat{j}) \,m/s$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta PE$, गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta KE$ के ऋणात्मक मान के बराबर होता है।
$\Delta PE = -\Delta KE = KE_i - KE_f$
$\Delta PE = \frac{1}{2} m (u^2 - v^2)
= \frac{1}{2} \times 2 \times [(20^2 + 24^2) - (20^2 + (-56)^2)]$
$\Delta PE = (400 + 576) - (400 + 3136)
= 976 - 3536 = -2560 \,J$
किलोजूल में बदलने पर:
$\Delta PE = -2.56 \,kJ$

(D) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, टक्कर से पहले का कुल संवेग $=$ टक्कर के बाद का कुल संवेग।
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$
यहाँ, बॉक्स का द्रव्यमान $m_1 = m_2 = 3 \,kg$, गतिमान बॉक्स की गति $u_1 = 4 \,m/s$ और दूसरे बॉक्स की प्रारंभिक गति $u_2 = 0$ है।
मान रखने पर:
$3 \times 4 + 3 \times 0 = (3 + 3) v$
$12 = 6v \Rightarrow v = 2 \,m/s$
इस प्रकार, दोनों पिंड टक्कर के बाद $2 \,m/s$ के वेग से गति करते हैं।
अब, मेज के किनारे से फर्श तक ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$Total Energy_{initial} = Total Energy_{final}$
$KE_{initial} + PE_{initial} = KE_{final} + PE_{final}$
फर्श को संदर्भ स्तर $(h=0)$ मानने पर:
$\frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 + (m_1 + m_2) g h = KE_{final} + 0$
$\frac{1}{2} \times (3 + 3) \times (2)^2 + (3 + 3) \times 10 \times 1 = KE_{final}$
$\frac{1}{2} \times 6 \times 4 + 6 \times 10 = KE_{final}$
$12 + 60 = 72 \,J$
अतः, फर्श से टकराने से ठीक पहले उनकी गतिज ऊर्जा $72 \,J$ होगी।

(D) कथन $(A)$ असत्य है क्योंकि गेंद ऊर्जा संरक्षण के नियम का उल्लंघन नहीं करती है। जब गेंद उछलती है,तो उसकी यांत्रिक ऊर्जा जमीन के साथ घर्षण और हवा के प्रतिरोध के कारण ऊष्मा और ध्वनि ऊर्जा के रूप में नष्ट हो जाती है।
कारण $(R)$ सत्य है क्योंकि ऊर्जा संरक्षण का नियम कहता है कि ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट,इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। निकाय (गेंद + आसपास का वातावरण) की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(C) माना गेंद का द्रव्यमान $m$ है। जब गेंद $h = 10 ~m$ की ऊँचाई पर होती है,तो उसका वेग $v_0$ होता है।
जमीन से टकराने से ठीक पहले,माना उसका वेग $v$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रभाव से ठीक पहले गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v_0^2 + mgh$ है।
हालाँकि,प्रश्न में दिया गया है कि $10 ~m$ की ऊँचाई पर वेग $v_0$ है। माना कुल ऊँचाई $H$ है जहाँ से वह गिरी थी। तब $\frac{1}{2} m v^2 = mgH$।
टकराव के बाद,वह अपनी गतिज ऊर्जा का $50 \%$ खो देती है। शेष गतिज ऊर्जा $K_f = 0.5 \times K_i = 0.5 \times (\frac{1}{2} m v^2)$ है।
यह ऊर्जा इसे वापस $h = 10 ~m$ की ऊँचाई तक ऊपर उठने में सक्षम बनाती है। अतः,$0.5 \times (\frac{1}{2} m v^2) = mgh$।
$h = 10 ~m$ और $g = 9.8 ~m/s^2$ रखने पर:
$0.25 v^2 = 9.8 \times 10 = 98$।
$v^2 = 392$।
अब,$10 ~m$ की ऊँचाई से जमीन तक की गति पर विचार करें: $v^2 = v_0^2 + 2gh$।
$392 = v_0^2 + 2 \times 9.8 \times 10$।
$392 = v_0^2 + 196$।
$v_0^2 = 196$।
$v_0 = 14 ~m/s$।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \,kg$,प्रारंभिक संवेग $p_1 = 8 \,kg \,m/s$,बल $F = 0.2 \,N$,समय $t = 10 \,s$.
आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करते हुए,संवेग में परिवर्तन $\Delta p = F \times t$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta p = 0.2 \,N \times 10 \,s = 2 \,kg \,m/s$.
अंतिम संवेग $p_2 = p_1 + \Delta p = 8 + 2 = 10 \,kg \,m/s$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{p_1^2}{2m} = \frac{8^2}{2 \times 4} = \frac{64}{8} = 8 \,J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{p_2^2}{2m} = \frac{10^2}{2 \times 4} = \frac{100}{8} = 12.5 \,J$.
गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta K = K_2 - K_1 = 12.5 - 8 = 4.5 \,J$.

(A) दिया है,आरोपित बल,$F=10 \,N$.
ब्लॉक का द्रव्यमान,$m=2 \,kg$.
गतिक घर्षण गुणांक,$\mu=0.2$.
अभिलंब बल,$N=mg=2 \times 10=20 \,N$.
घर्षण बल,$f=\mu N=0.2 \times 20=4 \,N$.
नेट बल,$F_{\text{net}}=F-f=10-4=6 \,N$.
त्वरण,$a=\frac{F_{\text{net}}}{m}=\frac{6}{2}=3 \,m/s^2$.
विरामावस्था $(u=0)$ से $t=4 \,s$ में तय की गई दूरी:
$s=ut+\frac{1}{2}at^2=0+\frac{1}{2} \times 3 \times (4)^2=24 \,m$.
$10 \,N$ के आरोपित बल द्वारा किया गया कार्य $(W_1)$:
$W_1=F \times s=10 \times 24=240 \,J$.
$4 \,N$ के घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $(W_2)$:
$W_2=f \times s \times \cos(180^{\circ})=-4 \times 24=-96 \,J$.

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, सभी बलों द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{gravity} + W_{air} = \Delta K$
$mgh + W_{air} = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$
दिया गया है: $m = 10 \,g = 0.01 \,kg$, $h = 50 \,m$, $v_i = 1000 \,ms^{-1}$, $v_f = 500 \,ms^{-1}$, $g = 10 \,ms^{-2}$.
$W_{gravity} = mgh = 0.01 \times 10 \times 50 = 5 \,J$.
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (500^2 - 1000^2) = 0.005 \times (250000 - 1000000) = 0.005 \times (-750000) = -3750 \,J$.
इन मानों को कार्य-ऊर्जा प्रमेय में रखने पर:
$5 + W_{air} = -3750$
$W_{air} = -3750 - 5 = -3755 \,J$.
वायु प्रतिरोध के विरुद्ध किया गया कार्य, वायु प्रतिरोध द्वारा किए गए कार्य का ऋणात्मक मान होता है।
वायु प्रतिरोध के विरुद्ध किया गया कार्य $= -(-3755 \,J) = 3755 \,J$.

(C) मान लीजिए $S_2$ का प्रारंभिक वेग $\vec{u}_2 = v \hat{i}$ है और $S_1$ का वेग $\vec{u}_1 = 0$ है। टक्कर के बाद,$S_2$ वेग $\vec{v}_2 = \frac{v}{2} \hat{j}$ के साथ गति करता है (मानते हुए कि यह धनात्मक $y$-दिशा में गति करता है)। मान लीजिए $S_1$ का वेग $\vec{v}_1 = v_{1x} \hat{i} + v_{1y} \hat{j}$ है।
$x$-अक्ष पर रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_2 v = m_1 v_{1x} + m_2(0) \implies v_{1x} = \frac{m_2}{m_1} v$
$y$-अक्ष पर रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$0 = m_1 v_{1y} + m_2 \left(\frac{v}{2}\right) \implies v_{1y} = -\frac{m_2 v}{2m_1}$
$S_1$ के वेग का परिमाण $v_1 = \sqrt{v_{1x}^2 + v_{1y}^2} = \sqrt{\left(\frac{m_2 v}{m_1}\right)^2 + \left(-\frac{m_2 v}{2m_1}\right)^2} = \frac{m_2 v}{m_1} \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{m_2 v}{m_1} \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
$x$-अक्ष के साथ $S_1$ की दिशा $\theta$ को $\tan \theta = \frac{v_{1y}}{v_{1x}} = \frac{-m_2 v / 2m_1}{m_2 v / m_1} = -\frac{1}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि $S_2$ ऋणात्मक $y$-दिशा में गति करता,तो $\tan \theta = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता।
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ या $\theta = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ होगा।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.1 \ kg$,संवेग में परिवर्तन $\Delta p = 2 \ kg \ m/s$,समय $t = 1 \ s$,$g = 10 \ m/s^2$.
चूंकि $\Delta p = F_{net} \times t$,इसलिए $F_{net} = \frac{\Delta p}{t} = \frac{2}{1} = 2 \ N$ है।
ब्लॉक के लिए,नेट बल $T - mg = F_{net}$ है,जहाँ $T$ डोरी में तनाव है। चूंकि डोरी द्रव्यमानहीन है और घिरनी घर्षणरहित है,इसलिए $T = F$ है।
अतः,$F - mg = 2 \ N \Rightarrow F - (0.1 \times 10) = 2 \Rightarrow F - 1 = 2 \Rightarrow F = 3 \ N$.
इस प्रकार,डोरी में तनाव $T = F = 3 \ N$ है।
त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{2}{0.1} = 20 \ m/s^2$.
विस्थापन $S = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times 20 \times (1)^2 = 10 \ m$.
तनाव द्वारा किया गया कार्य $W_T = T \times S = 3 \times 10 = 30 \ J$.
गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_g = mg \times S = (0.1 \times 10) \times 10 = 10 \ J$.

(A, B, C) $1$. लड़की के सापेक्ष, गेंद का प्रारंभिक वेग $0$ है और अंतिम वेग $v$ है। गतिज ऊर्जा $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ है। अतः, लड़की द्वारा किया गया कार्य $W = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv^2$ है। इसलिए, विकल्प $A$ और $B$ सही हैं।
$2$. जमीन के सापेक्ष, गेंद का प्रारंभिक वेग $u$ है और अंतिम वेग $v+u$ है। ट्रेन द्वारा किया गया कार्य जमीन से देखे जाने पर गेंद की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन और लड़की द्वारा किए गए कार्य का अंतर है: $W_{\text{train}} = \Delta E_{k, \text{ground}} - W_{\text{girl}} = [\frac{1}{2}m(v+u)^2 - \frac{1}{2}mu^2] - \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(v^2 + u^2 + 2vu - u^2) - \frac{1}{2}mv^2 = mvu$। इसलिए, विकल्प $C$ सही है।
$3$. जमीन पर खड़े व्यक्ति द्वारा मापी गई गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta E_{k, \text{ground}} = \frac{1}{2}m(v+u)^2 - \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mvu$ है। अतः, विकल्प $D$ गलत है।